KONSEP PARABOLA DALAM GEOMETRI TAKSI DENGAN GARIS SUMBU SEBAGAI DIREKTRIS
Sarah Allobunga’ dan Oki Neswan SMA Negeri 1 Pamona Selatan-Poso, KK Analisis dan Geometri Institut Teknologi Bandung E-mail:
[email protected],
[email protected] ABSTRAK: Geometri taksi merupakan geometri non Euclide yang didasarkan pada pengertian jarak taksi,
dT ,
yaitu
dT x1, y1 , x2 , y2 x1 x2 y1 y2
.
Pada karya tulis ini dilakukan kajian tentang persamaan garis sumbu taksi dan persamaan parabola berdasarkan konsep geometri taksi, dimana garis sumbu taksi digunakan sebagai direktris. Berbeda dengan garis sumbu Euclide, garis sumbu taksi terdiri dari satu ruas garis dan dua atau empat sinar: sinar vertikal atau sinar horisontal dan satu ruas garis dengan gradien . Setiap parabola dalam geometri Euclide adalah kurva terbuka sedangkan dalam geometri taksi, untuk direktris tertentu, parabola merupakan kurva tertutup. Parabola taksi terdiri dari beberapa sinar vertikal atau horizontal dan berhingga ruas garis dengan gradien , , atau
Kata kunci: jarak taksi, garis sumbu taksi, parabola taksi, direktris, fokus.
Geometri taksi adalah geometri non-Euclide yang merupakan perubahan dari konsep jarak geometri Euclide. Jika ( ) dan diberikan dua titik ( ), dengan pada bidang datar, maka jarak taksi dari titik ke adalah jumlah jarak horizontal dan jarak ( ), vertikal antara titik A dan B, ditulis: ( ) | | | |. Sedangkan pada geometri Euclide jarak ), ditulis: antara titik A dan B, ( (
)
Notasi: Garis sumbu geometri Euclide digunakan: { | ( ) ( )}, dan garis sumbu geometri taksi digunakan: { | ( ) ( )},. Garis yang melalui titik dan , ditulis ⃡ . Karena konsep dasar yang menjadi ciri geometri taksi adalah jarak, maka kita menganggap konsep garis sumbu lebih natural dan tepat digunakan sebagai landasan untuk mendefinisikan sebuah garis dalam geometri taksi. Pada makalah ini dibahas persamaan garis sumbu pada geometri taksi, dan selanjutnya dibahas juga parabola dengan garis sumbu sebagai direktris. 1. Persamaan garis sumbu taksi Menentukan persamaan garis sumbu taksi diperlukan dua titik yang berbeda. Misalkan diberikan dua titik berbeda ( ) dan titik ( ), dengan | |, | |. Berdasarkan titik A dan B, garis sumbu taksi didefi-
( ) ( Krause,1986 ) Garis yang dibuat berdasarkan dua titik berbeda, dapat ditentukan dengan dua cara, yakni menggunakan dua titik yang dilaluinya atau memandangnya sebagai garis sumbu. Garis sumbu dari titik dan , adalah himpunan semua titik yang berjarak sama pada kedua titik tersebut, ditulis { | ( ) ( )}. √(
)
894
895, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
nisikan sebagai himpunan semua titik ), yang berjarak sama sebarang ( terhadap titik maupun ke titik , dituliskan { | ( ) ( )} Jika atau , maka akan diperoleh garis sumbu horizontal atau vertikal dengan persamaan masing-masing: atau
:
Untuk kasus dan , diperoleh persamaan garis sumbu taksi yang terdiri dari satu ruas garis dengan gradien, dan dua atau empat sinar. Pada kasus tertentu dan interval tertentu garis sumbu membentuk suatu daerah. Garis sumbu terdiri dari satu ruas garis dan dua sinar jika . Dan untuk , garis terdiri dari sebuah ruas garis, empat sinar dan membentuk daerah pada interval tertentu. Garis sumbu dapat berbentuk seperti gambar:
Persamaan garis sumbu diberikan dalam dua teorema berikut: Teorema 1: Diberikan dua titik sebarang ( ) dan ( ), , dengan dan . Misalkan dan . 1. Misalkan atau , maka
2. Misalkan
3. Misalkan (a) Jika garis
atau
, maka
dan , maka persamaan adalah:
(
) (
(
)
)
{
(b) Jika garis
=
, maka persamaan
(c) Jika garis
, maka persamaan adalah:
{
(
) (
(
)
)
{
Bukti: ( ) dan Misalkan titik ( ), , asumsikan . Jika , maka jelas mempunyai persamaan:
Selanjutnya kita perhatikan kasus, . Asumsikan . Jika , maka jelas mempunyai persamaan:
Untuk selanjutnya kita akan membuktikan untuk kasus, dan . Demi keperluan pembuktian, pada kasus ini diperoleh sembilan daerah yang mungkin dilewati garis, seperti pada gambar berikut:
Allobunga’dan Neswan, Konsep Parabola, 896
Pembuktian keseluruhan untuk daerahdaerah ini dibagi menjadi sub kasus dan sub-subkasus, yaitu,
Selanjutnya akan diperiksa keberadaan dan persamaan garis pada tiap daerah di atas. Subkasus 1: ) sebarang titik pada garis Misalkan ( , dengan konsep jarak geometri taksi diperoleh: ( ) | | | | | | ( ) | | | | | | Sub-subkasus 1.1: [ daerah (1)] Karena , maka ( ) ( ) ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh:
Jadi, jika , maka seluruh titik pada daerah ini adalah garis . Jika , maka garis tidak melalui daerah ini. Sub-subkasus 1.2: [ daerah (2)] Karena , maka ( ) ( ) ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh yang memberikan:
Jika
, maka
atau . Ini bertentangan dengan asumsi. Jadi, garis tidak melalui daerah (2), jika Sub-subkasus 1.3: Karena , maka (
)
, dan
(
)
.
