SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR Jurusan Matematika FMIPA ITS Pengendalian Populasi Hama pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Musuh Alaminya Nabila Asyiqotur Rohmah 1209 100 703 Dosen Pembimbing: Dr Erna Apriliani, M.Si.
Latar Belakang (1) Kerugian karena hama Pengendalian populasi hama Penggunaan pestisida kimia Timbul efek samping yang tak diinginkan Pengendalian hama dengan musuh alaminya
Latar Belakang (2) Ada tiga metode utama untuk pengendalian secara biologis yaitu (1) melindungi musuh alami (natural enemy) yang telah ada dalam ekosistem, (2) menambahkan musuh alami yang baru dan menetapkan populasi permanen, dan (3) memperbanyak jumlah musuh alami dan frekuensi pelepasannya.
Latar Belakang (3) Pemodelan matematika yang diterapkan pada masalah pengendalian hama secara biologis memungkinkan evaluasi dampak interaksi antara hama dan musuh alaminya.
Model matematis dapat digunakan untuk menetapkan kondisi yang diinginkan untuk sistem jenis mangsapemangsa.
Mencari musuh alami dengan karakter yang mampu membawa sistem ke keadaan yang diinginkan
pengendalian hama adalah melalui perumusan strategi pengendalian yang optimal
Latar Belakang(4) Penelitian terdahulu • Noveria Charina Putri. (2011). “Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa dengan Mangsa yang Terinfeksi di Lingkungan Tercemar”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya • Nur Aini S. (2010). “Pengendalian Optimal Penggunaan Insektisida dan Virus Penginfeksi pada Hama Serangga”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya.
Latar Belakang (4) Siklus biologis yang identik dengan kenyataan menyebabkan ekosistem dapat dideskripsikan oleh persamaan Lotka-Volterra. Dari alasan tersebut pada tugas akhir ini akan dibahas mengenai kestabilan dan pengendalian sistem dari persamaan LotkaVolterra untuk dua mangsa-satu pemangsa agar populasi hama tetap di bawah economic injury level (tingkat populasi hama terendah yang telah dapat menimbulkan kerugian secara ekonomik).
Rumusan Masalah Masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini antara lain: 1. Bagaimana kestabilan sistem dinamik dari persamaan LotkaVolterra untuk model dua mangsa satu pemangsa? 2. Bagaimana pengendalian sistem dinamik dari persamaan Lotka-Volterra untuk model dua mangsa satu pemangsa?
Batasan Masalah Adapun batasan masalah dari tugas akhir ini adalah 1. Model matematika yang digunakan untuk model matematika Lotka-Volterra. 2. Faktor-faktor seperti umur, interaksi terhadap spesies yang lain dalam eksositem yang sama, interaksi terhadap lingkungan, dan sebagainya diabaikan. 3. Pengendalian dimodelkan sebagai interaksi antara mangsapemangsa, dengan kasus dua mangsa-satu pemangsa.
Tujuan Tujuan dari tugas akhir ini adalah untuk mengetahui stabilitas dan kondisi optimal model matematis pengendalian hama dengan musuh alaminya, khususnya model Lotka-Volterra untuk dua mangsa-satu pemangsa.
Manfaat Manfaat tugas akhir ini adalah memberikan pengetahuan tentang pengendalian hama dengan musuh alaminya agar populasi hama tidak menyebabkan kerugian ekonomis.
Tinjauan Pustaka 1
• Persamaan Lotka-Volterra
2
• Titik Setimbang dan Kestabilan
3
• Kriteria Routh-Hurwitz
Persamaan Lotka-Volterra Misalkan x1 adalah populasi mangsa dan x2 adalah populasi pemangsa. Model interaksi antar dua spesies diasumsikan Ketiadaan mangsa mengakibatkan mangsa tumbuh sebanding dengan populasi mangsa yang ada Ketiadaan mangsa menyebabkan pemangsa mati
Pertemuan mangsa-pemangsa menaikkan pertumbuhan pemangsa dan menghalangi pertumbuhan mangsa
dx1 ax1 , a 0 dt
ketika x2
0
dx2 cx2 , c 0 ketika x1 0 dt
x1 x2
dan
x1 x2
Persamaan Lotka-Volterra Persamaan (2.1) Persamaan Lotka-Volterra yang terbentuk ketika tidak ada perebutan sumber hidup baik antar mangsa ataupun pemangsa Persamaan (2.2)
Dua ulat mangsa dianggap sebagai spesies yang berbeda, dan ada perebutan sumber hidup pada mangsa. x1 mangsa1, x2 mangsa2, x3 predator
Titik Setimbang dan Kestabilan(1) Diberikan sistem tiga persamaan diferensial berikut Persamaan (2.3)
Fungsi F,G, dan H diasumsikan sebagai fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial kontinu dalam domain D pada bidang Fungsi F, G, dan H dalam persamaan (2.3) tidak tergantung secara eksplisit pada variabel bebas t , tetapi hanya pada variabel x1, x2, dan x3. Sebuah sistem dengan sifat seperti ini dikatakan autonomous. Titik (p,q,r) yang membuat fungsi F,G, dan H sama dengan nol disebut titik setimbang.
