sloupnost (1 2 4) je vybranou podposloupnost posloupnosti A, ale nen vybranou podposloupnost posloupnosti B, tak e nen ani spole nou vybranou podposlo

INFORMATIKA Spole n vybran podposloupnost (lohy z MO { kategorie P, 17. st)

;

PAVEL T PFER Matematicko-fyzikln fakulta UK, Praha

Tentokr t se vr tme sedm let dozadu do historie matematick olympidy { kategorie P. V krajskm kole 49. ronku ( koln rok 1999/2000) byla zad na tak klasick program torsk loha na nalezen spolen vybran podposloupnosti s maxim lnm soutem. Jej e en pedstavuje typickou uk zku toho, k emu se hod technika dynamickho programov n. Jako obvykle se nejprve sezn mme se zad nm lohy v pvodnm znn:

??? Nech A = (a1 a2 : : : aM ) je posloupnost celch sel. Posloupnost A nazveme vybranou podposloupnost tto posloupnosti, jestlie vznikne z posloupnosti A vynech nm nkterch jejch len, piem poad ostatnch prvk zachov me. Spolen vybran podposloupnost posloupnost A, B je kad takov posloupnost C , kter je vybranou podposloupnost obou posloupnost A i B . 0

P klad Nech A = (1 11 2 1 4 99) B = (9 4 1 2 7 1 99). Posloupnost (1 2 1 99) je spolenou vybranou podposloupnost posloupnost A, B . PoMatematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

101

sloupnost (1 2 4) je vybranou podposloupnost posloupnosti A, ale nen vybranou podposloupnost posloupnosti B , take nen ani spolenou vybranou podposloupnost A a B . Soutn loha M me d ny dv posloupnosti kladnch celch sel A = (a1 a2 : : : aM ) a B = (b1 b2 : : : bN ) s dlkami M , resp. N . Tyto posloupnosti jsou uloeny v polch, jejich obsah nen dovoleno mnit. Uvaujme takovou spolenou vybranou podposloupnost posloupnost A a B , ve kter souet v ech jejch len je nejvt mon. Napi te program, kter vyp e souet v ech len takovto spolen vybran podposloupnosti. Poznmka Existuje algoritmus, kter tuto lohu e v ase mrnm M N a pomocn pamti, jej velikost je mrn men mu z sel M , N . P klad Vstup: M = 6, N = 7 A = (1 11 2 1 4 99) B = (9 4 1 2 7 1 99) Vstup: 103 Spolen vybran podposloupnosti se soutem 103 existuj dokonce dv: (4, 99) a (1, 2, 1, 99).

??? Primitivn e en tto lohy spov v tom, e budeme postupn generovat v echny podposloupnosti vybran z posloupnosti A, pro kadou z nich ovme, zda je tak vybranou podposloupnost posloupnosti B a pokud ano, zjistme jej souet. Z takto zskanch sout si prbn udrujeme dosaen maximum, kter je pak vsledkem lohy. Tento postup je teoreticky naprosto spr vn, nebo systematicky prozkoum v echny spolen vybran podposloupnosti obou zadanch posloupnost A, B . Programov realizace rovn nen obtn { generov n v ech vybranch podposloupnost posloupnosti A zajist nejlpe rekurzivn procedura pracujc s hloubkou rekurze M a zbvajc operace jsou ji trivi ln. Podstatnou z vadou uvedenho postupu je v ak pli velk asov sloitost. Z posloupnosti A dlky M lze toti vybrat a 2M rznch podposloupnost, nebo pro kad 102

Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

prvek posloupnosti A m me vdy dv mon volby { zda ho do pr v vybran podposloupnosti zaadme nebo nezaadme. Algoritmus m tedy exponenci ln asovou sloitost vzhledem k dlce posloupnosti A. Alespo njak asov optimalizace dos hneme, kdy za A vezmeme krat z obou zadanch posloupnost, na exponenci ln sloitosti tohoto e en to v ak nic nezmn. Zapomeneme tedy radji na slep zkou en v ech monost a k e en na lohy pistoupme jinak. Vyuijeme metodu dynamickho programov n. Ozname si symbolem Ai posloupnost prvnch i len posloupnosti A, tzn. Ai = (a1 a2 : : : ai ). Podobn Bj bude znamenat posloupnost prvnch j len posloupnosti B , tedy Bj = (b1 b2 : : : bj ). Nyn si zformulujeme obecnj lohu: pro kadou dvojici sel i, j (0 i M 0 j N ) urme maxim ln souet prvk spolen vybran podposloupnosti z posloupnost Ai a Bj . Budeme postupn e it tyto obecnj lohy pro rzn dvojice i, j a vsledky si budeme ukl dat do dvojrozmrn tabulky P 0::M 0::N ]. Hodnota P i j ] bude vdy pedstavovat e en lohy pro posloupnosti Ai a Bj . Jak je obvykl u dynamickho programov n, pi e en budeme postupovat od loh jednodu

ch k loh m sloitj m, tedy od men ch hodnot i, j k hodnot m vt m. Pi e en vt ch loh pitom budeme vyuvat ji zn m vsledky men ch loh uloen v tabulce P . Vsledkem cel pvodn lohy bude hodnota P M N ]. Tabulku P budeme vyplovat po dcch. Pi vpotu hodnot na itm dku pitom budeme vyuvat ji spotan hodnoty z pedchozho dku i ; 1. dek tabulky s indexem 0 bude obsahovat sam nuly, nebo z pr zdn posloupnosti nelze vybrat dnou podposloupost. dek s indexem i (pro i > 0) vyplnme podle pedchozho dku s indexem i ; 1 n sledovn. Prvek P i 0] bude mt zejm hodnotu nula. Prvek P i j ] (pro j > 0) dok eme spotat na z klad ji zn mch hodnot P i ; 1 j ], P i j ; 1] a P i ; 1 j ; 1]. Pokud se sla ai a bj neshoduj, kad spolen vybran podposloupnost posloupnost Ai a Bj je z rove bu! vybranou podposloupnost posloupnost Ai 1 a Bj , nebo je vybranou podposloupnost posloupnost Ai a Bj 1 . V tomto ppad je tedy prvek P i j ] roven maximu z sel P i ; 1 j ] a P i j ; 1]. Jestlie plat ai = bj , potom jednou z monch spolench vybranch podposloupnost posloupnost Ai a Bj s maxim lnm soutem je spolen vybran podposloupnost posloupnost Ai 1 a Bj 1 s maxim lnm soutem doplnn o pidan posledn len ai = bj . Hodnota P i j ] je v tomto ppad tud rovna P i ; 1 j ; 1] + ai . Popsan algoritmus m asovou sloitost O (M N ), nebo je teba ;

;

;

;


103

postupn spotat M N prvk tabulky P a vpoet kadho z nich provedeme v konstantnm ase. Pamov sloitost v e popsan implementace algoritmu je rovn O (M N ), co je velikost tabulky P . Pro stanoven vsledn hodnoty P M N ] ov em ve skutenosti celou tabulku P nepotebujeme ukl dat do pamti. Kad dek tabulky P z vis pouze na bezprostedn pedch zejcm dku, take sta pamatovat si vdy jen jej posledn dva dky. Pi ikovn programov realizaci vystame dokonce jen s jedinm jednorozmrnm polem velikosti N , ve kterm se postupn stdaj hodnoty prvk z jednotlivch dk tabulky. Takov zpsob e en ukazuje i n sledujc programov uk zka. Pamov sloitost vslednho programu je tedy pouze O (M + N ). Krom prostoru na uloen zadanch posloupnost sel A, B vyuv program pomocnou pam pouze na jeden dek tabulky P , tedy pam, jej velikost je rovna men mu z sel M , N (pokud by bylo M < N , sta zamnit poad obou zadanch posloupnost). program Podposloupnost const var

MAX

A,

B:

