sirnnu Es TEruBELI MOZGAS
,,Mivdgre vannak (ik, a Mercator pdlusok ds uz egtenlittik, A tr6'pusok, zdndk s u sok Fiild-szelet?" A hirndk emlgyen kdrdi, s a sokasdg azt feleld: " ,Ezek csupdn egyezminyes jelek! Lewis Carroll (Snark vadilszat) (Farkas Lilszl6 fordit6sa)
3.1.Bevezet6s A kiivetkez6kben a pontszerf r6szecsk6k mozg6s6nak vizsgillatht k6t 6s h6rom dimenzi6s mozg6sokra terjesztjiik ki. Az 6ltal6nos t6rbeli mozg6s legtobb alapvet6 saj6toss6gak6tdimenzi6s mozg6sokn6l is megjelenik, ez5tt tobbnyire sikbeli mozg6sokkal foglalkozunk. Az eddigiekben definiSltuk a mozg6s kinematikai jellemz6it: azx elmozduldst,a v sebess6get6s az a gyor' sul6st. Mindh6rom mennyis6gnekvan nagys6ga6s ir6nya. Az ilyen mennyis6gekleir6s6raa sikban 6s a t6rben a vektorok szolg6lnak.
3.2 K6tdimenzi6s koordinftarendszerek 6s a helyzetvektor Egy sikbeli pont helyzet6nek megad6s6ra leggyakrdbban a derdt<szdg{i (Descartes-fele), vagy a sikbeli poldrkoordindtarendszert haszn6ljuk. E k6t koordindtarendszert mutatja be a 3-l 6bra. A der6kszogii (x, y) koordin6tik azon szakaszokhosszilval egyeznek meg, amelyeket a vizsghlt pontb6l a tengelyekre bocs6tott mer6leges egyeneseka tengelyekb6l lemetszenek.Az (r, b/ pol6rkoordin6trlkjelent6se a kovetkez6: r az orig6t az adott P ponttal oszszekot6 szakaszhossza, a 0 polirsziig pedig az OP egyenesnek a pozitiv x tengellyel bezilrt sziige. A sziiget az x tengelyt6l az 6ramutato jdrdsdval ell ent6tes ir dnyban m6rjiik. A P pont helyzetilt k6nyelmesen magadhatjuk egy adott koordin6tarendszerben felvett vektorral is. A vektorokat irdnyukkal ds nagtsdgukkal jellemezztik. Miiveleti szab{rlyaikraa k6s6bbiekben visszat6riink. Geometriailag a vektorok irfnyitott szakaszok, amelyeket nyillal ilbrinolunk. A nyil hegye mutatja a vektor irinyilt, a szakaszhossza pedig a nagys6g6t.A frzikai mennyis6geket reprezentill6 vektorok fontos saj6tossriga,hogy nagys6guk
(a)
sin0: # y cos0:l
Eo:+ (b)
3-l 6bra a) A P pont derdl<szcigtl(vagy Descartes) koordindtdi (x, y) 6,ssikbeli po ldrkoordindt di (r, 0). b) Der6ks zogii h6romsziigre vonatkoz6 trigonometriai osszefiigg6sek.
42 z tsikbeli6stdrbelimozses
mellett meg kell adni a megfelel6 fizikai mennyis6gdimenzi6j6t. p6ldriul a 3-2 ibrin jelzett r helyzetvektor a P pont helyzetetmutatja meg a koordiniitarendszerorigojrihozk6pest.Az r vektor cstcspontjdbol a tengelyekrebocsiitott merdlegeseka tengelyekbcil6ppen a P pont x 6s y kordinrltriit metszik ki. A tengelyekre vett vetrileteket nevezzik az r vektor der6ksziigfi vagy Descartes f6le komponenseinek (iissszetevdinek).A vektorok osszetev6it rendre x-szel es y-nal jeloljiik. Az osszetevdk6rt6ke pozitiv is 6s negativ is lehet attol fi.igg5en,hogy a komponensaz origotol milyen iriinyba mutat. A 3-2 6.}.ra vektorok komponenseiksegits6g6velegyertelmiienmagadhatok.A kompoAz r helyvektor 6s x, y komponensei. nensek meghat6roz|shta vektor komponensekre bontisfnak nevezztik. A helyzetvekorkijeloli a P pont helyet Nyomtatiisban a vektorokat fett bettikkel (r), klziritsban pedig a betiijel fiol6 az orig6hoz k6pest. htzott kicsiny nyillal ( r ) jeloljiik. A helyzetvektornagysiigrinak(abszohit ert6kenek)jeloles6repedig az lrl, 1ll.r szimbolumokathaszn6ljuk.Egyszerii trigonometriaiosszefiigg6sek segits6g6velbel6thato,hogy a der6kszogiies a poliirkoordin6t6kkozott a kovetkez6osszefiiggesek rillnak fenn:
x = r c o s g, = " r l U* t l y-rsinl rye-:
t/,,/
A
2A +A (-A) (-2A)
3-3 dbra Vektorok szorzasaskal6rral.A -l-gyel valo szorz6ssal a vektor negatiujat (ellentettjet) kapjuk. Ez azt jelenti, hogy az A 6s a -A vektorok abszolft 6rt6ke azonos, de iriinyuk ellent6tes. (A k6t vekort antiparalellnekis nevezzrik.)
(3-1)
l
ahol 0 a pozitiv x iriinytol az 6ramutatojirdsi:al ellent6tesiriinybanm6rt szog. A vektorok nagys5gasz6mokkal (skal6ris mennyisegekkel)valo szorz6ssalnovelhetS,vagy csokkenthetcj. A -l-gyel val6 szorziishat6s6raa vektor ir6nya ellent6tesreviiltozlk A 3-3 irbra ezeketa miiveleteket illusztr6lja. (Vegytik 6,szre,hogy a skal6rralvalo osztdstnem sziiksegesdefinirilni, hiszen ez megegyezikaz egynll kisebb sz6mokkaltort6n6 szorzdssal.)A vektorok skal6r osszetevSi- mint azt a kcivetkez6peldiiban megmutaduk - a szogfiiggv6nyekre vonatkozo elSjelszabdtyokszerint vesznek fel pozitiv vagy negativerteket.
A 3-4 6brin l6thato r helyzetvektornagysiiga0,1 m 6s iriinya 150 fokos szoget zhr be a pozitiv x tengely iriinyiival. Hatirozzuk meg a vektor de16kszogiikomponenseit.
MEGOLDAS Az itbraszerinta der6kszogiikomponenseka kovetkez6k: x rjsszetevS: x : r cos I 50" : (0,10m)(cos 150"): -0,0866 m y d s s z e te v S y ;:r si n l 50o : (0,1t0m)(si n 150" ): 0,0500m
+
Az (r, 0) sfkbeli polar koordindtarendszerbena 0 szcigeta pozitiv x tengelyt6l az 6ramutat6 j|ris|val ellent6tes iriinyban merjiik. Egyes esetekbena probl6ma egyszenibbes vil6gosabbmegfogalmaz6s6tsegiti, ha az irbrin nemcsak az x tengelyt6l, hanem mds tengelyektcit mert szdgeketis bejeldliink.
I
3-4 i.}.ra A 3-l pllddhoz.
A vektorok alkalmazilsinaktalin legfontosabboka az,hogy a vektori6lis alakban felirt egyenletek az adott vonatkoztatdsirendszerbentetszcilegesen vdlasztott koordinatarendszer esetdn ervenyesefr.Mindegy teh6t, hogy der6kszogii, illetve sikbeli vagy t6rbeli polilrkoordiniltiikat haszn6lunk. A vektorjelol6sa matematikaiformul6kat rendkivi.ilegyszerfiv6teszi, bizonyos
3.3 AAr elmozduldsvektor
43
6rtelemben lehilmozza a sz6mit6sokr6l azokat a neh6zkesr6szleteket,amik egy speci6lis koordindtarendszerbeli reprezentilci6val jiirnak, s igy a fizikai tartalom viliigosabban 6llhat el6ttiink. A fizika sok modern 6g6bankeriilnek szembe szinte leki.izdhetetlen neh6zs6gekkel, ha az eleg6nsan egyszerii vektoriilisjelol6srendszernem 6llna rendelkez6siinkre. Mindezek mellett a vektor6lisjelol6s tov6bbi m6ly kapcsolatotmutat a fizikai torv6nyek rendkivtil fontos tulajdonsilga a koordiniitarendszer eltolilsilval 6s elforgatasiivalszembeniinvariancia.Ezaztjelenti,hogy afrzlkai torv6nyek matematikai kifejez6se v|ltozatlan marad, ha a koordin6tarendszert eltotjuk (a rendszer orig6jrinak helye megvilltozik, a koordinilta tengelyek irinya azonbanaz eredeivel pfirhuzamosmarad), vagy elforgatjuk (a tengelyek t6rbeli iriinya elfordul). Mivel a vektorok hasonl6 invariancia tulajdonsiigokkal rendelkeznek, a vektorsz6mitils igen sok ftzikai elm6let ki fejtesekor ide6li s matematik ai eszkoztj elent.