Titik Setimbang dan Kestabilan(2) Jika sistem (2.3) merupakan persamaan linear dengan koefisien konstan, sistem dapat ditulis dalam bentuk x’=Ax. Jika A adalah matriks nonsingular, maka det(A) tidak nol, sehingga x=(0,0,0) adalah satusatunya titik setimbang dari sistem x’=Ax.
Titik Setimbang dan Kestabilan(3) Berdasarkan nilai eigen, kestabilan titik setimbang (0,0,0) dari sistem linear dibedakan menjadi tiga Semua nilai eigen real dan negatif Atau memiliki bag real negatif
r1 ,r2
Stabil asimtotis
Imajiner murni
Stabil, tapi tidak asimtotis
Ada nilai eigen yang memiliki bag real positif
Tidak stabil
Titik setimbang dan kestabilan(4) Pendekatan Linear untuk Sistem Taklinear Gunakan deret Taylor pada sistem persamaan (2.3) di sekitar titik setimbang (p,q,r)
Titik setimbang dan kestabilan(5) Karena sisa sangat kecil, dan melihat bahwa dan dimisalkan y1 x1 p, y2 x2 q, y3 x3 r , sistem dapat direduksi menjadi sistem linear
Titik setimbang dan kestabilan(6) Matriks
yang muncul sebagai matriks koefisien dalam persamaan (2.10) disebut matriks Jacobian dari fungsi F,G, dan H terhadap x1, x2, dan x3. perlu diasumsikan bahwa det(J) tidak nol pada (p,q,r) sehingga titik ini juga merupakan titik terisolasi dari sistem linear (2.10).
Titik setimbang dan kestabilan(7) • Dengan tiga nilai eigen, kestabilan sistem linear lokal adalah
Kriteria Routh-Hurwitz • Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dapat dipakai untuk mengecek langsung kestabilan melalui koefisien tanpa menghitung akar-akar dari polinomial yang ada, yaitu dengan melakukan penabelan dan suatu aturan penghitungan dari koefisien akan diketahui bahwa apakah polinomial yang diberikan oleh persamaan (2.11) semua akar-akarnya bagian realnya adalah negatif.
Kriteria Routh-Hurwitz Diberikan suatu polinomial
Susun tabel sebagai berikut
dimana b1, b2 ,...,c1, c2 ,..., dan q secara rekursif didapatkan oleh
Kriteria Routh-Hurwitz • Kriteria Routh-Hurwitz menyimpulkan bahwa: banyaknya perubahan tanda dalam kolom pertama pada tabel diatas sama dengan banyaknya akar-akar polinomial yang bagian realnya positif. Jadi bila pada kolom pertama dalam tabel tidak ada perubahan tanda (semuanya bertanda positip atau semuanya bertanda negatif), maka semua akar polinomial bagian realnya adalah tak-positif, bila polinomial ini merupakan polinomial akarakar karakteristik dari matriks A dimana x’(t)=Ax(t), maka sistem ini adalah stabil.
Metode Penelitian 1
• Studi literatur
2
• Analisis model
3
• Pengendalian pada model
4
• Simulasi
5
• Analisis hasil simulasi
6
• Penarikan kesimpulan dan saran
Analisis dan Pembahasan
Model Prey-Predator Lotka-Volterra Pada model ini populasi dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu dua kelompok mangsa dan satu kelompok pemangsa.
Titik kesetimbangan dan kestabilan Diperoleh tujuh titik setimbang 1. E1=(0,0,0), tidak stabil 2. E2= , stabil jika 3. E3= , stabil jika 4. E4= , stabil jika 5. E5= , stabil jika 6. E6= , stabil jika dan
Titik kesetimbangan dan kestabilan 7.
E7=
dengan
Sistem stabil jika ketika dan
Penyelesaian dengan optimal control Sistem Lotka-Volterra dengan pengontrol.
