Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky
Bakalářská práce
Sbírka příkladů z matematiky pro 9. ročník základní školy
Vypracoval: Pavel Urban Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. České Budějovice 2014
Prohlášení Prohlašuji, že svoji bakalářskou práci na téma Sbírka příkladů z matematiky pro 9. ročník základní školy, jsem vypracoval samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu citované literatury. Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své bakalářské práce, a to v nezkrácené podobě, elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce. Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem na odhalování plagiátů.
V Českých Budějovicích 25. 6. 2014
…………………………. (podpis)
Poděkování: Rád bych poděkoval panu profesoru Pavlu Tlustému, který mě vedl po celou dobu vypracovávání mé bakalářské práce. Také děkuji za morální podporu své rodině.
Anotace: Urban Pavel, 2014: Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u z matematiky pro 9. roˇcn´ık z´akladn´ı ˇskoly.
Tato bakal´aˇrsk´a pr´ace se zamˇeˇruje na problematiku l´atky prob´ıran´e v 9. roˇcn´ıku z´akladn´ı ˇskoly, pˇr´ıpadnˇe ve 4. roˇcn´ıku osmilet´eho gymn´azia. Obsahuje nejen z´akladn´ı pˇr´ıklady podobn´e u ´loh´am v jiˇz vydan´ ych sb´ırk´ach, ale je tak´e obohacena o pˇr´ıklady, kter´e se sv´ ym obsahem pˇribliˇzuj´ı kaˇzdodenn´ı realitˇe. Zab´ yv´a se soustavami line´arn´ıch rovnic, lomen´ ymi v´ yrazy, rovnicemi s nezn´amou ve jmenovateli, funkcemi, finanˇcn´ı matematikou (jednoduch´ ym a sloˇzen´ ym u ´rokov´an´ım), geometri´ı (podobnost´ı troj´ uheln´ık˚ u, z´akladn´ım r´ ysov´an´ım, tˇelesy) a u ´lohami z matematick´ ych olympi´ad. C´ılem pr´ace je sestavit sb´ırku pˇr´ıklad˚ u, kter´a bude slouˇzit ˇza´k˚ um k procviˇcen´ı a prohlouben´ı jejich znalost´ı a uˇcitel˚ um jako doplnˇek k prob´ıran´e l´atce.
Bakal´aˇrsk´a pr´ace je zpracovan´a v programech TeX a GeoGebra.
Annotation: Urban Pavel, 2014: Collection of examples in mathematics for 9th year of elementary school.
This Bachelor’s thesis is focused on the mathematic issues which are taught during the 9th year of elementary school. The thesis contains not only the usual problems dealt with at this educational level but also examples from ordinary daily life. The thesis includes systems of linear equations, fraction expression, equations with an unknown in the denominator, financial mathematics (simple and compound interest), geometry (the similarity of triangles, basic drawing, bodies), questions from the Mathematical Olympiad. The aim of the thesis is to create a collection of examples which should help the students to deepen and elaborate their knowledges and the teachers to supplement their classes.
The whole thesis is elaborated in the TeX and GeoGebra.
Contents ´ 1 Uvod
6
2 Soustavy line´ arn´ıch rovnic
7
3 Lomen´ e v´ yrazy
13
4 Rovnice s nezn´ amou ve jmenovateli
19
5 Funkce 5.1 Soustava souˇranic . . . . . 5.2 Funkce jako z´avislost . . . 5.3 Pˇr´ım´a a nepˇr´ım´a u ´mˇernost 5.4 Line´arn´ı funkce . . . . . . 5.5 Kvadratick´e funkce . . . . 5.6 Goniometrick´e funkce . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
22 22 24 27 28 29 30
6 Finanˇ cn´ı matematika 33 6.1 Jednoduch´e u ´rokov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.2 Sloˇzen´e u ´rokov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 Geometrie 7.1 Podobnost troj´ uheln´ık˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Z´aklady r´ ysov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35 36 39
´ 8 Ulohy z matematick´ ych olympi´ ad
40
9 V´ ysledky
46
10 Z´ avˇ er
69
11 Seznam pouˇ zit´ e literatury
70
1
´ Uvod
Sv´e t´ema bakal´aˇrsk´e pr´ace jsem si vybral z nab´ızen´ ych t´emat bakal´aˇrsk´ ych prac´ı z d˚ uvodu vlastn´ıho z´ajmu pro svou budouc´ı uˇcitelskou praxi na z´akladn´ıch ˇskol´ach. Sb´ırka obsahuje pouze soubor pˇr´ıklad˚ u, protoˇze m´a slouˇzit jen jako doplnˇek pro v´ yuku matematiky 9. tˇr´ıd. V´ yuka matematiky v 9. tˇr´ıdˇe, je dle m´eho n´azoru jednou z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch, protoˇze se ˇza´ci 9.tˇr´ıd setkaj´ı s prob´ıranou l´atkou jak v navazuj´ıc´ım stˇredoˇskolsk´em vzdˇel´av´an´ı, tak i v bˇeˇzn´em praktick´em ˇzivotˇe. Samostatn´a sb´ırka je rozloˇzena do 8 kapitol+ V´ ysledky. Kapitoly jsou pot´e rozloˇzeny na jednotliv´e subkapitoly. Nˇekter´e pˇr´ıklady jsou obohaceny o tabulky a obr´azky. Obr´azky jsem tvoˇril v programu GeoGebra. Bˇehem sestavov´an´ı sb´ırky jsem se nauˇcil z´aklady TeXu.
6
2
Soustavy line´ arn´ıch rovnic
2.1 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav pomoc´ı substituˇcn´ı metody: a) 2x − 2y = 4 x + 3y = 6 b) 3x + 2y = 6 4x + y = 8 c) −4x + 5y = −10 2x − 10y = −5 d) 4x − 5y = 4 3x + 5y = 10 e) −4x + y = −1 2x + 5y = 3 f) 2x + 3y = 5 4x − 4y = −6 2.2 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav pomoc´ı sˇc´ıtac´ı metody: a) x+y =8 2x + 1y = 3 b) 2x − y = 3 4x + 3y = 4
7
c) 4x + 3y = 7 3x + 2y = 5 d) 1 x + 3y = 2 2 2x + 6y = 1 e) 1 1 x − y = −2 3 2 −2x + 2y = 10
2.3 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav: a) 3 2 3(x + 1) − y = 2 2x − y =
b) 3(x − y) = 5 2x + 3 = 2(y − 2) c) 1 x + (y − 6) = 0 3 4x − 5y = 5 − 2x d) 1 1 1 x+ y = 2 3 6 3(x + 2y) = 9 e) 1 1 (2x + 1) − (4y + 2) = 0 5 2 3x + 5 = 2 − 6
8
f) 1 1 (2 + 2y) + 1 = x 3 5 3 1 x + (y + 1) = 2 5 2 2.4 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav a nezapomeˇ nte na podm´ınky: a) 6 =4 x − 2y 1 3 = 2x + y 2 b) 2x + 4 =4 y −y =2 x−4 c) x−9 = −3 2y + 2 2 =2 x−y d) x−2 5x + 2y = 4 2 3(x + 2y) − 2(−x + y) = 1 e) 1+y =3 x+2 1 (x + y) = −1 3 f) 3x − y − 2 −1=3 x+y 2 3 (x − y) = (x + y) 3 2 9
2.5 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav: a) −2x + 4y = −2 3x + 2y = 3 b) 3x + 3y = −1 4x + 2y = 0 c) 5x − 2y = −5 3x + y = 8 d) 8x − 3y = 2 9y − 24x = 5 e) 3x − 5y = −14 x + 4y = 1 f) 7x − y = 2 1 4x + 2y = 2 2.6 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav: a) 2 16 = x−y 2y 18 12 = x+y y+2 b) 0, 2(x − 3) − 0, 3(y + 1) = −0, 79 2, 1x + 0, 5(4 − y) = 7, 66 c) 4(x − 3) − 2(1 − y) = −2 10
6(2 − x) + 4(y + 3) = −8 d)
√
3x +
√
2y = 5 √ √ x−y+ 2= 3 e) 4 2 = x−y y−1 2 4 = 3(x − 1 5(y − 2) f) 0, 4(x − 2) + 0, 1(y + 5) = 0, 6 5x − 2 1 1 − = x y xy 2.7 Vypoˇc´ıtejte x, y z tˇechto soustav: a) x+y x + = −2 5 5 3 2y − x 3y − = 3 4 2 b) 4x − 2y − 9 3x − 4y + 3 =4− 4 3 2x − y + 3 x − 2y + 3 =4+ 3 4 c) 3x − 4 1 = 3y + 4 2 2x − y 1 = 2x + y 4 d) 1 1 4 − =− 1−x−y 1+x−y 3 1 1 2 + = 1+x−y 1−x−y 3 11
e) 2, 5x + 0, 2y = −4 0, 2x + 0, 1y = 0, 1 f) 1 5 0, 6x − y = −0, 4
0, 3x − 0, 5y = −
12
3
Lomen´ e v´ yrazy
3.1 Vypoˇc´ıtejte, pro kter´e nezn´am´e x, y m´a dan´ y v´ yraz smysl: a) 5 x b) 3−x 2 − x y c) 2+y 2x − 4 d) 1−y 1−x + 3x + 1 1 − y e) 2 x2 f) x−1 x−2 + y − 3 2y + 6 3.2 Vypoˇc´ıtejte, pro kter´e nezn´am´e a, b m´a dan´ y v´ yraz smysl: a) 4a + 3b 3a − b b) 2ab − b 4ab c) 2(a − b) − 1 b2 − 4 d) 4 2 a − b2 e) a−2 b−4 − a(a − 4) ab2 13