3.3 A Ar elm ozdulitsvektor A 3-5 6bra egy gorbe vonalon mozg6 r6szecskepiiyili* mutatja az (x,, yr) koordin6tiljt, r, helyzetvektorir P, kezdSpontt6l, az (x2, yr) koordini$|jt r, helyzetvektoru P, vlgpontig. A k6t pont kozotti piilya t6nyleges alakjritol fiiggetleni.ilaz ered6elmozdulist a Ar vektorral definidljuk. Vegyiik 6szre, hogy az elmozduliisvektornagys6ganem a'gorbe pitlyin megtett ut hossz6val, hanem a kezd6 es a vegpont kozotti legrovidebb utat jelentci egyenes szakaszhossz6val egyezlk meg. A Ar elmozdul6svektortaz x 6s az y ir6ny menti elmozdul6sokkalis kifejezhetjiik.Ehhez be kell vezetniink az i, i es 2 egys6gvektorokat,amelyek egys6gnyi hosszris6gitak'es nincsen dimenziojuk. A 3-6 irbra az egysegvektorokalkalm azdsirtillusztriilja. Az i, i es 2 egys6gvektorta kover betri feletti kalappaljeloljiik. E vektorok nagysiiga6s ir6nya nem v6ltozik es b6rmilyen mennyis6gjelolesdreis haszndljuk6ket, dimenziojuk sincscsup6n ir6nyok jelzesereszolg6lnak.Altaklban minden C vektor leirhato a C,6s C,
Ut vonal
3-5 6bra A gorbtilt piiyhn Pftol Pr-ig mozgo Ar elmozdul6svektora. 16szecske
derekszogiikomponensekkel,vagy a C,|. 6t Cr! vektorosszetev6kkel'
a) A z *, 6s i e g y s e g - b) Egydimenziosvekto- c) Egy k6tdimenziosB vektor, amelynek rok kifejezhetSka vektoroknak dimenkoorDescartes-fele koorDescartes-f6le zi6ja nincs,hosszuk B,6s Bufeliregydin6t6i az es din6t6juk egys6gnyi,ir6nyuk a hatoa B .i 6s B ri s6gvektor szorzata' megfelelStengely kent. vektorkomponensek pozitiv ir6nya. osszegek6nt.
Az egys6gvektorok i, ! 6s 2 jelol6se helyett szok6sosu, i,ies f szimb6lumok haszn6lata is. Ugy ttinik azonban, hogy a halad6k szhmarairott konyvek szerz6i a koordin6ta tengelyek 6s a megfelel6 egys6gvektorok azonos betiivel val6 jeltil6s6re tcirekednek.A rend6s ,,,,,r".k,;nny"n megjegyezhet6, sok esetben elkertilhet6v6 teszi az indexek haszn6lat6t ( ti i, es eseten pol6rkoordin6t6k pl. ). 6 k6nyelmesen alkalmazhat6 m6s tipusri,
3-6 6bra Az i es i egys6gvektorokhaszn6lata. Ha egy skal6rt egysegvektorral szorzunk, akkor a skalArbol vektor lesz, amelynek nagys6gamegegyezik a skal6r6rt6k6vel,ir6nya pedig azonos egysegvektoririlny6val.
44 3 lsikbeli cs tdrbelimozghs
(m) J
4
A 3-7 6bra szerint egy r6szecskea (2 m, I m) pontb6l a (5 m, 5 m) pontba mozdul el. Hat6rozzuk meg a Ar elmozdul6svektor iriiny6t 6s nagyshgit.
3 2 1
8)
- - J
l-1t-
MEGOLDAS
rl
3 (a)
A Ar elmozdul6svektorskal6rkomponensei a kovetkezdk: L x : x r - x r: 5 t t l - 2 m :
3 m 6 sA y : f z - ! r :
5 m- I m : 4 m.
Az osszetevSkaz eredSvel3-4-5 tipusti pitagorasziszdmhiirmastalkotnak, amint az a 3-7/b ilbra illusztriija. Az ered6Ar abszolut 6rt6k6re a Pitagoraszt6tellel
L,- JaL*)'* (Lyf =\ft3-f +(4-f
-J25m=5,00m
adodik. A Ar elmozduliisvektor irhnyht az x tengellyelalkotott 0 szoggeladhatjukmeg. Az i"}.raszerint J M
(b)
3-7 6bra A 3-2 p6ld5hoz.A Ar elmozduliisvekor skal6rosszetevdi: Ar 6s Ay.
ts.o-LY -4-=1.33 Ar 3m amib6l a 0 szogre0: arc tg 1,33adodik. Az arkusz tangensfiiggv6ny inverze, ennek megfelel6en0 azt a szoget jelenti, a?nelynektangense1,33. Zsebszfumologep segitseg6velez a szog 9: 53.1". Erdemesmegjegyezni,hogy a 3-4-5 tipusu h6romszoghegyesszogei re n d r e36,9"6s 53.1' .
3.4 Vektorok iisszeadfsa6s kivonfsa Vektorok osszead6s6t 6s kivon6s6tk6tf6lek6ppen,geometriai (ekkor grafikusan hat6rozzuk meg az eredm6,nyt)6s a pontosabb eredm6nyt ad6 algebrai m6dszerrelvegezhetji.ik el.
A geometriaim6dszer
3-8 ribra Vekorok osszeadiis6nakkommutativ torv6nye. B5r az A+B 6s B+A miivelet Sbrdja kiilonboz6, & C osszegvektor azonos.
A vektorok osszeadilsiira6s kivonils6ra k6szitett ilbritkon a vektorokat nagysilguk 6s ir6nyuk megtart6sdval- tetsz6s szerint mozgathatjuk. A vektorosszeggrafikus meghat6rozirsithozrajzoljuk fel az egyik vektort, majd a v6gpontjrib6lm6rjiik fel a miisik komponenst.Az osszegetaz els6 vektor kezdSpontj6b6la milsodik v6gpontj6bamutat6 vektor adja meg. A 3-8 itbrfin p6ld6ul az A 6s B elmozduliisvektorokat aduk ossze es meghathrozzuk az ered6 C vektort. Az 6bra mutatja, hogy a vektorok osszeaddsakommutativ, azaznem fiigg u tagok sorpndj6t6l: A * B: B + A. Kett6n6l tobb vektort grafikusan a 3-9la i.l:,rhnbemutatott un. ,,poligon" (sokszog) m6dszerrel adhatunkossze.Ennek sor6na vektorok
3.4 Vektorok osszead6sa6s kivon6sa
A+B*C=D
A+C*B=D
a) Sokszogm6dszerhiirom vagy tobb b) Az a) ibr6n liithato risszeg meg-
vektor osszesez6s6re
hat6roz6saa tagok m6s sorrendj6vel. A kommutativ torv6nynek megfelelSenaz osszcgvektorugyanazmint az a) ihrdn.
tf
(a+n;*C=D (c)
i\+(B+C)=D (d)
c) 6s d) Az asszociativtorveny szerint a vektorok osszead6sa a tagok kiilonbozd csoportositiis6val is elv6gezhet6.
3-9 ribra H6rom vektor osszead6sa
A vektorok kivon6siinakdefinicioja elcittfelidezzik, hogy a kivon6s negat{v / , \ mennyis6ghozzdaddsakrlntis6rtelmezhet6.A vektorok ellentettjetm6r defi\f.u' N niriltuk(3-3rlbra),igyakivon6serte|mez6seakovetkez5:lrLIvlI-
D:A-B
d e f i n i c i 6 s z e r i nDt: A + ( - B )
(3-2)
A grafikus kivon6s sor6n az A es a (-B) vektor adjuk cisszea mhr defini6lt modon (3-10 ribra).A kivon6s sor6n a vektorok nem cserelhet6kfel, hiszen (A - B) : -(B - A). Pongyola kifejez6stehrita ,,k6t vektor kiilonbs6ge" szohaszniiat,ha nem mondjuk meg melyik vektor a kivonand6,ill. a kisebbitendci.Figyeljiik meg, hogy bizonyos esetekben(3-l I ihra) k6t vektor ktilonbs6g6nekabszolirt6rt6kenagyobb lehetmint a k6t vektor osszeg66.
Osszead'js: A + Bl : C \
n\
C=A-B =A*(-B)
3-10 6bra Az A-B kiilonbs6g meghatdroz6sakor el6szorfelrajzoljuk az A vektort, majd hozzfndjuk (-B)-t.
A AI \B}
4-f C
,'W
[ffiff.fiu*23,:o, h,-u,
3-11 6bra Egyes esetekben a ktilonbs6gvektor nagysilga nagyobb lehet mint a k6t vektor osszeg6neknagysriga.
46 I tsikbeli6stdrbelimozg6s
c,
cy
/
Ar l
3-12 irbra Az A 6s B vektor x komponenseinek osszegemegegyezika C osszegvektor x osszetevcij6vel. Hasonlo szabfilyaz y komponensekre.
Figyelmeztetesaz el6jelekre vonatkoz6an:A vektordiagramokon csak akkor haszn6ljuk negativ el6jelet, ha egy vektorral ellent6tesirrinyri miisik vektort kiviinunk jelolni. Soha ne kissunkel negativ el6jellel egy vektort azlrt, mert tcirt6netesenvalamelyik negativ koordinhta iriinyba mutat. (P6ldrlul a lefel6 mutat6 neh6zsegigyorsulils-g-vel valo jelol6se c6lszeriitlen,a g jelol6s alkalmasabb.) Ha egy vektort negativ el
Algebrai m6dszer A vektorok osszead6s6nakes kivoniis6nak algebrai vegrehajtiisapontos eredmenyrevezet. Ekkor az egyes vektorkomponenseketalgebrailag kell osszeadni,ill. kivonni, hogy megkapjuk az eredcimegfelelS osszetev6i.A geometriailagszemleltetiezt a miiveletet,mig a kovetkezcjpelda a 3-12 ihrJlra miivelet algebraimegoldiis6tmutatjabe.
Hatirozzukmeg a kovetkez6 elmozdul iisvektorok at: A=(3m)i+(3-)i B = (l m)i + (-a rn)V C= (-2 m)i + (3 m)i Hathrozzuk megalgebrairiton a) a D:A * B + C vektort, b) az E: -A -B + C vektort.
