SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

ARITMETIKA

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

ARITMETIKA ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA •

Jestliže něco (celek) rozdělíme na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. o Zlomek tři čtvrtiny (tři lomeno čtyřmi) Čitatel – sděluje, kolik těchto částí zlomek obsahuje

3 4

zlomek

Zlomková čára Jmenovatel – udává, na kolik stejných částí je celek rozdělen

•

Vyjádření celku o Celek =

1 – čitatel = jmenovatel

•

Zlomek nemá smysl -Ve jmenovateli zlomku nemůže být nula

•

Zlomek 0

•

Zlomek, který má stejného jmenovatele a čitatele je roven jedné ->

•

Každé přirozené číslo můžeme zapsat jako zlomek se jmenovatelem 1 o 5

1

ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ ZLOMKŮ ROZŠIŘOVÁNÍ ZLOMKŮ • Zlomek rozšíříme, když čitatele i jmenovatele zlomku vynásobíme stejným číslem různým od nuly. • Hodnota zlomku se při rozšiřování nemění o Zlomek rozšiřujeme třemi ·

·

KRÁCENÍ ZLOMKŮ • Zlomek zkrátíme, když čitatele i jmenovatele zlomku dělíme beze zbytku číslem různým od nuly. • Hodnota zlomku se při krácení nezmění. o Zlomek krátíme pěti

ZÁKLADNÍ TVAR ZLOMKU • Zlomek v jehož čitateli a jmenovateli jsou nesoudělná čísla (nemají žádného společného dělitele) o

Hledáme vlastně největšího společného dělitele čitatele a jmenovatele zlomku

Zkrať zlomek na základní tvar

1

ARITMETIKA


ZLOMEK JAKO DESETINNÉ ČÍSLO •

0,5 - zlomková čára je naznačené dělení

o

2

12 : 6 = 2

DESETINNÉ ZLOMKY • Zlomky v jejichž jmenovatelích jsou čísla 10,100, 1000 …. o 0,3

o

0,42

PERIODICKÁ ČÍSLA • Všechny zlomky nelze zapsat ve tvaru desetinného zlomku. Některá mají po dělení nekonečný desetinný rozvoj. V jejich zápise se číslice opakují. o 0,1666 0,16

o

0,818181 0, 81

POROVNÁVÁNÍ ZLOMKŮ

-2

1 2

0

-1

1

2

Porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli Porovnáváme-li • kladné zlomky se stejným jmenovatelem, je větší ten zlomek, který má většího čitatele. o •

•

kladný a záporný zlomek, je větší ten zlomek, který je kladný. o

záporné zlomky, je větší ten jehož čitatel má menší absolutní hodnotu. o

?

Porovnávání zlomků s různými jmenovateli Porovnáváme-li • Zlomky s různými jmenovateli, převedeme je na společného jmenovatele a tím si je převedeme na první případ. o Společného jmenovatele najdeme tak, že zlomky vhodně rozšíříme (najdeme nejmenší společný násobek čísel ve jmenovatelích) o rozšíříme na ; pak porovnáváme zlomky se stejnými jmenovateli proto

POROVNÁVÁNÍ ZLOMKU S ČÍSLEM JEDNA 0 1 2 3 4 5 6 7 1 4 4 4 4 4 4 4 4 Zlomek je větší než jedna, pokud je čitatel > než jmenovatel

2

ARITMETIKA


SMÍŠENÁ ČÍSLA Napište zlomky, které jsou větší než 1 – všechny tyto zlomky lze převézt na smíšené zlomky Převod na smíšená čísla • Všechny zlomky větší než 1 lze vyjádřit ve tvaru celku a zlomku o 1 1 - čteme jedna a dvě čtvrtiny

o

2

6 4 1 !"# 2$ 1

2 2·53

SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Př.

Sčítání a odčítání zlomků • Sčítání (odčítání) zlomků se stejnými jmenovateli o sečteme (odečteme) čitatele a jmenovatele opíšeme o 1

•

Sčítání (odčítání) zlomků s různými jmenovateli o Převedeme zlomky na společného jmenovatele a pak je sečteme jako zlomky se stejným jmenovatelem 1 o

Určení společného jmenovatel •

Výsledek po sčítání je vždy dobré zkrátit na ZT.