f) a2
a b + − a 16 − 9b2
3.3 Vypoˇc´ıtejte hodnotu v´ yrazu a sestavte z nich tabulku.
x+3 25−x2
pro x = 0, 3, 5, −2, −4,
3.4 Vypoˇc´ıtejte, pro kter´e promˇenn´e x je v´ yraz roven nule: a) x x+3 b) 4x − 2 x+1 c) x2 − 1 x−1 d) 16 − x2 3x + 2 e) x2 − 5x + 6 −4x + 6 f) x2 + 6x + 8 12 − 3x
14
√ 10
ˇ n´asleduj´ıc´ı lomen´e v´ 3.5 Pˇrevedte yrazy do z´akladn´ıho tvaru: a) 16a4 b 4a2 b2 b) 6ab2 c 27bc3 c) −15a2 b2 −25b2 d) 2a2 b − 8ab 4ab e) 9a2 b2 + 12ab 9a3 b3 f) 4abc + 6ac 12ab − 6abc ˇ n´asleduj´ıc´ı lomen´e v´ ˇ podm´ınky: 3.6 Pˇrevedte yrazy do z´akladn´ıho tvaru a uvedte a) −1 − x .(−4x2 ) 2x b) 5 .(x2 − y 2 ) 2x − 2y c) (
−2y x − ).(x2 − y 2 ) x−y x+y
d) (
3 3x − y − ).(y − 4x) 4x − y 16x2 − y 2
e) x2
x−1 .(x2 − 1) + 2x + 1 15
f) 2x − 3y .(2x2 ) x2 + 2x 3.7 Urˇcete, pro kter´e hodnoty promˇenn´e x maj´ı dan´e v´ yrazy smysl: a) 3 2x b) 7 6x2 c) x+2 x−2 d) 2 + 3x 4 + 5x e) 2x − 3 x2 − 4 f) 8x − 11 x2 + 16 3.8 Urˇcete, pro kter´e hodnoty promˇen´ ych maj´ı dan´e v´ yrazy smysl: a) 5a −4ab b) 2−m 7m2 n c) 2u − 3v u(u − 5) d) 8r − 1 s2 − s
16
e) k−3 3k 2 + 4k f) 15t − 11 25 − 4t2 3.9 Urˇcete hodnoty promˇenn´e x, pro nˇeˇz se dan´ y v´ yraz rovn´a nule: a) x x+5 b) x−2 x+3 c) 2x + 5 2x − 5 d) x(x − 4) 8x − 9 e) 9 − x2 2 − 7x f) x2 − 2x + 1 x+6 3.10 Urˇcete hodnoty promˇenn´e x, pro nˇeˇz se dan´ y v´ yraz rovn´a nule: a) x(x − 1) x b) x(x − 1) x−1 c) x2 − 49 x−7
17
d) x2 − 25) x(x + 5) e) x2 − 4 3x − 6 f) x2 − 2x + 1 x−1
18
4
Rovnice s nezn´ amou ve jmenovateli
ˇ zkouˇsku: 4.1 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) 3−x =2 x b) 3x − 2 =4 x−1 c) −x + 2 =5 2x − 4 d) 7x + 3 5 = 2x + 6 2 e) 3 5x − 6 =− 9x − 7 7 f) 5 5x − 3 = 6x + 1 3 ˇ zkouˇsku: 4.2 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) 4 2 = x−2 3x + 3 b) 6 3 = 2x + 3 5x − 2 c) 7 −1 = 6x − 4 −x + 3 d) x−2 x+4 + =2 x−4 x+2 e) 2x − 1 2x − 4 + =2 2x + 4 2x + 1 19
ˇ zkouˇsku: 4.3 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) 1 3x − 1 2 = − 2 x−3 x+3 x −9 b) −3 2 3x − 5 − = 2 3x + 4 3x − 4 9x − 16 c) 5x − 4 5 1 − = 2 5x − 1 25x − 1 5x + 1 d) 6 4 4x − 6 = − 2x − 4 x + 2 4 − x2 e) 4x − 9 2 2 = + 2 16x − 9 4x − 3 4x + 3 ˇ zkouˇsku: 4.4 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) x−6 = −3 x b) −x + 3 = −5 2x c) 2x − 4 =2 x−2 d) 3x − 10 =3 x−5 e) 9x − 7 3 = 4x − 3 2 f) 5x − 6 5 =− 9 − 7x 7
20
ˇ zkouˇsku: 4.5 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) 2 2x − 1 = 3x − 1, 5 3 b) 2x − 7 7 =− 8 − 3x 9 c) 1 2 = x+4 x−5 d) x+7 x+5 + =2 x−5 x−7 e) 5 3 = 4x − 3 3x − 2 f) 2x + 5 2x + 3 + =2 2x − 3 2x − 5 ˇ zkouˇsku: 4.6 Vyˇreˇste rovnici a provedte a) 1 2x − 7 1 = − 2 x−2 x+2 x −4 b) 2 x + 12 3 − = 4x − 3 3 + 4x 16x2 − 9 c) 3(x + 1) 1 1 = − x2 − 9 x+3 3−x d) 3x − 4 3 1 + =+ 2 1 − 4x 1 + 2x 2x − 1 e) 2x − 1 2 4 − = 2 9−x x−3 x+3 f) 4 7x + 8 2 + 2 = 2x − 6 4x − 36 2x + 6 21
5
Funkce
5.1
Soustava souˇ ranic
5.1.1 Vypiˇste souˇradnice bod˚ u v t´eto kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic:
5.1.2 Zapiˇste pozice ˇsachov´ ych figur na t´eto ˇsachovnici:
22
5.1.3 Zakreslete do grafu tyto body : A[−3; 1], B[2; −2], C[2; 0], D[1; 3], E[−1; 2], F [−2; −1], G[0; −3] 5.1.4 Urˇcete souˇradnice bodu B, kter´ y je soumˇern´ y s bodem A[−3; 2] podle: a) osy x,
b) osy y,
c) podle poˇca´tku
5.1.5 Vypiˇste souˇradnice bod˚ u v t´eto kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic:
5.1.6 V kart´ezsk´e soustavˇe souˇradnic zn´azornˇete body:A[3; 1], B[1; −2], c[−2; 1]. Urˇcete souˇradnice bod˚ u A1 , B1 , C1 , kter´e jsou k dan´ ym bod˚ um A, B, C osovˇe soumˇern´e dle osy x a body A1 , B1 , C1 zakreslete.
23
5.1.7 Urˇcete souˇradnice Pavlovo kˇriˇzn´ıku (+) ,ledoborc (L) a dvou b´arek.
5.2
Funkce jako z´ avislost
5.2.1 Rozhodnˇete, kter´e z n´asleduj´ıc´ıch tabulek jsou zad´an´ım funkce. Pokud tabulka funkci urˇcuje, zapiˇste jej´ı definiˇcn´ı obor.
a)
x y
0 1 4 0 1 2
9 16 3 4
b)
x y
−1 3 −2 4 −3 0 4 −1 5 −2
c)
x y
3 1 −1 3 2 4 2 3 1 5
d)
x y
10 9
7 5 4 0 9 9 9 9
24
5.2.2 Rozhodnˇete, kter´ y z n´asleduj´ıc´ıch graf˚ u je grafem funkce. Pokud se jedn´a o graf funkce, zapiˇste jej´ı definiˇcn´ı obor. a)
b)
c)
d)
25
e)
f)
ˇ funkce k tˇemto dvojic´ım ˇc´ısel: 5.2.3 Pˇriˇradte a) 5 → 25; b) 17 → 4; c)30◦ → 12 d) 4 → 14 e) 13 → 2, f) 4 → 12 Na v´ ybˇer m´ate tyto funkce: f1 :y = 3x, f2 :y = x2 , f3 :y = sin x, f4 :y = f5 :y = 5x − 3, f6 :y = 2
1 , x
5.2.4 Je d´ana funkce f :y = x3 , x ∈ (0; 25). Rozhodnˇete, kter´e z uspoˇra´dan´ ych dvojic [x; y] patˇr´ı k funkci f : a) [1; 3], b) [2; 32 ] c) [6; 2], d) [0; 0], e) [−1; −3], f) [ 12 ; 6]
26
5.3
Pˇ r´ım´ a a nepˇ r´ım´ au ´ mˇ ernost
5.3.1 Rozhodnˇete, zda se v uveden´ ych pˇr´ıpadech jedn´a o pˇr´ımou ˇci nepˇr´ımou u ´mˇernost. a) Poˇcet prodan´ ych l´ıstk˚ u na koncert a trˇzba v pokladnˇe. b) Rychlost j´ızdy na motorce a ˇcas potˇrebn´ y k ujet´ı dan´e vzd´alenosti. c) Pr˚ umˇer odtoku ve vanˇe a rychlost ub´ yv´an´ı vody pˇri jej´ım vypouˇstˇen´ı. d) Poˇcet ubˇehnut´ ych kilometr˚ u a doba bˇehu pˇri st´al´e rychlosti. e) Vzd´alenost letadla a jeho optick´a velikost. f) Doba svitu lampiˇcky a cena za spotˇrebovanou energii. g) Poˇcet dˇeln´ık˚ u a ˇcas, za kter´ y stihnou udˇelat zadanou pr´aci pˇri st´ale stejn´em pracovn´ım nasazen´ı. 5.3.2 Na pokladnˇe kina se vybralo 10 875 Kˇc od 87 n´avˇstˇevn´ık˚ u. Jak´a by byla trˇzba, kdyby se obsadil cel´ y s´al, kter´ y m´a 130 m´ıst ? 5.3.3 V hrnci, kter´ y je napuˇstˇen do 30 % je 230 ml vody. Kolik % vody bude v hrnci po pˇrilit´ı dalˇs´ıch 150ti ml ? 5.3.4 Petr obˇehne rychlost´ı 6.25 ms okruh za 1 min a 4 s. Jakou rychlost´ı by musel bˇeˇzet, aby dan´ y okruh stihl za 57 s ? 5.3.5 Dva klemp´ıˇri udˇelaj´ı krov rodinn´eho domku za t´ yden. Za kolik dn´ı by stejn´ y krov stihlo 5 klemp´ıˇr˚ u? Pracovn´ı doba je 10 hod dennˇe. 5.3.6 Dvˇe triˇcka uschnou na pˇr´ım´em slunci za 3 hod. Za jak dlouho uschne 7 triˇcek? 5.3.7 Do jednoho obr´azku nar´ ysujte grafy pˇr´ım´ ych u ´mˇernost´ı: 1 1 f1 : y = 3x, f2 : y = 4 x, f3 : y = −1, 5x, f4 : y = − 2 x
