rssN t978-3841
|rrrnal Sains Indonesia Media Komanikasi
Hasil Penelitian sains dan Matematikn
Pembina Prof. f)rs. Syarval Gultom, M.Pd' (RaAtar U ninedl Drs. Chairul Azmi, M.Pd. (Pemhantu Rektor ttl Drs. Biner Mabarita, MPd- (Penbantu Rektor IIl) Prof. Drs. N{anihar Sirumr:rang, lv{.Sc', Ph.D. (Dekun li\f/P.'1) Dewan PenYunting Prof. I)rs. Manihar Situmorang, N{.Sc., Ph.D. (ktua) Drs. Pasar N{autm Siiitonga, M.S. (Vakil
l)ra. Nfartina Rcstuati, M'Si. (LVuktl Drs. Asrin Lubis, NLPd. Q4nggota) Prof. Dr. Pargaulan Siagran. M'Pd. ('ln.ggord) Dr. Ridwan Abdul Sani,lvI'Si' ('lngota) Prof. Dr. Suharta, M'Si. (4ngata) Dr. rer. nat. Binari Manurung, M.Si- (Anggota) Penyunting Ahli Prof. Dr. F{erbert Sipahutar, M.S., N{.Sc. Dr. Zainuddin 1v1., M.Si.
Dr. r\.K. Prodiosantoso l)r. Ali Imron Tata Usaha Drc. Zulkrfli Dra. Sion Asmarida Purba Tua P. Tambunan
(dafula bernana Majalah Pendidifun Sdenrc) diterbitkan xjak tahun 1976, den.gat lK llenrei tanggal 9 Dxenbcr 1976, No. 276/SK/ Di(i€n PPC /-177'/ t976. larnal ini rliterbitkau nntuk dapat digaaakan rcbagai nedia kananifui bugi dovn, pencliti, nahaiwa ttt ud .;tftt/.! hi,lang.taint rlan nalematika. Penge/ota mcncima arlikel hatil pent/itian, catataa penehian danf ataa telaab /txsldLa dalan bidanq ilnu penuliun natkah daltat dilihat pada k*kt belakang bagiun dalan dari iurnal ini. 'r:askult diAiinkun .1,an4 rclewn. Petanjak ke a/amat rcdakri antnk dieaahrasi dan diwating. \atkah,yang tidak nenenahi penyaralan akan dikenba/ikan keladd ftna
Sains Indonesia Jutnal -Prorro4go,
fupahlik Indat:tia S7-| Penefiit Khuwt
li,
Diterbitkan oleh: Fakultas lr{atematika dan Ilrnu Pengetahuan .,\lam Universitas Negeri N{edan
Alamat Redaksi: Jurnal Sains lndonesia Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221 Telp. 061-6625970
i i1
Dari Pengelola
Volume 33 Nomor 1 jurnal Sains Indonesia ini hadir di hadapan rekan sejawat dengan jumlah halaman yang semakin banyak. Nomor ini terbit dengan dominasi artikel hasil peneiitian dari bidang kimia dan hanya sebagian kecil dari bidang biologi dan matematika. Masing-masing artikel sangat menarik untuk ditelaah dan dirujuk dalam upaya pengembangan sains dan matematika. Pengelola menanti artikel-artikel orisinal yang bermutu dari kita semuanya. Namun demikian, sebelum menulis artikel, sangat diharapkan para penulis mempelajari terlebih dahulu, dan selanjutnya mengikuti, petunjuk penulisan artikel yang tertera pada sampul belakang bagian ciaianr dari jurnal ini. Pengelola juga mengharapkan agar gambar, foto, atau diagram yang akan dimuat dalam artikel dibuat dalam lembaran terpisah dan sudah dalam bentuk cameraready. Kepafith;,n penulis mengikuti tata cara penulisan yang telah ditetapkan dalam halaman dalam kulit belakang jurnal ini akan sangat membantu pengelola untuk dapat menerbitkan secara teratur sesuai dengan jadwal. Untuk nomor berikutnya, artikel yang tidak memenuhi petunjuk penulisan tersebut tidak akan dimuat tetapi akan dikembalikan kepada penulis untuk diperbaiki. Selamat berkarya.
