Kata Pengantar
Alhamdulillah, segala puji kita panjatkan kepada Allah SWT atas limpahan Taufiq dan Hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas program komputer ini dengan baik. Tugas ini membahas tentang materi tentang SukuBanyak atau yang sering disebut dengan Polinom yang ada dalam matematika SMA kelas XI. kami semua berharap semoga buku ini dapat berguna bagi para penyusun dan umumnya bagi para pembaca. Tugas ini pada dasarrya mempunyai
banyak
kekurangan,
untuk
itu
saya
membutuhkan kritik dan saran yang membangun untuk menyempurnakan tugas program komputer ini dengan baik.
Cirebon, oktober 2013
Penulis
1
Daftar Isi Kata Pengantar .................................................................. 1 Daftar Isi ........................................................................... 2 Kata Motivasi .................................................................... 3 Tujuan Pembelajaran ........................................................ 5 SUKUBANYAK (POLINOM) 1. Pengertian SukuBanyak ........................................... 7 2. Nilai SukuBanyak .................................................... 11 3. Pembagian SukuBanyak .......................................... 13 4. Teorema Sisa ............................................................ 19 5. Teorema Faktor ........................................................ 22 6. Persamaan SukuBanyak ........................................... 25 Penerapan SukuBanyak (Polinom) dalam Kehidupan Seharihari ..................................................................................... 28 Soal Latihan ...................................................................... 30 Daftar Pustaka ................................................................... 33 Deskripsi Penggunaan Program Quis Makker .................. 34 Biodata Kelompok dan Deskripsi Kerja Kelompok ......... 36
2
Kata Motivasi Belajarlah selagi yang lain sedang tidur, Bekerjalah selagi yang lain sedang bermalasmalasan, Bersiap-siaplah selagi yang lain sedang bermain, Dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap.
-wiliam arthurt ward-
Mulailah mempertanggung jawabkan atas semua apa yang telah kau lakukan. Karna semua yang kau lakukan tak akan pernah terlewatkan atas semua perhitungan.
-inne aryanti-
3
Jika kamu tak mengejar apa yang kamu inginkan, Maka kamu tidak akan pernah memilikinya. Jika kamu tidak bertanya, Maka jawabannya adalah tidak. Jika kamu tidak mengambil langkah maju, Maka kamu selalu berada di tempat yang sama.
-nora roberts-
4
Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menentukan hasil bagi sukubanyak oleh bentuk linear. 2. Siswa dapat menghitung koefisien x dan konstanta dari suatu sukubanyak, bila dibagi oleh bentuk linear sisanya diketahui. 3. Dapat menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak bila dibagi bentuk kuadrat. 4. Bila sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat diketahui, siswa dapat menentukan sisa pembagaian sukubanyak itu oleh bentuk linear yang merupakan faktor dari pembagi kuadrat tersebut. 5. Bila sisa pembagian suatu sukubanyak oleh dua bentuk linear yang berbeda masing-masing diketahui, siswa dapat mencari sisa pembagian sukubanyak itu oleh fungsi kuadrat yang merupakan hasilkali kedua bentuk linear tersebut. Habis dibagi oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan. 6. Siswa dapat memilih hasil bagi suatu polinom oleh bentuk linear ax+ b.
5
SUKUBANYAK (POLINOM) Masih ingatkah kamu peristiwa kecelakaan pesawat yang saat ini sering terjadi di Indonesia? Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor. Beberapa diantaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca, kerusakan mesin, badan pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain. Jika faktor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, .....xn maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu matematika, hal demikian dinamakan suku banyak. Dalam bab ini, kita akan mempelajari lebih lanjut mengenai aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Dalam mempelajarinya, kita akan dapat menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil bagi dan sisa, serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah. Lihat peta modul untuk lebih memahami pembelajaran sukubanyak ini:
6
1. Pengertian Sukubanyak a. Bentuk umum sukubanyak Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri, seperti diperlihatkan pada gambar
7
Adapun grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar berikut
Amati keempat persamaan berikut. y = x2 y = (x + 2)2 = x2+ 4x+ 4 y = x3 y = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1 Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan sukubanyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3, suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4 adalah –1. Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat dari suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien sukubanyak dari x3, x2, dan x berturut-turut
8
adalah 1, –3, dan 3. Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta). Maka bentuk umum, derajat Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variable berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan :
Dengan syarat : pangkat tertinggi x yaitu n disebut derajat dari sukubanyak tersebut, n € bilangan cacah dan
,
banyak,
,….,
disebut koefisien-koefisien suku
disebut suku tetap dan
≠ 0.
Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas diawali dengan suku yang peubahnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku berikutnya dan diakhiri dengan suku tetap a0. Suku banyak yang disusun atau ditulis semacam ini dikatakan menurut aturan pangkat turun dalam peubah acak x . Perlu diketahui bahwa peubah suatu suku banyak tidak harus dalam peubah x , tetapi tetapi dalam peubah-peubah lain seperti peubah a,b, c,..., s,t,u,..., y, dan z . Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel, dan biasanya
9
disebut univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel atau bisa disebut multivariabel. Sebagai contoh suku banyak multivariabel: x3 + xy - y4 - 10 merupakan suku banyak dalam dua peubah x dan y dengan x berderajat 3 dan y berderajat 4. Contoh : 1.
-
+ 6x – 8 adalah suku banyak berderajat 3,
dengan koefisien
adalah 6, koefisien
adalah -3,
koefisien x adalah 4, dan suku tetapnya -8. 2.
- 5x + 4 -
adalah bukan suku banyak karena
memuat pangkat negative yaitu
atau
dengan
pangkat -1 bukan anggota bilangan cacah. b. Operasi pada sukubanyak Misal: f(x) = 2x2+x-2 g(x) = 3x3+2x2+4x+1 1) Penjumlahan sukubanyak f(x) + g(x) = (2x2+x-2) + (3x3+2x2+4x+1) = 3x3+4x2+5x-1 2) Pengurangan sukubanyak f(x) - g(x) = (2x2+x-2) - (3x3+2x2+4x+1) = -3x3-3x-3 (koefisien x2 adalah 0)
10
3) Perkalian sukubanyak f(x) . g(x) = (2x2+x-2) . (3x3+2x2+4x+1) = 6x5+7x4+4x3+2x2-7x-2 2. Nilai Sukubanyak Nilai sukubanyak f(x) untuk x=k, adalah f(k). Untuk menentukan f(k) dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: a. Cara substitusi Misalkan suku banyak f(x) =
+
+ cx + d. jika
nilai x diganti k, maka nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) =
+
+ ck + d. agar lebih
memahami tentang cara subtitusi, pelajarilah contoh soal berikut ini. Contoh soal
Penyelesaian:
11
b. Cara Horner/cara skematik Dengan cara ini, koefisien tiap suku ditulis berurutan dari derajat tertinggi. Contoh soal Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini. 1) F(x) =
+ 3x – 4 untuk x = 5
+
2) F(x) = =
-
+ 9x + 12 untuk x =
Penyelesaian
12
3. Pembagian Sukubanyak a. Bentuk umum f(x) = P(x) . H(x) + S dengan: f(x)
= suku yang dibagi, berderajat n
P(x) = suku pembagi, berderajat k, dengan k n H(x) = suku hasil bagi, berderajat (n-k) S
= suku sisa pembagian, paling tinggi berderajat (k-1)
b. Pembagian sukubanyak oleh (x-k) Dapat dilakukan dua cara, yaitu: 1) Cara tersusun
13
Contoh soal: a) Berapa hasil bagi dari (x3 + 4x2 - 2x + 4) : (x - 1)? Dengan cara serupa, kita akan memperoleh:
Jadi hasil baginya adalah x5 + 5x + 3 dn sisanya adalah 7. b) F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x–1
Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x+4 2) Cara skematik atau cara horner Contoh soal:
14
Melalui
pembagian
panjang,
kita
akan
mendapatkan bahwa pembagian (5x2 + 6x + 4) : (x + 2) memberikan hasil bagi 5x – 4 dan sisa 12. Sekarang kita akan mengerjakan kembali pembagian tersebut dengan suatu metode yang disebut metode Horner. Ada
2
cara
menggunakan
metode
sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut ini. Cara pertama:
Keterangan: (a) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (b) Konstanta dari pembagi x + 2 (c) Pindahkan 5 ke bawah (d) 5 × 2 = 10, angka 2 berasal dari (b) (e) 6 – 10 = -4 (f) -4 × 2 = -8 (g) 4 – (-8) = 12 Jadi Hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12
15
Horner,
Cara kedua:
Keterangan: (h) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (i) Negatif dari konstanta pembagi x + 2 (j) Pindahkan 5 ke bawah (k) 5 × (-2) = -10, angka (-2) berasal dari (b) (l) 6 + (-10) = -4 (m)(-4) × (-2) = 8 (n) 8 + 4 = 12 Dan seperti sebelumnya, hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12 c. Pembagian sukubanyak oleh bentuk linear (ax + b) Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (ax + b), maka didapat hubungan: f(x) = ( hasil bagi =
) ( )
( )
atau f(x) = (ax+b)
dan sisa = S
contoh soal:
16
( )
+S
tentukan hasil bagi dan sisanya dari x3 : (x - 5)? Penyelesaian: Bentuk umum dari suku banyak x3 adalah : 1 x3 + 0 x2 + 0x + 0.
Hasil bagi : 1 x3 + 5x + 25x0 = x2 + 5x + 25. Sisa : 125 Anda dapat memeriksa melalui perkalian bahwa: x3 = (x-5)(x2 + 5x + 25) + 125 d. Pembagian sukubanyak dengan bentuk kuadrat (ax2 + bx + c), a 1) Pembagian dapat difaktorkan f(x) = (ax2 + bx + c) . H(x) + (p(x) + q) = a(x + p) (x + q) . H(x) + (p(x) + q) untuk mencari hasil bagi dan sisanya dapat digunakan tiga cara, yaitu cara horner, cara keidentikan, dan cara pembagian bersusun. Contoh soal: Tentukan hasil bagi dan sisanya jika (x3 + 3x2 – 8x + 3) : (x2 – x – 2)
17
Penyelesaian: a) Cara horner x2 – x – 2 = (x + 1) (x - 2) x3 + 3x2 – 8x + 3 dibagi x + 1 terlebih dahulu -1
1
1
3
-8
3
-1
-2
10
2
-10
13
+
Artinya x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x + 1) (x2 + 2x – 10) + 13 ....... (1) Selanjutnya hasil pembagian tersebut yakni (x2 + 2x – 10) dibagi lagi dengan (x–2) 2
1
1
2
-10
2
8
4
-2
+
Artinya x2 + 2x – 10 = (x – 2) (x + 4) – 2 ....... (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x + 1) (x2 + 2x – 10) + 13 = (x + 1) ((x – 2)(x + 4) – 2) + 13 = (x + 1)(x – 2)(x + 4)–2x– 2+13 = (x2 + x – 2) (x + 4) + (-2x + 11) Jadi, hasil baginya adalah x + 4 dan sisanya (-2x + 11).
