Vˇ se co jste chtˇ eli vˇ edˇ et o ˇ c´ıslech a b´ ali jste se zeptat ˇ Jakub Sotola Matematick´e p´atky 13. 11. 2009 Toto je doprovodn´ y text k pˇredn´aˇsce, kterou jsem udˇelal v r´amci Matematick´ ych p´atk˚ u pro stˇredoˇskol´aky na Slezsk´e univerzitˇe v Opavˇe na poˇza´d´an´ı RNDr. Jany Kopfov´e, PhD. Prezentaci k t´eto pˇredn´aˇsce (a dalˇs´ı texty a prezentace) naleznete na webov´e adrese http://students.math.slu.cz/JakubSotola.
1
Poˇ c´ atky poˇ c´ıt´ an´ı a slova pro ˇ c´ısla
Jak vlastnˇe lid´e zaˇcali poˇc´ıtat? Nejdˇr´ıve si museli udˇelat pˇredstavu o tom, co je v´ıc, m´enˇe, stejnˇe. To bylo jednoduch´e, kdyˇz ˇslo ˇsest muˇz˚ u lovit a mˇeli jen pˇet oˇstˇep˚ u, na jednoho nezbyl a museli ho tedy nejdˇr´ıv vyrobit. Tento syst´em pˇriˇrazov´an´ı byl z´akladem poˇc´ıt´an´ı. U mal´ ych st´ad (do pˇeti kus˚ u) bylo snadn´e poznat, ˇze jedna ovce, koza ˇci kr´ava chyb´ı, mimo jin´e i podle chybˇej´ıc´ı (nˇem´e) tv´aˇre. S vˇetˇs´ımi st´ady to uˇz byl probl´em, pastevci neumˇeli dost dobˇre poˇc´ıtat, ale pˇriˇrazov´an´ı byla ta spr´avn´a finta fˇ n, kter´a ho vyˇreˇsila. Za kaˇzdou ovci puˇstˇenou z ohrady se pˇrem´ıstil jeden k´amen z koˇse ovce v ohradˇe“ do koˇse ovce ” ” na pastvˇe“ a pˇri n´avratu opaˇcnˇe. Jak se poˇc´ıt´an´ı a ˇc´ısla vyv´ıjela d´al m˚ uˇzeme vysledovat tak´e z jazyk˚ u. Staˇc´ı si vˇs´ımat vztah˚ u mezi slovy, jejich spoleˇcn´ ych koˇren˚ u a dohledat tak v´ yvoj slov oznaˇcuj´ıc´ıch (nejen) ˇc´ısla. Neboli – pomoci n´am m˚ uˇze lingvistick´a vˇeda, kter´a se zab´ yv´a vznikem a v´ yvojem slov a naz´ yv´a se etymologie. Z etymologick´ ych poznatk˚ u n´am vypl´ yv´a, ˇze se ˇc´ısla neobjevila nar´az, ale postupnˇe. Zaˇcalo to s jedna“, dvˇe“, mnoho“. Cokoliv v´ıc neˇz dvˇe bylo tedy mnoho. Dokl´ad´a n´am to tˇreba ” ” ” latina, kde trans“ znamen´a pˇres“ nebo za“, a podobn´e slov´ıˇcko tres“ znamen´a tˇri“. ” ” ” ” ” Jeˇstˇe viditelnˇejˇs´ı je to ve francouzˇstinˇe – zat´ımco tˇri“ se ˇrekne trois“, tak tres“ znamen´a ” ” ” velk´ y“ nebo velmi“. ” ” Dalˇs´ım dokladem o poˇc´ıt´an´ı jedna-dva-mnoho jsou mluvnick´a ˇc´ısla, dnes m´ame v ˇceˇstinˇe pouze dvˇe tyto kategorie – ˇc´ıslo jednotn´e a ˇc´ıslo mnoˇzn´e. Ale kdyˇz skloˇ nujte tˇreba ruce nebo nohy, pouˇz´ıv´ate – moˇzn´a aniˇz byste to vˇedˇeli – ˇc´ıslo dvojn´e (tzv. du´al). Ruka bez ruky jako 1
ˇzena bez ˇzeny, ale s rukama a s ˇzenami. V tomto pˇr´ıpadˇe ˇc´ıslo dvojn´e zcela nahradilo plur´al a zdegenerovalo tak pouze v malou nepravidelnost. Ale v jin´ ych jazyc´ıch (napˇr. finˇstina, arabˇstina) se dvojn´e ˇc´ıslo doposud pouˇz´ıv´a rovnocennˇe s jednotn´ ym a mnoˇzn´ ym. Nˇekter´e oce´ansk´e jazyky dokonce pouˇz´ıvaj´ı ˇc´ısla trojn´a a ˇctvern´a a teprve pak mnoˇzn´a. Jak pˇredznamenala pˇredchoz´ı vˇeta, dalˇs´ı v´ yvoj smˇeˇroval (logicky) ke trojce a ˇctyˇrce. Jak tento skok asi pˇriˇsel si m˚ uˇzeme ilustrovat na jazyce austr´alsk´eho n´aroda Arand˚ u. Ti pouˇz´ıvaj´ı pro vyj´adˇren´ı trojky a ˇctyˇrky sloˇzen´e v´ yrazy tara-ma-ninta“ a tara-ma-tara“, ” ” tedy dvˇe a jedna“ a dvˇe a dvˇe“. Dalˇs´ı ˇc´ıslovky vˇsak uˇz jejich slovn´ık neobsahuje. ” ” Tady uˇz se zaˇcala tvorba ˇc´ıslovek zobecˇ novat – m´ısto tvorby speci´aln´ıch v´ yraz˚ u pro jednotliv´a ˇc´ısla se zaˇcaly hledat pravidla, jak pojmenovat libovolnˇe velk´e nov´e ˇc´ıslo. Jin´ ymi slovy zaˇcaly vznikat prvn´ı ˇc´ıseln´e soustavy. Nejdˇr´ıve byly podobnˇe koneˇcn´e jako syst´em tara-ma-tara, ale postupnˇe zaˇcaly bytnˇet. Z´aroveˇ n s n´ar˚ ustem nejvyˇsˇs´ıho vyj´adˇren´eho ˇc´ısla rostl i z´aklad. Z dvojkov´e soustavy se stala ˇctyˇrkov´a, a z t´e osmiˇckov´a. Dokladem tohoto v´ yvoje je jednak to, ˇze v nˇekter´ ych jazyc´ıch m´a ˇctyˇrka nebo osmiˇcka pˇri skloˇ nov´an´ı koncovku du´alu. A jednak opˇet pˇr´ıbuznost slov – tentokr´at devˇet“ a nov´ y“, ” ” tedy v latinˇe - novem“, novus“ nebo v nˇemˇcinˇe - neun“ a neu“, kter´ y naznaˇcuje, ˇze ” ” ” ” dev´ıtka byla jistou novinkou v poˇc´ıt´an´ı. Dnes ale poˇc´ıt´ame v soustavˇe des´ıtkov´e. To proto, ˇze do v´ yvoje ˇc´ıseln´ ych soustav zasahovaly i dalˇs´ı vlivy – pˇet prst˚ u na ruce, deset na obou dvou, dvacet prst˚ u celkem, na tucty vyjde ” ˇ vˇse lacinˇejc“ (jak v nevhodnou chv´ıli, ale jistˇe pravdivˇe, poznamenal dobr´ y voj´ak Svejk) a dalˇs´ı. Vyv´ıjely se tak soustavy pˇetkov´e, des´ıtkov´e, dvan´actkov´e, patn´actkov´e, dvac´ıtkov´e a dokonce ˇsedes´atkov´e. O tˇech si ale pov´ıme n´ıˇze. Mimochodem – ˇctyˇrka se taky v´aˇze k ruce – kromˇe palce, kter´ y je sv´ ym zp˚ usobem speci´aln´ı jsou na ruce prsty pr´avˇe ˇctyˇri! - V antice se jako d´elkov´e jednotky pouˇz´ıvaly pr´avˇe prsty (na ˇs´ıˇrku) a dlanˇe, kdyˇz ˇctyˇri prsty daly jednu dlaˇ n. Dalˇs´ı zaj´ımavost´ı, ˇze anglick´e slovo digit“ - ˇc´ıslice“, kter´e tak dobˇre zn´ame ze vˇsech tˇech digit´aln´ıch vˇec´ı, poch´az´ı z latinsk´eho ” ” digitus“, coˇz znamen´a prst“. ” ” Poz˚ ustatky po r˚ uzn´ ych ˇc´ıseln´ ych soustav´ach m˚ uˇzeme opˇet vysledovat v jazyce. V ˇceˇstinˇe jsou to tˇreba tucty, kopy a mandele (12, 60, resp. 15 kus˚ u) nebo -n´actky“, kter´e naznaˇcuj´ı ” dvac´ıtkovou soustavu. V jin´ ych jazyc´ıch jsou tyto n´aznaky jeˇstˇe patrnˇejˇs´ı. Tˇreba v angliˇctinˇe – eleven a twelwe (jeden´act a dvan´act), kromˇe toho, ˇze se od ostatn´ıch ˇc´ıslovek v´ yraznˇe liˇs´ı jsou patrnˇe odvozeny od one left“, two left“, tedy jeden zbyl“, dva zbyly“ ” ” ” ” - rozumˇej po napoˇc´ıt´an´ı do deseti. Toto kr´asnˇe ilustruje konflikt des´ıtkov´e a dvan´actkov´e soustavy. Ve francouzˇstinˇe je pak patrn´ y taky vliv soustavy dvac´ıtkov´e – osmdes´at se ˇrekne quatre-vingts, tedy ˇctyˇri dvac´ıtky. Devades´at je pak quatre-vingts-dix, ˇctyˇri dvac´ıtky a deset. Pro u ´plnost dodejme taky, ˇze ˇsedes´atkov´a soustava se dosud pouˇz´ıv´a – v mˇeˇren´ı ˇcasu a rovinn´ ych u ´hl˚ u. Kdyˇz vid´ıme na pakl´ıku c´ed´eˇcek ˇc´ıslo ˇsest, v´ıme, ˇze to znamen´a ˇsest c´ed´eˇcek. Kdyˇz vid´ıme ˇc´ıslo ˇsest na sedadle (tˇreba v divadle), v´ıme, ˇze to znamen´a ˇsest´e sedadlo v ˇradˇe. Rozd´ıl tˇechto v´ yznam˚ u ˇc´ıslovek je n´am jasn´ y jako facka. Lingvistika n´as ale zase pˇresvˇedˇc´ı, ˇze tomu tak nebylo vˇzdycky. Vˇsimnˇete si rozd´ılu mezi slovem jedna a prvn´ı (ˇci dva a druh´ y), nebo rozd´ılu mezi dva a polovina. N´ızk´e ˇradov´e ˇc´ıslovky ˇci zlomky se od tˇech z´akladn´ıch 2
znaˇcnˇe liˇs´ı. Tyto rozd´ıly jsou opˇet patrn´e i v jin´ ych jazyc´ıch – one × first, two × second, three × third. N´aˇs lingvistick´ y exkurz uzavˇreme touto kuriozitou – pˇr´ısluˇsn´ıci kanadsk´eho indi´ansk´eho kmene Cimjˇsan˚ u pouˇz´ıvaj´ı pro r˚ uzn´e pˇredmˇety r˚ uzn´e ˇc´ıslovky (viz tabulka) – a konstatov´an´ım, ˇze prost´e poˇc´ıt´an´ı je tak abstraktn´ı z´aleˇzitost, ˇze zbytek matematiky je proti tomu naprosto jasn´ y a zˇrejm´ y. ˇ ıslo C´ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
Poˇc´ıt´ an´ı jen tak Gyak T‘epqat Guant Tqalpq Ketone K‘alt T‘epqalt Guandalt Ketemac Gy‘ap
Ploch´e pˇredmˇety Gak T‘epqat Guant Tqalpq Ketone K‘alt T‘epqalt Yuktalt Ketemac Gy‘ap
Kulat´e pˇredmˇety G‘erel Goupel Gutle Tqalpq Ketone K‘alt T‘epqalt Yuktalt Ketemac Kpeel
Dlouh´e pˇredmˇety K‘awutskan Gaopskan Galtskan Tqaapskan K‘etoentskan K‘aoltskan T‘epqaltskan Ek‘tlaedskan Ketemaetskan Kpeetskan
Lid´e
K´anoe
M´ıry
K‘al T‘epqadal Gulal Tqalpqdal Keenecal K‘aldal T‘epqaldal Yuktiedal Ketemacal Kpal
K‘amaet G‘alpeeltk Galtskantk Tqalpqsk Tetoonsk K‘altk T‘epqaltk Yuktalk Ketemack Gy‘apsk
K‘al Gulbel Guleont Tqalpqalont Ketonsilont K‘aldelont T‘epqaldelont Yuktaldelont Ketemasilont Kpeont
Poˇ c´ıt´ an´ı pro pokroˇ cil´ e aneb znaky pro ˇ c´ısla
S vyn´alezem p´ısma (a p´ısmen) je neodluˇcitelnˇe spojen i vyn´alez ˇc´ıslic. Pro pˇripomenut´ı – ˇc´ıslice je jako p´ısmeno, zat´ımco ˇc´ıslo je jako slovo. O zp˚ usobu z´apisu ˇc´ısel mluv´ıme obvykle jako o ˇc´ıseln´e soustavˇe (tento pojem jsem vlastnˇe pouˇzil uˇz v pˇredchoz´ı ˇca´sti). ˇ ıseln´e soustavy (nebo pˇr´ısluˇsn´e ˇc´ıslice) se historicky jmenuj´ı podle (domnˇel´e) zemˇe p˚ C´ uvodu. Mezi nejzn´amˇejˇs´ı patˇr´ı ˇr´ımsk´e a arabsk´e, my si ale pˇredstav´ıme i nˇekter´e dalˇs´ı. D´ale se ˇc´ıseln´e soustavy dˇel´ı na poziˇcn´ı a nepoziˇcn´ı – co to znamen´a si ˇrekneme n´ıˇze. Nejprve si pˇredstavme z´apisy nepoziˇcn´ı.
