PRAKATA Alhamdulillahirabbil’aalamin, segala puja dan puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT. Tanpa karunia-Nya, kita tak dapat menyelesaikan naskah buku ini tepat pada waktunya mengingat tugas dan kewajiban lain yang bersamaan hadir. Buku ini kami susun dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Program Komputer 1 yaitu membuat buku ajar. Buku ini berisi tentang materi Integral kelas XII SMA, dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Terselesaikannya penulisan buku ini juga tidak terlepas dari bantuan beberapa pihak. Karena itu, kami menyampaikan terima kasih kepada Dosen Pembimbing karena telah memberikan waktu dan ilmunya untuk mengajari kami, dan semua rekan yang telah ikut membimbing kami dalam penyusunan buku ini. Dalam penyusunan buku ini tentu jauh dari sempurna meskipun kami telah berusaha untuk menghindarkan kesalahan, kami menyadari bahwa buku ini masih mempunyai kelemahan sebagai kekurangannya. Karena itu, kami berharap agar pembaca berkenan menyampaikan kritikan. Dengan segala pengharapan dan keterbukaan, kami menyampaikan rasa terima kasih dengan setulus-tulusnya. Kritik merupakan perhatian agar dapat menuju kesempurnaan. Akhir kata, kami berharap agar buku ini dapat membawa manfaat kepada pembaca.
Cirebon,
Oktober 2014
Penyusun,
i
DAFTAR ISI PRAKATA ...................................................................................................................... i DAFTAR ISI ..................................................................................................................ii SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN .......................................................................... iii INTEGRAL .................................................................................................................... 1 A. Pengertian Integral............................................................................................... 2 B. Integral Tak Temtu .............................................................................................. 4 C. Integral Tertentu ................................................................................................. 11 D. Menentukan Luas Daerah ................................................................................... 17 E. Menentukan Voleme Benda Putar ....................................................................... 21 APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN .......................................................... 29 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................... 30 BIODATA PENYUSUN ................................................................................................ 31 DESKRIPSI KERJA KELOMPOK ................................................................................ 32
ii
SEKAPUR SIRIH DARI PENYUSUN Kawan seberapa pentingkah belajar itu? Bagi orang yang suka belajar mereka pasti menjawab bahwa betapa pentingnya belajar itu, belajar membuat kita dari yang tidak tahu menjadi tahu dan dari yang tidak bisa menjadi bisa. Tujuan belajar adalah untuk tumbuh dan akal kita berbeda dari tubuh kita, bisa terus bertumbuh selama kita hidup. Seperti pepatah bahwa tuntutlah ilmu dari buaian sampai masuk keliang lahat atau tuntutlah ilmu sampai ke Negeri China. Belajar layaknya mendayung ke hulu, jika tidak maju sama dengan hanyut ke bawah. Sama halnya dalam dunia pendidikan jika kita tidak mau belajar maka kita akan tertinggal jauh dengan dunia pendidikan dan menahan perihnya kebodohan. Kawan hidup itu hanya sekali, sekali seumur hidup maka gunakanlah waktumu dengan baik untuk melakukan hal-hal yang baik, apapun yang bisa kamu lakukan, atau kamu mimpi
bisa lakukan, mulailah itu, jangan takut akan yang namanya kegagalan karena
kegagalan terbesar adalah apabila kita tidak pernah mencoba. Kesuksesan bisa diraih karena usaha, usaha ada karena kemauan, kemauan tercipta karena ada cita-cita dan cita-cita berasal dari mimpi, maka bermimpilah dan raihlah apa yang ingin kita dapatkan.
Salam Hangat,
Penyusun
iii
INTEGRAL Standar Kompetensi
: 1.
Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
: 1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.
Indikator
: 1.
Menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri.
2.
Menjelaskan integral tertentu sebagai luas daerah di bidang datar.
3.
Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifatsifat (aturan) integral.
Tujuan Pembelajaran Setelah pembelajaran berlangsung diharapkan siswa dapat: 1.
Menghitung integral tak tentu dengan teknik integral parsial
2.
Menghitung integral tentu dengan teknik integral parsial
1
INTEGRAL
Pernahkah kalian melihat baling-baling pesawat? Bagaimanakah bentuknya? Ketika pesawat hendak mengudara, baling-baling pesawat akan berputar dengan kecepatan tinggi. Bagaimanakah bentuk baling-baling itu saat berputar? Saat baling-baling berputar, kalian akan mengamati sebuah bentuk seperti lingkaran. Dapatkah kalian mengetahui luas lingkaran yang terbentuk dari perputaran baling-baling itu? Dengan menggunakan integral, kalian akan dapat mengetahuinya.