27
5.4
Line´ arn´ı funkce
5.4.1 Sestrojte grafy line´arn´ıch funkc´ı: a) y = 3x − 1, b) y = 2x + 4, c)y = −3(x + 2), d) y = 32 x + 2 5.4.2 Naleznˇete pˇredpisy line´arn´ıch funkc´ı, kter´e proch´azej´ı n´asleduj´ıc´ımi body a sestrojte je do jednoho grafu: a) A[1; 3], B[2; 2], b) C[−1; 2], D[4; 1], c) E[ 21 ; −2], F [2; 4], d) G[4; 3], H[= 1; 4] 5.4.3 Urˇcete pr˚ useˇc´ıky s osami x a y. a) y = 4x − 3, b) y = 5(x + 1), c)y = − 12 (x + 3), d) y = 3( 32 x + 4) 5.4.4 Doplˇ nte tabulku line´arn´ı funkce y = 12 x − 5 x y
−3 0
4 − 92
− 19 4
3 2
3
5.4.5 Rozhodnˇete, zda se jedn´a o rostouc´ı ˇci klesaj´ıc´ı funkci: a) y = 8x − 2, b) y = 0, 025x − 1, c) y = −5, d) y = −x − 6, e) y = 13 (x + 2) 5.4.6 Urˇcete vz´ajemnou polohu tˇechto pˇr´ımek: p1 : y = 4x − 1, p2 : y = 3x − 3, p3 : y = 12 (8x + 3)
28
5.5
Kvadratick´ e funkce
5.5.1 Sestrojte grafy kvadratick´ ych funkc´ı do jednoho obr´azku: 2 2 a) y = x , b) y = x − 2, c) y = 2x2 , d) y = −2x2 5.5.2 Doplˇ nte tabulku kvadratick´e funkce y = 3x2 x y
1 3
1 27
2 3
12
-4 0
5.5.3 Urˇcete koeficienty k a q kvadratick´e funkce y = kx2 + q, kter´a proch´az´ı a) body A[1; −1] a B[0; 2] b) body C[0; −3] a D[2; −1] c) body E[−1; 3] a F [0; 2] 5.5.4 Urˇcete pr˚ useˇc´ıky grafu kvadratick´e funkce s osou x: a) y = x2 − 9, b) y = −x2 + 16, , c) y = −3x2 + 12, , d) y = 4x2 − 8 5.5.5 Urˇcete koeficient k kvadratick´e funkce y = kx2 pro: a) f (−4) = 32, b) f (6) = 18, c) f ( 13 ) = 32 , d) f (−5) = 5 5.5.6 Sestrojte graf kvadratick´e funkce y = −3x2 + 3 a urˇcete: a) pr˚ useˇc´ıky s osou x a y b) interval, na kter´em je funkce rostouc´ı a na kter´em klesaj´ıc´ı c) interval, na kter´em je funkce kladn´a d) interval, na kter´em je funkce z´aporn´a
29
5.6
Goniometrick´ e funkce
5.6.1 Vypoˇc´ıtejte hodnoty funkce sinus pro u ´hly: ◦ ◦ ◦ a) α = 40 , b) α = 81 , c) α = 43 , ◦ 0 ◦ 0 d) α = 22 43 , e) α = 13 13 , f) α = 31◦ 190 5.6.2 Vypoˇc´ıtejte hodnoty funkce cosinus pro u ´hly: ◦ ◦ ◦ a) α = 19 , b) α = 52 , c) α = 27 , d) α = 44◦ 110 , e) α = 13◦ 290 , f) α = 81◦ 450
5.6.3 Vypoˇc´ıtejte hodnoty funkce tangens pro u ´hly: ◦ ◦ ◦ a) α = 15 , b) α = 33 , c) α = 79 , d) α = 51◦ 580 , e) α = 48◦ 90 , f) α = 21◦ 350 5.6.4 Vypoˇc´ıtejte hodnoty funkce kotangens pro u ´hly: ◦ ◦ ◦ a) α = 41 , b) α = 37 , c) α = 84 , ◦ 0 ◦ 0 d) α = 3 42 , e) α = 26 17 , f) α = 39◦ 450 5.6.5 Bez pouˇzit´ı kalkulaˇcky doplˇ nte tabulku α sin x cos x tan x
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
5.6.6 Vypoˇc´ıtejte u ´hel α : a) sin α = 0, 54, b) cos α = 0, 12, c) tan α = 3, 56, d) cot α = 2, 04, e) sin α = 0, 22, f) cos α = 0, 94, g) tan α = 0, 09, h) cot α = 4, 22 5.6.7 Doplˇ nte tabulku : ◦
rad
20
225
95 2, 2 0, 32
141 5, 82
0, 63
5.6.8 Napiˇste n´asleduj´ıc´ı u ´hly v z´akladn´ı velikosti: ◦ ◦ α = 983 , β = −125 , γ = 35 π rad, δ = − 67 π rad, = 1631◦ , η = 4 30
17 π 2
rad
5.6.9 V troj´ uheln´ıku s prav´ ym u ´hlem pˇri vrcholu C jsou odvˇesny a = 4 cm, b = 5 cm Dopoˇc´ıtejte vnitˇrn´ı u ´hly pˇri vrcholech A a B. 5.6.10 V pravo´ uhl´em troj´ uheln´ıku s u ´hlem α = 25◦ , d´elkou pˇrepony c = 5 cm dopoˇc´ıtejte u ´hel β a d´elky odvˇesen. 5.6.11 V kosoˇctverci o stranˇe a = 3 cm a d´elce u ´hlopˇr´ıˇcky f = 5, 42 cm urˇcete d´elku druh´e u ´hlopˇr´ıˇcky a velikosti vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u α a β.
31
ˇ spr´avn´e goniometrick´e funkce: 5.6.12 Pˇriˇradte a a) α = c , b) α = ab , c) β = ac , d) β = ab
5.6.13 Porovnejte bez pouˇzit´ı kalkulaˇcky ˇci tabulek n´asleduj´ıc´ı ˇc´ısla: a) sin 31◦ 200 a cos 58◦ 300 b) cos 47◦ 180 a sin 42◦ 480 c) tan 78◦ 360 a cot 11◦ 300 d) cot 32◦ 350 a tan 57◦ 250
32
6 6.1
Finanˇ cn´ı matematika Jednoduch´ eu ´ rokov´ an´ı
6.1.1 Jana si uloˇzila do banky ˇc´astku 15 000 Kˇc. Jakou ˇca´stku si vybere na konci roku pˇri roˇcn´ı u ´rokov´e m´ıˇre 3,4 %, vybere-li si pouze u ´roky ? Kolik penˇez si vybere celkovˇe za 5 let i s poˇca´teˇcn´ım vkladem, vyb´ır´a-li si u ´roky kaˇzd´ y rok ? 6.1.2 Honza p˚ ujˇcil Frantovi 200 Kˇc a sl´ıbil mu, ˇze pokud mu je do t´ ydne nesplat´ı, d´a mu za kaˇzd´ y dalˇs´ı den 5 Kˇc. Kolika procentn´ı je tato u ´rokov´a sazba po lh˚ utˇe na splacen´ı? Kolik Honza obdrˇz´ı, jestliˇze mu Franta vr´at´ı pen´ıze aˇz za dva t´ ydny? 6.1.3 Jak dlouho by musela m´ıt Petra v bance uloˇzeno 20 000 Kˇc pˇri mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´e m´ıˇre 0,5 %, aby na u ´roc´ıch vydˇelala 500 Kˇc, pokud banka u ´roky uˇz d´ale ne´ uroˇc´ı? 6.1.4 Jakou ˇc´astku uloˇzil Michal do banky, jestliˇze po 2 letech pˇri mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´e m´ıˇre 0,4 % v n´ı mˇel 411 548 Kˇc, pokud banka u ´roky uˇz d´ale ne´ uroˇc´ı? 6.1.5 Lucka si na vkladn´ı kn´ıˇzku uloˇzila 1 000 Kˇc. Jak´a je mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´a sazba, jestliˇze po p˚ ul roce na n´ı m´a 1 048 Kˇc, pokud banka u ´roky uˇz d´ale ne´ uroˇc´ı? 6.1.6 Ondra se rozhoduje, zda vloˇzit pen´ıze na u ´ˇcet s mˇes´ıˇcn´ı u ´rokovou sazbou 0,4 %, ˇci s roˇcn´ı u ´rokovou sazbou 4,5 %. Kter´ y u ´ˇcet je pro nˇej v´ yhodnˇejˇs´ı a o kolik procent, hodl´a-li pen´ıze v bance nechat po dobu 2 let a banka u ´roky uˇz d´ale ne´ uroˇc´ı? 6.1.7 Aniˇcka si vloˇzila do banky 35 000 Kˇc. Kolik na tomto u ´ˇctu bude m´ıt po sedmi letech s roˇcn´ı u ´rokovou sazbou 3,9 %, pokud banka u ´roky uˇz d´ale ne´ uroˇc´ı?