2.1
Egyptsk´ eˇ c´ıslice
Jednotliv´e ˇc´ıslice pˇredstavuj´ı – svislou ˇca´ru, patu, provaz, lotos, ukazov´ak, pulce (ˇza´bu, mn´ıka), udiven´eho ˇclovˇeka. Dvacet sedm by se vyj´adˇrilo jako ||||||| ∩ ∩, na poˇrad´ı ˇc´ıslic nez´aviselo, ˇc´ıslo se uzav´ıralo do ov´alu. Egyptsk´e ˇc´ıslice reprezentuj´ı nejjednoduˇsˇs´ı zp˚ usob z´apisu ˇc´ısel, podobn´ y z´apis pouˇz´ıvalo 3
i mnoho jin´ ych kultur.
2.2
ˇ ımsk´ R´ eˇ c´ıslice
ˇ ımsk´e ˇc´ıslice urˇcitˇe dobˇre zn´ate. Ale pro jistotu je pˇripomenu: R´ I 1
V X L C D 5 10 50 100 500
M 1000
ˇ ımsk´a soustava je unik´atn´ı, protoˇze pouˇz´ıv´a odˇc´ıtac´ı princip – ˇctyˇrka se zap´ıˇse zap´ıˇse jako R´ pˇet m´ınus jedna“ nebo jedna zb´ yv´a do pˇeti“, tedy – jak zn´amo – IV. Ale u vˇetˇs´ıch ˇc´ısel ” ” d´ıky tomu vznikaj´ı nejednoznaˇcnosti. M´a se ps´at IMM, MIM, nebo MCMXCIX? Zapisuje se 45 jako VL, nebo XLV? Proto se zav´ad´ı urˇcit´a pravidla: • Odˇc´ıt´a se nejv´ yˇse jedna ˇc´ıslice a pokud se m˚ uˇze odˇc´ıtat, tak se mus´ı (toto pravidlo jistˇe zn´ate a ani j´a jsem ho pˇri nab´ızen´ı r˚ uzn´ ych variant ˇr´ımsk´ ych ˇc´ısel neporuˇsil). • Odˇc´ıtaj´ı se pouze des´ıtkov´e ˇc´ıslice – I,X,C,(M). Toto vyluˇcuje z´apis VL. • Odˇc´ıt´a se pouze od ˇc´ıslice nejv´ yˇse desetkr´at vˇetˇs´ı. I tedy m˚ uˇze b´ yt pˇred V a X, ale pˇred ˇza´dnou zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ıslic´ı, X m˚ uˇze pˇredch´azet ˇc´ıslic´ım L a C, ale nikdy D nebo M. Toto pravidlo vyluˇcuje z´apisy MIM a IMM. • Po ˇc´ıslici od kter´e jsme odˇc´ıtali uˇz m˚ uˇze n´asledovat pouze ˇc´ıslice menˇs´ı. (CMM by tedy byl tak´e nespr´avn´ y z´apis). Tato pravidla jsou vˇsak velmi komplikovan´a.
2.3
ˇ ınsk´ C´ eˇ c´ıslice a poziˇ cn´ı soustava
Tradiˇcn´ı ˇc´ınsk´a soustava je mnohem lepˇs´ı neˇz vˇsechny, kter´e jsme si doposud pˇredstavili. Jiˇz se velmi bl´ıˇz´ı poziˇcn´ım soustav´am, a to dokonce natolik, ˇze bychom mohli hovoˇrit o soustavˇe pseudopoziˇcn´ı. ˇ ıˇ C´ nan´e pouˇz´ıvali celkem ˇctrn´act ˇc´ıslic – pro 1-9 (ˇreknˇeme z´akladn´ı) a pak pro des´ıtky, stovky, tis´ıce, desetitis´ıce a statis´ıce (ˇreknˇeme ˇr´adov´e, nikoli vˇsak ˇradov´e). Zapisovali je do sloupc˚ u, vˇzdy jedna z´akladn´ı a jedna ˇra´dov´a – ty v sestupn´em poˇrad´ı.
4
S tradiˇcn´ımi ˇc´ınsk´ ymi ˇc´ıslicemi se m˚ uˇzete setkat napˇr´ıklad na mahjongov´ ych kostk´ach. ˇ V C´ınˇe uˇz dnes pˇrijali dokonalejˇs´ı ˇc´ıslice arabsk´e. Ted’ si uk´aˇzeme druhou sadu staroˇc´ınsk´ ych ˇc´ıslic. A na jejich pˇr´ıkladu si koneˇcnˇe vysvˇetl´ıme, co je to ta poziˇcn´ı soustava. Tato sada obsahuje celkem osmn´act ˇc´ıslic - dva znaky pro kaˇzˇ ıslice se zapisuj´ı podobnˇe jako ty dou ˇc´ıslici (toto nen´ı pro poziˇcn´ı z´apisy nutnost´ı). C´ tradiˇcn´ı – jen chybˇej´ıc´ı ˇr´adov´e ˇc´ıslice se vynech´avaj´ı a dvˇe sady ˇc´ıslic se stˇr´ıdaj´ı – pro lich´ y ˇra´d jedna sada a pro sud´ y druh´a.
ˇ ıslo z obr´azku se tedy d´a interpretovat jako 5·1 000+6·100+6·10+2. Je to tedy podobn´e C´ arabsk´ ym ˇc´ıslic´ım, kter´e se tak´e zapisuj´ı poziˇcn´ım syst´emem. Je tu ale jeden rozd´ıl – nula. Ta se zn´azorˇ novala vynech´avkou – stˇr´ıd´an´ı sad tak pom´ahala si ji uvˇedomit. ˇ tedy o jak´esi poˇc´ıtadlo. Tyto ˇc´ıslice se p˚ uvodnˇe nepsaly – symbolizovaly se tyˇcemi. Slo
2.4
Rozd´ıly mezi poziˇ cn´ımi a nepoziˇ cn´ımi soustavami
Neˇz si pop´ıˇseme dalˇs´ı poziˇcn´ı soustavy, zjistˇeme v ˇcem jsou tak v´ yhodn´e. V jednoduchosti to shrˇ nme v n´asleduj´ıc´ı tabulce. Nepoziˇcn´ı P´ısemn´e poˇcty neumoˇzn ˇuje Desetinn´a ˇc´ısla sp´ıˇse neumoˇzn ˇuje Z´apis libovolnˇe neumoˇzn ˇuje velk´ ych ˇc´ısel D´elka (cel´eho) ˇc´ısla r˚ uzn´a vs. d´elka z´apisu Potˇreba nuly v˚ ubec
ˇ ınsk´ C´ y pseudopoziˇcn´ı umoˇzn ˇuje nepˇr´ımo umoˇzn ˇuje neumoˇzn ˇuje
Poziˇcn´ı umoˇzn ˇuje umoˇzn ˇuje umoˇzn ˇuje
”pˇr´ım´a u ´mˇera”
”pˇr´ım´a u ´mˇera”
v˚ ubec
pomˇernˇe nutn´a
Z´apis desetinn´ ych ˇc´ısel by se dal nˇejak zaˇr´ıdit jak u tradiˇcn´ıch ˇc´ınsk´ ych ˇc´ıslic, tak u ˇc´ıslic egyptsk´ ych. U ˇc´ıslic ˇr´ımsk´ ych by vˇsak byl znaˇcnˇe problematick´ y. 5
U nepoziˇcn´ıch soustav by nebyl aˇz takov´ y probl´em zapsat libovolnˇe velk´e ˇc´ıslo, jen by obsahovalo obrovsk´e mnoˇzstv´ı nejvˇetˇs´ıch ˇc´ıslic (M, resp. udiven´ y ˇclovˇek). U tradiˇcn´ıho ˇc´ınsk´eho z´apisu by to vˇsak vyˇzadovalo zaveden´ı nov´ ych ˇr´adov´ ych ˇc´ıslic. ’ Dalˇs´ım probl´emem – byt sp´ıˇse estetick´ ym – je d´elka ˇc´ısla. U nepoziˇcn´ıho z´apisu se d´elka ˇc´ısla mˇen´ı naprosto nepravidelnˇe, zat´ımco u z´apisu poziˇcn´ıho plat´ı – ˇc´ım vˇetˇs´ı ˇc´ıslo, t´ım delˇs´ı z´apis (tedy u ˇc´ısel pˇrirozen´ ych). O klasickou pˇr´ımou u ´mˇeru samozˇrejmˇe nejde. Jedinou nev´ yhodou poziˇcn´ıho syst´emu je to, ˇze bez nuly se st´av´a nepˇrehledn´ ym. Ale i pˇresto vyhr´av´a poziˇcn´ı z´apis mezi ostatn´ımi (zn´am´ ymi) na cel´e ˇc´aˇre.
2.5
Sumersk´ eˇ c´ıslice
Tˇechto pades´at devˇet znak˚ u jsou opravdu vˇsechno pouze ˇc´ıslice. Zapisovaly se poziˇcnˇe, nula se znaˇcila vynechan´ ym m´ıstem. Podle dosavadn´ıch poznatk˚ u vymysleli poziˇcn´ı soustavu jako prvn´ı pr´avˇe Sumeˇran´e.
2.6
Maysk´ eˇ c´ıslice
Maysk´e ˇc´ıslice jsou vedle arabsk´ ych jedny z nejdokonalejˇs´ıch – patˇr´ı mezi nˇe totiˇz i nula, kter´a se zn´azorˇ novala piktogramem muˇsle. Z´asadn´ım rozd´ılem oproti arabsk´ ym je, vedle poˇctu ˇc´ıslic, to, ˇze nejsou pˇredstavov´any ˇza´dn´ ymi abstraktn´ımi klikyh´aky, ale jsou to
6
systematick´e skupiny symbol˚ u jako tomu je i u ˇc´ıslic ˇc´ınsk´ ych (tˇech druh´ ych) nebo babylonsk´ ych.
