RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI
Novianto dan Oki Neswan SMA Negeri 1 Banawa Kabupaten Donggala Propinsi Sulawesi Tengah, Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA- ITB E-mail:
[email protected],
[email protected] ) dan ( ) ABSTRAK: Pada geometri taksi jarak antara dua titik ( ( ) | | | | dan disebut sebagai jarak didefinisikan sebagai taksi. Pada tulisan ini dikembangkan pengertian jarak taksi antara titik dan garis, serta hubungannya dengan jarak Euclid antara titik dan garis. Selanjutnya hubungan di atas digunakan untuk menentukan luas segitiga dengan menggunakan jarak taksi. Kata kunci: Jarak Euclid, jarak taksi, dan luas segitiga.
Taxicab geometry pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman yang bernama Herman Minkowski. Ia ingin membuktikan dalam kasus ini bahwa dalam menentukan jarak terpendek dari satu tempat ke tempat yang lain tidak selalu menggunakan sisi miring. Cara terbaik untuk memikirkan idenya adalah memikirkan sebuah taksi pergi dari satu tempat ke tempat yang lain, sehingga dinamakan Geometri Taksi (Poore, 2006). Pada dasarnya geometri taksi hampir sama dengan geometri koordinat Euclid, dimana titik, dan garis yang sama, serta ukuran sudut yang sama, hanya saja fungsi jarak yang berbeda. Jarak dalam geometri taksi didefinisikan sebagai penjumlahan nilai mutlak jarak vertikal dan nilai mutlak jarak horisontal antara dua titik (Krause, 1986). Hal inilah paling mendasar, yang membedakan jarak pada geometri taksi dengan jarak dalam bidang Euclid. Dalam geometri taksi jarak di notasikan sebagai sedangkan jarak dalam bidang Euclid di notasikan sebagai Misal diketahui dua buah titik ( ) dan ( ) maka jarak antara titik dan titik adalah
(
)
)
√(
(
)
dan ( ) | | | | Dalam tulisan ini, diberikan bukti lengkap jarak antara dua titik (hubungan antara jarak Euclid dan jarak taksi), jarak titik ke garis dan bukti berbeda untuk menentukan luas segitiga dalam geometri taksi. JARAK ANTARA DUA TITIK (hubungan antara dan ) Hubungan antara dan beserta sketsa buktinya dapat di lihat dalam (Çolakoğlu dan Kaya, 2008). Kami akan memberikan bukti lengkap hubungan tersebut dalam Teorema 1. ) dan ( ) Teorema 1. Jika ( dua titik yang berbeda, maka ( ) ( ) jika 1. (
2.
√
)
(
| |
) jika
dengan
adalah
gradien. Bukti : Pertama, asumsikan Misalkan Selanjutnya ( 886
)
√(
)
(
)
887, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
(
√
√
)
( ) | | √ ( ) | | | | | | | | | | Karena akibatnya ( ) ( ) Selanjutnya untuk bagian kedua asumsikan | | Maka
dan misalkan (
)
)
√( )
√(
(
)
)
)
(
√(
)
√(
)
√(
(
√(
)
√(
)
) √
(
) )
√(
√ | | Hubungan terakhir
diperoleh
karena
| | √( ) Selanjutnya bentuk terakhir dapat dikalikan dengan bentuk satu lainnya, yaitu | | | | untuk memperoleh (
| | |
√ | |
| |
|
|
√
√ | |
| |
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
(
)
Karena pada umumnya √ | |, maka kita peroleh bahwa ( ).