33
6.2
Sloˇ zen´ eu ´ rokov´ an´ı
6.2.1 Marek vloˇzil do banky 155 200 Kˇc. Kolik penˇez bude m´ıt na u ´ˇctˇe po 3 letech s roˇcn´ı u ´rokovou sazbou 2,7 %? 6.2.2 Karel si uloˇzil do banky 7 500 Kˇc. Po jak´e dobˇe si bude moci tyto pen´ıze ´ vyzvednout, chce-li si za nˇe koupit nov´e kolo v cenˇe 7 800 Kˇc ? Urokov´ a m´ıra je 0,7 % za mˇes´ıc. 6.2.3 Mark´eta vloˇzila do banky 54 321 Kˇc na u ´ˇcet se ˇctvrtletn´ı u ´rokovou sazbou 1,3 %. Po 3 letech vˇsak banka zkrachovala a vyplatila kaˇzd´emu ze sv´ ych klient˚ u pouze 10% u ´spor. O kolik penˇez Mark´eta pˇriˇsla? 6.2.4 Pavel vloˇzil do banky 253 050 Kˇc. Jak´a byla mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´a sazba, kdyˇz po 2 letech mˇel na u ´ˇctˇe 265 467 Kˇc? 6.2.5 Kolik penˇez si uloˇzila Tereza do banky, jestliˇze na u ´ˇctu se ˇctvrtletn´ı u ´rokovou sazbou 1,2 % mˇela po roce 1 832 211 Kˇc? 6.2.6 R˚ uˇzenka se rozhodla investovat do zlata a koupila si zlatou cihliˇcku v cenˇe 867 692 Kˇc. Jakou bude m´ıt cihliˇcka cenu za 10 let, jestliˇze bude cena zlata stoupat o 0,5 % roˇcnˇe? 6.2.7 Ivan poˇza´dal Petra, zda by mu poradil, na kter´ y u ´ˇcet si m´a vloˇzit sv´e pen´ıze, kter´e chce spoˇrit po dobu 3 let. Zda na u ´ˇcet s 0,5 % mˇes´ıˇcn´ı u ´rokovou sazbou, ˇci na u ´ˇcet s 1,8 % ˇctvrtletn´ı u ´rokovou sazbou, u kter´eho ale banka d´ale u ´roky ne´ uroˇc´ı. Petr mu t´emˇeˇr okamˇzitˇe doporuˇcil prvn´ı z u ´ˇct˚ u. Poradil mu spr´avnˇe?
34
7 7.1
Geometrie Podobnost troj´ uheln´ık˚ u
7.1.1 Rozhodnˇete, kter´a z tvrzen´ı o podobnosti troj´ uheln´ık˚ u jsou pravdiv´a: a) Dva troj´ uheln´ıky jsou si podobn´e, shoduj´ı-li se pomˇery dvou stran a maj´ı-li stejn´ y libovoln´ yu ´hel. b) Dva troj´ uheln´ıky jsou si podobn´e, maj´ı-li alespoˇ n dva u ´hly shodn´e. c) Kaˇzd´e dva rovnoramenn´e troj´ uheln´ıky jsou si podobn´e. d) Dva troj´ uheln´ıky jsou podobn´e, jsou-li jejich odpov´ıdaj´ıc´ı si strany navz´ajem kolm´e nebo rovnobˇeˇzn´e. e) Jsou-li si dva troj´ uhln´ıky podobn´e, nmohou b´ yt shodn´e. 7.1.2 Kter´e z tˇechto troj´ uheln´ık˚ u jsou si podobn´e a jak´ y je jejich pomˇer podobnosti? 4ABC : a = 4 cm, b = 6 cm, c = 1 dm 4EF G : e = 6 cm, b = 3 cm, c = 8 cm 4HIJ : h = 3, 5 cm, i = 4 cm, j = 6, 5 cm 4KLM : k = 3 cm, l = 4, 5 cm, m = 7, 5 cm 4N OP : n = 3 cm, p = 1, 5 cm, q = 4 cm 7.1.3 Rozhodnˇete o podobnosti tˇechto dvojic troj´ uheln´ık˚ u. Jsou-li si podobn´e, urˇcete dle jak´e vˇety. a)4ABC : |6 ABC| = 45◦ , |AB| = 4 cm, |BC| = 6 cm 4A0 B 0 C 0 : |6 A0 B 0 C 0 | = 45◦ , |A0 B 0 | = 6 cm, |A0 C 0 | = 9 cm b)4EF G : |6 ABC| = 50◦ , ||6 BCA| = 75◦ 4E 0 F 0 G0 : |6 E 0 F 0 G0 | = 50◦ , |6 G0 E 0 F 0 | = 45◦ c)4HIJ : |6 JHI| = 25◦ , , |IJ| = 5 cm, |HJ| = 9 cm 4H 0 I 0 J 0 : |6 J 0 H 0 I 0 | = 25◦ , |I 0 J 0 | = 2, 5 cm, |H 0 J 0 | = 4, 5 cm d)4KLM : |6 KLM | = 43◦ , , |KL| = 2 cm, |KM | = 3, 5 cm 4K 0 L0 M 0 : |6 K 0 L0 M 0 | = 43◦ , |K 0 L0 | = 6 cm, |K 0 M 0 | = 10, 5 cm
35
7.1.4 Sestrojte troj´ uheln´ıky ABC a KLM , v´ıte-li, ˇze 4KLM ∼ 4ABC s koeficientem podobnosti k = 3. |AB| = 1, 5 cm, |6 ABC| = 60◦ , |6 BCA| = 35◦ 7.1.5 Troj´ uehln´ıky ABC a DEF jsou podobn´e. Vypoˇc´ıtejte obvody tˇechto dvou troj´ uheln´ık´ u, zn´ame-li |AB| = 5 cm, |AC| = 7, 2 cm, |DE| = 4, 2 cm. Pomˇer podobnosti troj´ uheln´ık˚ u je a) 3, b) 52 , c) 32 . 7.1.6 Troj´ uehln´ıky KLM a OPQ jsou podobn´e, s pomˇerem podobnosti 27 . Jak´ y je obsah troj´ uheln´ıku KLM, jestliˇze obvod rovnostrann´eho troj´ uheln´ıku OPQ je 21 cm?
7.2
Z´ aklady r´ ysov´ an´ı
7.2.1 Nar´ ysujte a) plnou, b) ˇca´rkovanou, c) ˇcerchovanou d) teˇckovanou pˇr´ımku. 7.2.2 Doplˇ nte k´oty do n´asleduj´ıc´ıho obr´azku, v´ıte-li, ˇze jeden ˇctvereˇcek odpov´ıda 10ti cm.
36
7.2.3 Nar´ ysujte p˚ udorys a n´arys pyramidy sloˇzen´e ze tˇrech krychliˇcek o hranˇe 4 cm.
7.2.4 Nar´ ysujte p˚ udorys a n´arys krychle o hranˇe 3 cm, kter´a m´a uvnitˇr ˇctvercov´ y otvor o hranˇe 1 cm.
37
7.2.5 Honz´ık si chce postavit raketu ze ˇsesti kostek o hranˇe 2 cm, a jednoho jehlanu kter´ y m´a hranu podstavy i v´ yˇsku tak´e rovnu 2 cm. Pomozte mu k n´ı vyrobit pl´any p˚ udorysny a n´arysny.
7.2.5 Nar´ ysujte p˚ udorys a n´arys t´eto stavby, kter´a je zhotoven z kostek o hranˇe 4 cm.
38
7.3
Tˇ elesa
7.3.1 Nar´ ysujte s´ıˇt jehlanu se ˇctvercovou podstavou o d´elce hrany a = 3 cm a v´ yˇsce v = 5 cm. 7.3.2 Nar´ ysujte s´ıˇt v´alce s polomˇerem podstavy r = 2 cm a v´ yˇskou v = 4 cm. 7.3.3 Jak´ y je povrch a objem pravideln´eho ˇctyˇrbok´eho jehlanu, kter´ y je vysok´ y 8 cm a m´a obsah podstavy 25 cm2 ? 7.3.4 Jak´ y je povrch a objem v´alce, kter´ y je vysok´ y 6 cm a m´a polomˇer podstavy 2 cm ? 7.3.5 Jak´ y je povrch a objem ˇctyˇrstˇenu o d´elce hrany 4, 21 cm? y je vodn´ı 7.3.6 Sud o objemu 120 l je naplnˇen ze 43 vodou. Jak vysok´ sloupec, v´ıme-li, ˇze pr˚ umˇer podstavy sudu je 0, 5 m ? 7.3.7 Jak´ y je povrch a objem kuˇzelu o polomˇeru podstavy 2 cm a v´ yˇsce 6 cm? 7.3.8 Vypoˇc´ıtejte povrch a polomˇer koule o objemu 63, 585 cm3 . 7.3.9 Jak´ y je povrch a objem kuˇzelu, jestliˇze je jeho v´ yˇska 1, 2 dm a u ´hel ◦ mezi podstavou a boˇcn´ı hranou je roven 30 ? 7.3.10 Jak´ y je povrch a objem pravideln´eho ˇctyˇrbok´eho jehlanu, jestliˇze d´elka u ´hlopˇr´ıˇcky v podstavˇe je 7, 07 cm a u ´hel mezi touto u ´hlopˇr´ıˇckou a hranou jehlanu je 60◦ ?
