Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan
N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real
N: 1,2,3,…. Z: …,-2,-1,0,1,2,.. Q:
q=
a , a, b ∈ Z , b ≠ 0 b
R = Q ∪ Irasional Contoh Bil Irasional
2 , 3, π MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) 2
-3
0 1
π
Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
3
Selang Jenis-jenis selang Himpunan
{x x < a} {x x ≤ a} {x a < x < b} {x a ≤ x ≤ b} {x x > b} {x x ≥ b} {x x ∈ ℜ}
selang
(- ∞, a )
Grafik a
(- ∞, a]
a
(a, b) [a, b] (b, ∞)
a
b
a
b b
[b, ∞)
b
(∞, ∞) MA 1114 Kalkulus 1
4
Sifat–sifat bilangan real • Sifat-sifat urutan : q Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y q Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z q Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pertidaksamaan l Bentuk umum pertidaksamaan : A(x ) D(x ) < B (x ) E ( x )
l dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
MA 1114 Kalkulus 1
6
Pertidaksamaan l Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
l Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( x) <0 Q( x) MA 1114 Kalkulus 1
7
Pertidaksamaan 2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat 3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear) . Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 ≥ 2 x − 3 ≥ 5 13 + 3 ≥ 2 x ≥ 5 + 3 16 ≥ 2 x ≥ 8
8≥ x≥4 4≤ x≤8 Hp = [4,8]
4 MA 1114 Kalkulus 1
8 9
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2
− 2 < 6 − 4x ≤ 8 − 8 < −4 x ≤ 2
8 > 4 x ≥ −2 − 2 ≤ 4x < 8
1 − ≤x<2 2
⎡ 1 ⎞ Hp = − ,2 ⎟ ⎢ 2 ⎣ ⎠
−
1
MA 1114 Kalkulus 1
2
2
10
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 2 2 x − 5x − 3 < 0 3
(2x +1)(x − 3) < 0
1 Titik Pemecah (TP) : x = − dan 2 ++
--
−
1
x=3
++ 3
2
⎛ 1 ⎞ Hp = ⎜ − ,3 ⎟ ⎝ 2 ⎠ MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6 dan 6 − 7 x ≤ 3 x + 6 2x − 4 ≤ 6 − 7x
2x + 7x ≤ 6 + 4 9 x ≤ 10
10 x≤ 9 10 x≤ 9
dan − 7 x − 3 x ≤ −6 + 6
dan
− 10 x ≤ 0
dan
10 x ≥ 0
dan
x≥0 MA 1114 Kalkulus 1
12
10 ⎤ ⎛ Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∩ [0, ∞ ) 9 ⎦ ⎝
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
⎡ 10 ⎤ Hp = ⎢0, ⎥ ⎣ 9 ⎦ MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 < 5. x + 1 3x − 1 1 2 − <0 x + 1 3x − 1 (3x − 1) − (2 x + 2) < 0 (x + 1)(3x − 1) x −3 <0 (x + 1)(3x − 1) 1 ,3 TP : -1, − 3
--
++ -1
−1
-3
++ 3
⎛ 1 ⎞ Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎜ − ,3 ⎟ ⎝ 3 ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x +1 x ≤ 2− x 3+ x x +1 x − ≤0 2− x 3+ x
(x + 1)(3 + x ) − x(2 − x ) ≤ 0 (2 − x )(3 + x )
2x2 + 2x + 3 ≤0 (2 − x )(x + 3)
MA 1114 Kalkulus 1
15
Untuk pembilang 2 x 2 + 2 x + 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++
--
-3
Hp =
2
(∞,−3)∪ (2, ∞) MA 1114 Kalkulus 1
16
Pertidaksamaan dgn nilai mutlak l Definisi :
⎧ x , x ≥ 0 x = ⎨ ⎩− x , x < 0 Arti Geometris |x| : Jarak dari x ke titik 0(asal)
MA 1114 Kalkulus 1
17
Pertidaksamaan nilai mutlak l Sifat-sifat nilai mutlak: 1 2
x = x2
3
x ≤ a, a ≥ 0 ↔ − a ≤ x ≤ a x ≥ a, a ≥ 0 ↔ x ≥ a atau x ≤ − a
4
x ≤ y
5
x x = y y
↔ x2 ≤ y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y ≤ x + y
x− y ≥ x − y MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x − 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
⇔ −3 < 2 x − 5 < 3 ⇔ 5 − 3 < 2x < 3 + 5 ⇔ 2 < 2x < 8 ⇔1< x < 4 Hp = (1,4)
1 MA 1114 Kalkulus 1
4 19
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x − 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. 2
⇔ (2 x − 5) < 9 2
⇔ 4 x − 20 x + 16 < 0 ⇔ 4 x 2 − 20 x + 25 < 9 2 ⇔ 2 x − 10 x + 8 < 0
⇔ (2x − 2)(x − 4) < 0
++
-1
Hp =
++ 4
(1,4)
TP : 1, 4 MA 1114 Kalkulus 1
20
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi 3.
