Bab VI VI.1
Skenario Randal-Sundrum dan Brane Bulk
Pendahuluan
Bab ini bertujuan untuk menggeneralisasi hasil yang diperoleh untuk sistem dua buah brane, dengan memperluas skema perturbasi yang telah dibahas pada Bab V untuk skenario tiga buah brane dan mencari teori efektif energi rendah dalam model ini. Perluasan menjadi tiga buah brane atau lebih adalah termotivasi dari teori string dan teori-M yang secara alamiah mengijinkan untuk skenario multibrane. Dalam model Ekpirotik-Siklus (Khoury, dkk., 2001; Steinhardt dan Turok, 2002), brane ketiga dapat dihasilkan oleh salah satu dari sistem dua buah brane yang berada pada titik-titik tetap orbifold, kemudian bertumbukan dengan brane yang lain. Model ini memberikan alternatif model big bang standar.
Model yang ditinjau dalam bab ini secara skematik diperlihatkan pada Gambar VI.1, dengan pembahasan adalah sebagai berikut: Sub Bab VI.2 geometri untuk sistem tiga buah brane dibahas. Syarat junction untuk sistem diturunkan untuk masing-masing brane dengan menggunakan pendekatan geometri seperti dibahas dalam Bab IV. Selanjutnya, persamaan gerak 5-dimensi diselesaikan dengan menggunakan iterasi ekspansi gradien untuk ekspansi orde-0 dan orde-1. Persamaan medan gravitasional efektif diturunkan pada sub Bab VI.3. Sub Bab VI.4 membahas aspek kosmologi dengan menurunkan persamaan Friedmann pada masing-masing brane. Persamaan-persamaan medan gravitasional pada brane terkait dengan teori gravitasi skalar-tensor diturunkan pada sub Bab VI.5. Sub Bab VI.6 merangkum hasil-hasil pembahasan dalam bab ini.
VI.2
Model Tiga Buah 3-brane
Pasal ini membahas tiga buah 3-brane yang dimasukkan dalam ruang waktu 5dimensi sebgai perluasan untuk kasus yang telah dibahas pada pasal-pasal sebelumnya. Ditinjau tiga buah 3-brane yang sejajar dalam sebuah ruang yang memiliki konstata kosmologi negatif. Seperti juga dalam kasus-kasus sebelumnya, dimensi ke-5 memiliki geometri orbifold ditempatkan di
(brane-A memiliki tegangan brane
115
dan brane ),
(C-brane
memiliki tegangan brane
) dan
(brane-B memiliki tegangan brane
).
Untuk kasus ini, brane-A dan brane-B ditempakan pada titik-titik tetap dari orbifold
, sedangkan brane-C dapat bebas berada di antara kedua brane,
brane-A dan brane-B. Daerah diantara dua buah brane, yaitu daerah A , masing-masing dicirikan oleh skala kurvatur
daerah B
besarnya berbeda-beda,
dan
dan yang
. Dengan mengasumsikan bahwa metrik pada
masing-masing brane dapat dihubungkan melalui sebuah transformasi konformal maka secara prinsip dengan memperoleh persamaan-persamaan gravitasional pada salah satu brane akan dapat diperoleh persamaan-persamaan gravitasional pada dua brane yang lainnya.
Brane-A
Brane-C
dA
Brane-B
dB
Simetri Z2
Simetri Z2
Gambar VI.1 Sistem tiga buah 3-brane.