=

1000

{maximln dlka posloupnosti}

array1..MAX]

of integer {zkouman posloupnosti} M, N: integer {dlky posloupnost A, B} P: array0..MAX] of integer {dek tabulky} Pred: integer {pedchoz hodnota Pi-1,j-1] pi vpotu Pi,j]} X: integer {uschovn hodnoty pro Pred} i: integer {potan dek tabulky P} j: integer {potan prvek v dku P}

begin write('Poet prvk posloupnosti A: ') readln(M) write('Prvky posloupnosti A: ') for i:=1 to M do read(Ai]) writeln write('Poet prvk posloupnosti B: ') readln(N)

104


write('Prvky posloupnosti B: ') for i:=1 to N do read(Bi]) writeln

for j:=0 to N do Pj]:=0 {dek tabulky P slo 0} for i:=1 to M do {i-t dek tabulky P} begin Pred:=0 for j:=1 to N do {potme Pj] z i-tho dku} begin X:=Pj] {uschovn dosavadnho Pj]} if ai] = bj] then Pj]:=Pred+ai] {nov hodnota Pj]} else if Pj-1]>Pj] then Pj]:=Pj-1] Pred:=X {hodnota Pred pro dal prvek} end end writeln('Maximln souet spolen vybran podposloupnosti: ', PN]) end.

Nejnov j verze Cabri 3D

O pr zdnin ch se na www.cabri.com (jen ve francouzsk vtvi) objevila je t novj verze 2.1 programu Cabri 3D, ne o kter jsme referovali v minulm sle MFI (ro. 17, 2007, . 1, s. 52). Pin dal vznamnou inovaci: monost vytvoen bodu zad nm t souadnic, men povrchu v lce a kuele (nejen rotanch), skal rn a vektorov souin, stejnolehlost, kulovou inverzi, protokol o konstrukci. Program zatm komunikuje francouzsky a anglicky, esk lokalizace i esk pruka budou brzy k dispozici. Varov n pro z jemce, kte si budou novou verzi instalovat: Starou verzi je teba nejprve schovat nebo pejmenovat, jinak ji instalan program zlikviduje. Antonn Vrba Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

105

Graf funkce s parametry v Excelu VCLAV MATY Purkyovo gymnzium, Strnice vod

Excel dovede rychle a bezchybn vykreslovat grafy funkc, o kterch se studenti u na stedn kole. Navc umouje studentm (v r mci konstruktivistickho pstupu) samostatn vy etovat vzhled graf v z vislosti na mncch se parametrech ve funknch pedpisech. Ve srovn n s dobou, kdy byl ps n l nek 1], jsou nyn monosti Excelu mnohem vraznj . Zmny parametr lze e it jednodu e pomoc posuvnk$ uk eme si pomrn podrobn z kladn postup jejich zaveden a pouit pi zobrazov n graf.

y = kx + q Navrhneme zde postup, kter vede k obr. 1. Uivatel si me ov em podle svch poteb volit jin rozsahy promnnch i jin uspo d n prov dnch vpot, ale o to nyn nejde. Excel vykresluje graf funkce na z klad tabulky funknch hodnot, take je teba zat tabulkou. Z praktickch dvod je vhodn zmnit ku sloupc A a H na daj 6 (volbou Formt { Sloupec { ka). Do bunk B2 a C2 zap eme jako text z hlav tabulky: x a y. V ppad line rn funkce vme, e grafem je pmka, k jejmu sestrojen sta dva body, take zvolme dv rzn hodnoty nez visle promnn x, do B3 nap. 20, do B4 vlome 20, co budou hodnoty mimo rozsah budoucho obr zku. Hodnoty y do sloupce C tabulky vlome, a si je pipravme. Parametr k (nebudeme vyjmat hodnotu 0 pro funkci konstantn) je zad v n pohybem ukazatele na posuvnku 3]. Obr zek posuvnku vytvome klepnutm pravm tlatkem my i na volbu Formt v roletov nabdce Excelu, pak levm tlatkem zad me volbu Formul e, ve svisl tabulce klepneme levm tlatkem na ikonu posuvnku (tento popis se n m po nastaven kurzoru na ikonu vyp e) a pak znovu levm na plochu Excelu. Tm se posuvnk (ve svisl poloze) a s vyznaenm (koleka na okraji obr zku) objev na plo e. V plo e posuvnku se kurzor zmn na k a po stisknut levho tlatka my i meme celm posuvnkem v plo e posunoLinern funkce

