UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I
Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan Z (a) (b)
Z
1 x
x3
2. Tentukan
1
+ sin 2x
3x2 p x
1
dx
dx
dy jika dx
2 (a) y = 2(x +1) + ln 3x2 p (b) y = sin 1 3x
3. Tentukan
Z
1
p ln x (ln x)2 + 1 dx: x
4. Diberikan fungsi turun f dengan f (x) = p Keterbatasan untuk menunjukkan bahwa Z2
0
p
0
5. Tentukan
Z
6 dx 1 + x2
6 : Gunakan Teorema 1 + x2
12:
2
(x + 1) dx x (x2 + 1)
6. Dengan menggunakan poligon luar, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi f dengan f (x) = jxj, garis x = 1; garis x = 3; dan sumbu x.
1
7. Temperatur T pada suatu hari memenuhi h T (t) = 70 + 8 sin (t 12
i 9)
dengan t adalah waktu (jam). Tentukan temperatur rata-rata dari pukul 06.00 sampai pukul 12.00.
8. Diberikan daerah D yang dibatasi oleh gra…k fungsi f dan g dengan f (x)
= (x
g (x)
=
2
1) x+1 x+3
; x<1 ; x 1
(a) Buatlah sketsa daerah D: (b) Tentukan luas daerah D: 9. Diberikan daerah R yang dibatasi oleh kurva fungsi f (x) = 4 g (x) = jxj 2 (lihat gambar).
x2 ; dan
y 6 y=4
x2 - x
c
c
c c c
y = jxj
2
Tanpa menghitung nilai integralnya, tentukan rumus volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar terhadap garis berikut : (a) y = 5; dengan metode cincin, (b) x = 3; dengan metode kulit tabung, (c) y =
3; dengan metode kulit tabung:
10. Diketahui Sn = n
2:
Z
=2
xn sin (x) dx dan n adalah bilangan bulat positif,
0
2
Tunjukkan bahwa n 1
Sn = n
n (n
2
1) Sn
2
**************Selamat Bekerja**************
3
JAWABAN UJIAN AKHIR SMT. KALKULUS I TH. ’00/’01 SENIN, 18 JUNI 2001 1. (a) Z
1 x
1
+ sin 2x dx =
Z
1
dx +
x
1
= ln jx
1j
Z
sin 2xdx
1 cos (2x) + C: 2
(b) Z
x3
3x2 p x
1
dx = = =
Z
Z
x3
3x2
x5=2
2 7=2 x 7
1 x
3x3=2 6 5=2 x 5
1=2
x
dx
1=2
dx
2x1=2 + C:
2. (a) 2 = 2(x +1) + ln 3x2
y dy dx
=
2
2(x
+1)
1
(ln 2) (2x) +
1 (6x) 3x2 1
(b) y
=
sin
dy dx
=
q
1
1
p
3x
1 p
3x
2
1 (3x) 2
1=2
3 (3) = p p 2 3x 1
3x
:
1 1 ln x 3. Misalkan u = (ln x)2 + 1; maka du = 2 (ln x) dx: Jadi du = dx; x 2 x sehingga integralnya menjadi Z i3=2 1 1 2 3=2 1h 2 u1=2 du = u +C = (ln x) + 1 + C: 2 23 3 6 merupakan fungsi turun pada [0; 2] : 1 + x2 6 Karena f (0) = 6; f (2) = p dan f fungsi turun, maka nilai maksi5 mum global dari f pada [0; 2] adalah 6 dan nilai minimum global dari f
4. f (x) = p
4
6 pada [0; 2] adalah p : Jadi menurut Teorema Keterbatasan 5 Z 2 6 6 p p (2 0) dx 6 (2 0) 5 1 + x2 0 Z 2 6 12 p p dx 12: 5 1 + x2 0 12 Karena selang p ; 12 termuat dalam [0; 12] maka 5 Z 2 6 p 0 dx 12: 1 + x2 0 5.