A. Pengertian Integral Di Kelas XI, kalian telah mempelajari konsep turunan. Pemahaman tentang konsep turunan ini dapat kalian gunakan untuk memahami konsep integral. Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. f1(x) = 3x3 + 3 f2(x) = 3x3 + 7 f3(x) = 3x3 – 1 f4(x) = 3x3 – 10 f5(x) = 3x3 - 99 Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum f(x) = 3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi ini memiliki turunan f’’(x) = 9x2. Jadi, turunan fungsi f(x) = 3x3 + c adalah f’’(x) = 9x2.
2
Sekarang, bagaimana jika kalian harus menentukan fungsi f(x) dari f’’(x) yang diketahui? Menentukan fungsi f(x) dari f’’(x), berarti menentukan antiturunan dari f ‘(x). Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x). Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 dengan: = notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) f(x) = fungsi integran F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F’(x) = f(x) c
= konstanta pengintegralan
Sekarang, perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
g1(x) = x, didapat g1’(x) = 1. Jadi, jika g1’(x) = 1 maka g1(x) = 𝑔1’(x) dx = x + c1.
1
g2(x) = 2 𝑥 2 , didapat g2’(x) = x. ′
Jadi, jika g2’(x) = x maka g2(x) = 𝑔2 𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝑥 2 + 𝑐2 .
1
g3(x) = 𝑥 3 , didapat g3’(x) = x2. 3
′
Jadi, jika g3’(x) = x2 maka g3(x) = 𝑔3 𝑥 𝑑𝑥 =
1
1 3
𝑥 3 + 𝑐3 .
1
g4(x) = 6 𝑥 6 , didapat g4’(x) = x5. ′
Jadi, jika g4’(x) = x5 maka g4(x) = 𝑔4 𝑥 𝑑𝑥 =
1 6
𝑥 6 + 𝑐4 .
Dari uraian ini, tampak bahwa jika g‘(x) = xn, maka 𝑔 𝑥 = dituliskan
𝑥𝑛 =
1 𝑛 +1
1 𝑛 +1
𝑥 𝑛 +1 + 𝑐 atau dapat
𝑥 𝑛 +1 + 𝑐, 𝑛 ≠ −1.
Sebagai contoh, turunan fungsi f(x) = 3x3 + c adalah f ‘(x) = 9x2. Ini berarti, antiturunan dari f ’(x) = 9x2 adalah f(x) = 3x3 + c atau dituliskan + c. Uraian ini menggambarkan hubungan berikut.
3
𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 2
Jika f ’(x) = xn, maka 𝑓 𝑥
=
1 𝑛 +1
𝑥 𝑛 +1 + 𝑐, 𝑛 ≠ −1 dengan c
suatu konstanta
Contoh soal 1. Tentukanlah turunan dari setiap fungsi berikut! 1
a. f(x) = 5x2 + 10
c. f(x) = 𝑥 3 + 2𝑥
b.
d. f(x) = 4 𝑥 4 + 3 𝑥 3 + 2 𝑥 2 + 1
2 1
f(x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 5
1
1
Jawab: a. f ‘(x) = (2.5)x2 – 1 + 0 = 10x b. f ‘(x) = (3.2)x3 – 1 + (2.3)x2 – 1 - (1.4)x1 – 1 + 0 c. f ‘(x) = 3 . d. f ‘(x) = 4 .
1
𝑥 3−1 + 1 . 2 𝑥 1−1 =
2 1
𝑥 4−1 + 3 .
4
1 3
3 2
𝑥2 + 2 1
𝑥 3−1 + 2 . 2 𝑥 2−1 + 0
= x3 + x2 + x 2. Tentukanlah anti turunan x jika diketahui: a. g1’(x) = x3 b. g2’(x) = 2x6 +3 Jawab: 1
1
a. g1(x) = 3+1 𝑥 3+1 = 4 𝑥 4 + 𝑐 2
3
b. g2(x) = 6+1 𝑥 6+1 + 0+1 𝑥 0+1 =
2 7
𝑥 7 + 3𝑥 + 𝑐
B. Integral Tak Tentu Pada bagian sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval [a, b] sedemikian hingga
𝑑 (𝐹 𝑥 ) 𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 , maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c. Secara
matematis, ditulis 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 di mana: 𝑑𝑥
= Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan.
f(x)
= Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya.
c
= Konstanta
Sebagai contoh, dapat kita tuliskan
4
𝑥3 𝑥 𝑑𝑥 = +𝑐 3 2
Karena
𝑑
𝑥3
𝑑𝑥
3
+ 𝑐 = 𝑥2
Sehingga kalian dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Pengertian tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema- teorema berikut yang akan membantu dalam pengerjaan hitung integral.