106


vat. Po uchopen levm tlatkem za oznaen posuvnku (k kurzoru se zmn na dvoj ipku) meme pohybem kurzoru zmnit polohu (svisl { vodorovn ) a velikost posuvnku. Oznaen posuvnku meme kdykoliv zru it stisknutm levho tlatka my i mimo obr zek posuvnku a naopak meme posuvnk kdykoliv oznait stisknutm pravho tlatka v obr zku posuvnku. (Oznaen posuvnk meme zru it zad nm volby Vyjmout my nebo Delete z kl vesnice.) Pro n obr. 1 umstme posuvnk do 3. dku pes buky E3, F3, G3. M me-li obr zek posuvnku ji nastaven v poadovan velikosti a poloze, zad me krajn hodnoty parametru k (zde nap. od ;50 do 50) a n zev buky, ve kter se bude zobrazovat aktu ln mezihodnota pro parametr k nastaven na posuvnku (zde H2). Ozname posuvnk (nen-li), stiskneme prav tlatko a volme Formt ovldacho prvku. Objev se tabulka, v n zad me hodnoty 0 pro volbu Nejni hodnota, 1000 pro volbu Nejvy hodnota, 1 pro volbu P rstkov zmna a oznaen buky H2 pro dek Propojen s bu kou. Pi pohybu posuvnkem se tedy bude v H2 objevovat mezihodnota pro parametr k v intervalu 0$ 1000 a s krokem 1.

; ; ; ; Obr. 1


107

Excel nepovol zad n z pornch hodnot krajnch bod ani prstkovou zmnu v slech s desetinnou rkou. My v ak chceme, aby se parametr k mnil v intervalu h;50$ 50i a s citlivost na desetinu jednotky a proto musme posuvnkovou mezihodnotu pepotat. Teprve do buky F2 proto budeme vypot vat aktu ln hodnoty parametru k podle vzorce pro linern transformaci =0,1*H2-50, kter je d na body 0$ ;50] a 1000$ 50] (tj. podle pmky y = ax + b, kde smrnice a = 50 ; (;50)]=(1000 ; 0) = 0 1$ b = 50 ; 0 1 1000 = ;50). Pro vt pehlednost je t zap eme do buky D3 krajn hodnotu ;50, do H3 jako text krajn hodnotu 50 a do E2 text k=. Tent postup volme pro parametr q. Pro obr. 1 umstme posuvnk do 6. dku pes buky E6, F6, G6. M me-li ji obr zek posuvnku v poadovan velikosti a poloze, zad me krajn hodnoty pro parametr q (zde nap. od ;20 do 20) a n zev buky, ve kter se bude zobrazovat aktu ln mezihodnota pro parametr q nastaven na posuvnku (zde H5). Do buky F5 budeme vypot vat aktu ln hodnoty parametru q podle vzorce pro linern transformaci =0,04*H5-20, kter je d na body 0$ -20] a 1000$ 20] (tj podle pmky y = ax + b, kde smrnice a = 20 ; (;20)]=(1000 ; 0) = 0 04$ b = 20 ; 0 04 1000 = ;20). Opt pro vt pehlednost je t zap eme do buky D6 krajn hodnotu ;20, do H6 jako text krajn hodnotu 20 a do E5 text q=. Buka F2 tak obsahuje aktu ln hodnotu parametru k, kterou meme v poadovanm rozsahu a s poadovanm krokem mnit pohybem posuvnku. (Jemnj ho, ale pomalej ho posunu na posuvnku dos hneme poklep v nm na ipky na jeho okrajch.) Podobn buka F5 obsahuje q. Nyn meme doplnit tabulku. Do buky C3 zad me vzorec =F2*B3+ +F5 a stejn tak do C4 zad me =F2*B4+F5, m vypot me do C3, C4 y-ov hodnoty k danm hodnot m x. Tm jsou y-ov souadnice obou bod zobrazovan pmky sv z ny s hodnotami parametr k, q nastavovanmi svmi posuvnky. Tabulku zar mujeme stejn, jak to dl Word, tj. vyzname r movanou oblast a kliknutm levou my zad me volby Formt, Bu ky, Ohranien a zvolme typ or mov n (Excel ukazuje monosti). Chceme-li volit poet desetinnch mst pro sla v tabulce, vyzname oblast, v n chceme form t sel zadat, levm tlatkem my i zad me volby Formt, Bu ky, slo, Druh: slo, z pisem nebo ipkami nastavme poadovan poet desetinnch mst a potvrdme OK. 108