(
| | )
JARAK TITIK KE GARIS DALAM GEOMETRI TAKSI Untuk kasus jarak titik ke garis dalam geometri taksi, berbeda dengan jarak dalam Euclid. Jarak taksi, sangat dipengaruhi oleh kemiringan garis atau gradient garis. Adapun Lemma jarak titik ke garis dapat di lihat dalam (Kaya dkk, 2000) dan bukti lengkapnya dapat di lihat dalam tesis (Novianto, 2013). Dengan mengacu pada Teorema 1, akan diberikan rumus jarak taksi antara titik dan garis . Definisi. Secara umum, jika adalah sebuah titik, dan sebuah himpunan, maka jarak taksi antara dan adalah jarak dari ke titik di yang terdekat ke jika ada. Notasi untuk jarak taksi antara ). titik , dan himpunan adalah ( Dengan demikian ( ) ( ) Jika
√
)
|
| |
| |
adalah sebuah garis Euclid ) sebuah titik, dan (
maka ( )
(|
|
|( ) |) Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jarak taksi antara titik dan garis adalah minimum dari jarak vertikal dan jarak horisontal, seperti yang di tuliskan dalam teorema berikut. Teorema 2. Jika sebuah ( ) garis, dengan dan adalah sebuah titik, maka ( ) )( { ( )}
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 888
)
{|( | |( ( Dengan proyeksi vertikal titik (
)
|}
) merupakan ke garis dan
) merupakan proyeksi horisontal
titik
ke garis Untuk membuktikan teorema tersebut di butuhkan beberapa lemma sebagai berikut. Asumsikan kasus nontrivial Maka ( ) |( ) | ( ) (
)
(
|
)|
( |
)
|
( )
Dengan mensubtitusi ( ) pada ( ), diperoleh ( ) | | ( ) Lemma berikut merupakan akibat langsung dari hubungan di atas. Lemma 1. Misalkan adalah sebuah garis dan ( ) adalah sebuah titik, maka ( ) jika | | ( ) (
)
(
(
)
(
)
) jika | |
jika
Berdasarkan Lemma 1, akan di ) ke garis selidiki jarak titik ( dengan menyelidiki beberapa kasus. Kasus 1. Jika | | Kasus 2. Jika | | Kasus 3. Jika | | Dari masing-masing kasus tersebut akan ) berada di atas garis, di selidiki titik ( dan di bawah garis . Penyelidikan hanya di batasi pada | | dan untuk kasus yang lain telah di buktikan secara lengkap dan dapat di lihat dalam tesis (Novianto, 2013). Misalkan adalah sebuah ) adalah sebuah titik garis dan ( berada diatas garis.
| |
Pilih sebarang titik ( ) pada garis ( ) Subkasus 1. Maka | | |( ) |. Karena maka . Akibatnya, ( ) | | |( ) | ( ) ( ( )) ( )) ( ) ( (( ( (
) ) )
(
)) (
)
889, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Subkasus | |
2.
Karena
maka ) ( |
(
) |
|
|
|
|
|
|
( (
) )| |
(
(
)
)
Jadi (
)
(
)
Subkasus 3. Dengan cara serupa, jika maka (
)
. Akibatnya,
| (
| )
(
(
|( ((
) )
| )
))
Subkasus 1. Akibatnya, ( )
maka (
)
(
)
Subkasus 2.
Asumsi (
memberikan ((
) )
)
)
)
(( ((
)
maka (
)
Akibatnya, ) ((
( (
) (
(
(
)) )
(( (
)
)
( ) Maka, secara umum, ( ) ( ) Selanjutnya hubungan ini akan di buktikan ) berada untuk kasus jika titik ( dibawah garis
Subkasus 3. Akibatnya, ( )
(
) (
) )
))
) maka
( ) ( ) ( ) Maka , dapat disimpulkan bahwa untuk tiap titik pada garis dengan gradient berlaku ( ) ( ) Akibatnya, ( ) ( ) Dengan cara serupa, dapat di buktikan bahwa untuk berlaku ( ) ( ) Dengan demikian, jika | | maka ( ) sama dengan jarak horizontal ke garis
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 890
Lemma 2. Jika | | , dan ( (
)
(
dengan ) sebuah titik, maka )
|(
)
|
Untuk kasus | | dengan cara serupa dapat dibuktikan bahwa jarak untuk untuk tiap titik pada garis dengan gradient berlaku ( ) ( ) Maka, ( ) ( ) | | Lemma Jika ( ) ( ) ( ) | | Untuk kasus | | sebagai akibat dari kedua lemma di atas, diperoleh | | Lemma 4. Jika ( ) ( ) ( ) ( ) Karena persamaan garis ⃡ adalah ( ) maka koordinat (
titik
(
dan
)))
((
) Jadi, jarak
( ⃡ ) adalah (
{| |
|
(
) )
| }
| | Selanjutnya akan ditentukan hubungan jarak di Euclid dan jarak taksi dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.
RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI Luas segitiga dalam geometri taksi pengaruhi oleh jarak, dan gradient sisi alas. Dalam (Kaya, 2006) dijelaskan tentang proposisi dan bukti luas segitiga dalam geometri taksi. Kami dengan menggunakan hubungan pada Teorema 2 memberikan bukti dengan cara berbeda dalam menentukan luas segitiga dalam geometri taksi. Misal dengan titik ( ) ( ) dan ( ) Setiap segitiga memiliki sisi yang tidak vertikal. Jadi, dapat diasumsikan bahwa . Maka persamaan garis ⃡ dengan gradient
adalah (
) (
)
Pandang misal Maka diperoleh ( ) (
)
( ) ( ) Dengan cara serupa, pandang Maka diperoleh ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
Dari ( ) dan ( ) diperoleh hubungan { } ( ⃡ ) ( ⃡ ) Selanjutnya dengan mensubtitusi jarak ( ⃡ ) pada ( ) dan ( ) diperoleh (
)
dan (
)
(
|
)
|
| |
|
(
) | Akibatnya, ( ⃡ ) {
|
(
) | |
|
891, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
( ) } ( ) ̅̅̅̅ Asumsikan merupakan alas dari dengan demikian ( ) √
(
)
diperoleh rumus luas geometri taksi adalah (
(
| | |
(
|
(
))
|
| | ) |})
, maka
PENGGUNAAN RUMUS HERON DALAM GEOMETRI TAKSI Untuk penggunaan rumus Heron dalam geometri taksi dapat di lihat dalam (Kaya dan Çolakoğlu, 2003). Selanjutnya dalam tulisan ini, dibuktikan penggunaan rumus Heron dengan cara yang berbeda dengan menggunakan Teorema 1. Misal di ketahui dengan titik ( ) ( ) dan ( ) Misal̅̅̅̅ ̅̅̅̅ kan gradient garis dan ̅̅̅̅ dengan ̅̅̅̅ dan misalkan sisi segitiga ̅̅̅̅ , dan ̅̅̅̅
{
( )
( )
| | Selanjutnya dengan mensubtitusi ( ) dan ( ) pada rumus
√
dalam
Asumsikan ̅̅̅̅ sejajar dengan sumbu-
Maka ( Akibatnya,
)
(
)
√ |
|
√ | | dan setengah keliling segitiga adalah √
√ |
|
|
Dengan demikian luas ( ) ( dan setengah keliling segitiga bidang Euclid adalah
dalam
(
√ ( (
|
|
√ |
|
)
) )
)
|
Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 892
Dengan cara serupa jika sisi segitiga tidak sejajar dengan sumbu koordinat, maka √
√ |
|
|
|
√ |
|
(
dengan setengah keliling segitiga adalah √ |
|
|
Akibatnya luas √ (
(
√ (
(
|
|
)
)
)
)
adalah,
(
√ (
|
|
|
|
|
√
(
| |
|
|
)
)
KESIMPULAN Konsep jarak dalam geometri taksi sangatlah berbeda dengan konsep jarak dalam geometri Euclid. Jika sebuah garis dengan ) adalah sebuah titik, dan ( maka jarak taksi antara titik dan garis adalah ( ) )( { ( )}
(
)
| |(
|
| ( ) |}) Selanjutnya untuk penggunaan rumus Heron dalam geometri taksi, jika di ketahui ̅̅̅̅ dengan sisi ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ , dan setengah keliling dari segitiga dalam bidang Euclid adalah
dan gradient garis adalah dengan dengan √
)
|}
dan
√ |
|
|
|
)
)
)
)
√ | | adalah
maka luas (
√ (
(
√ (
)
{|(
{
)) (
| |
√
√ |
Berdasarkan jarak taksi antara titik dan garis, diperoleh hubungan dalam menentukan rumus luas dalam geometri taksi. Diberikan dengan ( ) ( ) dan ( ) Maka luas adalah
(
√ (
|
|
|
| |
|
)
)
DAFTAR RUJUKAN Çolakoğlu, H.B. dan Kaya, R. 2008. Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem ΠME Journal, Volume 12,No.9, pp535-539. Krause, F. E. 1986. Taxicab Geometry. Dover Publications, New York.
Kaya, R.V., AkÇa, Z., G ̈ naltili, İ., dan ̈ zcan, M. 2000. General Equation for Taxicab Conics and Their Classification, Mitt.Math.Ges Hamburg 19,135-148.
893, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Kaya, R. 2006. Area Formula for Taxicab Triangles, ΠME Journal,Volume 12 No. 4, pp 219-220. Novianto. 2013. Luas Segitiga Dalam Geometri Taksi. (Tesis akan di terbitkan). Bandung: Program studi magister pengajaran matematika FMIPA-ITB.
Ӧzcan, M. dan Kaya, R. 2003. Area of Triangle in Terms of the Taxicab Distance, Missouri J of Math.Sci.,Vol.15,178-185. Poore, K.L. 2006. Taxicab Geometry, Tesis Master, University of Nebraska-Lincoln.