Teorema 1 Jika n bilangan rasional dan n ≠-1, maka konstanta.
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
1 𝑛 +1
𝑥 𝑛+1 + 𝑐 di mana c adalah
Teorema 2 Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Teorema 3 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Teorema 4 Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Teorema 5 Aturan integral substitusi Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka
𝑢 𝑥
𝑟
1
𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑟 + 1 (𝑢 𝑥 )𝑟 + 𝑐, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
5
Teorema 6 Aturan integral parsial Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 −
𝒗 𝒅𝒖
Teorema 7 Aturan integral trigonometri cos x dx = sin x + c sin x dx = −cos x + c
1 cos 2 x
dx = tan x + c
di mana c adalah konstanta
Contoh Hitunglah integral dari (3𝑥 2 − 3𝑥 + 7) 𝑑𝑥! Jawab: (3𝑥 2 − 3𝑥 + 7)𝑑𝑥 = 3 𝑥 2 𝑑𝑥 − 3 𝑥 𝑑𝑥 + 7 𝑑𝑥 (Teorema 2,3, 4) =
3 2 +1
𝑥 2+1 −
3 1+1
𝑥 1 + 1 + 7𝑥 + 𝑐 (Teorema 1)
3
= 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑐 3
Jadi, (3𝑥 2 − 3𝑥 + 7)𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑐.
B.1. Aturan Integral Substitusi Aturan integral substitusi seperti yang tertulis di Teorema 5. Aturan ini digunakan untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
6
Contoh Hitunglah integral dari: a.
𝑥 9 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥
b.
𝑥
𝑑𝑥
Jawab: a. Misalkan u = 9 – x2, maka du = -2x dx 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 = −2 𝑥 9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
9 − 𝑥2
1 2
𝑑𝑢 −2
1
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑢2 3
1 1 1 2𝑢2 =− 𝑢2 𝑑𝑢 = − × +𝑐 2 2 3 1 2 2 1 = − × 𝑢3 × + 𝑐 = − 𝑢 𝑢 + 𝑐 2 3 2 1 = − 9 − 𝑥2 9 − 𝑥2 + 𝑐 3
Jadi,
1
𝑥 9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 3 9 − 𝑥 2
9 − 𝑥 2 + 𝑐.
1
b. Misalkan 𝑢 = 𝑥 = 𝑥 2 𝑑𝑢 1 −1 1 = 𝑥 2= 𝑑𝑥 2 2 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑥 𝑑𝑢, sehingga 𝑠𝑖𝑛 𝑥 sin 𝑢 𝑑𝑥 = ∙ 2 𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑥 𝑥 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐
sin 𝑢 𝑑𝑢 = −2 cos 𝑢 + 𝑐
B. 2. Integral dengan Bentuk 𝑎2 − 𝑥 2 , 𝑎2 + 𝑥 2 , dan 𝑥 2 − 𝑎2 Pengintegralan bentuk-bentuk
𝑎2 − 𝑥 2 , 𝑎2 + 𝑥 2 , dan
𝑥 2 − 𝑎2 dapat
dilakukan dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x = a tan t , x = a sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti ini.
7
𝑎2 − 𝑥 2 = a2 − a2 sin2 t = =
𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = 𝑎 cos 𝑡
𝑎2 + 𝑥 2 = a2 + a2 tan2 t = =
a2 (1 − sin2 t) a2 (1 + tan2 t)
𝑎2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = 𝑎 sec 𝑡
𝑥 2 − 𝑎2 = a2 sec 2 t − a2 = =
a2 (sec 2 t − 1)
𝑎2 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 = 𝑎 tan 𝑡
Gambar 1.1 Segitiga siku-siku untuk integral substitusi trigonometri: (i) 𝑎 2 − 𝑥 2 = 𝑎 cos 𝑡, (ii) 𝑎2 + 𝑥 2 = 𝑎 sec 𝑡, (iii) 𝑥 2 − 𝑎2 = a tan t
Contoh 1. Hitunglah setiap integral berikut! a.
sin 3𝑥 + 1 cos 3𝑥 + 1 𝑑𝑥
𝑥2
b.