18
b) Cara keidentikan x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x2 + x – 2) (x + A) (Bx + C)
derajat 3
derajat 2
derajat 1
derajat 1
x3 + 3x2 – 8x + 3 = x3 + (A – 1)x2 + (B – A – 2)x – 2A + C perhatikan koefisien setiap suku: A–1=3
A=4
B – A – 2 = -B B = -2 -2A + C = 3
C = 11
Jadi hasil baginya adalah x + A = x + 4 dan sisa = Bx + C = -2x + 11 c) Cara pembagian bersusun Sudah dijelaskan diatas, silahkan coba sendiri untuk latihan 2) Pembagi tidak dapat difaktorkan Pada kasus ini, cara Horner tidak dapat digunakan. Untuk menyelesaikannya dapat digunakan cara pembagian biasa atau cara keidentikan. 4. Teorema Sisa Dalam
perhitungan
teknis
tentang
pembagian
sukubanyak, persoalan yang sering muncul adalah
19
bagaimana menentukan sisa pembagian sukubanyak tanpa harus mengetahui hasil baginya. Untuk itulah kita gunakan Teorema Sisa. a. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh ax+b Jika f(x) dibagi ax+b bersisa S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai: f(x) = (ax+b) . H(x) + S dengan mengambil x = f(
) = 0 . H(x) + S
f(
)=S
, maka kita memperoleh:
Jika sukubanyak f(x) dibagi (ax+b), maka sisanya f(
)
ini berarti bahwa sisa pembagian sukubnayak f(x) oleh ax+b adalah S = f(
)
contoh soal: tentukan sisa dari pembagian berikut ini. 1) f(x) = x3-3x2+2x+1 dibagi (x+1) 2) f(x) = x3+2x2-10 dibagi (2x-1) penyelesaian: 1) sisa = f(-1) = (-1)3- 3 . (-1)2 + 2 . (-1) + 1
20
=-1-3–2+1=-5 2) sisa = f( ) = ( )3+2 . ( )2- 10 =( )+( )-10 = -9 ( ) b. pembagian sukubanyak f(x) oleh (ax + b) (cx + d) jika f(x) dibagi (ax + b) (cx + d) bersisa S(x) = p(x) + q, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai: f(x) = (ax + b) (cx + d) H(x) + S(x) dengan mengambil x = (
), maka kita memperoleh:
f(
) = 0 . (cx + d) . H(x) + (px + q)
f(
) = (px + q) ....... (1)
Dengan mengambil x = (
), maka kita memperoleh:
f(
) = (ax + b) . 0 . H(x) + (px + q)
f(
) = (px + q) ....... (2)
ini berarti bahwa sisa pembagian sukubanyak f(x) oleh (ax + b) (cx + d) adalah S(x) = (px + q), dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari persamaan (!) dan (2).
21
Contoh soal: Jika 2x3 – x2 - 5x – 3 dibagi x2 – 2x – 3, maka tentukanlah sisanya. Penyelesaian: 2x3 – x2 - 5x – 3 dibagi x2 – 2x – 3 x2 – 2x – 3 = (x +1) (x – 3) misal sisanya px + q f(-1) = -p + q = -1 f(3) = 3p + q = 27 -4p = -28 p = 7 q = 6 jadi, sisanya adalah 7x + 5. 5. Teorema Faktor Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0.
22
Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(n) = 0. Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut : Misalkan P(x) suatu polynomial, (x - k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0 Selanjutnya jika diketahui a1, a2, a3, . . . . . ,an adalah akar-akar dari polynomial P(x) berderajat n maka diperoleh, P(x) = A(x - a1)(x - a2)(x - a3), . . . . . ,(x - an) Contoh soal yang berkaitan dengan teorema faktor di atas. 1. Polinom P(x) dibagi oleh x2 +x+1 menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa x - 7. Jika H(x) dibagi (x - 1) menghasilkan sisa 2, tunjukkan bahwa (x-1) adalah faktor dari P(x). Penyelesaian : Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh P(x) = (x2 + x + 1) H(x) + x - 7 danH(1) = 2. Untuk menunjukkan (x - 1) adalah faktor dari P(x) cukup ditunjukkanbahwa P(1) = 0. Untuk keperluan itu, perhatikan bahwa P(1) = 3 H(1) + 1 - 7
23
=3.2-6 =0 Jadi, terbukti bahwa (x - 1) adalah faktor dari P(x). 2. Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0 Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) x = 1 x = 2 x = –1 Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2} 3. Diketahui polinom P(x) berderajat n sedemikian sehingga P(k) =
untuk k = 0, 1, 2, 3 , . . . , n.