2.7
Arabsk´ eˇ c´ıslice
Poch´az´ı z Indie, pravdˇepodobnˇe z civilizace okolo mˇest Mohendˇzo-Daro a Harappa. Je jich deset (vˇcetnˇe nuly) a zapisuj´ı se poziˇcnˇe. Do Evropy je bˇehem stˇredovˇeku pˇrinesli arabˇst´ı uˇcenci. P˚ uvodnˇe moˇzn´a taky systematick´e ale pˇred´av´an´ım mezi generacemi a kulturami proˇsly podobn´ ym v´ yvojem jako p´ısmo a nabyly abstraktn´ı podoby. Na obr´azku m˚ uˇzete vidˇet r˚ uzn´e verze arabsk´ ych ˇc´ıslic - p˚ uvodn´ı, hindskou, arabskou (tyto dvˇe varianty se tak´e st´ale pouˇz´ıvaj´ı), stˇredovˇekou evropskou a modern´ı evropskou (i se zdrojem obr´azku). Pr´avˇe tyto ˇc´ıslice dnes dominuj´ı svˇetu – jin´e se prakticky nepouˇz´ıvaj´ı.
7
2.8
Kupeck´ e soustavy“ ”
Kupeck´ ymi soustavami mysl´ım dnes jiˇz zastaral´e poˇc´ıt´an´ı na tucty, mandele a kopy. Jsou to vlastnˇe tˇri r˚ uzn´e soustavy: • dvan´actkov´a – tucet = 12, veletucet = tucet tuct˚ u = 144 • patn´actkov´a – mandel = 15 • ˇsedes´atkov´a – kopa = 60, velekopa = kopa kop = 3 600. ˇ ıseln´e soustavy a jejich Pro vysvˇetlen´ı pojm˚ u dvan´actkov´a soustava apod. viz sekce C´ z´aklady.
2.9
Ploty“ ”
Ano, m´am na mysli ˇc´ıslice typick´e pro hospodsk´e l´ıstky. Jsou to sice jednoduch´e, aˇz primitivn´ı ˇc´ıslice, ale maj´ı jednu velkou v´ yhodu pˇri poˇc´ıt´an´ı pˇri poˇc´ıt´an´ı pˇredem nezn´am´eho poˇctu kus˚ u, jsou rychle napsan´e, pˇrehledn´e a sˇc´ıtaj´ı se skoro samy. Jde samozˇrejmˇe o soustavu nepoziˇcn´ı.
2.10
Morseovy ˇ c´ıslice
Souˇc´ast´ı Morseovy telegrafick´e abecedy jsou samozˇrejmˇe i ˇc´ıslice. Sammuel Morse vych´azel, pochopitelnˇe, z ˇc´ıslic arabsk´ ych. Nicm´enˇe na rozd´ıl od p´ısmen jsou ˇc´ıslice opˇet systematick´e. A tento syst´em je dokonce cyklick´ y. 1 .---6 -....
2.11
2 ..--7 --...
3 ...-8 ---..
4 5 ....- ..... 9 0 ----. -----
Jin´ e znaky
K z´apisu ˇc´ısel neodmyslitelnˇe patˇr´ı i jin´e symboly neˇz jen ˇc´ıslice. Napˇr´ıklad znam´enko +“ vzniklo zkomolen´ım latinsk´eho et“, tedy a“. Znam´enko –“ zase vzniklo zkomolen´ım ” ” ” ” p´ısmene m“ jako minus. Znam´enko =“ pak zavedl v roce 1557 Robert Recorde a vysvˇetlil, ” ” ˇze pˇrece nic si nem˚ uˇze b´ yt rovnˇejˇs´ı neˇz dvˇe rovnobˇeˇzky. Dˇr´ıve se pro vyj´adˇren´ı rovnosti pouˇz´ıval symbol α nebo æ jako latinsk´e aequalis“, tedy roven“. ” ” Mezi dalˇs´ı speci´aln´ı znaky patˇr´ı zlomkov´a ˇca´ra dˇel´ıc´ı ˇc´ıslo (zlomek) na ˇcitatel a jmenovatel. Podobn´ y z´apis pouˇz´ıvali uˇz starovˇec´ı Egypt’an´e, jen m´ısto ˇc´ary pouˇz´ıvali symbol u ´st. R˚ uzn´ ymi zp˚ usoby se znaˇcila ˇc´ısla z´aporn´a – kter´a byla (mimo Evropu) tak´e zn´ama uˇz ˇ ıˇ ve starovˇeku. C´ nan´e pouˇz´ıvali pro odliˇsen´ı z´aporn´ ych ˇc´ısel ˇcerven´ y inkoust, Indov´e psali z´aporn´a ˇc´ısla do kruhu a Arabov´e pouˇz´ıvali teˇcku nad ˇc´ıslem.
8
2.12
ˇ ıseln´ C´ e soustavy a jejich z´ aklady
O ˇc´ıseln´ ych soustav´ach jsem se zm´ınil uˇz v ˇca´sti o pojmenov´an´ı ˇc´ısel. Tam jsem pouˇz´ıval pojmenov´an´ı odvozen´e do ˇc´ısel – dvojkov´a, osmiˇckov´a, des´ıtkov´a, dvan´actkov´a, ˇsedes´atkov´a,... Tato pojmenov´an´ı se vztahuj´ı k takzvan´emu z´akladu soustavy. U poziˇcn´ıch soustav se d´a z´aklad jednoduˇse charakterizovat jako poˇcet ˇc´ıslic nebo poˇcet ˇc´ıslic plus jedna (podle toho, jestli mezi dan´e ˇc´ıslic patˇr´ı i nula). Sloˇzitˇe ˇreˇcen´e si ilustrujme jednoduch´ ym pˇr´ıkladem – arabsk´e ˇc´ıslice tvoˇr´ı soustavu des´ıtkovou, podobnˇe jako ˇc´ınsk´ y poziˇcn´ı z´apis. Arabsk´ ych ˇc´ıslic je deset - {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ˇc´ınsk´ ych devˇet - {|, ||, |||, ||||, >, . . . } (tedy v jedn´e sadˇe). O nˇeco v´ yˇse jsem popsal jak se d´a ˇc´ıslo 5 662 v des´ıtkov´e soustavˇe (zapsan´e ˇc´ınsk´ ymi ˇci arabsk´ ymi ˇc´ıslicemi) rozepsat takto: 5 662 = 5 · 1000 + 6 · 100 + 6 · 10 + 2 = 5 · 103 + 6 · 102 + 6 · 101 + 2 · 100 , tedy na souˇcet (celoˇc´ıseln´ ych) mocnin deseti vyn´asoben´ ych jednocifern´ ymi ˇc´ısly. To, ˇze jde o mocniny pr´avˇe deseti samozˇrejmˇe nen´ı n´ahoda. Mayov´e pouˇz´ıvali soustavu dvac´ıtkovou, z´apis 5 662 by tedy ch´apali jako 42 522. 5 · 203 + 6 · 202 + 6 · 20 + 2 = 42 522 Sumerov´e by tent´ yˇz z´apis ch´apali dokonce jako 1 101 962. 5 · 603 + 6 · 602 + 6 · 60 + 2 = 1 101 962 V osmiˇckov´e soustavˇe by to dˇelalo 2 994. 5 · 83 + 6 · 82 + 6 · 8 + 2 = 2 994 Ve dvojkov´e soustavˇe by z´apis 5 662 nemˇel smysl, protoˇze ta je tvoˇrena pouze ˇc´ıslicemi 0 a 1. To by snad staˇcilo k pochopen´ı poziˇcn´ıch(!) soustav s r˚ uzn´ ymi z´aklady, z´aroveˇ n jsem pˇredvedl jak se d´a ˇc´ıslo zapsan´e v libovoln´e soustavˇe pˇrepoˇc´ıtat do soustavy des´ıtkov´e. Co kdyˇz bych ale mˇel ˇc´ıslo zapsan´e v soustavˇe des´ıtkov´e a chtˇel bych ho zapsat v soustavˇe o jin´em z´akladu? Ukaˇzme si to na pˇrevodu ˇc´ısla 5 662 do dvojkov´e soustavy. Budeme naˇse
9
ˇc´ıslo opakovanˇe dˇelit se zbytkem(!) z´akladem poˇzadovan´e soustavy aˇz dojdeme k nule: 5 662 : 2 = 2 831 2 831 : 2 = 1 415 1 415 : 2 = 707 707 : 2 = 353 353 : 2 = 176 176 : 2 = 88 88 : 2 = 44 44 : 2 = 22 22 : 2 = 11 11 : 2 = 5 5:2=2 2:2=1 1:2=0
(0) (1) (1) (1) (1) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (0) (1)
Zbytky ˇcten´e odspodu pak tvoˇr´ı hledan´ y dvojkov´ y z´apis, tedy 1 011 000 011 110. Kratˇs´ı z´apis bychom mˇeli v soustavˇe ˇsestn´actkov´e. 5 662 : 16 = 353 (14) 353 : 16 = 22 (1) 22 : 16 = 1 (6) 1 : 16 = 0 (1) Vyˇsel n´am zbytek 14, to nevypad´a jako ˇc´ıslice – v ˇsestn´actkov´e soustavˇe to vˇsak ˇc´ıslice je. Ale aby se nepletla s ˇc´ıslicemi jedna a ˇctyˇri zapisuje jako E (A=10, B=11,...). Naˇse pokusn´e ˇc´ıslo by se tedy v ˇsestn´actkov´e soustavˇe zapsalo jako 1 61E. Ukaˇzme si jeˇstˇe pˇrevod naˇseho pokusn´eho ˇc´ısla do osmiˇckov´e soustavy a z´aroveˇ n si na nˇem ’ demonstrujme princip tohoto postupu. Ted pˇreskoˇc´ım aˇz na konec a prozrad´ım v´ ysledek – 13 036, a plat´ı tedy 5 662 = 84 + 3 · 83 + 3 · 8 + 6. Dˇelme nyn´ı rozepsan´e ˇc´ıslo stejnˇe jako u pˇredchoz´ıch pˇrevod˚ u. (84 + 3 · 83 + 3 · 8 + 6) : 8 = 83 + 3 · 82 + 3(6) (83 + 3 · 82 + 3) : 8 = 82 + 3 · 8(3) (82 + 3 · 8) : 8 = 8 + 3(0) (8 + 3) : 8 = 1(3) 1 : 8 = 0(1) Vid´ıme, ˇze jednotliv´e ˇra´dy postupn´ ym dˇelen´ım zdegeneruj´ı na ˇc´ısla menˇs´ı neˇz z´aklad, tedy vlastnˇe ˇc´ıslice dan´e soustavy (nebo jednocifern´a ˇc´ısla v dan´e soustavˇe). A ty se v dalˇs´ım 10
kroku objev´ı ve zbytku po dˇelen´ı. Zb´ yv´a zodpovˇedˇet ot´azku – proˇc je pˇrevod do des´ıtkov´e soustavy podstatnˇe jednoduˇsˇs´ı neˇz pˇrevod z n´ı. Odpovˇed’ je jednoduch´a – vˇsechny v´ ypoˇcty totiˇz prov´ad´ıme pr´avˇe v des´ıtkov´e soustavˇe. Zkuste si poˇc´ıtat v jin´e soustavˇe: je-li 33 = 33 kolik je pak 6 · 7? (V´ ysledek je 52, z´aklad soustavy v´am ale neprozrad´ım.) Na dvojkov´e soustavˇe je zaloˇzeno i toto kouzlo. Dobrovoln´ık si mysl´ı libovoln´e ˇc´ıslo od jedn´e do ˇsedes´ati tˇr´ı a uk´aˇze vˇsechny n´asleduj´ıc´ı tabulky, ve kter´ ych se myˇslen´e ˇc´ıslo nach´az´ı. Kouzeln´ık seˇcte prvn´ı ˇc´ısla (tj. ˇc´ısla v lev´ ych horn´ıch roz´ıch) v oznaˇcen´ ych tabulk´ach a z´ısk´a tak myˇslen´e ˇc´ıslo. 1 3 5 7 9 17 19 21 23 25 33 35 37 39 41 49 51 53 55 57
11 27 43 59
13 29 45 61
15 31 47 63
2 3 6 18 19 22 34 35 38 50 51 54
7 23 39 55
10 26 42 58
11 27 43 59
14 30 46 62
15 31 47 63
4 5 6 7 20 21 22 23 36 37 38 39 52 53 54 55
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
8 9 10 24 25 26 40 41 42 56 57 58
11 27 43 59
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
16 24 48 56
20 28 52 60
21 29 53 61
22 30 54 62
23 31 55 63
32 40 48 56
35 43 51 59
36 44 52 60
37 45 53 61
38 46 54 62
39 47 55 63
17 25 49 57
18 26 50 58
19 27 51 59
33 41 49 57
34 42 50 58
Prvn´ı ˇc´ısla v tabulk´ach jsou dvojkov´e ˇr´ady (2n ). A vˇsechna ˇc´ısla v pˇr´ısluˇsn´e tabulce ˇ obsahuj´ı ve sv´em dvojkov´em rozvoji pr´avˇe tento ˇra´d s nenulovou ˇc´ıslic´ı (jedniˇckou). Sedes´ at tˇri je nejvyˇsˇs´ı ˇsesticifern´e ˇc´ıslo ve dvojkov´e soustavˇe.
