MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4358-14/2008. és KHF/4357-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet, Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit, Pusztai Julianna Grafika: Pusztai Julianna Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT0601 – H-AMAT0602 © Szerzők: Szerzők: Benczédy-Laczka Krisztina, Birloni Szilvia, Malmos Katalin, Pintér Klára, Zsinkó Erzsébet Educatio Kht. 2008. Tömeg: 720 gramm Terjedelem: 33,17 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértő: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné Tudományos szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy Katalin Technológiai szakértő: Nagy Károly

tartalom

061. gondolkodási módszerek 0611. Hány eset van? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 062. egész számok 0621. Mit tudunk az egész számokról? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0622. Egész számok összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0623. Szorzás és osztás egész számokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0624. Műveletek sorrendje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 0625. Gyakorlás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 063. tengelyes tükrözés 0631. Képek és tükörképek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 0632. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 064. számelmélet 0641. Számoljunk a maradékokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 0642. A számok osztói, az oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 0643. Törzsszám (prímszám), összetett szám, prímtényezős felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 0644. Közös osztók, közös többszörösök . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 0645. Gyakorlás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 065. törtek 0651. A törtekről tanultak ismétlése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 0652. A racionális szám fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 0653. Szorzás törttel, osztás törttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 0654. Szorzás, osztás tizedestörttel, százalék fogalma, százalékszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 0655. Összefoglalás, mérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

0611. MODUL gondolkodási módszerek Hány eset van? Készítette: Pintér Klára

6

matek „A” – 6. évfolyam – 061. gondolkodási módszerek

tanulói munkafüzet

1. feladatlap 1. K ati Szegeden nyaralt. Barátnőinek szegedi képeslapokat akart küldeni szép bélyegekkel, mindegyiknek különbözőt (két felbélyegzett képeslap különböző, ha a képeslap és a bélyeg közül legalább az egyik nem ugyanolyan). Ötféle képeslapot talált, amelyek a Dómot, a Móra Ferenc Múzeumot, az Alsóvárosi Templomot, a Tiszát és a Hősök Kapuját ábrázolták, és háromféle bélyeget talált, az egyik fajtán virág, a másikon autó, a harmadikon kutya van.

a) Készíts táblázatot, amibe bele lehet írni, melyik képeslap + bélyeg összeállítást melyik barátnőnek küldi.

Rajzold körbe kékkel a táblázatnak azt a részét, ahová a neveket írhatja Kati!

b) Legfeljebb hány barátnőjének küldhet így képeslapot?

c) Hány darabot vegyen az egyes képeslapokból és a bélyegekből, ha az összes lehetőséget ki akarja használni?

2. Hányféle különböző kétbetűs monogramot lehet készíteni 5 különböző betűből? Két monogram különböző, ha legalább az egyik helyen más betű áll.

a) Készíts táblázatot!

b) Egészítsd ki a gráfot!

A

A

B

C

B

D

E

C

E

A

B

C

c) Hány betűre lenne szükség, hogy az osztályotok minden tanulójának tudjatok ezekből a betűkből különböző kétbetűs monogramot összeállítani?


0611. Hány eset van?

7

3. Egy túra a tótól a hegyen levő kilátóba vezet. Háromféle útvonal vezet a kilátóba, az egyik úton egy barlang, a másikon egy forrás, a harmadikon egy várrom esik útba.

a) Hányféleképpen lehet oda-vissza megtenni a túrát, ha felfelé és lefelé is bármelyik útvonalat választhatjuk? Rajzolj gráfot!

b) Hány útvonal lehetséges, ha a túra során két látványosságot szeretnénk útba ejteni?

4. Figyeld meg az alábbi táblázatot!

a) Milyen alakzat hiányzik a táblázatból?

b) Hány szempont szerint osztályoztuk a logikai készlet elemeit, és melyek voltak ezek a szempontok?

c) Helyezd el a logikai készlet elemeit a megfelelő téglalapokban!

d) Milyen szempont szerint lehetne még osztályozni, és így hány csoport lenne?

8



2. feladatlap 1. Szendvicseket készítünk az útra. Megkenjük vajkrémmel vagy margarinnal, teszünk rá szalámit, sonkát vagy parizert, és vagy rakunk bele sajtot, vagy nem.

a) Hányféle vajkrémes szendvicset lehet így készíteni? Rajzolj gráfot!

b) Hányféle margarinos szendvicset lehet készíteni?

c) Hányféle szendvicset lehet készíteni összesen?

d) Zsófi a parizert nem szereti, akkor hányféle szendvicset ehet?