39
8
´ Ulohy z matematick´ ych olympi´ ad
8.1 (Z9 - I - 5(50)) Doplˇ nte do jednotliv´ ych troj´ uheln´ık˚ u na obr´azku jednotliv´a ˇc´ısla tak, aby se v kaˇzd´em lichobˇeˇzn´ıku tvoˇren´ ym tˇremi troj´ uheln´ıky souˇcet nˇekter´ ych dvou ˇc´ısel rovnal tˇret´ımu.
8.2 (Z9 - III - 3(48) )Doplˇ nte ˇc´ısla do ˇctvereˇck˚ u tak, aby v kaˇzd´em vnitˇrn´ım ˇctvereˇcku byl souˇcet okoln´ıch ˇctyˇr.
40
8.3 (Z4 - I - 4(43)) Vˇsimnˇete si, ˇze ˇc´ıslo 231213 m´a mezi trojkami tˇri ˇc´ısla, dvojkami dvˇe ˇc´ısla a jedniˇckami jedno ˇc´ıslo. Najdˇete osmicifern´e ˇc´ıslo, kter´e bude m´ıt mezi pˇetkami pˇet ˇc´ısel, ˇctyˇrkami ˇctyˇri ˇc´ısla, trojkami tˇri ˇc´ısla, dvojkami dvˇe ˇc´ısla a jedniˇckami jedno ˇc´ıslo. Najdˇete jich co nejv´ıce. 8.4 (Z5 - I - 3(41))Na obr´azku je zaˇca´tek spir´aly sloˇzen´e ze 100 polokruˇznic, kter´e maj´ı sv´e stˇredy na ˇc´ıseln´e ose v bodech 0 a 1. Ve kter´em bodˇe na ˇc´ıseln´e ose tato spir´ala skonˇc´ı?
41
8.5 (Z7 - I - 4(50)) Wilhelm Tell, kdyˇz byl jeˇstˇe Vil´emek, stˇr´ılel na terˇc (zn´azornˇen´ y na obr´azku). Pˇritom nevystˇrelil v´ıce jak dvacetkr´at, kaˇzd´ ym ˇs´ıpem terˇc zas´ahl a pr˚ umˇernˇe z´ıskal 17 bod˚ u na z´asah. Kolik mohl z´ıskat maxim´alnˇe bod˚ u?
8.6 (Z8 - I - 2(41)) Kaˇcka dostala za dom´ac´ı u ´kol spoˇc´ıtat rovnici, jej´ıˇz lev´a strana byla 5+x 4−x + 2 = 3 Na prav´e stranˇe bylo ˇc´ıslo, kter´e si zapomnˇela opsat. Doma si tedy zvolila jedno ˇc´ıslo a u ´lohu vyˇreˇsila. Ve ˇskole zjistila, ˇze si zvolila ˇc´ıslo dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz mˇela, a proto j´ı koˇren vyˇsel o 2 vˇetˇs´ı neˇz mˇel. Jak znˇela dom´ac´ı u ´loha? 8.7 (Z8 - I - 3(47)) ◦ ◦ ◦ Je dan´ y deltoid ABCD s u ´hly √ pˇri vrcholech B, C, D v poˇrad´ı 90 , 135 , 90 a d´elkou u ´hlopˇr´ıˇcky |BD| = 2 cm. Vypoˇc´ıtejte pˇresnˇe d´elku u ´hlopˇr´ıˇcky AC.
42
8.8 (Z8 - I - 1(50)) Vojta doplnil do vrchn´ıho ˇra´dku sˇc´ıtac´ıho troj´ uhln´ıku pˇet r˚ uzn´ ych prvoˇc´ısel. Jejich souˇcet byl 50. Jak´e nejvyˇsˇs´ı ˇc´ıslo mu mohlo vyj´ıt ”dole”?
8.9 (Z5 - II - 3(50)) Na kostk´ach ve spodn´ı vrstvˇe pyramidy, kter´a je na obr´azku, jsou napsan´a pˇrirozen´a sud´a ˇc´ısla. Jejich souˇcet je 100. Na dalˇs´ıch kostk´ach je napsan´ y souˇcet kostek, na kter´ ych tato kostka stoj´ı . Jak´e nejniˇzˇs´ı ˇc´ıslo m˚ uˇze b´ yt napsan´e na vrchn´ı kostce?
43
8.10 (Z7 - I - 1(48)) Uˇcitel napsal na tabuli pˇrirozen´e ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz 50 000. Prvn´ı ˇz´ak se pˇrihl´asil a ˇrekl, ˇze je dˇeliteln´e dvˇemi. Druh´ y ˇza´k se pˇrihl´asil a ˇrekl, ˇze je dˇeliteln´e tˇremi. Tˇret´ı ˇz´ak se pˇrihl´asil a ˇrekl, ˇze je dˇeliteln´e ˇctyˇrmi. Takto to pokraˇcovalo, aˇz dvan´act´ y ˇz´ak prohl´asil, ˇze je toto ˇc´ıslo dˇeliteln´e tˇrin´acti. Vˇsechna tvrzen´ı krom dvou ˇza´k˚ u kteˇr´ı hovoˇrili za sebou byla pravdiv´a. Jak´e ˇc´ıslo uˇcitel na tabuli napsal? 8.11 (Z9 - I - 6(49)) Ve vrcholech ˇctverce jsou napsan´a ˇc´ısla 1,2,3 a 4. Pavel mnˇenil ˇc´ısla vˇzdy v ˇ ve vˇsech tˇrech zvˇetˇsil ˇc´ıslo o 1, nˇekter´e trojici sousedn´ıch vrchol˚ u takto: Bud a nebo ho v vˇsech tˇrech o jena zmenˇsil (viz prvn´ı ˇr´aek obr´azku). a) M˚ uˇze Pavel popsan´ ymi opracemi dostat ˇctvereec se sam´ ymi ˇctyˇrkami? b) Kter´e z n´asleduj´ıc´ıch obrazc˚ u jde uveden´ ym zp˚ usobem zmˇenit tak, jak je to zn´azornˇen´e na obr´azc´ıch? (Proˇc?)
44
8.12 (Z8 - I - 5(49)) Najdˇete ˇctyˇrcifern´e ˇc´ıslo dˇeliteln´e 7, pro kter´e plat´ı: - souˇcet prvn´ıch dvou cifer je 10, - souˇcet prostˇredn´ıch dvou cifer j 10, - souˇct poslen´ıch vou cifer je 9. 8.13 (Z5 - I - 3(48)) Jak´ y nejmenˇs´ı poˇcet ˇs´ıp˚ u musel zas´ahnout terˇc, jestliˇze je souˇcet nastˇr´ılen´ ych bod˚ u 150?
45
9
V´ ysledky
2. Soustavy line´ arn´ıch rovnic 2.1 a) x = 3, y = 1 , b) x = 2, y = 0, c) x = 4, y = 1 15 , d) x = 2,y = 45 , e) 4 5 1 x = 11 , y = 11 , f) x = 10 , y = 1 35 2.2 a) x = −5, y = 13 , b) x = 1 41 , y = − 12 , c) x = 7, y = −7, d) x = −3, y = 1 61 , e) x = −3, y = 2 2.3 a) x = −2 21 , y = −6 12 , b) x = 1, y = 1 23 , c) x = 1 23 ,y = 1, d) x = −1,y = 2, e) x = 71 , y = − 74 , f) x = 4 13 , y = −1 51 2.4 a) x = 2 45 , y = 25 , b) x = 2 45 , y = 2 25 , c) x = 1 75 , y = 57 , 3 , e) nem´a ˇreˇs. (x 6= −2), f) x = 2 16 , y = − 65 d) x = 15 , y = −2 10 2.5 a) x = 1, y = 0 , b) x = 13 , y = − 32 , c) x = 1,y = 5, d) nem´a ˇreˇs., e) x = −3, y = 1, f) x = 14 , y = − 41 17 2.6 a) x = 5, y = 4 , b) x = 31 , y = 10 , c) x = 4,y = −2, 10 √ √ 16 1 28 , y = 4 35 d) x = 3, y = 2, e) x = − 31 , y = 31 ,f) x = 1 10
2.7 a) x = −4, y = −2 , b) x = 7, y = 5, c) x = 5, y = 6, d) x = 2, y = 2, e) x = −2, y = 5,f) x = − 23 , y = 0
3 Lomen´ e v´ yrazy 3.1 a) x 6= 0, b) x 6= 0, y 6= 0, c) x 6= 2, y ∈ R, d) x 6= − 31 , y 6= 1, e) x 6= 0, f) x ∈ R, y 6= − 31 ; 3 3.2 a) a 6= 3b, b) a 6= 0, b 6= 0, c) a ∈ R, b 6= ±2, d) a 6= ±b, e) a 6= 0;4, b 6= 0, f) a 6= 0;1, b 6= ± 34 √ x 0 3 5 −2 −4 √ 10 3.3 x+3 3 6 1 10+3 nem´a ˇreˇs. 21 − 19 25−x2 25 16 15 3.4 a) x = 0, b) x = 12 , c) x = −1, d) x = ±4, e) x = 2;3, f) x = 2
46
3.5 a)
4a2 , b
b)
2ab , 9c2
c)
3a2 , 5
d)
a−4 , 2
e)
3ab+4 , 3a2 b2
f)
2bc+3c 6b−3bc
3.6 a) 2x2 + 2x;x 6= 0, b) 5x+5y ;x 6= y, c) −x2 − xy − 2y 2 ;x 6= ±y, 2 2 2 −6xy 3x−y d) −3 + 4x+y ;x 6= ± 14 y, e) (x−1) ;x 6= −1, f) 4xx+2 ;x 6= −2;0 x+1 3.7 a) x 6= 0, b) x =6= 0, c) x 6= 2, d) x 6= − 45 , e) x 6= ±2, f) x ∈ R 3.8 a) a 6= 0, b 6= 0 b) m 6= 0, n 6= 0, c) u 6= 0;5, d) s 6= 0;1, e) k 6= − 34 ;0, f) t 6= ± 52 3.9 a) x = 0, b) x = 2, c) x = − 52 , d) x = 0;4, e) x = ±3, f) x = 1 3.10 a) x = 1, b) x = 0, c) x = −7, d) x = 5, e) x = −2, f) nem´a ˇreˇs.