Tentukanlah nilai dari P(n + 1). (USAMO 1975) Penyelesaian : Misal Q(x) = (x + 1) P(x) - x, maka Q(x) adalah polinom derajat n + 1 dengan Q(0) = Q(1) = Q(2) = . . . = Q(n) = 0 sehingga
24
Q(x) = Ax (x - 1)(x - 2) . . . (x - n) dengan mensubstitusikan nilai x = - 1 diperoleh 1 = Q(-1) = -A(-2)(-3) . . . (-1 - n) = A . (-1)n+1(n + 1)! ( ) ( )
sehingga diperoleh A =
Oleh karena itu untuk x = n + 1 diperoleh (n + 2) P (n + 1) – (n + 1) = Q (n + 1) =
( ) ( )
(n + 1) n (n – 1) (n – 2) .... 2 . 1
= (-1)n+1 Dari sini diperoleh: Jika n genap diperoleh P (n + 1) = Jika n ganjil diperoleh P (n + 1) = 1 6. Persamaan sukubanyak a. Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat: Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a b. Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar
25
x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat: Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya (amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …) c. Pembagian Istimewa
Contoh soal: Jika akar-akar dari x3 – 4x2 + 3x + 2 = 0 adalah x1 , x2 , dan x3, tentukan nilai dari: a. x1 + x2 + x3 b. x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 c. x1 . x2 . x3
26
Penyelesaian: a. x1 + x2 + x3 = =
(
)
=4
b. x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = = =3 c. x1 . x2 . x3 = =
= -2
27
Penerapan SukuBanyak (Polinom) dalam kehidupan sehari-hari
Suku banyak merupakan suatu konsep pengerjaan dalam proses hitung berbentuk (anxn + an-1xn-1 +an-2xn-2 + … + xo). Dalam kehidupan sehari-hari penghitungan dalam suku banyak tidak terlalu digunakan karena prosesnya terlalu banyak dan rumit. Dalam penerapannya suku banyak biasanya digunakan untuk membuat suatu alat transportasi atau yang lainnya. Misal pada alat transportasi, suku banyak digunakan untuk menentukan perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan ukuran alat tersebut. Jika unsurunsur tersebut diketahui maka pengerjaan suatu alat transportasi tersebut bisa dipermudah selain itu tidak perlu ada
perasaan
was-was
dalam
pembentukan
maupun
pengerjaannya. Sehingga benda tersebut akan cepat selesai dengan hasil yang memuaskan. Dalam bidang lain suku banyak digunakan untuk menghitung
suatu
tumpukan-tumpukan
barang
yang
berbentuk sama dengan jumlah isi yang berbeda. Dengan
28
demikian sipengguna bisa mengetahui berapa banyak barang yang ada dalam beberapa tumpukan yang berbeda tempatnya dan jumlahnya. Misalnya ada suatu box kecil yang hanya bisa diisi dengan 20 butir telur. Lalu ada box sedang yang isinya 2 kalinya isi dari box kecil. Dan juga ada box besar yang bisa diisi dengan 4 kalinya box kecil. Jika box kecil ada 3 tumpukan, box sedang ada 1 tumpukan, dan box besar ada 2 tumpukan maka rumusnya yaitu : f(x) = x3 + 4x2 + 2x f(20) = 203 + 4 . 202 + 2 . 20 f(20) = 80000 + 1600 + 40 f(20) = 81640 Jadi jumlah keseluruhan jumlah telur yang ada dari tumpukan-tumpukan tersebut berjumlah 81640 butir telur.