A nyn vytvoen obr zku. Vyzname oblast tabulky, z n chceme obr zek kreslit (v na em ppad celou tabulku 2 2 i se z hlavm), levm tlatkem my i klikneme na ikonu Prvodce grafem a zad me: Typ grafu: XY bodov, vybereme podtyp grafu (v na em ppad: Bodov s datov mi body spojen mi pomoc spojnic a bez znaek) a zad me Dal . U tak mal tabulky, jak je na obr. 1 Excel nkdy v dal tabulce Prvodce grafem (tj. tabulce 2/4) chybn ozna jako Oblast dat: dky a v tom ppad kliknutm pevolme na Sloupce a zad me Dal . V tabulce 3/4 zad me n zev grafu (y = kx + q), ozname osy x, y a zad me Dal resp. Dokonit. Excel nakresl obr zek, kter je t upravme podle svch pedstav. Jestlie klikneme pravm tlatkem my i na sla popisujc osu x a zad me volbu Formt osy, ve volb na z loce M tko zad me (pro obr. 1), Minimum (;10), Maximum (10) a krok znaen { Hlavn jednotka (5 pro obr. 1) pro osu x. Podobnm zpsobem meme po kliknut pravm tlatkem na nkter slo popisujc osu y upravovat jej mtko a popisy$ pro obr. 1 zad me tot jako pro osu x. V te tabulce meme na z loce Psmo volit velikost, typ a barvu popis os a na z loce slo poet desetinnch mst pro sla popisujc osy. Klikneme-li pravm tlatkem my i na ru grafu (na obr. 1 pmku), meme ve volb Formt datov ady na z loce Vzorky zadat styl, barvu a ku zvolen ry grafu (nap. zvolit jej vt tlou ku) a zru it (bylo-li kreslen bod tabulky pi tvorb grafu pvodn zad no) resp. naopak zvolit kreslen, velikost a form t (tvar) bod tabulky (Excel napovd monosti). Podobn meme po kliknut pravm tlatkem my i do oblasti popis os, legendy a nadpisu grafu upravovat jejich form ty a polohu. Velikost (dlku) jednotky na ose x resp. y vykreslovanho grafu meme ovlivnit jednak v e uvedenmi pkazy ve volb Formt osy (tj. zad nm minim ln a maxim ln popisovan hodnoty na ose x rep. y), jednak tm, e kliknutm pravm tlatkem my i obr zek ozname a taenm za nkter z jeho roh (kurzor je ve tvaru dvoj ipky) upravme velikost a pomr jeho stran (podobn jako u posuvnku). Zpravidla tm chceme dos hnout toho, aby jednotky na obou os ch byly stejn a aby tedy u student vznikly standardn pedstavy o grafech (nap. e pmka y = x je osou I. a III. kvadrantu). Oznaen obr zek meme posunovat v plo e Excelu (kurzor ve tvaru kku), opt podobn jako u posuvnku. Jestlie nyn mnme pomoc posuvnk parametry k a q, mn se odpovdajcm zpsobem graf, a studenti se uitm tto lohy mohou vnovat Matematika - fyzika - informatika 17 2007/2008