•

3

Nejmenší společný jmenovatel o Určíme nejmenší společný násobek jmenovatelů o Rozšíříme zlomky tak, aby se jejich jmenovatelé rovnali nejmenšímu společnému násobku jmenovatelů o Dostali jsme zlomky se stejnými jmenovateli, sečteme (odečteme) už pouze jejich čitatele Společný jmenovatel o Vždy lze využít možnosti vynásobení jmenovatelů zlomků, nevýhodou jsou velká čísla

ARITMETIKA


NÁSOBENÍ ZLOMKU PŘIROZENÝM ČÍSLEM • Zlomek násobíme přirozeným číslem tak, že přirozeným číslem vynásobíme čitatele a jmenovatele opíšeme · o 2· =

NÁSOBENÍ ZLOMKU ZLOMKEM • Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem · · o

·

•

Při násobení smíme krátit · · o · · · · · Počítáš součin zlomků? = KRAŤ zlomky už před násobením · o · ·

•

o DĚLENÍ ZLOMKŮ Převrácený zlomek • Zlomek

převrácený zlomek

•

·

·

·

Převrácený zlomek ke zlomku dostaneme tak, že zaměníme ve zlomku čitatele a jmenovatele.

Dělení zlomků • Číslo dělíme zlomkem tak, že je násobíme převráceným zlomkem • Nulou dělit nelze, zlomkem, který má čitatele nulu, dělit nemůžeme. o

· 6 o

4

·

SLOŽENÉ ZLOMKY – zlomková čára je naznačené dělení (pokud se v čitateli a jmenovateli vyskytnou součty, rozdíly, … zlomků, provedeme nejprve tyto operace. Složeného zlomku se zbavujeme až ve chvíli, kdy máme v čitateli i jmenovateli jednoduchý zlomek) o

% & ' %'

·

1

ČÍSELNÁ OSA – DESETINNÁ ČÍSLA A ZLOMKY

Když chci vyjádřit zlomek desetinným číslem, tak vydělím čitatele zlomku jmenovatelem

-2

−

7 4

−

3 2

-2 - 1,75 - 0,5

−

5 4

- 1,25

-1

−

3 4

−

1 2

−

1 4

-1 - 0,75 - 0,5 - 0,25

0

1 4

1 2

3 4

1

5 4

3 2

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

4

7 4

2

1,75

2

ARITMETIKA


POMĚR •

Poměrem rozumíme porovnávání dvou hodnot. Pokud se například v jedné místnosti nacházejí tři dívky a osm chlapců, je poměr počtu dívek vůči počtu chlapců tři ku osmi. o Zapisujeme 3 : 8 o Porovnáváme délky, obsahy, objemy, hmotnosti, počty lidí, stromů, částky peněz… o Oba členové poměru jsou kladná čísla

•

Při stanovení poměru musíme obě množství vyjádřit ve stejných jednotkách

Převrácený poměr • Poměr 2 : 5

převrácený poměr 5 : 2

Rovnost poměrů o 4:8 1:2 • Výsledek dělení čísla 4 číslem 8 je stejný jako výsledek dělení čísla 1 číslem 2. o 4 : 8 = 0,5 1 : 2 = 0,5 • Říkáme, že poměry 4 : 8 a 1 : 2 mají stejnou hodnotu, nebo že se rovnají. ROZŠIŘOVÁNÍ A KRÁCENÍ POMĚRU • Poměr rozšíříme tak, že první i druhý člen poměru vynásobíme stejným kladným číslem o 3 : 8 = (3 ∙ 5) : (8 ∙ 5) = 15 : 40 o 1 : 0,5 = (1 ∙ 2) : (0,5 ∙ 2) = 2 : 1 • Poměr zkrátíme tak, že první i druhý člen poměru vydělíme stejným kladným číslem o 15 : 9 = (15 : 3) : (9 : 3) = 5 : 3 o 1,5 : 6 = (1,5 : 1,5) : (6 : 1,5) = 1 : 4 • Při rozšiřování ani při krácení poměru se jeho hodnota nezmění POMĚR V ZÁKLADNÍM TVARU • Je poměr, pro který platí: první i druhý člen jsou přirozená čísla a jejich největší společný dělitel je číslo 1. o 3:4 o 17 : 13 • Členy poměru v základním tvaru jsou nesoudělná čísla POČÍTÁME S POMĚRY • Změnit číslo v poměru o Změnit číslo v poměru 7 : 2 znamená vynásobit toto číslo zlomkem

