Shodná zobrazení v Lobačevského rovině

MATEMATIKA Shodná zobrazení v Lobačevského rovině Miroslav Macháček, MFF UK Praha

1. Úvod Od 19. století zkoumají matematikové i jiné možné (tj. logicky bezesporné) geometrické světy, ve kterých body a přímky mají trochu jiné vlastnosti, než na jaké jsme zvyklí. Ze všech takových úvah se zde zaměříme na jednu problematiku, a sice na problematiku shodných zobrazení. Abychom mohli číst tento článek s porozuměním, musíme znát základní konstrukce vzoru a obrazu v zobrazení nazývaném kruhová inverze. Je též třeba znát pojem kolmost kružnic, který neznamená nic jiného, než že jsou kolmé tečny k těmto kružnicím ve společném bodě. V následujícím modelu se totiž používají modely přímek, což jsou oblouky kružnic, které jsou kolmé ke kružnici omezující model roviny (význam této věty poznáte plně asi až po přečtení několika dalších odstavců). 2. Shodné zobrazení Shodná zobrazení v tradiční eukleidovské rovině známe z hodin matematiky na základní a střední škole. Zopakujme si nejprve definici shodného zobrazení. Definice 2.1. Zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením, právě když pro každé dva body X, Y roviny a jejich obrazy X , Y v tomto zobrazení platí |XY | = |X Y |. Konkrétně pak shodná zobrazení dělíme na tyto typy: • identita • osová souměrnost • středová souměrnost • posunutí (translace) • otočení (rotace) • posunutá souměrnost Ročník 82 (2007), číslo 4

1

MATEMATIKA

Dále uvedeme důležitou větu týkající se těchto zobrazení, kterou lze jednoduše dokázat. Věta 2.1. Každé shodné zobrazení lze složit nejvýše ze tří osových souměrností. Je zřejmé, že úlohu základního kamene při výstavbě shodných zobrazení má osová souměrnost, která je určena osou, tj. nějakou přímkou. Podívejme se nyní na klasifikaci, resp. vzájemnou polohu přímek v Lobačevského rovině , která byla žákům na nižších stupních škol doposud skryta. Poté budeme moci zavést shodná zobrazení i v této nové rovině, která bývá nazývána po svém nejvýznamnějším objeviteli N. I. Lobačevském1) nebo bývá označována jako hyperbolická rovina. 3. Přímky v Lobačevského rovině V eukleidovské rovině mohou být dvě přímky buď ve vztahu různoběžnosti nebo rovnoběžnosti a především zde platí axiom rovnoběžnosti, který tvrdí, že bodem A ležícím mimo danou přímku p lze vést právě jednu nerůznoběžku. Tuto přímku nazýváme rovnoběžkou (obr. 1). A

p

Obr. 1

Naproti tomu v Lobačevského rovině je situace o něco složitější, neboť zde platí následující axiom. Lobačevského axiom: Bodem ležícím mimo danou přímku lze vést alespoň dvě nerůznoběžky. Lze dokázat, že těchto nerůznoběžek je nekonečně mnoho a navíc mezi nimi jsou dvě přímky, které se chovají k původní přímce asymptoticky“, ” tj. vykazují stejnou vlastnost jako např. asymptota hyperboly. Nazýváme je souběžky. V Lobačevského rovině existuje tedy nekonečně mnoho rov” noběžek“ s danou přímkou p vedených daným bodem A na ní neležícím (nazývají se rozběžky), nekonečně mnoho různoběžek a dvě souběžky (různoběžky q1 , q2 , q3 , rozběžky r1 , r2 , r3 , souběžky s1 , s2 na obr. 2). 1)

2

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856), ruský matematik

Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA s1 r1 r2 r3

A

s2 p q1

q3

q2

Obr. 2

4. Poincarého2) kruhový model Lobačevského roviny V běžné eukleidovské rovině zvolme kruh Γ. Rovinou Lobačevského budeme rozumět vnitřek kruhu int(Γ) a body uvnitř tohoto kruhu nazveme P-body 3) . P-přímky budou dvojího druhu: (a) všechny průměry kruhu Γ bez krajních bodů, (b) otevřené kruhové oblouky, které vzniknou jako průnik int(Γ) a eukleidovských kružnic, které kolmo protínají hraniční kružnici kruhu Γ4) . Body hraniční kružnice budou nevlastní body Lobačevského roviny (obr. 3). P

tp A B

tq q

Γ

ω

p Q

Obr. 3

2)

Henri Poincaré (1854–1912), francouzský matematik a fyzik Jsou to body hyperbolické roviny znázorněné v Pioncarého modelu. Analogicky pak máme P-úsečky a další P-útvary. 4) Dvě kružnice se protínají kolmo, právě když mají kolmé tečny ve společném bodě. Na obr. 3 je tato situace znázorněna v bodě P . 3)

Ročník 82 (2007), číslo 4

3

MATEMATIKA

Zaměříme se nyní na pro nás podstatné vlastnosti tohoto modelu. Důležité bude zavedení délky úsečky v Lobačevského rovině a pojem shodnosti. Definice 4.1. P-délku P-úsečky v Poincarého kruhovém modelu definujeme vztahem |AP | |BQ| , dP (AB) = ln |AQ| |BP | kde P , Q jsou krajní body oblouku nebo průměru, na němž leží úsečka AB a kde |AP |, |AQ|, |BQ|, |BP | jsou klasické eukleidovské vzdálenosti. P-úsečky jsou pak P-shodné , jestliže mají stejnou P-délku. Dále platí lim dP (AB) = ∞

A→P

a

lim dP (AB) = ∞,

B→Q

tedy P-délky nabývají všech kladných reálných hodnot. Shodnost úhlů je analogická s eukleidovskou rovinou, tj. měřit P-úhly mezi dvěma P-přímkami znamená měřit eukleidovské úhly mezi dvěma tečnami k daným dvěma P-přímkám v jejich průsečíku. Jak je to s Lobačevského axiomem? Obr. 4 ukazuje, že bodem A ležícím mimo danou přímku p může procházet více nerůznoběžek, z nichž dvě vykazují vůči přímce p asymptotickou vlastnost – tyto přímky jsou souběžky, ostatní nerůznoběžky jsou rozběžky a poslední skupinou přímek jsou klasické různoběžky.

A p

Obr. 4

Soustředili jsme se především na pojem shodnosti úseček a úhlů v tomto modelu, neboť níže se budeme věnovat shodným zobrazením 4


MATEMATIKA

v Lobačevského rovině a k prezentaci využijeme právě tento model neeukleidovské geometrie. 5. Osová souměrnost v Lobačevského rovině Osová souměrnost je určena osou, tj. přímkou. Budeme zobrazovat nějaký jednoduchý rovinný útvar, např. trojúhelník. Mějme tedy dány P-trojúhelník ABC a P-přímku o, podle které trojúhelník zobrazíme v modelu, který jsme výše popsali (obr. 5a, 5b): O(o) : ABC → A B C C

C

C

C B

B

A

o

Obr. 5a

B

B o

A

A

A Obr. 5b

V tomto zobrazení leží body A, A na P-přímce, tj. na kružnici kolmé k P-ose o. Stejně tak další dvě dvojice vzoru a obrazu. Změřme teď délky stran trojúhelníků a velikosti jejich vnitřních úhlů. Odpovídající si strany a úhly jsou shodné, pracujeme tedy se shodným zobrazením stejně jako v eukleidovské rovině5) . Navíc z obr. 5b je patrná další analogie s klasickou rovinou, na P-ose o se totiž nacházejí všechny samodružné body tohoto zobrazení. Dále si můžeme všimnout, že i zde platí, že osová souměrnost je shodnost nepřímá. 6. Středová souměrnost v Lobačevského rovině Středová souměrnost, která je určena středem, je shodné zobrazení a zároveň ji lze složit ze dvou osových souměrností s osami, které jsou 5)

Pozor, v Lobačevského geometrii platí věta uuu o shodnosti trojúhelníků, stačilo by nám tedy studovat jen vnitřní úhly v trojúhelnících!


5

MATEMATIKA

vzájemně kolmé. Bude předchozí věta platit i v Lobačevského rovině? Vytvoříme si příslušnou situaci v Poincarého modelu (obr. 6). C B A

S

A

B

A C

o1 B

o2 C

Obr. 6

Složili jsme tedy dvě osové souměrnosti s ortogonálními P-osami o1 a o2 , bod S ∈ o1 ∩ o2 bude středem středové souměrnosti S(S). Zobrazme ABC postupně v těchto osových souměrnostech: O(o1 ) : ABC → A B C O(o2 ) : A B C → A B C Podívejme se, zda platí: S(S) : ABC → A B C Skutečně je tomu tak, oba trojúhelníky jsou P-shodné, vzor, obraz a střed souměrnosti leží na P-přímce a P-vzdálenost středu od vzoru a obrazu je P-shodná. Navíc zjišťujeme, že středová souměrnost je přímá shodnost. Jako kontrolu správnosti našich úvah si zkonstruujte P-přímky AA , BB , CC , které musí procházet středem S středové souměrnosti. 7. Otočení (rotace) v Lobačevského rovině Mějme dány dvě P-různoběžky o1 a o2 , které nejsou na sebe kolmé. Opět zobrazíme postupně trojúhelník ABC v osových souměrnostech O(o1 ) a O(o2 ) a ukážeme, že platí (obr. 7) R(S, ϕ) : ABC → A B C , 6


MATEMATIKA

kde S je střed otočení a ϕ je úhel otočení. ) BSB | = |< ) CSC | = ϕ a zároveň vzor a Skutečně |< ) ASA | = |< obraz jsou od středu rotace stejně vzdáleny. Navíc stejně jako v klasické rovině zde platí, že úhel rotace je dvojnásobkem odchylky dvou os, které otočení generují. Opět jde o přímou shodnost. C

A B A

o1

ϕ S

B

B C

C

A

o2 Obr. 7

8. Posunutí (translace) v Lobačevského rovině V klasické rovině je posunutí jednoznačně dáno vektorem posunutí, který určuje délku a směr posunutí. Platí také, že posunutí lze složit ze dvou osových souměrností s rovnoběžnými osami. V Lobačevského rovině však neexistují rovnoběžky“ ve smyslu ekvidistant, nýbrž máme ” zde souběžky a rozběžky, které mají jiné vlastnosti než eukleidovské rovnoběžky. Zapomeňme tedy na klasické posunutí a zkusme složit dvě osové souměrnosti pro oba zbývající případy vzájemné polohy os. 8.1. Skládání osových souměrností s osami jako souběžkami Dostáváme zajímavou situaci v Lobačevského rovině, kterou ilustruje obr. 8. Po změření úhlů a stran v ABC a A B C zjišťujeme, že i v tomto případě dostáváme shodné zobrazení a vzor a obraz v příslušných osových souměrnostech se nacházejí na zvláštních křivkách, které se nazývají cykly. Nebudeme zde cykly definovat, jen zmíníme, že k nim dojdeme zobecněním definice kružnice6) . Cykly na obr. 8 jsou určeny 6)

V tomto případě se cykl zobrazí jako eukleidovská kružnice.


7

MATEMATIKA

svazkem příslušných souběžek; je to patrné z toho, že všechny křivky se sbíhají v jednom nevlastním bodě.

C

B

A

C

C A

B o1

B o2

A

Obr. 8

8.2. Skládání osových souměrností s osami jako rozběžkami Jde o podobný případ jako předchozí, opět získáváme shodné zobrazení – ponecháme na čtenáři, jak takové zobrazení nazvat. Z obr. 9 je ještě patrné, že křivky určené vzory a obrazy (zde jsou to části cyklů) se opět sbíhají v nevlastních bodech ( v nekonečnu“). Tyto cykly jsou ” určené svazkem příslušných P-os, tj. rozběžek.

C A B

A

o1

B

o2 C

C

B A

8

Obr. 9 Rozhledy matematicko-fyzikální

MATEMATIKA

9. Závěr Snažili jsme se ukázat, že skládání osových souměrností ve dvou různých geometriích se v podstatě kryje v případě různoběžnosti os a cesty se rozcházejí, pokud se narazí na problém rovnoběžnosti. Stále však platí, že shodné zobrazení zůstává shodným zobrazením“. ” Pro úplnost ještě přidejme jednu otázku. Kromě klasické eukleidovské a Lobačevského geometrie existuje ještě tzv. Riemannova geometrie, ve které neexistují nerůznoběžky, tzn. různé kolmice na danou přímku se vždy protínají. Jak je to se shodnými zobrazeními v tomto případě?

Vývoj pojmů v algebře a matematická olympiáda Antonín Jančařík, PedF UK Praha

1. Úvod Matematika, jako jedna z nejstarších vědních disciplín, procházela v průběhu minulých století a tisíciletí složitým vývojem. Během staletí nedocházelo jen k rozšiřování poznání a získávání nových vědomostí, ale také k vývoji jednotlivých pojmů, jejich utváření a zobecňování. Matematika byla často úzce spjata s filozofií a teologií. Například chápání a porozumění pojmu nekonečno není pouze otázkou matematickou, ale i filozofickou a teologickou. Také dokonalý svět geometrie vyžaduje pro své pochopení silnou míru abstrakce a dokonalost jeho objektů je velmi zajímavá i z pohledu filozofického. Dnešní student či žák matematiky se seznamuje pouze s výsledky, deriváty tohoto vývoje. Časový rozsah, který lze výuce matematiky věnovat, nám nedovoluje opakovat všechny kroky a myšlenkové postupy, které k vytváření jednotlivých pojmů vedly. Navíc filozofické a teologické konstrukce, které byly s jednotlivými pojmy spjaté, jsou modernímu člověku často velmi vzdálené. Proto se nemůžeme divit, že žáci a studenti mají problémy porozumět tomu, co je přímka, bod či nekonečno. Příspěvek byl vypracován s podporou grantu GAČR 406/05/P561. Ročník 82 (2007), číslo 4

9

MATEMATIKA

Tomuto tématu již bylo věnováno mnoho článků, knih a sborníků. V našem článku na jednom příkladu ukážeme, jak neznalost historického pozadí a prvotního významu pojmů ovlivňuje schopnost studentů řešit jednoduché“ úlohy, a to i v tak nefilozofické“ disciplíně, jako je algebra. ” ” 2. Vývoj algebry Dnes nám nepřijde nic zvláštního na tom, že v matematice pracujeme s výrazy jako 3x3 +2x+1. Z historického pohledu však k tomu bylo třeba provést několik intelektuálních skoků, z nichž každý byl ve své době převratný. Velmi důležité bylo (1) zavedení proměnné x, dále (2) zavedení mocnin a nakonec (3) umožnění práce s různými mocninami dohromady. Právě u tohoto třetího bodu je dobré se zastavit, protože z našeho dnešního pohledu se nám bude možná zdát nepochopitelný. Všichni dobře víme, že při počítání nemůžeme míchat jablka s hruškami. Pracovat můžeme pouze s objekty, které k sobě patří – jsou v nějakém smyslu stejné. Po staletí se algebra vyvíjela jako nástroj pro popis geometrických objektů, teprve následně překročila svůj stín a stala se nástrojem, kterým dokážeme řešit i úlohy v geometrii neřešitelné. Na samém počátku ale algebra sloužila pro popis geometrických útvarů. Je zcela přirozené, že x reprezentovalo úsečku, x2 plochu čtverce a x3 objem krychle. Z tohoto pohledu dávat dohromady úsečku a krychli bylo naprosto nesmyslné. Pokud chtěli matematici pracovat s x a x3 , museli nejprve nějakým způsobem udělat z x reprezentaci prostorového objektu. Úvahy, které tento postup provázely, zde nebudeme opakovat. Pouze předvedeme výhody tohoto historického“ přístupu na jedné úloze ma” tematické olympiády. 3. Úloha z MO V krajském kole 55. ročníku matematické olympiády kategorie B na jaře roku 2006 se objevila následující úloha: Dokažte, že pro libovolná reálná čísla a, b, c z intervalu 0, 1 platí: 1 ≤ a + b + c + 2(ab + bc + ac) + 3(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 9 Tato úloha se stala kamenem úrazu pro naprostou většinu soutěžících. S první nerovností se vyrovnalo cca 15 % řešitelů, obě nerovnosti byly nad síly 98 % našich nejtalentovanějších žáků matematiky. 10


MATEMATIKA

Ukážeme, jak jednoduchá geometrická interpretace zadání umožňuje okamžité řešení první nerovnosti a poměrně rychlé a elegantní řešení i druhé nerovnosti. 4. Důkaz první nerovnosti Na první pohled je zřejmé, že všechny hodnoty v zadaném výrazu jsou kladné. Cílem naprosté většiny všech řešitelů bylo navzájem kompen” zovat“ přírůstky vzniklé a + b + c a 3(1 − a)(1 − b)(1 − c). Zde ovšem většinou nastal problém. Pokusme se mu vyhnout jednoduchou úvahou založenou právě na myšlence nemíchání jablek s hruškami“. ” Výraz (1 − a)(1 − b)(1 − c) zcela jasně reprezentuje objem kvádru o rozměrech (1 − a), (1 − b) a (1 − c). Abychom jej mohli srovnávat s a, b a c, musí i a, b a c reprezentovat objem nějakého tělesa. Nejjednodušší způsob je představit si, že a reprezentuje kvádr o rozměrech a × 1 × 1, b kvádr o rozměrech b × 1 × 1 a c kvádr o rozměrech c × 1 × 1 (obr. 1).

1

1 1−c

b

1

1

1−b a

1−a

c

1

1 Obr. 1

Nyní již k dokázání první nerovnosti stačí jednoduchá úvaha. Pokud ke kvádru o rozměrech (1−a)×(1−b)×(1−c) přiložíme z příslušných stran kvádry o rozměrech a × 1 × 1, b × 1 × 1, c × 1 × 1, dostaneme jednotkovou krychli a navíc možná dojde mezi kvádry o rozměrech a × 1 × 1, b × 1 × 1, c × 1 × 1 k nějakým překryvům. Objem těchto čtyř kvádrů dohromady Ročník 82 (2007), číslo 4

11

MATEMATIKA

je však vždy minimálně 1 (neboť pokrývají jednotkovou krychli), a tím je první nerovnost dokázána. 5. Důkaz druhé nerovnosti Pro důkaz druhé nerovnosti můžeme také použít obdobné geometrické úvahy. Důkaz nerovnosti bude proveden dvěma způsoby. 5.1. Přístup intuitivně geometrický Nejprve, obdobně jako v předchozí části důkazu, složme dohromady dvakrát kvádr o rozměrech (1−a)×(1−b)×(1−c) a kvádry o rozměrech a × b × 1, a × 1 × c, 1 × b × c. Tímto složením dostaneme dvě (možná ne kompletní) jednotkové krychle a navíc čtyři kvádry o rozměrech a×b×c, které leží v průniku kvádrů o objemech a × b × 1, a × 1 × c, 1 × b × c. Poté složíme dohromady jeden kvádr o rozměrech a × b × c a všechny čtyři kvádry použité v první nerovnosti. Tímto složením získáme jednotkovou krychli a navíc kvádry o rozměrech a × b × 1, a × 1 × c, 1 × b × c, ležící v průniku jednotlivých sestavovaných částí. Tím jsme použili všechny části v nerovnosti použité a obdrželi tři (možná necelé) jednotkové krychle, tři kvádry o rozměrech a × b × c (z nichž každý lze vložit do jednotkové krychle) a tři kvádry o rozměrech a × b × 1, a × 1 × c, 1 × b × c (z nichž každý lze opět vložit do jednotkové krychle). Shledáváme, že všechny kvádry lze, při vhodném přeskládání, vměstnat do devíti jednotkových krychlí, a proto je jejich objem menší než devět nebo roven devíti. A tím je dokázána i druhá nerovnost. Tento přístup vyžaduje jistou míru prostorové představivosti. Uvádím proto ještě jedno řešení, které sice vychází z geometrické představy, ale je orientováno více početně. Zároveň ukazuje, jak lze pomocí geometrických představ upravovat algebraické výrazy. 5.2. Přístup algebraicko-geometrický Jednotkovou krychli lze, pomocí tří rovin, rozdělit na osm částí s objemy abc, ab(1 − c), a(1 − b)c, (1 − a)bc, a(1 − b)(1 − c), (1 − a)b(1 − c), (1 − a)(1 − b)c, (1 − a)(1 − b)(1 − c). Z této úvahy přímo dostáváme rovnost abc + ab(1 − c) + a(1 − b)c + (1 − a)bc + a(1 − b)(1 − c) + + (1 − a)b(1 − c) + (1 − a)(1 − b)c + (1 − a)(1 − b)(1 − c) = 1 pro všechna reálná čísla a, b, c z intervalu 0, 1. 12


MATEMATIKA

Zároveň každý z kvádrů použitých ve vyšetřovaném výrazu lze pokrýt jedním nebo více kvádry z předchozího rozdělení krychle, stačí tedy spočítat, kolikrát který kvádr z rozdělení musíme použít (například a = abc + a(1 − b)c + ab(1 − c) + a(1 − b)(1 − c)) a dostáváme a + b + c + 2(ab + bc + ac) + 3(1 − a)(1 − b)(1 − c) = = 9abc + 4ab(1 − c) + 4a(1 − b)c + 4(1 − a)bc + a(1 − b)(1 − c) + + (1 − a)b(1 − c) + (1 − a)(1 − b)c + 3(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ ≤ 9[abc + ab(1 − c) + a(1 − b)c + (1 − a)bc + a(1 − b)(1 − c) + + (1 − a)b(1 − c) + (1 − a)(1 − b)c + (1 − a)(1 − b)(1 − c)] = 9, čímž je dokázána i druhá nerovnost. Uvedený přepis by šlo použít i pro důkaz první nerovnosti, neboť se ve výrazu vyskytuje každá z částí potřebných pro sestavení jednotkové krychle alespoň jednou. 6. Odhad extrémů Na závěr ještě ukážeme, jak lze uvedené úvahy použít i pro zjištění, zda obě krajní řešení jsou pro některé hodny a, b, c možné. Začneme horním odhadem. Z geometrických úvah vyplývá, že kvádr o objemu abc se vyskytuje ve všech částečně“ složených krychlích. ” Volíme-li za a, b, c hodnotu 1, má výraz hodnotu devět, a tudíž náš odhad je nejlepší možný. Nyní přistupme ke spodnímu odhadu. Při použití čtyř kvádrů, z původních dvanácti, na sestavení jednotkové krychle musí být objem všech zbylých osmi kvádrů nulový, musí tedy platit ab + bc + ac = 0 a zároveň

(1 − a)(1 − b)(1 − c) = 0.

Druhý výraz je zjevně nulový, když alespoň jedno z čísel je rovno jedné a první výraz je roven nule, když alespoň dvě z čísel a, b, c jsou rovna nule. V takovém případě nedochází v sestavené jednotkové krychli k překryvům a skutečně platí a + b + c + 2(ab + bc + ac) + 3(1 − a)(1 − b)(1 − c) = 1. Proto i spodní odhad výrazu je nejlepší možný. Ročník 82 (2007), číslo 4

13

MATEMATIKA

7. Závěr Uvedenou úlohu lze řešit i jinými způsoby, a to jak za pomoci algebraických úprav, tak za pomoci teorie lineárních funkcí, či parciálních derivací funkcí více proměnných. Se vzorovými řešeními se čtenář může seznámit na webových stránkách matematické olympiády http://www.math.muni.cz/mo/. Řešitelé se o všechny tyto postupy v rámci soutěžního krajského kola pokoušeli. Mezi více než třemi sty studenty se však nenašel nikdo, kdo by byl schopen hodnotu a interpretovat jako objem kvádru o rozměrech a × 1 × 1 a tím úlohu vyřešit. Uvedená skutečnost ukazuje, že nedostatek kompetencí používat vědomosti interdisciplinárně je problémem nejen mezipředmětovým, ale je problémem i mezi jednotlivými matematickými obory. Jsem přesvědčen, že převážná většina účastníků krajského kola matematické olympiády je schopna uvedené geometrické řešení nejen pochopit, ale v případě, kdy budou vědět, že a může reprezentovat i objem kvádru o vhodných stranách, i nalézt. Jako hlavní příčinu jejich neúspěchu proto vidím fakt, že si neuvědomili, že nelze míchat jablka s hruškami a že všechny hodnoty je nutné v geometrickém vyjádření interpretovat stejně – jako objem – a že taková interpretace je možná, neboť algebra z geometrie vychází. Věřím, že tato a další obdobné úlohy jsou vhodným nástrojem, jak žáky na propojení mezi algebrou a geometrií upozorňovat. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ OBĚŤ VZDĚLANOSTI Nóbl hosté v restauraci Bellevue, polévku dnes budou míti želevue. Ze želvy, jež byla velmi vzdělaná, která podle apórie Zenona usoudila, že ji nikdo nedohoní. Pod pokličkou hrnce nyní bycha honí. Emil Calda*)

*) Úvod do obecné teorie prostoru, Karolinum, Praha, 2003

14


FYZIKA Bez grafů by bylo řešení úloh asi obtížnější 1. část Ivo Volf, PedF UHK Hradec Králové Při studiu fyzikálních problémů si řešitelé uvědomují, že je nutné nacházet stále nové přístupy, které ulehčují cestu, po které se dostáváme od zadání problému až k jeho vyřešení. Proto se stále více využívají prostředky výpočetní techniky – kalkulačky i osobní počítače. Přesto však jednu věc ulehčit nemůžeme, a to je myšlenkové zpracování zadané problematiky. Fyzikální úloha je zadána většinou textem nebo nákresem, na jehož základě je řešitel schopen porozumět obsahu zadaného problému, ale musí dále analyzovat podmínky, jež jsou vymezeny pro řešení, formulovat hypotézu o řešení, zdůvodnit ji a potom směřovat k vyřešení. Přitom mu nesmírně pomáhají matematické vztahy, kterými jsou formulovány fyzikální funkční závislosti. Funkční závislosti můžeme prezentovat slovně a to nám většinou slouží k jejich pochopení, nedají se však takto bezprostředně využít pro získání zejména číselných výsledků. Velice názorná je grafická představa, zejména při vyjádření jednoduché závislosti typu y = f (x); konkrétně jde o závislosti dráhy, rychlosti či zrychlení na čase, dále velikosti síly na poloze, elektrického náboje při nabíjení kondenzátoru na napětí apod. Grafický záznam se tak stává výbornou pomůckou nejen k pochopení funkční závislosti, ale také pro získání číselných výsledků i k nalezení cesty, jíž je nutno se při řešení vydat. Uvedeme několik příkladů, v nichž bychom chtěli ukázat, že užitím grafu se proces řešení zjednodušuje. Příklad 1. Dva sportovci na bicyklech Dva sportovci na bicyklech si vymezili uzavřenou dráhu délky s = 1200 m, na které budou soutěžit. Karel dokáže tuto dráhu projet za dobu tK = 2,0 min, Tereza za dobu tT = 2,5 min. Budeme předpokládat, že po trase pojedou rovnoměrně. Nejprve vyrazí oba sportovci opačnými směry a my máme zjistit, za jak dlouho a ve kterém místě se oba sportovci setkají poprvé, podruhé, potřetí. Potom vyrazí stejným směrem a my máme zjistit, za jak dlouho a v kterém místě dohoní rychlejší sportovec pomalejšího poprvé, podruhé, potřetí. Ročník 82 (2007), číslo 4

15

FYZIKA

Řešení: Ze zadaných údajů s = 1 200 m, tK = 120 s, tT = 150 s určíme rychlosti vK = 10 m/s, vT = 8 m/s. Při jízdě proti sobě využijeme úvahy, že s = vK t1 + vT t1 , odkud určíme dobu pohybu t1 ≈ 66,7 s. Po dosazení do vzorce pro výpočet dráhy zjistíme, že Karel urazil dráhu sK1 ≈ 667 m a Tereza sT1 ≈ 533 m. Podruhé se sportovci setkají v případě, kdy je 2s = vK t2 + vT t2 , odkud t2 ≈ 133,3 s, sK2 ≈ 1 333 m, sT2 ≈ 1 067 m. Potřetí se setkají v případě, kdy je 3s = vK t3 + vT t3 , odkud t3 = 200 s, sK3 = 2 000 m, sT3 = 1 600 m. Jestliže pojedou sportovci týmž směrem, potom platí vK t4 = vT t4 +s, protože rychlejší ujede o kolo víc. Odtud t4 = s/(vK − vT ) = 600 s a příslušné vzdálenosti jsou sK4 = 6 000 m, sT4 = 4 800 m, diference je 1 200 m. Obdobně při druhém setkání je t5 = 1 200 s, sK5 = 12 000 m, sT5 = 9 600 m, diference 2 400 m atd. Grafické znázornění je velmi jednoduché. Odtud můžeme příslušné údaje přímo přečíst z polohy průsečíků grafů s = s(t) obou cyklistů. Přitom je pro žáky velmi zajímavé“, že po ukončení okruhu se cyklista ” dostává opět na jeho začátek, což je v grafu vyjádřeno tak, že pro daný časový okamžik odpovídají poloze sportovce dva body 0 m a 1 200 m. s m 1 200 900 600 300 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t min

Obr. 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t min

Obr. 2

s m 1 200 900 600 300 0 16


FYZIKA

Pro jízdu proti sobě jsou příslušné funkční závislosti znázorněny na obr. 1, kde plnou čarou je znázorněna dráha Karla a čárkovaně dráha Terezy. Pro jízdu za sebou jsou stejné závislosti znázorněny na obr. 2. Příklad 2. Sprinter na krátké trati Sprinter běžel po trati o délce 100 m tak, že prvních 32 m rovnoměrně zrychloval po dobu 5,0 s a potom až do cíle už běžel stálou rychlostí. Za jak dlouho uběhl danou trasu a jaké bylo zrychlení jeho pohybu na počátku? Trenér dal sprinterovi ve snaze zlepšit jeho sportovní výsledky dvě možnosti: buď zaběhne ve stejné době 5,0 s dráhu o 1,0 m delší než doposud, nebo danou vzdálenost 32 m uběhne v kratší době 4,9 s. Jak se tyto podmínky projeví na výsledku, tj. na době běhu na 100 m? Řešení: Úlohu budeme řešit algebraicky, ale pro získání lepší představy sestrojíme nejprve graf závislosti rychlosti pohybu sprintera na čase (obr. 3). v ms−1 v2

s1 = 12 v2 t1 0

1

2

3

4

s2 = v2 t2

5

6

7

8

9

10

t s

Obr. 3

Na prvním úseku trati se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený po dráze s1 = 32 m za dobu t1 = 5,0 s, kdy platí vztahy v2 = at1 , s1 = 12 v2 t1 , kde v2 je rychlost sprintera po 5. sekundě a a je zrychlení sprintera do konce 5. sekundy. Druhý úsek trati o délce s2 = 68 m je uběhnut pohybem rovnoměrným za dobu t2 , dráha je tedy s2 = v2 t2 . Výsledná doba pro běh na 100 m je potom t = t1 + t2 . Pro dané hodnoty je v2 = 2s1 /t1 = 12,8 m/s, t2 = s2 /v2 ≈ 5,31 s, t = t1 + t2 ≈ 10,31 s. Uvažujme ještě, jak se výsledky změní v případě trenérových požadavků. Pro první případ vychází maximální sprinterem dosažená rychlost 13,2 m/s a doba jeho běhu na trase je asi 10,1 s. Ve druhém případě je rychlost sprintera asi 13,1 m/s a doba jeho běhu asi 10,1 s. Grafické znázornění je takřka shodné. Ročník 82 (2007), číslo 4