4 Rovnice s nezn´ amou ve jmenovateli , 4.1 a) x = 1, b) x = 2, c) nem´a ˇreˇs. (x 6= 2), d) x = 6, e) x = − 21 8 14 f) x = − 15 4.2 a) x = −7, b) x = 78 , c) x = 25, d) x = 1, e) x = 4.3 a) x = − 74 , b) x = 2, c) x = 25 , d) x =
12 , 5
3 4
e) nem´a ˇreˇs. (x 6= − 43 )
4.4 a) x = 32 , b) x = − 13 , c) nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇs. , d) nem´a ˇreˇs. , e) x = 56 , f) nem´a ˇreˇs. 4.5 a) nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇs. , b) x = − 37 , c) x = −13, d) x = 6, e) 31 , f) x = 2 4.6 a) x =
3 2
, b) x = −1, c) x = −3, d) x = 0, e) nem´a ˇreˇs. , f) x = −4
47
5 Funkce 5.1 Soustava souˇ radnic 5.1.1 A[2; 3], B[4; 0], C[−1; 2], D[−2; −3], E[1; −1], F [−4; 0], G[4; 0] 5.1.2 b´ıl´e: p [3; b] ; [5; c], V [1; g], K [1; d] ˇcern´e: p [6; e] ; [7; f ]; [5; g] ; [6; h], V [2; h], D [2; d], K [8; g] 5.1.3
5.1.4 a) B1 [−3; −2], b) B2 [3; 2], c) B3 [3; −2] 5.1.5 A[3; 1], B[0; 4], C[−3; 3], D[1; −2], E[−2; 1], F [−3; −2]
48
5.1.6 A1 [3; −1], B1 [1; −2], C1 [−1; −2]
5.1.7 Kˇriˇzn´ık se nach´az´ı na souˇranic´ıch 3A; 2B; 3B; 4B; 3C Ledoborec na souˇradnic´ıch F8; G8; H7; H8 B´arky na souˇranic´ıch A8 a G3 5.2 Funkce jako z´ avislost 5.2.1 a) je zad´an´ım funkce D = {0; 1; 4; 9; 16} b) je zad´an´ım funkce D = {−3; −2; −1; 3; 4} c) nen´ı zad´an´ım funkce, pro x = 3 jsou 2 funkˇcn´ı hodnoty a) je zad´an´ım funkce D = {0; 4; 5; 7; 10}
49
5.2.2 a) je grafem funkce D =< −3; −2 > ∪ < −1; 4 > b) nen´ı grafem funkce c) je grafem funkce D =< −6; 6 > d) je grafem funkce D =< −4; 6) e) nen´ı grafem funkce f) je grafem funkc D = {−2}∪ < −1; 2 > ∪{3} 5.2.3 a) f2 , b) f5 , c) f3 , d) f4 , e) f6 , f) f1 , 5.3 Funkce - Pˇ r´ım´ a a nepˇ r´ım´ a u ´ mˇ ernost 5.3.1 a)pˇr´ım´a u ´mˇernost, b)nepˇr´ım´a u ´mˇernost, c)pˇr´ım´a u ´mˇernost, d)nepˇr´ım´a u ´mˇernost, e)pˇr´ım´a u ´mˇernost, f)pˇr´ım´a u ´mˇernost, g)nepˇr´ım´a u ´mˇernost 5.3.2 Vybralo by se 16 250 Kˇc. 5.3.3 V hrnci bude 49,57 % vody. 5.3.4 Musel by bˇeˇzet rychlost´ı 7.02
m s
.
5.3.5 Krov stihnou za 2 dny a 8 hod. 5.3.6 Sedm triˇcek uschne tak´e za 3 hod. (nejedn´a se o u ´mˇernost) 5.3.7
50
5.4 Line´ arn´ı funkce 5.4.1 b)
a)
d) c)
51
5.4.2 a) y = −x + 4, b) y = 15 x + 59 , c) y = 4x − 4, d) y = 15 x +
19 5
5.4.3 a) [ 34 ; 0], [0; −3], b) [−1; 0], [0; 5], c) [−3; 0], [0; − 32 ], d) [− 32 ; 0], [0; 34 ] 5.4.4
x y
10 −3 0 − 13 2
1 − 92
1 2 − 19 4
4 13 16 −3 32 3
5.4.5 a) rostouc´ı, b) rostouc´ı, c) ani rostouc´ı ani klesaj´ıc´ı, d) klesaj´ıc´ı, e) rostouc´ı 5.4.6 p1 a p2 r˚ uznobˇeˇzky, p1 a p3 rovnobˇeˇzky, p2 a p3 r˚ uznobˇeˇzky
52
5.5 Kvadratick´ e funkce 5.5.1
5.5.2 x y
1 ±3 3 27
1 3 1 3
±2 12
2 3 4 3
-4 0 48 0
5.5.3 a) y = −3x2 − 1, b) y = 12 x2 − 3, c) y = x2 + 2 √ √ 5.5.4 a) [3; 0], [−3; 0], b) [4; 0], [−4; 0], c) [2; 0], [−2; 0], d) [ 2; 0], [− 2; 0] 5.5.5 a) y = 2x2 , b) y = 12 x2 , c) y = 16 x2 , d) y = 51 x2
53
5.5.6 a) s osou x [1; 0], [−1; 0], s osou y [0; 3], b) rostouc´ı na (−∞; 0 >, klesaj´ıc´ı na < 0; ∞), c) (−1; 1), d) (−∞; −1) ∪ (1; ∞)
5.6 Goniometrick´ e funkce 5.6.1 a) 0, 64, b) 0, 99, c) 0, 68, d) 0, 39, e) 0, 23, f) 0, 52 5.6.2 a) 0, 95, b) 0, 62, c) 0, 89, d) 0, 72, e) 0, 97, f) 0, 14 5.6.3 a) 0, 34, b) 0, 65, c) 5, 14, d) 1, 28, e) 1, 12, f) 6, 90 5.6.4 a) 1, 15, b) 1, 33, c) 0, 11, d) 1, 06, e) 2, 02, f) 1, 20
54
5.6.5 α sin x cos x tan x
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
0 1 0
1 √2 3 √2 3 3
2 √2 2 2
3 2 1 √2
1 0 0 −1 nelze 0
√
1
√
3
180◦
5.6.6 a) 32◦ 410 , b) 19◦ 570 , c) 74◦ 190 , a) 32◦ 410 , a) 26◦ 70 , e) 12◦ 430 , f) 19◦ 570 , g) 5◦ 90 , h) 13◦ 200 5.6.7 ◦
rad
20 225 126 18, 34 95 333, 46 141 36, 1 0, 11 3, 93 2, 2 0, 32 1, 66 5, 82 2, 46 0, 63
5.6.8 α = 263◦ , β = 235◦ , γ = 34 π rad, δ = 56 π rad, = 191◦ , η = 12 π rad 5.6.9 α = 38◦ 400 , β = 51◦ 200 5.6.10 β = 65◦ , a = 4, 53 cm, b = 2, 11 cm 5.6.11 e = 2, 58 cm, α = 51◦ , β = 129◦ 5.6.12 a) sin, b) tan, c) cos, d) cot 5.6.13 a) sin 31◦ 200 < cos 58◦ 300 b) cos 47◦ 180 < sin 42◦ 480 c) tan 78◦ 360 > cot 11◦ 300 d) cot 32◦ 350 = tan 57◦ 250
6 Finanˇ cn´ı matematika 6.1 Jednoduch´ eu ´ rokov´ an´ı 6.1.1 Jana si na konci roku vybere 510 Kˇc. Za 5 let si vybere 17 550 Kˇc. ´ 6.1.2 Urokov´ a sazba je 2,5 % dennˇe. Po 2 t´ ydnech Karel dostane 235 Kˇc.
55
6.1.3 Petra by musela m´ıt uloˇzen´e pen´ıze po dobu 5ti mˇes´ıc˚ u. 6.1.4 Michal uloˇzil do banky 375 500 Kˇc. 6.1.5 Mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´a sazba je 0,8 %. 6.1.6 Pro Ondru je v´ yhodnˇejˇs´ı u ´ˇcet s mˇes´ıˇcn´ı u ´rokovou sazbou, kde za dva roky vydˇel´a o 0,6 % v´ıce. 6.1.7 Aniˇcka bude m´ıt po 7mi letech na u ´ˇctu 44 555 Kˇc. 6.2 Sloˇ zen´ eu ´ rokov´ an´ı 6.2.1 Marek bude m´ıt po 3 letech na u ´ˇctˇe 168 114 Kˇc. 6.2.2 Karel si bude moci kolo koupit za 6 mˇes´ıc˚ u. (na u ´ˇctu bude m´ıt 7 821 Kˇc) 6.2.3 Mark´eta pˇriˇsla o 57 085 Kˇc. 6.2.4 Mˇes´ıˇcn´ı u ´rokov´a sazba byla 0,4 %. 6.2.5 Tereza si uloˇzila 1 746 841 Kˇc. 6.2.6 Cihliˇcka bude m´ıt hodnotu 912 066 Kˇc. 6.2.7 Ne, na druh´em u ´ˇctu si Ivan bˇehem 3 let vydˇel´a o 1,9 % v´ıce.