Berikut ini diturunkan persamaan gerak Einstein untuk masing-masing brane dari sistem tiga buah 3-brane. Aksi yang menggambarkan konfigurasi sistem ini diberikan oleh
116
(VI.1)
di mana ,
dan
berturut-turut menyatakan kuantitas 5-dimensi untuk skalar
Ricci, konstanta gravitasional dan determinan dari metrik. Metrik (
) adalah metrik induksi pada masing-masing brane, sedangkan
menyatakan tegangan masing-masing brane. Karena besarnya skala kurvatur bulk berbeda untuk kedua sisi dari brane yang di tengah:
dan
, maka metrik pada
kedua daerah bulk adalah berbeda. Untuk konfigurasi tiga buah brane sistem koordinat yang dipilih adalah (VI.2) Seperti juga untuk kasus dua buah brane jarak wajar antara dua buah brane sekarang menjadi (VI.3) Dan jarak wajar total diberikan oleh (VI.4) Variasi terhadap metrik dari persamaan aksi (VI.1) dan menggunakan sistem koordinat (VI.2), menghasilkan persamaan gerak berikut:
(VI.5)
117
(VI.6)
(VI.7) Di dalam persamaan di atas skala kurvatur masing-masing daerah dari ruang bulk 5-dimensi. brane dan
dipilih bersesuaian dengan adalah kurvatur pada
menyatakan turunan kovarian terhadap metrik
. Ketika metrik
berubah di antara daerah pada bulk maka diperlukan sebuah suku pada aksi batas yang bergantung pada trace dari kurvatur ekstrinsik.
Pada masing-masing brane kontribusi dari tensor kurvatur ekstrinsik diberikan oleh: (VI.8) (VI.9) (VI.10) Untuk memperoleh persamaan-persamaan di atas telah digunakan asumsi bahwa brane A dan brane B memenuhi simetri
tetapi brane C tidak memenuhi simetri
. Arah dari medan vektor normal ke sebuah brane memiliki arah yang sama yaitu ke arah positif . Dengan menggunakan dekomposisi kurvatur ekstrinsik persamaan (V.77), diperoleh empat buah persamaan yang diselesaikan untuk masing-masing orde ekspansi:
(VI.11)
118
(VI.12) (VI.13) (VI.14) Selanjutnya syarat jucntion persamaan-persamaan (VI.8), (VI.9) dan (VI.10) menjadi (VI.15)
(VI.16)
(VI.17) Persamaan-persamaan di atas menentukan dinamika gravitasional dalam system tiga buah brane.
VI.2.1 Solusi Orde-0 Untuk solusi orde ke-0, dengan mengabaikan materi pada brane, persamaan yang diselesaikan adalah: (VI.18) (VI.19) (VI.20) (VI.21) Dan syarat junction diberikan oleh (VI.22)
119
(VI.23)
(VI.24) Dengan mengintegrasi persamaan (VI.18) dan menggunakan persamaan kendala (VI.21), maka solusi bagian traceless dari kurvatur ekstrinsik orde-0 diperoleh (VI.25) Sisipkan persamaan (VI.25) ke persamaan (VI.19), maka bagian trace dari kurvatur ekstrinsik diberikan oleh (VI.26) Tanda "
" menyatakan solusi dari masing-masing daerah ruang-waktu bulk.
Dengan menyisipkan persamaan (VI.25) dan persamaan (VI.26) pada definisi tensor kurvatur ekstrinsik diperoleh (VI.27) Untuk solusi orde-0, persamaan (VI.27) menghasilkan evolusi tensor kurvatur ekstrinsik pada daerah-daerah berbeda dari ruang-waktu bulk dan masing-masing terkait dengan dua nilai berbeda skala kurvatur
,
dan
.
Dari definisi tensor kurvatur ekstrinsik dan menggunakan persamaan (VI.27) maka metrik untuk masing-masing daerah bulk akan memberikan solusi yang berbeda. Dalam hal ini, persamaan yang diselesaikan adalah: (VI.28) (VI.29) Integrasi persamaan di atas menghasilkan metrik untuk orde-0 yaitu (VI.30) di mana (VI.31)
120
Disini, integrasi dikerjakan dari sebuah titik sembarang dimensi ekstra ke sebuah titik
dalam koordinat
sedemikian sehingga
merupakan jarak wajar diantara titik sembarang
dan . Tensor
adalah tensor
metrik induksi yang bergantung pada koordinat brane. Di dalam persamaan (VI.30) faktor
tidak lain adalah faktor konformal yang menghubungkan
metrik-metrik pada masing-masing brane, (VI.32) di mana
dan
,
berturut-turut
merupakan metrik induksi pada brane-C, brane-A dan brane-B. Solusi metrik orde-0 persamaan (VI.30) dapat digunakan sebagai basis untuk memperoleh persamaan-persamaan gerak yang dilinearisasi. Sebagai contoh, sebuah ansat untuk radion yang dapat menyelesaikan persamaan gerak yang dilinearisasi dalam 5-dimensi dengan dua buah brane dapat dipilih
. Jadi
metrik yang telah dipilih konsisten dengan metrik yang diberikan oleh Charmousis, dkk., (2000). Dengan fluktuasi kecil pada metrik (VI.30), dapat pula diperoleh metrik yang dikaji oleh Kogan, dkk., (2000). Sistem koordinat Gaussian yang diperumum telah ditunjukkan oleh Pilo, dkk., (2000) untuk sistem dua buah brane.