9−𝑥 2
𝑑𝑥
Jawab: a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x + 1) cos (3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu 1 𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑐𝑜𝑠 ∝= sin 2 ∝. 2 Dengan rumus in kalian mendapatkan: 1 sin 6𝑥 + 2 𝑑𝑥 2
sin 3𝑥 + 1 cos 3𝑥 + 1 𝑑𝑥 = =
1 2
sin 6𝑥 + 2 𝑑𝑥
8
1 1 cos 6𝑥 + 2 + 𝑐 2 −6 1 = − cos 6𝑥 + 2 + 𝑐 12 =
1
sin 3𝑥 + 1 cos 3𝑥 + 1 𝑑𝑥 = − 12 cos 6𝑥 + 2 + 𝑐
Jadi,
𝑥
b. Misalkan, x = 3 sin t, maka sin t = 3 dan dx = 3 cos t dt. Sekarang, perhatikan segitiga berikut ini! Dari segitiga di samping, cos t =
9−𝑥 2 3
9 − 𝑥 2 = 3 cos 𝑡 𝑥2 9−𝑥
(3 sin 𝑡)2
𝑑𝑥 = 2
3 cos 𝑡
=9 =
∙ 3 cos 𝑡 𝑑𝑡
𝑠𝑖𝑛2 𝑡 = 9
1 (1 − cos 2𝑡)𝑑𝑡 2
9 9 1 (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡)𝑑𝑡 = (𝑡 − sin 2𝑡) + 𝑐 2 2 2
9 9 9 9 = 𝑡 − sin 2𝑡 + 𝑐 = 𝑡 − sin 𝑡𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐 2 4 2 4 9 𝑥 9 𝑥 9 − 𝑥2 9 𝑥 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 − ∙ + 𝑐 = 𝑠𝑖𝑛−1 − 9 − 𝑥2 + 𝑐 2 3 2 3 3 2 3 2 2. Jika 𝑔’(𝑥) = 2𝑥 − 3 dan 𝑔(2) = 1 , tentukanlah g(x).
Jawab: 𝑔(𝑥) = =
𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 2𝑥 − 3 𝑑𝑥
= 𝑥 2 − 3𝑦 + 𝑐 karena 𝑔(2) = 1, maka c dapat ditentukan sebagai berikut. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑦 + 𝑐 𝑔(2) = 22 − 3 ∙ 2 + 𝑐 1 =4−6+𝑐 1 = −2 + 𝑐 Jadi, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 3
9
3. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (−2, 12) dan memiliki persamaan 𝑑𝑦
gradien garis singgung 𝑑𝑥 = 6𝑥 − 15. Jawab: 𝑑𝑦 = 6𝑥 − 15 𝑑𝑥 𝑦=
(6𝑥 − 15) 𝑑𝑥 = 3𝑥 2 − 15𝑥 + 𝑐
𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 15𝑥 + 𝑐 Karena kurva melalui titik (−2, 12), maka: 𝑓 −2 = 3(−2)2 − 15(−2) + 𝑐 12 = 3 ∙ 4 + 30 + 𝑐 12 = 42 + 𝑐 𝑐 = 12 − 42 𝑐 = −30 Jadi, persamaan kurva tersebut adalah 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2 − 15𝑥 − 30.
Asah Kompetensi 1 1. Hitunglah setiap integral berikut! a.
2𝑥 3 𝑑𝑥
c.
b.
(4𝑥 3 + 3x + 5) 𝑑𝑥
d.
1 4
𝑥 4 + 2𝑥 3 + 3 𝑑𝑥 1
5𝑥 3 + 10𝑥 2 + 3𝑥 + 4 𝑑𝑥
2. Jika , 𝑔 𝑥 = 4𝑥 − 5 dan 𝑔(3) = 6, tentukanlah 𝑔 𝑥 . 3. Tentukanlah persamaan kurva yang melalui titik (1, −2) dan memiliki gradien garis 𝑑𝑦
singgung 𝑑𝑥 = 𝑥 − 3.
10
C. Integral Tertentu C. 1. Memahami Luas Sebagai Limit Suatu Jumlah Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batas-batasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas berikut.
Aktivitas di Kelas
1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥 2 pada interval [0,3]. 3
2. Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing ∆𝑥 = 𝑛 , memakai titik-titik 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 <… < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 3 3. Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya ∆𝑥 dan tingginya f(xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut! 4. Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut! 5. Dengan memilih ∆x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥 2 , sumbu-x, garis x = 0, dan x = 3. 6. Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan teman-temanmu!