2.13
Z´ aklady nepoziˇ cn´ıch soustav
U nepoziˇcn´ıch soustav se vˇetˇsinou o z´akladu nemluv´ı – nem´a totiˇz ani zdaleka takov´ y v´ yznam jako u soustav poziˇcn´ıch. Nav´ıc mohou m´ıt nˇekter´e nepoziˇcn´ı soustavy z´aklad sm´ıˇsen´ y. Takovou soustavu tvoˇr´ı tˇreba ˇr´ımsk´e ˇc´ıslice – vyskytuje se tam dva z´aklady – hlavn´ı“ des´ıtka a vedlejˇs´ı“ pˇetka. Proˇc hlavn´ı a vedlejˇs´ı? Ryz´ı pˇetkov´e ˇra´dy jsou 5, 25, ” ” 125, . . . , zat´ımco ˇr´ımsk´e pˇetkov´e ˇr´ady jsou 5, 50 a 500. Egyptsk´e ˇc´ıslice a ploty“jsou pro zmˇenu soustavy o jedin´em z´akladu, a to konkr´etnˇe deset, ” resp. pˇet.
2.14
Vyuˇ zit´ı nedes´ıtkov´ ych soustav
Nejzn´amˇejˇs´ım je asi vyuˇzit´ı dvojkov´e soustavy v poˇc´ıtaˇcov´e technice. Dvojkov´a ˇc´ıslice (tedy nula nebo jedniˇcka) se naz´ yv´a bit, coˇz je zkratka z binar digit“ - tedy dvojkov´a ˇc´ıslice“. ” ” 11
Osm bit˚ u (neboli osmicifern´e dvojkov´e ˇc´ıslo) pak tvoˇr´ı jeden byte, coˇz doslova znamen´a slabika“. ” Jak uˇz jsem nˇekolikr´at zm´ınil obchodn´ıci doned´avna vyuˇz´ıvali dvan´actkovou soustavu – to protoˇze des´ıtka je dˇeliteln´a pouze dvojkou a pˇetkou (kromˇe jedniˇcky a sebe sama), zat´ımco tucet dvojkou, trojkou, ˇctyˇrkou a ˇsestkou. V informaˇcn´ıch technologi´ıch se d´ale vyuˇz´ıvaj´ı tˇreba osmiˇckov´a nebo ˇsestn´actkov´a soustava. ˇ Sestn´ actkov´a se vyuˇz´ıv´a i v klasifikaci barevn´ ych odst´ın˚ u – p˚ uvodnˇe pouze v html k´odu, ale protoˇze jde o objektivn´ı pojmenov´an´ı, rozˇs´ıˇrilo se i do dalˇs´ıch obor˚ u. Kaˇzd´ y odst´ın je specifikov´an ˇsestim´ıstn´ ym ˇsestn´actkov´ ym ˇc´ıslem, kde 000 000 znamen´a ˇcernou a FFF FFF b´ılou. Tento k´od popisuje celkem 167 − 1 = 268 435 455 odst´ın˚ u barev, ze kter´ ych si snad vybere kaˇzd´ y. A pamatujte: jsou 10 druhy lid´ı ve vesm´ıru – ti, kteˇr´ı znaj´ı dvojkovou soustavu a ti, kteˇr´ı ne.
3
ˇ ıseln´ C´ e tˇ r´ıdy • Z´akladn´ı “- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, I ⊂ R ” N - mnoˇzina vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel, Z - m. v. cel´ ych ˇc., Q - m. v. racion´aln´ıch ˇc., R - m. v. re´aln´ ych ˇc., I - m. v. ryze imagin´arn´ıch ˇc., C - m. v. komplexn´ıch ˇc. • Doplˇ nkov´e“ - Q, C \ Q, J ⊂ R \ Q ” Q - m. v. algebraick´ ych ˇc., C \ Q - m. v. transcendentn´ıch ˇc., J - m. v. iracion´aln´ıch ˇc. • Zbytkov´e tˇr´ıdy modulo m - Zm
Podrobnˇeji o jednotliv´ ych tˇr´ıd´ach a jejich prvc´ıch v n´asleduj´ıc´ıch ˇc´astech.
4
Pˇ rirozen´ aˇ c´ısla a prvoˇ c´ısla
Definice mnoˇziny vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel nen´ı u ´plnˇe jednoznaˇcn´a. Historicky by ji mˇela tvoˇrit cel´a kladn´a ˇc´ısla, tedy ˇc´ısla 1, 2, 3, . . . Ale pˇri nˇekter´ ych matematick´ ych interpretac´ıch je v´ yhodnˇejˇs´ı pˇridat do t´eto mnoˇziny i nulu – napˇr´ıklad pokud pˇrirozen´a ˇc´ısla ˇ ch´apeme jako poˇcty prvk˚ u (koneˇcn´ ych) mnoˇzin. V Cesku se obvykle d´av´a pˇrednost his” torick´e“ variantˇe, v USA naopak t´e matematick´e“. ” Od nejednoznaˇcn´e definice se odv´ıj´ı i r˚ uzn´a oznaˇcen´ı. N0 N N∗
m. v. pˇrir. ˇc. m. v. pˇrir. ˇc. m. v. pˇrir. ˇc.
vˇcetnˇe nuly at’ s nulou nebo bez bez nuly
12
V souladu s ˇcesk´ ymi matematick´ ymi zvyklostmi nebudeme nulu ˇradit mezi pˇrirozen´a ˇc´ısla, pokud nebude ˇreˇceno jinak.
4.1
Fermatova vˇ eta
Roku 1637 si francouzsk´ y pr´avn´ık a amat´ersk´ y(!) matematik Pierre de Fermat poznamenal na okraj aritmetick´eho spisu toto tvrzen´ı: ˇza´dn´a tˇri pˇrirozen´a ˇc´ısla a, b, c nesplˇ nuj´ı rovnici 2 2 2 a + b = c pro libovoln´e pˇrirozen´e n > 2 a ˇze okraj pap´ıru je pˇr´ıliˇs mal´ y na to, aby se mu tam veˇsel d˚ ukaz. Pak na vˇse patrnˇe zapomnˇel, protoˇze d˚ ukaz nedodal ani pozdˇeji a pˇripravil tak mnoho bezesn´ ych noc´ı mnoha generac´ım matematik˚ u. Fermatovu vˇetu dok´azal aˇz o 358 let pozdˇeji (tj. roku 1995) Andrew Wiles na z´akladˇe v´ ysledk˚ u nem´ala pˇredch˚ udc˚ u a pomocn´ık˚ u a d˚ ukaz se rozhodnˇe neveˇsel na okraj pap´ıru ˇza´dn´eho zn´am´eho form´atu. Jedna ot´azka vˇsak z˚ ust´av´a – znal Fermat d˚ ukaz sv´eho tvrzen´ı?
4.2
Velk´ aˇ c´ısla
Dnes se bˇeˇznˇe (ve finanˇcnictv´ı) poˇc´ıt´a s mili´ony, miliardami a dokonce i bili´ony. Mohlo by se zd´at, ˇze to jsou mezin´arodn´ı slova, ale v americk´e angliˇctinˇe (a bohuˇzel to pronik´a i do britsk´e) ˇza´dn´ y term´ın jako milliard“ neexistuje. Poˇc´ıt´a se takto – million, billion, ” trillion, . . . To je uk´azka nepochopen´ı syst´emu pojmenov´an´ı vysok´ ych ˇc´ıslovek. Pod´ıvejme se na to: mili´on miliarda bili´on biliarda trili´on kvadrili´on centili´on
106 109 = 106+3 1012 = 102·6 1015 = 102·6+3 1018 = 103·6 1024 = 104·6 10600 = 10100·6
Pˇredpona bi-“ znaˇc´ı dva, tedy logicky znaˇc´ı dvojn´asobn´ y exponent (neboli dvojn´asobn´ y ” ˇ poˇcet nul). Podobnˇe pˇredpona tri-“ znamen´a trojn´asobek, . . . C´ıslovky konˇc´ıc´ı na -liarda“ ” ” pak pˇredstavuj´ı pˇrechodn´e ˇr´ady. Tento syst´em je podstatnˇe logiˇctˇejˇs´ı neˇz ten americk´ y. Miliarda je, nicm´enˇe, nepˇredstavitelnˇe vysok´e ˇc´ıslo. Pro ilustraci miliarda korunov´ ych minc´ı naskl´adan´a na sebe by vytvoˇrila vˇeˇz vysokou asi 1850 kilometr˚ u(!), sahala by tedy aˇz do exosf´ery. Dopravn´ı letadla bˇeˇznˇe nel´etaj´ı v´ yˇs neˇz v 15 kilometrech. Naskl´ad´any vedle sebe (naplocho) by pak vytvoˇrily ˇretˇez d´elky 20 000 kilometr˚ u to je necel´a polovina d´elky rovn´ıku. Spotˇrebovalo by se na nˇe 3 600 tun kovu. Ale existuj´ı i podstatnˇe vˇetˇs´ı ˇc´ısla – traduje se, ˇze ˇsachy vynalezl jist´ y Quaflan na ˇza´dost kr´ale Balhaita – za odmˇenu mu kr´al sl´ıbil vyplnit kaˇzd´e pˇra´n´ı. Quaflan mˇel jen jedin´e – na prvn´ı pole ˇsachovnice jedno zrnko obil´ı, na druh´e pole dvˇe, a na kaˇzd´e dalˇs´ı vˇzdy dvojn´asobek toho, co na pˇredchoz´ı. Kr´al jeho pˇra´n´ı p˚ uvodnˇe povaˇzoval za skromn´e. Ve skuteˇcnosti to ale je celkem 36 893 488 147 419 103 231 (tˇricet ˇsest trili´on˚ u osm set devades´at tˇri biliard ˇctyˇri sta osmdes´at osm bili´on˚ u sto ˇctyˇricet sedm miliard ˇctyˇri sta devaten´act 13
mili´on˚ u sto tˇri tis´ıc dvˇe stˇe tˇricet jedna) zrnek obil´ı. Pˇri v´aze 43 gram˚ u na tis´ıc zrnek to je asi 1 586 419 990 339 (jeden a p˚ ul bili´onu a nˇejak´e drobn´e“) tun obil´ı. Souˇcasn´a ” svˇetov´a produkce pˇsenice se pohybuje mezi ˇsesti sty a sedmi sty mili´ony tun roˇcnˇe. I kdyˇz seˇctu produkci vˇsech druh˚ u obilnin (vˇcetnˇe kukuˇrice a r´ yˇze) trouf´am si tvrdit, ˇze takov´e mnoˇzstv´ı obil´ı, jak´e si pˇr´al Quaflan, jeˇstˇe lidstvo nevypˇestovalo. Pˇredchoz´ı historka n´am demonstruje rychlost exponenci´aln´ıho r˚ ustu, ale existuje funkce (posloupnost), kter´a nar˚ ust´a jeˇstˇe rychleji – faktori´al. V jednom bal´ıˇcku ˇzol´ıkov´ ych karet je celkem 52 list˚ u (bez ˇzol´ık˚ u), poˇcet vˇsech moˇzn´ ych kombinac´ı je 52! (pades´at dva faktori´al, tj. 52 · 51 · 50 · . . . · 1), coˇz je nˇeco m´alo“ pˇres 8 · 1067 (naz´ yvalo by se to asi osmdes´at undeci” nebo undekali´on˚ u). Kdyby B˚ uh (nebo kdokoliv jin´ y) nam´ıchal kaˇzdou sekundu od velk´eho tˇresku jinou kombinaci (pˇresnˇeji permutaci) nebyl by dnes ani v oktili´ontinˇe (vlastnˇe by sotva zaˇcal) – tedy pokud velk´ y tˇresk nastal pˇred 13,7 miliardami let a ne MNOHEM, ALE MNOHEM dˇr´ıv.