2. Írd ide három saját könyvednek a címét, amelyeket legutóbb olvastál: A: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Néha kölcsönadod a könyveidet a barátodnak, ezért ezek a könyvek most lehetnek nálad vagy a barátodnál.

a) Hányféle lehetőség van arra, hogy a három könyv kinél van kettőtök közül?

b) Hányféle lehetőség van, ha a három könyvedet két barátodnak adhatod kölcsön?

c) Hányféleképpen lehetséges, hogy pontosan két könyv legyen nálad, ha három barátodnak adhatod kölcsön a könyveidet?

3. Egy szabályos háromszöget négy egybevágó háromszögre osztottunk. Színezzük ezeket a háromszögeket pirosra vagy sárgára!

a) Hányféle különböző színű háromszöget kaphatunk?

b) Hány háromszög van ezek között, melyeket forgatással nem lehet átvinni egymásba?

4. Egy kalapban 1 zöld, 2 kék és 3 piros golyó van. Három golyót húzunk sorban egymás után úgy, hogy a kihúzott golyót nem tesszük vissza.

a) Hányféleképpen húzhatunk?

b) Hányféle lehet a kihúzott három golyó, ha a húzások sorrendjét nem tekintjük?

c) Mondjunk olyan állításokat, melyek biztosan igazak, lehet, hogy igazak, biztosan nem igazak!

d) Mi történik, ha minden húzás után visszatesszük a kihúzott golyót?


0611. Hány eset van?

9

3. feladatlap 1. Három gombócos (csokoládé, málna, eper ízekből egyet-egyet) fagylaltot veszünk tölcsérben, a gombócokat egymás tetejére rakják. Ábrázold gráffal, és számold össze az összes lehetőséget a gombócok sorrendjére! 2. Az 1, 3, 5, 7 számjegyek egy-egy számkártyán szerepelnek.

a) Hány 5-tel osztható négyjegyű számot lehet összerakni belőlük?

b) Hány négyjegyű számot lehet összerakni belőlük?

3. Az iskolai szövegértés verseny első négy helyezettje: Anna, Kata, Dóra és Erna.

a) Hányféle sorrendben végezhettek az első négy helyen, ha nem volt holtverseny?

b) Hányféleképpen lehetséges, hogy a második helyen Dóra végezzen, ha nem volt holtverseny?

c) Hányféle sorrendben végezhettek, ha a harmadik helyen holtverseny volt?

4. Színezzük négy különböző színnel a kis négyzeteket (egy kis négyzet egyszínű). Hány lehetőség van, ha

a) a kis négyzetek helye rögzített?

b) nem tekintjük különbözőnek azokat az eseteket, melyek forgatással egymásba átvihetők?

5. Hányféle sorrendben vehetjük fel a következő ruhadarabokat?

a) kabát, zokni, cipő

b) sapka, kabát, zokni, cipő

10



Feladatgyűjtemény 1. Az étkezőben választhatunk paradicsomleves és zöldborsóleves közül, rizs, sült burgonya és vegyes zöldségköret, valamint rántott sajt, sült hús és tejfölös hús közül, melyekhez süteményt vagy pudingot lehet választani. Hányféleképpen állíthatjuk össze az ebédünket, ha

a) paradicsom levest és rántott sajtot választunk, hozzá valamelyik köretet és desszertet?

b) csak köretet eszünk feltéttel (sajttal vagy hússal)?

c) nem eszünk desszertet?

d) háromfogásos ebédet eszünk, és bármit választhatunk a felsoroltak közül?

2. Két gombócos fagylaltot veszünk, kapható eper, málna, csokoládé, citrom, vanília fagyi. Fontos számunkra a tölcsérben a gombócok sorrendje. Rajzolj! a) Hányféleképpen választhatunk, ha mindkét gombóc különböző? b) Hányféleképpen választhatunk, ha ugyanabból a fajtából több gombócot is vehetünk? 3. Dorka perselyében 1 db 100 forintos, 2 db 50 forintos, 4 db 10 forintos pénzérme van. Kiráz a perselyből egymás után három érmét. Hányféle lehet a sorban kirázott három érme? Mennyi lehet a kirázott pénzösszeg? Mondjunk olyan állításokat, melyek biztosan igazak; lehet, hogy igazak; lehetetlenek a kipotyogott érmékre! b Anna, Kata és Dóra annyiszor nézik meg a kedvenc előadásukat, ahány különböző módon le tudnak ülni egymás mellé.

