Shodné zobrazení v rovině

Gymnázium Cheb

Shodné zobrazení v rovině seminární práce

Cheb, 2007

Lojza Tran

Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: “Shodné zobrazení v rovině” vypracoval zcela sám za použití pramenů uvedených ve zdroji na počítači v programech MS Word, Cabri a Malování.

V Chebu dne 16.prosince 2007

.................................................... Podpis řešitele

2

Anotace Ve své semární práci se budu zabývat matematickým tématem shodné zobrazení těles v rovině. Blíže se společně podíváme na čtyři nejčastější druhy shodných zobrazení: středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí a otáčení.

3

Obsah Úvod ......................................................................................................................................................................5 Shodné zobrazení .................................................................................................................................................6 Identita ..................................................................................................................................................................7 Osová souměrnost ................................................................................................................................................7 Středová souměrnost ...........................................................................................................................................9 Posunutí ............................................................................................................................................................. 10 Otočení ............................................................................................................................................................... 11 Řešené příklady s použitím shodného zobrazení: ........................................................................................... 13 Skládání shodných zobrazení ............................................................................................................................ 20 Posunutá souměrnost ....................................................................................................................................... 21 Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení ............................................................................................... 22 Seznam použité literatury ................................................................................................................................. 23

4

Úvod Mezi nejdůležitější části matematiky patří nepochybně geometrie. Rozhodl jsem se zabývat ve své seminární práci jedním z témat geometrie, a to shodné zobrazení tělesa v rovině. Shodné zobrazení je také jedno z maturitních témat, proto se budu v této práci snažit výstižně, za to však přesně definovat a vysvětlit čtyři základní druhy shodného zobrazení: středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí a otáčení. U každého druhu jsem rozebral jeden příklad pro názornou ukázku. Pro lepší pochopení celého tématu jsem zpracoval několik příkladů na téma shodné zobrazení. Cíl práce: shrnout středoškolské učivo o shodném zobrazení v rovině

5

Shodné zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, kdy ke každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X´ roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X´ jeho obraz. Symbolicky zapisujeme Z: XX′. Zobrazení v rovině nazýváme shodné zobrazení neboli shodnost právě tehdy, když obrazem každé úsečky AB je úsečka A´B´, pro kterou platí |AB| = |A´B´|. Jestliže body A, A´splynou, pak se bod A=A´ nazývá samodružný bod daného zobrazení. Jinými slovy se dá říct, že shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí na sebe navzájem kryjí. Pro názornou představu a pro pochopení dalších pojmů použijeme jeden příklad z praktického života. Nakreslíme na papír útvar U. Tento útvar překreslíme na průsvitku. Průsvitku pak přemístíme tak, že ji buď ponecháme vzhledem k papíru lícem nahoru, nebo obrátíme lícem dolů. Tímto dostaneme nový útvar, který je shodný s původním útvarem U. Je-li potřeba při přemísťování obracet průsvitku, jde o nepřímou shodnost. V opačném případě se jedná o shodnost přímou. Jestliže obraz každého bodu útvaru U je opět bodem tohoto útvaru, pak obraz U´ útvaru U s ním splývá (přitom ovšem každý bod X útvaru U nemusí splývat se svým obrazem X´). V tomto případě říkáme, že útvar U´=U je samodružný útvar daného zobrazení. V rovině existují několik druhů shodných zobrazení přímé shodnosti: 

identita



posunutí (translace)



otočení (rotace)



středová souměrnost

nepřímé shodnosti: 

osová souměrnost



posunutá souměrnost 6

Základní vlastnosti shodných zobrazení vyjadřují následující věty: 

obrazem přímky AB je přímka A´B´; obrazem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky



obrazem polopřímky AB je polopřímka A´B´; obrazem opačných polopřímek jsou opačné polopřímky



obrazem poloroviny pA je polorovina p´A´; obrazem opačných polorovin jsou opačné poloroviny



obrazem úhlu AVB je úhel A´V´B´ shodný s úhlem AVB



obrazem útvaru U je útvar U´ shodný s útvarem U



pro každé shodné zobrazení existuje inverzní zobrazení, která je opět shodné a složením shodného zobrazení a k němu inverzního zobrazení je identické zobrazení



inverzní zobrazení ke shodnému zobrazení je stejného typu, jako původní zobrazení (například inverzním zobrazením k otočení je opět otočení atd.)

Identita Definice: Identita, nebo také identické zobrazení, je zvláštním případem shodnosti, kdy každému bodu X dané roviny přiřazuje jako obraz týž bod X´ = X.

