Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Rozner Bence Péter
Diszkrét matematikai modellek és néhány alkalmazásuk a természettudományokban BSc Szakdolgozat
Témavezet®:
Zempléni András
egyetemi docens Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék
Budapest, 2013
Köszönetnyilvánítás Ezúton is köszönöm témavezet®mnek, Zempléni Andrásnak a dolgozat igen alapos ellen®rzését, segít® tanácsait és megjegyzéseit, valamint az R statisztikai programcsomag használatában nyújtott segítségét.
2
Tartalomjegyzék 1. Bevezet®
4
2. Diszkrét matematikai modellek a statisztikus mechanikában
5
2.1. A statisztikus mechanika eszközei 2.1.1. A Boltzmann-féle egyenlet 2.1.2. Fázistér . . . . . . . . . . 2.1.3. Liouville-tétel . . . . . . . 2.2. Maxwell-Boltzmann-statisztika . 2.2.1. Boltzmann-féle eloszlás . . 2.3. Bose-Einstein-statisztika . . . . . 2.3.1. Fermi-Dirac-statisztika . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
3. Markov láncok és alkalmazásaik
5 5 6 7 8 10 11 13
15
3.1. A Markov lánc fogalma és néhány alapvet® tulajdonsága 3.1.1. A Markov lánc de níciója . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Állapotok osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Visszatér®ség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Markov láncokra vonatkozó határeloszlástétel . . 3.2. Az Ehrenfest-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. A Bernoulli-Laplace-modell . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Szimulációk az Ehrenfest modellre . . . . . . . . 3.3.2. Szimulációk a Bernoulli-Laplace modellre . . . . 3.4. Diszkrét idej¶ születési és halálozási folyamatok . . . . . 3.4.1. A modellek jellemzése és egy konkrét példa . . . 3.5. Diszkrét idej¶ elágazó folyamatok . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. A várható érték viselkedése . . . . . . . . . . . . 3.5.2. A kihalás valószín¶sége . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Szimulációk az elágazó folyamatokra . . . . . . .
4. Összefoglalás
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
15 15 18 19 22 23 24 25 26 27 27 28 29 30 32
33 3
1. fejezet
Bevezet® Jelen dolgozat a természettudományok különböz® területein felmerül® problémák vizsgálatában megjelen® modellek bemutatásával, azok jellegének ismertetésével foglalkozik. Els®sorban biológiai, zikai és kémiai jelenségek kerülnek áttekintésre, melyek nagyon speciálisak abban az értelemben, hogy a valószín¶ségelmélet és a statisztika módszerei nyújtanak elegáns megoldást a felmerül® problémákra. A dolgozat két részb®l áll, melyek a statisztikus mechanikában alkalmazott módszerek, valamint a Markov láncok lehetséges alkalmazásaival foglalkoznak. Az els® rész a termodinamikai rendszerek vizsgálatában felmerül® statisztikus szemléletet mutatja be. A klasszikus valószín¶ségszámítás fejezeteib®l sokak számára ismert a Maxwell-Boltzmann, Fermi-Dirac és Bose-Einstein statisztika, melyekr®l többen tudják, hogy a zika és a kémia területén felbukkanó problémák megoldására fogalmazták meg ®ket. A szakdolgozat els®dleges célja a statsiztikák mögött rejl® természettudományos gondolatmenetek bemutatása. Ennél a résznél a zikai és kémiai eredmények pontos ismertetése helyett leginkább az alkalmazott eszközök és gondolatok jellegének ismertetése a cél. A termodinamika heurisztikus bizonyításaiban meg kell engednünk némi matematikai pontatlanságot, különben az egyes részletek annyira zavaróan hatnának, hogy elsiklana a lényeg a hosszadalmas számolásokban. A dolgozat második része a sztochasztikus folyamatok elméletéból jól ismert Markov láncok bemutatásával és néhány alkalmazás tárgyalásával foglalkozik. A Markov láncok alapjainak részletes imertetése az Eötvös Loránd Tudományegyetem Alkalmazott matematikus képzésben megjelen® változások miatt szükséges, ugyanis a 2010-ben kezdett évfolyam számára, a korábbi évekt®l eltér®en már nem szerepel a 6. szemeszter Sztochasztikus folyamatok tantárgya. A Markov láncok alkalmazásai között bemutatunk néhány olyan modellt is, amelyek kapcsolódnak az els® részben vázolt problémákhoz. Az egyes fejezetekben tárgyalt modellek egy részéhez szimulációk is tartoznak, amelyek az R statisztikai programcsomaggal készültek. A szakdolgozat második fejezete els®sorban az [1] könyv megfelel® részeinek felépítését követi, míg a harmadik fejezet a [3] könyv Markov láncokról szóló részén alapszik, kiégészítve a [4] jegyzet néhány állításával.
4
2. fejezet
Diszkrét matematikai modellek a statisztikus mechanikában Jelen fejezet felépítése az [1] könyv megfelel® fejezeteinek szerkezetét követi, kiegészítve a [2] jegyzet néhány eredményével. A statisztikus mechanika nagyszámú részecskéb®l, atomból vagy molekulából felépül® rendszerek energiaviszonyainak leírásával foglalkozik. Az anyagok atomi szerkezetének ismeretében a termodinamikai jelenségek leírásában eredményesen alkalmazhatók a klasszikus mechanika eredményei. Figyelembe kell vennünk, hogy a rendszereket alkotó összetev®k nagy száma miatt szükségszer¶ a valószín¶ségelmélet és a statisztika módszereinek felhasználása, hiszen a molekulák mozgásegyenleteinek integrálása és a kezdeti feltételek meghatározása gyakorlatilag lehetetlen. 2.1.
A statisztikus mechanika eszközei
2.1.1. A Boltzmann-féle egyenlet Egy termodinamikai rendszer állapotának meghatározásához elegend® két adat, a nyomás és a h®mérséklet megadása. A termodinamikai állapothatározók, mint például a nyomás, h®mérséklet vagy a térfogat által meghatározott állapotot makroállapotnak nevezzük. Ezen állapot mechanikai leírásához meg kellene mondani a rendszert alkotó molekulák egy adott pillanatbeli helyés impulzus- (vagy sebesség-) koordinátáit. Ezt a mechanikai leírást mikroállapotnak nevezzük. A kinetikus gázelmélet eredényeib®l tudjuk, hogy egy makroállapot a részecskék sebességnégyzetének átlagértékét írja el®, ugyanis ez adja meg a nyomást és a h®mérsékletet. Látható, hogy sok-sok különböz® mikroállapot adatai ugyanazt a makroállapotot határozzák meg, hiszen a sebességnégyzetének átlagértékéb®l nem lehet következtetni az egyes molekulák sebességére. Egy tetsz®leges makroállapotot jellemezhetünk az ®t megvalósító mikroállapotok számával, melyet W vel jelölünk, és termodinamikai valószín¶ségnek nevezzük. A termodinamikai megkülönböztetés utal arra, hogy W értéke általában egy nagyon nagy, pozitív egész szám, szemben a matematikai 5
valószín¶séggel, melynek értéke mindig 0 és 1 közé esik. Ha a termodinamikai valószín¶séget leosztjuk a rendszer összes mikroállapotainak számával, akkor matematikai értelemben vett valószín¶ségeloszlást kapunk, amely a rendszer makroállapotain van értelmezve. Tapasztalatból tudjuk, hogy egy magára hagyott rendszer állapota az id® el®rehaladtával stabilizálódik, az egyensúlyi állapothoz tart, pontosabban sztochasztikusan konvergál hozzá. Természetesnek t¶nik elfogadni azt a megállapítást, miszerint egyensúlyi állapotnak a lehetséges makroállapotok közül az tekinthet®, melynek termodinamikai valószín¶sége maximális. A termodinamikai tárgyalásmód szerint egy zárt rendszer egyensúlyi állapotát az entrópia maximuma jellemzi, ami arra enged következtetni, hogy meghatározott kapcsolatot feltételezzünk az entrópia és a megfelel® makroállapot termodinamikai valószín¶sége között. Az alábbi de níció távolról sem nevezhet® az entrópia általános fogalmának. A precíz de nícióhoz rengeteg zikai és kémiai ismerettel kellene rendelkeznünk, ez túlmutatna jelen dolgozat keretein. Az alábbi megfogalmazás csupán az egyensúlyi állapot karakterizációjának tekinthet®, ami számunkra a legfontosabb.
2.1.1. De níció. (Entrópia) Legyen adott egy termodinamikai rendszer. Entrópiának nevezzük az S = k log W függvényt, ahol W a rendszer adott pillanatbeli makroállapotát megvalósító mikroállapotok száma, és k = 1.38 · 10−23 (Boltzmann-állandó). Az entrópia akkor, és csak akkor maximális, ha a rendszer állapota egyensúlyi. Az S = k log W egyenletet Boltzmann-féle egyenletnek nevezzük, amely a legfontosabb összefüggésnek tekinthet® a statisztikus mechanikában.