Z
2
(x + 1) dx = x (x2 + 1)
Z
x2 + 2x + 1 dx x (x2 + 1)
A x2 + 1 + (Bx + C) x x2 + 2x + 1 A Bx + C = + = : x (x2 + 1) x x2 + 1 x (x2 + 1) Jadi x2 + 2x + 1 = A x2 + 1 + (Bx + C) x: x=0 x=1 x=
)1=A ) 4 = 2A + B + C )2=B+C 1 ) 0 = 2A + B C ) 2=B C
)4=2+B+C (1) )0=2+B C (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : B+C B C 2C
= = =
Jadi integralnya menjadi : Z 1 2 + 2 x x +1
2 2 4
) C = 2 ) B = 0:
dx = =
Z
1 dx + 2 x
Z
ln jxj + 2 tan
x2 1
1 dx +1
x + C:
6. Karena x; x;
jxj =
x 0 x<0
dan f 0 (x) = 1 0 jika x > 0; f 0 (x) = 1 < 0 jika x < 0; maka f merupakan fungsi naik pada [0,1) dan turun pada ( 1; 0]: Jadi daerah penghitungan luas dibagi menjadi selang [ 1; 0] dan [0; 3] : 5
(a) Untuk mencari luas semua poligon luar pada selang [ 1; 0] : bagi selang [ 1; 0] menjadi n selang bagian yang sama panjang [xi 0 ( 1) 1 = : Maka dengan panjang 4x = n n xi =
1 + i4x =) xi
1
=
1 + (i
1 ; xi ]
1) 4x
Sehingga luas semua poligon luar pada [ 1; 0] adalah A1
= = =
n X i=1 n X
f (xi
1 ) 4x
( xi
1 ) 4x
i=1 n h X i=1
4x
n
=
1X 1 n i=1
=
1 n n
=
1
1 n2
(i
(f fungsi turun) =
n X
[1 2
1) (4x)
n 1 X (i n2 i=1
i
1)
n (n + 1) 2
1 (n + 1 2n
i4x + 4x] 4x
i=1
2) = 1
n 1 1 1 1 + = + : 2 2n 2 2n
(b) Untuk mencari luas semua poligon luar pada selang [0; 3] : bagi selang [0; 3] menjadi n selang bagian yang sama panjang [xi 3 dengan panjang 4x = : Maka n xi = 0 + i4x = i4x Sehingga luas semua poligon luar pada [0; 3] adalah A2
= = =
n X i=1 n X
i=1 n X
f (xi ) 4x (f fungsi naik) xi 4x =
n X i=1
[i4x] 4x
2
i (4x)
i=1
= = =
n 9 X i n2 i=1
9 n (n + 1) n2 2 9 9 9 (n + 1) = + : 2n 2 2n 6
1 ; xi ]
Jadi luas daerahnya adalah L = lim
n!1
1 1 9 9 + + + 2 2n 2 2n
= 5 satuan luas.
7.
Trata
rata
= = = = =
Z
6
12
n h 70 + 8 sin 12
12 6 h
(t
io 9) dt
i 1 12 70t 8 cos (t 9) 6 12 6 1 96 96 70 (12) cos 70 (6) cos 6 4 96 96 1 420 cos + cos 6 4 4 1 96 96 420 cos + cos = 70: 6 4 4
8. (a) Sketsa daerah D adalah :
7
12
4
(b) Dengan menggunakan x sebagai variabel pengintegralan diperoleh luas daerah D adalah : Z 1h Z 2h i i 2 2 L = (x + 1) (x 1) dx + ( x + 3) (x 1) dx 0
=
Z
1
x2 + 3x dx +
0
= = =
Z
1
2
x2 + x + 2 dx
1
1
2
x3 3x2 x3 x2 + + + + 2x 3 2 0 3 2 1 8 1 1 1 3 + + +2+4 + +2 3 2 3 3 2
7 3
9. Rumus volume benda putar (a) jika R diputar terhadap garis y = 5 dan dengan menggunakan metode cincin: Z 2 h i 2 5 4 x2 dx; V = (5 (jxj 2)) 2
(b) jika R diputar terhadap garis x = 3 dan dengan menggunakan metode kulit tabung: Z 2 V = 2 (3 x) 4 x2 (jxj 2) dx: 2
(c) jika R diputar terhadap garis y = 3 dan dengan menggunakan metode kulit tabung: Z 0 V = 2 (y + 3) [(y + 2) (y 2)] dy 2
+
Z
4
2 (y + 3)
0
10. Sn =
Z
p 4
y
p 4
=2
xn sin x dx
0
Dengan memisalkan u dv
= xn =) du = nxn 1 = sin x dx =) v = cos x
8
y
dy
dan dengan menggunakan pengintegralan parsial diperoleh Sn
= =
[ xn cos x]0 0+n
= n
Z
=2
+
Z
=2
nxn
1
cos x dx
0
=2
xn
1
cos x dx
0 =2
Z
xn
1
cos x dx
0
Z=2 Untuk xn
1
cos x dx; dimisalkan
0
u dv
= xn 1 =) du = (n 1) xn = cos x dx =) v = sin x;
2
dx
maka dengan menggunakan pengintegralan parsial diperoleh Z=2 xn
1
n 1
cos x dx =
x
sin x
Z
=2 0
n 1
(n
2
1) xn
(n
2
1)
Z
=2
xn
2
sin x dx
0
Jadi n 1
Sn
= n
2
(n
1)
Z
=2
xn
0
n 1
= n
2
n (n
9
sin x dx
0
0
=
=2
1) Sn
2:
2
!