Osová souměrnost Definice: Je dána přímka o. Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení O(o), které přiřazuje: 1. každému bodu X  o bod X´ tak, že přímka XX´ je kolmá k přímce o a střed úsečky XX´ lež na přímce o, 2. každému bodu Y  o bod Y´= Y 7

Přímka o se nazývá osa souměrnosti, o bodech X, X´ říkáme, že jsou souměrně sdružené podle osy souměrnosti. Osová souměrnost je nepřímá shodnost. Samodružnými body osové souměrnosti jsou právě jen všechny body osy o.

Příklad s využitím osové souměrnosti: Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 7 cm, v a = 6,5cm, a + b = 12,5 cm

Rozbor: Jako první najdeme bod A 0, který je průsečíkem kružnic k (S AB ; r = ½*c) a l (A; r = va ). Následně najdeme bod X ležící na přímce A0 ve vzdálenosti a+b od bodu B. Hledaný bod C bude ležet na ose úsečky AX (XCA tvoří rovnoramenný trojúhelník) v průsečíku s přímkou BX. Konstrukce: 1) AB; |AB| = c = 7cm; 2) k; k (S AB ; r = ½ *c), S AB ... střed AB; 3) l; l (A; r = v a); 4) A o ; Ao  k  l; 5) m; m(B; r = a+b); 6) X; X  m  BAo; 7) o ; o ... osa úsečky XA; 8) C; C  o  BAo ; 9) ∆ABC;

Úloha má jedno řešení v dané polorovině.

8

Středová souměrnost Definice:

Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení S(S), který přiřazuje: 1. každému bodu X ≠ S bod X´ tak, že bod X´ leží na polopřímce opačné k polopřímce SX, 2. |SX´| = |SX|, 3. bodu S bod S´= S.

Středová souměrnost je speciálním případem otočení o úhel velikost α = 180˚. Středová souměrnost je přímá shodnost. Jediným samodružným bodem je střed souměrnosti S.

Příklad s využitím středové souměrnosti: Je dána úsečka AA 1 délky 5 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA1 těžnicí a přitom platí, že velikost strany b je 6 cm a těžnice tb má velikost 6 cm.

Řešení Rozbor: Bod B náleží na kružnici l se středem v těžišti a poloměrem 2/3 velikosti tb. Ve středové souměrnosti A1 jsou hledané body B a C souměrné. Proto bod C bude ležet na průniku kružnice l´, která je obrazem kružnice l ve středové souměrnosti se středem A 1, a kružnice k se středem v bodě A a velikostí b. Bod B najdeme jako obraz bodu C ve středové souměrnosti se středem A 1 .

9

Konstrukce: 1) AA 1 ; |AA 1 | = 5cm; 2) T; |TA1 | = 1/3 * |AA 1 |; 3) l; l (T; r = 4 cm); 4) l´; S(A1 ): l → l´; 5) k; k (A; r = 6 cm); 6) C; C 2  l´  k; 7) B; S(A1 ): C → B; 8) ∆ABC; Úloha má 2 řešení v dané polorovině, protože se kružnice l´ protla s kružnicí k ve dvou bodech.

Posunutí Definice:

Posunutí (translace) v rovině je shodné zobrazení, která každému bodu X roviny přiřazuje obraz X´ takový, že platí XX´ = s, kde s je daný vektor.

Vektoru s se říká vektor posunutí, jeho velikost (délka) udává délku posunutí a jeho směr určuje směr posunutí.

Příklad s využitím posunutí: Sestrojte lichoběžník ABCD (AB // CD), je-li dáno a = 6,5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm a d = 3 cm.

10

Řešení Rozbor: Bod D získáme sestrojením trojúhelníku AB 1D podle věty sss, kde |AB 1 | = a-c, |B 1D| = b. Bod C následně najdeme posunutím bodu D pomocí vektoru BB 1. Konstrukce: 1) ∆AB 1D; |AB 1 | = 3,5cm, |B 1D| = 4cm; |AD| = 3cm; 2) B; B  AB 1  k (A; r = 6,5cm); 3) T(B 1B): D → C; 4) lich. ABCD;

Úloha má polorovině.

jedno

řešení

v dané

Otočení Definice: Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je φ, a bod S. Otočení neboli rotace je shodné zobrazení R(φ, S), které přiřazuje: 1. každému bodu X ≠ S bod X´ tak, že |X´S| = |XS| a orientovaný úhel XSX´ má velikost φ, 2. bodu S bod S´ = S. 11