2.1.2. Fázistér A statisztikus mechanika vizsgálódásainak tárgyát képez®, nagyszámú részecskéb®l felépül® termodinamikai rendszerek egyes állapotainak leírása érdekében bevezetjük a fázistér fogalmát, amely a továbbiakban különösen hasznos lesz. Gondoljunk egy N ∼ 1023 molekulát tartalmazó termodinamikai rendszerre, melyben egy adott molekula f ∈ N+ darab szabadsági fokkal rendelkezik. Ez azt jelenti, hogy a rendszer egy állapotának leírásához meg kell adni az állapothatározók értékét az összes molekula szabadsági fokaira nézve. Ha ehhez még hozzávesszük a kezdeti feltételeket is, akkor 2N f darab változó meghatározására van szükség, melyek ráadásul az id® függvényei. A továbbiakban fázistérnek fogjuk nevezni a 2N f -dimenziós Descartes -féle koordinátarendszert, amelyben a tér egy tetsz®leges pontja, egy ún. fázispont reprezentálja egy adott rendszer, adott pillanatbeli állapotát. A fázispontok az id® függvényében változtatják helyzetüket a fázistéren belül, és egy görbét írnak le, amit fázisgörbének vagy trajektóriának neveznek. Ha a fázistér egy r(t) pontja az állapotoknak feleltethet®k meg egy adott t ∈ R+ id®pontban, akkor egy {r(t) : t ∈ [t1 , t2 ] ⊂ R+ } fázisgörbe a rendszer állapotváltozásait reprezentálja a [t1 , t2 ] ⊂ R+ id®intervallumon. Célunk a Liouville-tétel igazolása, azaz annak bizonyítása, hogy a fázistér egy térfogatelemének nagysága nem változik az id® múlásával. Ebb®l már adódik, hogy a rendszer mikroállapotai egyenl®en valószín¶ek. A kezd®állapotnak megfelel® fázispontok a fázistér 6
bármely pontjának választhatók, és annak a valószín¶sége, hogy egy ilyen pont valamely el®re megadott fázistérbeli térfogatelembe esik arányos a térfogatelem nagyságával. Tekintsük azon mikroállapotoknak megfelel® fázispontokat, amelyek a rögzített térfogatelemben lév® kezd®állapotokból következnek. Liouville tétele szerint ezen fázispontok által meghatározott térfogatelem nagysága egyenl® a megadott térfogatelem nagyságáva. Ez azt jelenti, hogy a kezd®állapotokból elérhet® mikroállapotok valószín¶sége is arányos a térfogatelem nagyságával. Ha fázisteret egyenl® nagyság® térfogatelemekre, ún. cellákra osztjuk, akkor minden mikroállapot egyenl®en valószín¶.
2.1.3. Liouville-tétel A fázistér tetsz®leges számú fázispontja egy térfogatrészt határoz meg. Tekintsük egy kiválasztott térfogatelem variációját, azaz a benne lév® fázispontok egy in nitezimálisan rövid id®vel kés®bbi helyzetét. A térfogatelem nagysága legyen δVf = δq1 . . . δqf δp1 . . . δpf , ahol qf és pf jelöli a molekulák helyzeti- és impulzusmomentumát. Arra szeretnénk választ kapni, hogy a vizsgált térfogatelem a fázistérbeli mozgása során hogyan változtatja meg a nagyságát. Ehhez felhasználjuk a Hamilton-féle kanonikus egyenleteket: ∀k ∈ [f ] = {1, 2, . . . , f } esetén ∂H , ∂qk ∂H , ∂pk
p˙k = − q˙k =
ahol a pont az id® szerinti közönséges deriváltat jelenti, H pedig a mechanikában gyakran használt Hamilton-féle függvényt
2.1.2. De níció. (Hamilton-féle függvény) A Hamilton-féle függvény megadja egy termodinamikai rendszer energiáját a helyzeti- és impulzuskoordináták függvényében. A Lagrange-féle függvény sebességek szerinti Legendre-féle transzformáltja. A számolások megkönnyítése érdekében tekintsük a fázistérbeli térfogatelem nagyságának a logaritmusát.
d log (δVf (t)) dt
=
=
d dt
" log
Nf Y
# δqk (t)δpk (t) =
k=1
Nf dX log (δqk δpk ) = dt k=1
# " Nf X δq˙ k δp˙ k = + . δqk δpk k=1
7
A Hamilton-féle kanonikus egyenletek felhasználásával adódik, hogy ∀k ∈ [f ] esetén
d ∂H(qk , pk + δpk ) (p + δpk ) = − dt k ∂qk ∂H(qk + δqk , pk ) d (qk + δqk ) = . dt ∂pk Tekintsük a Hamilton-függvény Taylor-sorát a (qk , pk ) pont egy környezetében: ∂H(qk , pk ) ∂ 2 H(qk , pk ) p˙k + δp˙ k = − − δpk − . . . ∂pk ∂pk ∂qk ∂H(qk , pk ) ∂ 2 H(qk , pk ) q˙k + δq˙ k = + δqk + . . . ∂qk ∂qk ∂pk
A Hamilton-féle kanonikus egyenletek felhasználásával azt kapjuk, hogy ∂ 2 H(qk , pk ) δpk , δp˙ k = − ∂pk ∂qk ∂ 2 H(qk , pk ) δq˙ k = δqk . ∂qk ∂pk
Tehát a fázistérfogat-elem logaritmusára igaz lesz, hogy Nf X d log (δVf ) = dt k=1
∂ 2 H(qk , pk ) δqk ∂ 2 H(qk , pk ) δpk − = 0. ∂qk ∂pk δqk ∂pk ∂qk δpk
A tétel igazolásának utolsó lépésénél feltettük, hogy a Hamilton-függvény másodrend¶ vegyes parciális deriváltjai megegyeznek, de ez a gyakorlatban mindig teljesül. 2.2.
Maxwell-Boltzmann-statisztika
Egy gáz minden molekulájához tartozik egy fázistér, melyet H nagyságú egyenl® részekre osztunk fel. Ha egy N darab molekula által alkotott termodinamikai rendszert tekintünk, akkor a fázisteret H N nagyságú cellákra osztjuk fel. Az egyszer¶ség kedvéért egyatomos molekulákra szorítkozunk, hiszen azok mechanikai állapotát a helyzeti- és impulzuskoordinátái egyértelm¶en meghatározzák. Tételezzük fel, hogy az egyes cellák nagysága elegend®en kicsi ahhoz, hogy ugyanabba a cellába es® fázispontok által reprezentált molekulák mechanikai tulajdonságait azonosnak tekinthessük. Ekkor a cellák a mechanikai állapotoknak feleltethet®k meg. A klasszikus mechanika eredményei elvben lehet®vé teszik a hely- és impulzuskoordináták értékének tetsz®leges pontosságú meghatározását, tehát a cellák akármilyen kicsinek választhatók. Ismeretes, hogy az impulzus folytonosan változó mennyiség, ezért egy-egy cellába akármilyen sok molekulának megfelel® fázispont tartozhat. Tegyük fel, hogy a rendszert alkotó részecskék megkülönböztethet®ek abban az értelemben, hogy két molekula impulzuskoordinátáinak felcserélésevel egy új mikroállapotot kapunk. A továbbiakban meghatározzuk egy makroállapot termodinamikai valószín¶ségét. Legyenek a fáziscellák C1 , C2 , . . . , Ci , . . . , Cr , a bennük lév® molekulák száma, azaz a betölt®dési számok 8
pedig N1 , N2 , . . . , Ni , . . . , Nr , ahol ri=1 Ni = N . A molekulák egy eloszlása egyértelm¶en meghatároz egy makroállapotot. Egy ilyen eloszlás a molekulák megkülönböztethet®sége miatt sok-sok különböz® mikroállapottal valósítható meg. Az els® cellába N1 darab molekulát összesen NN1 -féle képpen választhatunk ki, míg a második 1 -féle képpen választható cellába a maradék (N −N1 ) darab molekulából N2 darab összesen NN−N 2 ki s.í.t. Ebb®l adódóan P
W (N1 , . . . , Ni , . . . , Nr ) =
N N1
N − N1 − . . . − Nr−1 N − N1 . ... Nr N2
Az egyenlet jobb oldalán lév® binomiális együtthatók kifejtésével kapjuk, hogy W (N1 , . . . , Ni , . . . , Nr ) =
N! . N1 !N2 ! . . . Ni ! . . . Nr !
A korábban megismert Boltzmann-egyenlet alapján " S = k log W = k log N ! −
r X
# log Ni ! .
i=1
A Stirling-formula szerint limN →∞ √
N! N 2πN ( N e )
= 1, amib®l közvetlenül adódik, hogy log N ! ≈
N (log N − 1). Feltehet®, hogy N , valamint az Ni -k értéke kell®en nagy ahhoz, hogy a
Stirling-
formula elegend®en jó közelítést adjon, hiszen a termodinamikában vizsgált rendszerek összetev®inek száma 1023 többszörösével egyenl®. Ennek felhasználásával kapjuk, hogy r h i X S = k N (log N − 1) − Ni (log Ni − 1) = i=1 r h i X = k N log N − (Ni log Ni ) = i=1
= −kN
r X Ni i=1
N
log
Ni . N
Legyen Wi = NNi annak a valószín¶sége, hogy egy adott molekula az i-edik cellába esik. Célunk az entrópia maximalizálása. Az elkövetkez® vizsgálataink során feltételezzük, hogy a termodinamikai rendszerünk ideális gáz. Gondolatban osszuk fel a gázt tartalmazó edényt egyenl® nagyságú V térfogatrészekre. Az egyes térfogatrészekben elhelyezked® gázmolekulák száma, tehát a gáz s¶r¶sége egyértelm¶en meghatároz egy makroállapotot. Látható, hogy az entrópiát megadó függvény nem folytonos, de abban az esetben, ha N értéke nagyon nagy, akkor jó közelítéssel tekinthetjük annak. Oldjuk meg a következ® széls®érték-számítási feladatot: P P a maximalizálandó függvény S = −kN ri=1 Wi log Wi , a mellékfeltétel pedig ri=1 Ni = N ⇔ Pr i=1 Wi = 1. A fenti széls®érték-számítási feladatot a Lagrange-féle multiplikátor segítségével oldjuk meg. Tekintsük a méllekfeltételek variációját, szorozzuk meg a Lagrange-féle multiplikátorral, amelyet jelöljön λ, majd adjuk hozzá a maximalizálandó függvény, vagyis az entrópia 9
variációjához. Az entrópia variációja δS = −kN
r X
log Wi δWi − kN
i=1
r X
Wi
i=1
1 δWi . Wi
A mellékfeltételek gyelembevételével azt kapjuk, hogy δ(S + λ
r X
Wi ) = −kN
i=1
r X
log Wi + 1 −
i=1
λ δWi = 0. kN
A fenti egyenl®ség a δWi -k tetsz®leges választása mellett csak úgy teljesülhet, ha ∀i = 1, 2, . . . esetén log Wi =
λ λ − 1 ⇔ Wi = e kN −1 . kN
Ekkor Wi állandó ∀i = 1, 2, . . . esetén. Látható, hogy a legnagyobb termodinamikai valószín¶ség¶ makroállapot esetében minden V nagyságú térfogatrészben ugyanannyi részecske található, vagyis a gáz s¶r¶sége állandó.