4.3
Magick´ a a mystick´ aˇ c´ısla
V t´eto ˇca´sti se vlastnˇe budeme zab´ yvat numerologi´ı – nebo alespoˇ n nˇeˇc´ım podobn´ ym. ˇ Poˇc´atky t´eto (pa)vˇedy m˚ uˇzeme nal´ezt v antick´em Recku a zejm´ena mezi ˇza´ky slavn´eho Pythagora. Historik Pl´ utarchos p´ıˇse: Pythagorejci maj´ı hr˚ uzu z ˇc´ısla 17, nebot’ to leˇz´ı ” pr´avˇe mezi 16 (coˇz je ˇctverec 4 · 4) a 18 (coˇz je dvojn´asobek ˇctverce 3 · 3).“ A jestli se jeˇstˇe neboj´ıte, tak jistˇe budete aˇz si uvˇedom´ıte, ˇze ˇc´ısla 16 a 18 jsou jedin´a ˇc´ısla, pˇredstavuj´ıc´ı obsahy a z´aroveˇ n obvody stejn´ ych obd´eln´ık˚ u (respektive ˇctverce 4 × 4 a obd´eln´ıka 3 × 6). Jedn´ım z druh˚ u magick´ ych ˇc´ısel jsou takzvan´a ˇc´ısla dokonal´a– to jsou ˇc´ısla, kter´a se rovnaj´ı souˇctu vˇsech sv´ ych dˇelitel˚ u (kromˇe sebe sama samozˇrejmˇe). Nejmenˇs´ım z nich je ˇsestka: 6 = 1 + 2 + 3. Druh´ ym je 28. Pak prudce nar˚ ustaj´ı – ˇsestn´act´e uˇz m´a 1 326 ˇc´ıslic (a trumfne tak i nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo z pˇredchoz´ı ˇca´sti). Podobn´a dokonal´ ym ˇc´ısl˚ um jsou ˇc´ısla pˇra´telsk´a – jsou to vˇzdy dvojice ˇc´ısel, kter´a se navz´ajem rovnaj´ı sv´ ym dˇelitel˚ um, jednomu z nich se pak ˇr´ık´a deficitn´ı a druh´emu pˇrebytkov´e. Deficitn´ı ˇc´ıslo je to, jehoˇz souˇcet dˇelitel˚ u je menˇs´ı neˇz ono samo (a ten je roven ˇc´ıslu pˇrebytkov´emu) a naopak. Nejmenˇs´ımi pˇra´telsk´ ymi ˇc´ısly jsou 220 a 284 – z nichˇz 220 je pˇrebytkov´e a 284 deficitn´ı. Zaj´ımav´ ym ˇc´ıslem je tˇreba 142 857 – n´asobte ho dvojkou aˇz ˇsestkou. Dostanete ˇc´ısla sloˇzen´a ze st´ale stejn´ ych ˇc´ıslic (tj. ˇc´ıslic 1, 2, 4, 5, 7 a 8). Pˇri vyn´asoben´ı 7 dostanete 999 999, coˇz by v´as mˇelo pˇriv´est k tomu, ˇze se jedn´a o periodu jedn´e sedminy. ˇ ıslo 102 564 se d´a velmi snadno vyn´asobit ˇctyˇrmi – staˇc´ı pˇrehodit ˇctyˇrku z konce na C´ zaˇc´atek. Jak bychom naˇsli podobn´e ˇc´ıslo pro n´asoben´ı trojkou? Konˇc´ı trojkou, pˇredchoz´ı ˇc´ıslice je 3 · 3 = 9, pˇredchoz´ı je sedm (3 · 9 = 27), dalˇs´ı ˇc´ıslici mus´ıme zvˇetˇsit o dvˇe . . . V´ ysledek je krapet delˇs´ı – 1 034 482 758 620 689 655 172 413 793. Mimochodem je to perioda ˇc´ısla 3/29. Obecnˇe takov´ato ˇc´ısla pro jednocifern´a n dostaneme jako periodu ˇc´ısla n/(10n − 1). Mezi magick´a ˇc´ısla urˇcitˇe patˇr´ı i ˇctverce – tedy druh´e mocniny nebo takzvan´a ˇc´ısla pyramid´aln´ı. Jde o ˇc´ısla vyjadˇruj´ıc´ı poˇcet koul´ı tvoˇr´ıc´ıch pyramidu – 1, 5, 14, . . . Kaˇzd´e patro pyramidy je vlastnˇe tvoˇreno ˇctvercem, jde tedy o souˇcty po sobˇe jdouc´ıch ˇctverc˚ u. Jedno 14
ˇc´ıslo je ale z´aroveˇ n ˇctvercov´e i pyramid´aln´ı – ˇc´ıslo 4 900. A je opravdu jedin´e. Tuto ˇca´st uzavˇreme mal´ ym pˇrehledem mystick´ ych v´ yznam˚ u ˇc´ısel. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
boˇzsk´e, nejsvˇetˇejˇs´ı ˇc´ıslo; symbol jednoty ˇzensk´ y princip muˇzsk´ y princip, trojjedinost, otec-matka-d´ıtˇe, minulost-pˇr´ıtomnost-souˇcasnost poˇcet ˇzivl˚ u, v Japonsku ˇc´ıslo smrti (stejn´ y v´ yraz pro 4 i smrt) symbol soustˇredˇen´e s´ıly, pentagram, hlava-ruce-nohy, a dnes i Pentagon hexagram – Davidova hvˇezda, ˇsest ve starovˇeku zn´am´ ych planet u ´plnost, dokonalost – divy svˇeta, barvy duhy, smrteln´e hˇr´ıchy, trpasl´ıci,. . . dva kruhy ˇ 3 × 3, v antick´em Recku poˇcet mˇes´ıc˚ u, v Japonsku opˇet neˇstˇest´ı 1+2+3+4, souˇcet Pythagorov´ ych v´ yznamn´ ych ˇc´ısel, Desatero symbol hˇr´ıchu – o jedna v´ıc neˇz Desatero, nebo naopak jeden´act´e pˇrik´az´an´ı ˇst’astn´e ˇc´ıslo, apoˇstolov´e, zvˇerokruh, kmeny Izraele, tucet nejob´avanˇejˇs´ı neˇst’astn´e ˇc´ıslo; poˇcet osob pˇri posledn´ı veˇceˇri; v babylonsk´em kalend´aˇri byl tento mˇes´ıc ve znamen´ı havrana; tˇrin´act´ y tarot je smrt; ˇc´ıslo 666 je ve tˇrin´act´e kapitole Janova zjeven´ı; triskaidekafobie je chorobn´ y strach z tˇrin´actky; v Britsk´ ych a Americk´ ych hotelech nenajdete pokoje ˇci dokonce patra s ˇc´ıslem tˇrin´act; p´atek tˇrin´act´eho, tˇrin´act´ y den v mˇes´ıci pˇripad´a nejˇcastˇeji pr´avˇe na p´atek, a dokonce i tato pˇredn´aˇska se konala v p´atek tˇrin´act´eho; naopak ˇst’astn´ ym ˇc´ıslem je v kabale, ve staroegyptsk´em a maysk´em n´aboˇzenstv´ı 17 neˇst’astn´e ˇc´ıslo, zejm´ena v It´alii, Renault 17 se tam prod´aval jako 117 – asi tam je mnoho Pythagorov´ ych obdivovatel˚ u 108 svat´e ˇc´ıslo buddhismu 666 ˇc´ıslo ˇselmy, satana, zla – podle Kabalsk´e numerologie mu odpov´ıd´a jm´eno Nero
4.4
Prvoˇ c´ısla
Prvoˇc´ısla asi nemus´ım nijak s´ahodlouze pˇredstavovat – jsou to pˇrirozen´a ˇc´ısla kromˇe jedniˇcky, kter´a jsou dˇeliteln´a pouze jedniˇckou a sama sebou. Zbyl´a pˇrirozen´a ˇc´ısla (opˇet kromˇe jedniˇcky) pak naz´ yv´ame ˇc´ısly sloˇzen´ ymi. Prvoˇc´ısla jsou nepochybnˇe nejzaj´ımavˇejˇs´ı a nejz´ahadnˇejˇs´ı mnoˇzinou pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Z´ahadou je uˇz jej´ı obsah – kter´a ˇc´ısla jsou prvoˇc´ısly a kter´a ne? Jak´ y je obecn´ y pˇredpis pro prvoˇc´ısla? Existuje v˚ ubec nˇejak´ y? Snadno m˚ uˇzeme odhalit mal´a prvoˇc´ısla – pomoc´ı takzvan´eho Eratosth´enova s´ıta. To je algoritmus (postup), kter´ y spoˇc´ıv´a v postupn´em pros´ev´an´ı“ ˇc´ısel od dvojky do dan´e meze. V prvn´ım kroku odstran´ıme (prosejeme) vˇsechny ” n´asobky nejmenˇs´ıho prvoˇc´ısla – dvojky. V druh´em kroku odstran´ıme vˇsechny n´asobky n´asleduj´ıc´ıho prvoˇc´ısla – trojky. Ve tˇret´ım kroku odstraˇ nujeme n´asobky pˇetky, protoˇze ˇctyˇrku jsme odstranili uˇz v prvn´ım kroku, . . . Jakmile se dostaneme k prvoˇc´ıslu, kter´e je vˇetˇs´ı neˇz odmocnina z dan´e meze m˚ uˇzeme uˇz vˇsechna zbyl´a ˇc´ısla prohl´asit za prvoˇc´ısla. Eratosth´enovo s´ıto si m˚ uˇzete snadno vyzkouˇset na http://www.hbmeyer.de/eratosiv.htm. 15
Podobnˇe m˚ uˇzeme zjistit, zda je nˇekter´e ˇc´ıslo prvoˇc´ıslem – zkouˇs´ıme dˇelitelnost ˇc´ısly od dvojky do odmocniny ze zkouman´eho ˇc´ısla. Kdyˇz nen´ı dˇeliteln´e niˇc´ım, je to prvoˇc´ıslo. Britsk´ y matematik Godfrey Harold Hardy vypoˇc´ıtal, ˇze prvoˇc´ısel menˇs´ıch neˇz miliarda je 50 847 478. Souˇcasnˇe nejvˇetˇs´ım zn´am´ ym prvoˇc´ıslem je 243 112 609 − 1, m´a 12 978 189 ˇc´ıslic a bylo objeveno roku 2008. Co ale o prvoˇc´ıslech v´ıme je, ˇze jich je nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı. D˚ ukaz je snadn´ y a proto ho i uvedu: mˇejme libovolnou koneˇcnou mnoˇzinu prvoˇc´ısel P0 – vyn´asobme vˇsechny jej´ı prvky a pˇriˇctˇeme jedna. V´ ysledek je dˇeliteln´ y vˇsemi prvoˇc´ısly z P0 se zbytkem jedna, tedy ’ nedˇeliteln´ y. Jedn´a se tak bud o prvoˇc´ıslo nebo o souˇcin prvoˇc´ısel, kter´a nepatˇr´ı do P0 . Ke kaˇzd´e koneˇcn´e mnoˇzinˇe prvoˇc´ısel tak m˚ uˇzeme nal´ezt dalˇs´ı (alespoˇ n jedno) prvoˇc´ıslo. – Tento d˚ ukaz popsal uˇz Eukleides. Tvrzen´ı o nekoneˇcn´em mnoˇzstv´ı prvoˇc´ısel se tak nˇekdy uv´ad´ı jako Eukleidova vˇeta. Jistou prvoˇc´ıselnou zaj´ımavost popsal Pierre Fermat – kaˇzd´e prvoˇc´ıslo, kter´e lze zapsat jako 4n + 1 (kde n ∈ N) je souˇctem dvou ˇctverc˚ u. Zaj´ımav´a posloupnost prvoˇc´ısel zaˇc´ın´a ˇc´ıslem 41. Postupnˇe pˇriˇc´ıtejte sud´a ˇc´ısla. Dostanete posloupnost ˇctyˇriceti prvoˇc´ısel. Posledn´ım je 1601.