( ) ( ) Dari persamaan diperoleh . Ini tidak mungkin, karena . Maka dapat disimpulkan garis tidak melalui daerah (3). Subkasus 2: Karena maka untuk setiap ) diperoleh: titik ( ( ) | | | | | | ( ) | | | | | | Sub-subkasus 2.1: [daerah (4)] ( ) Karena , maka ( ) . ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh: . Jika garis
, maka diperoleh persamaan adalah: ( )
Sedangkan bila
Jika
(
, maka
atau Jadi, garis dengan persamaan:
(
)
)
melalui kondisi ini, (
)
.
[daerah (3)]
maka
atau yang bertentangan dengan fakta bahwa . Jadi, garis tidak melalui daerah ini, jika . Sub-subkasus 2.2: [daerah (5)] Karena , maka
897, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
(
)
dan . )
( ) ) ( Dari persamaan ( diperoleh: Persamaan ini dapat diubah sebagai berikut.
Karena
(
Jadi, garis persamaan:
)
.
tidak melalui daerah ini.
Sub-subkasus 3.2: (8)] Karena , maka ( ) ( ) ) Dari persamaan ( diperoleh:
[daerah
. (
)
, maka ( ) melalui daerah ini dengan (
Sub-subkasus 2.3: Karena maka ( ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh:
( ) , maka diperoleh: ( ) Jadi, garis melalui daerah ini, dengan persamaan yaitu: Jika
)
[daerah (6)]
(
dan )
(
)
Tetapi, jika
)
maka yang
(
) melalui daerah
Jika , garis ini persamaan: (
Tetapi, jika
Jadi, garis
)
maka atau . Tidak mungkin, karena Jadi, jika , maka garis tidak melalui daerah ini. Subkasus 3: Karena maka untuk setiap titik ( ) diperoleh: ( ) | | | | | | ( ) | | | | | | Sub-subkasus 3.1: [daerah (7)] Karena , maka ( ) , dan ( ) . ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh, . Tidak mungkin, karena .
akibatnya . Ini bertentangan dengan asumsi . Jadi, garis tidak melalui daerah ini, jika . Sub-subkasus 3.3: [daerah (9)] Karena maka ( ) ( ) . ) ( ) Dari persamaan ( diperoleh: Jadi, jika , maka seluruh titik pada daerah ini adalah dari garis . Jika maka garis tidak melalui daerah ini. Untuk kasus dan diperoleh Teorema 2 berikut, yang dapat dibuktikan dengan cara serupa seperti Teorema 1. Untuk kasus dan diperoleh teorema 2 berikut. Teorema 2: Diberikan dua titik sebarang ( ) dan ( ), , dengan
Allobunga’dan Neswan, Konsep Parabola, 898
dan | | dan 1. Misalkan 2. Misalkan
. Misalkan | |. atau , maka atau
, maka
3. Misalkan dan (a) Jika , maka persamaan garis adalah: dT A, B , jika x x1 y1 2 d A, B A B : y x x1 y1 T , jika x1 x x2 2 dT A, B , jika x x2 y2 2
(b) Jika garis
, maka persamaan adalah:
seperti pada Janssen, tetapi dengan menggunakan garis sumbu sebagai direktris. Oleh karena itu, diperlukan definisi parabola dalam konsep geometri taksi. Jika F suatu titik di luar garis , maka parabola P dengan fokus F dan direktris adalah himpunan semua titik X yang berjarak sama ke titik F maupun ke garis . (Varbeg, D., dkk., 2007). Dengan demikian parabola P dapat dituliskan: { | ( ) ( )} Parabola taksi dibentuk oleh ruas garis berhingga atau dua sinar garis. Parabola taksi tidak semuanya merupakan kurva terbuka, melainkan untuk kasus tertentu parabola taksi merupakan kurva tertutup.