2.2.1. Boltzmann-féle eloszlás Ebben az alfejezetben egyensúlyi állapotban lév® ideális gázok molekuláinak hely- és impulzuskoordináták szerinti eloszlását vizsgáljuk meg. Tételezzük fel, hogy az egyes gázmolekulák energiája attól függ, hogy azok melyik cellában helyezkednek el, továbbá a különböz® cellákban elehelyezked® molekulák energiája különböz®. Mivel a rendszer zárt, ezért az összenergia (ε) változatlan marad a rendszer állapotváltozásai során. Célunk a következ® széls®érték-számítási P feladat megoldása: a maximalizálandó függvény S = −kN ri=1 Wi log Wi , a mellékfeltételek peP P dig ri=1 Wi εi = Nε , illetve ri=1 Wi = 1, ahol εi az i-edik cellában lév® molekula energiája. A fenti feladatot ismét Lagrange-féle multiplikátorok segítségével oldjuk meg. Ekkor az entrópia, valamint a mellékfeltételek variációja r X δS = −kN (log Wi + 1)δWi , i=1 r X
δWi = 0,
i=1 r X
εi δWi = 0.
(a részecskék száma állandó) (a rendszer összenergiája állandó)
i=1
Szorozzuk meg a mellékfeltételek variációját a Lagrange-féle multiplikátorral, majd adjuk hozzá az entrópia variációjához. Ebb®l adódóan δ(S + λ1
r X i=1
Wi + λ2
r X i=1
εi Wi ) = −kN
r X i=1
10
(log Wi + 1 −
λ1 λ2 εi − )δWi = 0. kN kN
Legyen λ1 = −αkN , valamint λ2 = −βkN . Az új jelölésekkel azt kapjuk, hogy r X −kN (log Wi + 1 + α + βεi )δWi = 0. i=1
A δWi tetsz®leges választása mellett a fenti egyenl®ség akkor teljesül, ha log Wi = −(1 + α + βεi ) ⇔ Wi = e−(1+α+βεi ) .
Meg lehet mutatni, hogy e−1−α = Pr 1e−βεi , valamint β = i=1 Ebb®l már megkapható a Boltzmann-féle eloszlás:
1 kT ,
ahol T a rendszer h®mérséklete.
εi
e− kT
Wi = Pr
ε
i=1 e
− kTi
,
ahol i = 1, 2, . . . , r. 2.3.
Bose-Einstein-statisztika
Ebben a fejezetben a kvantumelmélet területér®l származó problémák megoldására kidolgozott modellekkel foglalkozunk. A Maxwell-Boltzmann-statisztikával ellentéteben a most következ® vizsgálódásaink során feltételezzük, hogy adott egy N darab azonos részecskét tartalmazó rendszer, melyben az egyes részecskék nem megkülönböztethet®ek. Ezáltal a termodinamikai valószín¶ség értelmezése és kiszámítása megváltozik. Másik fontos változtatás a fázistér cellákra való felosztásában lesz. Mechanikai problémáknál elvben lehet®ség van a hely- és impulzuskoordináták tetsz®legesen pontos meghatározására, de kvantummechanikában a híres Heisenberg-féle határozatlansági elv miatt erre nincs lehet®ség, tehát az egyes cellák nagysága nem választható akármilyen kicsire. Figyelembe kell vennünk, hogy a fázistér két különböz® cellájában lév® részecskék felcserélése nem ad új mikroállapotot. Egy makroállapot meghatározásához meg kell adnunk, hogy hány olyan cella van a fázistérben, amelyben pontosan 0, 1, 2, . . . darab részecske van. Célunk egy tetsz®leges makroállapot termodinamikai valószín¶ségének meghatározása, azaz megszámolni N részecske olyan eloszlásainak számát, ahol N1 darab részecske jut az els® energiarétegre, N2 darab a másodikra, s.í.t. (N1 +N2 +. . . = N ). Ugyanazt a makroállapotot kapjuk, ha az egyes elemi cellákban lév® részecskék száma változatlan, de a cellákat egymás között felcseréljük. Jelölje Zi(k) az i-edik energiarétegen lév® olyan ún. elemi cellák számát, amelyben pontosan k darab részecske van. Kérdéses, hogy az i-edik réteg esetében, hány darab olyan eloszlás van, ahol az elemi cellákban lév® részecskék száma azonos, esetleg a cellákat cserélgetjük egymás között? Jelölje Zi az i-edik energiaréteghez tartozó cellák számát. Ekkor ugyanaz az állapot Wi =
Zi ! (0) (1) (2) Zi Zi Zi . . .
11
=Q
Zi ! (n) n Zi
módon kapható meg. Az összes energiaszintre együtt nézve azt kapjuk, hogy egy makroállapot Q termodinamikai valószín¶sége W = i Wi . A Boltzmann-féle egyenlet segítségével felírható a rendszer entrópiája, azaz ! S = k log W = k log
Y
Wi = k
X
i
log Zi ! −
X
(n) log Zi
.
n
i
A Stirling-formula alapján S = k
X
Zi log Zi − Zi −
X
(n) (n) Zi log Zi
−
(n) Zi
! =
n
i
! = k
X
Zi log Zi −
X
(n) (n) Zi log Zi
,
n
i
ahol felhasználtuk, hogy Zi = n Zi(n) . Célunk az egyensúlyi állapot jellemzése. Ekkor az entrópia maximális, tehát az entrópia variációja P
δS = −k
XX
(n)
log Zi
(n) + 1 δZi = 0.
n
i
Az energiarétegekhez tartozó cellák száma változatlan, azaz minden i-re δZi = 0, továbbá a P P P P P részecskék számára igaz, hogy i Ni = i n nZi(n) , míg az összenergiaE = i n nεi Zi(n) . Ebb®l adódik, hogy δZi(n) -re igazak a következ® mellékfeltételek, azaz X
(n)
= 0,
(n)
= δN = 0,
(n)
= δE = 0.
δZi
n
XX
nδZi
n
i
XX
nεi δZi
n
i
Az els® mellékfeltételt szorozzuk meg −k(log αi +1)-gyel, a másodikat kβ -val, a harmadikat pedig kγ -val, majd az összeset adjuk az entrópia variációjához. Ekkor azt kapjuk, hogy XX i
(n)
log Zi
(n) + 1 − log αi − 1 + nβ + γnεi δZi = 0.
n
Ekkor teljesülnie kell minden i-re, hogy log Zi(n) − log αi + nβ + nεi γ = 0. A fenti egyenletet átrendezve kapjuk, hogy Zi(n) = αi e−n(β+γεi ) . A továbbiakban meghatározzuk αi értékét minden i-re. Láttuk, hogy Zi =
X
(n)
Zi
n
⇒ Zi
X
= αi
n −(β+γεi )
= αi (1 + e αi = . 1 − e−(β+γεi )
e−n(β+γεi ) =
+ e−2(β+γεi ) + . . . ).
Ebb®l adódik, hogy αi = Zi (1 − e−(β+γεi ) ). Az i-edik energiaszinthez tartozó részecskék száma Ni =
X
(n)
nZi
= αi
X
n
n
12
e−n(β+γεi ) .
Legyen x = β + γεi . Az imént megállapított összefüggések alapján Ni = αi
X
ne−nx =
n
= −αi
∂ X −nx e = ∂x n
∂ (1 + e−x + e−2x + . . . ) = ∂x 1 ∂ = = −αi ∂x 1 − e−x αi e−x = . (1 − e−x )2 = −αi
Visszahelyettesítés után megkapjuk a Bose-Einstein-statisztikát: Ni =
Zi . eβ+γεi − 1
Meg lehet mutatni, hogy γ = kT1 , ahol T a rendszer h®mérséklete. A β értékének meghatározása esetében közelítésre vagyunk utalva.