4.5
Typy prvoˇ c´ısel
Podle urˇcit´ ych vlastnost´ı (a pˇredevˇs´ım podle formy z´apisu) rozliˇsujeme mnoho typ˚ u prvoˇc´ısel. Uvedu ty nejzaj´ımavˇejˇs´ı. Z´akladn´ım typem jsou prvoˇc´ıseln´a dvojˇcata – dvojice prvoˇc´ısel liˇs´ıc´ıch se o dvˇe. Napˇr´ıklad: 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13, 17 a 19, . . . , 2 591 a 2 593, . . . Nejvˇetˇs´ımi dosud objeven´ ymi 333 333 prvoˇc´ıseln´ ymi dvojˇcaty jsou65 516 458 355 · 2 ± 1 o 100 355 ˇc´ıslic´ıch, objevena byla letos, tedy v roce 2009. Je nevyˇreˇsenou z´ahadou, kolik dvojˇcat vlastnˇe existuje. Hypot´eza tvrd´ı, ˇze jich je nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı. Mersennova prvoˇc´ısla jsou ta, kter´a se daj´ı zapsat ve tvaru 2p − 1, kde p je prvoˇc´ıslo. Jejich hlavn´ı v´ yhoda spoˇc´ıv´a v pomˇernˇe rychl´em algoritmu provˇeˇrov´an´ı jejich prvoˇc´ıselnosti“. ” Uveden´e nejvˇetˇs´ı prvoˇc´ıslo je tak´e Mersennovo. n Jako Fermatova jsou zn´ama ta prvoˇc´ısla, kter´a se daj´ı zapsat ve tvaru 22 + 1. Je zn´amo pouze pˇet Fermatov´ ych prvoˇc´ısel – 3, 5, 17, 257 a 65 537, tedy pro n = 0, . . . , 4. V´ı se, ˇze pron = 5, . . . 32 se jedn´a o sloˇzen´a ˇc´ısla. V´ yznam Fermatov´ ych prvoˇc´ısel tkv´ı v moˇznosti a nemoˇznosti zkonstruovat pravideln´ y m-´ uheln´ık (pouze prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem). Nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou je, aby m, bylo vyj´adˇriteln´e jako souˇcin mocniny dvojky (vˇcetnˇe prvn´ı a nult´e) a libovoln´eho poˇctu r˚ uzn´ ych Fermatov´ ych prvoˇc´ısel. Je tedy moˇzn´e zkonstruovat pravideln´e mnoho´ uheln´ıky o 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, . . . vrcholech, zat´ımco pravideln´ y sedmi- nebo dev´ıti´ uheln´ık zkonstruovat moˇzn´e nen´ı. Po Sophii Germainov´e se jmenuj´ı ta prvoˇc´ısla, jejichˇz dvojn´asobek zvˇetˇsen´ y o jedna je tak´e prvoˇc´ıslo. Napˇr´ıklad: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, . . . Nejvˇetˇs´ım dosud objeven´ ym Germainov´e prvoˇc´ıslem je u ´dajnˇe 620 366 307 356 565·2253 824 o 76 424 ˇc´ıslic´ıch. Objeveno bylo v listopadu tohoto roku (!) t´ ymem mad’arsk´ ych matematik˚ u. Podobnˇe jako u prvoˇc´ıseln´ ych dvojˇcat je nevyˇreˇsenou ot´azkou, zda je Germainov´e prvoˇc´ısel nekoneˇcnˇe mnoho. Dalˇs´ım zaj´ımav´ ym typem prvoˇc´ısel jsou faktori´aln´ı a primori´aln´ı. Tedy prvoˇc´ısla tvar˚ u 16
n! ± 1, p# ± 1, kde # znaˇc´ı primori´al – prvoˇc´ıseln´ y faktori´al, n pˇrirozen´e ˇc. a p prvoˇc´ıslo. Tato prvoˇc´ısla nejsou ani tak zaj´ımav´a jako sp´ıˇse fakt, ˇze ˇc´ısla n! + 2, . . . , n! + n a p# + 2, . . . , p# + q − 1, kde q je prvoˇc´ıslo bezprostˇrednˇe n´asleduj´ıc´ı po p, jsou sloˇzen´a. Pro zaj´ımavost zmiˇ nme jeˇstˇe sexy prvoˇc´ısla – jde opˇet o prvoˇc´ıseln´e dvojice, tentokr´at liˇs´ıc´ı se o ˇsest. Napˇr´ıklad: 5 a 11, 7 a 13, 11 a 17, . . . , 191 a 197, . . .
4.6
Goldbachova hypot´ eza
Roku 1742 napsal prusk´ y matematik Christian Goldbach sv´emu slavnˇejˇs´ımu pˇr´ıteli Leonhardu Eulerovi tuto hypot´ezu: Kaˇzd´e sud´e (pˇrirozen´e) ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz dvˇe m˚ uˇze b´ yt zaps´ano jako souˇcet dvou prvoˇc´ısel.“ ” Euler mu obratem odepsal ekvivalentn´ı tvrzen´ı: Kaˇzd´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz pˇet m˚ uˇze b´ yt zaps´ano jako souˇcet tˇr´ı prvoˇc´ısel.“ ” Tato tvrzen´ı nebyla dosud dok´az´ana (ani vyvr´acena), pˇrestoˇze jsou patrnˇe pravdiv´a. Proto se o nich mluv´ı jako o Goldbachovˇe hypot´eze.
5
Racion´ aln´ı ˇ c´ısla
Jak vˇsichni dobˇre v´ıme, jde o ˇc´ısla, kter´a lze vyj´adˇrit jako zlomky tvaru: p ; p ∈ Z, q ∈ N. q Tady se n´am hod´ı to, ˇze nula do N nepatˇr´ı. Pokud bychom chtˇeli racion´aln´ı ˇc´ısla vyj´adˇrit v desetinn´em tvaru, mˇely koneˇcn´ y, nebo periodick´ y rozvoj. Ukaˇzme si tedy jak pˇrev´est periodick´e ˇc´ıslo na zlomek. Vezmˇeme si tˇreba x = 0, 09. Vyn´asobme stem a odeˇctˇeme p˚ uvodn´ı ˇc´ıslo: 9, 09 − 0, 09 = 9. Dostali jsme tak: 100x − x = 99x = 9, odkud uˇz snadno vyj´adˇr´ıme: 9 1 = . 99 11 Ukaˇzme si jeˇstˇe jak se vypoˇra´dat s pˇredperiodou tˇreba na x = 0, 16: x=
9 1 = . 15 6 Racion´aln´ı ˇc´ısla uzavˇreme tvrzen´ım, ˇze v kaˇzd´em re´aln´em intervalu leˇz´ı alespoˇ n jedno racion´aln´ı ˇc´ıslo a o Q se tak ˇr´ık´a, ˇze je hust´a v R. 16, 6 − 1, 6 = 15 ⇒ 100x − 10x = 90x = 15 ⇒ x =
17
6
Re´ aln´ aˇ c´ısla
Po dlouhou dobu byla (alespoˇ n v Evropˇe) re´aln´a (resp. iracion´aln´ı) ˇc´ısla odm´ıt´ana. Starovˇec´ı a stˇredovˇec´ı matematici byli pˇresvˇedˇceni o tom, ˇze vˇsechna ˇc´ısla lze vyj´ rit zlomkem. √ adˇ √ Pˇritom mnoho iracion´aln´ıch ˇc´ısel znali (a zlomkem je vyj´adˇrit neumˇeli) - 2, 3, π, ϕ, . . . P´ısmenem ϕ se znaˇc´ı tzv. zlat´ y ˇrez.
6.1
Zlat´ yˇ rez
Rozdˇelme u ´seˇcku na dvˇe ˇc´asti d´elek a a b, tak aby se pomˇer tˇechto ˇca´sti rovnal pomˇeru vˇetˇs´ı z nich k cel´e u ´seˇcce. Tento pomˇer se znaˇc´ı ϕ na poˇcest antick´eho sochaˇre a architekta Feidia. a+b a = =ϕ b a Snadno m˚ uˇzeme spoˇc´ıst pˇresnou hodnotu t´eto konstanty. Z definice zlat´eho ˇrezu vypl´ yv´a, ˇze a = bϕ. Dosazen´ım do definice zlat´eho ˇrezu dost´av´ame: bϕ bϕ + b ϕ+1 = ⇒ ϕ= ⇒ ϕ2 − ϕ − 1 = 0 b bϕ ϕ To je ale ym ˇreˇsen´ım (z´aporn´e nem´a smysl) √ jednoduch´a kvadratick´a rovnice, jej´ımˇz kladn´ je (1 + 5)/2. Jak vidno jde opravdu o iracion´aln´ı ˇc´ıslo. Obd´eln´ık s pomˇery stran ve zlat´em ˇrezu a v˚ ubec vˇsechno, kde se nˇejak´ ym zp˚ usobem vyskytuje zlat´ y ˇrez, je v umˇen´ı povaˇzov´ano za ide´al kr´asy. Rozdˇel´ıme-li zlat´ y obd´eln´ık (m´a strany v pomˇeru zlat´eho ˇrezu) na ˇctverec a obd´eln´ık, tak obd´eln´ık bude opˇet zlat´ y.
Ke zlat´emu ˇrezu m˚ uˇzeme dospˇet tak´e z Fibonacciho posloupnosti – to je posloupnost zaˇc´ınaj´ıc´ı dvˇema jedniˇckami a jej´ıˇz kaˇzd´ y dalˇs´ı ˇclen je souˇctem dvou pˇredchoz´ıch. Prvn´ıch p´ar ˇclen˚ u vypad´a asi takto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . Posloupnost vytvoˇren´a z t´eto dˇelen´ım dvou soused´ıc´ıch ˇclen˚ u (vˇetˇs´ıho menˇs´ım): 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, . . . konverguje ke zlat´emu ˇrezu. Nˇekdy se zlat´ y ˇrez znaˇc´ı tak´e τ jako ˇrecky tome“ = ˇrez“. Tady pov´ıd´an´ı o zlat´em ˇrezu ” ” utnu, vydalo by to totiˇz na samostatnou pˇredn´aˇsku, pokud ne nˇekolikad´ılnou.