o Změň číslo 4 v poměru 7 : 2 => 4 · = 14 o Když změníme číslo v poměru, ve kterém je první člen větší než druhý člen, číslo se zvětší o Když změníme číslo v poměru, ve kterém je první člen menší než druhý člen, číslo se zmenší • Rozděl číslo v poměru o Rozděl číslo 12 v poměru 1 : 2 => 12 : (1 + 2) = 4 – představuje jeden díl (1 ∙ 4) : (2 ∙ 4) = 4 : 8 POSTUPNÝ POMĚR • Postupným poměrem porovnáváme tři a více údajů (výhry, hmotnosti, délky, objemy…) o a:b:c MĚŘÍTKO PLÁNU A MAPY • Měřítko 1 : 100 vyjadřuje, že 1 cm na mapě vyjadřuje 100 cm ve skutečnosti.

5

ARITMETIKA


PŘÍMÁ A NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST •

Jestliže jsou dvě hodnoty na sobě natolik závislé, že změna jedné z nich vyvolá změnu té druhé, říkáme, že jsou úměrné.

PŘÍMÁ ÚMĚRNOST • Je taková závislost proměnné y na proměnné x, pro kterou platí: o Kolikrát se zvětší hodnota x, tolikrát se zvětší hodnota y. o Kolikrát se zmenší hodnota x, tolikrát se zmenší hodnota y. o Hodnoty y a hodnoty x se mění ve stejném poměru o Říkáme, že proměnná y je přímo úměrná proměnné x

3:2 2 4

X y

3 6

3:2 GRAFEM přímé úměrnosti je přímka (nebo její část, případně izolované body ležící na přímce) •

Lze vyjádřit vztahem y = kx o x ……nezávisle proměnná o y …… závisle proměnná (její hodnota závisí na proměnné x) o k ……. koeficient přímé úměrnosti o Všechny body grafu přímé úměrnosti leží na přímce, která prochází počátkem O pravoúhlé soustavy souřadnic. GRAF PŘÍMÉ ÚMĚRNOSTI y = x

y=x 8

x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 0 1 2 3 4 5 6 7

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

TROJČLENKA Př. Caravan, nový typ automobile Astra Combi, má průměrnou spotřebu 6 litrů nafty na 100 km. Kolik kilometrů lze s naplněnou 52 litrovou nádrží ujet? Ověření, o jaký typ úměry se jedná: čím více kilometrů, tím více litrů nafty 6 l………………………..100 km Obě šipky vedou zdola nahoru.

52 l……………………….…x km

x : 100 = 52 : 6 x 52 = 100 6

/ ∙ 100

52 = 867 6 Plná nádrž vystačí přibližně na 867 km x = 100 ⋅

6

ARITMETIKA


NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST •

Je taková závislost y na proměnné x, pro kterou platí: o Kolikrát se zvětší hodnota x, tolikrát se zmenší hodnota y. o Kolikrát se zmenší hodnota x, tolikrát se zvětší hodnota y. o Hodnoty y a hodnoty x se mění v převrácených poměrech. o Říkáme, že proměnná y je nepřímo úměrná proměnné x. o o o

se dá vyjádřit vzorcem y =

k x

kladné číslo se nazývá koeficient nepřímé úměrnosti. Všechny body grafu nepřímé úměrnosti v pravoúhlé soustavě souřadnic Oxy leží na křivce, která se jmenuje hyperbola.