2.3.1. Fermi-Dirac-statisztika Ezen fejezetben olyan rendszerek vizsgálatával foglalkozunk, amelyben a részecskék közül semelyik kett® nem lehet azonos állapotban. A Fermi-Dirac-statisztika megfogalmazása az ún. elektrongáz tulajdonságainak leírásához köthet®. A fémek molekuláris felépítését gyelembe véve látható, hogy egy fém pozitív ionjai között a vezetési elektronok úgy mozognak, mint egy gáz atomjai. Vizsgálataink tárgya tehát olyan rendszerek lesznek, melyekben az alkotó részecskék nem megkülönböztethet®k, és szemben a Bose-Einstein-statisztikával, az elemi fáziscellák egyetlen elektron fázispontját tartalmazhatják. Az utóbbi feltétel a kvantumelméletb®l jól ismert Pauli-féle kizárási elv miatt fogadható el, mely szerint egy atomban egy adott kvantumállapotban legfeljebb egy darab elektron lehet. A továbbiakban célnuk a legvalószín¶bb eloszlás meghatározása. A részecskék megkülönböztethetetlensége miatt a Bose-Einstein-statisztikánál már megismert gondolatmenetet követve látható, hogy egy makroállapot termodinamikai valószín¶sége Q W = i Wi , ahol Wi = Q Zi !(n) . A Pauli-féle kizárási elv miatt Wi egyszer¶bb alakban is n Zi ! felírható, mégpedig Wi =
Zi ! . (0) (1) Zi !Zi !
Feladatunk az elektrongáz entrópiájának felírása, melyhez a Boltzmann-féle egyenletet felhasználva azt kapjuk, hogy ! S = k log W = k log
Y i
Wi = k
X i
13
log Zi ! −
X n
(n)
log Zi ! .
A Bose-Einstein-statisztika ismertetése során ugyanez az összefüggés adódott az entrópiára. A korábban látott okoskodás alkalmazható itt is, amib®l kapjuk, hogy (n)
Zi
= αi e−n(β+γεi ) ,
ahol n = 0, 1. Az αi meghatározása érdekében a Zi =
P
(n) i Zi
összefüggésb®l adódóan
Zi = αi 1 + e−(β+γεi ) ⇒ αi =
1+
Zi . −(β+γε i) e
Az i-edik energiaréteghez tartozó részecskék száma pedig Ni =
X
(n)
nZi
(1)
= Zi
= αi e−(β+γεi ) =
n
= =
Zi e−(β+γεi ) = 1 + e−(β+γεi ) Zi . β+γε i + 1 e
Szükség van a β és γ multiplikátorok ismeretére is. A korábbiakhoz hasonlóan γ = Fermi-Dirac-statisztika: Ni =
Zi β+ε/kT e
+1
.
A β értékének meghatározása esetében közelítésre vagyunk utalva.
14
1 kT .
Tehát a
3. fejezet
Markov láncok és alkalmazásaik 3.1.
A Markov lánc fogalma és néhány alapvet® tulajdonsága
3.1.1. A Markov lánc de níciója Ezen fejezet eredményei a [3] könyvben, és a [4] jegyzetben is megtalálhatók. Az egyes de níciók, valamint tételek megfogalmazása, továbbá a bizonyítások alapvet® gondolatamenetei megtalálhatók a megfelel® fejezetekben további érdekes eredményekkel együtt. A gyakorlatban felmerül® alkalmazások során találkozhatunk olyan rendszerrel, amelynek az állapota egy adott pillanatban függ a véletlent®l. Ebben az esetben egy sztochasztikus folyamat segítségével vizsgálhatjuk azok id®ben változó viselkedését. Számunkra az olyan rendszerek lesznek érdekesek, amelyek diszkrét id®pillanatokban változtatják meg az állapotukat, és a vizsgált rendszerek jöv®beli fejl®dése csak az aktuális állapottól függ, de a korábbiaktól nem. Ha mindezt formálisan is le szeretnénk írni, akkor meg kell határoznunk az állapotok lehetséges halmazát, azon id®pontokat, amelyek megadják a vizsgálatok idejét, és az imént de niált függetlenségi tulajdonságot. Legyen adott egy rendszer, amelynek lehetséges állapotai i1 , i2 , . . . A rendszer állapotait a t = 0, 1, . . . id®pontokban fogjuk megvizsgálni, tehát de niáljuk a következ® (ξt )t∈N valószín¶ségi változókból álló sorozatot. Abban az esetben, ha a rendszer a t ∈ N pillanatban az it állapotban van ξt = it . A korábban említett függetlenségi tulajdonság írható úgy, hogy ∀t ∈ N esetén P (ξt = it |ξ0 = i0 , ξ1 = i1 , . . . , ξt−1 = it−1 ) = P (ξt = it |ξt−1 = it−1 ),
ahol eleve feltesszük, hogy a feltételes valószín¶ségek minden esetben értelemesek. A könnyebb érthet®ség érdekében nézzük a következ® példát, ami a Brown-mozgás egy rendkívül egyszer¶, speciális esetének tekinthet®. Legyen adott egy részecske, amely a számegyenesen bolyong. Ebben az esetben a rendszer lehetséges állapotai a számegyenes pontjaival, tehát egész számokkal reprezentálhatók. Tegyük fel, hogy kezdetben a 0 pontban található a részecske, és egységnyi id®közönként a korábbi lépéseit®l függetlenül egyet jobbra, vagy balra lép 21 - 12 valószín¶séggel. Ha egy t ∈ N pillanatban az i pontban vagyunk, akkor a t + 1-edik pillanatban 12 - 12 valószín¶séggel 15
vagy az i − 1. vagy az i + 1 pontban leszünk. Látható, hogy a részecske jöv®beli helyzete csak a jelenlegi állapottól függ, de a korábbiaktól nem. Legyen (ξt )t∈N ⊂ Z valószín¶ségi változók egy sorozata. A fenti megállapítások értelmében ∀t ∈ N esetén P (ξt = it |ξ0 = i0 , ξ1 = i1 , . . . , ξt−1 = it−1 ) = P (ξt = it |ξt−1 = it−1 ),
ahol ik ∈ Z és k = 0, 1, . . . , t. Az ilyen, és ehhez hasonló tulajdonsággal jellemezhet® valószín¶ségi változókból álló sorozatot Markov láncnak nevezzük. Az egyszer¶bb szóhasználat érdekében de niáljuk egy Markov lánc állapotainak halmazát, amit állapottérnek fogunk nevezni, és I-vel jelöljük. Az állapottér elemei tehát olyan i értékek, amelyekhez ∃t ∈ N, hogy P (ξt = it ) > 0. A bevezet®ben említett megállapítások összefoglalásaként tekintsük a Markov lánc precíz de nícióját.
3.1.1. De níció. Az ból álló sorozatot
(Ω, A, P ) valószín¶ségi mez®n értelmezett (ξn )n∈N valószín¶ségi változók-
diszkrét paraméter¶, és diszkrét állapotter¶ Markov láncnak
Markov láncnak
, röviden
nevezzük, ha ∀0 < n ∈ N és ∀i0 , . . . , in esetén
P (ξn = in |ξ0 = i0 , ξ1 = i1 , . . . , ξn−1 = in−1 ) = P (ξn = in |ξn−1 = in−1 ).
A fenti összefüggést
Markov tulajdonságnak
nevezzük.
A Markov láncok pontosabb leírásának megkönnyítése érdekében bevezetünk néhány alapvet® de níciót.
3.1.2. De níció. Legyen 0 < n ∈ N és in , in−1 ∈ I. Ekkor egylépéses nek
átmenetvalószín¶ség-
nevezzük a P (ξn = in |ξn−1 = in−1 ) feltételes valószín¶séget.
Meg lehet mutatni, hogy egy Markov lánc meghatározható a ξ0 valószín¶ségi változó eloszlása, az ún. kezdeti eloszlás, és az egylépéses átmenetvalószín¶ségek segítségével. Különösen fontos az a speciális eset, amikor az egylépéses átmenetvalószín¶ségek értéke független n-t®l, azaz ∀i, j ∈ I esetén a P (ξn = in |ξn−1 = in−1 ) kifejezés értéke ∀n ∈ N esetén ugyanakkora. Ha ez teljesül, akkor ∀0 < n ∈ N-re legyen pij = P (ξn = j|ξn−1 = i). Ekkor azt mondjuk, hogy a Markov lánc homogén, vagy másnéven id®ben stacionárius. A továbbiakban, ha Markov láncról beszélünk, akkor eleve feltesszük, hogy teljesül a homogenitás. Jelölje pi = P (ξ0 = i) a kezdeti eloszlást, ahol i ∈ I.
3.1.3. De níció. Legyen (n) pij
0 < n ∈ N. Ekkor
nevezzük a = P (ξr+n = j|ξr = i) feltételes valószín¶séget, ahol r ∈ N tetsz®leges a homogenitás miatt. n-lépéses átmenetvalószín¶ségnek
A fenti de níciót egészítsük ki azzal, hogy megállapodás szerint legyen ( (0)
pij =
0, ha i 6= j , 1, ha i = j .
16
Bármely homogén Markov lánc szemléltethet® egy irányított gráal, ahol a gráf csúcsai az állapotoknak felelnek meg, az éleket pedig az egylépéses átmenetvalószín¶ségekkel súlyozzuk. Ebben az esetben egy Markov láncra, mint sztochasztikus folyamatra úgy gondolhatunk, mint egy speciális gráfon való bolyongásra. A következ® tétel segítségével egyszer¶síthet® az egylépéses átmenetek leírása, és lehet®vé válik, hogy könnyedén számoljuk ki az n-lépéses átmenetek valószín¶ségét.