sin x dx
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS Senin, 18 Juni 2001 (2,5 jam) MASING-MASING SOAL BERBOBOT 10 1.
(a) (b)
R p 2x x2 1 dx Z 1 Hitunglah x3 + 3x dx
Tentukan
0
2. Daerah D dibatasi gra…k fungsi y = x2 dan x + y = 2: Hitung luas daerah D: 3. Diketahui fungsi kontinu f dengan f (x) =
x2 ; 0 2x 1; 1
x<1 x 4
Berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral, tentukan c sehingga Z 4 1 f (x) dx: f (c) = 4 0 0 4. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial berikut dy 3x2 + 2x = ; y (1) = 3: dx 2y 5. Tentukan integral taktentu berikut Z p ln x + 1 dx: 6. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini BENAR ataukan SALAH. (Jawaban tepat: nilai 2 12 ; jawaban tidak tepat: nilai 1; tidak menjawab: nilai 0) (a) Luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x) ; sumbu-x; garis x = a; Rb dan garis x = b adalah a f (x) dx :
(b) Jika f terintegralkan pada [a; b] ; pastilah f kontinu pada [a; b] :
(c) Jika f takkontinu pada [a; b] ; pastilah tak ada c 2 [a; b] sehingga Rb f (x) dx f (c) = a : b a Zx (d) Misalkan f kontinu pada [a; b] dan x 2 [a; b] ; maka f (t) dt = f (x) : a
10
0 3 1 Zx d B C 7. Tentukan @ x sin ( t) dtA : dx 0
8. Tentukan
Z
0
1
x6 dx: 1 + x2
9. Diketahui gelas minuman setinggi h, jari-jari atas 3 cm, jari-jari als 2 cm (lihat Gambar 1). Volume gelas tersebut dapat ditentukan dengan konsep volume benda putar dengan langkah sebagai berikut: (a) Rumuskan y = f (x) pada gambar 2. (b) Gunakan metode cakram untuk menentukan volume gelas di atas dengan memutar daerah A: 10. Sebuah tim terpadu dibentuk dalam rangka penanggulangan penyakit ternak. Salah satu bagian dalam tim tersebut adalah tim "Musdelitnak" (Perumus Model Penyakit Ternak). Melalui pengamatan lapang oleh Tim pada sebuah area peternakan, diperoleh fakta bahwa masuknya seekor ternak yang telah terjangkit penyakit pada n ekor ternak yang sehat akan menyebabkan seluruh ternak pada akhirnya trjangkit penyakit. Misalnya y = y (t) menyatakan banyaknya ternak yang sehat pada waktu 11
t, dan r adalah konstanta positif yang menyatakan laju keterjangkitan. Berdasarkan hal-hal ini, Tim mengusulkan sebuah model penyebaran penyakit ternak sebagai berikut dy = dt
ry (n + 1
y) :
Pada kesempatan yang baik ini, Tim Musdelitnak meminta bantuan mahasiswa TPB untuk turut berperan aktif dan kreatif dalam memecahkan dua permasalahan berikut: (a) Jika solusi khusus persamaan diferensial tersebut dapat dinyatakan sebagai A y (t) = n + eBt dengan A merupakan fungsi dari n; dan B merupakan fungsi dari n dan r; tentukanlah A dan B: (b) Misalkan semula terdapat 100 ekor ternak sehat dengan laju keterjangkitan 1% per bulan. Tunjukkan bahwa waktu yang diperlukan sampai separuh dari jumlah ternak sehat ini terjangkit penyakit adalah t=