7 Geometrie 7.1 Podobnost troj´ uheln´ık´ u 7.1.1 a) nepravdiv´e (mus´ı se jednat o u ´hel tˇemito stranami sevˇren´ y ˇci proti vˇetˇs´ı ze stran), b) pravdiv´e, c) nepravdiv´e (toto plat´ı pouze u rovnostrann´eho troj´ uheln´ıku), d) pravdiv´e, e) nepravdiv´e (shodnost je speci´aln´ı pˇr´ıpad podobnosti)
56
7.1.2 4ABC ∼ 4KLM , k = 43 , 4EF G ∼ 4N OP , k =
1 2
7.1.3 a)jsou podobn´e dle vˇety sus, b) jsou podobn´e dle vˇety uu, c) nejsou podobn´e, d) jsou podobn´e dle vˇety Ssu 7.1.4
7.1.5 a) o(ABC) = 13, 6 cm, o(DEF ) = 40, 8 cm b) o(ABC) = 22, 7 cm, o(DEF ) = 9, 08 cm c) o(ABC) = 15 cm, o(DEF ) = 22, 5 cm 7.1.6 s(ABC) = 1, 73 cm
57
7.2 Z´ aklady r´ ysov´ an´ı 7.2.1
7.2.2
58
7.2.3
7.2.4
59
7.2.5
7.2.5
60
7.3 Tˇ elesa 7.3.1
7.3.2
61
7.3.3 S = 108, 82 cm2 , V = 66, 67 cm3 7.3.4 S = 301, 44 cm2 , V = 75, 36 cm3 7.3.5 S = 30, 70 cm2 , V = 8, 79 cm3 7.3.6 V´ yˇska vodn´ıho sloupce v sudu je 0, 46 m. 7.3.7 S = 52, 28 cm2 , V = 25, 12 cm3 7.3.8 r = 3cm, S = 113, 04 cm2 7.3.9 S = 1748, 06 cm2 , V = 2712, 96 cm3 7.3.10 S = 33, 92 cm2 , V = 95, 71 cm3
´ 8 Ulohy z matematick´ ych olympi´ ad 8.1 (Z9 - I - 5(50)) Chybˇej´ıc´ı ˇc´ısla v jednotliv´ ych troj´ uheln´ıc´ıch oznaˇcte p´ısmeny a,b,c,d (viz obr´azek). Vezmˇete si dva lichobˇeˇzn´ıky, prvn´ı tvoˇr´ı troj´ uheln´ıky a,b 153 a druh´ y tvoˇr´ı a b 291. Plat´ı, ˇze souˇcet nˇektr´ ych dvou ˇc´ısel se rovn´a tˇret´ımu.a + b = 153, a + 153 = b, b + 153 = a a + b = 291, a + 291 = b, b + 291 = a a) Vezmˇete a + b = 153 ;a + 291 = b ˇreˇsen´ım t´eto soustavy (napˇr. substituc´ı b z 2. rovnice) dost´av´ame a = −69 b = 222 b) Vezmˇete a + b = 153 ; b + 291 = a ˇreˇsen´ım t´eto soustavy dost´av´ame b = −69 a = 222 c) Vezmˇete a + b = 291 ; a + 153 = b ... a = 69 b = 222 d) Vezmˇete a + b = 291 ; b + 153 = a ... b = 69 a = 222 Ze symetrie ˇc´ısel v obr´azku vypl´ yv´a, ˇze c, d ∈ {−69; 69; 222}. Jestliˇze a = ±69 potom c 6= 222 a jestliˇze a = 222 potom d = ±69 u ´loha m´a 8 ˇreˇsen´ı
62
a −69 −69 69 69
b c d 222 −69 222 222 69 222 222 69 222 222 −69 222
a b c 222 −69 222 222 69 222 222 69 222 222 −69 222
d −69 69 −69 69
8.2 (Z9 - III - 3(48)) Doplˇ nte do stˇredu nezn´am´e x, y a dopiˇste jak´a ˇc´ısla jsou v ostatn´ıch pol´ıˇck´ach, i pro pol´ıˇcka s nezn´am´ ymi x a y. Mus´ı platit podm´ınka o soused´ıc´ıch ˇc´ıslech. Dost´av´ame dvˇe rovnice o dvou nezn´am´ ych. x = (x + 12) + (x + 8) + (x + y + 5) + (x + y + 5) y = (y + 12) + (y + 8) + (x + y + 5) + (x + y + 5) ˇ sen´ım je x = −6, y = −6 Reˇ 8.3 (Z4 - I - 4(43)) Zaˇcnˇete um´ıstˇen´ım ˇc´ısla 5 jsou dvˇe moˇznosti zrcadlovˇe obr´acen´e 5 * * * * *5 * a * 5 * * * * * 5 pot´e uˇz existuje vˇzy jen jna moˇznost jak doplnit do symetrick´ ych ˇc´ısel. ˇ sn´ım je tedy rozm´ıstˇen´ı cifer 52412154 a 45121425. Reˇ 8.4 (Z5 - I - 3(41)) Stˇred kruˇznice je stˇr´ıdavˇe v bodˇe 0 a 1. Kruˇznice se sud´ ym poˇradov´ ym ˇc´ıslem m´a stˇred v bodˇe 1. Prvn´ı kruˇznice m´a polomˇer 1, druh´a 2 a tak d´ale. Pˇri napojen´ı kruˇznice na spir´alu se zvˇetˇs´ı jej´ı polomˇer o 1 oproti polomˇeru kruˇznice, na kter´ y se napojila.Proto st´a kruˇznice bude m´ıt polomˇer 100 a jelikoˇz je sud´a, tak stˇred v bodˇe 1. Posledn´ı spir´ala tedy skonˇc´ı v bodˇe 101 na ˇc´ıseln´e ose. 63
8.5 (Z7 - I - 4(50)) Kdyˇz vˇsechna ˇc´ısla na terˇci jsou dˇeliteln´a 6ti souˇcet bod˚ u mus´ı b´ yt t´eˇz dˇeliteln´ y 6ti. Na jeden z´asah z´ıskal Vil´emek pr˚ umˇernˇe 17 b takˇze souˇcet bod˚ u mus´ı b´ yt tak´e dˇeliteln´ y ˇc´ıslem 17. Jelikoˇz ˇc´ısla 6 a 17 jsou nesoudˇeln´e, pˇripaaj´ı v u ´vahu jn jejich spolˇcn´e n´asobky: 102, 204, 306, 408 ,,, 408 : 17 > 20 306 : 17 = 18 Vil´emek mohl z´ıskat maxim´alnˇe 306 bod˚ u na 18 z´asah˚ u. 8.6 (Z8 - I - 2(41)) Zvolte ˇc´ıslo na prav´e stranˇe tak, jak si ho zvolila Kaˇcka. Oznaˇcte ho p´ısmenem y a ˇreˇste rovnice: + 4−x = y ... po u ´pravˇe dostanete x = 22 − 6y doma: 5+x 3 3 y 5+x 4−x ˇskola: 3 + 3 = 2 ... po u ´pravˇe dostanete x = 22 − 3y Kdyˇz od koˇrene, kter´ y vyˇsel Kaˇcce doma oˇctete 2 mˇeli byste dostat koˇren, kter´ y vyˇsel ve ˇskole. 22 − 6y − 2 = 22 − 3y ... y = − 32 Kaˇcka si tedy doma zvolila ˇc´ıslo y − 32 a mˇelo b´ yt y2 = − 23 avˇsak − 23 < − 13 coˇz nevyhovuje zad´an´ı u ´lohy. ´ Uloha nem´a ˇreˇsen´ı.
64
8.7 (Z8 - I - 3(47)) Troj´ uheln´ıky ABC, ACD jsou pravo´ uhl´e se stejnou pˇreponou AC. Body B, D leˇz´ı na Th´aletovˇe kruˇznici nad AC. Tato kruˇznice je z´arovˇ n kruˇznic´ı opsanou troj´ uhln´ıku ACD. Kdyˇz S je stˇre t´eto kruˇznice, potom plat´ı: |SA| = |SB| = |SC| = |SD| = 12 |AC| • Urˇcete vlikost jednotliv´ ych u ´hl˚ u: 6| DAB| = 360◦ − 135◦ − 2(90◦ ) = 45◦ |6 CAB| = |6 CAD| = 12 45◦ = 22, 5◦ • Troj´ uheln´ıky ABS a ASD jsou rovnoramenn´e se z´akladnami AB a AD. |6 BSA| = |6 DSA| = 180◦ − 2(22, 5◦ ) = 135◦ • |6 DSB| = 360◦ − 2(135◦ ) = 90◦ To znamen´a, ˇze troj´ uheln´ık DSB je pravo´ uhl´ y, rovnoramenn´ y se z´akladnou DB.√ Podle Pythagorovy vˇety: |SB|2 + 2 |SD|2 = |BD|2 ; |SB| = |SD| → |SB|2 = ( 22) = 1 cm; |AC| = 2|SB| = 2 cm D´elka u ´hlopˇr´ıˇcky AC je 2 cm.
65
8.8 (Z8 - I - 1(50)) Oznaˇcme prvoˇc´ısla, kter´a Vojta vepsal do prvn´ıho ˇr´aku, p´ısmnami a, b, c, d, e, pˇriˇcemˇz a + b + c + d + e = 50 V´ıme, ˇze c = 50 − (a + b + d + e), potom ˇc´ıslo v posledn´ım ˇra´dku se rovn´a 300 − (5a + 2b + 2d + 5e). Aby ˇc´ıslo v posledn´ım ˇra´dku bylo nejvˇetˇs´ı, mus´ı b´ yt prvoˇc´ısla a, b, d, e co nejmenˇs´ı. 50 − (2 + 3 + 5 + 7) = 33 .. nen´ı prvoˇc´ıslo 50 − (2 + 3 + 5 + 11) = 29 ˇ ısla b, d jsou ve v´ C´ yraze v posledn´ım ˇr´adku obsaˇzena ˇctyˇrikr´at, ˇc´ısla a, e jen jednou. Proto prvoˇc´ısla 5 a 11 pˇriˇrd´ıme p´ısmen˚ um b, d a poslen´ı dvˇe nejmenˇs´ı 2 a 3 p´ısmen˚ um a, e . Vojta m˚ uˇze rozm´ıstit prvoˇc´ısla ˇctyˇrmi zp˚ usoby 3—5—29—11—2 , 2—5—29—11—3, 2—11—29—5—3 a 3—11—29—5—2 Vojtovi mohlo vyj´ıt nejv´ıˇse ˇc´ıslo 243.