3.1.1. Tétel. (Chapman-Kolmogorov) Legyen 0 ≤ n, m ∈ N és i, j ∈ I. Ekkor (n+m)
pij
=
X
(n) (m)
pik pkj .
k∈I
3.1.1. Bizonyítás. Ha n = 0 vagy m = 0, akkor az el®z® de nició kiegészítéseként tett megjegyzés alapján triviális. A tétel bizonyításához szükségünk lesz a teljes valószín¶ség tételének egy kevéssé ismert alakjára. Tegyük fel, hogy a (Bk )k∈N ⊂ A teljes eseményrendszer, és C ∈ A pozitív valószín¶ség¶. Ekkor ∀A ∈ A-ra P (A|C) =
∞ X
P (A|Bk C)P (Bk |C).
k=0
Legyen A = {ξr+n+m = j}, C = {ξr = i}, Bk = {ξr+n = k}, ahol k ∈ I. Ekkor (n+m)
pij
= P (A|C) =
∞ X
P (A|Bk C)P (Bk |C) =
k=0
=
∞ X
(n)
P (ξr+n+m = j|ξr+n = k, ξr = i)pik =
k=0
=
∞ X
(n)
P (ξr+n+m = j|ξr+n = k)pik =
k=0
=
∞ X
(n) (m)
pik pkj .
k=0
A bizonyítás során felhasználtuk, hogy I véges vagy megszámlálható.
3.1.4. De níció. Legyen
Π ∈ [0, 1]|I|×|I| egy olyan mátrix, amelyre (Π)i,j = pij . Ekkor Π1 -et
tekinthetjük az egylépéses átmenetvalószín¶ségek mátrixának. A Chapman-Kolmogorov-tétel alapján az n+m-lépéses átemenetvalószín¶ségek mátrixa, azaz Πn+m = Πn Πm . Indukcióval be lehet látni, hogy Πn = Πn1 . Tekintsük a korábban látott Brown mozgás egy módosítását. Az új jelöléseinkkel legyen pi,i+1 = p és pi,i−1 = q = 1−p, ahol p ∈ (0, 1), továbbá tegyük fel, hogy p0 = 1. Ebben az esetben, tehát az origóból induló, véletlenszer¶en bolyongó részecske p valószín¶séggel egységnyit jobbra, illetve q valószín¶séggel balra lép. Kérdéses a p(2n) lépéses átmenetvalószín¶ség, ahol n ∈ N. A 00 binomiális eloszlás ismeretében könnyedén belátható, hogy (2n) p00
2n n n = p q . n
17
A ξn valószín¶ségi változó eloszlásának meghatározása érdekében jelölje Pjn = P (ξn = j), ahol n ∈ N és j ∈ I. Könnyen igazolható, hogy (n)
Pj
=
X
(0) (n)
pi pij =
X
(n)
pi pij .
i∈I
i∈I
3.1.2. Állapotok osztályozása 3.1.5. De níció. Legyen i, j ∈ I. Ekkor a j állapot elérhet® i-b®l, ha ∃n ∈ N, amire p(n) ij > 0. Ha a j állapot
elérhet®
i-b®l, akkor azt i → j jelöli.
3.1.6. De níció. Legyen
i, j ∈ I. Ekkor az i és j állapotok
érintkeznek
, ha i → j és j → i.
Ha az i és j állapotok érintkeznek, akkor azt i ↔ j jelöli.
3.1.2. Tétel. Az állapottéren az érintkezési reláció ekvivalenciareláció, azaz 1. re exív, 2. szimmetrikus, 3. tranzitív.
3.1.2. Bizonyítás. Az els® két állítás bizonyítása valójában triviális, míg a harmadik állítás a Chapman-Kolmogorov egyenl®ség nyílvánvaló következménye. 1. Legyen i ∈ I. Láttuk, hogy 1 = p(0) ii > 0, tehát de níció szerint i ↔ i. 2. Legyen i, j ∈ I. Tegyük fel, hogy i ↔ j , azaz i → j és j → i, amib®l j ↔ i következik. 3. Legyen i, j, k ∈ I. Tegyük fel, hogy i ↔ j , és j ↔ k. Ebb®l adódik, hogy i → j , valamint (n) (m) j → k , azaz ∃n, m ∈ N, amire pij > 0, illetve pjk > 0. Ebben az esetben (n+m)
pik
=
X
(n) (m)
(n) (m)
pil plk ≥ pij pjk > 0,
l∈I
amib®l azt kapjuk, hogy i → k. Az érintkezési reláció diszjunkt osztályokra bontja az állapotteret, ahol két állapot pontosan akkor tartozik ugyanazon osztályba, ha érintkeznek. A Markov láncot irreducibilisnek nevezzük, ha az állapottér egyetlen osztályból áll, azaz ∀i, j ∈ I esetén i ↔ j , beleértve az i = j esetet is.
3.1.7. De níció. Legyen i ∈ I. Ha ∀j ∈ I-re, ahol i → j ⇒ i ↔ j , akkor i-t lényeges állapotnak nevezzük.
3.1.8. De níció. Legyen i ∈ I. Ha i nem lényeges, akkor lényegtelen állapotnak nevezzük. 3.1.3. Tétel. Legyen i ∈ I lényeges állapot. Ekkor ∀j ∈ I-re j szintén lényeges állapot. 18
3.1.3. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy i → j , ahol j ∈ I. Azt kell megmutatnunk, hogy j lényeges állapot, azaz ∀k ∈ I esetén j → k-ból k → j következik. Ekkor i → j és j → k, valamint a tranzitivitás miatt i → k. Feltevésünk szerint i lényeges állapot, azért i → k-ból k → i adódik. Azt kaptuk, hogy k → i és i → j , tehát k → j . Ebb®l következik, hogy az érintkezési reláció által partícionált állapottér egy adott osztályán belül minden állapot lényeges, vagy minden állapot lényegtelen.
3.1.9. De níció. Legyen
i ∈ I. Az i állapot
nevezzük azon n ∈ N számok legnagyobb közös osztóját, amire > 0.Az i állapot periódusát di -vel jelöljük. Egy i ∈ I állapotot aperiodikusnak nevezünk, ha di = 1. periódusának
(n) pii
3.1.4. Tétel. Legyen i, j ∈ I. Ekkor i ↔ j ⇔ di = dj . 3.1.4. Bizonyítás. Belátjuk, hogy i ↔ j esetén dj |di és di |dj . Ebb®l már di = dj adódik. Fel(n) tettük, hogy i ↔ j , tehát ∃n, m ∈ N, amire p(m) ij > 0, illetve pji > 0. Tegyük fel, hogy ∃s ∈ N, amire p(s) ii > 0. A Chapman-Kolmogorov-egyenl®séget felhasználva az alábbi egyenl®tlenségeket kapjuk: (n+s+m)
(n) (s) (m)
pjj
≥ pji pii pij
(n+2s+m)
≥ pji pii pii pij
pjj
>0
(n) (s) (s) (m)
> 0.
Mivel dj a j állapot periódusa, ezért dj |(n + s + m), és dj |(n + 2s + m). Ebb®l azt kapjuk, hogy dj |(n + 2s + m) − (n + s + m) = s, azaz dj osztója azon n ∈ N számoknak, amelyek legnagyobb közös osztója di , tehát dj |di . Az i és j állapotok felcserélésevel kapjuk, hogy di |dj . A tétel következménye, hogy az állapottér egy adott osztályán belül az összes állapot periódusa megyegyezik. Az új fogalamakat és tételeket a már jól ismert véletlen bolyongás további általánosításával szemléltetjük. Legyen 0 < a ∈ N, és tegyük fel, hogy p0 = 1, pa,a = 1, valamint pi,i+1 = p, és pi,i−1 = 1 − p = q , ahol p ∈ (0, 1). Ez azt jelenti, hogy a bolyongást végz® részecske az a pontba érkezve többé már nem végez mozgást. Ebben az esetben I = {z ∈ Z : z ≤ a}. Vegyük észre, hogy az érintkezési reláció az állapotteret az I1 = {z ∈ Z : z < a} és I2 = {a} diszjunkt osztályokra partícionálja. Az I1 osztály egy 2 periódusú lényegtelen osztály, míg az I2 osztály egy aperiodikus lényeges osztály.
3.1.3. Visszatér®ség Az el®z® fejezetben azzal foglalkoztunk, hogy néhány lépés alatt mekkora valószín¶séggel jutunk el egy adott állapotból egy másikba. Természetes módon vet®dik fel a kérdés, hogy mi a valószín¶sége annak, hogy egy adott állapotból indulva legalább egyszer visszatérünk a kiinduló 19
pontba? A továbbiakban legyen rögzítve egy állapot. Az i állapotba való visszatérés va i∈I S ∞ ∗ lószín¶ségét jelölje fii = P n=1 {ξn = i} {ξ0 = i} . Legyen An = {ξn = i}, ahol 0 < n ∈ N, S
tehát fii∗ = P ∞ n=1 An |A0 . Az (An )n∈N+ események sorozatából készítsük el a (Bn )n∈N+ eseménysorozatot, azaz legyen B 1 = A1 , Bk = Ak A¯1 A¯2 . . . A¯k−1 ,
ahol 2 ≤ k ∈ N. Vegyük észre, hogy ∀1 ≤ i 6= j ∈ N választása mellett Bi ∩ Bj = ∅, továbbá S∞ S∞ (n) n=1 An = n=1 Bn . Legyen fii annak a valószín¶sége, hogy az i állapotból pontosan n lépés után térünk vissza el®ször az i-be, azaz (n)
fii
= P (Bn |A0 ) = P (An A¯1 A¯2 . . . A¯n−1 |A0 ) = = P ({ξn = i} ∩ {ξ1 6= i} ∩ {ξ2 6= i} ∩ · · · ∩ {ξn−1 6= i}|{ξ0 = i}) = = P (ξn = i, ξ1 6= i, ξ2 6= i, . . . , ξn−1 6= i|ξ0 = i).