Otáčení je jednoznačně určeno středem otáčení S, velikostí úhlu otáčení φ a daným smyslem otáčení - kladný či záporný. Příklad s využitím otočení: Je dána kružnice k(S; 3 cm) a bod A (|SA| = 1,5 cm). Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k o délce 5,5 cm, které procházejí bodem A. Sestrojte objekty podle zadání a vytvořte hypotézu o poloze hledaných bodů X, Y vzhledem k zadaným útvarům. Řešení: Rozbor: Tětivu XY získáme sestrojením libovolné tětivy X'Y', která má stejný rozměr, jako hledaná tětiva, ale nenáleží ji bod A. Poté sestrojíme množinu všech bodů, které mají vzdálenost od středu S shodnou s vzdáleností SA tj. kružnice l(S; r=1,5cm). Průnikem X'Y' s kružnicí l získáváme body A' a A''. Otočením A' a A'' získáváme i otočenou úsečku X'Y' která je hledanou tětivou. Konstrukce: 1) k; k(S;r=3cm); A; |SA|=1,5 cm; 2)X'Y'; |X'Y'|=5,5 cm  X'Y' ... tětiva k; 3) l; l(S;r=1,5cm); 4)A'; A'  X'Y'  l; 5) R(  A'SA; S): A' → A  X'Y' → XY; 6) XY;

Úloha má 2 řešení.

12

Řešené příklady s použitím shodného zobrazení: Př.1 Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby Y  BC, Z  CD. Řešení: Rozbor Hledáme body Y, Z v rovnostranném trojúhelníku. Body Y, Z jsou osově souměrné podle osy AC, tedy bude stačit nalézt jeden z těchto dvou bodů. Osa souměrnosti AC je zároveň i osou úhlu při vrcholu A. V rovnostranném trojúhelníku platí, že každý vnitřní úhel trojúhelníka se rovná 60˚. V tomto případě osa úhlu bude svírat se stranou AZ, resp. AY úhel o velikosti 30˚. Bod Z bude tedy průsečíkem strany čtverce CD a přímky svírající s osou soměrnosti 30˚. Bod Y najdeme v osové souměrnosti zobrazením bodu Z podle osy AC. Konstrukce: 1) čtverec ABCD; 2) X; |  XAC| = 30˚; 3) Z; Z  AX  CD; 4) Y; O(AC): Z→Y; 5) ∆AYZ;

Úloha má jedno řešení v dané polorovině.

13

Př. 2: Jsou dány dvě soustředné kružnice k (S; 2 cm), l (S; 3 cm) a bod A tak, že |SA| = 2,3 cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC, pro které platí B  k, C  l. Řešení: Rozbor Hledáme body B, C. Bod C je obrazem bodu B v otočení R(A; +60˚). Jelikož bod B leží na kružnici k, musí bod C ležet na kružnici k´, která je obrazem k v otočení R(A; +60˚). Bod C tedy náleží l a kružnice k´. Bod B pak můžeme sestrojit pomocí inverzního zobrazení R(A; -60˚). Konstrukce 1) k, l, A; 2) k´; R(A; +60˚): k→k´; 3) C; C  l  k´; 4) B; R(A; -60˚): C→B; 5) ∆ ABC;

Úloha má 2 řešení v dané polorovině. Pokud totiž zvolíme bod B jako na obrázku č.2, je bod C obrazem bodu B v otočení R(A; -60˚).

Př. 3 Je dána úsečka AA1 , |AA 1 | = t a . Sestrojte všechny trojúhleníky ABC, v nichž AA 1 je těžnicí ta a jejichž další dvě těžnice mají délky tb a t c. Řešení Rozbor Hledáme body B, C. Sestrojíme úsečku AA 1 a těžnici T. Bod B leží na kružnici k 1(T; 2/3*tb ) a bod C na k2(T; 2/3*tc). Bod B je obrazem bodu C v souměrnosti podle středu A1 . Z toho vyplývá, že bod B leží na kružnici k 2 ´, která je obrazem kružnice k 2 ve středové souměrnosti S (A1). 14

Bod C pak sestrojíme jako obraz bodu B v S(A1 ). Konstrukce 1) AA 1 ; |AA1 | = t a 2) T; T  AA1  |AT| = 2/3*ta 3) k 1 ; k 1(T; 2/3*tb ) 4) k 2 ; k 2(T; 2/3*tc ) 5) k 2 ´; S(A1 ): k 2→k 2 ´ 6) B; B  k1  k2 ´ 7) C; S(A1 ): B→C 8) ∆ABC

Diskuse Úloha má řešení právě tehdy, neleží-li bod B na přímce AA 1 ´ a zároveň je průsečíkem kružnic k 1(T; 2/3*tb ) a k 2 ´(T´; 2/3*tc ), kde T´ je obrazem bodu T v S(A1 ). To platí v případě, že kružnice k 1 a k 2 ´ mají právě dva společné body, tedy právě tehdy, když platí: |⅔tb - ⅔tc | < ⅔ta < ⅔tb + ⅔tc |⅔tb - ⅔tc | < |TT´| < ⅔tb + ⅔tc |t b - t c | < t a < tb + tc Jsou-li tyto nerovnosti splněny, má úloha dvě řešení, jinak úloha nemá řešení.