18
6.2
Algebraick´ a a transcendentn´ı ˇ c´ısla
Algebraick´a ˇc´ısla jsou ta, kter´a jsou ˇreˇsen´ım (koˇrenem) nˇekter´e z algebraick´ ych (neboli polynomi´aln´ıch) rovnic. To jsou rovnice tvaru: an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0;
n ∈ N, ai ∈ R
Pro n = 1, to tedy je line´arn´ı rovnice, pro n = 2 je to rovnice kvadratick´a (n naz´ yv´ame stupnˇem rovnice). Mezi algebraick´a ˇc´ısla patˇr´ı vˇsechna racion´aln´ı ˇc´ısla a vˇsechny jejich odmocniny. ˇ ısla, kter´a nejsou algebraick´a se naz´ C´ yvaj´ı transcendentn´ı. Patˇr´ı mezi nˇe tˇreba Ludolfovo ˇc´ıslo, Eulerovo ˇc´ıslo (2,718281828. . . , z´aklad pˇrirozen´eho logaritmu) a Liouvilleova konstanta. N´azev transcendentn´ı ˇc´ıslo pouˇzil poprv´e Leonhard Euler, s t´ım, ˇze tato ˇc´ısla jsou lidsk´ ym rozumem nepochopiteln´a. Liouvilleovo konstanta je desetinn´e ˇc´ıslo, kter´e m´a na prvn´ım, druh´em, ˇsest´em, . . . k-faktori´alt´em desetinn´em m´ıstˇe jedniˇcku (pro kaˇzd´e pˇrirozen´e k) a na zbyl´ ych nulu. Je to prvn´ı ˇc´ıslo, o kter´em se vˇedˇelo, ˇze je transcendentn´ı. D´a se zapsat tak´e takto: ∞ X
10k! = 0, 110 001 000 000 000 000 000 001 00 . . .
k=1
6.3
Ludolfovo ˇ c´ıslo
ˇ ıslo p´ı je nejstarˇs´ım zn´am´ C´ ym transcendentn´ım ˇc´ıslem. Nicm´enˇe, dlouho se vˇeˇrilo, ˇze je to ˇc´ıslo racion´aln´ı (protoˇze se vˇeˇrilo, ˇze ˇza´dn´a jin´a ˇc´ısla nejsou). Nejˇcastˇeji se jeho hodnota se aproximovala zlomkem 22/7 (pˇresnost na dvˇe desetinn´a m´ısta). V 5. stolet´ı n. l. objevil ˇc´ınsk´ y astronom Tsu Chung Chih, kr´asn´ y zlomek odpov´ıdaj´ıc´ı ˇc´ıslu p´ı na 6 desetinn´ ych m´ıst – 355/113. Ludolfov´ ym ˇc´ıslem se naz´ yv´a po nizozemsk´em matematiku Ludolfu van Ceulenovi, kter´ y jako prvn´ı vypoˇcetl ˇc´ıslo π na 35 desetinn´ ych m´ıst. Po jeho smrti v roce 1610 bylo toto ˇc´ıslo vytes´ano i na jeho n´ahrobn´ı k´amen. Uvedu zde jeˇstˇe mnemotechnickou pom˚ ucku – pom´ahaj´ıc´ı zapamatovat si prvn´ıch dvacet pˇet m´ıst Ludolfova ˇc´ısla: M´am, o´ boˇze, ´o dobr´ y pamatovat si takov´ y cifer ˇrad. Velk´ y slovutn´ y Archim´edes pom´ahej tr´apen´emu. Dej mu moc nazpamˇet’ necht’ odˇr´ık´a ty slavn´e, dnes ale tak protivn´e n´am, ach, ˇc´ıslice Ludolfovy! 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88...
19
7
Komplexn´ı ˇ c´ısla
Komplexn´ı ˇc´ısla jsou rozˇs´ıˇren´ım ˇc´ısel re´aln´ ych.√Vznikaj´ı zaveden´ım imagin´arn´ı jednotky, 2 kter´a se znaˇc´ı i. A plat´ı pro ni: i = 1 neboli i = −1 N´asoben´ım imagin´arn´ı jednotky re´aln´ ymi ˇc´ısly vznikaj´ı ˇc´ısla imagin´arn´ı. Komplexn´ı ˇc´ısla se pak reprezentuj´ı (mimo jin´e) jako souˇcet re´aln´eho a imagin´arn´ıho ˇc´ısla. Zat´ımco re´aln´a ˇc´ısla tvoˇr´ı pˇr´ımku – ˇc´ıselnou (re´alnou) osu, ˇc´ısla komplexn´ı tvoˇr´ı rovinu – naz´ yv´a se Gaussova komplexn´ı rovina.
7.1
Kde se vzala?
Uˇz persk´ y matematik Muhammad Al-Ch´orezm´ı (zn´am´ y tak´e jako Al-Chw´arizm´ı) si v dev´at´em stolet´ı vˇsiml, ˇze nˇekter´e kvadratick´e rovnice nemaj´ı ˇreˇsen´ı (tedy re´aln´e ˇreˇsen´ı). V ˇsestn´act´em stolet´ı italsk´ y matematik Girolamo Cardano navrhl odstranit tento probl´em zaveden´ım odmocniny ze z´aporn´ ych ˇc´ısel, kter´e roku 1637 Ren´e Descartes pojmenoval imagin´arn´ı. Matematick´a veˇrejnost tuto novinku vˇsak pˇrij´ımala tˇeˇzko – vˇzdyt’ v t´e dobˇe teprve v Evropˇe objevovali ˇc´ısla iracion´aln´ı. Imagin´arn´ı a komplexn´ı ˇc´ısla prosadily aˇz v´ ysledky matematik˚ u Leonharda Eulera, Augustina Louise Cauchyho a Carla Friedricha Gausse.
7.2
Operace s komplexn´ımi ˇ c´ısly
• Sˇc´ıt´an´ı: (a + ib) + (c + id) = a + c + i(b + d), hruˇsky s hruˇskami, jablka s jablky. • N´asoben´ı: (a + ib)(c + id) = ac + ibc + ida + i2 bd = ac − bd + i(bc + ad), jako dvojˇcleny. • Absolutn´ı hodnota: |a + ib| = sqrta2 + b2 . Obdobnˇe jako u re´aln´e abs. hodnoty jde o vzd´alenost od nuly. Dalˇs´ı operace jsou definov´any obdobnˇe. Zaj´ımav´e jsou r˚ uzn´e mocniny imagin´arn´ı jednotky: i3 = i · i2 = −i i4 = i2 · i2 = 1 i4n+k = |i4 · .{z . . · i}4 ·ik = ik =1
7.3
Vyuˇ zit´ı komplexn´ıch ˇ c´ısel
Prvn´ı a hlavn´ı v´ yhodou komplexn´ıch ˇc´ısel je takzvan´a Zlat´a vˇeta algebry: Kaˇzd´a algebraick´a rovnice stupnˇe alespoˇ n jedna s komplexn´ımi koeficienty m´a alespoˇ n ” jeden koˇren v mnoˇzinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel.“
20
Podle t´eto vˇety m´a i rovnice x2 + 1 = 0 ˇreˇsen´ı. Je to totiˇz algebraick´a rovnice druh´eho stupnˇe s re´aln´ ymi (a tedy komplexn´ımi) koeficienty. Jej´ı ˇreˇsen´ı je x1,2 = ±i. Z´aroveˇ n n´as toto tvrzen´ı opravˇ nuje rozˇs´ıˇrit definici algebraick´ ych (a transcendentn´ıch) ˇc´ısel i na ˇc´ısla komplexn´ı. Dalˇs´ı v´ yhodou je zjednoduˇsen´ı nˇekter´ ych v´ ypoˇct˚ u na mnoˇzinˇe re´aln´ ych ˇc´ısel rozˇs´ıˇren´ım probl´emu na komplexn´ı a n´asledn´ ym z´ uˇzen´ım v´ ysledku zpˇet na re´aln´a ˇc´ısla.
8
Zbytkov´ e tˇ r´ıdy
Spousta lid´ı m´a o vyˇsˇs´ı matematice zkreslen´e pˇredstavy. A tak se mˇe jednou kdosi zeptal, jestli je pravda, ˇze prvn´ı, co se na matfyzu uˇc´ı je, ˇze 1+1 = 3. Sice studuji pouze matematiku a ne matfyz, ale zat´ım jsem se s takov´ ymto pˇr´ıpadem nesetkal. Nicm´enˇe, uˇz jsme si uk´azali, ˇze je moˇzn´e, aby 1 + 1 = 10 (10 druhy lid´ı). Nyn´ı si uk´aˇzeme, ˇze m˚ uˇze platit i 1 + 1 = 0. A to na zbytkov´e tˇr´ıdˇe modulo dvˇe, kter´a se znaˇc´ı Z2 . Slovo modulo znaˇc´ı zbytek po dˇelen´ı (proto taky zbytkov´e tˇr´ıdy), jedn´a se tedy o mnoˇziny obsahuj´ıc´ı zbytky po dˇelen´ı. Tyto mnoˇziny samy o sobˇe nijak zvl´aˇst’ zaj´ımav´e nejsou. Co na nich ovˇsem zaj´ımav´e je to jsou aritmetick´e operace. Definujme je takto pro a, b, c ∈ Zm ⊂ N, k, l, m, n ∈ N: a + b = c ⇔ (mk + a) + (ml + b) = (mn + c) ab = c ⇔ (mk + a)(ml + b) = (mn + c). Neboli: je-li souˇcet dvou ˇc´ısel dˇeliteln´ ych ˇc´ıslem m se zbytky a a b dˇeliteln´ y t´ımt´eˇz ˇc´ıslem se zbytkem c, pak souˇcet zbytk˚ u a a b na zbytkov´e tˇr´ıdˇe Zm je roven zbytku c. Pro souˇcin obdobnˇe. Rozeberme si to na Z2 : • souˇcet dvou sud´ ych ˇc´ısel je sud´ y, tedy 0 + 0 = 0 • souˇcet lich´eho a sud´eho ˇc. je lich´ y - 1+0=1 • souˇcet sud´eho a lich´eho ˇc. je lich´ y - 0+1=1 • souˇcet dvou lich´ ych ˇc. je sud´ y - 1+1=0 • souˇcin dvou sud´ ych ˇc. je sud´ y - 0·0=0 • souˇcin lich´eho a sud´eho ˇc. je sud´ y - 0·1=0 • souˇcin sud´eho a lich´eho ˇc. je sud´ y - 1·0=0 • souˇcin dvou lich´ ych ˇc. je lich´ y - 1·1=1 Aˇz na avizovan´e 1 + 1 = 0 nic pˇrekvapiv´eho. Souˇcet i souˇcin na vˇsech zbytkov´ ych tˇr´ıd´ach je komutativn´ı i asociativn´ı, jak jsme tomu zvykl´ı. Jedinou zradou je pˇreteˇcen´ı“mimo ” zbytkovou tˇr´ıdu - pak se operace vlastnˇe vrac´ı na zaˇca´tek. Ukaˇzme si jeˇstˇe poˇcty tˇreba na Z5 : 21
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
· 0 1 2 3 4
4 4 0 1 2 3
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
´ s t´ım m´a probl´em), pak v´am moˇzn´a Pokud to nech´apete (a spousta prv´ak˚ u na MU pom˚ uˇze uvˇedomit si, jak poˇc´ıt´ame s hodinami. Napˇr.: odch´az´ım v jeden´act hodin, vr´at´ım se za dvˇe hodiny, tedy v jednu. Jedn´a se tedy o sˇc´ıt´an´ı na zbytkov´e tˇr´ıdˇe modulo dvan´act (jen m´ısto nuly se pouˇz´ıv´a sp´ıˇs dvan´act). To je d˚ uvod proˇc se modul´arn´ı aritmetika (poˇcty na zbytkov´ ych tˇr´ıd´ach) v angliˇctinˇe obˇcas naz´ yv´a tak´e clock arithmetic“. ”
9
Dˇ elen´ı nulou
N´ahodou jsem na internetu narazil na velk´ y objev: 0/0 s d´a vypoˇc´ıtat! Vˇzdyt’ pˇrece: 0·1 = 0 /:0 0 1 = 0 Bohuˇzel, obdobnˇe se d´a dok´azat“, ˇze 0/0 = 2, a tedy 1=2, coˇz je nesmysl a stejnˇe tak ” cel´ y d˚ ukaz“. Ukaˇzme si jeˇstˇe jeden podobnou spornou u ´vahu: ” 4a = 6b 14a − 10a = 21b − 15b/ − 14a/ + 15b 15b − 10a = 21b + 10b 5(3b − 2a) = 7(3b − 2a)/ : (3b − 2a) 5 = 7 Kde se stala chyba? Kde jinde neˇz v dˇelen´ı – mus´ı platit 3b − 2a 6= 0, coˇz neplat´ı kv˚ uli poˇca´teˇcn´ı rovnosti. To byla n´azorn´a uk´azka toho, proˇc je tˇreba ˇreˇsit podm´ınky u neekvivalentn´ıch u ´prav a z´aroveˇ n toho, co se m˚ uˇze st´at pˇri dˇelen´ı nulou. Navzdory vˇsemu – dˇelit nulou lze. Ale ne na mnoˇzinˇe R. Je tˇreba ji rozˇs´ıˇrit o zvl´aˇstn´ı ˇc´ıslo – nekoneˇcno ∞. D´a se to udˇelat dvoj´ım zp˚ usobem. Obvykle pˇrid´av´ame nekoneˇcna rovnou dvˇe – kladn´e a z´aporn´e, tak aby platilo: ∀x ∈ R : x < ∞, x > −∞, ±x ± ∞ = ±∞, ∀x ∈ R+ : x0 = ∞ ∀x ∈ R− : x0 = −∞ ∀x ∈ R \ {0} : x · ±∞ = ±∞
x ±∞
=0
Re´aln´a osa se n´am tak vlastnˇe zmˇen´ı na u ´seˇcku s koncov´ ymi body ±∞. Takto vzniklou mnoˇzinu naz´ yv´ame rozˇs´ıˇren´a m. v. re´aln´ ych ˇc´ısel a znaˇc´ıme ji R. Obvykle nevyuˇz´ıvan´a 22
moˇznost je ztotoˇznit obˇe nekoneˇcna – u takov´eho rozˇs´ıˇren´ı, ale vznik´a probl´em s uspoˇra´d´an´ım – vˇsechna ˇc´ısla by byla z´aroveˇ n vˇetˇs´ı a z´aroveˇ n menˇs´ı neˇz vˇsechna ostatn´ı. Geometricky si to m˚ uˇzete pˇredstavit jako kruˇznici. U obou zp˚ usob˚ u rozˇs´ıˇren´ı se ale vyskytuj´ı tyto nesmysln´e v´ yrazy: ∞/∞, ∞ · 0, 0/0. Mnoˇzinu C rozˇsiˇrujeme obvykle jedin´ ym nekoneˇcnem, tak aby ∀z ∈ C : |z| < ∞. Gaussova komplexn´ı rovina se tak stoˇc´ı do sf´ery (kulov´a slupka), kterou naz´ yv´ame Riemannova komplexn´ı sf´era.