100 ln 102 101
(' 4,6 bulan) (Catatan: Bantulah Tim Musdelitnak dengan sepenuh hati, karena keraguan atau kecerobohan hanya akan merugikan anda, bahkan dapat mengakibatkan makin merajalelanya penyakit ternak! )
Soal Bonus (nilai maksimum 5) Tentukan integral taktentu berikut Z 1 1 5 + ez sec z tan z + p z 1 z2
12
dz
JAWABAN UAS KALKULUS 2001 SENIN, 18 JUNI 2001 (2,5 JAM)
1. (a) Misalkan u = x2
1 =) du = 2x dx;
sehingga Z
p 2x x2
1dx = =
Z
u1=2 du =
2 2 x 3
1
2 3=2 u +C 3
3=2
+ C:
(b) Z
1
3x 1 + x4 ln 3 4 1 3 + ln 3 4 1 2 + : ln 3 4
3x + x3 dx =
0
= =
1 0
1 +0 ln 3
2. Titik potong kedua kurva dicari dengan cara sebagai berikut: x2 x2 + x 2 (x + 2) (x 1) x
= 2 x = 0 = 0 = 2; x = 1
Luas daerah yang dimaksud Z
1
2
x
x2 dx =
2x
2
=
2
=
9 : 2
13
1 2 x 2 1 2
1 3 x 3 1 3
1 2
4
1 8 + 2 3
3. f (c)
= = = = =
1 4 1 4
Z
(
1
x2 dx +
0
4
(2x
1
1 3 x 3
1 1 4 3 1 37 4 3 37 12
Z
1
+ x2 0
0 + (16
x
4 1
1) dx )
4)
(1
1)
x < 1; f (x) = x2 ; sehingga r r 37 37 37 2 f (c) = c = =) c1 = ; dan c2 = 12 12 12 r r 37 37 Karena c1 2 = [0; 1) dan c2 2 [0; 1) maka c1 = dan c2 = bukan 12 12 r 37 nilai c yang dimaksud TNR (meskipun 2 [0; 4]!!) 12 Untuk 0
14
Untuk 1
x
4; f (x) = 2x f (c)
=
1; sehingga 2c
1=
37 12
49 12 49 1 =) c = =2 2 [1; 4] 24 24 =) 2c =
Jadi c yang dimaksud TNR adalah 2
1 : 24
4.
Z
dy dx 2y dy 2y dy y2
3x2 + 2x 2y = 3x2 + 2x dx Z = 3x2 + 2x dx =
= x3 + x2 + C:
Nilai C ditentukan dari syarat awal y (1) = 3: Jadi jika x = 1; maka y = 3; sehingga 32 = 13 + 12 + C =) C = 7: Jadi solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah y 2 = x3 + x2 + 7: 5. ln
p
1=2
x + 1 = ln (x + 1)
=
1 ln (x + 1) ; 2
sehingga dengan memisalkan u dv
=
ln (x + 1) =) du =
1 dx x+1
= dx =) v = x;
dan dengan pengintegralan parsial diperoleh Z Z 1 1 x ln (x + 1) dx = x ln (x + 1) dx 2 2 x+1 Z 1 x+1 1 = x ln (x + 1) dx 2 x+1 Z Z 1 1 = x ln (x + 1) 1dx + dx 2 x+1 1 1 1 = x ln (x + 1) x + ln jx + 1j + C: 2 2 2 15
6. Z
(a) Salah (karena rumus yang benar adalah Z b Z b f (x) dx 6= jf (x)j dx): a
b
a
jf (x)j dx sedangkan
a
(b) Salah (karena fungsi takkontinu juga terintegralkan asalkan ketakkontinuannya di sejumlah hingga titik dan fungsinya terbatas, misalkan fungsi tangga). (c) Salah (karena ada fungsi takkontinu yang mempunyai nilai c yang demikian). (d) Salah (karena persamaan yang benar adalah Z x d f (t) dt = f (x)) dx a 7. d dx
Z
x3
x sin ( t) dt
0
!