17

FYZIKA

Příklad 3. Cyklista s letmým startem Na cyklistických závodech na trase 1 000 m s letmým startem urazil mladý cyklista celou trasu za dobu t stálou rychlostí, a poté, co projel cílem, na trase 240 m rovnoměrně zastavoval po dobu 40 s. Jakou rychlostí jel mladý cyklista na závodní trase a jakého času při závodech dosáhl? Jak by se změnil výsledek, kdyby brzdil na dané vzdálenosti jenom po dobu 36 s? v ms−1 v1

v=? s1 = v1 t1 t1 = ?

s2 = 240 m t2 = 40 s

t s

Obr. 4

Řešení: K pochopení postupu řešení si nakreslíme graf závislosti rychlosti na čase (obr. 4). V grafu v = v(t) znázorníme nejprve rovnoměrný pohyb cyklisty po závodní trase a jeho postupné zastavování v následujícím prostoru. Ve druhé části pohybu při rovnoměrném zastavování platí pro dráhu s2 = 12 v1 t2 , odkud určíme rychlost pohybu při závodě v1 = 2s2 /t2 = 12 m/s. Tato rychlost nám pomůže určit dobu pohybu při závodě (při něm je s1 = v1 t1 ), je tedy t1 = s1 /v1 ≈ 83,3 s. Kdyby cyklista brzdil jen 36 s, potom by rychlost při závodě byla přibližně 13,3 m/s a trasu by cyklista ujel přibližně za dobu 75 s. Příklad 4. Filmová dálniční policie COBRA 11 V německém detektivním filmu COBRA 11 dochází často k hromadným haváriím. Řidič automobilu, jedoucího velkou rychlostí, zpozoruje v dálce hromadnou havárii. Do okamžiku, než brzdný systém automobilu začne pracovat, uplyne zpravidla 1,2 s a vozidlo se pohybuje rovnoměrně; potom začne automobil účinně brzdit tak, že každé dvě sekundy se rychlost automobilu zmenší o 10 m/s. Za jak dlouho a na jaké trase automobil zastaví? Počáteční rychlost zvolte pro opatrného řidiče 126 km/h, pro hazardéra 162 km/h. Řešení: Závislost rychlosti na čase je na obr. 5. Pro počáteční rychlost automobilu vo = 126 km/h = 35 m/s a dobu t1 = 1,2 s je délka prv18


FYZIKA

ního úseku s1 = vo t1 = 42 m. Doba nutná pro zabrzdění automobilu je t2 = 7 s, takže dráha nutná pro zabrzdění je s2 = 12 vo t2 = 122,5 m. Celková dráha do okamžiku zastavení vozidla je so = 166,5 m. v ms−1 vh 40 vo 30 20

s1 = v0 t1 s2 = 12 v0 t2

10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t s

Obr. 5

Pro počáteční rychlost automobilu vh = 162 km/h = 45 m/s a dobu t1 = 1,2 s je délka prvního úseku s1 = vh t1 = 54 m. Doba nutná pro zabrzdění automobilu je t2 = 9 s a dráha nutná pro zabrzdění je s2 = 12 vh t2 = 202,5 m. Celková dráha do okamžiku zastavení vozidla je sh = 256,5 m. Při menší rychlosti zastaví automobil na dráze 166,5 m za dobu 8,2 s. Při větší rychlosti zastaví na dráze 256,5 m za dobu 10,2 s. Doba nutná k zastavení se prodloužila přibližně o 24 %, ale dráha nutná k zastavení přibližně o 56 %. Příklad 5. Hokejista vyslal puk k hrazení Hokejista odpálil puk ze vzdálenosti 40 m od zadního hrazení počáteční rychlostí 24 m/s kolmo k zadnímu hrazení a hned se vydal za ním. Puk rovnoměrně zpomaloval, narazil na hrazení rychlostí 16 m/s a vzhledem k nedokonale pružném odrazu se odrazil zpět rychlostí 12 m/s. Zakreslete do grafu v = v(t) časový průběh rychlosti puku. Za jak dlouho po odpálení se puk dotkne zadního hrazení? Jak daleko od hrazení se puk zastaví? Jakou konstantní rychlostí musí hokejista bruslit proti puku, aby ho potkal právě v okamžiku, kdy se puk zastaví? Řešení: Úlohu budeme řešit na základě grafického záznamu v = v(t) (obr. 6). Počáteční rychlost puku označíme v1 = 24 m/s, koncovou rychlost v2 = 16 m/s. Protože se rychlost puku při rovnoměrně zpomaleném pohybu zmenšuje lineárně, můžeme určit průměrnou rychlost puku po Ročník 82 (2007), číslo 4

19

FYZIKA

dobu jeho pohybu k hrazení jako vp = 12 (v1 + v2 ) = 20 m/s. Vzdálenost s1 = 40 m urazí puk za dobu t1 = 2 s. v ms−1 24 20 16 12 s1 = 12 (v1 + v2 )t1

8 4 0

1

2

3

4

5

t s

Obr. 6

Puk se odrazil rychlostí v3 = 12 m/s a zastavil se za dobu t2 = 3 s, neboť za každou sekundu snížil svoji rychlost o 4 m/s. Přitom urazil dráhu s2 = 12 v3 t2 = 18 m. Chce-li hokejista puk dojet právě v okamžiku jeho zastavení, musí urazit dráhu 22 m za dobu 5,0 s. Průměrná rychlost hokejisty musí být 4,4 m/s.

OPRAVA Zadání úloh 49. ročníku Fyzikální olympiády, úlohy 1. kola, kategorie B V minulém čísle jsme zveřejnili zadání úloh domácího kola pro právě začínající 49. ročník FO. V úloze číslo 4 kategorie B byla chybně uvedena jednotka výhřevnosti. Správně má být H = 42 000 kJ · kg−1 místo chybného H = 42 000 kJ · kg−1 · K−1 . Za uvedenou chybu se omlouváme.

20


HISTORIE Leonhard Euler Pavel Šišma, ÚMS PřF MU Brno V tomto roce si připomínáme třísté výročí narození nejvýznamnějšího matematika 18. století a jednoho z nejtvořivějších učenců lidské historie Leonharda Eulera. S jeho jménem, výsledky a symbolikou, kterou používal ve svých pracích, se setkáváme dodnes i ve školské matematice. Eulerova přímka, Eulerova metoda, Eulerovo číslo, Eulerova konstanta, mnoho Eulerových vět, vzorců a rovnic z různých oblastí matematiky tvoří jen malou část z více než 80 matematických pojmů nesoucích Eulerovo jméno, které čtenář nalezne na stránkách mathworld.wolfram.com – jedné z nejrozsáhlejších encyklopedií matematických pojmů na Internetu. O Leonhardu Eulerovi, o jeho životě a díle, byly již popsány tisíce stran různých článků a speciálních monografií. V našem článku můžeme jen krátce popsat Eulerovy životní osudy, velmi stručně pohovoříme o jeho vědeckém díle a v poslední části ukážeme, jakým způsobem Euler nevědomky přispěl ke vzniku moderní matematické disciplíny – teorie grafů. Život Leonharda Eulera Leonhard Euler se narodil 15. dubna 1707 ve švýcarské Basileji v rodině pastora Paula Eulera. Již v útlém dětství se mu dostalo kvalitního matematického vzdělání od otce, který byl na univerzitě v Basileji žákem Jakoba Bernoulliho (1654–1705).1) Jakob Bernoulli a jeho mladší bratr Johann (1667 až 1748) patřili k těm matematikům, kteří se jako první seznámili s matematickými pracemi I. Newtona (1643–1727) a G. W. Leibnize (1646–1716) a kteří stáli na přelomu 17. a 18. století u zrodu diferenciálního a integrálního počtu. 1)

O všech matematicích, jejichž jména v naší práci uvádíme, nalezne čtenář snadno podrobné informace na www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history.


21

HISTORIE

Přáním Paula Eulera bylo, aby se i jeho syn stal duchovním, a proto ho v roce 1720 vyslal na basilejskou univerzitu, kde měl nejprve získat širší vzdělání, které by ho připravilo k hlubšímu studiu teologie. Johann Bernoulli, který se po smrti bratra stal profesorem matematiky na univerzitě, dobře poznal obrovský talent svého nového žáka a doporučil mu k samostatnému studiu práce tehdejších nejvýznamnějších matematiků. Pod jeho vedením za tři roky Euler ukončil magisterské studium filozofie a začal studovat teologii, řečtinu a hebrejštinu. Brzy však tohoto studia zanechal a se souhlasem otce se věnoval dále jen studiu matematiky. Ve svých devatenácti letech publikoval Euler svoji první práci a se studií o stavbě lodí usiloval v roce 1727 o Velkou cenu pařížské akademie. Jeho práce se umístila na třetím místě, což svědčilo o jeho mimořádných kvalitách a schopnosti vědecké práce (později zaslal ještě dalších 14 prací do této soutěže a zvítězil v letech 1738 a 1740). Eulerovi se však pro jeho mládí nepodařilo získat místo profesora fyziky na basilejské univerzitě, když nebyl zařazen do losování, kterým byl z vhodných kandidátů vybrán nový profesor. Bylo to možná štěstí, neboť tento neúspěch brzy přivedl Eulera k rozhodnutí odejít do jednoho z nejvýznamnějších středisek evropské vědy. Univerzity nebyly v 18. století institucemi, které by věnovaly pozornost vědecké práci. Byly tu sice výjimky v podobě dvou nejvýznamnějších anglických univerzit, ale v Basileji by byli Euler s Johannem Bernoullim víceméně osamoceni. Přátelství se dvěma syny Johanna Bernoulliho, Mikulášem (1695–1726) a Danielem (1700–1782), přivedlo Eulera do Petrohradu, kde byla v prosinci roku 1725 slavnostně otevřena petrohradská akademie věd. Na této akademii získali Mikuláš a Daniel místa profesorů, a když po osmi měsících Mikuláš zemřel, zajistil Daniel Eulerovi pozvání do Petrohradu, které Euler přijal. Po téměř šesti týdnech cesty dorazil Euler 17. května 1727 do města, ve kterém prožil ve dvou obdobích více než 30 let svého života. Do Basileje se již nikdy nevrátil. Euler byl do Petrohradu původně povolán na místo učitele fyziologie, ale již po příjezdu se mohl věnovat pouze matematickým vědám. V roce 1730 byl jmenován profesorem fyziky a o tři roky později, poté, co se Daniel Bernoulli vrátil zpět do Basileje, profesorem matematiky. Euler se s ostatními akademiky podílel na mnoha projektech, ve kterých bylo třeba uplatnit matematické metody. Šlo například o sestavování map, řadu technických expertíz, řešení problémů stavby lodí a navigace, ale také psaní učebnic. 30. léta 18. století jsou prvním obdobím Eulerovy usilovné práce, obdobím, kdy se v roce 1734 oženil s Catherine Gsello22


HISTORIE

vou, se kterou měl třináct dětí. Z nich se ale jen pět dožilo dospělosti. (Po smrti své ženy se v roce 1776 oženil podruhé.) 30. léta jsou ale také obdobím, kdy po usilovné práci na mapách Ruska Euler oslepl na pravé oko. Nejasná politická situace koncem 30. let a postavení petrohradské akademie přimělo Eulera, aby přijal nabídku pruského krále Friedricha II. na místo člena berlínské akademie. V Berlíně Euler působil 25 let v období 1741–1766. Přesto i nadále udržoval kontakt s Petrohradem, kde zůstal čestným členem akademie a publikoval stále v jejím časopise, za což dostával do Berlína část svého původního platu. Zhruba polovina jeho prací vycházela v časopise berlínské akademie, ale zmíněné časopisy nestačily tempu jeho práce. V době berlínského působení napsal Euler asi 380 článků a několik knih věnovaných jak čisté, tak aplikované matematice. Kromě toho se podílel na řadě projektů obou akademií a redigoval oba časopisy. Když po smrti prezidenta akademie P. Maupertia (1698–1759) Friedrich II. nenabídl uvolněné místo Eulerovi a místo toho pozval v roce 1763 do Berlína J. d’Alemberta (1717–1783), Euler Berlín opustil a vrátil se roku 1766 navždy do Petrohradu. Brzy po návratu do Petrohradu Euler oslepl i na levé oko a nic na tom nezměnila ani operace v roce 1771, která mu vrátila zrak jen na několik dní. Třebaže byl nyní zcela odkázán při psaní na pomoc druhých (svých synů i dalších členů akademie), napsal Euler při svém druhém petrohradském pobytu přibližně polovinu všech svých prací.2) Leonhard Euler zemřel v Petrohradě 18. září 1783 ve věku 76 let, příznačně během rozhovoru o matematických problémech. Jak konstatoval v nekrologu předneseném členům pařížské akademie M. J. Condorcet (1743–1794), Euler přestal počítat a žít.“ ” Dílo Leonharda Eulera Leonhard Euler je autorem 866 prací, z nichž za jeho života vyšlo více než 500. Euler počítal lehce, tak jako člověk dýchá nebo orel létá“ ” (Fran¸cois Arago), a jak sám říkával, mnoho svých významných děl vytvořil, když měl v náručí nemluvně a u jeho nohou si hrály ostatní děti. Přitom v Eulerově případě šlo o díla rozsáhlá, takže ročně v průměru napsal kolem 800 stran. Žádný matematik historie, současnosti a pravděpo2)

Po jeho smrti přibližně dalších 50 let petrohradská akademie publikovala jeho dosud nevydané práce.


23

HISTORIE

dobně i budoucnosti se nemůže v tomto ohledu s Eulerem měřit.3) Kromě toho Euler vedl velmi rozsáhlou vědeckou korespondenci, která obsahuje mnoho matematických výsledků a některé dopisy by bylo možno jistě považovat za kratší matematické práce. Díky této korespondenci znali matematici Eulerovy výsledky dříve, než vyšly tiskem, neboť mnoho myšlenek a výsledků Euler publikoval řadu let po jejich objevení a mnohé práce vyšly po jeho smrti. Zatímco u většiny matematiků počet prací s věkem klesá, u Eulera byla situace skoro obrácená. Vždyť v letech 1775–76, kdy měl již téměř 70 let, napsal minimálně 120 prací a během posledních deseti let svého života vytvořil přes třetinu svých prací. Jistě, nebyly to již mnohasetstránkové monografie berlínského období, ale i tak je Eulerova produktivita práce v pozdním věku neuvěřitelná. Euler přispěl svými výsledky ke všem odvětvím matematiky, která existovala v jeho době. Jeho práce je možno rozdělit do následujících oblastí: matematika, fyzika, astronomie, mechanika a populární práce (učebnice nižších škol či známé Dopisy německé princezně z let 1768 až 1772). Matematické práce jsou věnovány teorii čísel, teorii algebraických rovnic, kombinatorice a pravděpodobnosti, diferenciálnímu a integrálnímu počtu, nekonečným řadám, eliptickým integrálům, diferenciálním rovnicím, variačnímu počtu a geometrii. Nespočet důležitých matematických výsledků ovšem obsahují i jeho práce aplikační. Euler se zabýval mimo jiné akustikou a optikou, mechanikou pevných i pružných těles, hydromechanikou, teorií strojů a stavbou lodí. Fundamentálním dílem z prvního petrohradského období je jeho dvousvazková Mechanika vydaná v roce 1736 (první svazek Euler dokončil v roce 1734, kdy mu bylo pouhých 27 let), která představovala ohromný pokrok v tom, že její výklad byl na rozdíl od Newtona založen systematicky na infinitezimálním počtu a ne na syntetických geometrických důkazech. V jiné rozsáhlé učebnici z roku 1765 Euler studoval mechaniku pevných těles. V astronomii zkoumal pohyby vesmírných těles. V roce 1744 vyšla jeho kniha Teorie pohybu planet a komet, poté Euler věnoval velkou pozornost pohybu Měsíce. K tomuto tématu vydal dvě monografie v letech 1753 a 1772. Teoreticky tak pomohl řešit v té době mimořádně obtížný problém určování zeměpisné délky. 3)

Více než 900 prací s rozsahem ovšem podstatně menším publikoval Arthur Cayley (1821–1895). Pod více než 1500 pracemi je podepsán legendární maďarský matematik Pál Erd˝ os (1913–1996), který ovšem publikoval se spoluautory a mnohdy k práci přispěl jen několika myšlenkami.