Az imént bevezetett jelöléseket használva fii∗ = P
∞ [
∞ [ An |A0 = P Bn |B0 =
n=1
=
∞ X
n=1
P (Bn |A0 ) =
n=1
∞ X
(n)
fii .
n=1
3.1.10. De níció. Legyen i ∈ I. Ha fii∗ = 1, akkor az i állapotot visszatér®. Ha fii∗ < 1, akkor átmeneti
állapotnak nevezzük.
3.1.5. Tétel. Legyen i ∈ I. Ekkor i átmeneti ⇔
(n) n=0 pii
P∞
végtelen sor konvergens.
3.1.5. Bizonyítás. A bizonyításhoz felhasználjuk a következ® összefüggést, (n)
pii =
n X
(r) (n−r)
fii pii
,
r=1
ahol 0 < n ∈ N. Ennek igazolásához vegyük észre, hogy A0 An =
n [
A0 B r An .
r=1
A Markov tulajdonságot kihasználva azt kapjuk, hogy P (A0 Br An ) = P (Br |A0 )P (An |Br A0 ) = (r) (n−r)
= P (Br |A0 )P (An |Ar )P (A0 ) = fii pii
20
P (A0 ).
Tudjuk, hogy A0 An = {ξ0 = i} ∩ {ξn = i} = ∅, amib®l P (A0 An ) = P (A0 )P (An ) adódik, azaz (n) P (A0 An ) = P (A0 )pii . A fenti megállapítások alapján (n)
pii P (A0 ) = P (A0 An ) =
n X
P (A0 Br An ) =
r=1
n X
(r) (n−r)
fii pii
P (A0 ),
r=1
(r) (n−r) adódik. amib®l p(n) r=1 fii pii ii = P P∞ (n) n (n) n Legyen Pii (x) = n=0 pii x , illetve Fii (x) = ∞ n=1 fii x , ahol x ∈ R. Ekkor ∀0 < n ∈ N és ∀x ∈ R esetén
Pn
(n) pii xn
=
n X
(r) (n−r) n
fii pii
x .
r=1
Ha fenti egyenl®ség minkét oldalán álló kifejezést n = 1-t®l ∞-ig összegezzük, akkor azt kapjuk, hogy ∞ X
(n) pii xn
=
n=1
∞ X n X
(r) (n−r) n
fii pii
x .
n=1 r=1
A korábbi de níciók és a hatványsorok Cauchy-szorzása szerint a fenti egyenl®ség úgy írható, hogy Pii (x) − 1 = Fii (x)Pii (x) 1 ⇒ Pii (x) = , 1 − Fii (x)
ahol |x| < 1. Vegyük észre, hogy Pii (x) monoton növ®, tehát x % 1 esetén bármely N ∈ N-re N X
(n)
pii ≤ lim Pii (x) ≤ x%1
n=0
∞ X
(n)
pii .
n=0
Mivel a fenti állítás ∀N ∈ N-re igaz, ezért limx%1 Pii (x) = szintén monoton növ®, tehát x % 1 esetén bármely N ∈ N+ -ra N X
(n)
fii ≤ lim Fii (x) ≤ x%1
n=1
∞ X
(n) n=0 pii .
P∞
Látható, hogy Fii (x)
(n)
fii ,
n=1
amib®l az el®bb látott gondolatmenet alapján következik, hogy limx%1 Fii (x) = korábbi összefüggésb®l az x % 1 határátmenettel adódik, hogy lim Pii (x) =
x%1 ∞ X
=
⇔
n=0 ∞ X n=0
azaz átmeneti.
(n) n=0 pii
P∞
(n)
pii
(n)
pii
A
1 = x%1 1 − Fii (x) lim
= 1− =
(n) n=1 fii .
P∞
1 P∞
(n)
⇔
n=1 fii
1 , 1 − fii∗
végtelen sor konvergens ⇔ |fii∗ | < 1, ami éppen azt jelenti, hogy az i állapot 21
A tétel nyílvánvaló következménye, hogy i ∈ I visszatér® ⇔
(n) n=0 pii
P∞
divergens.
3.1.6. Tétel. Legyen i, j ∈ I ugyanazon osztály egy-egy állapota. Ha i ↔ j és j visszatér®, akkor ebb®l következik, hogy i is visszatér®. (m ) 1) 3.1.6. Bizonyítás. Ha i ↔ j , akkor ∃m1 , m2 ∈ N, hogy p(m > 0, illetve pji 2 > 0. A ij (m ) (n) (m ) 1 +n+m2 ) Chapman-Kolmogorov-egyenl®séget felhasználva adódik, hogy p(m ≥ pij 1 pjj pji 2 . ii (n) Tegyük fel, hogy j visszatér® állapot. Ekkor a ∞ n=0 pjj végtelen sor divergens, de az el®bbi P∞ (n) egyenl®tlenség alapján a n=0 pii végtelen sor is divergens, tehát i is visszatér®.
P
3.1.7. Tétel. Legyen fij(n) = P (ξn = j, ξ1 6= j . . . , ξn−1 6= j|ξ0 = i). Ekkor ∀0 < n ∈ N-re (n) pij
n X
(r) (n−r)
fij pjj
.
r=1
Továbbá ∀i 6= j ∈ I és ∀x ∈ (−1, 1) esetén Pij (x) = Fij (x)Pjj (x).
3.1.7. Bizonyítás. A tétel bizonyítása a korábban megismert bizonyítás gondolatmenetére épül.
3.1.4. Markov láncokra vonatkozó határeloszlástétel Láttuk, hogy egy Markov lánc bizonyos rendszerek állapotváltozásainak leírására szolgál. Jelen fejezetben azzal foglalkozunk, hogy általában mi mondható egy Markov láncról, ha a lépések száma nagyon nagy. Ez nem jelent mást, mint a p(n) ij értékének, tehát az n-lépéses átmenetvalószín¶ségek meghatározását, ha n → ∞. Legyen i, j ∈ I, és tegyük fel, hogy j átmeneti állapot. P (n) (n) Láttuk, hogy ekkor a ∞ n=0 pij végtelen sor konvergens, amib®l limn→∞ pij = 0 adódik. Tegyük Pn (r) (n−r) fel, hogy j visszatér®. Ekkor a p(n) összefüggés miatt elegend® megvizsgálni a r=1 fij pjj ij = (n) pjj átmenetvalószín¶séget, ha n → ∞. El®ször foglalkozzunk azzal az esettel, amikor j periodikus Ebben az esetben a j állapot periódusa dj > 1, tehát azon n ∈ N értékek legnagyobb közös (n) osztója, amelyekre p(n) jj > 0, nagyobb, mint egy. Ekkor ∀n ∈ N-re pjj = 0, ha dj |n nem teljesül. Tekinstük az alábbi, kétállapotú Markov láncot. Az egylépéses átmenetvalószín¶ségek mátrixa legyen Π1 =
p00 p01
! =
p10 p11
1 1 1 0
! .
(2n) Ebben az esetben p(2n+1) = 0 és p00 = 1, amib®l adódik, hogy 00 (n)
= 0
(n)
= 1.
lim inf p00 n→∞
lim sup p00 n→∞
22
A fenti egyel®ségekre (n)
(n)
0 = lim inf p00 6= lim sup p00 = 1, n→∞
n→∞
ezért limn→∞ p(n) 00 nem létezik. Legyen (ξn )n∈N egy Markov lánc, és tegyük fel, hogy ∃i ∈ I állapot, amelynek periódusa di . Ekkor (ξndi )n∈N is Markov lánc, és az i állapot aperiodikus lesz. Eszerint elegend® lesz egy Markov lánc aperiodikus állapotait vizsgálni.
3.1.8. Tétel. (Markov láncok ergodikus tétele) Legyen i ∈ I, és tegyük fel, hogy i aperiodi1 kus visszatér® állapot. Ekkor limn→∞ p(n) ii = mii , ahol mii = P∞ ha mii = r=1 rfii(r) = ∞, akkor legyen m1ii = 0.
(r) r=1 rfii
P∞
≤ ∞. Abban az esetben,
3.1.8. Bizonyítás. A tétel bizonyítása meglehet®sen hosszadalmas, és technikai. Egy bizonyítás elolvasható a [4] jegyzetben. i) = mdiii . A Markov Legyen i ∈ I egy visszatér® állapot. Az el®z® tétel értelmében limn→∞ p(nd ii láncok ergodikus tételének további következménye, hogy egy rögzített i ∈ I visszatér® állapot esetén ∀j ∈ I és ∀r ∈ N mellett
(ndi +r)
lim pji
n→∞
ahol fji∗ (r) =
∗ = fji (r)
di , mii
(ndi +r) . n=1 fji
P∞
3.1.11. De níció. Legyen (ξn )n∈N egy Markov lánc. Az olyan ξ0 kezdeti eloszlást, amelyre teljesül, hogy ∀0 < n ∈ N esetén ξn és ξ0 eloszlása megegyezik, 3.2.
stacionér eloszlásnak
nevezzük.