Medan,
Pengelola
Juni 2009
Volume 33 | Nomor I lJanuari-Juniz00t
Jurnal Sains Indonesia
Medi"a lbnustikosi Hasil Penelitian Sains dnn Matematika
Daftar Isi
7-7
untuk
Manihar Situmorang,
Rancang Bangun Strip Biosensor
Boxsa loserizal Singa, In d ah F r i ani Situmor an g,
Penenhran Asam Urat dalam Daging dan Ikan Kaleng
dan Fernando M.T.
Marpaung Anna Juniar
Pengembangan Teknik Pemisahan dan Pemurnian Ion Logam Melalui Modifikasi Pelarut
Herlinaznati
Kajian Pendahuluan Teknik Tandem Kromato- 73-1,7 grafi Pasangan Ion Fasa Terbalik-HG-FAAS untuk Spesiasi Senyawa Organotin
lasmidi
Penggunaan Berulang Biomassa Saccharomyces cereui siae Terimobi lisasi Sebagai Penyerap Ion
B-72
78-27
Timbal(II) Marudut Sinaga, lamalum Purba, dan Manihar Situmorang
Pembuatan Elektroda Ion Selektif (ISE-Pb) tuk Penentuan Timbal dalam Limbah Cair
un-
22-29
Ida Duma Riris dan Martina Nadapdap
Pengaruh Konsentrasi Gula dan Lama Fermentasi terhadap Kadar Tanin pada N4inuman Teh Kombucha
30-35
luly FitrianaNst dan Ayi Optimasi Pemucatan Crude Ghlcerol
Hasil
36-
40
Darmana
Samping Pembuatan Biodiesel dengan Tanah Pemucat (Bl eachi n g Earth)
Nurmalis dan Asep Wahyu Nugraha
Sintesis dan Karakterisasi Senyawa Kompleks antara Logam Perak dengan Ligan NH3, C1-, en, difos, glim, ncac, py,bpy,dandien Melalui Pendekatan Komputasi Kimia dan Eksperimen
47-46
Ratna Sari Derni
Reaksi Aminasi Sorbitol dengan Gas NH3 Bertekanan Menggunakan Katalis Nikel
47
-50
51
- 56
M. Sitorus, S.Ibrahim, H. Optimasi Dehidrator pada Pembuatan Minyak
:'
Nw'din, dan D. Darwis
Jarak Terdehidrasi (Dehydrated Castor Oil DCO)
Zul Amry
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh 57 -60
Psnal M. Siahqan
P-e1g3rgh Pemberian Sari Buah Mengkudu (Morinda citrifolia) terhadap Gambaran
Khqiriza Lubis
Leukosit pada Mencit (Mis musculus) Jantan Pengaruh Jenis dan Lama Penjemuran terhadap Kadar Vitamin C Sale Pisang
67-66 67
-70
Jurnal Sains lndonesia
Volume 33(l):57 - 60.
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh Zul Amry Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Medan Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221 Diterima 20 Januari 2009, disetujui untuk publikasi d
I
15
Mei 2009
Abstract
Linear model in the form of Y=fX+e is called linear model not of fuII rank when inaerse of matrices [XTX] does not exist, sa that parameter of p can be estimated by where G is genualized inaerse matrices of IXTXI and this model to represent of statistics models haae hem extensiuely used many felds. This paper explains an arwlysis of linear model not of full rank which aVplied for problem of plant yoducL The analysis ltegin zuith tlrc estimation of tozuard parameter of rnodel zohich is assumed, aftenuard to be continued test of model up to and including fix on canfidence interaal for conclude. [AppLrCATIoN oF Ln{EAR IVfoDEL oF NoN FULL RANKI (1. Sains Indon" 33(1): 57 - 60,2008)
Kata kunci: Estimabte function,
generatized inverse ntati!!',ir":
iiineti nrlir.i.