24


HISTORIE

Euler se zabýval rovněž geofyzikou nebo kartografií. Jen obtížně bychom hledali oblasti exaktních věd, kterým by nevěnoval alespoň malou pozornost. Vždyť v době, kdy se připravoval převzít místo učitele fyziologie v Petrohradě, zabýval se i přírodními vědami a medicínou. Není možno zdaleka popsat ani všechny nejdůležitější Eulerovy matematické výsledky. Většinu svých prací publikoval latinsky a přes 800 z nich je dostupných zájemcům na Internetu na stránkách Euler Archiv (www.math.dartmouth.edu/~euler). Jeho způsob matematického zápisu byl (na rozdíl od matematických prací 16. a 17. století) již v mnohém velmi podobný našemu. Za řadu symbolů a pojmů, které dnes běžně používáme ve školních učebnicích, vděčíme Eulerovi. Euler řadu označení či termínů sám navrhl nebo se staly běžnými zásluhou jeho učebnic. Kolem roku 1727 poprvé použil označení e pro základ přirozených logaritmů, díky Eulerovi se definitivně prosadilo použití řeckého písmena pro poměr √ mezi obvodem a průměrem kruhu. Euler jako první užil symbol i pro −1 (1777). Všechny tyto symboly nacházíme ve slavném vztahu ei + 1 = 0 obsahujícím pět nejdůležitějších matematických konstant. Nejde však jen o označení významných konstant, ale také třeba za symboly f (x) (1734) nebo (1755) vděčíme Eulerovi. Jak již víme, byl Euler žákem Johanna Bernoulliho, jednoho z první generace tvůrců infinitezimálního počtu objeveného Newtonem a Leibnizem. Byla to Eulerova díla Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) a Institutiones calculi integralis (1768–1770), která se stala základními učebnicemi a podnítila její další rozvoj ve druhé polovině 18. století. Euler jako první budoval infinitezimální počet na základě pojmu funkce a ne na pojmu křivka. Podle Eulera funkce proměnné veličiny je analytický výraz, který lze nějakým způso” bem sestavit z proměnné veličiny, čísel a konstantních veličin“. Funkce studoval pomocí nekonečných řad a součinů. Třebaže při tom důsledně nezkoumal konvergenci těchto limitních procesů a dopustil se některých chyb a nesprávných závěrů, většinu jeho výsledků používáme dodnes. Vztah eix = cos x + i sin x, který nacházíme v Introductiu, umožnil Eulerovi studovat i funkce v komplexním oboru a využívat je například v kartografii. Introductio ovšem obsahuje i pasáže věnované řešení rovnic, trigonometrii a jeho Ročník 82 (2007), číslo 4

25

HISTORIE

druhá část je věnována problémům analytické geometrie. Eulerova učebnice nebyla první, která se analytickou geometrií zabývala, nicméně Eulerovo pojetí bylo nové a v mnohém se stalo vzorem pozdějším učebnicím analytické geometrie. Eulerovy učebnice diferenciálního a zejména integrálního počtu rovněž velmi výrazně překonávaly vše, co bylo dosud o infinitezimálním počtu napsáno. Leckterého dnešního studenta základů integrálního počtu by jistě překvapilo, že již Euler v případě neurčitých integrálů znal všechny metody a výsledky, které jsou dnes přednášeny v prvním ročníku vysoké školy. Podobně je tomu v případě úvodních kurzů diferenciálních rovnic, které jsou rovněž obsaženy v Eulerově Integrálním počtu“. Eulerovu ” klasifikaci rovnic na lineární, exaktní nebo homogenní užíváme dodnes. Neméně významnou oblastí Eulerova zájmu byla teorie čísel. Euler jako první dokázal mnoho výsledků, které bez důkazu (tedy pouze jako hypotézy) zformulovali jeho předchůdci, zejména Pierre de Fermat (1601–1665). Fermat formuloval řadu hypotéz a tvrzení, která ovšem nedokázal. Své výsledky z teorie čísel Euler publikoval přibližně ve stovce prací. Aplikoval v nich nejen do té doby klasické důkazové prostředky, ale současně využil řady metod aritmetiky, algebry a matematické analýzy. Z jeho výsledků v teorii čísel můžeme zmínit důkaz, že Fermatova n hypotéza, podle které jsou všechna čísla tvaru 22 + 1 (n = 1, 2, 3, . . .) prvočísla, není pravdivá. Euler v roce 1732 zjistil a ve své první práci 5 věnované teorii čísel (1738) ukázal, že číslo 22 + 1 = 4 294 967 297 je dělitelné číslem 641. O několik let později Euler naopak potvrdil jiné Fermatovo tvrzení, že každé prvočíslo tvaru 4n + 1 je možno rozložit na součet dvou druhých mocnin přirozených čísel, a to právě jedním způsobem. Euler se rovněž zabýval dnes jistě nejznámějším Fermatovým tvrzením, že neexistují celá kladná čísla x, y a z a přirozené číslo n > 2, pro která je splněna rovnost xn + y n = z n . Euler dokázal toto tvrzení nejprve pro n = 4 a později pro obtížnější případ n = 3. Velkou slávu Eulerovi v období prvního petrohradského pobytu přineslo řešení problému, který je někdy nazýván basilejský“, protože ” o jeho řešení se neúspěšně pokoušeli bratři Bernoulliové i Johannův syn Daniel. Šlo o určení součtu konvergentní řady ∞ 1 . 2 n n=1

Euler v roce 1735 ukázal, že součet této řady je roven 26

2 . 6

O dva roky


HISTORIE

později ukázal pozoruhodnou souvislost tohoto problému s teorií čísel, když dokázal, že platí ∞ 1 1 = 1 , s n (1 − ps ) p n=1 kde v součinu na pravé straně p postupně probíhá všechna prvočísla. Nakonec uveďme ještě dva známé výsledky, kterých Euler dosáhl v elementární matematice. V roce 1765 analytickými prostředky odvodil tvrzení, že v každém nerovnostranném trojúhelníku leží průsečík výšek V , těžiště T a střed kružnice trojúhelníku opsané O na jedné přímce a těžiště dělí spojnici průsečíku výšek a středu kružnice opsané v poměru 2 : 1. Přímka, na které uvedené body leží, dnes nese Eulerovo jméno. Podobně je tomu v případě známé věty určující vztah mezi počtem vrcholů V , hran H a stěn S konvexních mnohostěnů, jejíž význam v dnešní době výrazně přesahuje rámec elementární geometrie. Euler v roce 1750 dokázal, že pro konvexní mnohostěny platí vztah V +S = H +2. V tomto případě se ovšem jedná o jeden z častých případů, kdy matematická věta nenese jméno svého objevitele. Vztah totiž znal kolem roku 1620 R. Descartes (1596–1650), ale nikdy ho v této podobě nepublikoval. Eulerovo dílo vždy bylo zdrojem obdivu pro každého, kdo se ho pokusil studovat. Velcí matematici 18. a 19. století zdůrazňovali význam studia Eulerových prací. P. S. Laplace (1749–1827) říkal mladým matematikům: Čtěte Eulera, je učitelem nás všech.“ C. Gauss (1777–1855) ” pak o jeho díle prohlásil: Studium Eulerova díla zůstane nejlepší školou ” pro nejrůznější oblasti matematiky a nemůže je nic nahradit.“ Spíše už jen pro doplnění uveďme i Eulerův zájem o bádání na poli fyziky, neboť často od ní se dostal právě k matematice. Vybudoval např. mechaniku tuhého tělesa, přispěl k mechanice pružného tělesa a upřesnil důležité otázky balistiky v odporujícím prostředí. Problém königsberských mostů Ve městě Königsbergu v někdejším Východním Prusku (dnešní Kaliningrad v Rusku) jsou v centru města na řece Pregel (Pregolja) dva ostrovy, které v 18. století spojovalo s oběma břehy sedm mostů. Problém königsberských mostů4) spočíval v nalezení cesty, která by spojo4)

Městu Königsberg se v minulosti v českých zemích říkalo Královec (u zrodu města stál český král Přemysl Otakar II.), a v české literatuře proto často nacházíme název problém mostů města Královce.


27

HISTORIE

vala všechny části města, začínala a končila ve stejné části a při které by každý most byl použit právě jednou. Tento problém se objevil již v 17. století a není úplně jasné, jakým způsobem se s ním Euler seznámil. Zdá se, že se na něj s tímto problémem obrátil jeho přítel Carl Ehler, v té době starosta města Danzig (dnešní Gdaňsk). Řešení problému mostů předložil Euler 26. srpna 1735 na zasedání petrohradské akademie a informoval o něm podrobně v dubnu následujícího roku Ehlera. Euler v dopise, který se dochoval do dnešních dní, napsal, že tento úkol nemá mnoho společného s matematikou, ale že bude rád, když dostane nějaké podobné. Euler se podivil nad tím, že se lidé domnívají, že právě matematik by měl tento úkol vyřešit.

Obr. 1: Problém königsberských mostů

Třebaže Euler nepovažoval problém za matematický, rozhodl se svoje řešení publikovat v časopisu petrohradské akademie pro rok 1736. Článek Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ovšem vyšel až v roce 1741. Za pozornost jistě stojí, že o Eulerově práci se zmiňuje v 15. díle francouzské encyklopedie Eulerův rival d’Alembert. Je tedy zřejmé, že problém königsberských mostů byl ve své době opravdu populární a Eulerovo řešení známé. V roce 1851 byla Eulerova práce poprvé přeložena do francouzštiny É. Coupym, který Eulerův postup ilustroval na řešení problémů mostů přes řeku Seinu v Paříži. Druhý francouzský překlad připravil v roce 1883 É. Lucas. Problém je populární dodnes a setkáváme se s ním jak v řadě publikací věnovaných rekreační matematice, kam by ho Euler sám zcela jistě zařadil, tak v knihách věnovaných teorii grafů. Eulerova práce je totiž mnoha autory považována za první práci této moderní matematické disciplíny, jejíž skutečný zrod datujeme až do první poloviny 20. století. Jak již název práce Řešení problému týkajícího se geometrie polohy napovídá, Euler přece jen viděl souvislost problému s geometrií. Ovšem 28


HISTORIE

geometrií zcela odlišnou od té, která byla studována do té doby (pomineme skutečnost, že geometrií byla tehdy nazývána celá matematika). V úvodu práce rozdělené na 21 číslovaných odstavců napsal: Vedle té části geometrie, která se zabývá velikostmi a které byla vždy věnována největší pozornost, existuje ještě další část, dříve téměř neznámá, o které se první zmínil Leibniz a nazval ji geometrie polohy. Tato část se zabývá pouze určením polohy a jejími vlastnostmi; neobsahuje žádné veličiny, ani počítání s nimi. Euler označil čtyři části města Königsbergu velkými písmeny A, B, C a D a mosty malými písmeny a, b, c, d, e, f a g (obr. 1). Převedl problém přecházení mostů na nalezení posloupnosti 8 písmen (A, B, C a D) takové, že neuspořádané dvojice AB, AC se v ní objeví dvakrát, zatímco dvojice AD, BD a CD právě jednou. Písmena představují jednotlivé části města a dvojicím odpovídají mosty přes řeku Pregel. Euler ukázal, že taková posloupnost nemůže existovat, a proto neexistuje ani řešení problému königsberských mostů. Eulerův důkaz je jednoduchý: Protože existuje 5 mostů, které končí v části A, pak posloupnost písmen musí obsahovat písmeno A třikrát. Podobně 3 mosty vedoucí do částí B, C a D znamenají, že tato písmena budou v posloupnosti dvakrát. To ovšem není možné, protože posloupnost má jen 8 písmen (obr. 2).

Obr. 2: Ukázka z Eulerovy práce

V další části práce Euler vyřešil podobným způsobem problém obecně. Jak sám uvedl, bylo by vždy v podobných jednoduchých situacích možné úkol vyřešit tak, že vyšetříme všechny možné cesty. Pro komplikovanější případy by ovšem tato možnost byla obtížně proveditelná. Pro snazší vyjadřování si na tomto místě převedeme úlohu do dnešního jazyka teorie grafů.5) Problém spočívá v nalezení eulerovského tahu 5)

Graf G = (U, H) je tvořen množinou uzlů U , které znázorňujeme jako kroužky, a množinou hran H, které znázorňujeme jako čáry spojující dvojice uzlů. Stupněm uzlu pak rozumíme počet hran, které z uzlu vycházejí.


29

HISTORIE

v grafu,6) jehož uzly představují jednotlivé části města Königsbergu a hrany odpovídají sedmi mostům přes řeku Pregel. Ve většině dnešních základních učebnic teorie grafů tento graf nalezneme (obr. 3). Někdy i s chybnou poznámkou, že takto situaci graficky zachytil již Euler. Ve skutečnosti se souvislost mezi problémem königsberských mostů a tímto grafem objevila až ve velmi známé knize W. W. Rouse Balla (1850–1925) věnované rekreačním matematickým problémům. C A

D

B Obr. 3: Graf k problému königsberských mostů

První věta teorie grafů, která byla v Eulerově práci dokázána, zní v dnešní terminologii takto: Nechť G = (U, H) je konečný graf, U = {u1 , u2 , . . . , un } je množina jeho uzlů a nechť množina jeho hran H má h prvků. Stupeň uzlu ui (i = 1, . . . , n) označme st(ui ). Pak platí n

st(ui ) = 2h.

i=1

Své další úvahy shrnul Euler do následujících pravidel (jsou opět vyjádřena dnešním jazykem), která umožňují v podobných problémech rozhodnout, zda v souvislém grafu hledaný tah existuje:7) 1. Jsou-li v grafu více než dva uzly lichého stupně, pak eulerovský tah neexistuje. 2. Jsou-li v grafu právě dva uzly lichého stupně, pak existuje otevřený eulerovský tah začínající v jednom z těchto uzlů a končící v druhém. 3. Jestliže jsou v grafu všechny uzly sudého stupně, pak existuje uzavřený eulerovský tah. 6)

Sled v grafu je posloupnost uzlů a hran u0 h1 u1 h2 . . . hn un , kde hrana hi spojuje uzly ui−1 , ui . Tahem v grafu pak rozumíme sled, ve kterém se neopakují hrany. Všechny tahy rozdělujeme na uzavřené a otevřené podle toho, zda začínají a končí ve stejném uzlu, nebo ne. Eulerovský tah je takový tah, který obsahuje všechny hrany grafu. 7) Souvislým grafem rozumíme graf, ve kterém pro libovolnou dvojici uzlů existuje sled začínající v jednom a končící ve druhém uzlu.

30


HISTORIE

Euler dobře věděl, že jakýkoliv graf může obsahovat jen sudý počet uzlů lichého stupně. Souvislý graf, který obsahuje pouze uzly sudého stupně, dnes nazýváme eulerovský graf. Euler dokázal jen první dvě pravidla, třebaže mu byl později často důkaz třetího tvrzení připisován. Zdá se, že Euler považoval tento důkaz za zcela elementární, jak plyne z posledního odstavce jeho práce. Zde ukázal způsob, jakým nalezneme eulerovský tah v případě, kdy existuje. Důkaz třetího Eulerova pravidla podal těsně před svou smrtí mladý německý matematik C. Hierholzer (1840–1871). Nejprve ukázal, že pokud graf obsahuje eulerovský tah, pak při každém průchodu libovolným uzlem využíváme dvě různé hrany, které z něj vycházejí. Všechny uzly grafu tedy mají sudý stupeň. Bylo třeba dokázat ještě obrácené tvrzení. Hierholzerův důkaz spočívá v odvození následujícího algoritmu, který umožňuje najít eulerovský tah v eulerovském grafu: Najdeme libovolný tah, který začíná a končí ve stejném uzlu, a odstraníme hrany, které jsme tímto tahem prošli. Pak zbývající graf obsahuje buď pouze izolované uzly (v tom případě jsme již našli eulerovský tah), nebo existují uzly, kterými jsme již prošli a které mají i nyní sudý stupeň. Vyberme některý z nich a vytvořme libovolný uzavřený tah, který v daném uzlu začíná a končí. Vložíme-li jej do původního tahu, tento zvětšíme a tímto způsobem můžeme pokračovat tak dlouho, dokud nenalezneme výsledný eulerovský tah. Hierholzer s velkou pravděpodobností Eulerovu práci neznal. Problém mostů nezmínil a zabýval se ekvivalentním problémem, který všichni dobře známe — nakreslit obrázek jedním tahem“. Hierholzer v této ” souvislosti citoval práci z roku 1847, ve které se autor J. B. Listing (1808–1882) mimo jiné zabýval i úkolem nakreslit obrázky složené z uzlů a čar jedním tahem. Listing zjistil (ale nedokázal), že pokud obrázek obsahuje 2p (p > 0) uzlů lichého stupně, pak k jeho nakreslení je zapotřebí minimálně p otevřených tahů. V konkrétním případě vyslovil toto tvrzení již Thomas Clausen (1801–1885), když v roce 1844 ukázal, že obr. 4 nelze nakreslit méně jak 4 souvislými tahy.

Obr. 4: Clausenův graf Ročník 82 (2007), číslo 4

31

HISTORIE

Zajímavá interpretace problému se objevila v roce 1849 v práci, ve které O. Terquem (1782–1862) úlohu vyjádřil v termínech hry domino. Úkolem je položit kostky domina tak, aby vytvořily uzavřenou křivku“. ” Číslům 0 až 6 přiřadil uzly a jednotlivým kostkám hrany tohoto grafu. Existence kostek se dvěma stejnými čísly, kterým odpovídají smyčky grafu,8) na problému nic nemění. Graf má všechny uzly stupně osm, je tedy eulerovský a úloha má řešení. Problém königsberských mostů se stal součástí většiny knih rekreační matematiky, ale také teorie grafů. Uveďme, že když byl v roce 1875 v Königsbergu postaven další most (spojující části B a C), tak L. Saalschütz upozornil na to, že úloha má už 48 řešení začínajících v části A a končících v části D. Literatura [1] Juškevič, A. P. a kol.: Matematika v 18. století. Historie matematiky, sv. 3. Moskva, 1972 (v ruštině).

[2] Šišma, P.: Teorie grafů 1736–1963. Praha, 1997.

Listy z kalendára Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave János Bolyai — (15. 12. 1802 – 27. 1. 1860) Po úspešnom štúdiu na gymnáziu nešiel pre nedostatok prostriedkov študovať na univerzitu. Absolvoval vojenskú inžiniersku akadémiu vo Viedni (1818–1823). Viac ako päť rokov spracúval výsledky svojich geometrických predstáv. Už pred rokom 1823 zanechal pokusy o dôkaz piatej Euklidovej axiómy, uvedomil si jej nezávislosť a začal budovať geometriu bez nej. V roku 1832 vyšla kniha jeho otca Farkaša s 23 stránkovým Jánosovým dodatkom, vykladajúcim absolútne pravdivú vedu o priestore. Svet 8)

Smyčkou rozumíme hranu, která vychází i končí ve stejném uzlu, takže se do stupně uzlu započítává dvakrát.

32


HISTORIE

sa dozvedel o novom svete. Považujem tohto mladého matematika za génia prvého rádu (C. F. Gauss). Maďarský vojenský inžinier János Bolyai, v izolácii od vedeckého sveta, dokázal vybudovať netradičné matematické predstavy, v ktorých neplatilo tvrdenie o existencii práve jednej rovnobežky prechádzajúcej daným bodom k danej priamke. Neskôr si preštudoval práce ruského matematika Lobačevského a priznal prvenstvo jemu. Trpko znášal nepochopenie a stratu prvenstva v poznaní novej geometrie. Z matematiky už viac nič nepublikoval. Veril, že veda prehlbujúc poznanie prírody a spoločnosti, je prostriedkom pre dosiahnutie ľudského šťastia. János Bolyai zostal ku koncu života celkom osamelý. Z myšlienok • Z ničoho som stvoril nový, iný svet. Ako vám to mám vysvetliť, ako sa mám s vami podeliť s tým, čo len vo mne svieti? • Všetko so všetkým sa stretne vo víchrici a strachu v ohnutom priestore. • Ten, kto okolo seba nenašiel lásku, skôr či neskôr vyvolí si ľudstvo, svoj osud zviaže s hviezdami a po pravde a kráse bude vyznávať dobro. • Blaho pre jednotlivcov možno priniesť a udržať len vtedy, ak sa dostane pre všetkých a nikto nemôže byť dokonale šťastným, ak neuvidí zaistené blaho pre všetkých ostatných. • Vo vede, práve tak ako v samotnom skutočnom živote, je dôležité, aby to, čo je nutné a všeobecne užitočné, i keď ešte nie je dosť jasné, bolo zodpovedne vysvetľované a aby chýbajúci alebo skôr driemkajúci zmysel pre pravdu a právo bol vyburcovaný, náležite utvrdzovaný a podporovaný. • Nie proti pravde rebelujem! Len proti jedinej ceste k nej.

Roku 2004 byla za zanedbatelného zájmu veřejnosti odhalena na domě vojenské ubytovací a stavební správy (Hanácké kasárny) v Olomouci pamětní deska s českým a maďarským nápisem: V Olomouci sloužil jako kapitán od 10. července 1832 do 15. června 1833 maďarský matematik, zakladatel nauky o neeuklidovské geometrii Bolyai János (1802–1860). Více se o této události a o J. Bolyaiovi můžete dozvědět na adrese http://mant.upol.cz/soubory/Akce/Bolyai.htm Doplnil Miloslav Závodný Ročník 82 (2007), číslo 4

33

SOUTĚŽE Úlohy pro 49. ročník Fyzikální olympiády, kategorie E, F Ivo Volf, ÚK FO – Univerzita Hradec Králové Tento soubor úloh je určen pro soutěžící, kteří navštěvují 8. nebo 9. ročník škol poskytujících základní vzdělání nebo jim odpovídající ročníky víceletého gymnázia. Budete z nich povinně řešit celkem sedm úloh, které vám stanoví váš učitel fyziky. Nic však nebrání tomu, abyste nevyřešili i další úlohy, na které budete se svými vědomostmi a dovednostmi stačit. Také letos byly do fyzikální olympiády zařazeny úlohy s využitím informací, které najdete na internetu. EF49-1. Šerpové v Nepálu Šerpové v Nepálu jsou najímáni, aby pomohli horolezcům přenášet těžké náklady při jejich vysokohorských expedicích. Šerpa má hmotnost 85 kg a unese náklad 75 kg. Stoupá do prudkého kopce a zdolá během dvou hodin výškový rozdíl 860 m. a) Jak velkou práci vykoná nosič při vynesení nákladu? b) Jak velkou práci vykoná nosič celkem? c) Jaký je průměrný výkon nosiče při stoupání? d) Jaký je podíl užitečné a celkové práce nosiče a poměr užitečného a celkového výkonu? Za užitečnou práci považujeme práci spojenou pouze s nákladem, celková práce je včetně vynesení těla nosiče. EF49-2. Vzletová rychlost letadla Letečtí experti stanovili rychlost, nutnou pro start velkého dopravního letadla, na hodnotu 270 až 324 km/h, a to v závislosti na směru a rychlosti větru i na hmotnosti letadla. Při rozjezdu po startovací dráze se zvyšuje rychlost letadla z klidu rovnoměrně tak, že každých 5,0 s vzroste o 10,0 m/s. a) Jak dlouho se letadlo rozjíždí po startovací dráze, než se odlepí“ od ” země? b) Do grafu v(t) vyjádři, jak se mění rychlost na čase od zahájení pohybu letadla až po jeho odlepení“ od startovací dráhy. ” 34


SOUTĚŽE

c) Jakou nejmenší dráhu ke startu letadlo potřebuje? Ke stanovení využij grafu. d) Porovnej získaný údaj se startovními drahami na vybraných letištích: Denpasar (Bali – Indonesie), Kathmandu (Nepal), S˜ ao Paulo, Pardubice, Singapur – Changi. Pro řešení zvol např. Google Earth 3D, www.GoogleEarth.com. EF49-3 Letadlo přistává Přistávací rychlost velkého dopravního letadla (např. Airbus, Boeing aj.) je 240 km/h. Letadlo dosáhne této rychlosti asi 10,0 s před dotekem podvozku s přistávací drahou, dalších 5,0 s poté, co se podvozek dotkne dráhy, vyrovnává se stabilita letadla a potom začne pilot účinně brzdit (pomocí klapek na křídlech a pak obráceným chodem motorů, v poslední fázi i brzděním kol podvozku) a během 30,0 s letadlo zastaví. Předpokládejme, že ke snižování rychlosti dochází rovnoměrně s nabíhajícím časem. a) K řešení dalších otázek si nakresli graf v(t). b) Jak daleko před začátkem přistávací dráhy je v ideálním případě letadlo v okamžiku, kdy dosáhlo předepsané přistávací rychlosti? c) Jakou dráhu urazí letadlo na přistávací dráze předtím, než začne brzdit? d) Stačí k přistání velkého dopravního letadla přistávací dráha délky 2,0 km? e) Porovnej s údaji v úloze délku přistávacích a startovacích drah na letištích São Paulo, London-Heathrow, Washington, Praha-Ruzyně, Soči-Adler (psáno Sochi). EF49-4 Zapojujeme rezistory Při laboratorní práci dostali žáci za úkol spojovat rezistory v různých kombinacích. Měli k dispozici tři rezistory o odporu 20 ohmů, 50 ohmů, 50 ohmů a zdroj o stálém napětí 4,5 V. Vytvoř teoretický projekt pro jejich laboratorní činnost – jaké existují možnosti spojení vždy všech tří rezistorů, jaké napětí je na jednotlivých rezistorech při těchto zapojeních, jaký proud jimi prochází a jaký příkon má každý z těchto rezistorů. EF49-5 Ledovcová pokrývka Grónska Grónský pevninský ledovec se vytvořil koncem třetihor a je starý asi tři milióny let. Dnes pokrývá asi 85 % povrchu pevniny, tj. přibližně 1,80 milionu km2 . V centrální části má tloušťku asi 3 200 m, k okrajům se tloušťka ledu snižuje až na 100 m. Celková průměrná tloušťka je asi Ročník 82 (2007), číslo 4

35

SOUTĚŽE

1 500 m. V roce 2006 bylo zjištěno, že nevratným způsobem za rok roztálo 240 km3 ledu o hustotě 920 kg/m3 . Tím se grónský ledovec zmenšuje. a) Urči objem ledu, který tvoří grónský ledovec. b) Urči hmotnost a objem vody, která vznikla nevratným táním Grónského ledovce v roce 2006. c) O kolik se v roce 2006 zvýšila hladina oceánů na Zemi? Oceány představují asi 70 % povrchu Země. Představuje toto zvýšení hrozbu pro lidstvo? d) O kolik by se zvýšila hladina oceánů, kdyby roztál všechen pevninský led v Grónsku? Jaké by to mělo důsledky např. pro Dánsko a Nizozemí, popř. severní část Německa a Polska? Své tvrzení podlož prací s mapou nebo s internetovou stránkou www.googleearth.com. e) Popiš, proč je pro lidstvo nebezpečné tzv. globální oteplování. EF49-6 Trpasličí planety Na pražském mezinárodním symposiu astronomů bylo dohodnuto, že Pluto a některá další tělesa sluneční soustavy se dostanou do kategorie Trpasličí planety (Dwarf planets). Mohla by mezi ně patřit např. (uvádíme jméno, vzdálenost tělesa od Slunce v aféliu a perihéliu) Quaoar (44,896 AU, 41,914 AU), Varuna (45,335 AU, 40,915 AU), Sedna 975,056 AU, 76,156 AU), Orcus (48,31 AU, 30,53 AU), Ceres (2,987 AU, 2,544 AU), Eris (94,56 AU, 37,77 AU), Pluto (49,305 AU, 29,658 AU). a) Pro každé těleso urči jeho střední vzdálenost od Slunce. b) Jak dlouho sluneční světlo letí ze Slunce na tato tělesa? c) Země má střední vzdálenost rZ = 1 AU, dobu oběhu TZ = 1 rok. Urči dobu oběhu těchto těles kolem Slunce, platí-li 3. Keplerův zákon: Podíl druhých mocnin dob oběhu dvou těles kolem Slunce je roven podílu třetích mocnin středních vzdáleností těchto těles od Slunce. d) Své výpočty si zkontroluj např. v internetové encyklopedii Wikipedia (www.Wikipedia.org). EF49-7 Jak se setkávají autobusy? V jednom městě vyjíždějí autobusy městské dopravy každých 6 minut z jedné koncové stanice a do druhé koncové stanice se dostanou přesně za 33 min. Tam řidič odpočívá 10 min a pak se vrací zpátky po stejné trase; tento děj se opakuje od ranních 4 h 30 min až do večera do 19 h 00 min (pak je provoz již řidší). Zjisti, kolik nejvýše může řidič v jednom autobuse potkat protijedoucích autobusů městské dopravy při jedné trase? K řešení si nakresli graf s(t); snad ani nevadí, že není známa vzájemná 36


SOUTĚŽE

vzdálenost koncových stanic této linky městské dopravy. Pro jednoduchost neuvažuj krátké zastávky autobusu na stanicích městské hromadné dopravy. EF49-8 Předjíždění nákladních vozidel Po přímé vodorovné dvouproudé silnici jede stálou rychlostí 45 km/h vozidlo o délce 30 m vezoucí tzv. rozměrný náklad“. Zezadu se při” blíží nákladní automobil o délce 18 m, jedoucí stálou rychlostí 72 km/h. Když nákladní automobil dosáhne vzdálenosti 20 m od vozidla, vybočí do levého jízdního pruhu a začne předjíždět. Předjíždění bude ukončeno v okamžiku, když se zadní část nákladního automobilu dostane 12 m před vozidlo a automobil bude pokračovat v jízdě v pravém jízdním pruhu. a) Jak dlouho trvá předjíždění vozidla nákladním automobilem? b) Jakou dráhu urazí při předjíždění předjížděné vozidlo s rozměrným nákladem? c) Jakou dráhu urazí při předjíždění předjíždějící nákladní automobil? K řešení nakresli vhodné obrázky (nejlépe na začátku předjíždění, v okamžiku, kdy jsou řidiči vedle sebe, na konci předjíždění). Proč je pro další vozidla toto předjíždění nebezpečné? EF49-9 Akvárium s vodou Na stole v laboratoři biologie je umístěno prázdné akvárium o vnitřních rozměrech dna 40 cm × 60 cm a o výšce vnitřního prostoru 45 cm. Hmotnost prázdného akvária je 12,0 kg. Při posunování po stole je nutno překonat smykové tření, pro něž platí Ft = f · mg, kde součinitel smykového tření akvária o stůl je f = 0,25. Pak do akvária nalijeme vodu do výšky 40 cm ode dna. a) Jaká je hmotnost akvária naplněného vodou do uvedené výšky? b) Jak velkou silou je možno posunovat akvárium po desce stolu, je-li prázdné, pak je-li naplněné vodou? Nač musíme dát pozor při posunování (udělej si pokus s talířem, skoro plným vody). c) Při posunování akvária navrhla Lucie, že se mezi desku stolu a dno akvária vloží válcové tužky. Proč to navrhla? Nestačilo by pod akvárium vpravit trochu vody? d) Při zvedání jednoho konce akvária leží protější hrana dna na stole. Jak velkou silou je třeba na jednom konci akvárium zvedat? EF49-10 Závody na kole Lenka a Petr si na opuštěné vodorovné silnici zahráli závody na jízdních kolech. Nejprve se Petr rozjížděl po dobu 25 s, než dosáhl 27 km/h, a Ročník 82 (2007), číslo 4

37

SOUTĚŽE

bez dalšího šlapání jel až do zastavení po následujících 65 s. Lenka se rozjížděla po dobu 30 s, než dosáhla stejné rychlosti, avšak zastavovala se po dobu 60 s. Oba tedy dosáhli téže největší rychlosti a pohybovali se na kole po stejnou dobu. Po dobu rozjíždění i zastavování se rychlosti obou cyklistů mění s časem rovnoměrně, změny rychlosti jsou úměrné časovým intervalům, ∆v ∼ ∆t. a) Nakresli do společného grafu v(t) změny rychlosti obou závodníků. b) Který ze závodníků dojel do větší vzdálenosti? c) Nakonec se oba závodníci rozjížděli vedle sebe po stejnou dobu 30 s, než dosáhli oba rychlosti 27 km/h, ale potom se Lenka zastavovala po dobu 60 s a Petr po dobu 65 s. Který z nich dojel dále? Odhadni a uveď pravděpodobnou příčinu různé doby zastavování. EF49-11 Spotřeba pohonných hmot u automobilů Současná průměrná spotřeba motorů osobních vozidel a lehkých nákladních automobilů podle testů EPA (United States Environmental Protection Agency) je dána požadavkem ujet 25 mil na jeden galon (americká míle = 1,6093426 km, americký galon = 3,785 434 5 dm3 ). Tato vzdálenost vzrůstala od šedesátých let 20. století na základě standardů CAFE (Corporate Average Fuel Economy). Současným cílem je účinnost motorů zvýšit tak, že ujedou 45 mil na jeden galon spotřeby pohonných hmot. Řidiči budou muset sice investovat do technického vybavení vozidel, ale zlevní se tak jejich provoz. Uvažte, že během delší jízdy po rovinných silnicích udržuje motor vozidlo při stálé rychlosti 90 km/h, překonává především odporovou sílu, kterou na vozidlo působí okolní vzduch, a valivý odpor pneumatik při jízdě po (asfaltové) vozovce. Proto tahovou sílu odhadneme na 400 N. Výhřevnost benzínu (teplo, získané dokonalým spálením 1 kg benzínu o hustotě 720 kg/m3 ) je 46 MJ/kg. a) Jak velkou práci je nutno vykonat při udržení vozidla v jízdě po dráze 100 km? b) Jak velká je spotřeba benzínu při celkové účinnosti 25 % (motoru i převodů)? c) Porovnej svůj výsledek s výše uvedenými odhady EPA. EF49-12 Jízdní kolo jako fyzikální laboratoř (projekt vhodný pro soutěžící z osmých ročníků) Podívej se na své jízdní kolo očima žáka, který navštěvuje výuku fyziky na základní škole nebo na nižším gymnáziu. Načrtni si konstrukci jízdního kola. Popiš části jízdního kola a fyzikální děje, které se účastní 38


SOUTĚŽE

na přenosu síly a pohybu od došlápnutí podrážky obuvi na pedál až po dotyk pneumatiky kola se zemí. Uveď fyzikální veličiny a zákony, které můžeš využít při tomto popisu. Vysvětli význam tzv. přehazovačky. Jestliže frekvence šlapání pravé nohy je 90/min, za jakých podmínek lze dosáhnout nejmenší a za jakých podmínek největší rychlosti přemisťování jízdního kola? Při řešení popisuj reálné jízdní kolo (včetně případných experimentů), stanov si sám postup řešení. Napiš stručný protokol, doplněný získanými údaji, tabulkami, výpočty, fotografiemi či obrázky. Neboj se využít informací z internetu (hledej www.Wikipedia.com, heslo bicycle). EF49-13 Hra s mapou v atlase nebo na internetu Letos se podíváme nejprve na mapu Turecka (najdete ho i na mapě Evropy), potom využijeme internetové stránky www.googleearth.com (zvolte si free version – zdarma). a) Stanov zeměpisné souřadnice nejzápadnějšího, nejsevernějšího, nejvýchodnějšího a nejjižnějšího místa Turecka. Na základě měření nebo výpočtu urči strany obdélníka“, do nějž by se Turecko vešlo. ” b) Odhadni rozměry obdélníka“, který by měl stejný plošný obsah jako ” Turecko. Vypočti a svůj výsledek zkontroluj s hodnotou známou z tabulek či z internetu. c) Urči vzdálenost letišť v blízkosti měst Istanbul a Antalya. Jak dlouho trvá let v případě, že střední rychlost letadla (včetně manévru při startu a přistání) je 700 km/h? d) Zjisti nejmenší šířku průlivu Bospor a průlivu Dardanely. Jak dlouho přibližně trvá, než loď jedoucí rychlostí 25 uzlů propluje z Černého moře do moře Egejského? e) Na internetu najdi místo o souřadnicích 36◦ 52,64 severní šířky a 30◦ 56,15 východní délky; najdeš tam sportovní areál, a zjisti, jaké rozměry má fotbalové hřiště. Poznámka: 1 uzel = 1 námořní míle za hodinu (1 nautic mile per hour). EF49-14 Jak vytéká voda z nádoby K laboratornímu experimentu budeš potřebovat vhodnou plastovou láhev o objemu 2,0–2,5 litru. V první části experimentu nalepíš na láhev podélnou stupnici, kterou si ocejchuješ – vezmeš větší sběračku a nálevku, postupně přilévej vodu do láhve a na stupnici si označ ve vhodných vzdálenostech rysky tak, abys získal 15 až 20 poloh. Abys šetřil vodou, nalij ji do kbelíku a v místě nejnižší rysky udělej do stěny lahve malou Ročník 82 (2007), číslo 4

39

SOUTĚŽE

dírku o průměru asi 1,0 až 2,0 mm. Potom naplň láhev vodou až do vrchu (výše, než je nejvyšší ryska) a pečlivě uzavři zátkou. Pak necháš vodu vytékat, na stopkách či mobilu budeš měřit čas průchodu hladiny vody v láhvi jednotlivými ryskami. Sestroj graf vyznačující závislost změn polohy hladiny na čase i závislost doby výtoku vody na změnách výšky hladiny. Porovnej oba grafy a proveď závěry ze získaných měření. EF49-15 Projekt: Fyzika a sport (projekt vhodný pro soutěžící z devátých ročníků) Ve studiu tělesné výchovy a sportu je zařazena disciplína Biomechanika tělesných cvičení, která popisuje jednotlivé sporty z hlediska fyzikálního pohledu, tedy fyzikálních modelů. Vyber si některý sport a pokus se popsat ho očima žáka, který absolvoval výuku fyziky na základní škole. V případě, že budeš mít nějaké nedostatky, doplň si své fyzikální poznání studiem učebnic fyziky nebo využij internetu. Na závěr zařaď některé konkrétní hodnoty, jež jsou spojeny např. s rekordy našich či světových sportovců. Doporučujeme témata: Sprinty; Běhy na dlouhé tratě; Plavání; Lyžování; Jízda na kole; Automobilismus; Formule 1, Tour de France; Parašutismus atd. Při řešení teoretických úloh se snažte, aby z vašeho zápisu bylo jasné, jakým myšlenkovým postupem jste na výsledky přišli. Nezapomeňte, že každá fyzikální veličina má svou značku i svou jednotku. Pokuste se využít nejen výpočtů, ale i grafických metod, abyste co nejsnadněji dospěli k cíli – k řešení problému. Na internetu získáte potřebné informace, nutné pro vyřešení úlohy; abychom vám ulehčili práci, máte u některých úloh přímo vypsánu adresu, na kterou se máte obrátit. Při řešení experimentálních úloh nezapomeňte, že veličiny měříme vždy s určitou nepřesností, že při měření téže veličiny tedy získáme zpravidla několik navzájem různých hodnot, z nichž je třeba stanovit aritmetický průměr a vypočítat (nebo alespoň hodnověrně odhadnout) neurčitost získaného výsledku. Výsledkem měření je potom nejen získaná průměrná (nejpravděpodobnější) hodnota, ale také meze, v nichž lze s největší pravděpodobností očekávat správnou hodnotu měření. Dvě úlohy – každá pro jednu kategorii – mají charakter tvůrčího projektu. Nezapomeňte, že se musíte nejprve zorientovat v problematice a teprve potom se pustit do práce.

40


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL Úlohy riešené vhodným (matematickým) experimentovaním Dušan Jedinák, Trnavská univerzita v Trnave

Úvod Jednou z metód riešenia školských matematických úloh je sledovať, robiť prieskum, ako sa prípadné riešenie správa k jednotlivým zmenám premenných či parametrov, ako sa postupne vyvíja príslušná zákonitosť. Takýto postup nazývame experimentovanie, modelovanie skúmanej situácie, objavný prieskum. Pri takýchto simuláciách môžeme vysloviť určitú hypotézu a tú sa potom snažiť dokázať alebo vyvrátiť. Ponúkam niektoré úlohy, ktoré naznačujú spomínaný postup generovania riešenia. Prehľadné modelovanie problému Úloha 1. Pre ktoré prirodzené čísla n je číslo G = 1n + 2n + 3n + 4n deliteľné piatimi? Riešenie: Vyznačme si, ako sa G vytvára pre jednotlivé n: n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 .. . Ak si 2n sa 3n sa 4n sa

1n + 2n + 3n 1 2 3 1 4 9 1 8 27 1 16 81 1 32 243 1 64 729

4n 4 16 64 256 1024 4096

+

G 10 30 100 354 1300 4890

uvedomíme, že v číslach tvaru na posledných miestach pravidelne striedajú cifry 2, 4, 8, 6, na posledných miestach pravidelne striedajú cifry 3, 9, 7, 1, na posledných miestach pravidelne striedajú cifry 4, 6, 4, 6,


41

PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

uznáme, že je na poslednom mieste súčtu 1n + 2n + 3n + 4n pre n = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, . . . (vynechávali sme násobky štyroch) vždy 0, a to znamená, že číslo G je deliteľné piatimi. Pre n = 4, 8, 12, 16, . . . sa tak nestane (na konci čísla G bude vždy cifra 4). To znamená, že číslo G = 1n + 2n + 3n + 4n je deliteľné piatimi pre všetky prirodzené čísla n, ktoré nie sú deliteľné štyrmi. Úloha 2. (Ktorú ponúkol anglický matematik J.J. Sylvester (1814–1897).) Z dostatočne veľkého počtu poštových známok s hodnotami 5 a 17 sa dajú skladať rôzne hodnoty. Aká je najväčšia hodnota, ktorá sa nedá vytvoriť kombináciou týchto dvoch hodnôt? Riešenie: Generujme systematickú tabuľku hodnôt, ktoré dostávame postupným sčítavaním jednotlivých hodnôt: 17 34 51 68

5 22 39 56 73

10 27 44 61 78

15 32 49 66 83

20 37 54 71 88

25 42 59 76 93

Vidíme, že vieme vytvoriť číselné hodnoty na konci s číslicou 0 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 5 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 7 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 2 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 4 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 9 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 1 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 6 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 8 pre čísla väčšie alebo na konci s číslicou 3 pre čísla väčšie alebo Teda najväčšou hodnotou, ktorá sa nedá z kombináciou vytvoriť, je 63.

... ... ... ... ...

rovné 10, rovné 5, rovné 17, rovné 22, rovné 34, rovné 39, rovné 51, rovné 56, rovné 68, rovné 73. daných hodnôt 5 a 17 ich

Nielen radosť z experimentovania Úloha 3. Pre ktoré prirodzené číslo n je 1! + 2! + 3! + 4! + · · · + n! = p2 , kde p je prirodzené číslo? 42


PRO ŽÁKY ZÁKLADNÍCH ŠKOL

Riešenie: Kto skúsi postupne dosadzovať, vybadá: 1! = 1 = 12 1! + 2! = 3 1! + 2! + 3! = 9 = 32 1! + 2! + 3! + 4! = 33 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 873 Zadaniu vyhovujú zatiaľ iba n = 1, n = 3. Zdá sa, že od n = 4 je posledná číslica tých jednotlivých súčtov vždy 3. Prečo? Pre k ≥ 5 už všetky hodnoty k! majú poslednú číslicu nula (je tam vždy súčin 2 · 5). Ale druhá mocnina žiadneho prirodzeného čísla nikdy nekončí číslicou 3 (pretože 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 atď.). Úlohe vyhovujú len čísla 1 a 3. Záverečné odporúčanie Ponúkam prehľad niektorých publikácii, ktoré obsahujú podobné úlohy (aj s náznakmi riešenia a príslušnými výsledkami) na využitie prieskumných postupov pre riešenie školských matematických úloh: Calda, E.: Sbírka řešených úloh. Prometheus, Praha, 2006. Cirjak, M.: Zbierka divergentných a iných neštandardných úloh. Essox, Prešov, 2000. Gregorová, G.: Zbierka riešených úloh z planimetrie. Práca, Bratislava, 2000. Hecht, T., Sklenáriková, Z.: Metódy riešenia matematických úloh. SPN, Bratislava, 1992. Koman, M.: Dejte hlavy dohromady a řešte úlohy. Prometheus, Praha, 1995. Kopka, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. UJEP, Ústí nad L., 1999. Mihalíková, B. a kol.: Úlohy MO základnej školy. IUVENTA, Bratislava, 2003. Odvárko, O. a kol.: Metody řešení matematických úloh. SPN, Praha, 1990. Niederman, D.: 101 hádanek pro náročné. Portál, Praha, 2006. Zhouf, J. a kol.: Matematické příbehy z korespondenčních seminářů. Prometheus, Praha, 2006. Zhouf, J.: Přijímací zkoušky z matematiky na střední školy s rozšířenou výukou matematiky. Prometheus, Praha, 1997.