Dari syarat junction persamaan (VI.22) dan persamaan (VI.24) diperoleh hubungan antara tegangan brane-A dan brane-B dengan kurvatur bulk sebagai berikut: (VI.33) Definisikan
, syarat junction (VI.23) menghasilkan (VI.34)
Seperti halnya untuk kasus satu atau dua buah brane yang telah dibahas pada Bab V, persamaan (VI.33) dan persamaan (VI.34) adalah syarat ketertalaan dalam sistem tiga buah brane yang memberikan hubungan antara tegangan brane dan skala kurvatur
. Untuk brane di tengah (brane-C), tegangan brane terkait
dengan dua skala kurvatur
. Ini sebagai akibat dari ketidaksimetrian dari dua
121
permukaan pada brane-C, tidak memenuhi simetri
. Syarat junction untuk
solusi orde-0, persamaan (VI.22) - (VI.24), juga memberikan implikasi untuk tegangan-tegangan pada brane. Ketiga tegangan brane memenuhi persamaan berikut: (VI.35) Model dua buah brane (RS I) dapat diperoleh dengan mengambil brane-C menjadi tidak ada dalam konfigurasi di atas,
. Untuk
di mana maka
yang berhubungan dengan inflasi brane-C (Gregory, dkk., 2000; Lykken dan Randall, 2000).
VI.2.2 Solusi Orde-1 Pada orde-1, solusi dapat diperoleh dengan mengambil suku-suku yang diabaikan pada orde-0. Tensor Ricci sekarang muncul di dalam persamaan (VI.11) dan (V.12), sehingga dapat diprediksikan bahwa pada orde ini persamaan Einstein dapat diperoleh. Persamaan yang diselesaikan adalah:
(VI.36)
(VI.37) (VI.38) (VI.39) di mana superskrip “1” pada kurung siku menyatakan orde dari ekspansi gradien. Untuk orde-1, syarat junction diberikan oleh (VI.40)
(VI.41)
122
(VI.42) Disini,
,
dan
adalah tensor-tensor energi-momentum yang masing-
masing terkait dengan metrik induksi pada brane-A, brane-C dan brane-B. Selanjutnya tensor Ricci
dari sebuah metrik
dihitung dengan
menggunakan simbol Christoffel, (VI.43) di mana
menyatakan turunan kovarian terhadap metrik
. Dengan
menggunakan persamaan di atas, tensor Ricci dengan metrik diberikan oleh
(VI.44)
Dengan mengkontraksi indeks
dan
persamaan (VI.44), maka diperoleh
persamaan untuk skalar Ricci, (VI.45) Sedangkan, tensor Ricci dan skalar Ricci dengan metrik
, berturut-
turut diberikan oleh
(VI.46)
(VI.47) Di dalam persamaan (VI.44) – (VI.47) suku kinetik dari medan skalar dinyatakan dalam ungkapan jarak wajar sebagai berikut:
123
(VI.48)
Substitusi persamaan (V.45) ke persamaan (VI.37) menghasilkan solusi sisi negatif dari brane-C untuk bagian trace kurvatur ekstrinsik, (VI.49) Untuk memperoleh bagian traceless tensor kurvatur ekstrinsik orde-1 persamaan (VI.45) dan persamaan (VI.48) disubstitusikan ke persamaan (VI.36) kemudian di integrasi sehingga menghasilkan,
(VI.50)
di mana
adalah sebuah konstanta integrasi yang memenuhi
dan
. Solusi sisi positif dari brane-C diberikan oleh (VI.51)
(VI.52)
di mana
adalah sebuah konstanta integrasi yang memenuhi . Konstanta-konstanta integrasi,
124
dan
dan
merupakan suku-suku
non lokal yang berhubungan dengan proyeksi pada brane dari tensor Weyl 5dimensi. Suku ini membawa informasi medan gravitasional pada bulk.