Př. 4 Kružnice k1(O1; r1) a k 2(O2; r2) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely po řadě na kružnicích k 1, k 2 a úhlopříčka BD (|BD| = 5 cm) na přímce p. Volte vzájemnou polohu kružnic k1, k 2 a přímky p tak, aby úloha měla a) 2 řešení, b) 1 řešení, c) 0 řešení d) nekonečně mnoho řešení. 15

Řešení Rozbor Body A a C jsou souměrně sdružené podle osy souměrnosti p. Bod C leží na kružnici k 2 a bod A leží na kružnici k 1. Zobrazením kružnice k 1 do k1 ´ podle osové souměrnosti p dostaneme hledaný bod C jako průsečík kružnic k 1´ a k 1 . Následně bod A nalezneme jako obraz bodu C v inverzním zobrazení. Body B a D leží na přímce p. Z vlastnosti kosočtverce vyplývá, že úhlopříka BD je půlená úhlopříčkou AC a AC je na ni kolmá. Proto body B a D nalezneme jako průsečík přímky p s kružnicí k(P; ½*|BD|), kde P je průsečík BD s AC. Konstrukce 1) k 1 ; k 2 ; p 2) O(p): k 1→k1 ´ 3) C; C  k2  k1 ´ 4) A; O(p): C→A 5) P; P  AC  p 6) k; k(P; ½*|BD|) 7) B, D; B  D  k  p 8) kos. ABCD

Diskuse Úloha nemá řešení, neprotnou-li se kružnice k 1´ a k 2 ani v jednom bodě. Úloha má jedno řešení, mají-li k1 ´ a k 2 vnější nebo vnitřní dotyk. Úloha má dvě řešení, jestliže k 1 ´ a k 2 se protínají. Úloha má nekonečně mnoho řešení, budou-li se splývat kružnice k 1 ´ a k 2.

16

Př. 5 Je dána kružnice k(S; r) a bod A, který na této kružnici neleží. Určete množinu všech bodů X takových, že bod A je středem úsečky XY , přitom Y leží na kružnici k. Řešení Rozbor Hledáme množinu všech bodů X. Bude tvořit kružnici k´(S´;r), která je obrazem k ve středové souměrnosti se středem A. Konstrukce 1) k, A 2) k´; S(A): k→k´

Úloha má 1 řešení.

Př. 6 Je dána přímka p a kružnice k(S; r), l(O; ρ), S ≠ O, r > ρ, |Sp| = d 1, |Op| = d 2. Sestrojte všechny přímky rovnoběžné s přímkou p, na nichž kružnice k, l vytínají stejně dlouhé tětivy. Řešení Rozbor Předpokládejme, že existuje hledaná přímka m. Tětivy, které mají požadovanou vlastnost označíme AB a CD, A,B  k a C,D  l. Platí |AB| = |CD| a zároven tyto body leží v jedné přímce. V posunutí T určené vektorem C - A se bod A zobrazí v bod C a bod B zobrazí v bod D. Jelikož A, B leží na kružnici k(S; r), musí body C, D ležet na kružnici k´(S´; r), která je obrazem k v posunutí T a střed S´ je bod S v posunutí T. Poté najdeme body C, D jako průsečík k´ a 17

kružnice l. Pokusíme se tedy najít střed kružnice k´ bod S´. Bude ležet na přímce q, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem S. Protože k´ prochází body C, D, leží S´ také na o se úsečky CD, tzn. na přímce n, která je kolmá na přímku p (p || CD) a prochází bodem O (i kružnice l prochází body C, D). Úsečka CD leží na hledané přímce m. Kostrukce: 1) p, k, l 2) q; S  q  q || p 3) n; O  n  n  p 4) S´; S´  q  n 5) k´; k´(S´; r) 6) C, D; C, D  l  k´ 7) m; m = CD 8) A, B; A, B  m  k

Diskuse: Úloha má řešení právě tehdy, existují-li dva různé body C, D, které jsou průsečíky kružnic k´ a l. Aby kružnice k´ a l měli dva společné body, musí platit: r - ρ < |S´O| < r + ρ r - ρ < |d 1 - d 2 | < r + ρ Jsou-li splněny tyto rovnosti, má úloha jedno řešení, jinak nemá úloha řešení.