{ (c) Jika garis
, maka persamaan adalah:
dT A, B , jika y y2 x2 2 d A, B A B : x y x1 y1 T , jika y1 y y2 2 dT A, B , jika y y1 x1 2
Bentuk parabola taksi sangat dipengaruhi oleh direktris dan letak fokusnya. Persamaan parabola taksi terdiri dari persamaan garis yang terdefinisi pada
Untuk membuktikan Teorema 2 dilakukan dengan cara serupa seperti pada Teorema 1. 2. Parabola pada geometri taksi Para ahli matematika Yunani Kuno telah merumuskan parabola sebagai salah satu bentuk hasil irisan kerucut dengan bidang. Definisi ini dipandang kurang tajam, sehingga Pappus dari Alexandria memberikan rumusan yang lebih baik tentang parabola dengan menggunakan pengertian fokus dan direktris. (Janssen, C., dkk.) telah memberikan grafik dan persamaan parabola taksi dengan garis Euclide sebagai direktris. Disini kami menyelidiki konsep parabola untuk geometri taksi,
atau . Hasil penyelidikan secara visual, diperoleh 19 bentuk parabola taksi jika garis sumbu sebagai direktris. Misalkan direktris parabola adalah garis ), ( ), sumbu , dengan ( , dan . Jika | | | |, maka parabola yang terbentuk merupakan kurva terbuka; sedangkan jika | | | |, maka parabola yang terbentuk merupakan kurva yang tertutup. Penyelidikan secara visual memerlihatkan bahwa terdapat sembilan bentuk parabola terbuka dan sepuluh bentuk parabola tertutup.
interval tertentu dengan gradien
,
899, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
a. Berikut adalah bentuk bentuk parabola terbuka untuk kasus , , dan fokus di atas direktris.
Allobunga’dan Neswan, Konsep Parabola, 900
b. Berikut adalah bentuk bentuk parabola tertutup untuk kasus , , dan fokus di atas direktris.
901, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
3. Persamaan Parabola Dalam menentukan persamaan parabola, kita perlu menghitung jarak dari sebuah ( ) dan jarak titik titik ke direktris, ( ) ke fokus ( ), ( ) Dalam penentuan jarak titik ke fokus, ( ), terkait dengan nilai mutlak yang ( ) kita membagi terlibat dalam bidang menjadi empat zona, 1, 2, 3, dan 4, seperti gambar berikut.
Allobunga’dan Neswan, Konsep Parabola, 902
Sebagai contoh, pada zona 1, ( ) | , berlaku | |
dan |
Untuk direktris dengan | | | |, sebagai model perhatikan direktriks pada gambar berikut. Direktriks terdiri dari dua sinar dan serta ruas garis .
Sebagai akibatnya, jarak titik ke ditentukan oleh jarak ke masing-masing komponen dari Jika titik berada pada zona (lihat gambar di atas), maka ( ) ( ). Sedangkan jika titik berada pada zona (lihat gambar di ) ( ). atas), maka ( Jadi, direktriks membagi bidang ke dalam tiga zona, dan . Untuk direktris dengan | | | |, sebagai model perhatikan direktriks pada gambar berikut.
Seperti halnya pada direktris sebelumnya, jika berada pada zona , maka | | ( ) { | | Maka, dalam menentukan persamaan parabola, bidang dibagi dalam dua cara. Dalam konteks penentuan jarak ke direktris , bidang terbagi dalam tiga zona: dan . Sementara itu dalam penentuan jarak ke fokus , bidang dibagi menjadi 3 zona yaitu dan . Mulai sekarang, misalnya irisan zona dan zona ditulis zona . Persamaan Salah Satu Kasus Parabola Terbuka Misalkan parabola dengan direktris garis ) dan sumbu taksi oleh titik sumbu ( ( ), dengan , dan . Misalkan letak ) parabola pada garis fokus ( di atas direktris, sehingga seperti pada gambar,
903, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
Secara visualisasi parabola terdiri dari dua sinar dan tiga ruas garis. Dengan menggunakan aturan persamaan garis lurus, diperoleh persamaan parabola di atas adalah:
zona 1A x a b ya , y 1 x 1 a b y , zona 2A a 2 2 zona 3B P : x a b yb , y 1 a b x y , zona 4C C C 2 1 1 y 2 x 2 a 2b yC , zona 4B dengan adalah jarak taksi dari fokus F ke direktris. Bidang terbagi menjadi enam zona yaitu dan . Jika dan ( ) sebarang titik pada parabola, maka akan dibuktikan keberadaan parabola pada setiap zona memenuhi persamaan di atas. Misalkan
dan
. Kasus 1: Pada zona ini, . Berdasarkan definisi jarak taksi ( ) ( ) ( ) ( Persamaan parabola memberikan sehingga
Kasus 2: ) Maka ( ( ) Berdasarkan definisi parabola, ( ) ( )
(
)
dan
Kasus 3: Pada zona
ini, (
dengan ( Maka ( ) Persamaan berikan
) .