VI.3
Persamaan Gerak Efektif pada Brane
Di dalam sub bab ini diturunkan persamaan gerak efektif pada masing-masing brane dengan mensubstitusikan persamaan dari tensor kurvatur ekstrinsik ke syarat junction (VI.40) – (VI.42). Lenyapnya trace tensor Weyl terproyeksi, , menghasilkan peramaan gerak untuk medan-medan skalar radion.
VI.3.1 Persamaan Gerak pada Brane-C Brane-C atau brane bulk tidak memenuhi simetri
, suku traceless tensor
kurvatur ekstrinsik pada brane ini menjadi asimetrik dan memiliki dua buah nilai yang berbeda pada kedua sisinya. Dengan menggunakan persamaan (VI.49) – (VI.52) serta persamaan-persamaan Einstein pada sisi negatif dan positif, , syarat junction pada brane-C dapat dinyatakan sebagai berikut: (VI.53) Syarat junction pada brane-A diberikan oleh
(VI.54)
dan pada brane-B diperoleh
(VI.55)
di mana
menyatakan turunan kovarian terhadap metrik induksi pada brane-C.
Persamaan (VI.54) dan persamaan (VI.55) diperoleh dengan menggunakan transformasi konformal dari metrik terhadap sisi negatif dari brane-C dan braneA serta sisi positif brane-C dan brane-B,
125
(VI.56) Indeks dari tensor-tensor energi-momentum,
dan
dinaikan dan diturunkan
masing-masing oleh metrik induksi pada kedua sisi brane-C, sedangkan tensortensor energi-momentum,
dan
adalah tensor-tensor energi-momentum
dengan indeks yang dinaikan dan diturunkan berturut-turut oleh metrik induksi pada brane-A dan brane-B. Untuk memperoleh persamaan gerak efektif pada brane-C, persamaan (VI.54) dikurangkan dengan persamaan (VI.55). Hasilnya kemudian disubstitusikan ke persamaan (VI.53), maka diperoleh
(VI.57)
Dua buah medan skalar yang muncul pada persamaan di atas didefinisikan oleh (VI.58) (VI.59) Sisipkan persamaan (VI.57) berturut-turut ke persamaan (VI.54) dan persamaan (VI.55), persamaan evolusi dari kedua konstanta integrasi adalah:
(VI.60)
(VI.61)
di mana
126
(VI.62)
(VI.63) Persamaan-persamaan (VI.60) dan (VI.61) berhubungan dengan ketidakkontinuan dari persamaan evolusi untuk tensor Weyl pada masing-masing daerah. Kuantitas pada daerah negatif berhubungan dengan evolusi menuju brane-A dan kuantitas
pada daerah positif berhubungan dengan evolusi menuju brane-B.
Persamaan-persamaan gerak efektif untuk medan-medan skalar
dan
diperoleh dengan menggunakan syarat traceless proyeksi tensor Weyl, dan
. Maka diperoleh
(VI.64)
(VI.65)
Tampak bahwa persamaan-persamaan gerak efektif untuk medan-medan skalar radion
dan
bergantung pada sumber dari kedua brane, brane-A dan
brane-B, yang berarti bahwa persamaan tersebut tidak bebas.