Persamaan (4.16) Tujuan dilakukan pengendalian hama Persamaan (4.17) Keadaan steady yang diinginkan
Keadaan steady (4.17) yang dinginkan dapat dicari dengan
Persamaan (4.19) Nilai pengontrol u*
Tabel 1. Parameter dari jurnal
Persamaan (4.20) Asumsi x1*!=0 dan x2*!=0. Gunakan parameter pada tabel 1
Eliminasi x3*
Persamaan (4.21) Sederhanakan
Bandingkan (4.16) dan (4.18) dengan xd=18 Persamaan (4.21)
Persamaan (4.16)
Tidak ada nilai x2* yang memenuhi persamaan (4.16) dan (4.21)
Perlu jumlah xd yang besar
Sistem tidak dapat dikontrol
Pemangsa tidak dapat mengontrol hama di bawah economic injury level
Simulasi Pada simulasi digunakan tiga kelompok nilai parameter. Nilai parameter pada Tabel 1 berasal dari jurnal dan nilai parameter pada Tabel 2 dan 3 digunakan untuk perbandingan
Tabel 2. Parameter dan nilainya
Tabel 3. Parameter dan nilainya
Titik kesetimbangan dan kestabilan dari Tabel 1 • • • • • • •
E1=(0,0,0), tidak stabil karena dua nilai eigennya positif E2=(0,1000,0), nilai eigennya -0.17, 0, dan -0.034 sehingga tidak bisa disimpulkan kestabilannya E3=(0,1400,-140), titik ini tidak mungkin terjadi E4=(1000,0,0), nilai eigen realnya -0.17, -0.085, dan 0.7310 sehingga tidak stabil E5=(140,0,86), nilai eigen bagian realnya -0.0119 sehingga stabil E6=(0,1000,0), titik ini sama dengan E2 E7=(0,1400,-40), titik ini tidak mungkin terjadi
Titik kesetimbangan dan kestabilan dari Tabel 2 • • • • •
• •
E1=(0,0,0), tidak stabil karena dua nilai eigennya positif E2=(0,111,0), nilai eigennya -0.2, 0.151, dan -0.0089 sehingga titik tidak stabil E3=(0,120,-9), titik ini tidak mungkin terjadi E4=(1000,0,0), nilai eigen realnya -0.17, -1.8, dan 8.38 sehingga titik tidak stabil E5=(14,0,98), salah satu nilai eigen bagian realnya -0.14 sehingga titik tidak stabil E6=(-7550, 8500,0), titik ini tidak mungkin terjadi E7=(13.85;2.25;98.38), nilai eigen bagian realnya -0.0037 dan 0.0009 sehingga titik stabil
Titik kesetimbangan dan kestabilan dari Tabel 3 • • • • • • •
E1=(0,0,0), tidak stabil karena dua nilai eigennya positif E2=(0,1000,0), nilai eigennya -0.17, -1.6, dan 0.73 sehingga titik tidak stabil E3=(0,141.17,83.38), nilai eigen bagian realnya 0.1993 dan -0.012 sehingga titik stabil E4=(100,0,0), nilai eigen realnya -0.2, 0.1530, dan -0.035 sehingga tidak tidak stabil E5=(141.17,0,-48.44), titik ini tidak mungkin terjadi E6=(-8000,9000,0), titik ini tidak mungkin terjadi E7=(-996,1137.5,85.38), titik ini tidak mungkin terjadi
Gambar 4.1 Simulasi ketika pemangsa tidak ada •Keadaan awal (10,10,0) •Pertumbuhan mangsa tetap karena jumlah makanan yang ada hanya cukup untuk jumlah mangsa sebanyak 1000 individu. Karena terdapat dua jenis mangsa, mangsa yang kalah dalam persaingan perebutan makanan akan cepat habis sehingga populasi mangsa tersebut akhirnya bisa tereliminasi.
Gambar 4.1a
Gambar 4.1b
Gambar 4.1c
Gambar 4.2 Simulasi ketika mangsa kedua tidak ada •Keadaan awal (10,0,10) •Pada Gambar 4.2c populasi akhir pemangsa lebih banyak daripada mangsa karena nilai parameter pertumbuhan akibat predasinya besar •Pada Gambar 4.2a dan 4.2d nilai parameter pertumbuhan pemangsa karena predasi kecil sementara pertumbuhan mangsa pertama besar, sehingga populasi pemangsa lama-lama habis meski ada makanan. •Terlihat bahwa dengan adanya populasi pemangsa membuat populasi mangsa pertama turun.