43

ZPRÁVY 48. mezinárodní matematická olympiáda Jaromír Šimša, PřF MU, Brno

V třetí dekádě července 2007 se sjelo do vietnamské Hanoje 520 středoškolských studentů z 93 zemí celého světa na další ročník nejprestižnější soutěže jednotlivců v řešení matematických úloh. Vietnamští organizátoři se na celý průběh akce připravili velmi dobře a nachystali soutěžícím a jejich vedoucím velmi zajímavý program na celou dobu pobytu. S podporou státních orgánů zajistili všem účastníkům komfortní hotelové ubytování a výtečné stravování, regulérní podmínky pro oba soutěžní dny i následnou náročnou práci hodnotících porot. Koordinační týmy tvořili velmi erudovaní matematici – učitelé mnoha místních vysokých škol a vědeckých ústavů. Pro chvíle odpočinku byl připraven bohatý program, takže všichni účastníci měli možnost poznat nejen pamětihodnosti hlavního města Hanoje a přírodní krásy přímořského letoviska Ha Long, ale seznámit se při jedné exkurzi rovněž s technologií výroby hedvábí. Význam soutěže byl umocněn přítomností vietnamského premiéra Nguyen Tan Dunga na slavnostním zahájení v předvečer prvního soutěžního dne. O týden později předával zlaté medaile nejlepším soutěžícím osobně prezident VSR Nguyen Minh Triet. Vedoucím družstva ČR byl doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc., z Masarykovy univerzity v Brně. Naše šestičlenné soutěžní družstvo, které doprovázel RNDr. Jaroslav Švrček, CSc., z Univerzity Palackého v Olomouci, bylo jmenováno na základě výsledků ústředního kola 56. ročníku MO ve Zlíně a následného týdenního výběrového soustředění v Kostelci nad Černými lesy. Tvořili je Miroslav Klimoš z 2. ročníku Gymnázia Mikuláše Koperníka v Bílovci, Michal Rolínek ze 4. ročníku Gymnázia v Parléřově ulici v Praze 1, Lenka Slavíková ze 4. ročníku Gymnázia v Mnichově Hradišti a trojice studentů z Gymnázia na tř. Kpt. Jaroše 44


ZPRÁVY

v Brně: Zbyněk Konečný a Jiří Řihák ze 4. ročníku a Hana Šormová z 2. ročníku.

Soutěžící jednotlivci jako obvykle řešili ve dvou půldnech vždy tři soutěžní úlohy po dobu 4,5 hodiny; za každou ze šesti úloh mohli získat nejvýše 7 bodů. Výběr soutěžních úloh nebyl pro porotu složenou z vedoucích jednotlivých zemí ani letos jednoduchý. V současnosti prožívají různé národní i nadnárodní matematické soutěže velký rozmach; je proto stále obtížnější posoudit, které z navrhovaných cca 30 úloh jsou dostatečně původní a nepodobné těm, které už na nějaké soutěži kdy byly. Diskuse o těchto otázkách jednání poroty znesnadňují a časově protahují. Také snaha poroty zařadit do výsledné šestice dvě extrémně náročné úlohy, které by určily vítěze celého klání, letos nevedla k příliš šťastnému řešení. Z celého pole účastníků úlohu 3 vyřešili pouze tři, úlohu 6 pouze čtyři soutěžící! Proto si mnozí vedoucí kladli otázku: mělo smysl naplnit třetinu zadání soutěže pro 520 účastníků úlohami, které 515 účastníků nemělo vůbec šanci vyřešit? Po soutěži se navíc ukázalo, že ani úloha 6 tolik originální nebyla, protože se přesně kryla s obsahem jednoho článku, který v roce 1993 vyšel v European Journal of Combinatorics. Pro nás je ovšem potěšitelné, že po 10 letech byla do soutěže vybrána česká úloha. Jejím autorem je Marek Pechal, držitel bronzové medaile z předloňské 46. MMO v Mexiku. Ročník 82 (2007), číslo 4

45

ZPRÁVY

Absolutním vítězem 48. MMO se stal Konstantin Matvejev z Ruska, který získal 37 bodů z 42 možných. Zařadil se tak do čela 39 nejlepších soutěžících, kterým za zisk nejméně 29 bodů byly uděleny zlaté medaile. Stříbrné medaile si z Hanoje odvezli 83 účastníci ohodnoceni alespoň 21 bodem. Na bronzovou medaili letos stačilo 14 bodů; potěšilo nás, že mezi 131 držiteli tohoto kovu je i pět reprezentantů ČR (Konečný, Klimoš, Slavíková, Rolínek a Řihák). Ani šestá naše soutěžící Šormová nevyšla úplně naprázdno, když spolu se 148 dalšími soutěžícími bez medailí získala čestné uznání za úplné vyřešení jedné ze šesti soutěžních úloh. Podrobné výsledky českých a slovenských soutěžících jsou zachyceny v následujících tabulkách. Umístění 197.–225. 171.–196. 226.–253. 226.–253. 197.–225. 365.–401.

Umístění 197.–225. 226.–253. 161.–170. 322.–343. 123.–132. 322.–343.

Miroslav Klimoš Zbyněk Konečný Michal Rolínek Jiří Řihák Lenka Slavíková Hana Šormová

Body za úlohu 1 2 3 4 5 7 0 0 6 2 7 0 0 7 2 7 0 0 6 1 7 0 0 7 0 6 0 0 7 2 0 1 0 7 0 Celkem 34 1 0 40 7

Body Cena 6 0 0 0 0 0 0 0

15 16 14 14 15 8 82

III. III. III. III. III. HM

Body za úlohu Body Cena 1 2 3 4 5 6 7 1 0 7 0 0 15 III. 6 0 0 6 2 0 14 III. 3 7 0 6 1 0 17 III. 7 1 0 0 2 0 10 HM 6 7 0 7 0 0 20 III. 0 1 0 7 2 0 10 HM

Samuel Hapák Ondrej Mikuláš Tomáš Rusin Michal Spišiak Michal Szabados Vladislav Ujházi Celkem

29 17 0 33 7 0

86

S radostí můžeme konstatovat, že naše družstvo podalo na 48. MMO lepší výkon, než se očekával podle výsledků přípravných soustředění. V neoficiálním žebříčku zúčastněných států, které uvádíme v další tabulce, nám náš výsledek oproti loňské MMO přinesl skok o 10 míst nahoru (případná čísla v závorce uvádějí počet reprezentantů menší než 6). Za povšimnutí stojí, že s výjimkou Polska a Švýcarska podala nečekaně vyrovnaný výkon družstva všech ostatních států, které se v září 2007 zúčastní prvního ročníku Středoevropské matematické olympiády (kromě 46


ZPRÁVY

Polska a Švýcarska to bude pořádající Rakousko, dále pak Slovensko, Slovinsko, Chorvatsko a Česko, o účasti v dalších ročnících uvažují i představitelé Německa a Maďarska). Věříme, že nová soutěž na počátku školního roku bude pro její perspektivní účastníky dobrým stimulem k intenzívní celoroční přípravě na následující celosvětovou MO. Ta se v roce 2008 uskuteční ve španělském Madridu. Rusko ČLR Korea Vietnam USA Japonsko Ukrajina KLDR Bulharsko Tchaj-wan Rumunsko Hongkong Írán Thajsko Německo Maďarsko Turecko Polsko Bělorusko Moldavsko Itálie Austrálie Srbsko Brazílie Indie Gruzie Kanada Kazachstán Velká Británie Kolumbie Litva Peru Řecko Mongolsko

I

II

III

5 4 2 3 2 2 3 1 2 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0

1 2 4 3 3 4 1 4 3 3 4 5 3 3 3 5 2 2 1 3 1 1 0 2 3 1 1 1 0 1 0 1 1 2

0 0 0 0 1 0 2 0 1 1 1 1 2 2 1 0 2 2 4 2 3 4 4 3 0 1 3 3 3 3 2 2 3 1


body 184 181 168 168 155 154 154 151 149 149 146 143 143 133 132 129 124 122 119 118 116 110 107 106 103 102 98 95 95 93 92 91 89 88

Uzbekistán Singapur Mexiko Slovensko Slovinsko Česká republika Švédsko Rakousko Francie Norsko Belgie Chorvatsko Argentina Arménie Macao Izrael Nový Zéland Ázerbájdžán Bosna a Herceg. Indonésie Makedonie Nizozemsko Estonsko Albánie Švýcarsko Lotyšsko Finsko Portugalsko Irsko Turkmenistán Dánsko Španělsko Kirgizie (5) JAR

I

II

III

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

3 5 4 4 5 5 4 3 2 1 3 2 1 1 1 3 3 3 0 0 3 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 0

body 88 87 86 86 85 82 81 80 79 79 78 76 75 73 73 71 71 69 69 69 68 65 64 59 59 58 55 52 51 51 50 48 43 42

47

ZPRÁVY

Texty soutěžních úloh∗ 1. Jsou dána reálná čísla a1 , a2 , . . . , an . Pro každé i (1 ≤ i ≤ n) definujme di = max {aj : 1 ≤ j ≤ i} − min {aj : i ≤ j ≤ n}. Nechť d = max {di : 1 ≤ i ≤ n}. (a) Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn platí nerovnost d (∗) max {|xi − ai | : 1 ≤ i ≤ n} ≥ . 2 (b) Ukažte, že existují reálná čísla x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn taková, že v (∗) nastane rovnost. (Nový Zéland ) 2. Uvažujme pět bodů A, B, C, D, E takových, že ABCD je rovnoběžník a čtyřúhelník BCED je tětivový. Přímka l prochází bodem A, přičemž protíná úsečku DC v jejím vnitřním bodě F a přímku BC v bodě G. Předpokládejme, že platí |EF | = |EG| = |EC|. Dokažte, že přímka l je osou úhlu DAB. (Lucembursko) 3. Někteří účastníci matematické soutěže jsou přátelé. Přátelství je vzájemné. Skupinu soutěžících nazveme klika, jsou-li každí dva z nich přátelé. (Speciálně libovolná skupina složená z méně než dvou soutěžících je klika.) Počet členů kliky nazveme jejím rozměrem. Víme, že největší rozměr kliky složené z účastníků soutěže je sudé číslo. Dokažte, že všechny soutěžící je možno rozesadit do dvou místností tak, aby největší rozměr kliky v jedné místnosti se rovnal největšímu rozměru kliky v druhé místnosti. (Rusko) 4. Osa úhlu BCA trojúhelníku ABC protíná jeho opsanou kružnici v bodě R různém od bodu C, osu strany BC v bodě P a osu strany AC v bodě Q. Střed strany BC označme K a střed strany AC označme L. Dokažte, že obsahy trojúhelníků RP K a RQL se rovnají. (Česko) 5. Kladná celá čísla a, b jsou taková, že číslo (4a2 −1)2 je dělitelné 4ab−1. Dokažte, že a = b. (Velká Británie) 6. Nechť n je kladné celé číslo. Uvažujme množinu S = (x, y, z) : x, y, z ∈ {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0 složenou z (n + 1)3 − 1 bodů třírozměrného prostoru. Určete nejmenší možný počet rovin, jejichž sjednocení obsahuje všechny body z S, neobsahuje však bod (0, 0, 0). (Nizozemsko) ∗

V závorce je uvedena země, která úlohu do soutěže navrhla.

48


ZPRÁVY

Mezinárodní olympiáda v informatice IOI 2007 Pavel Töpfer, MFF UK Praha V srpnu 2007 hostilo chorvatské hlavní město Zagreb v pořadí již 19. ročník mezinárodní olympiády v informatice IOI 2007 (International Olympiad in Informatics). Soutěže se každoročně účastní čtyřčlenná družstva studentů středních škol z celého světa. Počet zúčastněných zemí rok od roku stoupá, letos na IOI přijeli zástupci již ze 77 zemí. Celkově soutěžilo 285 studentů, kteří byli v jednotlivých zemích vybráni jako vítězové národních informatických olympiád. České reprezentační družstvo bylo sestaveno na základě výsledků, kterých dosáhli účastníci ústředního kola 56. ročníku Matematické olympiády – kategorie P (programování). Právo reprezentovat dostali čtyři nejlepší řešitelé ústředního kola naší české programátorské olympiády: Pavel Klavík, absolvent gymnázia J. Ressla v Chrudimi Miroslav Klimoš, student gymnázia M. Koperníka v Bílovci Josef Pihera, absolvent gymnázia ve Strakonicích Roman Smrž, student gymnázia E. Krásnohorské v Praze S každou národní delegací jedou na IOI dva vedoucí, kteří se na místě nejen starají o studenty, ale zejména se účastní práce mezinárodní jury při výběru úloh, upřesnění jejich formulací a překladu textů soutěžních úloh do národních jazyků. Vedoucími české delegace byli letos jmenováni doc. RNDr. Pavel Töpfer, CSc. a Bc. Petr Škoda, oba z Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Vedle této oficiální šestičlenné delegace se 19. mezinárodní olympiády v informatice zúčastnil z České republiky ještě Mgr. Martin Mareš, rovněž pracovník MFF UK v Praze. Ten byl na IOI 2007 pozván pracovně jako člen Mezinárodního vědeckého výboru IOI. V rámci přípravy na soutěž jsme pro vybrané reprezentanty z České republiky, Polska a Slovenska uspořádali v červnu na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze tradiční týdenní česko-polsko-slovenské přípravné soustředění před IOI (CPSPC – Czech-Polish-Slovak Preparation Camp). Další přípravou našich vybraných reprezentantů pak byla Ročník 82 (2007), číslo 4

49

ZPRÁVY

účast ve 14. ročníku Středoevropské olympiády v informatice (CEOI – Central European Olympiad in Informatics). Na CEOI obvykle vysíláme jiné družstvo než na IOI, a sice družstvo složené z mladších perspektivních studentů, kteří tam mají možnost získat zkušenosti pro další ročník soutěže. Tentokrát jsme ale soutěž CEOI pořádali u nás v Brně, a využili jsme proto možnost pořadatelské země pozvat na CEOI více svých domácích soutěžících. Mohli tam tedy jet nejen naši mladší studenti získávat první mezinárodní zkušenosti, ale i připravující se reprezentanti pro IOI. Na uspořádání IOI 2007 se podílela Chorvatská informatická společnost, Univerzita v Zagrebu i magistrát města, záštitu nad soutěží převzal dokonce prezident Chorvatské republiky. Ubytování a stravování účastníků bylo zajištěno v prostorách studentských kolejí, kde také probíhala všechna jednání mezinárodní jury a kde vedoucí delegací překládali úlohy do národních jazyků. Vlastní soutěž, ale také slavnostní zahájení a zakončení olympiády potřebují prostory větší, uskutečnily se proto v hale veletržního areálu v Zagrebu. Účast na IOI představuje pro studenty nejen dva dny usilovné práce při vlastní soutěži, ale také několik dalších dnů naplněných řadou doprovodných akcí. Letos měli všichni příležitost prohlédnout si krásy města Zagreb, podniknout turistický výlet po přírodním parku v blízkých horách, jeden den mohli zájemci strávit v příměstské rekreační oblasti jezera Jarun s celou řadou různých sportovních areálů. Nejhezčím a nejzajímavějším byl pak asi pro každého celodenní výlet do národního parku Plitvická jezera. Samotná soutěž probíhala jako obvykle ve dvou soutěžních dnech. V každém soutěžním dnu byly zadány tři úlohy, na jejichž vyřešení byl vymezen čas 5 hodin. Úkolem soutěžících bylo vyřešit zadané úkoly až do podoby odladěných funkčních programů, stejně jako je tomu v praktické části ústředního kola naší Matematické olympiády – kategorie P. Každý soutěžící pracuje na přiděleném osobním počítači s nainstalovaným soutěžním prostředím, které umožňuje vyvíjet a testovat programy a odesílat je k vyhodnocení. Je možné používat programovací jazyky Pascal, C nebo C++. Výsledné programy jsou automaticky testovány pomocí předem připravených testovacích vstupních dat. Průběh jednotlivých testů je navíc omezen pevně stanovenými časovými limity. Tím je zajištěna nejen kontrola správnosti výsledků, ale pomocí časových limitů se také odliší kvalita použitého algoritmu. Při testování každé úlohy se používají sady testovacích dat různé velikosti, takže funkčně správné řešení, které 50