VI.3.2 Solusi pada Brane Orbifold: Brane-A dan Brane-B Persamaan-persamaan gerak efektif untuk brane-C, brane-A dan brane-B, dapat diperoleh dengan menggunakan transformasi konformal persamaan (VI.56). Terhadap metrik induksi pada brane-A, syarat junction pada masing-masing brane menghasilkan (VI.66)
127
untuk brane-A,
(VI.67)
untuk brane-C dan untuk B-brane adalah
(VI.68)
di mana
adalah turunan kovarian terhadap metrik induksi pada brane-A.
Dengan mengeleminasi
dan
, maka persamaan gerak efektif pada brane-
A diberikan oleh
(VI.69)
di mana (VI.70)
128
(VI.71)
(VI.72) Disini dua buah medan skalar didefinisikan sebagai berikut: (VI.73) Persamaan gerak efektif pada brane-A bersama-sama dengan syarat junction menghasilkan ungkapan lain dari
dan
,
(VI.74)
(VI.75)
Syarat traceless untuk kedua medan skalar
dan dan
menghasilkan persaman gerak efektif , (VI.76) (VI.77)
129
Persamaan gerak efektif pada brane-B dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan persamaan gerak pada brane-A, namun sekarang digunakan transformasi konformal terhadap metrik induksi pada brane-B. Syarat junction pada brane-A adalah
(VI.78)
dan syarat junction pada brane-C diberikan oleh
(VI.79)
di mana
menyatakan turunan kovarian terhadap brane-B. Syarat junction pada
brane-B menghasilkan (VI.80)
Dengan mengeliminasi
dan
dari persamaan (VI.78) dan (VI.79),
persamaan gerak efektif pada brane-B diberikan oleh
130
(VI.81)
di mana
(VI.82)
(VI.83)
(VI.84) Dua buah medan skalar di dalam persamaan di atas didefiniskan sebagai berikut: (VI.85) Solusi untuk
dan
diperoleh berturut-turut dengan mensubstitusikan
persamaan (VI.81) ke persaman (VI.78) dan persamaan (VI.79),
(VI.86)
dan
131
(VI.87)
Kemudian persamaan gerak untuk medan skalarnya adalah (VI.88) (VI.89)
Metode substitusi langsung yang digunakan untuk menurunkan persamaanpersamaan efektif di atas memberikan gambaran bahwa ketika dinamika pada salah satu brane diketahui, maka dinamika pada dua buah brane yang lainnya dapat diperoleh. Dengan kata lain dinamika gravitasi pada masing-masing brane tidak bebas. Persamaan transformasinya dapat digantikan oleh kaidah transformasi untuk medan-medan skalar radion yang diberikan oleh persamaan-persamaan berikut: (VI.90)
Di dalam sub-bab berikut ini, sebagai realisasi dari ekspansi sampai pada orde-1, dikaji konsekuensi kosmologi dari dinamika radion dengan menurunkan persamaan Friedmann pada masing-masing brane.
VI.4
Persamaan Friedmann pada Brane
Tinjau sebuah metrik induksi pada brane diberikan oleh metrik FriedmannRobertson-Walker, (VI.91)
132
di mana komponen waktu dan ruang dari persamaan Einsten diperoleh (VI.92) (VI.93) dan adalah kurvatur spasial,
.
Asumsikan bahwa tensor energi-momentum dari materi pada brane dinyatakan oleh
,
, maka persamaan medan pada brane-C dapat
diberikan oleh persamaan berikut:
(VI.94)
(VI.95)
dan persamaan-persamaan gerak untuk medan radion adalah (VI.96)
(VI.97) Definisikan dua parameter tak-berdimensi (VI.98) Dengan menggunakan persamaan (VI.94) dan persamaan (VI.95) serta mengeliminasi
dan
dari persamaan (VI.96) dan persamaan (VI.97) maka
diperoleh persamaan Friedmann yang pertama,
133
(VI.99) Integrasi persamaan di atas diperoleh persamaan Friedmann kedua (VI.100) di mana
adalah konstanta integrasi. Suku kedua pada ruas kanan persamaan
(VI.100) diinterpretasikan sebagai radiasi gelap.