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya. Setelah 3
membagi interval 0, 3 menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing ∆𝑥 = 𝑛 , kalian memperoleh: 𝑥0 = 0 𝑥1 = ∆𝑥 =
3 𝑛
6 𝑛 9 𝑥3 = 3∆𝑥 = 𝑛 𝑥2 = 2∆𝑥 =
⋮
⋮
𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 =
⋮ 3𝑖 𝑛
11
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah: 3𝑖 3 3𝑖 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 𝑓 × = 9− 𝑛 𝑛 𝑛
2
×
3 27 27 2 = − 3𝑖 𝑛 𝑛 𝑛
Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut. 𝐿 = 𝑓 𝑥1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 =
27
27
− 𝑛 3 12 +
𝑛
=𝑛∙
27 𝑛
−
27 𝑛3
27 𝑛
27
− 𝑛 3 22 +⋯ +
27 𝑛
⋯ ⋯ (∗) 27
− 𝑛 3 𝑛2
(12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 )
27 𝑛 𝑛 +1 (2𝑛+1)
= 27 − 𝑛 3
6
9
3
1
9
= 27 − 2 2 + 𝑛 + 𝑛 2 = 18 − 2
3
1
− 𝑛2 𝑛
Dengan memilih ∆𝑥 → 0 maka 𝑛 → ∞, sehingga akan di peroleh luas luas daerah yang dibatasi kurva 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥 2 , sumbu-x, garis x = 0, dan x = 3 sebagai berikut. 9
L(R) lim𝑛→∞ 18 − 2
3
1
+ 𝑛2 𝑛
= 18
Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut. L(𝑅𝑛 )=𝑓 𝑥1 ∆𝑥 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 ∆𝑥 Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai berikut. L(𝑅𝑛 )=
𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑥
Jika ∆𝑥 → 0, maka akan diperoleh L(𝑅𝑛 ) = lim∆𝑥→0
𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) ∆𝑥
Dengan mengambil batas daerah x1 = a dan x2 = b, maka bentuk di atas merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai L=
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Sehingga diperoleh
3 0
1
9 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 9𝑥 − 3 𝑥 3 ]30 = 27 − 9 = 18.
Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah integral tertentu terhadap
fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut. 𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = [𝑓 𝑥 ]𝑏𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
dengan: f(x) = fungsi integran a = batas bawah b = batas atas
12
𝑏 𝑎
Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 adalah
bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
Asah Kompetensi 2 1.
1 5𝑥 0
2.
1 −2
3.
3 2 𝑥 0
𝑑𝑥
𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝜋 2
sin 𝑥 𝑑𝑥
4.
0
5.
3 −3
6.
𝜋 0
𝑥 dx
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥
C. 2. Teorema Dasar Kalkulus Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus. Jika f kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 dan andaikan F sembarang antiturunan dari f pada interval tersebut, maka
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 .
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian menggunakan teorema-teorema berikut.
Teorema 1 Kelinearan Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka a.
𝑏 𝑎
b.
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
c.
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Teorema 2 Perubahan Batas Jika f terintegralkan pada interval [a, b] maka: a.
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
b.
13
𝑎 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Teorema 3 Teorema penambahan interval Jika f terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka 𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏
Teorema 4 Kesimetrian
c. Jika f fungsi genap, maka
𝑎 −𝑎
d. Jika f fungsi ganjil, maka
𝑎 𝑓 –𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2
𝑎 0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 = 0
Contoh: 1. Hitunglah
𝜋 6
0
(sin 3𝑥 + cos 𝑥) 𝑑𝑥
Jawab: 𝜋 6
𝜋 6
(sin 3𝑥 + cos 𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝜋 6
sin 3𝑥 𝑑𝑥 + 0
cos 𝑥 𝑑𝑥 (teorema 1b) 0
𝜋 6
𝜋 1 = [− cos 3𝑥]0 + [sin 𝑥]06 3 1 𝜋 𝜋 = − 𝑐𝑜𝑠 − cos 0 + 𝑠𝑖𝑛 − sin 0 3 2 6 1 1 = − ∙ −1 + 3 2 5 = 6
2. Tentukan
1 𝑥2 −1
Jawab: Oleh karena untuk f(x) = 𝑥 2 , berlaku 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥),maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 merupakan fungsi genap. Dengan menggunakan Teorema 4 diperoleh. 1
1
𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 −1
𝑥 2 𝑑𝑥 0
1 2 2 = 2[ 𝑥 3 ]10 = 13 − 03 = 3 3 3
14
Asah Kompetensi 3 1. Tentukanlah integral tertentu berikut ini! a.