)
dan .
(
)
(
)
Kasus 4: ( ) Pada zona ini, ( ) ( ( ) dan Maka persamaan parabola memberikan
).
yang tidak mungkin karena dan sifatnya sebarang. Jadi, parabola tidak melalui zona ini. Kasus 5: . Pada zona ini, ( ) ( ) Maka persamaan parabola pada zona ini adalah (
)
mem-
Kasus 6: ) Pada zona ini, ( ) ( ( dan ( Maka, Definisi parabola, ( ), memberikan ( ( ) ) atau (
)
) (
). )
)
Persamaan Salah Satu Kasus Parabola Tertutup Misalkan parabola dengan direktris garis ) dan ( ), , dengan ( dengan , dan . Bidang terbagi ke dalam zona-zona dan . Gambar berikut menunjukkan pembagian zona serta parabola yang terbentuk.
Allobunga’dan Neswan, Konsep Parabola, 904
Berikut adalah persamaan parabola di atas.
) Pada zona ini, ( ) dan ( Berdasarkan definisi parabola, ( ) (
)
Kasus 4: ) Pada zona ini, ( ) dan ( Berdasarkan definisi parabola, ( ) (
)
zona 1A y 2x a b x1 , 1 y x 2 a b xC yC , zona 2C P : y a b x1, zona 3A x a b y , zona 3B Kasus 5: 1 Pada zona ini, zona 4B y 12 x 12 a b y1 , ) dan ( Persamaan ini akan dibuktikan dengan cara seperti yang dilakukan pada parabola terbuka. Kasus 1: . ) Pada zona ini, ( ) dan ( Berdasarkan definisi parabola, ( ) ( )
( ) Maka, komponen parabola pada zona 1A adalah ruas dengan persamaan ( ). Kasus 2: ) Pada zona ini, ( ) ( ( ) ) dan ( dengan
dan
Berdasarkan definisi parabola, ( ) ( ) ( ( (
)
) )
Ini adalah persamaan komponen parabola pada zona 2C. Kasus 3:
(
)
Berdasarkan definisi parabola, ( ) (
)
Maka persamaan parabola telah terbukti. 4. Kesimpulan Penggunaan garis sumbu sebagai dasar konsep garis untuk geometri dengan jarak taksi memberikan hasil-hasil yang tidak ditemukan pada geometri Euclid. Garis pada geometri taksi, berdasarkan konsep garis sumbu memiliki beberapa komponen, yaitu sinar dan ruas garis. Bahkan, | | | |, maka garis ( ) ( ) memiliki dua kuadran sebagai komponennya. Penggunaan garis sumbu sebagai direktris parabola juga memberikan hasil-hasil yang tidak ditemukan pada parabola biasa. Sepertihalnya direktris, parabola dengan jarak taksi dan direktris garis sumbu juga terdiri dari minimal empat komponen. | | |, Khususnya, jika | parabola yang diperoleh merupakan kurva tertutup.
905, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013
DAFTAR RUJUKAN Allobunga’, S., (2013) : Konsep Parabola dalam Geometri Taksi dengan Garis Sumbu sebagai Direktris, Tesis Magister Pengajaran Matematika, FMIPA-ITB. Ҫolakoğlu, H. B. dan Kaya, R., (2008) : Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem. The Pi Mu Epsilon Journal, vol. 12. no. 9, 535 – 539. Janssen, C., (2007) : Taxicab Geometry: Not the Shortest Ride Across Town (Exploring Conics with a NonEuclidean Metric), Tesis Master (unpublished), Iowa State University.
Kaya, V. R, AkҪa, Z., Günaltili, I., dan Ӧzcan, M., (2000) : General Equation for Taxicab Conic and Their Classification. Mitt. Math. Ges. Hamburg., 19, 135-148. Krause, E. F., (1986) : Taxicab Geometry An Adventure in Non-Euclidean Geometry. Dover Publication, New York. Royden, H. L. dan Fitzpatrick, P. M., (2010) : Real Analysis, 4th. Ed., Prentice Hall. Varberg, D., Purcell, E. J., Rigdon, S. F. (2007) : Calculus, 9th Ed. Pearson International Edition.