ZPRÁVY

je však založeno na příliš pomalém algoritmu, zvládne dokončit výpočet pouze pro menší testy. Takové řešení je potom ohodnoceno jenom částečným počtem bodů. Za každou ze soutěžních úloh bylo možné získat maximálně 100 bodů. Teoretické maximální hranice 600 bodů však nikdo z řešitelů nedosáhl, celkový vítěz získal 574 bodů. Podle pravidel IOI obdrží na závěr soutěže lepší polovina účastníků některou z medailí, přičemž zlaté, stříbrné a bronzové medaile se udělují přibližně v poměru 1 : 2 : 3 (s ohledem na to, aby soutěžící se stejným bodovým ziskem získali stejnou medaili). V letošním ročníku IOI bylo uděleno 25 zlatých, 48 stříbrných a 69 bronzových medailí. Reprezentanti České republiky byli tentokrát velmi úspěšní, získali jsme tři stříbrné a jednu bronzovou medaili. Výsledky našich soutěžících: 42. místo

Josef Pihera

333 bodů

stříbrná medaile

53. místo

Miroslav Klimoš

316 bodů

stříbrná medaile

58. místo

Roman Smrž

310 bodů

stříbrná medaile

77. místo

Pavel Klavík

277 bodů

bronzová medaile

Mezinárodní olympiáda v informatice je výhradně soutěží jednotlivců a žádné oficiální pořadí zemí se v ní neurčuje. Není tedy ani jasné, podle jakého kritéria by se mělo určovat – zda třeba podle počtu a kvality získaných medailí nebo podle součtu bodů získaných v soutěži všemi reprezentanty příslušné země. Pořadí získaná podle různých kritérií se od sebe mohou trochu lišit, česká delegace by se však v hodnocení zemí vždy umístila přibližně kolem pěkného 15. místa z celkového počtu 77 zúčastněných zemí. Patříme letos do nejlepší čtvrtiny zemí, jejichž všichni reprezentanti obdrželi některou z medailí. Nejúspěšnějšími zeměmi byla Čína (4 zlaté medaile) a Rusko (3 zlaté a 1 stříbrná), celkovým vítězem se stal reprezentant Polska, druhé a třetí místo obsadili studenti z Číny. Soutěžícím ze Slovenska se tentokrát dařilo o něco hůře než nám, získali v soutěži dvě stříbrné a jednu bronzovou medaili. Podrobné informace o soutěži, texty soutěžních úloh i výsledky všech účastníků najdete na Internetu na http://www.hsin.hr/ioi2007/. Příští 20. ročník IOI proběhne v srpnu 2008 v Egyptě. Byla již stanovena i místa konání několika dalších mezinárodních informatických olympiád: 2009 Bulharsko, 2010 Kanada, 2011 Thajsko. Ročník 82 (2007), číslo 4

51

ZPRÁVY

Zlatý úspěch českých studentů na 38. MFO v Íránu Bohumil Vybíral, Jan Kříž, Ivo Volf, ÚK FO, Univ. Hradec Králové

Termíny konání a účastníci soutěže Vrcholová světová soutěž středoškolských studentů ve fyzice, Mezinárodní fyzikální olympiáda (MFO), se letos konala ve dnech 12.– 22. července v Íránské islámské republice ve městě Isfahán. Byl to již její 38. ročník (1. MFO se konala právě před 40 lety ve Varšavě, 3. MFO v roce 1969 v Brně a 10. MFO před 30 lety na Pedagogické fakultě v Hradci Králové; Československo bylo jedním ze tří zakládajících států této soutěže v roce 1967). Letošní soutěž proběhla v prostorách Isfahánské technické univerzity (je to moderní univerzita založená roku 1977; na jejich 13 fakultách studuje 7 000 studentů bakalářského a magisterského studia a 2 000 doktorandů). Soutěže se zúčastnilo celkem 327 studentů ze 73 států světa. Z tradičních účastníků letos chyběla (zřejmě z politických důvodů) delegace z Austrálie, Izraele a Portugalska. Počet soutěžících z určitého státu byl podle statutu soutěže omezen na pět. Z přihlášených států se nedostavila Albánie a Srí Lanka. Některé delegace měly počet soutěžících menší než pět. Českou delegaci tvořilo pět studentů, které vyslalo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR na základě výsledků české FO v roce 2007: Pavel Motloch z Gymnázia P. Bezruče ve Frýdku–Místku, Jakub Benda z Gymnázia J. Nerudy v Praze 1, Marek Scholle z Gymnázia Pardubice, Dalimil Mazáč z Gymnázia J. Keplera v Praze 6 a Lukáš Ledvina z Prvního českého gymnázia v Karlových Varech. Náhradníkem soutěžících (necestujícím) byl Jan Hermann z Gymnázia v Českém Krumlově. Vedoucím delegace byl prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc. a pedagogickým vedoucím RNDr. Jan Kříž, Ph.D., oba z Univerzity Hradec Králové. Přípravu družstva a jeho náhradníků organizoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., vedoucí katedry fyziky a informatiky Pedagogické fakulty Univerzity Hradec Králové. Příprava probíhala v podstatě ve dvou etapách: jednak během samostatné přípravy účastníků, k níž jim byly poskytnuty materiály a příslušné instrukce, jednak na desetidenním 52


ZPRÁVY

intenzivním soustředění v prostorách Katedry fyziky a informatiky na Univerzitě Hradec Králové pod vedením členů této katedry. V obou etapách byla (podle informace vedoucích cvičení, ale i rodičů soutěžících) jejich příprava velmi intenzívní.

Obr. 1: Členové úspěšné delegace na 38. MFO, zleva doprava: RNDr. Jan Kříž, Ph.D., Marek Scholle, Pavel Motloch, Jakub Benda, iránský průvodce delegace, Dalimil Mazáč, Lukáš Ledvina, prof. Ing. Bohumil Vybíral, CSc.

Delegace nastoupila cestu na 38. MFO v Praze dne 12. 7. 2007. Odtud v 18.20 letecky do Teheránu s přestupem ve Vídni. Po příletu do Teheránu 13. 7. 2007 ve 2.00 místního času (+1,5 h oproti letnímu SEČ) se účastníci přesouvali autobusem organizátorů na jih do 420 km vzdáleného Isfahánu. Studenti byli ubytováni v kolejích IUT, vedoucí bydleli v mezinárodním hotelu Kowsar ve středu města (vzdálenost mezi oběma místy byla asi 25 km). Úlohy zadané do soutěže Organizátoři připravili soutěžícím velmi pěkné moderní úlohy přiměřené náročnosti pro tuto špičkovou světovou soutěž. Z organizačních důvodů se velmi osvědčilo, že písemné materiály pro texty a řešení jednotlivých úloh byly označeny barvami. Růžová úloha vytýčila studentům problém rotující zákrytové dvojhvězdy. Pomocí fotometrických a spektrometrických údajů řešili charakteristiky Ročník 82 (2007), číslo 4

53

ZPRÁVY

dvojhvězdy: oběžné rychlosti, parametry trajektorie, gravitační interakci a hmotnosti hvězd a jejich zářivé výkony. Součástí úlohy byl i výpočet vzdálenosti dvojhvězdy od Země, největší úhlová vzdálenost hvězd dvojhvězdy a nejmenší potřebná apertura optického teleskopu pro rozlišení jednotlivých hvězd dvojhvězdy. Naši studenti se zhostili řešení velmi dobře, jejich průměrné bodové hodnocení bylo 9,14 z 10 možných bodů. Oranžová úloha řešila problém aktivace bezpečnostního airbagu akcelerometrem během kolize automobilu. Studenti řešili mechanické a elektrické veličiny akcelerometru, který sestával z tělesa, pružin a soustavy kondenzátorů, při jeho činnosti. Srovnávali dobu pohybu hlavy řidiče k volantu s dobou aktivace airbagu. Úkol vyřešili čeští studenti rovněž dobře, jejich průměrné bodové hodnocení bylo 7,18 z 10 možných bodů. Modrá úloha předložila studentům aktuální problém obecné teorie relativity – vypařování černé díry. V úvodu řešili pomocí rozměrové analýzy rozměry jednotlivých fundamentálních konstant. Předmětem druhé části byla fyzika černých děr, konkrétně určení plošného obsahu horizontu událostí černé díry využitím analogie termodynamické entropie. Třetí část se zabývala Hawkingovým vyzařováním černé díry, řešila dobu potřebnou k vypaření černé díry dané hmotnosti a určení její tepelné kapacity. Ve čtvrté části se uvažovala černá díra vystavená účinkům kosmického reliktního záření – časová změna její hmotnosti, Hawkingova teplota černé díry a stabilita její rovnováhy. Potřebné zákonitosti z fyziky černých děr byly studentům předloženy v zadání. Čeští studenti opět překvapili a předvedli řešení s průměrným bodovým hodnocením 8,82 z 10 možných bodů. Zelená úloha byla experimentální a jejím cílem bylo určení šířky zakázaného pásu energie polovodičových tenkých vrstev na základě opakovaných měření. V úvodu byla studentům předložena potřebná teorie problému a popis přístrojů k měření. Základním přístrojem byl spektrometr s halogenovou lampou a goniometrem. Dále měli studenti k dispozici vzorek polovodičové vrstvy na sklíčku, samotné sklíčko, optickou mřížku (o dané konstantě), fotorezistor, multimetr a další drobné potřeby. Základní metodou bylo měření propustnosti tenké vrstvy v závislosti na vlnové délce pomocí fotorezistoru. Požadavkem bylo dosažení velké přesnosti, k čemuž bylo nutné provést a vyhodnotit několik pomocných měření. Bylo rovněž požadováno určení chyb měření užitím teorie chyb. Výsledkem analýzy dat měření bylo stanovení šířky zakázaného pásu energie a tloušťky polovodičové vrstvy. Organizátoři postavili pro 54


ZPRÁVY

každého soutěžícího samostatné experimentální pracoviště (pořízeno muselo být asi 350 poměrně složitých aparatur). I když šlo časově o velmi náročnou úlohu s požadavkem znalosti teorie problému, grafické analýzy a laboratorní zručnosti, čeští studenti dosáhli vcelku velmi dobrého výsledku – jejich průměrné hodnocení bylo 14,28 bodů z 20 možných. Výsledky 38. MFO Nejlepšího výsledku dosáhl soutěžící Young Chot z Korejské republiky (48,8 bodů z 50 možných). Podle statutu soutěže byly uděleny medaile a ocenění: minimálně 6 % soutěžících získalo zlaté medaile, 12 % stříbrné medaile, 18 % bronzové medaile a dalších 24 % čestná uznání, tedy podle předchozích rozhodnutí Mezinárodní jury je kladně hodnoceno 60 % soutěžících. Tím se určena hranice pro získání jednotlivých medailí na 38. MFO: minimálně 44,0 bodů pro zlatou medaili, min. 38,0 bodů pro stříbrnou medaili, min. 33,0 bodů pro bronzovou medaili a min. 22,0 bodů pro čestné uznání. Po konečném stavu hodnocení (po provedené moderaci) zlatou medaili získalo 37 soutěžících, stříbrnou 47 soutěžících a bronzovou medaili 51 soutěžících. Čestné uznání bylo uděleno 80 soutěžícím. K nejlepším řešitelům patří jednotlivci družstev těchto států: Čína (ČLR), Korejská republika, USA, Irán, Japonsko a Rusko. Poté následuje skupina 7 států, ve které je i Česká republika (společně s NSR, Francií, Indonésií, Indií, Singapurem a Vietnamem). Vynikající je umístění mezi státy Evropské Unie – na 1. až 3. místě – ČR, NSR, Francie. České družstvo dosáhlo na 38. MFO ziskem dvou zlatých, jedné stříbrné a dvou bronzových medailí vynikajícího úspěchu – nejlepšího za dobu existence samostatné České republiky. Úspěch jednotlivých českých řešitelů (ze 327 řešitelů) je tento: 19. místo

Pavel Motloch

45,2 bodů

zlatá medaile

27. místo

Dalimil Mazáč

44,4 bodů

zlatá medaile

59. místo

Jakub Benda

39,4 bodů

stříbrná medaile

109. místo

Marek Scholle

34,3 bodů

bronzová medaile

122. místo

Lukáš Ledvina

33,8 bodů

bronzová medaile

Čeští nositelé medailí z 38. MFO (stejně jako čeští nositelé medailí z ostatních letošních mezinárodních přírodovědných olympiád – bioloRočník 82 (2007), číslo 4

55

ZPRÁVY

gické, chemické, matematické a informatické) obdrží 4. prosince 2007 ještě medaile a významné ceny Præmium Bohemiæ, udělované nadací Bohuslava Jana Horáčka Českému ráji od r. 2001. Organizace a průběh soutěže Íránští organizátoři připravili soutěž velice pečlivě, předložené úlohy byly náročné, ale velmi zajímavé a fyzikálně aktuální. Program celé 38. MFO byl pestrý a probíhal bez závad. Ohlášená návštěva nositele Nobelovy ceny, prof. Stephena Hawkinga, se neuskutečnila. Velkou pozornost akci věnovaly také sdělovací prostředky – po celou dobu byl přítomen minimálně osmičlenný tým regionální televize a tisku. Organizátoři úzkostlivě dbali na bezpečnost všech účastníků. Například konvoj pěti autobusů s delegacemi doprovázela čtyři policejní auta, páté s policií v civilu a sanitní vůz. V místě každé akce byl dále připraven hasičský vůz, vojenská jednotka a ochranka pro jednotlivé skupiny. Jedinou smutnou událostí 38. MFO bylo náhlé úmrtí prezidenta MFO dr. Waldemara Gorzkowského z Polska třetí den soutěže. V souvislosti s letošním pořádajícím a často medializovaným státem je nám často kladena otázka, jaký je současný Írán. Především je třeba poznamenat, že to není arabská země (Arabů zde žije jen 3 % v lokalitách kolem Perského zálivu); hlavní podíl obyvatelstva tvoří Peršané (50 %), Turci (25 %) a Kurdové (10 %). Je to však země zatížená silným vlivem fundamentálního islámu, se kterým se zde setkáte na každém kroku. Na transparentech v ulicích a veřejných budovách jsou citáty z koránu, na štítech domů jsou veliké obrazy imámů Chomejního a Chamenejního. Ženy (i cizinky!) musí chodit na veřejnosti zahaleny. Na druhé straně lidé jsou zde milí, ochotní, usměvaví. V obchodech se nestkáte s vtíravými obchodníky jako např. v Egyptě anebo v Tunisku. Isfahán (1,6 milionů obyvatel) je velmi rozlehlé město obklopené Kohrudskými horami (3 000–4 000 m) a především rozsáhlou pouští. Město samotné je ovšem ponořeno do krásné zeleně, intenzívně zavlažováno díky řece Zayanderood, která jím protéká. Je to také město přesycené automobily s málo ukázněnými řidiči. Příznačné pro dobu konání soutěže byly vysoké teploty (až 40 ◦ C ve stínu) a sucho. Avšak téměř všudypřítomná klimatizace poskytovala poměrně příznivé podmínky pro naši práci. Podrobnosti o 38. MFO, včetně textů úloh, jejich autorských řešení a výsledků soutěže mohou čtenáři získat na: http://www.ipho2007.ir/ 56


Shodná zobrazení v Lobačevského rovině

Recommend Documents