Pendahuluan Seringkali, variabel random hasil observasi pada suatu eksprimen mempunyai hubungan
mempakan matriks dengan rank penuh atau t [XTX1 ada. Tetapi, pada kenyataannya bahrvl
dengan satu atau lebih variabel random yang lain,
data dilapangan tidak dapat menjamin l)Ct-Xl-l selalu ada, dalam kasus seperti ini dikatal..an
sehingga nilai satu variabel dapat diramal hasilnva berdasarkan nilai-ni1ai pada variabel yang lain. Salah safu metode statistik yang paling
umum untuk menganalisis hubr,mgan
semacam
ini adalah model linier. Bentuk umum dari model linier adalah Y = XF * e dimana :
an yang mencakup asumsi model. esiii. meter model, pengujian model sarhpat lri.r ,. interval konfidensi unfuk keperluan inJr r.1i:rl
Iv, I X=
Y=
M&ti
[;:] [8, B=
I
l,l
dane=
ks Ina ers T ergen er ali sir
Defnisi f. i\4akiks invers tergeneralnir \iirr suatu matriks A didefinisikan sebagai matrjL: L,
I
lB
LB-
bahwa matriks XTX merupakan matriks ,1r::ng;ui rank tak penuh. Sehubungan dengan itrr. ,1, I ,r., tulisan ini akan dipaparkan suatu infer"-"r:,i : , ' tika dalam model linier dengan ranr. yang difokuskan pada masalah produkr; .,, ., ,.
syarat:
l
yang memenuhi AGA:A. Eksistensi G im tidaklah tunggaf karena ada sejumlah tak hingga G yang dapat mernenuh, AGA=A dan G dapat dihitung dengan rurirlrr i QAt P, dimana: ,
E(V):
x Ig i=l
,Varff)-o'2
danCov(Yi,Y,)=0.
[n ' =t ^ L0
Persyaratan ini menyatakan bahwa mean dari suku galat e adalah Q variansi yi tidak ter-
gantung pada
x dan yl,
y2,...,\,n saling
independen.
kuadrat terkecil yang menghasilkan asalkan p=[XrX] -rXrY menghasilkan matriks XTX Fakultas Matematika dan llmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan
I
0l
r.
P dan Q adalah hasil operasi baris elemc:ni,.r
l
memenuhi:
Salah satu masalah penting dalam menganalisis model linier adalah bagaimana cara mengestimasi parameter yang terdapat dalam model tersebut berdasarkan samplg cara yang lazim dilakukan unhrk mengestimasi paameter B pada model Y=Xp + e adalah dengan metode
o-l
Au.n-%.nAo,Qo,,
lo =lo ''r L"(P-r) l
atau
n
q '/n
'
[n ol -PAO-l '[o ''' l
ol
57
ZulAmry
dapat ditunjukkan bahwa untuk
PAQ:A,
yang dapat diuji apabila XB merupakan fungsi
estimable
diperoleh:
PACAQ:A <+pp.rAe,Gprle,e=A
JKS/n
e Ql G P-r : A'14 A'1 :a,r
menggunakan
ptRr= KRit
<+AQTGP-14=A <+Q-rGP-r
dan diuji dengan
statistik:
*
r
(JKR : jumkh letaArat regresi, IKS : jumlah kttatlrat sesatan, N : jumlah semtn sampel, r = jumlah
=G=Qa,'
kelompok sampe[)
JIG dan
Analisis Model Langkah awal dalam analisis model linier adalah membuat asumsi model dan mengestima-
si
parameter model berdasar data
sampel.
Kemudian melakukan pengujian terhadap model "'yang diasumsikan, pengujian hipotesig sampai pada penentuan interval konfidensi Asumsi model. Madel iinier yang diasumsikan lazimnya berbentuk Y = XB + e; dimana e-N(Qo)
danY-N(XB,orl) Fungsi estimable. Fungsi estimable merupakan syarat agar hipotesis terhadap pemilihan model yang disumsikan dapat diuji dan didefinisikan sebagai berikut: Defnisi- - 2. Suatu fungsi linier dari parameter qrB dikatakan estimable, jika untuk vektor observasi y terdapat vektor vr sehingga q'F = v'E(y) Teorema 1. Untuk model Y : XF + e, qt0 esiimable c) qr : vrX untuk suatu vr. Bukti. (=) qrB estimable = q.B = vr E(Y) untuk suatu vr karena E(Y) = X9, maka qrB : vr XB atau Qr : vr X. (e ) q. = vrX qrB : vrXB
qt0: vtE0)
=+ qrB estimable.
=
=
iika nilai [XX]' pada model Y: XF * e tidak ada darl G adalah invers tergeneralisiq dari XX,
B
maka
ainitung dengan rumus 13: GXry,
sedang mean dan variansinya dihitung dengan: I
Etlj
L
=
Elcx.yl =ElG)0.xBl =c)c.xp
B
- N(Gxr
Xp,
G)I
hipotesis:
Ho:XB{ vs
Hr:Xp+O
XGro2
)
H1
digunakan
:+0 :
JKM JKS/n - r
Ptvt= KM
adalah jumlah kuadrat rata-rata yang
dapat dihitung dengan rumus:
jKM:n Y' Intental konfidensi
Untuk suatu vektor vr, dapat
diperoleh
Var[vr B]
:
vr Var[B ] v
: vr Var[GXrY] : vr Var[GXY]
v v
vr G)O Var[Y]
X Gr
v
=vrGX.rxcrv : vrGv Selanjutnya berdasarkan asumsi kenormalan, interval konfidens 100(1-cr)% untuk vTcx adalah:
t
t"
VarIvrBl
.,
T^
.)
UVO
r-l
Unhrk menguji model Y = XB + e yang telah diasuqrsikan dimana . - N(0 6rD, Y - N(XB, orl)
dan
H0::0 vs
dan statistik yang digunakan adalah
€u'ptt
PengujianModel
model
yang diasumsikan tersebut sudah sesuai, namun unhrk menentukan apakah model tersebut adalah model yang terbaik, perlu dilakukan uji berikutnya dengan uji hipotesis:
utp
VartF I :Var[GXY]=G)OVar[Y] GrX :GXrorlGTX=G)GXGro2
dapat dihitung dengan rumus:
IKR: tx lrY IKS:YTY-KR. Selanjutnya jika H0 ditolak, maka
:
Estimasi Parameter
ffi
"u'P+o
t
nt,_ "
fi'cu
2
v sebarang vector, G matriks invers tegeneralisir dari (XrX), B nilai estimasi untuk B dan o- nilai estimasi untuk o yang masing-masing dapat dihitung dengan: 0=
GXrY
Jurnal Sains lndonesia
Volume 33
Nomor
I
Januari - juni 2009
{)
( 1
Aplikasi Model Linier dengan Rank'7'ak Penult
Pmgujian model. Apakah model yang telah suda,l-r tepaf dilakukan pengujian hipotesis H0: X$=.0 r,r. I{1 : XB+0. Dalam hal ini XB dapat dinyatakan dengan vTB dimana vr:X. kemudian dengan rnengarnbil H4XD(, diperoleh XH
dipilih berdasarkan asumsi
Hasil dan Pembahasan Unhrk menganalisis hasil produksi 50 tanaman kopi yang berasal dari tiga jenis
r00 r00 010 010 010 001 00
tanaman berbed4 diambil sampel 2 tanaman dari jenis I, 3 tanaman dari jenis II dan 2 tanaman dari jenis III dengan hasil seperti pada Tabel L. Tabel L, Produlcsi tanqman kopi jenis I, II dan III.
Analisis dilakukan dengan langkahJangkah sebagai berikut:
Asumsi model.
98 90 82 88 85
40 50
Model yang
e-N(0,,o)
adalah Y = XB + e; dimana:
dan Y
diasumsikan - N(XB, orl),
100 li 100 ,x= 0r0 Ir 010 0r0 00 t Ir 00
ll L'
berarti XB estimable, jadi hipotesis^rlili diuji. Dengan menghirung KR = tX F I
0,,.l
0,
KT:YrY :
I
B,
l
434.97
dan
0,]
P(n)= JKR t -
JKS/n-r
Karena > Fl.+; 0.01
ol
XTX.
Estima-ci terhndap parameter
H0:
p
Invers
i
:
e[V]*0 t-r
Y' :
+n',ci,
1{-i
:
-
n1rral=-15\a JKS/n - r = 40581,10 10017
0
-_
U2
maka diperoleh:
Hr :
Dari perhitungan fKM
fo
Karena
-3
1623,40.
FM)
> Fr.a; 0.01 = 27,20 (daer:rh lc,itis
unhrk q. = 00t1, maka tolak Ho, artinya
,i-noclcl
yang diasumsikan tersebut, disamping l.rlenxfa-. kan model yang sesuai juga merupak;in model
tol o=o*,u=lnol '
yang terbaik.
l85l
Jurnal Sa[;rs lndonesia
76,69 (daerah
ElVl = 0 vs
diperoleh statistik
XX adalah
Lo'
-vr
apakah model yang sesuai tersebui ac!;rL.r; ,r,rti,. yang terbaik, uji berikutnya adalah:
mengestimasi parameter p digunakan invers tergeneralisir dari
000 U200 lo 0 l/3 l; 0 0
10017-3
maka tolak- Ho, artinya rli-,,, , ', diasumsikan sudah sesuai. Unhrk litcr ;i!.,r.ti{.iri{i
[XX]i tidak ada maka untuk
c=
:
43497t3
r,i,i
a=0,01),
, n ;l
tergeneralisir dari
fKS:Y.y,lt..l,
diperoleh:
Lroo2] dan
,.1
r
r
o3
0l
=X
ft?'lrl
i,
I
0t
r
dalam hal ini
*'x=1,
0l
100 r00 010 010 0r 0 00 001
82 88 85
T
00 l0 0l 00
to
lntmtal konfdensi. Dengan menggulr,lk;:l interval konfidensi:
I
Volume 33
Januari - Juni 2009
ZUL
Amry
Dari analisis
u-0 a 6t"_,. a/v'Gv "t
di
atas disimpulkan bahwa
tanaman jenis I memberi interval konfidensi hasil yang iebih baik.
-
beserta nilai-nilai
t0t
. lnol B=l*'l' 6
Penutup
=zz.os
Model linier yang mencakup analisis regresi, analisis varians dan rancangan percobaan merupakan model statistik yang banyak digunakan para ilmuwan di berbagai bidang. Oleh karenanya untuk memperluas penerapan model linier diperlukan penguasaan teori-teori lain yang terkait. Khusus untuk model linier dengan rank
Lo'l dan
tt
G= l0
0
0
0
U2
0
0
0
U3
0
0
0
U2
lo lo
tak
diperoleh interval konfidensi hasil taraf signifikansi
cr
={.05 untuk tiap tanaman sebagai berikut:
Tanaman ienis I:
94 + o
,.
n,,rr.firGu ; vr=[ 0100
B
5%,
memberi interval konfidensi hasil antara 78,7I kg hingga 109,29kg. Tanantan jenis II:
5%,
memberikan interval konfidensi hasil antara Zg20 kg hingga 91,80 kg.
c> 45 <> 45
(1992) Introduction to
S tatistical Models. R.D Inarin,Honidwod Rao, C.R, Rao M.B. (1998) Matrix Alqebra and [ts
to Stnfislics nnd Econometrics. World Scienrific publishing Co.
Appliutions -Slnggpore: Pte. Ltd.
Searle,.S.R. (1971) Linear Models. New
york Jhon
Wilev & Sons Searle, S.iweZl Matrix Algebra UseM for Statistics. New York: Jhon Wile"y & Sons Searle,. S.R, C-aselia G, McCulloch, C.E. (IggZ),
,-_-
I
+ (22,03)(2,716) (l /4) + 15,29
<,> [29,71
M.
Probabilifi and Mathentatica,l Slatistics. end edition). Dr-xbury Presg Belmon! Califomia Neter, J., Wassermary W. (1990) Awlied Linear
[78.20,97.80]
I ot..,,ur,iV'Gv ;vr=[0 0 0 ]
dimana G adalah invers tergeneralisir dari I XrX ].
Bain,_L.J., Engelhard!
tanaman jenis ini, pada taraf signifikansi
45
=G}3Y
Daftar Pustaka
85+ sto unr,{f,tcu; vr:[ 0010] <+ 85 ! (22,03)(2,776) (t t9J c+ 85 + 6,80
lll:
cara mengestimasi perameter B. Pada model linier dengan rank penuh digunakan:
sedangkan pada model linier dengan rank tak penuh digunakan
<+ [78.77,109.29) tanaman jenis ini, pada taraf signifikansi
lanamtTn rcnB
penuh, sangat diperlukan teori tentang matriks invers tergeneralisir. perbedaan yang sangat nyata antara model linier penuh dengan model linier dengan rank tak penuh terletak pida
B=t>oxli X'Y
|
€) 94 + (22,03)(2,j76) (l/4) Q 94 + 15,29
e
1
Varinnce Comoontnts.
,60,29]
tanaman jenis ini, pada taraf sigrufikansi 5%, memeberikan interval konfidensi hasil antara 29,7 1 kghingga 60,29 kg"
New york |hon'Wiley
& Sons Panggsti, 5., Zanzawi, S. (198n Model Linear Terapan I. Jakarta: Karunika.
Jurnal Sains lndonesia
Volume
33
Nomor
I
Janmri - Juni 2009
\1