5 2𝑥 1 𝜋 2
𝑑𝑥
4𝑥 + 3 + cos 𝑥 𝑑𝑥
b.
0
c.
100 −100
d.
2 0
2𝑥 − 1 3 𝑑𝑥
e.
5 0
3𝑥 2 − 5𝑥 𝑑𝑥
𝑥 5 𝑑𝑥
2. Dari fungsi f(x) berikut, hitunglah a. 𝑓 𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥
𝑥 + 2, jika 0 ≤ 𝑥 < 2 6 − 𝑥, jika 2 ≤ 𝑥 ≤ 5 4 − 𝑥 2 , jika − 3 ≤ 𝑥 < 4 2, jika 4 ≤ 𝑥 ≤ 10
b. 𝑓 𝑥 = c. 𝑓 𝑥 =
5 𝑓 0
− 9 − 𝑥 2 , jika 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 −5𝑥, jika x ≥ 3
D. Menentukan Luas Daerah D. 1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x Pada subbab c kita telah mengetahui bahwa luas merupakan limit suatu jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu.Pada subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), sumbu-x, garis 𝑥 = 𝑎 dan garis 𝑥 = 𝑏, dengan 𝑓 𝑥 = 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah sebagai berikut. L(R) =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
15
D. 2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = b, dengan f(x) = 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di subbab D.1, maka luas daerah S adalah L(S) =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
16
D. 3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x) dan sumbu-x Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a, dan garis x = c, dengan f(x) = 0 pada [a, b] dan f(x) = 0 pada [b, c],maka luas daerah T adalah
L(T) =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masing masing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1 sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x.
17
D. 4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva Luas daerah U pada gambar di bawah adalah L(U) =Luas ABEF - Luas ABCD
18
ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 sehingga Luas ABEF =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = g(x), x=a, x =b, dan y = 0 sehingga Luas ABEF =
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Dengan demikian, luas daerah U adalah 𝐿 𝑈 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
Contoh: Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 - x2, garis x = 0, dan di atas garis y = 1. Jawab: Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah U. Tentukanlah batas-batas pengintegralan, yaitu absis titik potong antara kurva y = f(x) 4 - x2 dan garis y = 1 di kuadran I. Substitusi y = 1 ke persamaan y = 4 - x2 sehingga didapat:
19
𝑏 (𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥
4 − 𝑥2 = 1 𝑥2 = 3 𝑥1 = − 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥2 = 3 Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas pengintegralannya adalah x = 0 sampai x = 3 . Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut. 3
4 − 𝑥 2 − 1 𝑑𝑥
𝐿 𝑈 = 0 3
3 − 𝑥 2 𝑑𝑥
= 0
1 = 3𝑥 − 𝑥 3 3
3 0
1 1 = 3 ∙ 3 − ∙ ( 3)3 = 3 3 − ∙ 3 = 3 3 − 3 = 2 3 3 3 Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas.
E. Menentukan Volume Benda Putar E. 1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara matematis, ditulis V=A.h
Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampang – penampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu. Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x adalah A(x) dengan a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi a x0 x1 x2 ... xn b.
20
Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu ∆ 𝑉𝑖 ≈ 𝐴(𝑥)∆𝑥i dengan 𝑥i-1 ≤ 𝑥i ≤ 𝑥i . 𝑛 Dengan jumlah yang kalian dapatkan 𝑉 ≈
𝑉=
𝑏
𝑓 𝑥
2
𝑡=1
𝐴(𝑥i)∆𝑥i , kemudian akan mejadi
𝑑𝑥.
𝑎 A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa lingkaran, maka A(x) = 𝜋𝑟 2 jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat dinyatakan sebagai 𝑉=𝜋
𝑏
𝑓 𝑥
2
𝑑𝑥 .