GRAF NEPŘÍMÉ ÚMĚRNOSTI y= 1/x 4,5

x 0,3 0,4 0,5 1

2

2,5

4

4

y

3,5

4

2,5

2

1 0,5 0,4 0,3

3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

TROJČLENKA Př Když do prázdného bazénu začne přitékat voda rychlostí 3 hektolitry za minutu, bazén se naplní za 5 hodin. Za jak dlouho by se bazén naplnil výkonnějším čerpadlem, které přivádí do bazénu 750 litrů za minutu? Ověření o jaký typ úměry jde: Kolikrát se zvětší rychlost přitékané vody, tolikrát se zmenší doba potřebná k naplnění bazénu. Rychlost a čas se mění v převrácených poměrech, jde o nepřímou úměrnost. 300 l za min . . . . . . 5 h 750 l za min . . . . . . x h

Šipka vedoucí vzhůru začíná u neznámé, šipka na druhé straně vede opačným směrem.

x : 5 = 300 : 750

x 300 = 5 750 x = 5⋅

/∙ 5

300 =2 750

Výkonějším čerpadlem se naplní za 2 hodiny.

7

ARITMETIKA


PROCENTA • •

Procenta umožňuj vyjádřit zlomky nebo desetinná čísla jako části celku o velikosti 100. Per cent znamená „v každém stu“.

Jedno procento

1 celku = 0,01 celku 100

•

1% celku =

• •

Jedno procento je setina z daného celku. Celek se nazývá základ, představuje 100%.

Př. Určete 1 % ze základu 500 Kč. Řešení Protože 1 % je jedna setina celku, platí: 1% z 500 Kč =

1 z 500 Kč = 1 ⋅500 Kč= 5 Kč 100 100

Základ – z = 100% Vypočti 1% z 700 =

1 ⋅ 700 = 7 100

Počet procent - p

Procentová část - č

Př. Vypočti 64% z 500. 64% z 500 = 64 ⋅500 = 320 100

Př. Vyjádři v procentech tyto části celku 1 25 = = 25% 4 100

1 50 3 75 = = 50% = = 75% 2 100 4 100

1 20 = = 20% 5 100

Výpočet procentové části Př. Obchodník nakoupil ve velkoobchoděsportovní trička po 125 Kč. Při prodeji připočítává k velkoobchodní ceně 8%. Za kolik korun trička prodává? Trojčlenkou 100% …………………………125 Kč 108% …………………………… x Kč

přes jedno procento 100% ………………… 125Kč 1% ……………………..125 : 100 = 1,25 Kč 108% ………………….108 ∙ 1,25 = 135 Kč

108 : 100 = x : 125 108 x = 100 125 108 x= ⋅ 125 100 x = 125 ⋅ 1,08 x = 135 Kč 8

ARITMETIKA


Výpočet základu Př Maminka potřebuje do cukroví 120 gramů jader lískových oříšků. Jádra lískových oříšků tvoří přibližně 80% hmotnosti oříšků, zbytek jsou skořápky. Kolik gramů nevyloupaných oříšků musí maminka koupit, když doma žádné nemá? Trojčlenkou 80% …………………………..120 g 100%……………………………...x g

přes jedno procento 80% ……………………120 g 1% ………………………120 : 80 = 1,5 100% ………………….1,5 ∙ 100 = 150 g

100 : 80 = x : 120 100 x = 80 120 100 x= ⋅ 120 80 x = 150 g Maminka musí koupit 150 gramů lískových oříšků.

Výpočet počtu procent Př. V sedmých třídách probíhá volba starostů tříd. V 7.a, kde je celkem 35 žáků, vyhrál Adam, který získal 20 hlasů. Kolik procent hlasů získal? Trojčlenkou 35 …………………….100% 20 ………………………..x%

přes jedno procento 100% ………………….35 1%..........................35 : 100 = 0,35 X% ………………………..20 : 0,35 = 57,14%

20 : 35 = x : 100 20 x = 35 100 20 x= ⋅ 100 35 x = 57,14% Adam získal 57,14% hlasů.

PROMILE • •

Jedno promile z daného základu je jedna tisícina z tohoto základu. Jedno promile značíme 1‰

•

1‰ ze základu je

• •

Jedno promile je jedna desetina procenta. Jedno procento je deset promile.

1 ze základu čili 0,001 ze základu. 1000

9

SHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená

Recommend Documents