66
8.9 (Z5 - II - 3(50)) Aby na vrchn´ı kostce bylo co nejmenˇs´ı ˇc´ıslo, ˇc´ısla v niˇzˇs´ı vrstvˇe mus´ı b´ yt co nejmenˇs´ı a ˇc´ısla v nejniˇzˇs´ı vrstvˇe mus´ı b´ yt tak´e co nejmenˇs´ı. ve spon´ı vrstvˇe s nach´az´ı devˇet r˚ uzn´ ych su´ ych ˇc´ısel, jejichˇz souˇcet je 100. Njmenˇs´ı ˇc´ısla tdy jsou: 100 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 28 Doprostˇred um´ıst´ıme nejniˇzˇs´ı ˇc´ıslovku (2) a o roh˚ u naopak nejvyˇsˇs´ı (28;16;14;12). Po doplnˇen´ı dost´av´ame koneˇcn´ y souˇcet 134. Na vrchn´ı kostce bud ˇc´ıslo 134. 8.10 (Z7 - I - 1(47)) Ze zad´an´ı u ´lohy v´ıme, ˇze dvˇe za sebou jdouc´ı tvrzen´ı jsou nespr´avn´a. Zaˇcneme dˇelitelnost´ı 12. kyˇz ˇc´ıslo nen´ı dˇeliteln´e 12 potom nen´ı dˇeliteln´e 11 nebo 13. Potom ale 3 a 4 dˇel´ı dan´e ˇc´ıslo coˇz je v rozporu s t´ım, ˇze 12 nedˇel´ı uˇcitelovo ˇc´ıslo , tud´ıˇz ˇc´ıslo 12 dˇel´ı ˇc´ıslo na tabuli. Je-li dˇeliteln´e 12 je i 2,3,4,6. D´ale ˇc´ıslo mus´ı b´ yt dˇeliteln´e i 5 a 13 (dvˇe za sebou ˇ jdouc´ı tvrzen´ı jsou nespr´avn´a). C´ıslo je dˇeliteln´e 2 a 5 tud´ıˇz je i 10. Z˚ ustali ˇ ıslo 11 m˚ ˇc´ısla 7, 8, 9 a 11.C´ uˇzeme vylouˇcit stejnˇe jako ˇc´ısla 5 a 13. Z˚ ustala trojice ˇc´ısel 7, 8, 9. • Kdyˇz ˇc´ıslo nn´ı dˇeliteln´e 7 a8, potom hledan´e ˇc´ıslo je 3∗5∗11∗12∗13 = 25740 • Kdyˇz ˇc´ıslo nn´ı dˇeliteln´e 8 a9, potom hledan´e ˇc´ıslo je 5∗7∗11∗12∗13 = 60060, coˇz je ale vˇetˇs´ı neˇz 50 000. Uˇcitel napsal na tabuli ˇc´ıslo 25 740. 8.11 (Z9 - I - 6(49)) ˇ a) Ctverec zadan´ ych vlastnost´ı se d´a takto zmnˇenit napˇr´ıklad posloupnost´ı (1; 2; 3; 4) → (2; 3; 3; 5) → (3; 4; 4; 5) → (4; 5; 5; 5) → (4; 4; 4; 4) b) Troj´ uheln´ık se takto zmˇenit ned´a - roz´ıl ve dvou vrcholch je vˇzdy 1 nebo2 a nem˚ uˇzeme ho zmˇenit na 0. Kaˇzdou operac´ı pˇrid´ame ˇci ubereme ˇc´ıslo 3, celkovˇe tedy pˇrid´ame ˇci ubereme n´asobek ˇc´ısla 3 a v pˇeti´ uheln´ıku potˇrebujeme pˇridat 4 + 3 + 2 + 1 = 10, coˇz nejde. Sedmi´ uheln´ık se d´a pˇrepsat takto: (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) → (2; 3; 3; 4; 5; 6; 8)→ (3; 4; 4; 4; 5; 6; 8)→ (4; 5; 5; 4; 5; 6; 8)→ (5; 6; 6; 4; 5; 6; 8) → (6; 7; 7; 4; 5; 6; 8)→ (7; 8; 8; 4; 5; 6; 8)→ (7; 7; 7; 3; 5; 6; 8)→ (7; 7; 75; 6; 7; 8)→ (7; 7; 75; 7; 8; 8)→ (7; 7; 8; 6; 8; 8; 8)→ (7; 7; 8; 6; 7; 7; 7)→ (7; 7; 8; 7; 8; 8; 7)→ (8; 8; 8; 7; 8; 8)→ (7; 7; 7; 7; 8; 8; 8)→ (7; 7; 7; 7; 7; 7; 7)
67
8.12 (Z8 - I - 5(49)) Oznaˇcme si ˇctyˇrcifern´e ˇc´ıslo dˇeliteln´e 7 ABCD. Souˇcet prvn´ıch dvou cifer je 10: A + B = 10 Souˇcet prostˇredn´ıch dvou cifer je 10: B + C = 10 Souˇcet posledn´ıch dvou cifer je 9: C +D =9 Z prvn´ıch dvou rovnic dost´av´ame A = C, B = 10 − A, ze tˇret´ı C = 9 − D Za A postupnˇe dosad´ıme 1,...,9: 1918, 2827, 3736, 4645, 5554, 6463, 7372, 8281, 9190. Ze kter´ ych podle dˇelitelnosti 7 z´ısk´av´ame pouze dva v´ ysledky. ´ Uloha m´a dvˇe ˇreˇsen´ı 1 918 a 8 281. 8.13 (Z5 - I - 3(48)) Terˇc zas´ahlo alspoˇ n 12 ˇs´ıp˚ u, jelikoˇz 150 : 13 = 11 zb.7 Zjist´ıme, ˇci je to minim´aln´ı poˇcet, nebo jich muslo b´ yt v´ıce. 150 = 13 ∗ 9 + 11 ∗ 3 Terˇc zas´ahlo 12 ˇs´ıp˚ u.
68
10
Z´ avˇ er
Neˇz jsem zaˇcal ps´at svou bakal´aˇrskou pr´aci, musel jsem si nejprve uvˇedomit a stanovit c´ıle sv´e pr´ace, podle kter´ ych jsem se v tomto rozs´ahl´em t´ematu mohl orientovat. Hlavn´ım c´ılem bylo vytvoˇrit Sb´ırku pˇr´ıklad˚ u z matematiky pro 9roˇc. z´akladn´ı ˇskoly. Pokud to bylo moˇzn´e, tak jsem do jednotliv´ ych kapitol vloˇzil jak poˇcetn´ı pˇr´ıklady, tak slovn´ı u ´lohy. Jednotliv´e pˇr´ıklady jsem se snaˇzil zvolit tak, aby byly praktick´e a z kaˇzdodenn´ıho ˇzivota. Inspiraci jsem ˇcerpal z literatury (viz. Seznam pouˇzit´e literatury). Souˇc´ast´ı sb´ırky jsou i vypracovan´e v´ ysledky pˇr´ıklad˚ u, vˇcetnˇe postup˚ uv kapitole 8. Postupy jsem uvedl z d˚ uvodu vyˇsˇs´ı obt´ıˇznosti. Vypracov´an´ı sb´ırky je pro mˇe velice pˇr´ınosn´e, uˇz z d˚ uvodu, ˇze ji budu moci pouˇz´ıt ve sv´e uˇcitelsk´e praxi. A d´ale, ˇze jsem se zdokonalil v pr´aci s programemTeX.
69
11
Seznam pouˇ zit´ e literatury
´ 1. Mihal´ıkov´a, B., Ondoviˇckov´a, D., Semaniˇsinov´a, I., 2003: Ulohy matematickej olympi´ady z´akladnej ˇskoly. IUVENTA, Bratislava, 12-16, 21, 30 s. ISBN- 80-8027-010-X 2. Buˇsek, I., Kub´ınov´a, M., Novotn´a, J., 1994: Matematika 9 – 1.d´ıl. Prometheus, ISBN 80-85849-58-5 3. Buˇsek,I., Kub´ınov´a, M., Novotn´a, J., 1995: Matematika 9 – 2.d´ıl. Prometheus, ISBM 80-85849-7 ˇ sa, J., 2000: Matem4. Herman, J., Chr´apav´a, V., Janˇcoviˇcov´a, E., Simˇ atika, Podobnost a funkce u ´hlu. Prometheus, ISBN 80-7196-206-6 ˇ sa, J., 2000: Matem5. Herman, J., Chr´apav´a, V., Janˇcoviˇcov´a, E., Simˇ atika, Funkce. Prometheus, ISBN 80-7196-182-5 6. Kubeˇsov´a, N., Cibulkov´a, E., 2007: Matematika, Pˇrehled stˇredoˇskolsk´eho uˇciva. FINIDR s.r.o., ISBN 978-80-86873-05-3 7. Voˇsick´ y, Z., 1999: Cviˇcen´ı k matematice v kostce pro stˇredn´ı ˇskoly. Fragment, ISBN 80-7200-251-1
70