𝑎 Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi df(x), sumbu-x, garis x a, garis x b, dengan a b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah 𝑏
𝑉=𝜋
𝑓 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑎
E. 2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x f(y), sumbu-y, garis x = a, garis x b, dengan a <b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V. 𝑏
𝑉=𝜋
𝑓 𝑦
2
𝑑𝑦
𝑎
21
Contoh Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 2 sumbu-x, dan sumbu-y diputar 360° terhadap: a. sumbu-x b. sumbu-y Jawab: a. Volumenya adalah: 2
𝑉=𝜋
(4 − 𝑥 2 )2 𝑑𝑥 = 𝜋
0
2
16𝑥 − 8𝑥 2 + 𝑥 4
0
8 1 = 𝜋 16𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥 5 3 5 =𝜋
2 0
8 1 16 ∙ 2 − ∙ 23 + ∙ 25 − 0 3 5
= 𝜋 32 −
64 32 256 + = 𝜋 3 5 15
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x adalah
256 15
𝜋 satuan volume.
b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan kurva y = 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y. 𝑦 = 4 − 𝑥2 ⇒ 𝑥2 = 4 − 𝑦 Volume benda putar tersebut adalah 4
𝑉=𝜋 0
1 4 − 𝑦 𝑑𝑦 = 4𝑦 − 𝑦 2 2
4 0
= 𝜋
4∙4−
1 2 ∙4 −0 2
= 𝜋 16 − 8 = 8𝜋 Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-y E. 3. adalah Menentukan Volume 8 𝜋 satuan volume. Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x 22
Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x seperti yang telahdijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalahsebagai berikut.
𝑏
𝑉 𝑇 =𝜋
𝑓 𝑥
2
− 𝑔 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑎
Contoh
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2, sumbu-y, garis x =2, dan y = 1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x Jawab: Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume nya adalah 2
𝑉 =−𝜋
( −1
2
− (𝑥 − 2)2 ) 𝑑𝑥
0 2
= −𝜋
1 − (𝑥 2 − 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥
0
1 = − 𝜋 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 3 =−𝜋
2 0
8 2 +8−6 −0 = 𝜋 3 3
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar mengelilingi sumbu-x adalah 2 3
𝜋 satuan volume.
23
E.4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan
𝑓 (𝑦) ≥
𝑔(𝑦) pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah dijelaskan di subbab E.1, maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.
𝑏
𝑉 𝑈 =𝜋
𝑓 𝑦
2
− 𝑔 𝑦
2
𝑑𝑦
𝑎
Contoh 1
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 − 2, sumbu-x, garis x = 0, dan garis x = 4 diputar 360° mengelilingi sumbu-y. Jawab:
Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas pengintegralan, 1
yaitu ordinat titik potong antara kurva y = 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 − 2 dan garis x = 4. 1
Substitusi x = 4 ke persamaan y = 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 − 2 sehingga diperoleh, 1
y = 𝑓 𝑥 = 4 ∙ 4 − 2 = −1 Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y = -1 sampai y = 0 Oleh karena daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka kalian harus menyatakan persamaan kurva 1
𝑦 = 𝑥 − 2 menjadi persamaan x dalam variabel y. 4
24
1
Dari 𝑦 = 4 𝑥 − 2 1 𝑥 =𝑦+2 4 𝑥 = 4𝑦 + 8 Jadi, volume benda putar tersebut adalah 0
𝑉=𝜋
( 4𝑦 + 8
2
−1
2
− 4 ) 𝑑𝑦 + 𝜋
−1 0
=𝜋
−1
16𝑦 2 + 64𝑦 + 48 𝑑𝑦 + 𝜋
−1
=𝜋 0−
16 ∙ −1 3
16 ∙ −1 3
= −𝜋 −
−1
16𝑦 2 + 64𝑦 + 64 𝑑𝑦
−2
16 3 =𝜋 𝑦 + 32𝑦 2 + 48𝑦 3
𝜋
(4𝑦 + 8)2 𝑑𝑦
3
3
0
16 3 +𝜋 𝑦 + 32𝑦 2 + 64𝑦 3 −1
+ 32 −1
+ 32 −1
16 − 16 + 𝜋 3
2
2
+ 48 −1
+ 64 −1
−
−
−1 −2
+
16 ∙ −2 3
3
+ 32 −2
2
+ 64 −2
16 16 + 32 − 64 − ∙ 8 + 128 − 128 3 3
1 16 80 = 21 𝜋 + 𝜋 = 𝜋 3 3 3 Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U diputar mengelilingi sumbu-y adalah
80 3
𝜋 satuan volume.