29
Soal latihan Suku Banyak
Pilihan Ganda 1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah …. a. 8x + 8
d. – 8x – 8
b. 8x – 8
e. –8x + 6
c. –8x + 8 2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 – 4x3 + 3x2 – 2x + 1 ) oleh ( x2 – x – 2 ) adalah …. a. –6x + 5
d. 6x – 5
b. –6x – 5
e. 6x – 6
c. 6x + 5 3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 – 6x + 5 sisanya adalah …. a. 2x + 2
d. 3x + 2
b. 2x + 3
e. 3x + 3
c. 3x + 1
30
4. Diketahui ( x + 1 ) salah satu factor dari suku banyak f(x) = 2x4 – 2x3 + px2 – x – 2, salah satu factor yang lain adalah …. a. x – 2
d. x – 3
b. x + 2
e. x + 3
c. x – 1 5. Jika suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b dibagi oleh ( x2 – 1 ) memberi sisa 6x + 5, maka a.b = …. a. – 6
c. 1
b. – 3
d. 6
e. 8
6. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi ( x + 1) sisanya 8 dan dibagi ( x – 3 ) sisanya 4. Suku banyak q(x) jika dibagi dengan ( x + 1 ) bersisa –9 dan jika dibagi ( x – 3 ) sisanya 15 . Jika h(x) = f(x).q(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x2 – 2x – 3 sisanya adalah …. a. –x + 7 b. 6x – 3 c. –6x – 21 d. 11x – 13 e. 33x – 39 7. Suku banyak 6x3 + 13x2 + qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear yang lain adalah …. a. 2x – 1
31
b. 2x + 3 c. x – 4 d. x + 4 e. x + 2 8. Suku banyak P(x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah …. a. 20x + 24 b. 20x – 16 c. 32x + 24 d. 8x + 24 e. –32x – 16 9. Selesaikan soal berikut: a. Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 + 7x2 + 9x + 8) : (3x2 + 2x + 1) b. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa c. (2x4 + 3x3 + x2 – x - 3 ): (x - 1) 10. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: (
32
(
) )(
)
Daftar Pustaka
http://mathematic-room.blogspot.com http://ltobing1975.wordpress.com – 1
http://wing87.files.wordpress.com/2012/10/teorema_faktor.p df
33
Deskripsi Penggunaan Quis Makker
Sebelum mengerjakan soal jangan lupa sebaiknya mengucapkan basmalah :) Mulailah dengan mengerjakan soal yang mudah terlebih dahulu. 1. Untuk
membuka
quis
makker
masukan
pasword
“matematika” 2. Selama pengerjaaan soal, Anda dibatasi waktu pengerjaan soal selama 180 detik untuk masing – masing soal. 3. Untuk menjawab pertanyaan, klik bulatan/kotak pada jawaban yang Anda anggap paling benar. 4. Anda dapat melihat hasil pengerjaan soal pada akhir pengerjaan, Anda dianggap lulus atau tidak berdasarkan nilai yang didapat. 5. Anda dapat me-review jawaban Anda dengan menekan tombol submit yang berada pada tombol paling bawah dan restart. 6. Anda dapat melihat cara penyelesaian dari setiap soal dengan menekan pilihan review feedback yang berada paling bawah.
34
Periksa kembali jawaban anda selagi waktunya masih memungkinkan. Jangan menyerah ! mulailah percaya diri bahwa anda bisa mengerjakannya dengan baik. Jangan lupa ucapkan juga alhamdulilah setelah mengerjakan soal latihan ini.
“good luck and see you next time” Matematik itu indah :)
35
DAFTAR RIWAYAT HIDUP DATA PRIBADI 1. Nama Lengkap
: Inne Aryanti
2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 26 April 1995 3. Jenis Kelamin
: Perempuan
4. Agama
: Islam
5. Status
: Belum menikah
6. Alamat
: Jl. Sukasari Gg IX no. 5 RT/RW 07/03
7. Hobi
: Membaca Buku
8. Cita-cita
: Guru Matematika
RIWAYAT PENDIDIKAN 1. 1999 – 2000 : TK An-nawwa, Cirebon 2. 2000 – 2006 : SDN Sukasari, Cirebon 3. 2006 – 2009 : SMPN 10, Cirebon 4. 2009 – 2012 : SMAN 9, Cirebon 5. 2012 : Fakultas Pendidikan Matematika Unswagati, Cirebon
36
DAFTAR RIWAYAT HIDUP DATA PRIBADI 1. Nama Lengkap
: Aty riswanty
2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 11 Februari 1993 3. Jenis Kelamin
: Perempuan
4. Agama
: Islam
5. Status
: Belum menikah
6. Alamat
: Ds. Gintung lor kec. Susukan kab. Cirebon
7. Hobi
: Bermain, bernyanyi, membaca
8. Cita-cita
: Guru dan Pengusaha
RIWAYAT PENDIDIKAN 1. 2000 - 2006 SDN 2 kedong-dong 2. 2006 - 2009 SMPN 1 Susukan 3. 2009 - 2012 SMAN 1 Arjawinangun 4. 2012 - sekarang Fakultas Pendidikan matematika Unswagati
37