Az Ehrenfest-modell
A most következ® két alfejezet eredményei némi kiegészítéssel, valamint történeti megjegyzésekkel a [6] oldalon található. Legyen adott két urna A és B , melyekben összesen 0 < N ∈ N golyó található, amik meg vannak számozva 1-t®l N -ig. Jelölje ξn az A urnában lév® golyók számát az n-edik lépésben, ahol egy adott lépésben egyenl® valószín¶séggel kiválasztunk egy tetsz®leges golyót és áthelyezzük a másik urnába. Ekkor a (ξn )n∈N egy Markov lánc, melynek állapottere I = {1, 2, . . . , N }. Az egylépéses átmenetvalószín¶ségek pedig i , N N − i = , N
pi,i−1 = pi,i+1
ahol i = 0, 1, . . . , N . Meg lehet mutatni, hogy a (ξn )n∈N Markov láncnak létezik stacionér eloszlása, mégpedig π = (π0 , π1 , . . . , πN )T , ahol N 1 N . πi = i 2
23
Az Ehrenfest-modell a h®tan 2. f®tételének egy leegyszer¶sített szemléltetése. A tétel számos ekvivalens megfogalmazása közül az egyik úgy szól, hogy a zárt rendszerekben végbemen®, spontán folyamatok iránya mindig olyan, hogy a rendszert az egyensúlyi állapothoz vigye közelebb. Vegyük észre, hogy a második fejezetben látott Maxwell-Boltzmann statisztika speciális esetét kaptuk, amikor a cellák száma pontosan 2. 3.3.
A Bernoulli-Laplace-modell
Legyen A és B két urna, melyek külön-külön 0 < N ∈ N golyót tartalmaznak. Tegyük fel, hogy a 2N golyóból N fehér, és N fekete. Legyen (ξn )n∈N egy sztochasztikus folyamat, amely megadja az A urnában található fekete golyók számát az n-edik lépésben, ahol egy lépés abból áll, hogy egyenl® valószín¶séggel választunk egy-egy golyót mindkét urnából, és felcseréljük ®ket. Ekkor (ξn )n∈N egy Markov lánc, az állapottér pedig I = {1, 2, . . . , N }. Az egylépéses átmenetvalószín¶ségek i 2 , N 2i N − i , = N N N − i 2 = , N
pi,i−1 = pi,i pi,i+1
ahol i = 1, 2, . . . , N . Meg lehet mutatni, hogy a (ξn )n∈N Markov láncnak létezik stacionér eloszlása, amely π = (π0 , π1 , . . . , πN )T , ahol πi =
N i
N N −i 2N N
24
.
3.3.1. Szimulációk az Ehrenfest modellre Az alábbi szimulációk a Markov láncok aszimptotikus viselkedését szemléltetik. A fenti modellben leírt lépéseknek megfelel®en változik az egyes urnákban lév® golyók száma. Az els® szimuláció esetében N = 100, a lépések száma 50, és a kísérletek száma is 50.
A második szimuláció esetében a golyók száma változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 100 − 100. Még ebben az esetben sem észlelhet® a lánc aszimptotikus viselkedése.
A harmadik szimuláció esetében a golyók száma továbbra is változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 1000 − 1000. Ekkor már látható, hogy nagyjából a 200. lépés után a Markov lánc viselkedése stabilizálódik.
25
3.3.2. Szimulációk a Bernoulli-Laplace modellre Az el®z® alfejezetben látottakhoz hasonlóan megvizsgáljuk a Bernoulli-Laplace modell esetében de niált Markov lánc aszimptotikus viselkedését. Az els® szimuláció esetében N = 100, a lépések száma 50, és a kísérletek száma is 50.
A második szimuláció esetében a golyók száma változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 100 − 100. Úgy t¶nik, hogy a lépések száma még mindig nem elegend®.
A harmadik szimuláció esetében a golyók száma továbbra is változatlan, de a lépések és a kísérletek száma 1000 − 1000. Az elvárásainknak megfelel®en a Markov lánc stabilizálódik.
26
3.4.
Diszkrét idej¶ születési és halálozási folyamatok
3.4.1. A modellek jellemzése és egy konkrét példa A szakdolgozat további fejezetei az [5] oldalon található jegyzet megfelel® fejezeteire épülnek. Ebben a fejezetben olyan diszkrét modelleket vizsgálunk, amelyek segítségével leírható egy populáció id®ben változó egyedszámának változása. Ez egyszer¶ség kedvéért feltesszük, hogy az egységnyi id®nként bekövetkez® változások során vagy eggyel n®, illetve csökken a populáció mérete, vagy változatlan marad. Ilyen jelleg¶ modellek széles körben alkalmazhatók, és nem csak a az imént említett folyamat leírására. Hasonló modell kapunk a tönkremenési probléma, a sorbanállási probléma, vagy akár speciális kémiai reakciók vizsgálata során is. A születési és halálozási modelleket leírása a következ® Markov lánc segítségével történhet. Legyen (ξn )nN egy nem feltételenül homogén Markov lánc, melynek állapottere I = N vagy I = {0, 1, 2, . . . , N }, ahol 0 < N ∈ N. Az egylépéses átmenetvalószín¶ség bi , d, i pij = 1 − (bi + di ), 0,
ha j = i + 1, ha j = i − 1, ha i = j , egyébként,
ahol ∀i ∈ I-re bi , di ≥ 0 és bi + di ≤ 1. A gyakorlatban felmerül® problémák modellezése során célszer¶ feltenni, hogy b0 = d0 = 0, továbbá véges állapottér esetében bN = 0. Az egylépéses átmenetvalószín¶ségek mátrixa Π1 =
1
d1
0 1 − (b1 + d1 ) 0
b1
0 0
.. .
.. .
0
0
...
0
d2
0
...
0
1 − (b2 + d2 ) d3
...
0
.
...
.. .
.. .
.. .
0
...
0
1 − (bN −1 + dN −1 )
dN
0
...
0
bN −1
1 − dN
Nézzünk meg egy lineáris, megfordítható kémiai reakciót. Tegyük fel, hogy adott egy kémiai modell, amelyben A és B típusú molekulák vannak, amelyek átalakulhatnak egymásba, azaz A B . A továbbiakban az egyszer¶bb szóhasználat érdekében A, illetve B molekulákról beszélünk. Legyen a rendszert alkotó molekulák száma 0 < N ∈ N. Tekintsük a (ξt(A) )t∈N , valamint a (ξt(B) )t∈N sztochasztikus folyamatokat, amelyek megadják egy rögzített t id®pillanatban az A, illetve B típusú molekulák számát. Ekkor ∀t ∈ N-re ξt(A) +ξt(B) = N . Tegyük fel, hogy annak a valószín¶sége, hogy egy adott t id®pillanatban egy tetsz®leges A molekula B molekulává alakuljon c1 ∈ (0, 1) ⊂ R, és hasonlóan annak a valószín¶sége, hogy egy B molekula A molekulává alakuljon c2 ∈ (0, 1) ⊂ R. Ekkor annak a valószín¶sége, hogy adott t id®ben a rendszert alkotó A molekulák közül néhány B molekulává alakul c1 ξt(A) , és hasonlóan annak a valószín¶sége, hogy a B 27
molekulák közül néhány A molekulává alakul c2 ξt(B) . Látható, hogy annak a valószín¶sége, hogy adott t id®pillanatban nem történik reakció 1 − c1 ξt(A) − c2 ξt(B) . Az egszer¶ség kedvéért tegyük fel, hogy egy (t, t + 1) id®intevallumon legfeljebb egy reakció történik. Ekkor a ξt(A) + ξt(B) = N összefüggés miatt a modell tekinthet® egy 1-dimenziós születési és halálozási folyamatnak, ahol (A) (B) (ξt )t∈N , (ξt )t∈N ⊂ [0, 1, . . . , N ]. Látható, hogy az imént de niált sztochasztikus folyamat egy Markov lánc, melynek állapottere, azaz I = {0, 1, . . . , N }. A Markov lánc kezdeti eloszlása ha i = 0, akkor p0 = c2 N q0 = 0, ha i ∈ {1, 2, . . . , N − 1}, akkor pi = c2 (N − i) qi = c1 i, ha i = N , akkor pN = 0 qN = c1 N. 3.5.
Diszkrét idej¶ elágazó folyamatok
Az elágazó folyamatok a Markov láncok speciális esetének tekinthet®k. Az ilyen folyamatok tanulmányozásában a korábban látottaknál eltér® módszerek is sikerrel alkalmazhatók. Az elágazó folyamatok kialakulása Francis Galton és Henry William Watson nevéhez köthet®. 1873-ban Galton a következ® problémát t¶zte ki: legyen adott 0 < N ∈ N feln®tt fér egy populációban, akiknek különböz® családnevük van. Tegyük fel, hogy egy adott generációban a fér ak ai százalékának pontosan i darab ú gyermeke van, ahol i = 0, 1, . . . , 5. Kérdéses, hogy 0 < r ∈ N generációval kés®bb a családnevek hányadrésze t¶nik el a populációból? Legyen adott egy populáció, és jelölje ξn a populáció méretét egy 0 < n ∈ N id®pillanatban. Az n-edik id®pontban a populációt alkotó egyének egymástól függetelenül, azonos valószín¶ségi eloszlás szerint néhány utódot hoznak létre. Ezt követ®en a korábbi generációval nem tör®dünk. Jelölje ζn(i) azt a valószín¶ségi változót, amely megadja, hogy az n-edik lépésben, az i-edik egyén (i) hány darab utódot hozott létre. Legyen p(i,n) = P (ζn = j), ahol 0 < j, n ∈ N, i = 1, 2, . . . , ξn , j tehát p(i,n) megadja, hogy mi a valószín¶sége annak, hogy az n-edik lépésben, az i-edik egyén j pontosan j darab utódot hoz létre. Tegyük fel, hogy ∀0 < n ∈ N és ∀i = 1, 2, . . . , ξn esetén ∞ X
(i,n)
pj
= 1.
j=1
Az egylépéses átmenetvalószín¶ségek meghatározásához legyen ξn = k. Ekkor ζn(1) , ζn(2) , . . . , ζn(k) független valószín¶ségi változók. Legyen pk,j annak a valószín¶sége, hogy a populáció mérete k -ról p-re változik. A fenti jelöléseket használva azt kapjuk, hogy pk,j
= P (ξn+1 = j|ξn = k) = P (ζn(1) + ζn(2) + · · · + ζn(k) = j).