Selanjutnya dapat pula diturunkan persamaan Friedmann pada brane-A di mana metrik Friedmann-Robertson-Walker diberikan oleh persamaan (VI.91). Dari persamaan (VI.69), komponen waktu persamaan Einstein menghasilkan
(VI.101)
di mana
didefinisikan sebagai berikut (VI.102)
Dan komponen waktu dari suku kinetik medan skalar diberikan oleh (VI.103) (VI.104) (VI.105) Sedangkan komponen ruang persamaan Einstein (VI.69) menghasilkan
(VI.106)
di mana
134
(VI.107) (VI.108) (VI.109) Dengan menyisipkan berturut-turut persamaan-persamaan (VI.103) – (VI.105) ke persamaan (VI.101) dan persamaan-persamaan (VI.107) – (VI.109) ke persamaan (VI.106), maka diperoleh
(VI.110)
dan
(VI.111)
dengan persamaan gerak medan radion
dan
diperoleh dari persamaan
(VI.76) dan persamaan (VI.77), (VI.112)
(VI.113)
Substitusi persamaan (VI.112) dan persamaan (VI.113) ke persamaan (VI.111) menghasilkan
135
(VI.114) Maka persamaan Friedmann termodifiksi oleh suku radiasi gelap adalah (VI.115) dengan
adalah konstanta integrasi. Untuk memperoleh persamaan Friedmann
pada brane-B dilakukan langkah-langkah yang sama seperti sebelumnya, dengan persamaan Einstein pada brane-B adalah:
(VI.116)
dan
(VI.117)
di mana
didefinisikan oleh (VI.118)
Dalam memperoleh persamaan (VI.116) dan persamaan (VI.117) telah digunakan komponen-komponen suku kinetik medan skalar: (VI.119) (VI.120) (VI.121)
136
(VI.122) (VI.123) (VI.124)
Persamaan-persamaan gerak untuk medan-medan skalar untuk mengeliminasi turunan kedua Turunan kedua
dan
dan
and
digunakan
di dalam persamaan Einstein.
diberikan sebagai berikut: (VI.125)
(VI.126)
Dengan menyelesaikan persamaan Einstein untuk brane-B diperoleh persamaan Friedmann dengan mengintegrasi persamaan berikut terhadap waktu (VI.127) yaitu (VI.128) di mana
VI.5
adalah sebuah konstanta integrasi.
Gravitasi Skalar-Tensor pada Braneworld
Pada pasal sebelumnya telah diturunkan persamaan-persamaan gerak efektif dalam sistem tiga buah brane. Berikut ini ditunjukan bahwa persamaan medan gravitasional pada sistem ini dapat diperoleh dari gravitasi skalar-tensor. Berikut ini digunakan persamaan medan gravitasional pada brane-C untuk memperoleh gravitasi skalar-tensor dengan dua medan skalar bebas.
137
Dari persamaan (VI.57) dapat dilihat bahwa sebuah kuantitas
dapat
didefinisikan sebagai medan skalar tak berdimensi, (VI.129) disini adalah satuan panjang sembarang. Karena medan-medan skalar
dan
berhubungan dengan jarak wajar, definisi dari medan skalar (VI.129) terkait jarak efektif pada brane-C. Kemudian, medan skalar lain dapat juga didefinisikan sebagai fungsi dari kedua medan skalar
dan
, (VI.130)
Berikut ini diturunkan persamaan gerak efektif pada brane-C yang dapat dinyatakan kembali seperti persamaan di bawah ini:
(VI.131)
di mana
dan
adalah kopling fungsional yang bergantung pada
.