2x + 3 ≥ 4x + 5
Kita bisa menggunakan sifat 4 2
2
⇔ (2 x + 3) ≥ (4 x + 5) 2
2
⇔ 4 x + 12 x + 9 ≥ 16 x + 40 x + 25 2 ⇔ −12 x − 28 x − 16 ≥ 0 2 ⇔ 3x + 7x + 4 ≤ 0 TP :
4 , -1 − 3
MA 1114 Kalkulus 1
21
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
--
−4
3
++ -1
4 Hp = ⎡− , ∞ ⎞⎟ ∩ (− ∞,−1] ⎢ 3 ⎣ ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4.
x +7 ≥ 2 2
x ⇔ +7 ≥ 2 2 x ⇔ ≥ −5 2
⇔ x ≥ −10
atau atau atau
[
x + 7 ≤ −2 2 x ≤ −9 2
x ≤ −18
]
Hp = −10, ∞) ∪ (− ∞,−18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 Kita definisikan dahulu :
⎧ x + 1 x ≥ −1 x + 1 = ⎨ ⎩− x − 1 x < −1
⎧ x − 2 x ≥ 2 x − 2 = ⎨ ⎩2 − x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I
(− ∞,−1) -1
II
III
[− 1,2)
[2, ∞) 2 MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < −1
(− ∞,−1) 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 atau
⇔ 3(2 − x) − (− x − 1) ≥ −2 ⇔ 6 − 3x + x + 1 ≥ −2 ⇔ 7 − 2 x ≥ −2 ⇔ −2 x ≥ −9 ⇔ 2x ≤ 9 9 ⇔x≤ 2
atau
9 ⎤ ⎛ ⎜ − ∞, ⎥ 2 ⎦ ⎝ MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = ⎛⎜ − ∞, ⎤⎥ ∩ (− ∞,−1) 2 ⎦ ⎝
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (− ∞,−1) sehingga Hp1 = (− ∞,−1)
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval − 1 ≤ x < 2
atau
[− 1,2)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x) − (x + 1) ≥ −2 ⇔ 6 − 3x − x − 1 ≥ −2 ⇔ 5 − 4 x ≥ −2 ⇔ −4 x ≥ −7
⇔ 4x ≤ 7 7 ⇔x≤ 4
7 ⎤ ⎛ atau ⎜ − ∞, ⎥ 4 ⎦ ⎝ MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = ⎛⎜ − ∞, ⎤ ∩ [− 1,2 ) ⎥ 4 ⎦
⎝
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7 ⎤ bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡
⎢− 1, 4 ⎥ ⎣ ⎦
⎡ 7 ⎤ sehingga Hp2 = ⎢− 1, ⎥ 4 ⎦ ⎣ MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval
x≥2
atau
[2, ∞)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 ⇔ 3(x − 2) − (x + 1) ≥ −2
⇔ 3x − 6 − x − 1 ≥ −2
⇔ 2 x − 7 ≥ −2 ⇔ 2x ≥ 5 5 ⇔x≥ 2
atau
⎡ 5 ⎞ ⎢ 2 , ∞ ⎟ ⎣ ⎠ MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = ⎡ 5 , ∞ ⎞⎟ ∩ [2, ∞ ) ⎢
⎣ 2
⎠
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡ 5 ⎞ sehingga ⎢ 2 , ∞ ⎟
⎣
⎡ 5 ⎞ Hp3 = ⎢ , ∞ ⎟ ⎣ 2 ⎠
MA 1114 Kalkulus 1
⎠
30
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 ∪ Hp2 ∪ Hp3
⎡ 7 ⎤ ⎡ 5 ⎞ Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎢− 1, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ ⎣ 4 ⎦ ⎣ 2 ⎠ Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5 4
4
5
2
2
7 ⎤ ⎡ 5 ⎞ ⎡ Jadi Hp = ⎢− ∞, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 4 ⎦ ⎣ 2 ⎠ ⎣ MA 1114 Kalkulus 1
32
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x − 2 ≥ 1− x 4 − 2x
7. x + 1 − x + 2 ≤ 2
x − 2 x +1 ≤ 2 2 x x+3
3 2 − x + 3 − 2x ≤ 3 4 x +1 2 + 2 x + 2 ≥ 2 5 2x + 3 ≥ 4x + 5 6 x + 3x ≤ 2 MA 1114 Kalkulus 1
33