109

matematice a vy etov n vztahu mezi parametry a polohou zobrazen pmky. Podobnm zpsobem, jako byl v e pops n, jsou zad v ny posuvnky k vytvoen obr zk i u dal ch graf funkc. Kvadratick funkce

y = ax2 + bx + c

Pro line rn funkci jsme si 'norm ln( postup trochu zjednodu ili vzhledem k tomu, e jsme jako graf funkce oek vali pmku. U jinch funkc si v ak musme podit obs hlej tabulku$ lze pak zvolit takov zpsob zobrazen, e Excel spoj vypoten body a kivku 'vyhlad(. Pro vykreslen grafu kvadratick funkce (paraboly) vytvome tabulku, do jejho z hlav opt umstme psmeno x do B2 a y do C2. )ku sloupc tabulky opt zme na 6. Chceme-li nyn napklad dle obr. 2, aby nez visle promnn x rostla od hodnoty ;2 s krokem 0,1 po hodnotu 2, zad me odpovdajc aritmetickou posloupnost do sloupce B tabulky obr. 2 takto: do buky B3 zap eme jako slo hodnotu ;2 a do B4 zad me vzorec =B3+0,1, take se n m v B4 objev slo ;19, stiskneme lev tlatko my i v dolnm pravm rohu buky B4 a taenm vyplnme lev dl tabulky a po B43, kde se vyp e hodnota 2 (Vyplujeme-li odhadem a 'pet hneme(, vymaeme sloupec pebytench hodnot po oznaen kl vesou Delete). Tabulku meme vytvoit i nadvakr t, nejprve po 0 (pokud se n m neuk e v buce B23 hodnota 0, opravme ji na 0, do buky B24 zad me vzorec =B23+0,1 a tento vzorec opt taenm roz me a po B43. Pak vytv me posuvnky pro koe*cienty a, b a c a umstme je do dk 3, 6 a 9 do bunk ve sloupcch E, F a G. V buk ch H2 resp. H5 resp. H8 nastavujeme mezihodnoty posuvnk vytvoench podobn jako v pedchoz sti, a v buk ch F2 resp. F5 resp. F8 hodnoty a, b, c. Volme (dle obr. 2) a 2 h;10$ 10i, b 2 h;20$ 20 i c 2 h;10$ 10i, take do uvedench bunk F vkl d me =0,02*H2;10, resp. =0,04*H520, resp. =0,02*H8;10. Do 1. buky tabulky C3 pak vlome hodnotu funkce: =$F$2*B3^2+ +$F$5*B3+$F$8. Ve vzorci jsou adresy bunk F zad ny jako absolutn (se znaky $), protoe chceme, aby hodnoty odpovdajcch koe*cient a, b, c zst valy pi vyplov n sloupce C taenm nemnn, adresa B3 je naopak zad na jako relativn, protoe odpovdajc x-ov souadnice bod grafu se m pi stejn akci mnit. Po zad n vzorce se do C3 vyp e hodnota dle nastaven posuvnk a taenm za prav doln roh tto buky vyplnme sloupec C pro v echna x zadan ve sloupci B. 110


; ; ; Obr. 2

Pi zad v n grafu v obr. 2 byl ve volb Prvodce grafem, Typ grafu: (XY bodov), vybr n podtyp grafu Bodov s datov mi body spojen mi pomoc hladk ch spojnic a bez znaek. (Kdybychom poadovali vykreslen bod tabulky v grafu, volili bychom jinou pslu nou monost.) Nakonec opt tak, jak bylo uvedeno pro line rn funkci, upravme v obr zku rozsahy x a y a sjednotme mtka na os ch. Kdy studenti vy etuj vztahy mezi parametry a tvarem a polohou grafu, zjist, e v ppad koe*cientu b a t c pro b 6= 0 nen tento vztah n zorn ani jednoduch a nelze ho rozpoznat pokusy na potai. Je proto vhodn pejt ke 'klasice( a pro a 6= 0 si odvodit:

2 2 b ax + bx + c = a x + 2a + c ; 4ba = a(x ; r)2 + s 2


111

kde r$ s] jsou, jak se uk e, souadnice vrcholu paraboly. Vztahy 2 r = ; 2ba s = c ; 4ba

skuten nebylo mono odvodit manipulac s posuvnky. (V imnme si tak, e pro a = 0 dost v me funkci line rn nebo konstantn.) Pro studenty me bt docela instruktivn zabvat se kvadratickou funkc i ve tvaru y = a(x ; r)2 + s. Vytvoen jejho grafu (obr. 3) neobsahuje u dn dal problmy.

; ; ; Obr. 3

Tmto zpsobem meme zn zorovat grafy i dal ch funkc. Nap. vykreslen funkce y = d + a sinb(x + c)] s tm, e parametry a, b, c, d mnme na posuvncch a sledujeme jejich vliv na prbh kreslen 112


kivky nap. pro x 2 h0 $ 360 i, nen sloitj ne pedchoz pklad kreslen paraboly. Tato funkce nem body nespojitosti, jej funkn hodnoty se mn v intervalu hd + a$ d ; ai a pro jej vznam nap. ve fyzice je uiten ji takto vykreslit. Je v ak teba d vat pozor na to, e Excel pracuje s hly v obloukov me, take chcemeli pracovat v me stupov, je teba velikost hlu (zadanho nap. v B3) pepotat na radi ny a pak hodnotu sin dostaneme v C3 uloenm vzorce =SIN(PI()/180*B3) nebo jednodu eji =SIN(RADIANS(B3)). Funkci SIN najdeme v roletov nabdce Excelu, zad me-li (v e levm tlatkem my i) Vloit, vybereme Funkce a v tabulce Vybrat kategorii funkce Matematick, pak z abecedn azenho seznamu Vybrat funkci vybereme SIN(), potvrdme OK a na dek v nabdnut tabulce slo (argumenty funkce) zap eme PI()/180*B3 nebo RADIANS(B3). Pi kreslen vt ho potu kivek do jednoho obr zku lze s vhodou pout barevn odli en kivek. (Excel je s m navrhne, navc po kliknutm pravm tlatkem my i na uritou kivku grafu meme ve volb Formt datov ady zadat jinou poadovanou barvu ry.)

Literatura

1] Hvoreck, J.: Tabulkov kalkultory a grafy. MFI, r. 3 (1993/94), . 1, s. 41 { 47.

2] Bro, M. { Broov , P.: Excel, zkladn prvodce uivatele. Computer Press, Praha, 1996.

3] Pecinovsk, J.: Excel 2002, podrobn prvodce pokroil ho uivatele. Grada, Praha, 2002.

Z HISTORIE Od termodynamiky Rudolfa Clausia k po tkm kvantov fyziky Maxe Plancka K zsadnmu rozvoji termodynamiky dolo ve 2. polovin 19. stolet. Motivem tu bylo nalezen souvislosti mezi pohybovou energi molekul a teplem, vedouc ke

snaze vysvtlit tepeln dje ryze mechanicky. Souasn ale vyvstal probl m pi zjitn, e za uritch podmnek nelze teplo jako energii v soustav znovu vyut. Zkon zachovn energie sice splnn byl, ale pemna sti tepla na jinou formu energie byla v uritch ppadech vylouen. Jak se ukazovalo, mezi tepelnm pohybem molekul a pohybem makroskopickch tles pece jen odlinosti jsou. Zkladnmi zkony termodynamiky jsou ti vty. Prvn je aplikac zkona zachovn energie na teplen jevy a v podob


113

sloupnost (1 2 4) je vybranou podposloupnost posloupnosti A, ale nen vybranou podposloupnost posloupnosti B, tak e nen ani spole nou vybranou podposlo

Recommend Documents