10
Kardin´ aln´ı ˇ c´ısla
Kardin´aln´ı ˇc´ıslovky – tento pojem v lingvistice znaˇc´ı ˇc´ıslovky urˇcen´e pro poˇcet. V ˇceˇstinˇe se jim tak´e ˇr´ık´a ˇc´ıslovky z´akladn´ı. Obdobnˇe v matematice kardin´aln´ı ˇc´ısla znaˇc´ı ˇc´ısla popisuj´ıc´ı poˇcet prvk˚ u nˇekter´e mnoˇziny. Jsou to tedy pˇrirozen´a ˇc´ısla? Ano a ne. Na vˇsechna pˇrirozen´a ˇc´ısla se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na kardin´aln´ı ˇc´ısla, ale existuj´ı kardin´aln´ı ˇc´ısla, kter´a mezi pˇrirozen´a nepatˇr´ı. Napˇr´ıklad jsme z pˇrirozen´ ych ˇc´ısel vylouˇcili nulu, ale pr´azdn´a mnoˇzina m´a pˇrece nula ˇ ık´am prvk˚ u. Hlavnˇe ale v pˇrirozen´ ych ˇc´ıslech chyb´ı kardin´aln´ı ˇc´ısla nekoneˇcn´ ych mnoˇzin. R´ to jako by jich bylo v´ıc, protoˇze jich v´ıc taky je. Jak se to pozn´a, ˇze nˇekter´a nekoneˇcna jsou r˚ uznˇe velk´a (matematicky – mohutn´a)? Vrat’me se na zaˇca´tek – d´avn´ı ovˇc´aci pouˇz´ıvali pro poˇc´ıt´an´ı ovc´ı kameny. Za kaˇzdou ovci puˇstˇenou z ohrady se pˇrem´ıstil jeden k´amen z koˇse ovce v ohradˇe“ (o) do koˇse ovce na pastvˇe“ (p) ” ” a pˇri n´avratu opaˇcnˇe. Kdyˇz zbyl nˇejak´ y k´amen v koˇsi p, vˇedˇeli, ˇze se nˇejak´e ovce ztratily. Kdyˇz k´amen chybˇel, vˇedˇeli, ˇze se ovce ztratila sousedovi a rychle z´asobu kamen˚ u doplnili. Nekoneˇcn´e mnoˇziny m˚ uˇzeme pomˇeˇrovat podobnˇe. Kaˇzd´emu prvku z jedn´e mnoˇziny pˇriˇrad´ıme pr´avˇe jeden prvek z druh´e. Kdyˇz n´am zbude v nˇekter´e mnoˇzinˇe nˇejak´ y prvek, tak ta mnoˇzina je vˇetˇs´ı. Matematicky ˇreˇceno – hled´ame vz´ajemnˇe jednoznaˇcn´e (neboli bijektivn´ı) zobrazen´ı mezi tˇemi mnoˇzinami. Uved’me si pˇr´ıklady, mnoˇziny N a Z jsou stejnˇe velk´e – jedniˇcku (z N) pˇriˇrad´ıme nule (ze Z), dvojku jedniˇcce, trojku minus jedniˇcce . . . N → Z : 1 → 0, 2 → 1, 3 → −1, 4 → 2, . . . Mnoˇzina R m´a stejnou mohutnost jako interval (−π/2, π/2). Pˇriˇrad’me kaˇzd´emu x z tohoto intervalu jeho tangens – dostaneme cel´e R. Ale mezi mnoˇzinou N a R ˇza´dn´e bijektivn´ı zobrazen´ı neexistuje – mnoˇzina R m´a vˇetˇs´ı mohutnost. Kardin´aln´ı ˇc´ıslo (mohutnost) mnoˇziny se znaˇc´ı bud’ kˇr´ıˇzkem pˇred znakem mnoˇziny: #R, nebo svisl´ ymi ˇcarami (jako u absolutn´ı hodnoty): |R|. Nejmenˇs´ı nekoneˇcnou mnoˇzinou je mnoˇzina N. Jej´ı kardin´aln´ı ˇc´ıslo se znaˇc´ı hebrejsk´ ym p´ısmenem alef s indexem nula: |N| = ℵ0 . Mnoˇziny s touto a menˇs´ı mohutnost´ı se naz´ yvaj´ı spoˇcetn´e. Mezi (nekoneˇcn´e) spoˇcetn´e patˇr´ı i mnoˇzina Q a dokonce i mnoˇzina vˇsech algebraick´ ych ˇc´ısel. Naopak mnoˇzina v. transcendentn´ıch a m. v. iracion´aln´ıch ˇc´ısel spoˇcetn´e nejsou.
23
10.1
Operace s kardin´ aln´ımi ˇ c´ısly
• Sˇc´ıt´an´ı: |A| + |B| = |A × {0} ∪ B × {1}| Kart´ezsk´ y souˇcin s mnoˇzinami {0} a {1} je nutn´ y kv˚ uli zajiˇstˇen´ı disjunktnosti mnoˇzin. Pokud bychom ho tam nemˇeli, tak by mohlo nastat toto: 4 = 2 + 2 = |{1, 2}| + |{2, 3}| = |{1, 2, 3}| = 3. • N´asoben´ı: |A||B| = |A × B|. S koneˇcn´ ymi nenulov´ ymi kardin´aln´ımi ˇc´ısly se tedy poˇc´ıt´a tak jak jsme zvykl´ı. Neˇz pˇrejdeme k tˇem nekoneˇcn´ ym posvit’me si na nulu: 0 + |A| = |∅ ∪ A|. Pr´azdn´a mnoˇzina je disjunktn´ı s kaˇzdou mnoˇzinou, tak jsem si mohl dovolit vynechat ty kart´ezsk´e souˇciny. 0 · |A| = |∅ × A| Toto plat´ı dokonce i pro nekoneˇcn´a A. Ted’ uˇz m˚ uˇzeme pˇrikroˇcit k poˇc´ıt´an´ı s nekoneˇcn´ ymi kardin´aln´ımi ˇc´ısly, nebo alespoˇ n s t´ım spoˇcetn´ ym. Pro koneˇcn´e kardin´aln´ı ˇc´ıslo k plat´ı: ℵ0 + k ℵ0 + ℵ0 ℵ0 · k ℵ0 · ℵ 0
= = = =
ℵ0 ℵ0 ℵ0 , k 6= 0 ℵ0
Tedy asi nic, co bychom neˇcekali. Kdo nevˇeˇr´ı, ovˇeˇr´ı.
10.2
Hypot´ eza kontinua
Roku 1882 formuloval Georg Cantor toto tvrzen´ı: Mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel je nespoˇcetn´a mnoˇzina s nejmenˇs´ı mohutnost´ı.“ ” Protoˇze toto tvrzen´ı nedok´azal a protoˇze mohutnost R se oznaˇcuje tak´e jako mohutnost kontinua, veˇslo toto tvrzen´ı do historie jako hypot´eza kontinua. Roku 1900 ji David Hilbert zaˇradil na sv˚ uj seznam otevˇren´ ych probl´em˚ u, a to na prvn´ım m´ıstˇe. Po mnoha ne´ uspˇeˇsn´ ych pokusech tuto hypot´ezu dok´azat ˇci vyvr´atit, zaznamenal prvn´ı u ´spˇech Kurt G¨odel, kdyˇz roku 1940 dok´azal, ˇze hypot´ezu kontinua nelze vyvr´atit. To ale nen´ı tot´eˇz jako hypot´ezu dok´azat. Roku 1963 tak Paul Cohen dok´azal, ˇze hypot´ezu kontinua nen´ı moˇzn´e ani dok´azat. To znamen´a, ˇze hypot´ezu kontinua lze beztrestnˇe“ povaˇzovat za pravdivou i nepravdi” vou (ale ne oboj´ı z´aroveˇ n). Dnes se upˇrednostˇ nuje prvn´ı moˇznost. Pak se kardin´aln´ı ˇc´ıslo mnoˇziny R oznaˇcuje ℵ1 . Jinak se oznaˇcuje p´ısmenem c (jako continuum). Jak se poˇc´ıt´a s c ˇc´ı ℵ1 si uˇz zkuste odvodit sami.
24
Zdroje ˇ ˇ Nebojte se kr´alovny!; Jakub Sotola, Jan Koˇsˇc´ak; soutˇeˇzn´ı pr´ace XXVIII. SOC http://www.wikipedia.org a dalˇs´ı naps´ano v LaTeXEditoru, vys´azeno LATEXem v distribuci MiKTeX
25