Gambar 4.2a
Gambar 4.2c
Gambar 4.2d
Gambar 4.3 Simulasi ketika mangsa pertama tidak ada •Keadaan awalnya (0,10,10) •Pada Gambar 4.3a populasi akhir mangsa kedua mencapai 1000/m2 sementara pemangsanya mendekati kepunahan. Hal ini dikarenakan nilai parameter pertumbuhan pemangsa akibat predasi terhadap mangsa kedua sangat kecil •Ketika pertumbuhan akibat predasinya besar, pemangsa mampu bertahan hidup seperti terlihat pada Gambar 4.3c dan 4.3d.
Gambar 4.3a
Gambar 4.3c
Gambar 4.3d
Gambar 4.4 Simulasi ketika semua populasi ada •Keadaan awalnya (10,10,10) •Karena terdapat dua jenis mangsa, mangsa yang kalah dalam persaingan persebutan makanan dan mudah ditangkap predator populasinya akan cepat habis sehingga populasi mangsa tersebut akhirnya bisa tereliminasi. •Akibat nilai parameter persaingan sesama jenis mangsa yang besar populasi mangsa dapat musnah seperti pada Gambar 4.4a dan 4.4c. •Pertumbuhan pemangsa akibat predasi yang besar membuat populasi pemangsa lebih banyak daripada mangsa seperti pada gambar 4.4b.
Gambar 4.4a
Gambar 4.4b
Gambar 4.4c
Gambar 4.4 Simulasi ketika semua populasi ada •Keadaan awalnya (250,250,10) •Ketika jumlah mangsa bertambah, jumlah pemangsa yang sedikit sudah mampu menurunkan populasi mangsa, sehingga tidak perlu banyak pemangsa untuk mengendalikan mangsa ke keadaan akhir yang sama dengan pada gambar 4.4a4.4c.
Gambar 4.4d
Gambar 4.4e
Gambar 4.4f
Gambar 4.4 Simulasi ketika semua populasi ada •Keadaan awalnya (10,10,250) •Meskipun jumlah awal pemangsa sangat besar (250), populasi mangsa tetap tak terpengaruh. Jumlah total mangsa tetap menuju seperti pada Gambar 4.4a-4.4c.
Gambar 4.4g
Gambar 4.4h
Gambar 4.4i
Analisis Hasil Simulasi Dari keempat simulasi dapat ditarik dua kesimpulan yaitu (1) pengendalian hama yang tepat adalah menggunakan populasi pemangsa yang sedikit karena jumlah pemangsa yang banyak tidak berpengaruh besar populasi mangsa dan (2) mangsa hanya dapat dikendalikan ke keadaan yang diinginkan ketika persaingan antar mangsa besar sekaligus pertumbuhan pemangsa akibat predasi tidak terlalu kecil jika dibandingkan dengan nilai parameter-parameter yang berkaitan dengan pertumbuhan pemangsa. Meskipun demikian, kesimpulan kedua didapatkan dari nilai parameter-parameter pada Tabel 4.2 kurang cocok dengan keadaan sebenarnya karena perbedaan yang jauh pada nilai parameter persaingan mangsa pertama dan kedua.sehingga populasi hama dapat berkurang tetapi tidak dapat ditekan menuju jumlah di bawah economic injury level.
Kesimpulan 1. Pada analisis stabilitas sistem dinamik dari persamaan LotkaVolterra untuk dua mangsa-satu pemangsa terdapat tujuh titik setimbang, dengan tga titik yang berkaitan dengan pengendalian mangsa menggunkan musuh alaminya. 2. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pengendalian hama dengan musuh alaminya dapat menekan populasi hama tetapi masih menimbulkan kerugian karena jumlah akhir hama tetap berada di atas economic injury level.
Saran • Pada penelitian ini belum didapatkan pengendalian hama yang sesuai dengan tujuan, sehingga dapat dicoba pengendalian hama dengan cara menambahkan satu jenis musuh alami lain ke dalam ekosistem.
Daftar Pustaka [1].Van den Bosh, R., Messenger, P.S., dan Gutierrez, A.P. (1982). “An Introduction to Biological Control”. Plenum Press. [2].Putri, N. C. (2011). “Analisis Kestabilan Model Mangsa-Pemangsa dengan Mangsa yang Terinfeksi di Lingkungan Tercemar”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya. [3].Aini, S. N. (2010). “Pengendalian Optimal Penggunaan Insektisida dan Virus Penginfeksi pada Hama Serangga”. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS Surabaya. [4].Boyce, W. E., dan DiPrima, R. C. (2009). “Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems”. John Wiley & Sons. [5].Rafikov, M., Balthazar, J.M., dan von Bremen, H.F. (2008). “Mathematical Modeling and Control of Population System: Applications ini Biological Pest Control”. Applied Mathematics and Computation. [6]. Subiono. (2013). “Sistem Linear dan Kontrol Optimal”. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Terima Kasih