MEGOLDAS a) Az A + B + C osszegmeghat6rozirsithozfoglaljuk titbl|zatba atagok x 6sy osszetev6it,majd adjuk osszea megfeleki komponenseket. Vektor A B C
D:A+B+C
x Komponens
y Komponens
3m l m -2m
3 m -4m
2m
4m
i g y D = ( 2 m ) i + ( 4 m ) y , amint vektornagysiiga *
5m
ezt a 3-13 6bra mutatia. A D
( 2 ^ ) ' + ( 4 m ) 2 - 4,47m Az x tengely pozitiv rinyhval alkotott 0 szogpedig
3-13 irbra A 3-3 pllddhoz
4m o = a r c -, [nD[ A ' )= u'"tg 2^=arctg2-63'4" )
3.4 Vektorok osszead6sa6s kivon6sa
b) K6szitsiink ilj t6bl6zatota vektorok osszetev6ibdl,jelezve, hogy a -A 6s -B vektorok
x Komponens
_A -B C
-3m -lm -2m
E: (-A) + (-B) + C
-6m
y Komponens *3m 4m 5m 6m
Itt E = (-6 m)i + (6 rn)V ,amint azt a3-l3lb fhra mutatja. E nagys6ga (-6 *)'
+ ( 6 m ) 2 = 8,49m
Az E vektor a m6sodik ternegyedbeesik 6s az x tengely negativ ir6ny6val a kovetkezS szogetzfrjabe'
=arc,'l#l=450 Q=arc,'l+l Poldrkoordindtakban a 0 szoget a *x tengelytcil az 6ramutato jir6s6val ellent6tesiriinyban merji.ik,azaz 0 : ( 1 8 0 "- 4 5 " ; : 1 3 5 o Egyes esetekbenkenyelmes az x tengely negativ ir6nyiival alkotott 9: 45"-os szog bejeloleseis, ekkcr azonbanolyan dbrdt kell kesziteni amelyr6l vilagosan leolvashat6,hogy melyik szdgrdl van sz6.
A vektorokat gyakran r, 0 poldrkoordindtdkkal adjuk ffieg, ahol r a vektor hossza,0 pedig a pozitiv x tengelytSl az oramutatojarisaval ellentetesirinyban mert szog. Az llyen alakban megadott vektorokat fgy adhatjuk ossze, hogy elSszormeghatfuozzuk der6kszogii cisszetev6iket,majd a mar ismertetett eljrir6st alkalmazzuk.A kovetkez6 peld6banezt olyan vektorok osszead6siival illusztrriljuk, amelyek nem az els6 t6rnegyedbeesnek,ezert a koordin6ta-transzforrndci6sor6,na szogfiiggv6nyek inverzeit nagyon gondosankell kezelni.
3,00 Adott a F vektor 6s a G vektor pol6rkoordin6tiikkal: F : ( 4 m , 1 5 0 " )6 s G : ( 5 m , 2 7 0 " ) Hatirozzuk meg a H:
F + G vektorpoliirkoordinfiit Q-l4laihra).
3-146bra A 3-4 p6ld6hoz.
'
A trigonometrikus fiiggv6nyek inverz6t a legtobb sz6mol6g6p csak a -90" < 0 < 90" tartom6nyban adja meg. Ezert kiilonos gonddal kell elj6rnunk, ha a vektor a m6sodik vagy a harmadik t6rnegyedbeesik. Mindig kdszitstink 6br6t!
47
48 I tsikbeli 6stdrbelimozgas
MEGOLDAS El6szor ki fej ezztik a vektorok der6kszogiikomponenseit: Vektor
x Komponens
y Komponens
F
(4 m)(cosl50o): -3,142m
( 4 m ) ( s i nl 5 0 o ) : 2 , 0 0m
G
(4 m)(cos270\:0
(4 m)(sin270\: -5,00 m
H:F+G
-3,646m
-3,00m
megrajzolt h6romszogb6lhatinozhat6 A H vektor irtnya a3-14 i.Jc.rin meg
l v vagv t g Q- l - = 1'999 = 0,8661 3.464 m l x
arc tg = 0,8661:
40,90
Ennek megfelel6en H iriinyszogepol6rkoordin6t6kban 0 : (1 8 0o+ 40,90)
tf-, PY i
,f4;
fev
H : ( 4 , 5 8m , 2 2 1 0 )
3.5 T6rbeli vektorok t6rbenaz egym6sramerSlegesx, A t6rbenqlegismertebbkoordin6tarendszer A tengelykoordin6tarendszer. y,6s z tengelyekkelrendelkez6Descartes-f6le rendszertm6g azonostengely6ll6sokeset6nis k6tf6lek6ppenvehetjtik fel. Az -\-r.y X_ xy sikra mer6legesz tengelyt ugyanis k6tf6lek6ppen irilnyithatjuk. Megrilla(b) podris szerint azonbanaz \n. jobbrendszert szok6shaszn6lni, amit a kovetkez6k6ppendefinidlunk. Vegyiik fel tetsz6legesenaz x 6sy tengelyeket,majd 3-15 6bra forgassuk a pozitiv x irinyt a pozitiv y irhny fel6,.Ez a forgatiis kitiintet egy Jobbrendszert alkoto Descartes-f6le irdnyt. Viilasszuk aztengely ifinyin irgy, hogy egy jobbkezes csavar forgdsi koordiniitarendszeregy P pont t6rbeli ilyen forgatils hatiisdraa pozitiv z irinyba mozogion. Mris krit6riumot kapkoordiniit|ival. Bhr az a) 6s b) 6bra hatunk a jobbrendszer kijelol6s6re a kovetkez6k6ppen.Kifeszitett hiivelykm6s-m6s tengelyirrinyitrist mutat, irjjal hajlitsuk be jobbkeziink tobbi t$jit ugy, hogy hegytk az elSbb kijelolt mindk6t koordin6tarendszerjobbsodforgds irinyiba mutasson.Htivelykrijjunk kijeloli a z tengely pozitiv irinyitr. 16sri A 3-15 i'brin egy jobbrendszerperspektivikusk6pe l6thato.A P pont x, !, z koordiniit6irendre3 m,2 m, lm. v Az eddig hasznflt egysdgvektorrendszert a z tengely pozitiv irinyi,},a mutat6 2 egys6gvektorral kieg6szftve,egy t6rbeli B vektor pl. a 3-16 6brin l6thato m6don 6llithato el6 der6kszogtikoordin6t6kkal. Az illtalinosan ismert Bt9 -t a 3-17 ihra ismerteti. Jelenleg els6sorbana t6rbeli koordiniitarendszereket Descartes-felekoordin6tarendszertalkalmazzuk.
I
i
8,2 B
FI
z t
-/ -- -./
x
-f.J - - -
z-\r.-
\ |
/
4
3-16rflbra A B vektor t6rbeli koordin6t6i Bo By 6s 8,. A megfelel6 vektorosszetev6k B,i, Bri 6s 8,2. Ezekkela vektor a B = B,i + Br9+ B, i fel.
alakbanirhat6
A helikopter6llomiist 4do-os szogben 6szakkelet fel6 elhagyo helikopter vizszintesen2 km-t tesz meg, mialatt magassiiga2500 m-re n6. A pilota ekkor keletre fordul 6s 1500 m-t siillyedve vizszintesenm6g 3 km-t tesz meg. Milyen ir6nyban 6s mekkora t6vols6grajutott a g6p a reptil6t6rt6l?(3- I 8 6bra)
3.5 Tdrbeli vektorok
49
A Greenwichen6thalad6kezd6 hosszirsilgikor (00hosszrisrig).
(r, 0, a)
(0,P , z l
Y, z) ?
o
; i
Egyenlit6
_
i :
._erlj-,
aa\----=_ry a) Descartes-f6le koordin6t6k (x, y, t)
',,---l--lr( \-----
b) Hengerkoordiniitarendszer(p,Q , t) x=pcos/
c) Gombi pol6rkoordin6t6k
y:p
.y=rsinOsin@ z=rcos@
sin@
z: z
(r, 0,0) x=rsin0cos@
= p=tlx'+y"
tgQ:L
3-17 irbra
tgotgQ=ylx
Egy pont terbeli helyzetenekmeghathrozhsilra szolg6lo kiilonboz6 koordiniitarendszerek. Mindegyik esetbenhdrom param6tert(x,y,t), ( p, Q, z ), 111. (r, 0, @) tartalmazrtak,amelyek
(d) A foldgombonelfoglalt helyzetk6t szoggeljellemezhetci:a $ hosszusdgi szoggel(amit a Greenwiche (Anglia) 6tmencikezd6 hosszrisiigi kortdl keletre es nyugatra menink) 6s a szelessegiszoggel(amit az egyenlitdtdl6szakra6s d6lre meri.ink).Ez aket szog alkalmas a gomb feltiletetalkot6 k6t dimenzios gorbtilt t6r jellemz6s6re.Ha figyelembevessziikaz 6tlagostengerszintfeletti magass6got(azaza gomb koz6ppontj|t6l mert R v6ltozitsht), akkor a sz6ban forgo tdr h6romdimenzi6s.
iellemzik a hiiromdimenzi6steret. (Fel) t
(Eszak)
1 , 5 3k m 4,29km
T-,
lr,,u^
I
70,3o:6 Cuir^.:4,55 km
(K el et) a) Az A 6s B elmozduliisvektorok.
3-18 6bra A 3-5 plldithoz. T6rbeli elmozdul6svektorok.
MEGOLDAS A helikopter v6gs5 helyzet6nek meghatflrozitsithozk6t t6rbeli elmozdul6svektort kell osszeadnunk.Az eljrlrrls els6 l6p6sek6nta vektorok der6kszogii koordin6t6it kell meghatiiroznunk.Az osszeadrlsut6n kisz6mitjuk a kapott elmozdul6svektor hossz6t 6s iriiny6t. Haszn6ljunk
b) Az eredSC: A + B elmozdul6s.
50 I tsikbeli dstdrbelimozgas
olyan der6kszogiikoordin6tarendszert,amelynek x tengelye 6szakra,y tengelye nyugatra,z tengelyepedig fiigg6legesenfelfel6 mutat. Az elmozdulilsvektorok der6kszogii osszetevSit az akibbi tiblilzat mutada( a t6volsrigokatkilom6terbenmeryiik):
Vektor
x Osszetev6
y Osszetev6
e Osszetevd
- 2 s i n4 0 " -.rJ
2 cos40' \-1,53
- 1,29
) \ l 5 -
*3
0 1,53
. )" \-------v'J
) \
-tJ
- 1,0
4,29
1,5
Ennekmegfelel6enazered6elmozdul6s: C : 1,53i - 4,29i - 1,50i,. A repiilStertcilvalo tiivolsiigota kapott vektor hosszaadja:
= 4,7ekm +(+,zo)' +(t,so)2 lcl= J(1,53)2 A vizszintesiriinyban mert szog
( q.zg\
a r c "t g [ 1l , 5 3 l/= 70,3" cszakkeletre A teljeselmozdul6svizszintesosszetevdje: (4,29)2
( 1 , 5 3 ) 2: 4,55km
Az elmozdulilsvektornaka vizszintesselalkotott szose:
V = arc.orf
4 5 "5 -' ," = a1a
18,2" a horizontfelett
3.6 A sik- 6s t6rbeli mozgfs sebess6ge 6s gyorsulfsa A m6sodik fejezetbenegyenesvonalirmozg6sravonatkoz6an m6r defini6ltuk a kinematikai alapfogalmakat,az elmozdul6st,a sebess6get6s a gyorsuliist. A vektorok felhaszn6l6s6valmost k6t- 6s h6romdimenzi6s mozgiisokra is kiterjeszdi,ikezeket a fogalmakat. Az egyszeriis6gkedv66rt rlbrriink tobbnyire k6tdimenzi6s esetre vonatkoznak. Az eredm6nyek azonban kis gyakorlattal konnyen kiterjeszthet6ka h6romdimenzi6sesetekre. A 3-19 ihra k6t viiros kozotti aut6utat mutat. A v6rosok tiivolsilga toronyir6nt 100 km. Vizsg6ljuk fizikai szempontbol egy auto ritj6t a k6t viiros kozott. A kiindul6 viiros helyzetvektora legyen rr(rr, y) a c61v6ros6pedig tz(xz,lr). AAr elmozdul6svektort az Elmozdul6svektor Ar
Ar: r, - r,
(3-3)
osszefiigg6sdefini6lja. Term6szetesena g6pkocsi iital a gorbevonahi p6ly6n t6nylegesenmegtett rit Ar-n6l hosszabb is lehet. Az dtlagsebess6g-vektor definici6ja a kovetkez6:
6sgyorsul6sa 3.6A sik- 6s t6rbelimozgdssebessdge
Ar
Atlagsebess6g vektor vu,,
V .a. t,' = -
5l
(3-4)
Lt
ikz,Yzl (rr,yr) Utvonal
3-196bra
ahol At: tz- t, azt az idotartamotjelenti, ami alatt a gepkocsi apiiya (x,, yr) es (xr, y,) kozotti szakaszittmegtette. Oda-visszaut eset6n pl. az elmozdul6s apiiya is z6ruslenne.A pillanatnyi sebess6get es igy az ffilagsebess6g-vektor b6rmely pond6ban a LrlAt krilonbs6gih6nyadoshat6rert6kevelertelmezhetjiik, midcin At zerushoztart (3-20 ihra). Bfn ezen folyamat sor6n Ar is kicsinnyev6lik, a LrlAt aritnynem felt6tleniil kicsi. Pillanatnyi sebess6gneka hat6r6rt6k-k6pzesifolyamat eredmenyet nevezztik. Ha a mozgo test a t id6pillanatbanaz r(t) helyen a | + At pillanatbanaz r(t + At) helyen tartozkodik, akkor
(nr)
Pillanatnyi sebess6gv
dr
V = l l n - l l - t =
l , - + oI A / /
A Ar elmozdul6svektoraz (x,, yr) kezd6pontbol az (xr, yr) v6gpontba mutat. Vegyilk 6szre,hogy r,+Ar=f".
(3-s)
dt
Szavakban:,,v a LrlAt ki.ilonbsegih6nyadoshat6rerteke,midcinAt tart zerushoz". A hatrlr6rt6ketdrldt-vel jeloljiik 6s ,,r idd szerinti deriv6ltj6naknevezmeterper mdsodperc. m6rtekegysege a sebesseg zrrk".SI mertekrendszerben Amennyiben az rO f,rgg\enyt analitikusanismerjiik, akkor a deriv6ltj6t a G-l fiiggel6kben taliilhat6 deriv6lisi szabiilyokkal is meghat6rozhatjuk' Figyeljiik ffieg, hogy hatfirlrtdkben Ar irinya a piiya erint6jenek irilnydhoz kozeledik. Emiatt a v pillanatnyi sebessdgmindig a palya erintciiebeesik es a haladds irdnydba mutat. A fizrkd}lana sebess6gvektormindig nagys6ggal6s ir6nnyaljellemzett, fi.iggetlentildefiniiiltuk, koordindtarendszertcil mennyiseg.A sebessegvektort - ez tal6n a legnahaszniilhato ugyanirgy koordindtarendszerben igy bSrmely gyobb elcinye a vektorfogalom alkalmazds6nak.Derekszogii koordin6t6kban az a sebessegvektor r=xi+vi+zi helyzetvektorsegits6g6vel
' =#= v'i*.#+', 9* r*+ v'2*'# alakbanfejezhet6kl
3-206bra
r(f+af)
r ( r+ e t )
r(r+-ar)
Az dbra 0 3-19 gdrbevonalu pdlYa kicsiny rdszdnek nagyftdsa. A hatiirert6kk6pz6sifolyamat sor6n, amikor a Q pontot egyre kozelebb 6s kiizelebb vessz{ik fel P-hez, a Lr I Lt kiilonbs6gi h6nyados a dr I dt hat6r6rt6khez tart, ekozben Ar ininya a gorbe P pontbeli 6rintcij6nek ininy ithoz kozeledik.
52 I tsikbeli est6rbelimozgas
X dilat , dj ldt i:s dil dt deriv6ltak6rteke26rus,mivel az *, i 6s2 egyigy 6llandok,nem villtoznakaz idl fiiggv6ny6ben. s6gvektorok (3-6)
v=v.x+v,,y+v.z y -
I
ahol a sebess6gvektorkoordinrltrii egyenl6k helyzetvektor koordinilt6inak a derivriltjaival: dy
dx v - , = - .
^
v - = -
v - . r - .
Y
dt'
dz
(3-7)
dt
dt'
Egy az xy sikban mozg6 r6szecskehelyzetvektoriinak der6kszogii koordinrltriiaz x: (2 mls2)P6s -y : (16 m sz)lP osszefiigg6sekszerint v6ltoznak. Hatilrozzuk meg a r6szecskehelyzetvektorilt 6s sebessegvektor6t a t:2 s idSpontban6s ibrhzoljuk ezeket.
MEGOLDAS A helyzetvektortb6rmely id6pontban az r - 2t'***,
( SI egys6gekben) t-
fiiggv6ny adja meg. A3-6 egyenletszerinta sebessegvektor:
(m)
_d =r v = 4 t X _ dt
-l I
,
I l t
^
5
\ l
10 12 (m)
32^ " ry t'
Meghat6rozva ezeket a vektorokat a t : 2 s pillanatban es beirva azt kapjuk, hogy m6rt6kegys6geket,
r = (si +ai) m 6s : (8i-ai) m/ s a3-21 6br6nrajzoltuk fel. A helyzet-6s sebess6gvektort
3-216,Jl.ra A 3-6 plldithoz. Mozgo test pillanatnyi helyzetvektora6s sebess6gvektora.
A gyorsulfs A gyorsulds definicioja az egydimenzi6ban adott definiciohoz hasonl6an adhat6 meg. A3-22a rlbra egy g
3-22 6bra Lt id6 alatt a sebess6gvektoririinya 6s nagys6gais vSltozk, aviitozhs Av
Utvonal
v ( r+ A r ) (c)
3.6A sik- 6st6rbelimozg6s
Av a a r= 6
Atlagos gyorsul6s au,t
(3-8) Utvonal /-
A pillanatnyi gyorsulis : Pillanatnyi gyorsul6s a
dv
Av llm-=^,-)0 At
a=
(3-e)
dt
Szavakban:,,^ a Lv/At ktilonbs6gi h6nyadoshat6r6rt6ke,mid6n At tart zerushoz". A hat6r6rt1ketdv/dr-vel jeloljiik 6s ,,v id6 szerinti deriv6ltjdnak nevezzik". SI m6rt6krendszerbena gyorsul6s egys6ge[(m6ter per miisodperc)per m6sodperc],rovidebben m/s2. Der6ksziigii komponensekbena gyorsuldsvektor
(3-10)
a-- a**.i o,i + a,2
3-236bra Az eldobott labda parabolapiiyin mozog. Az irbramutatja, hogy egy adott pillanatban a labda az r hely6s a gyorsul6szet-,v sebessdgvektora hiirom kiilonboz6 ir6nvba mutat.
alakban adhato meg, ahol a gyorsuliisvektor
A - = J
dr, ' d t
Q.. =-
du, '
Q.-
=-
d
t
(3-11)
Az r helyzetvektor,a v sebessdgvektores az a gyorsulasvektora kinematika kulcsfontoss6girfogalmai, hatekonysrlguk6s sokoldairi alkalmazhat6s6gukfigyelemremelt6.E fogalmakkal a pontszerii testek tetsz6legest6rbeli mozg6saleirhat6. Egy gyakori f6lre6rt6sforr6siira azonbanm6g fel kell hivnunk a figyelmet. A helyzet-, sebessdg- ds gyorsuldsvektor irdnya nem sziiksdges, hogy azonoslegyen. Tekintsiik p6ld6ul egy eldobott es puszt6na gravit6cio hat6s6ra mozg6 labda parabola piiy|jift (3-23 ribra). A sebess6gmindig a piiya 6rint6jenekirrlnyribamutat, a helyvektor folyamatosanviiltozik, mig a gravit6cio miatt fell6p6 gyorsul6s irilnya mindig lefel6 mutat 6s nagys6gais rillando. Nem szabadmeglep6dniink azon, ha egy test gyorsuliisa nem a mozg6s ir6ny6bamutat! MEg az is lehets6ges,hogy a test egy pillanatban nem mozog, bhr gyorsul; gondoljunk a p6lyrija tetdpontjrira 6rkez6 fuggflegesen felfel6 hajitott testre (3-24 6bra). A regi gorogokmeg nem fogt6k fel ezeket a finom reszleteket,kcivetkez6sk6ppennem is 6rthett6k meg a mozg6s l6nyeg6t.
A p6lya csircspontjrina pillanatnyi sebess6g26rus,a gyorsuliispedig 9.81 m/s26s lefel6 mutat.
Hatfurezzukmeg a 3-6 p6ld6ban szerepl6 test gyorsul6s6t. Rajzoljuk a t: 2 s id6pontban. meg a test helyzet-,sebesseg-6s gyorsul6svektordt
MEGOLDAS
3-246bra
A 3-6 feladat szerint a helyzet-id6 es a gyorsul6s-id6 fiiggv6nyt a kovetkez6 formul6k irj6k le.
r = 2tr*,*f v 32^ -Y ' tt
(SI egys6gekben)
Fiigg6legesen feldobott test p6lyagorb6je. A test szabadmozg6sa sor6n (mind felfel6, mind pedig lefel6) a gyorsul6s leferc mutat 6s 6lland6, nagys6ga9,81 m/s2. igy "gy test mozoghat felfeld, mikozben lefelL gyorz6rus lehet egy pillasul, s sebess6ge natban, (a csricsponton),mig gyorsuliisa tov6bbra is lefel6 ir6nyul.
54 z tsikbeli6stdrbelimozsas
Az ^: dvldt gyorsuliisilymodon
d(.^ dr\. - 4 ,X ^+ ._ 9 V A t a L
(m) 6
Jf 4 +
.tA
I
I
2 0
4
6
8
10 12(rn)
3-25 6bra
6^ J
2 s id6pontbanpedig:
r =8i+4i v = 8i-49
2
32^) t'" )
I |
(SI egys6gekben)
a=q*.+6g l A keresettvektorokata 3-25 6bra mutatia.
A 3-7 plldfthoz. Yiitozo mozg6st vegz5 test pillanatnyi helyzete,sebess6ge 6s gyorsul6sa
3.7 Hajitrisok hatalmasfejl6dest hozo ket gondolkodot, GaA mechanikakifejleszt6seben lileit 6s Newtont is izgattaa Fold kozeleben,puszt6na gravit6cio hat6saalatt 6llo testek mozg6s6nakleir6sa. Szerencs6re,ha a testek el6g kicsinyek es elegendciensirlyosak,akkor a l6gellen6ll6sokozta zavaro hat6sok elhanyagolhatok es kis magass6gkiilonbsegekre korl6tozodohelyi mozg6sokeset6na gravit6cios gyorsul6,sdllandonak tekinthetci. Minden szabadon esd test esik a Fold fel6. A Fold forg6s6bol ugyanakkorag:9,81 m/s2gyorsul6ssal ered6effektusszint6nelhanyagolhato.Ezen kozelit6sekmellett Galilei felfedezte,hogy a szabadones6testek mozg6sinak vfzszintes6s fiig96legesiisszetevdi ttik6letesenfii ggetlenekegym6st6l'. M6s szavakkal; a mozgas./ilggrileges ds vizszintes risszetevdikiilon-kiildn vizsgalhatok,azaz a k6tdimenzi6sp6lyagorbe leir6sa helyett elegend6 k6t ktilon6llo egydimenzios mozg6ssal foglalkozni. A gravit6ci6s gyorsul6s nagys6g6tg-vel jeloljtik, azazg mindig pozitiv 6rteketjelent, mert a gyorsul6snakcsak a nagys6g6tjeloli, az irdnyft nem. A 3-26 6bra olyan kiserletet mutat, amely szemlelteti,hogy a fiiggcilegeses a vizszintesmozg6sosszete3-26 6bra vrik fiiggetlenekegymdstol. Az el5z6 fejezetben az egyenesvonalirmozgilsokra vonatkoz6 kinematikai Stroboszkopikusfelvctcl kct golflabegyenleteketirtunk fel l(2-11)-(2-13) egyenletekl.A mozgdsosszetev6k da mozgils5rol.A k6t mozgirsugyanfiiggetlens6gekovetkezt6benezek a kinematikai egyenletektetsz6legeskoabban az id6pontban indult, az cgyik ordin6ta ir6ny ment6n felirhatok. T6rbeli mozgisok eset6n az osszetev6k labd6t fiigg6legesenlccjtettiik, a m6a kinematikaiegyenletekbenszereplcimennyis6gesikat vizszintesen2 mls scbesseggcl vil6gos megkiilonboztetes6re clhajitottuk.A ket labda fiiggcilcgcs kct a megfelel6koordin|tairinyokrautal6indexekkellStjuk el. Peld6ul: mozg6saazonosannakcllcncrc,hogy v . = ( r , ) u + a . t r , = ( r , , ) o* o r t v , = ( u , ) o* a - t a z c gy ik labda h l l a n d o , v i z s z i n tc s ir6nyri sebcsscggclrcndelkczctt. A param6termindenritt ugyanazt az idcipontot felveteljol mutada,hogy a gravitirci6 Ezckbcn az egyenletekbena t .j c l c n ti . hat6sa alatt szabadon mozgo tcstck vizszintcs 6s fiiggcilcges mozgirsa A rnozgtisokiisszetcvtjinem mindig fiiggetlenekegym6st6l.A kovetkezti fejezetbenfonal fiiggetlenegymfst6l. A f6nykep l/30 vcgcn kiirbe p(irgeletttcst mozg6sdvalfbglalkozunk, ahol azx €sy osszetev6kcizott szlgom6sodpercenk6ntfelvillano f6nnycl rir iisszcliigg6sdll fbnn. A I4. fqezetben tdrgyaljuk a Cori6lis er6t. Kidenil, hogy az egyik kesziilt. A feh6r vonalak egym6stol szabjameg. A gravrtilci6 hat6srirarilirhnyban hatir cr6t a rii mer6legessebess6grisszetev6 15 cm trivols6gbankifeszitett hurok lando .q 6s elhanyagolhat6l6gellen6ll6smellett megval6su16mozg6soktisszetev6iazonban tiiggctlenck cgymiist6l. k6pei.
3.7 Hajit6sok
Amint a 3C-37 feladat is mutatja, a k6tdimenzi6smozg6sok 6rdekestulajdons6ga,hogy rillando g gyorsulils 6s elhanyagolhat6l6gellen6lliis mellett a szabadones6 testek pdlyagdrbeie mindig parabola.
Egy loved6keta vizszinteshezk6pest 0o: 55o-os szogbenvo : 50 m/s sebess6ggell5tttink ki. A loved6k p6,lyhj6nakleszrillo |gihan az elhajit6si helyn6l 60 m-rel magasabbanegy domboldalba csap6dott(3.-27 itbra).a) Mennyi ideig reprilt a loved6k?b) A kilov6s hely6tcilmilyen csap6dotta domboldalba? trlvols6gbajutott el? c) Mekkora sebess6ggel
MEGOLDAS Viilasszuk a koordinfiarendszer kezdo pontj6ul a kiloves helyet, a pozitiv tengelyir6nyokat pedig vegytik fel a 3-27 il}.ritnjelolt m6don. (Ekkor a kezdeti helyzetkoordiniitdi, xo:0,lo: 0.) A prllyagorbeteljes eg6sz6benaz xy sikban fekszik, igy a mozg6s egymiist6l fiiggetlen vizszintes 6s fiiggSleges komponensekrebontva t6rgyalhato. A k6t osszetev6r6lktilon-ktilon is v6zlatot k6szitettiink.Az i.brik alatti list6n a parameterekkezdeti 6s v6gs6 6rtek6t a viilasztott koordin6tair6nyoknak megfelel6elcijellell6ttuk el. Yizszintes iisszetev6
-[*
Fiig96legesiisszetevd r1 l l t l
t
oI (u')o
lr-r
--t
F--^
1 1 l l
i luol*
+I\I 0r 'o=50+ go = 55') / \
(r, /n = v oc o S 0 o a, =0 x o= 0 x ='l t=?
(Megjegyz6s: Az 5. fejezetben r6mutatunk, hogy a vizszintes ir6nyir er6 z6rus, ezert a vizszintes ir6nyri gyorsuliis is zerus.)
\ \
1vr)o
vo = 50go = 55" (rr)o*= vo singo a, =-S )o =0 )'= 60 m t - ]
(Megjegyz6s: Nem sztks6ges, hogy a felfele es lefele repi.iles idej6t kiilon-ktilon hatdrozzuk meg. Ha a v6ghelyzet60 m helykoordinilt6j6t behelyettesitjiik a kinematikai egyenletbe, akkor egy lep6sben kisziimithatjuk a teljesmozg6sidej6t.)
a) es b) resz: Az adatokat6s az ismeretleneketa kinematikai egyenletekkel osszehasonlitvamegrillapithatjuk,hogy az y komponensrea (2-12) 'felirva a keresett iddtartam azonnal megkaphat6. (Term6egyenletet szetesenez egybenmegszabjaavizszintesirilnyir mozg6sidcitartam6tis.)
3-27 irbra A 3-8 peldithoz
55
56 I tsikbeli 6stdrbelimozgas
| / \ , ! = lo *(r, )o+ ,ort' I / - \ . ) = 0 + ( v o s i n0 o ) t + t g r '
x = x o * ( u ,) o * ) o , r ' x = o+(rocosoo)r+o
A m6sodfokri egyenletet a szok6sos alakra hozva:
Mivel ebben az egyenletbenk6t ismeretlen van: .r 6s /, addig nem juthatunk tovilbb, mig t lrt4-kft az y osszetev6re vonatkoz6 egyenletb6l ki nem fejeztiik.
l
r
t
.
g r ' + ( v o s i n0 o ) t + ! = o ; Felilaszr6lva a mrisodfoku egyenlet megoldok6plet6t(E fiiggel6k), amely szerrnt az af + bt+c:0 egyenletmegoldiisa
-b+ f
-
2a esettinkben v,,sin0,,*
(vusingn)t
l = o 6
Behelvettesitveaz adatokat:
['+)sin55o-
9,8+ s'
t : 6,466s 1,89 Behelyettesitveaz y komponensre vonatkoz6 egyenletbll t 6rteket, azt kapjuk,hogy
A t : 1,89 s eredm6nytelvetjtik, hiszen ez 6ppenazt az idSpontot jelenti, amikor a loveddk a .felszdllf ilgban el6rte a 60 m magassiigot. A keresett id5tartam t: 6,46 s. Ekkor a loved6k a kilov6s hely6n6l 60 m-rel magasabbanvan 6s milr lefele mozog. Ezt az 6rt6ket kell behelyettesiteniink az x irfinyri elmozdultlsosszetevdt meghatdroz6 egyenletbe.
s) "= lro+){.",550)(6,46 .x= 185m
Az eredm6nyek: a) A lQved6krepiil6s6nekideje: 6,46 s b) A vizszintesir6nyf elmozdulis: 185 m c) rdsz: A mozg6s sor6n a sebess6gvizszintes osszetev6jenem viiltozik, igy a becsap6d6spillanat6banez az osszetev6ugyanannyi, mint a kilov6s pillanat6ban:
( \ = Vocos0o = I 50+ l(cosssot) = 28,7 ' | s s,i' \
A t : 6,46 s id6pillanatban a sebess6gfi,igg6legeskomponensea kovetkez6 kinemati kai egyenletb5l hatir ozhat6 meg : ', = ('r)o
= -22,aT 550)+a yt= [n,t]){u,ou,) [m+)(sin
3.7 Hajit6sok
57
A negativ el6jel azt jelzi, hogy a sebess6gfiigg6leges osszetevfje az y tengely negativ irdny6ba mutat. A sebess6gosszetevlit a becsap6diis pillanataban a 3-28 6bra mutatja. Ennek alapj6n a sebess6gnagys6grit6s irinyirt a t: 6,46 s id6pontban a k
(a horizonttollefel6) Q= arc* =arc,, =,,,0' [+l [#]
vr: 22,4!
I I I
t 3-286bra A grrln6tbecsapodiisisebess6gea 3-8 p6ld6ban.
6s a vizszintessel Egy epiilet fels6 emeleti ablakribol8 m/s sebess6ggel 20o szoget bezin6 ir6nyban egy labd6t hajitottunk lefel6. A labda a kihajitris utiin h6rom m6sodperccel csap6dott a talajba. a) Az 6ptilet aljrltol milyen t6vols6gbanert floldet?b) Milyen magasr6lhajitottuk el? c) Menyi id6 telt el, mig a labda kiindulo helyzet6n6ll0 m-rel lejjebb keriilt? (A l6gellenrlll6selhanyagolhato.)
MEGOLDAS Rajzoljunk virzlatota feladatr6l (3-29 5bra).Mivel peld6nkbanminden mozg6s lefel6 ir6nyul, ezlrt v6lasszuk ezt az iriinyt pozitivnak. K6A kis szitstink kiilon vilzlatot az x es az y irilnyri mozg6sosszetev6krcil. vetttik kezdcipontj6ban jelzik, ropp6lya a hogy az orig6t tengelykeresztek fel, es a tengelyekpozitiv ir6nyarendrejobbfele illetve lefelemutat. Yizszintes iisszetev6
Fii g96legesiisszetevd
Az a) r6sz adatai
A b) r6sz adatai
J J .f I J J J J J
- r'o , ( u .) o - - - -c-o-sl2 o o
ol T
II Ir,
v
l-t
= )o ',0sin2oo
v
(r,)o = vocos20o
- 7,s21 (,.)o=(*T)t.,e4o) ax:0 /:3 s ro: 0 -_, 2 l - :
ar:9,81
J
I
(r, ),
(,,), =
-f
J
I
I
J
j
[t|)tt m/s2
vo si n 2oo
3-29 6bra
-2,tal 342) gpozitiv, mert
/:3s
alefel6mutat6
/o:0 y: ?
ir6nytv6lasztottuk pozitivnak
Osszehasonlitvaaz adatokata kinematikai egyenletekvilltoz6ival, meg6llapithat6,hogy mindk6t esetbena(2-12) egyenletetkell alkalmazni.
A 3-9. p6ld6hoz.
58 g I Sikbeli6stdrbelimozs6s
x = x o+ ( u ,) 0 ,*
* tI a , t -
\ y = y o+ ( vv I t 1 /o
i.o,r'
Behelyettesitve az adatokat, azt kapjuk, hogy
B ehelyettesitvea kar apjuk,hogy
( -y = 0\ + l.
x = o* ( , , r r l l ) f , ./t s/'
I
2
z aadal rto ok zt,
azt
- n fm rn ) ,
- t (] s))
S s
, \l J
r ( m \l\,r, 1r 2. + - l 9,8 r l( l \ s/
+;(0X3,)'
-
' J(:
l
s- ./
z \
x : 2 2 , 6m
r,r: 5? f
mI
c) rdsz: Ebben a r6szbenamozgds ftiggcilegesosszeter6i oJ 6v vel fcbgrlalkozunk:
: 2,74mls 1vr)o
(a b) reszalapj6n)
a' -g'8Y S
- / o= 0 -t': l0 m t : ?
] I
(itj adat a c) resz alapj6n)
A feladatmegold6s6ra most is a (2- l2) egyenletalkalmas | / \ ) ' = ) ' o* \ u , ) r , * t o , r -
=o*(z,t+Tlr,l*-+f 1om o,a]"11r,) s) l\ s-/' \ Atrendezve,6s a konnyebb iittekinthetcis6g kedv66rt a m6rt6kegysegeket elhagyva: 4.90t'+2.74t-10=0 Az egyenlet ranezesrenem bonthato tenyezSkre, ez6rt a m6sodfokir egyenletmegoldok6plet6t(E fiiggel6k) alkalmazzuk: - b ! r l hr --l-'+4ac 2a
- / 1, /1A 4 - -Lr
-(+)(+,oo)((z,t+)' ro) 2(4,90)
= + 1 , 1 8 s ,- 1 , 7 4 s Mivel az idcim6reskezddpontjifi a labda elhajit6siinak idcipontj6val vetttik egyenlcinek,a negativgyok 6rtelmetlensz6munkra.Ezert t : l , l 8s Megiegyezzik, hogy m6s frobl6ma eset6na negativ gyoknek is tulajdonithat6 fizikai jelent6s. A negativ id6 az adott feladatbeli mozg6s kezdcipontjaelcitti idcitjelent. Elk6pzelhetiinkolyan hajit6st,amelynek sor6n a labda felfel6 mozgo piilyin haladva t : -1,74-kor id6pontban l0 m-rel lenne az ablak szintje alatt, ut6na elern6 piiy|jinak tet6pontj6t, majd lefel6 haladvaa t: 0 iddpontbanbecsatlakoznaaz eldz6ekben megoldott feladatbanleirt piiyitba. Sok feladat eset6nmindket gyok 6rtelmes lehet, az6rt a szdmitirseredm6nyeir6lmindig a konkret fizikaj felt6telek ismeretebendonthetjiik el, hogy a gyokok megfelelnek-e a feladatkovetelm6nveinek.
3.7 Hajit6sok
A 3-30 6brin a koordin6tarendszerkezdSpontj6b6l elhajitott test paly|ja l6that6. Ha a l6gellen6ll6s elhanyagolhat6, akkor a kizir6lag a gravitrlci6 hatS,saalatt iil6 test parabola pillyitn mozog (l6sd a 3C-37 feladatot). Helyzetvektor6nakr : r(t) id6fiiggv6nye:
+(ts,et- 4,%2)y . = (e,sr)i (Itt r m6terben,r miisodpercbenvan megoldva.) Halirozzuk meg a test helyzet-,sebess6g-es gyorsul6svektor6ta /:3 s id6pontban.
MEGOLDAS A helyzetvektor:A t:3 s 6rteket az r : r(t) fuggv6nybehelyettesitve
m '(3)= (ze,+)*.-+(14,7)v Az elmozdul6svektorabszolutert6kea Pitagoriiszt6tel segitseg6vel:
= l1zo,+ ^)' *)' * (t+,t l.(:)l
32,9m
Megjegyezzik, hogy ez a tiwolsdg nem egyenlti a test 6ltal befutott pfiya hossz6val. A helyzetvektornaka vizszintesselbez6rt szogea ts.o-r' -14'7m =o.5oo r, 29,4 m osszefiig96sbcil: 0 = arctg 0,500= 26,5" az r(t) helyvektor idcj szerinti A v(t) sebessegvektor A sebessegvektor: deriv6ltja.A differenciSl6siszabiilyokszerint(G Ftiggelek):
- 4,et')i) = (e,a)** (te,o-e,8/)g o(r)=# = $@,t,10*(to,er ahol v m/s-benvan megadva.(Vegytik 6szre,hogy a t : 2 s pillanatban V, : 0, v" azonban nem z6rus, a test piily|jimak csucspontj6nvan 6s vizszintesenmozog.) A / : 3 s idSpontban:
v(r)=(r,s)i I * (-e,8)t + S
b
A v(3) sebessega Pitagoraszt6tellel hatdrozhat6meg: I
'r2
= |r 9 , 8m- - l| l'(r)l \
S /
rt
\l
m l 5 /s + l - 9 , 8 - | = 1 3 , 8m S / \
avizszintesselbez6rtszogef A sebess6gnek t
l
t e 6= l u ' l = - , 1 vx
9,8m
= l,oo
egyenletbdl:
0 = arctg(l,oo)= 45"
(a horizont alatt)
3-30 6bra A 3-l 0 p6ld6hoz
59
60 I tsikbeli dstdrbelimozgas
A gyorsuldsvektor: Mivel t: dv/dt, a gyorsulilsvektort a sebess6gvektor deriv6l6s6valkaphatjuk meg.
= = = (-e,8)g: a(r) (re,o-e,8r)i) # fi{{r,r1u+ A gyorsul6steh6t azy tengely negativ ir6ny6ba mutat 6s iddben 6llando.
Osszefoglalds A pontszerii testek sik- 6s terbeli mozg6s6nakleiriisiira a nagysilgukkal6s ir6nyukkal jellemzett vektormennyis6geket hasznriljuk. Helyzetvektor t=rxi+ry|+rri
Ha sik- ill. terbeli mozg6st leir6 vektormennyis6geket derekszogffkomponesekrebontunk, akkor a komponensekre - iillando gyorsuliis eset6n- ugyanazok a kinematikai egyenletek irhatok fel, mint amelyeket a 2. fejezetben az egyenesvonahiegyenletesengyorsul6 mozg6sralevezetttink.
Sebess6gvektor dr dr, ^ dt dt Gyorsul6svektor d v- d u . ^ V = - a J X - - V -
N= -
dt
--+X dt
dr, ^ dt-
dr"- ^ 7 dt
dur^
dr,^
mozg6s hriromdimenzi6s terben
v=vo+at I x=xo*vot+-at2
(6llando gyorsukis eset6n)
v2 = vt +za(x - "o)
T ----- Y t ---=:Z dt' dt
Az r, v 6s a vektorok ninya nem sziiksegk6ppenazonos, a v vektor mindig a piiya erintdj6nek ir6ny6ba mutat.
Tovribbi hasznososszefiiggeseketkaphatunk az i$lagsebessegfelhaszniil6s6val : vo+v
Az egydimenzi6smozgilsok Ieirilsiira skaIdr mennyisegeket haszn6lunk,amelyeket az iriny jelz6s6re (a koordin6tatengelypozitiv iriny 6nak megv iiasztitsirtol fi.ig96en)pozittv vagy negativ elcijellel'latunk el
V rirl
r: x v :
x=xolY,ittt
dr dt dv
egy dimenzi6s mozg6s
Q : -
dt
A kinematikai egyenletekbennegativ el6jeleket csak akkor haszn6ljunk, ha adatok szrlm6rt6keit,vagy param6terekethelvettesitiinkbe.
Kdrddsek 1. Mivel az id6 egy irrinyban mirlik - jelenti-e ez azt, hogy az id6 vektormennyis6g? 2. V6lasszuk ki a ktivetkezf mennyis6gek koziil, melyek a vektorok, skal6rok6s melyikek azok, amelyek egyik csoportba sem sorolhat6ak:sebessdg,teqfbga6 hcimerseklet,idci, teriilet 6s szin. 3. Lehets6ges-e,hogy k6t kiilonbozf nagysigri vektor ereddje z6rus? Es mi a helyzet hiirom kiilonboz6 vektor eset6ben?Mi a felt6tele annak, hogy h6rom vektor ered6je z6rus legyen? 4. Milyen m6dszerrellehet megm6rni a Fold 6s a Hold tilvols6g6t. 5. Egy haj6 rirboc6r6l leejtiink egy kiivet. Vajon a fed6lzetnek ugyanabba a pontj6ba csap6dik-e akkor is, ha a haj6 nyugalomban van, ill. ha egyenletessebess6ggel mozog?Es ha a haj6 gyorsul?
6. Egy hidr6l vizszintesenelhajitottunkegy kovet. A k6 mozgisflt leir6 mennyis6gek koziil trirgyaljuk ffi€g, hogy a helyzet-, sebessig- ds gyorsuldsvektor kozi.il melyik fiigg u koordiniitarendszer, kezd6pontj6nak megv6lasztiisStol? 7. Irjunk le egy olyan mozg6st, amelyn6l egy adott id6pontban der6kszoget zilrnak be egym6ssal a) a helyzet- 6s a sebess6gvektor,b) a sebess6g-6s a gyorsul6svektor,c) ahelyzet- 6s a gyorsul6svektor. 8. Tekintsi,ik az el6z6 k6rd6st. Felsorolhat6k-e olyan p6ld6k, mid6n az emlitett vekorok tov6bbra is der6ksz
Feladatok
Felodatok 3.4 Vektorok iisszeaddsa6s kivonisa Egy n6gyzeth6l6 mint6val kirakott irton s6tiil6 3A-1 gyerek k6t oszt6sr1szt nyugatra, h6rmat 6szakra, majd kett6t ism6t nyugat fel6 l6p. a) Mekkora utat tett meg? b) Adjuk meg a kiindulo ponthoz k6pest az eredS elmozdul6s irinyfit 6s nagysiig6t. 3A-2 Egy hajo 40 km-t 6szakra,majd 50 km-t 60o-os szogben d6lnyugatra vitorl6zik. Adjuk meg az ercd6 elmozduliis nagysiig6t 6s ir6nyiit. (A Fold gorbiilet6t6l tekintsiink el.) + 6i 6saB:4i-1 3 A - 3 A d o t ta z A : 2 i f vektor. K6szitstink vilzlatot 6sszerii m6retii skrila felv6tel6vel a C : A + B vektorosszegre6s a D A - B ktilonbs6gre. a) Fejezzik ki a C 6s D iisszeg- 6s kiilonbs6gvektorokat a koordin6ta egys6gvektorok segits6g6velalgebrai irton is. b) Adjuk meg ezeket a vektorokat pol6rkoordin6t6kkal (hosszuk6s az xtengellyelbezitrt szog segits6g6vel) vektorok 3A-4 AzA:4*. +3i 6saB:2*.-2j osszetev6i m6terben adottak. K6szitsi.ink vinlatot a C : A + B vektor
3B-10 Egy szakad6ksz6l6r6l eltitott golflabda helykoordinhtd;i az y: (4 m/s)r- (4,9 m/s\P 6s -r : (18 m/s)r fiiggv6ny szerint viiltoznak. a) Az i 6s i egys6gvektorokfelhaszniiliisrivalirjuk fel az r : r(t) helyzetvektor fiiggv6nyt. A komponensek deriviiltjrival irjuk fel b) a v: v(/ sebess6g-id66s c) az a: a(t) gyorsulils-id6 fiiggv6nyt. d) Hatrirozzuk meg a labda x 6,sy koordinilthit a t: 3 s idcipillanatban.Az *' 6s f egys6gvektorokfelhasznrlkls6valirjuk fel a v sebess6gvektort6s az a gyorsuliisvektorta t:3 s id6pontban. 3B-11 Egy motorbicikli 20 mls sebess6ggel3 percig d6li ir6nyban mozog, ekkor nyugatra fordul 6s k6t percig 25 m/s sebesseggelhalad, majd I percig 30 m/s sebess6ggel6szaknyugatiir6nyban szriguld.A mozg6s 6 perces teljes id6tartamhra hatirozzuk meg a) az ered6 elmozdul6st, b) az iltlagsebess6gnagysrlgrit 6s c) az iitl agsebessegvektort. 38-12 Egy auto 8 percig 25 kmlh sebess6ggelkeleti ir6nyban, ezutin 3 percig 40 km/h sebess6ggeld6li ir6nyban,v6giil l7 percen 6t 30 km/h sebesseggeld6lkeleti ir6nyban halad. Hatilrozzuk meg a) a g6pkocsi ered6 elmozdulils6tkil6m6terben,b) az iitlagsebess6gvektort a teljes irtra (K6szitstink vektor diagramot.), c) a g6t. kocsinak a telj es irtra vonatkoztatottiitlagsebess6 38-13 Egy vizszintesenrepi.ilcig6p pil6uija a reptil
3.6 Sebess6g6s gyorsulds k6t 6s hirom dimenzi6ban 3.7 Hajititsok k6t 6s h6rom dimenzi6ban "1, a uirJrin3B-9 Egy reptil6 s6lyom 5m/s sebess6gg tessel 60" szoget bezir6 ir6nyban bukik alii. Milyen sebess6ggelmozog a Fiildon az 6rny6ka,ha a Nap pontosan a fejiink ftlett van.
l--zg
*-*l
3-316bra A 38-16 feladathoz
62 z tsikbeli€stdrbelimozsas
38-17 Egy loved6ket a 3-32 ihrtn liithato m6don a vizszinteshezk6pest 53,1"-os szogbenl6ttek ki. A grriniit eltalillta a kilov6s helye alatt 160 m, vizszintesen 120 m tiivolsrlgban fekv6 c6lpontot. Milyen sebess6ggel lSttek ki a grfinifiot?
38-20 Egy hegymilszo feldob egy miiszotiisk6t az el6tte halado t6rs6nak, aki elkapja azt (3-34 6bra). A miisz6tiiskekezd6sebess6ge 12 m/s 6s a vizszintessel55oos szoget alkotott. Tudjuk toviibbil, hogy a tiiske az elkapiis pillanatrlban vizszintesen reptilt. Milyen tilvol volt egymiist6l a k6t hegymisz6? 38-21 25 m magas hidrol vizszintesiriinyban hajitottunk el egy kovet. A k6 becsap6dilsihely6t a vizszintest6l lefel6 45o-os ir6nyban l6tjuk. a) Mekkora sebesseggel hajitottuk el a kovet? b) Mekkora 6s milyen irrlnyrisebesseggel csap6dotta kcj a vizbe?
l._
120 m -l
3-32 irbra A 38- 17 feladathoz 3B-18 Vizszintespuskacsovetpontosana 100 m tilvolsiigbanelhelyezett clltihlakozepe fel6 tartva a golyo l0 cm-rel a koz6ppont alatt csapodik be. Mekkora sebesseggelhagytael a goly6 a fegyver csovet? 38-19 A vizszinteshezk6pest 50o-os szogben kilStt loved6k a 3-33 6brrinakmegfelelciental6lt celba. Mekkora volt a kezdSsebessese?
38-22 Egy baseballj6t6kos 24 m/s sebesseggel, a vizszinteshez k6pest53,1"-osszogben(ez a 3-4-5 tipusu h6romszogekegyik szoge) iiti el a labdat. a) Mennyi ideig repiil a labda?b) Mekkora maximdlis magass6gba emelkedik?c) Mekkora a hajitrlsit6volsiig?d) Mekkora 6s milyen ir6nyir sebess6ggelrendelkezik a labda 3 mdsodperccelaz eltit6s utiin? 38-23 Vizszintessik felett 20 m magass6gbol,8 m/s sebess6ggel, a vizszintessel50o-osszogetbezdro iriinyban k
Tovfbbi feladatok 3 C - 2 5A d o tat z E : 2 * . - 3 9 + 4 6 2saF z :4i+ly-22 210 m___i
3-33 irbra a 38-19 feladathoz
3-34 6bra A 38 - 20 feladathoz
vektor. Hathrozzuk meg algebrai riton a) a G : E + F vektort, b) a H - F - E vektort 6s c) a J vektort rigy, hogy kiel6gitsea E - 2F + J : 0 egyenletet. 3C-26 Egy hegymiszo expedici6 3000 m magasan letesiti B binisitt, mig K kozbiilsS tihordt 4900 m magass6gbanaz alapthbort6l a vizszintes sikban 5,2 km tiivolsiigra 6s 60o-os szogben 6szaknyugati iriinyban epiti fel. A 6100 m magascstcs ett6l a kozbiils
Feladatok
3C-28 Sik lejtcin elhajitott test a 3-35 ihritn liithato p6ly6tfutotta be. A kinematikai egyenletekbcilkiindulva meg, hogy a) mekkora volt a kezdSsebess6hataroz,zuk ge cs b) milyen g szogbenhajitottuk el a vizszinteshez kcncst.