Eleminasi dari suku-suku campuran pada persamaan di atas menghasilkan persamaan kendala berikut: (VI.132) Dengan menggunakan persamaan (VI.132) maka persamaan (VI.130) menjadi
(VI.133)
Dilain pihak, dengan menyisipkan persamaan (VI.129) ke persamaan (VI.57) dapat diperoleh
138
(VI.134)
Hubungan antara koefisien-koefisien di dalam persamaan (VI.133) dan persamaan (VI.134) adalah
(VI.135)
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan kendala (VI.132) maka diperoleh persamaan dalam bentuk (VI.136) Persamaan ini memilki solusi (VI.137) Solusi pertama pada persamaan di atas menghasilkan lenyapnya koefisien persamaan (VI.133) dan persamaan (VI.134). Akhirnya diperoleh sebuah solusi, (VI.138) Dengan mensubstitusikan persamaan (VI.138) ke persamaan (VI.132) diperoleh persamaan diferensial untuk , (VI.139) Agar
hanyalah fungsi dari , maka persamaan (VI.139) haruslah memenuhi: (VI.140)
Maka diperoleh solusi untuk , (VI.141)
139
Akhirnya, persamaan gerak efektif pada brane-C dapat dinyatakan oleh persamaan berikut:
(VI.142)
di mana (VI.143) Aksi efektif untuk brane-C yang berhubungan dengan persamaan gerak efektif (VI.142) dapat diturunkan dari aksi berikut
(VI.144)
di mana
,
dan
berturut-turut menyatakan Lagrangian yang terkait
dengan brane-A, brane-C dan brane-B. Aksi di atas menggambarkan sebuah aksi gravitasi skalar-tensor dengan bagian skalarnya dinyatakan oleh suku kinetik nontrivial dari dua buah medan-medan radion sebagai fungsi dari jarak wajar dan bagian tensornya dinyatakan oleh metrik induksi pada brane.
VI.6
Rangkuman
Di dalam bab ini telah ditinjau sistem tiga buah brane yang dimasukkan di dalam ruang waktu bulk AdS 5-dimensi, dalam koordinat normal Gaussian yang digeneralisasi. Brane-A dan brane-B ditempatkan pada titik-titik tetap dari orbifold sedangkan brane-C berada diantaranya. Daerah bulk antara dua buah brane memiliki skala kurvatur AdS yang berbeda. Dengan menggunakan metode
140
ekspansi gradien, persamaan gerak efektif pada orde-1 dianalisis dengan keberadaan medan-medan skalar radion. Persamaan gerak radion diperoleh dengan mengambil trace dari tensor Weyl terproyeksi pada brane. Hal ini dapat dipandang sebagai sebuah realisasi untuk memperoleh persamaan tertutup pada brane. Hasil yang signifikan dalam model tiga buah brane adalah evolusi dari tensor Weyl tidak kontinu pada bulk oleh keberadaan brane-C. Dari syarat juction pada brane-C diperoleh dua hubungan bebas yang mengijinkan evolusi dari tensor Weyl pada masing-masing daerah bulk. Teori efektif yang dihasilkan adalah teori Brans-Dicke yang digeneralisasi dengan dua buah medan skalar radion. Hasil juga menunjukkan bahwa interpretasi yang diberikan untuk medan radion dalam dua buah brane dapat digeneralisasi menjadi tiga buah brane atau lebih dengan tambahan satu atau lebih derajat kebebasan medan skalar. Hasil yang signifikan dalam sistem multi brane yaitu derajat kebebasan medan skalar memberikan sebuah realisasi teori efektif pada masing-masing brane. Hal ini tidak diperoleh untuk sistem satu buah brane.
Aspek kosmologi ditinjau dengan menurunkan persamaan Friedmann dengan koreksi radiasi gelap melalui eleminasi langsung medan-medan radion dalam persamaan Einstein. Bentuk dari persamaan Friedmann untuk masing-masing brane adalah serupa dan hanya dibedakan oleh koreksi suku radiasi gelap. Hal ini menunjukkan konsistensi dari persamaan Einstein pada braneworld. Karena turunan kedua terhadap waktu dari faktor skala adalah positif, maka alam semesta mengalami sebuah percepatan oleh keberadaan radiasi gelap. Sehingga model ini dapat digunakan untuk menjelaskan hasil pengamatan alam semesta saat ini yang mengembang dan dipercepat.
141