= =
d dx
x
Z
x2
sin ( t) dt
0
Z
1
x2
sin ( t) dt
0
(di sini u
Z
= x; v = =
Z
!
! Z
d +x dx
= =
sin ( t) dt
0
x2
sin ( t) dt)
0
x2
d x2 dx
x2
sin ( t) dt + x sin
0
=
x2
1
x2
1 1
x2
[cos t]0 + x (2x) sin cos cos
x2
cos 0 + 2x2 sin 1
+ 2x2 sin
x2 + 1
1 1 + x2
x2 +
x2 :
8. Z
0
1
x6 dx = 1 + x2 = =
Z
1
x4
0
1 5 1 3 x x +x 5 3 1 1 + 1 tan 5 3
9. 16
dx 1
tan
1
x 0
1
1
tan
1
0:
x2
!
(a) Gra…k fungsi y = f (x) melalui titik (0; 2) dan (h; 3) ; sehingga persamaan garisnya adalah x h x h
0 0
y 3
2 2
=
y
2
=
y
= f (x) =
1 x+2 h
(b) Dengan menggunakan metode cakram diperoleh volumenya adalah sebagai berikut V
Z
=
h
0
Z
=
h
0
1 h2
=
2
1 x+2 h
dx
1 2 4 x + x + 4 dx h2 h 1 3 x 3
+
4 h
+ 4x
h2 2
+ 4h
1 1 3 4 h + 2 h 3 h h + 2h + 4h 3
= =
h
1 2 x 2
0
0
19 h 3
=
10. (a)
Z
1 y (n + 1
dy dt
=
dy
=
y)
ry (n + 1 Z r dt
y)
R
1 dy diselesaikan dengan menggunakan pengintegralan y (n + 1 y) fungsi rasional: 1 y (n + 1
y)
=
D E + y n+1
y
=
D (n + 1 y) + Ey y (n + 1 y)
Jadi 1 = D (n + 1
17
y) + Ey
Jika
Jadi Z
y = 0;
maka
1 = D (n + 1)
y = n + 1;
maka
1 = E (n + 1)
1 y (n + 1
y)
dy
Z
1 n+1 1 =) E = n+1
=) D =
1 1 dy + y n+1
Z
=
1 n+1
1 n+1
=
1 [ln jyj + ( ln jn + 1 n+1
y
dy
yj)] + C1
Karena y > 0; dan diasumsikan y < n + 1; maka ini berarti 1 ln n+1 ln Jadi
y n+1
y n+1 y n+1
y
y y
= Ce
=
rt + C2
=
(n + 1) rt + C2 :
(n+1)rt
; dengan C = eC2 :
Karena y (0) = n; maka n n+1 y
1 + ne
(n+1)rt
n = =
= Ce0 =) C = n; sehingga
(n + 1 y) ne (n+1)rt (n + 1) ne (n+1)rt yne
y
= (n + 1) ne
y
= = =
(n+1)rt
(n+1)rt
(n + 1) ne (n+1)rt 1 + ne (n+1)rt n (n + 1) 1 + ne (n+1)rt e(n+1)rt n (n + 1) n (n + 1) A = = : (n+1)rt (n+1)rt n + eBt e +n n+e
Jadi A = n (n + 1) ; dan B = (n + 1) r
18
(b) y (t)
=
n 2
=
n + e(n+1)rt e(n+1)rt (n + 1) rt
= = =
t
=
n (n + 1) n + e(n+1)rt n (n + 1) n + e(n+1)rt 2 (n + 1) = 2n + 2 n+2 ln (n + 2) ln (n + 2) (n + 1) r
Jadi jika semula terdapat n = 100 dan tingkat kejangkitan r = 1% = 0; 01 maka ln (102) 100 ln (102) t= = : 101 (0; 01) 101 Soal Bonus: Z
5
1 + ez z
sec z tan z + p
1 1
z2
19
dz = 5z ln jzj+ez sec z+sin
1
z+C:
