SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI

ISSN: 2087- 0922 Vol. 2 No.1, Juni 2011

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI

EDITOR: Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat Dr. Adi Setiawan, M.Sc. Dra. Marmi Sudarmi, M.Si. Yohanes Martono, S.Si. M.Sc. Wahyu Hari Kristiyanto, M.Pd. Adita Sutresno, S.Si. M.Sc. Andreas Setiawan, S.Si. M.T. Sylvia Andini, S.Si.

BIDANG: FISIKA KIMIA MATEMATIKA PENDIDIKAN FISIKA PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA Universitas Kristen Satya Wacana Jln. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 Jawa Tengah Telp.: (0298) 7100396, Fax.: (0298) 321433 E-mail: [email protected]

KATA PENGANTAR Segenap Panitia mengucapkan banyak terimakasih kepada para kontributor makalah, peserta seminar dan para donatur yang telah membuat seminar nasional ini terlaksana. Terimakasih juga kepada Universitas Kristen Satya Wacana yang telah mendukung acara ini dari Seminar I pada tahun 2005 sampai pada seminar ke VI saat ini. Dari seminar tersebut, diperoleh kenyataan bahwa animo pemakalah relatif meningkat dari tahun ke tahun, ini menunjukkan bahwa kegiatan penulisan dan presentasi ilmiah semakin mendapat perhatian masyarakat. Pada seminar ini terdaftar sebanyak 146 makalah yang isinya meliputi berbagai masalah dibidang Pendidikan, Fisika, Matematika, Kimia, Biologi, dan Teknologi. Semoga karya-karya tulis ini tidak hanya sekedar pemenuhan angka kredit semata namun benar-benar merupakan usaha untuk memamajukan bangsa dan negara Indonesia tercinta. Kecuali menyelenggarakan seminar kali ini kita juga akan membicarakan hal-hal yang menyangkut kegiatan ilmiah/akademik bersama yang akan tergabung dalam kelompok ilmiah ‘Joglosemar’ yang mempunyai tujuan membantu Universitas – Universitas di Jawa Tengah dan Yogyakarta dalam meningkatkan mutunya semoga Kegiatan ini dapat terlaksana dengan baik. Tiada gading yang tak retak, mohon Maaf atas segala kekurangan penyelenggaraan seminar ini. Selamat berseminar. Tuhan Memberkati

Salatiga, 11 Juni 2011

Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.sc.nat Ketua Panitia

i

SAMBUTAN DEKAN

Puji syukur atas karunia Tuhan bahwa Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana , Salatiga dapat menyelenggarakan Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains yang Ke VI. Seminar kali ini mengangkat issue “Tantangan Sekolah dan Perguruan Tinggi dalam menghadapi globalisasi dalam dunia pendidikan ( bidang Sains dan Matematika )” MIPA (SAINS) mendasari berbagai kompetensi bidang yang lain, sehingga ada” kewajiban” bagi orang yang bergelut di bidang MIPA untuk melayani pembelajaran MIPA dengan baik. MIPA adalah ilmu yang menguat teori dan menghasilkan terapan. MIPA tidak dapat berdiri sendiri, dibutuhkan sinergi antar ilmu. Maka seminar ini diharapakan dapat dipergunakan sebagai forum ilmiah antara ilmuan, sehingga akan terjalin sinergi yang baik antar bidang MIPA. Aplikasi – aplikasi MIPA

yang disajikan oleh para

penyaji makalah, dapat membuka wawasan bagi dunia MIPA. Akhir kata, semoga Nasional Sains dan Pendidikan Sains ke VI ini membawa manfaat bagi kita semua. Selamat Berseminar . Tuhan memberkati.

Salatiga, 11 Juni 2011

Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc. Dekan FSM

ii

DENAH Universitas Kristen Satya Wacana

BU Gdg. F

Pintu Masuk

BU

: Lokasi Seminar

Gedung F

: Lokasi Seminar Paralel

iii

SUSUNAN ACARA SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI WAKTU

KEGIATAN

07.00 - 08.00

Daftar Ulang dan Penyerahan File Makalah Lengkap

08.00 - 08.10

Tarian Pembukaan 1. Sambutan Ketua Panitia ( Dr Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat 2. Sambutan Dekan Fakultas Sains Dan Matematika (Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc) 3. Sambutan Rektor UKSW (Prof. Pdt. John Titaley, T.hD) Vocal Group

08.10 - 08.25

08.25 - 08.35 08.35 - 09.30

Keynote Speaker 1 : Pendidikan dan RSBI ( Drs. Saptono Nugrahadi, M.Si)

09.30 - 09.45

Rehat, Vocal Group FSP

09.45 - 10.40

Keynote Speaker 2 : Industri (Prof. Dr.Bambang Setiaji )

10.40 - 12.00

Keynote Speaker 3 : Matematika dan Forum Joglosemar ( Prof. Dr. Sri Wahyuni )

12.00 - 13. 00

Ishoma dan Vocal Group FSP

13.00 - 16.00

Seminar Paralel

16.00 -16.15

Penutupan dan pembagian Sertifikat

iv

ISSN : 2087-0922 Vol. 2 No.1 Juni 2011

DAFTAR ISI Kata Pengantar …….. ……. ........................................................................................................... i Sambutan Dekan ........................................................................................................................... ii Denah ……………………………………………………………………………………………... iii Susunan Acara ….………………………………………………………………………………... iv Daftar Isi....................................................................................................................................... . v

PEMBICARA UTAMA 1.

MENUJU SEKOLAH BERKELAS DUNIA Drs. Saptono Nugrahadi, M.Si ……………………………………………………..……. MU1_1-8

2.

MANFAAT KIMIA TERAPAN PADA PENGOLAHAN KELAPA TERPADU DALAM PENGEMBANGAN INDUSTRI KECIL Prof. Dr.Bambang Setiaji ………………………………………… ……..………. … MU2_1-12

BIDANG MATEMATIKA 1.

ANALISIS STATISTIK NON PARAMETRIK PADA DATA SIMULASI INDEKS GEOMAGNET GLOBAL John Maspupu ..…........................................................................................................…. M1_1-10

2.

INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF Adi Setiawan …………….……………..……………………………………………..…………………….. …….. M2_1-10

3.

KAJIAN NORMA-2 PADA RUANG BARISAN DENGAN MENGAITKAN RUANG DUALNYA Sadjidon dan Sunarsini …………………… .. ……. ………………………………………………………………... M3_1-4

4.

ANALISIS MODEL DINAMIKA VIRUS DALAM SEL TUBUH DAN PENGARUH RESPON IMUN CTL Nughthoh Arfawi Kurdhi …………………………………………………………………. M4_1-11

5. PENGENDALIAN PERSEDIAAN BARANG MENGGUNAKAN ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) UNTUK MEMINIMUMKAN BIAYA PERSEDIAAN TOTAL Wismanti Widi Nugrahani, Lilik Linawati. ………………………………………………………………. 6.

M5_1-8

ANALISA PERTIDAKSAMAAN KONSTRAIN UNTUK MENENTUKAN LEBAR JALAN PADA SUATU AREA PERTOKOAN Sri Suprapti Hartatiati, Nuri Wahyuningsih, Marianik S ……………………..………………….……. PM6_1-7

v

7.

ANALISIS JUMLAH KUNJUNGAN WISATAWAN DI KABUPATEN SEMARANG (STUDI EMPIRIS DI OBYEK WISATA) Sri Subanti ……………………………………………………………………………………………………………………. M7_1-9

8.

EWMA GRAFIK PENGENDALI Ernita Dwi Hastuti, Sri Sulistijowati H., dan Muslich ……………………………………………………...

M8_1-7

KERNEL PADA 1-GRAPH G(X,T) TANPA CIRCUIT Sumarno, Suharmadi, Suhud Wahyudi ……….………………………………………….……………………...

M9_1-7

9.

10. KADAR STEVIOSIDA MAKSIMUMPADA WAKTU DAN MASSA YANG MINIMUM H.A. Parhusip dan Y. Martono ……….…………………………………………..……….……………………... M10_1-6 11. PEMETAAN REMAJA PUTUS SEKOLAH USIA SMA DI PROVINSI JAWA TIMUR PADA TAHUN 2009 DENGAN MENGGUNAKAN METODE GWR (Geographically Weighted Regression) Liska Septiana, Yulindia Federika, VivienWidyaningsih, Aulia Imawati ..…………………... M11_1-9 12. MENGESTIMASI DIMANA P PRIMA Suzyanna .................................................................................................. ..…………………...

M12_1-7

13. APLIKASI TEORI QUANTIFIKASI FUZZY UNTUK MENGETAHUI FAKTOR – FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KINERJA KEUANGAN PERBANKAN (STUDI KASUS BANK DI INDONESIA PERIODE 2005-2009) Enny Rohmawati Malik dan Imam Mukhlash............................................ ..…………………... M13_1-8 14. PENENTUAN “SPBU KANTONG” UNTUK KEMASAN BIOSOLAR JALUR PANTURA LOSARI-BATANG JAWA TENGAH MENGGUNAKAN ALGORITMA BREADTH-FIRST SEARCH Leopoldus Ricky Sasongko, Lydia Ninuk Rahayu, Alberth Roy Kota ........…………………. M14_1-10 15. PENERAPAN METODE TRANSPORTASI UNTUK PEMBUATAN JADUAL PERENCANAAN PRODUKSI Lilik Linawati, Martha Lina Dwi Cahyani, Tundjung Mahatma ........……………………………. M15_1-7 16. PENYELIDIKAN AWAL KENAIKAN BILANGAN BINTIK MATAHARI PADA SIKLUS 25 John Maspupu ......................................................................................……………………………. M16_1-7 17. ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa, Subiono, dan Mahmud Yunus.................................………………..…………………. M17_1-10 18. DIMENSI METRIK PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K1 + mK4 Suhud Wahyudi , Sumarno , Suharmadi.................................………………..……….……………. M18_1-10 19. PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTA DI PROVINSI JAWA TIMUR BERDASARKAN FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA DENGAN METODE FUZZY C MEANS SEBAGAI PERTIMBANGAN PEMERINTAH UNTUK MEMERATAKAN KESEJAHTERAAN MASYARAKAT Arinda R.L. Andria R.Y.,Aulia Imawati, Laylia N.A, Khoiru L. A.N. …..……….……………. M19_1-8

vi

20. PETA KENDALI NP MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIAN Laksmi Prita Wardhani, Rizckha Septiana. …..……….…………………………………………………….

M20_1-11

21. REGRESI MULTIVARIAT PADA DAMPAK PENDERITA PENYAKIT KUTUKAN (KUSTA), DI KECAMATAN BRONDONG LAMONGAN TERHADAP KEHIDUPAN SOSIAL Brodjol Sutijo SU, Nurul Azizah, Rina Andriani, Ali Machmudin .……………………………. M21_1-11 22. KEPERIODIKAN DARI PERPANGKATAN MATRIKS TEREDUKSI DALAM ALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASI PADA KELAS SIKLIK Venn Yan Ishak Ilwaru, Dr. Subiono,MS .………………………………………………………….…………. M22_1-7 23. MODEL REGRESI SPLINE TERBAIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE GCV DALAM MENENTUKAN PARAMETER PENGHALUSNYA MODEL REGRESI SPLINE TERBAIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE GCV DALAM MENENTUKAN PARAMETER PENGHALUSNYA Rowan Daflix Syaranamual .……………………………………………………………….…………….…………. M23_1-6 24. ANALISA POLA TINGKAH LAKU PENGENDARA SEPEDA MOTOR DI KOTA SURABAYA DENGAN DRIVER BEHAVIOUR QUESTIONNAIRE (DBQ) Anna Riskiansah, Anindya Gita P., Mirba Halimatus D.S, Muhlas Hanif Wigananda, Kresnayana Yahya, Ismaini Zain ………….……………………………………………………………………… M24_1-14 25. PENJADWALAN PERAWAT PADA UNIT GAWAT DARURAT DENGAN MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING Sulistiyo, Atmasari ………….……………………………………………………………..……………………………… M25_1-6 26. PEMODELAN DAN PEMETAAN ANGKA BUTA HURUF DI PROVINSI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN REGRESI SPASIAL Bertoto Eka Firmansyah, Moch. Agus Saifudin, Bin Hariyati,Silvia Roshita Dewi dan Sutikno ………………………………………………………………………………………………………………………….. M26_1-9 27. PENENTUAN MODEL PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DENGAN METODE ARIMA Leopoldus Ricky Sasongko, Lydia Ninuk Rahayu, dan Alberth Roy Kota …………………… M27_1-11 28. STUDI METODE RITZ UNTUK PERSAMAAN POISSON Lukman Hanafi …………………………………………………………………………………………………..………… M28_1-5 29. PEMODELAN JUMLAH KEMATIAN BAYI DI PROPINSI JAWA TIMUR DENGAN PENDEKATAN GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSION SEMIPARAMETRIC Intan P. R., Margareth G. S., Dhina O. P, Purhadi .……………………………………………..………… M29_1-8 30. DAERAH GERSCHGORIN DI BIDANG KOMPLEKS DAN KETAKSINGULARAN SUATU MATRIKS Bambang Susanto .…………………………………………………………………………………………....………… M30_1-6 31. INTERVAL KONFIDENSI BOOTSTRAP PADA PROSES AR(1) Bambang Suprihatin,Suryo Guritno, Sri Haryatmi .………………………………………....…………. M31_1-12 32. MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus .………………………………………….……....……..……. M32_1-9

vii

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa1, Subiono2, dan Mahmud Yunus3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3 e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

ABSTRAK Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus telah banyak diteliti. Dalam penelitian ini akan dikaji tentang vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus. Matriks berukuran merupakan matriks sirkulan jika dan hanya jika

dimana

. Dalam penelitian ini diberikan

rumusan langkah-langkah untuk menentukan vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus dan juga membahas mengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan, posisi nilai maksimal dan dimensi dari ruang eigen matriks sirkulan. Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Eigenproblem, Matriks Sirkulan, Vektor Eigen.

1. PENDAHULUAN Aljabar max-plus telah banyak digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan. Penerapan aljabar max-plus untuk memodelkan suatu permasalahan diantaranya pada penjadwalan, transportasi, manufakturing dan sistem antrian. Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang kedinamikan sistem seperti pada penjadwalan sistem jaringan kereta, penjadwalan sistem produksi, penjadwalan jalur bus dalam kota dan penjadwalan kegiatan pembelajaran sekolah pada kelas moving. Pada penelitian-penelitian tersebut nilai eigen dan vektor eigen dari matriks yang dibentuk dari model yang telah dikontruksi digunakan untuk mengetahui kedinamikan sistem. Matriks sirkulan adalah salah satu matriks khusus yang baris (atau kolomnya) merupakan pergeseran sirkular dari baris (atau kolom) sebelumnya. Seperti halnya matriks biasa, matriks sirkulan juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa penelitian berkaitan dengan matriks sirkulan diantaranya telah dilakukan oleh Gavalec (2010) yang membahas tentang karakteristik struktur ruang eigen matriks sirkulan pada aljabar max-min. Kalman (2001) telah melakukan penelitian tentang persamaan polynomial dan matriks sirkulan. Dalam penelitiannya dibahas tentang konsep dasar matriks sirkulan dan penggunaan matriks sirkulan untuk menyelesaikan persamaan polinomial kuadratik, kubik dan kuartik. Selain itu juga dibahas tentang penggunaan matriks sirkulan untuk menganalisis akar-akar polinomial. Pada penelitian ini akan dibahas mengenai vektor eigen matriks sirkulan dalam aljabar max-plus. 2. ALJABAR MAX-PLUS Aljabar max-plus ( selanjutnya cukup ditulis

,

, ,

) dengan elemen netral

dan elemen satuan

dimana R adalah himpunan semua bilangan real.

M17-1


Definisi 1. Struktur aljabar Simbol

[2]

menyatakan himpunan

dinotasikan

dengan operasi biner yaitu maksimum yang

dan penjumlahan yang dinotasikan

Operasi biner untuk setiap a,b

dan

pada

.

didefinisikan

,

.

Sifat-sifat dalam aljabar max-plus a. Assosiatif :

adalah sebagai berikut: dan

b. Komutatif : c. Distributif

dan

dan terhadap

:

d. Eksistensi elemen nol, yaitu : e. Eksistensi elemen satuan, yaitu

:

f. Elemen nol adalah absorbing untuk operasi g. Idempoten dari operasi Operasi

pangkat

:

: dalam

aljabar

, untuk semua

max-plus

untuk

dan untuk

setiap

adalah

didefinisikan

. Karena

sehingga biasa dapat ditulis

, untuk setiap

.

Himpunan matriks dalam aljabar max-plus dinyatakan atau dan

menyatakan elemen dari matriks m, dengan n

a12 a 22  an2

Operasi penjumlahan matriks A, B rumus

dan

n

dapat ditulis dengan

, dinotasikan dengan n

dan

didefinisikan oleh

m. Sedangkan operasi perkalian matriks didefinisikan dengan rumus

. Notasi

 a1m    a2m       a nm 

untuk dengan skalar

dimana

pada baris ke-i dan kolom ke-j, untuk

. Sebagaimana biasa, matriks

 a11  a A   21   a  n1

dan

dalam aljabar

didefinisikan dengan m. Operasi perkalian , dengan

dan

n

dinotasikan dengan untuk

n

m.

M17-2


Penjumlahan matriks dalam elemen nol yaitu

mempunyai sifat assosiatif, komutatif dan mempunyai

. Matriks

adalah matriks berukuran

elemennya sama dengan . Sedangkan matriks berukuran

dengan semua

yang semua elemennya sama

dengan , kecuali elemen yang terletak pada baris dan kolom yang sama nilainya sama dengan dinotasikan dengan

dan didefinisikan dengan

Perkalian matriks dalam elemen satuan

, serta elemen penyerap

Transpose matriks untuk

n dan

mempunyai sifat assoasiatif, distributif terhadap untuk operasi

dinotasikan dengan

, mempunyai

.

dan didefinisikan oleh

,

m.

Pangkat ke-k dari matriks A , untuk dinyatakan dengan

dinotasikan dengan

dan

. Matriks

dan didefinisikan

untuk

juga dapat

.

Suatu graph dapat diubah menjadi bentuk matriks dan begitu pula sebaliknya. Dari suatu matriks A berukuran dapat dibuat suatu digraph dengan verteks , yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2. Precedence Graph [2] Precedence graph dari matriks bujur sangkar A dengan elemennya berbobot dengan n verteks dan sebuah arc (j, i) ada jika nilai dari

. Precedence graph dinotasikan

Suatu path untuk

, dimana bobot pada arc adalah

.

adalah barisan verteks . verteks

adalah sebuah digraph

sedemikian hingga ada arc dari

adalah verteks awal dan

ke

adalah verteks akhir dari path. Path

elementer adalah path yang tidak ada verteks muncul (dilalui) lebih dari sekali. Graph

disebut

strongly connected jika ada suatu path dari setiap verteks ke verteks yang lain. Jika

strongly

connected maka dikatakan bahwa matriks A irreducible. Path dengan verteks awal dan akhirnya adalah verteks yang sama disebut circuit ( ). Circuit elementer adalah circuit dengan path elementer. Suatu loop adalah circuit (

) yaitu circuit yang hanya terdiri dari satu verteks, jadi pada loop hanya ada satu arc dari

ke . Panjang dari path adalah jumlah arc pada path tersebut yang dinotasikan dengan

, dengan

demikian maka panjang dari loop adalah 1. Bobot path adalah jumlah dari bobot arc yang membentuk path tersebut yang dinotasikan dengan . Bobot rata-rata path adalah . Hal ini juga berlaku jika path merupakan suatu circuit. Circuit circuit

maka bobot rata-rata circuit (circuit mean)

dengan bobot circuit adalah

dan panjang

. Untuk suatu matriks A

M17-3


dengan circuit yang berbeda

, circuit mean maksimum didefinisikan dengan

. Adapun definisi nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus diberikan sebagai berikut: Definisi 3. [6] Misalkan matriks A . Jika adalah sebuah skalar dan adalah sebuah vektor yang memuat minimal satu elemen yang berhingga sehingga memenuhi λ disebut nilai eigen dan

, maka

adalah vektor eigen.

Dari suatu vektor eigen

yang bersesuaian dengan nilai eigen

dapat diperoleh vektor

eigen yang lain dari mariks tersebut yang juga bersesuaian dengan nilai eigen . Lemma 4. [1] Misalkan adalah matriks berukuran

dengan eigenpair

dan

. Maka

juga merupakan eigenpair dari .

3. MATRIKS SIRKULAN Matriks sirkulan adalah matriks dengan elemen baris pertama

dan

baris berikutnya merupakan pergeseran kekanan sekali (satu elemen) dari elemen-lemen baris sebelumnya. Jadi elemen matriks sirkulan tergantung pada input baris pertamanya. Berikut adalah bentuk umum matriks sirkulan berukuran

 a0   a n 1 a  n2    a  1 Definisi 5. [4] Misalkan

ii. Vektor

 a2

.

adalah matriks sirkulan jika dan hanya jika

.

Definisi 6. [4] i. Diberikan dinotasikan oleh

a n 1

matriks berukuran

dimana

a 2  a n 1   a1  a n  2  a 0  a n 3       a3  a 0 

a1 a0

maka matriks sirkulan

dimana

.

(baris pertama dari matriks sirkulan) disebut vektor sirkulan.

Pada penjumlahan matriks sirkulan juga menghasilkan matriks sirkulan yang diberikan oleh sifat berikut: Teorema 7. [7] Jika , adalah matriks sirkulan maka , adalah matriks sirkulan. Contoh 1 Diberikan matriks

dan

maka M17-4


Terlihat bahwa

komutatif.

4. EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN Nilai eigen pada matriks sirkulan, yang merupakan bentuk matriks khusus, dapat diperoleh dengan mudah seperti yang diberikan oleh teorema berikut: Teorema 8. [7] Jika adalah matriks sirkulan maka . Sedangkan vektor eigen matriks sirkulan

dapat diperoleh

dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Hitung b. Hitung c. Hitung

, dengan

d. Hitung Vektor-vektor kolom pada ruang eigen

merupakan vektor eigen matriks sirkulan

dan

vektor eigen tersebut merupakan vektor basis. Dari Lemma 4, vektor-vektor eigen yang lain dapat dicari dengan mengalikan vektor basis dengan suatu skalar. Contoh 2. Diberikan matriks sirkulan , akan ditentukan vektor eigen dari . Dengan mengikuti langkah di atas, penyelesaian sebagai berikut:

Matriks

. Berdasarkan Teorema 8. maka

, selanjut diperoleh

Untuk memperoleh ruang eigen

dicari terlebih dahulu

merupakan matriks sirkulan, berdasarkan Teorema 7. maka

, dengan

. Karena

juga merupakan matriks sirkulan.

M17-5


Oleh karena itu, untuk memperoleh elemen-elemen

cukup menghitung elemen pada baris

pertama saja, dari baris pertama dapat ditentukan elemen-elemen baris berikutnya.

Selanjutnya dapat diperoleh

sebagai berikut:

Penghitungan memperoleh ruang eigen dengan cepat dapat menggunakan toolbox aljabar maxplus ver. 1.0.1 scilab 5.2.2 dengan mengetikkan = maxplusaplus( ). Vektor-vektor kolom pada merupakan vektor eigen dari . Vektor kolom pertama ekivalen dengan vektor kolom ke-4, vektor kolom ke-2 ekivalen dengan vektor kolom ke-5 dan vektor kolom ke-3 ekivalen dengan vektor kolom ke-6 berarti ada 3 kelas ekivalen yang terdiri dari vektor-vektor basis. Vektor  0    1   1         1  0    1   1   1 0 basisnya adalah   ,   dan   . Jadi dimensi dari ruang eigen adalah 3.  0    1   1   1  0    1   1   1 0       Teorema 9. [9] Dimensi ruang eigen dari matriks sirkulan

sama dengan faktor persekutuan terbesar dari semua

posisi nilai maksimal pada baris pertama dan ukuran dari matriks .

Contoh 3. Matriks pada Contoh 2. berukuran maksimal berada pada dan

dan

dan nilai maksimalnya adalah 5, pada baris pertama nilai

. Jadi dimensi ruang eigen adalah faktor persekutuan terbesar dari

yaitu 3.

Berdasarkan Teorema 9. dan contoh matriks sirkulan pada lampiran A, dapat diamati mengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal dengan dimensi dari ruang eigen yang diberikan dalam corollary berikut:

M17-6


Akibat 10. Jika

adalah matriks sirkulan berukuran

, maka banyak dimensi

ruang eigen yang mungkin adalah sebanyak faktor dari . Bukti: Diberikan

adalah himpunan faktor dari . Misal

nilai maksimal berada di

untuk beberapa

di

adalah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari faktor dari

maka

adalah dimensi dari ruang eigen

. Berdasarkan Teorema 10,

dan , berarti

adalah faktor dari

dan

juga

.

Dari Akibat 10. untuk matriks sirkulan

berukuran

bilangan prima, maka banyak dimensi yang mungkin dari ruang eigen dimensi 1 dan dimensi

dan posisi

karena faktor dari

adalah 1 dan

dengan

adalah elemen

adalah sebanyak 2 yaitu

itu sendiri.

5. KESIMPULAN Nilai eigen matriks sirkulan adalah sama dengan nilai elemen matriks yang maksimal. Dimensi ruang eigen tergantung pada ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal pada baris pertamanya, sehingga dimensi ruang eigen yang mungkin dari matriks sirkulan adalah salah satu faktor dari ukuran matriks tersebut. Dimensi ruang eigen matriks sirkulan menunjukkan banyaknya vektor basis dari matriks tersebut. DAFTAR PUSTAKA [1] Andersen, M.H. (2002), Max-plus Algebra: Properties and Applications, Tesis, Laramie, WY. [2] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P. (2001), Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems, John Wiley & Sons, New York. [3] Gavalec, M., dan Tomaskova, H. (2010), “Eigenspace of a Circulant Max-Min Matrix”, Kybernetika, vol. 46, No.3, hal. 397- 404. [4] Jones, A. W. (2008), Circulants, Carlisle, Pennsylvania. [5] Kalman, D., dan White, J.E. (2001), “Polynomial Equations and Circulant Matrices”, The Mathematical Association of America, hal. 821-840. [6] Konigsberg, Z.R. (2009), “A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices Over the Max-Plus Algebra”, International Mathematical Forum, vol. 4, No. 24, hal. 1157-1171. [7] Plavka, J., (2001), “On Eigenproblem for Circulant Matrices in Max-Algebra”, Optimization, vol. 50, No. 5, hal. 477-483. [8] Subiono, (2009), Max-Plus Algebra Toolbox ver. 1.01, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [9] Tomaskova, H. (2010), “Eigenproblem for Ciculant Matrices in Max-plus Algebra”, University Hradec Kralove, Czech Republik.

M17-7


A. Penghitungan dimensi ruang eigen menggunakan Teorema 9. Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal , -

=0 =1

Dimensi 2

=1

1

Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal , -

=0 =1,2

Dimensi 3

=1,2

1


=0

Dimensi 4

2

2

2

=1,3

=1,3

1


=0 =1,2,3,4

Dimensi 5

=1,2,3,4

1

Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal , =0 =3

-

Dimensi 6

=3

3

2,4

2,4

2

=1,5

=1,5

1

M17-8



=0 =1,2,3,4,5,6

Dimensi 7

=1,2,3,4,5,6

1


=0 =4

Dimensi 8

=4

4

2,6

2,6

2

=1,3,5,7

=1,3,5,7

1


=0 3,6

9 3,6

=1,2,4,5,7,8

Dimensi

=1,2,4,5,7,8

3 1


=0 =5

Dimensi 10

=5

5

2,4,6,8

2,4,6,8

2

=1,3,7,9

=1,3,7,9

1

Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal , =0 =1,…,11

-

Dimensi 11

=1,…,11

1

M17-9



=0

Dimensi 12

=6

=6

6

=4,8

=4,8

4

=3,9

=3,9

3

2,10

2,10

2

=1,5,7,11

=1,5,7,11

1


=0 =1,…,13

Dimensi 13

=1,…,13

1

Matriks sirkulan berukuran Posisi nilai maksimal , =0 =7

-

Dimensi 14

=7

7

2,4,6,8,10,12

2,4,6,8,10,12

2

=1,3,5,9,11,13

=1,3,5,9,11,13

1

M17-10

SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI

Recommend Documents