63
3C-35 Egy labdrit irgy dobtunk el, hogy az adott kezmellett vizszintes iriinyban a lehetcilegnadcisebess6g gyobb R t6vols6grajusson. (L6sd. 3C-29 feladat) a) Mutassuk meg, hogy miut6n a labda tfljutott piiyljanak tetcipontjrinbilrmely x, y koordin6tdjir pontra ervenyes R -- xzl(x - y). b) Vajon az a t€ny, hogy a formuliiban g nem szerepel, azt jelenti, hogy adott kezd6sebess6g mellett a maxim6lis hajitrisit6vols6gugyanakkoralenne a Foldon 6s a Holdon? (Magyarhzzukmeg a v6laszt!) 3C-36 Egy gyerek labdrit dob 6t a 3-37 i,t:.rinl6thato 5 m x 9 m-es negyszogletesbarakk felett. A gyerek 3 m tiivolsrlgbaniill a barakktol. Mekkora minim5lis kezdcies milyen iriinyban kell elhajitaniaa labd6t, sebess6ggel hogy az a barakk sarkait 6ppen elkeriilve jusson 6t a tirloldalra,haa labddtelhajito gyerek keze 1 m-rel van a talaj felett?
3-35 ahra A 3 ( ' . - 2 8l c l a d a t h o z 3C-29 A kincmatikai cgycnlctckb(ilkiindulva hat/arozzuk mcg cgy a vizszintcs sikhoz kcpcst 0 szog alatt, v,, k c z d 6 s c b c s s 6 g g c kl i l 6 t t l i ) v c d c k r 6 p p a l y h l i r n a k c g y c n l c t 6 t6 s a z R l o t i : o l s i r g o t . 3C-30 A 3C-29 f'cladatbanszcrcpl6 rtippilyrija cgycnl c t 6 n e k a d i f f e r c n c i h l i i s a v a lm u t a s s u k n r c g , h o g y a m a 45" kili)vcsi sz
3C-31
3C-32
- ' - . - - - a
I
V 1 l
rmt r _
II
l*J ' 3 m
'
Halarozzuk mcg, hugy nrilycn 0 kil6vcsi szog
eset6n lesz egy lovcdck IL l(itiivolsiiga cgycnl(i a ll e m e l k e d 6 s i m a g a s s d g 6 v a l .( l n d u l . i u n k k i a k i n c r n a t i k a i egyenletekbcil.) A kinematikai cgycnlctck alapiiin halarotzlk 3C-33 m e g a v o k e z d 6 s c b c s s c g g c l ,0 k i l i i v c s i s z i ) g g c l k i l i i t t loved6k maxim6lis y,, cmclkcdcsi magassiig:it. 3C-34 Vizszintes sik fclctt l(X) m rnagassagbanclliclyezkedf pontb6l avizsztnlcshcz kcpcst ?5"-os cttlclkcd 6 s i s z o g g e l l o v e d c k c t l d v i l n k k i . n l i i v c t l c k c l t r r l i l . i i ra 3 - 3 6 i h r i t n a k m e g f e l c l 6 c n v i z s z i t t t c s c n5 ( X ) r r r t a v o l s a g ban elhely ezett clltitbl at. M c k k t I ra vt I I t a k czcliisc bcsscgc'/
3-37 irbra A 3C-36 fcladathoz
tsgy labd6t a vizszintes tengelyhez kepest 0 3C-37 szdgbcn (0 < 0 < 90') v,, sebcss6ggel hajitottunk elMutassuk fficg, hogy parabolapiilyin mozog. (Megicgyzcs: A kincrnatikai cgycnlctekb5l a t kifejez6st y risszctcvdt x fiiggvcnyckent fejezziik ki. clirr-rinhlvar l j r n l c k c z t c t i i n k a r r a , h o g y a p a r a b o l a6 l t a l 6 n o sc g y e n l c t e v 6 x + h x 2a l a k u . ) 3C-3lt lrgy szdcskc vizszintcs iriinyban lcgfeljcbb I m tiivolsilgra tud clugritni. l;cltctclczvc, hogy arz clugr6shoz sziikscgcs icl6 clhanyagolhato, hatarozzuk meg, Irogy vizszintcs uton mckkora maximirlis scbcsscggcl l r a l a c la s z i i c s k o ,l r a m i n c l i g a n l a x i n r i r l i s t a v o l s d g b a u g -
l--
500m----l
3-36 irbra A 3C-34 feladathoz
r i k . ( l . h s c la 3 C - 2 9 f - c l a c l a t o6ts a n n a k c r c d m c n y 6 t ) . lrgy liivcclckct 0 kildvcsi szoggcl loviink ki. 3(l-39 llatitrozzuk nrcg, hogy a lovcdck ri;pprilynjrinak tctcipontja nrckkora (r szdg alatt lirtszik a kilovcsi pontbol3C-40 Cialilci Ktt ui tucktmrinv cim[i m[iv6bcn azt 6llitia, hugy ,,il 45"-nal ugyanannylval nagyobb, ill. kisebb omclkcdcsscl (haiit6si szoggcl) clhajitott tcstek azonos tlivolsirgrayutnakcl" Bizonyitsuk bc eztaz 6llit5st.
AZ I-23 FEJEZ.E'TEKPARATLAN SZAMOZASU FELADATAINAK MEGOLDASAI
III. Fejezet
II. Fejezet 2A-l 200 km 6 2A-3 1 f 6 n y 6 v: 9 , 4 6 x 1 0 r sm ; I p c : 3 , 0 9x 1 0 1m 2A-5 0,447yo 2A-7 49,4 2B,-9 7,40 perc; az 6ra hosszabb 2A-ll 6, 67x 1 0 -2s2 2A-13 1, 63c ml 6 v 2A-15 5 5 , 4s 28'-17 lehetetlen 2B-19 a) 1, 20m /s b ) 7 ,0 0s c ) -1 ,5 4 m /s (kozelitcileg) 2B-21 62,5 mlsz 28-23 2, 65 x 1 0 0m /s 2 2A-25 2, 59 m l s 2A-27 0, 639s 2A-29 a ) 1 , 6 3s b ) 9 , 9 6m / s c ) 1 3 , 1m 2A-31 a) 5, 00 s b ) 7 5 ,0m 2B'-33 3 , 3 4s 2B-35 0, 804s; 0 ,0 1 2 1s 28-37 a) - 1, 5 m/s 2 b ) 4 s c ) 5 ,3 3m
3A-1 a) 7 osztitsr6sztb) 36,9'; 5 oszt6sr6sz 3A-3 a) C -6i+5);D=-2i+7y ; : 7 , 2 8 ;1 0 6 " b ) g : 7 , 8 1 ;3 9 , 8 " D 3 B - 5 C : 5 , 3 9 1 ' 2 7 , 8D" ; : 6 , 0 8 ;8 0 , 5 " ;E : 1 0 , 8 ; 248,2" 3A-7 a) C - j, - Z2;2,24m b) D-4i+5y-62;8,78m 3B -9 2,50m/s 3B -l I a) 4,87 km; 61,4" d6l nyugatrab) 23.3m / s c) 13,5mi s; 61,4"d6l nyugatra 3 B - 1 3 16,1"a hori zontal att 3 A - 1 5 1 3 , 6m 38.17 24,7 ml s 3 B - 1 9 55,4m/s 38-21 a) I l, I m/s b) 24,7 mls;;26,5"a fiiggcilegest6l 3B-23 a) 21,9m b) 2,74 s c) 14,1 m d) 21,4 m/s; I 3,9oa fiiggcilegestcil 3C-25 a ) 6 i - 2 y + 2 2 b ) 2 i + a y - 6 2 c) 6i + 5y -82
2B-39 a) 6f b) 3r 28-41 a ) 2 m ; 3 m / s ;4 m l s z b ) v : 3 - 8 r
3C-27 (.2,44m, 1I ,9 m)
c) -8 m/s2 d) 0,375s e) 2,56 m 2B.43 c) -4 m/s d) 34,0 m 2B'-45 x ( 2 ) : 2 m ; x ( 4 ) : 6 m ; x ( 6 ): 1 4m ; x(l0):22 m
3C-29
2 B - 4 7a = * ; b = - t r 2C-49 2C-51 2C-53 2C-55 2C- 57 2C-59 2C-61
2C-65a) v:3Af
-
v
2
sin20 o (5
3C-3r
A v6lasz adott.
3C-33
v,,tsin2g v.-L_ '
)o
a) 12,8m/s b) 5,90 m 12,2 mls a) 7 mls b) -5,35 m/s c) -9,8 m/s2 a) 46,2 s b) 34,6 m/s i4. 2 s 4,83 x 10-rm/s2 a) 26,4 m b) 6,89ozt
2C- 63 a) 41,5 s b ) 2 0 ,7 Y
D _ ,t\ -
c ) 1 0 ,4 1 1
b ) a : 6 A t c ) 0 , 0 5 3 3m / s r
3C-35 A v6laszadott.
[
3C-37 Jr , = \( Q t s' 0 ) - r - l
"
o
l .
.l-rt L2(v,,cose)-) (teg) 3C-39 A = a r ct -e\l | 2 )
IV. Fejezet 4A-l a) 8,73 x 10-3rad b) 0,030rad 4B -3 91,7"