A fenti megállapítások kiegészítéseként tegyük fel, hogy ( p0,j =
1, ha j = 0, 0, egyébként.
28
3.5.1. A várható érték viselkedése A továbbiakban feltesszük, hogy a vizsgálat tárgyát képez® Markov lánc homogén átmenetvalószín¶ség¶, és az egyének által létrehozott utódok számát meghatározó valószín¶ségi változók azonos eloszlásúak. Jelölje ζ egy adott egyén utódainak számát, és µ az utódok számának várható értékét, azaz ∞ X
µ = E(ζ) =
kpk .
k=0
Tegyük fel, hogy a fenti kifejezésben szerepl® valószín¶ségek olyanok, hogy a várható értéket de niáló végtelen sor konvergens. Ekkor azt kapjuk, hogy E(ξn+1 |ξn = k) = =
∞ X j=0 ∞ X
jP (ξn+1 = j|ξn = k) = jP (ζ1 + ζ2 + · · · + ζk = j) =
j=0
= E(ζ1 + ζ2 + · · · + ζk ) = = kµ.
A fenti gondolatmenet a kezdeti eloszlásra alkalmazva adja, hogy E(ξn+1 |ξ0 ) = =
=
= =
∞ X j=0 ∞ X j=0 ∞ X k=0 ∞ X k=0 ∞ X
jP (ξn+1 = j|ξ0 ) =
∞ ∞ X X P (ξn+1 = j, ξn = k|ξ0 ) = j j=0
j
∞ X
k=0
P (ξn+1 = j|ξ0 )P (ξn = k|ξ0 ) =
k=0
P (ξn = k|ξ0 )
∞ X
jP (ξn+1 = j|ξ0 ) =
j=0
P (ξn = k|ξ0 )E(ξn+1 |ξ0 ) = P (ξn = k|ξ0 )kµ =
k=0
= µE(ξn |ξ0 ).
Ebb®l adódóan ∀0 < n ∈ N esetén E(ξn ) = µn E(ξ0 ). Könnyedén igazolható, hogy µ < 1 esetén P (ξn ≥ 0) ≤ E(ξn ) = µn E(ξ0 ) → 0, ha n → ∞. Jelölje An azt az eseményt, hogy a populáció az n-edik lépésben már kihalt. Ekkor { lim ξn = 0} = n→∞
∞ [ i=1
Ai = lim
n→∞
n [ i=1
Ai = lim An . n→∞
A fenti összefüggés felhasználásával adódik, hogy P ( lim ξn = 0) = P ( lim An ) = lim P (An ) = n→∞
n→∞
=
n→∞
lim P (ξn = 0) = 1,
n→∞
29
tehát µ < 1 esetén a populáció 1-valószín¶séggel kihal, ha n → ∞.
3.5.2. A kihalás valószín¶sége Az el®z® fejezet jelöléseit felhasználva jelölje αn (k) annak a valószín¶ségét, hogy az eredetileg k darab egyént tartalmazó populáció az n-edik lépésben már kihalt, azaz αn (k) = P (ξn = 0|ξ0 = k). Az el®z®ekhez hasonlóan legyen α(k) annak a valószín¶sége, hogy a kezdetben k -méret¶ populáció valaha kihal, tehát α(k) = limn→∞ an (k). Az elágazó folyamatok jellegéb®l adódóan α(k) = αk (1). A továbbiakban legyen α = α(1). Vegyük észre, hogy α = P ( lim ξn = 0|ξ0 = 1) = n→∞
= =
∞ X k=0 ∞ X
P (ξ1 = k|ξ0 = 1)P ( lim ξn = 0|ξ1 = k) = n→∞
pk αk (1) = G(α),
k=0
ahol G a generátorfüggvényt jelöli. Látható, hogy α = G(α) egyenletet α = 1 esetén fennáll. Kérdéses, hogy van-e más megoldás. A generátorfüggvény konvexitásából adódóan a [0, 1] intervallumon legfeljebb 2 különböz® gyöke lehet. Tegyük fel, hogy ξ0 = 1. Jelölje Gn a ξn generátorfüggvényét. Ekkor Gn (x) = =
=
∞ X k=0 ∞ X k=0 ∞ X
xk P (ξn = k) = xk
∞ hX
i P (ξ1 = j)P (ξn = k|ξ1 = j) =
j=0 ∞ hX i P (ξ1 = j) xk P (ξn−1 = k|ξ0 = j) .
j=0
k=0
Legyen G(n) (x) = G(x) ◦ G(x) ◦ · · · ◦ G(x), ahol az egyenl®ség jobb oldalán pontosan n darab generátorfüggvény kompozíciója áll. Vegyük észre, hogy Gn (x) =
∞ X
P (ξ1 = j)(Gn−1 (x))j =
j=0
=
∞ X
P (ξ1 = j)(G(n−1) (x))j =
j=0
= G(G(n−1) (x)) = G(n) (x).
Ekkor αn (1) = Gn (0) = G(n) (0), amib®l α = limn→∞ αn (1) = G(α) adódik, tehát α gyöke a kérdéses egyenletnek.
3.5.1. Tétel. Az elágazó folyamat által modellezett populáció kihalásának valószín¶sége egyenl® az x = G(x) egyenlet legkisebb pozitív gyökével. 30
3.5.1. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy
α∗ a legkisebb pozitív gyöke az α = G(α) egyenletnek.
Igazoljuk, hogy ∀n ∈ N esetén αn (1) ≤ α∗ . Ebb®l már következik, hogy α = lim αn (1) ≤ α∗ . n→∞
Vegyük észre, hogy n = 0 esetén α0 (1)α∗ , hiszen α∗ pozitív. n-re vonatkozó indukcióval adódik, hogy G(n) (0) = G(G(n−1) (0)) = G(αn−1 ) ≤ G(α∗ ) = α∗ ,
ahol felhasználtuk, hogy a generátorfüggvény monoton növ®.
31
3.5.3. Szimulációk az elágazó folyamatokra Legyen adott egy populáció, amely 100 családot tartalmaz, eltér® családnévvel. Kezdetben minden család egyetlen egyedb®l áll. A szimulációk egy-egy lépésében minden család néhány utódot hoz létre, majd a kés®bbiekben korábbi generációk egyéneivel nem tör®dünk. Az egyes családok utódainak száma azonos paraméter¶ Poisson eloszlású. A továbbiakban különböz® paraméterek esetén vizsgáljuk meg a kihalt családnevek arányának valtozását. Az els® szimuláció esetén az utódok száma 0.5 paraméter¶ Poisson eloszlású. Mivel a várható érték 1-nél kisebb a populáció 1 valószín¶séggel kihal.
A második szimulácónál az utódok száma 1-paraméter¶ Poisson. A várható érték pontosan 1, tehát arra számítunk, hogy a pupoláció ebben az esetben is kihal.
A harmadik szimulációnál az utódok száma 2-paraméter¶ Poisson. Mivel a várható érték nagyobb, mint 1, ezért azt várjuk, hogy a populáció nem fog kihalni.
32
4. fejezet
Összefoglalás Az egyes fejezetekben bemutatott modellek igazolják a valószín¶ségelméleti módszerek változatos alkalmazhatóságát a természettudományok különböz® területein. Látható, hogy látszólag eltér® jelleg¶ problémák megoldására hasonló modellek nyújtanak segítséget, ahogy azt a Markov láncok esetében is meg gyelhettük. A vizsgált termodinamikai rendszerek egyensúlyi állapotainak jellemzésében bemutatott eszközök a statisztikus zika más területein is hasznosnak bizonyultak, ahol nagy számú részecskéb®l felépül® rendszerek vizsgálata a cél. A Markov láncok alkalmazhatósága nem merül ki a biológiai, zkai és kémiai folyamatok modellezésében, gyakran alkalmazhatók különféle gazdasági problémák megoldására, vagy akár a szerencsejátékok elméletében. Az egyes fejezetekben látott szimulációk a Markov láncok konvergenciájának sebességét mutatták be különböz® esetekben.
33
Irodalomjegyzék [1] Marx György, Nagy Károly, Szabó János, Statisztikus mechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1962. [2] Alfred Huan, Statistical Mechanics, lecture notes, School of Physical and Mathematical Sciences Nanyang Technological University [3] Baróti György, Bognár Jánosné, Fejes Tóth Gábor, Mogyoródi József, Valószín¶ségszámítás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2003. [4] Csiszár Vill®, Diszkrét és folytonos paraméter¶ Markov láncok, egyetemi jegyzet. [5] David F. Anderson, Stochastic Methods for Biology, lecture notes, University of Wisconsin Madison, 2011. [6] http://maths.mq.edu.au/medal/moyal-seneta.pdf-2013.05.29.
34