Př.7 Je dána přímka a a bod A  a, dále je dána přímka s ≠ a. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S  s a stranou AB  a. Řešení Rozbor 18

Máme danou přímku a, bod A a přímku s. Hledáme tedy bod S. Víme, že v šestiúhleníku platí |  SAB| = 60˚. Při otočení přímky a o -60˚ se přímka a zobrazí jako přímka AS. Bod S tedy najdeme v průsečíku přímky AS a přímky s. Pomocí středu a jednoho vrcholu již snadno sestrojíme šestiúhelník. Konstrukce: 1) a, A, s 2) a´; R(A;-60˚): a→a´ 3) S; S  AS  a´ 4) prav.šest. ABCDEF

Úloha má dvě řešení.

Př. 8: Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, znáte-li: a+b+c = o = 12 cm, α=45˚, β=75˚. Řešení: Rozbor Nejprve si musíme sestrojit pomocný trojúhelník XYC, kde |XY| = o, |  CXY| = ½*α, |  CYX| = ½*β. Hledané body A a B nalezneme v průsečíku XY s osami souměrnosti XZ a YZ. Konstrukce 1) ∆XYC; |XY| = 12cm, |  CXY| = 22,5˚, |  CYX| = 37,5˚; 2) o 1; o 1...osa souměrnosti XC 3) o 2; o 2...osa souměrnosti YC 4) A; A  o 1  XY 19

5) B; B  o 2  XY 6) ∆ABC

Úlohá má jedno řešení v dané polorovině.

Skládání shodných zobrazení Definice: Jsou dána dvě shodná zobrazení Z 1, Z 2 a X je libovolný bod (roviny); Z 1 : X→X´, Z 2 : X´→X´´. Zobrazení Z: X→X´´ se nazývá zobrazení složené ze zobrazení Z 1Z 2 v tomto pořadí. Pro skládání shodných zobrazení se používá značka ○. Zobrazení Z složené ze zobrazení Z 1, Z 2 v tomto pořadí zapíšeme jako Z = Z 2○Z 1.

Pro skládání shodných zobrazení platí následující věty: 1) Složením dvou přímých shodností získáme přímou shodnost, složením dvou nepřímých shodností získáme přímou shodnost a složením přímé a nepřímé shodnosti získáme nepřímou shodností. 2) Složením dvou osových souměrností vznikne jedno z následujících shodných zobrazení: identita, posunutí, otočení, středová souměrnost (zvláštní případ otočení). 3) Složením tří osových souměrností vznikne osová souměrnost nebo posunutá souměrnost. Důkaz věty 2 a 3: 20

Identita - získáme složením dvou osových souměrností se stejnou osou o. Nejdříve zobrazíme každý bod v osové souměrnosti s touto osou. Jeho obraz zobrazíme zpátky podle stejné osy. Otočení - vznikne složením dvou osových souměrností s osami různoběžnými. Jeho středem je průsečík daných os. Velikost úhlu otočení je rovna dvojnásobku velikosti úhlu os, smysl je určen pořadím os. Posunutí - vznikne složením dvou osových souměrností. Jeho délka je rovna dvojnásobku vzdálenosti os daných osových souměrností, jeho směr je kolmý k oběma osám a je dán jejich pořadím. Středová souměrnost - speciální případ otočení o 180˚.

Posunutá souměrnost Definice Je dána přímka s a orientovaná úsečka RS, která leží na přímce s. Posunutá souměrnost je zobrazení, které vznikne složením posunutí o orientovanou úsečku a osové souměrnosti s osou s.

21

Srovnávací tabulka druhů shodných zobrazení Shodné zobrazení Čím je určeno?

Středová souměrnost bodem

střed Samodružné body přímá/nepřímá přímá shodnost shodnost?

Osová souměrnost

Otočení (rotace)

přímkou

Posunutí (translace) vektorem

osa souměrnosti

žádné

střed otočení

nepřímá shodnost

přímá shodnost přímá shodnost

22

středem otáčení, úhlem, smyslem

Seznam použité literatury [1] POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky, 7.vyd. Praha, 1991. ISBN 80-7196-196-5 [2] RNDr. POMYKALOVÁ, E. Matematika pro gymnázia - Planimetrie, 4.vyd. Praha, 1993. ISBN 80-7196-174-4

23