25
Asah Kemampuan Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut ini. Kemudian, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah tersebut diputar 360° mengelilingi sumbu-x dan volume jika diputar 360° mengelilingi sumbu-y. 1. 𝑦 = −𝑥, sumbu x, garis 𝑥 = 0, dan garis 𝑥 = 6 𝜋 3𝜋
2. 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 pada interval
2
,
2
dan sumbu x
3. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 64, sumbu 𝑥, sumbu 𝑦 4. 𝑦 2 = 10𝑥, 𝑦 2 = 4𝑥, dan 𝑥 = 4 1
5. 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 3 + 2, 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥, dan 𝑥 = 2
RANGKUMAN 1. Bentuk umum integral tak tentu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝑐 Dengan 𝑑𝑥: lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan f(x): Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c: Konstanta 2. Rumus integral tak tentu
1
𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛 +1 𝑥 𝑛+1 + 𝑐 di mana c adalah konstanta, n ≠-1 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑟
1
𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑟 + 1 (𝑢 𝑥 )𝑟 + 𝑐, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
𝑢 𝑥
𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗 𝒅𝒖
cos x dx = sin x + c , dimana c adalah konstanta sin x dx = −cos x + c , dimana c adalah konstanta
1 cos 2 x
dx = tan x + c , dimana c adalah konstanta
3. Bentuk umum integral tertentu 𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎
di mana f kontinu pada interval a, b 26
4. Rumus-rumus integral tertentu
d.
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
e.
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
f.
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑏 𝑎
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
g.
𝑎 𝑏
𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
h.
𝑎 𝑏
i.
𝑐 𝑓 𝑎
j.
𝑎 −𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2
k.
𝑎 –𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 di mana f fungsi ganjil
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏 𝑎
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎 0
𝑐 𝑓 𝑏
𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 di mana f fungsi genap
5. Rumus luas daerah (L) yang terletak a. di atas sumbu-x
L(R) =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
b. di bawah sumbu-x 𝑏 𝑎
L(S) =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
c. di atas dan di bawah sumbu–x 𝑏 𝑎
L(T) =
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
d. di antara dua kurva 𝑏
𝐿 𝑈 =
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
(𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 𝑎
6. Volume benda putar (V) yang diputar mengelilingi a. sumbu-x 𝑏 𝑉= 𝜋
2
𝑓 𝑥
𝑑𝑥
𝑎
b. sumbu-y
𝑏
𝑉=𝜋
𝑓 𝑦
2
𝑑𝑦
𝑎
c.
sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x) 𝑏
𝑉=𝜋
𝑓 𝑥
2
− 𝑔 𝑥
2
𝑑𝑥
𝑎
d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y) 𝑏
𝑉=𝜋
𝑓 𝑦 𝑎
27
2
− 𝑔 𝑦
2
𝑑𝑦
APLIKASI INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN Definisi integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensialkan kita mulai deangan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari pernyataan asal integral ini. Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cakupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik, dan bidang lainnya. Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunkan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan voleme panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsomen. Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dan fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya. Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan, seperti dalam matematika digunaka untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan,dan analisis gayagaya pada struktur pelengkung. Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah padda kurva. Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral dan lihat gedung petronas di Kuala Lumpur atau gdung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yng menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang bebrbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, maka dipakailah rumus integral.
28
DAFTAR PUSTAKA Chairunisamath, 2013. Penerapan Integral dalam Kehidupan Sehari-hari.[Online]. Tersedia: chairunisamath.webnode.com.[14 Oktober 2014] Pesta. Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan
29
BIODATA PENYUSUN
Nama : WIDIAWATI Ttl
: Indramayu, 04 Februari 1995
Alamat: Desa Tambi Blok adan-adan Rt/Rw 11/03 No. 35 Gg. Dargol Kec. Sliyeg Kab. Indramayu. Motto : Lakukan apapun yang bisa kita lakukan
Nama : Nur Baiyiti Septiasih Ttl
: Cirebon, 25 September 1995
Alamat: Jl. Taman sari VII blok J No. 107 Rt/Rw 04/13 Kalijaga kec. Harjamukti Taman kalijaga permai, Cirebon Motto : Hidup itu pilihan, pilihan untuk tetap diam atau bergerak.
Nam : Khanifah Nurul Bahiyah
Ttl
: Cirebon, 26 September 1995
Alamat: Jln. Nyimas ending geulis blok. Sladoduku 10/05 Desa bangodua. Kec. Klangenan Kab. Cirebon Motto: Apapun yang kita lakukan hari ini, itulah takdir kita
30
DESKRIPSI KERJA KELOMPOK Desain Cover
: Khanifah Nurul Bahiyah & Nur Baiyiti Septiasih
Pencarian Materi
: Semua Anggota
Pengetikan
: Semua Anggota
Penyuntingan
: Widiawati
Percetakan
: Widiawati & Khanifah Nurul Bahiyah
31