a) Hányszor nézik meg ezt az előadást?

b) Az első előadáson elhatározták, hogy senki sem arra a helyre ül, amelyik jegy a kezében van. Hányféleképpen lehetséges ez?

c) Minden előadás előtt beülnek a cukrászdába egy kerek asztal köré. Lehetséges-e, hogy minden alkalommal különféleképpen üljenek, ha a kerek asztalnál csak az számít, hogy kinek ki a szomszédja (azaz a kerek asztalt körbe forgathatónak gondoljuk)?

5. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a lányok nevének betűit?

DÓRA

KATA

ANNA

6. a) Hány négyjegyű szám képezhető a 2, 0, 0, 6 számkártyákból? (Ez azt jelenti, hogy minden kártyát pontosan egyszer használhatunk fel.)

b) Hány legfeljebb négyjegyű szám képezhető a 2, 0, 0, 6 számkártyákból? (Ez azt jelenti, hogy minden kártyát legfeljebb egyszer használhatunk fel.)

0621. MODUL egész számok Mit tudunk az egész számokról? Készítette: Zsinkó Erzsébet

12

matek „A” – 6. évfolyam – 062. egész számok


1. feladatlap emlékezz! Egész számok Természetes számok: 0, 1, 2, 3, 4 … Egész számok: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 1. Készítsd elő a 2. sz. melléklet kártyáit! Válogasd szét a kártyákat aszerint, hogy mennyit érnek! Írd le a kártyák értékeit bontott alakban! Folytasd! –2-t ér

–1-t ér

0-t ér

–5 + 4

2. a) Írd a hőmérők alá, milyen hőmérsékleteket mutatnak!

…………

…………

…………

…………

…………

…………

…………

Írd le a hőmérők által mutatott hőmérsékleteket növekvő sorrendben! …………

…………

…………

…………

…………

…………

…………

b) Hogyan változott a hőmérséklet egyik napról a másikra? Jelöld fölfelé mutató ferde nyíllal, ha emelkedett és lefelé mutató ferde nyíllal, ha süllyedt a hőmérséklet! Azt is írd le, hogy mekkora volt a változás!

h

3

k

sz

cs

p

sz

v

0621. Mit tudunk az egész számokról?


13

3. a) Jelöld az időtengelyen születésed időpontját (A), és ahhoz viszonyítva a felsorolt eseményeket!

Édesanya születése

20 évvel Édesanya születése után

B: Édesapád születése C: Testvére(i)d születése D: Iskolakezdésed E: Ennek a tanévnek a kezdete.

b) Állapítsd meg, hogy hány év telt el két általad kiválasztott időpont között!

c) Hány évesek lesznek a szüleid, amikor te 20 éves leszel? Hány év lesz köztük akkor a korkülönbség?

4. A folyók áradását és apadását egy meghatározott vízálláshoz viszonyítják. Jelöljük ezt 0 cm-es vízszintnek. Jelölje negatív előjel azt a helyzetet, amikor a vízállás a 0 szint alatt van! Mikor változott többet a vízszint, ha a) 12 cm-ről – 5 cm-re vagy 5 cm-ről –12 cm-re változott?

b) –12 cm-ről 5 cm-re vagy – 5 cm-ről –12 cm-re változott? c) – 4 cm-ről –9 cm-re vagy – 4 cm-ről 5 cm-re változott?

Állapítsd meg azt is, hogy a fenti esetekben mikor következett be apadás és mikor áradás!

2. feladatlap 1. A számegyeneseken egyesével lépkedtünk, megjelöltük a –2 helyét, és megadtuk a növekedés irányát. Add meg azokat az egész számokat, amelyeknek a piros vonalon van a helyük!

a)

b)

–2

–2 c)

–2 d) –2

14



2. Készíts számegyenest, és jelöld ki rajta azt a szakaszt, amelynek egyik végpontja másik végpontja a) c)

1 – 4 – 4

d)

4

b)

4 –1 1 –1

Sorold fel a szakaszon található egész számokat növekvő sorrendben!

Milyen távol vannak a szakaszok végpontjai a 0-tól?

3. Használd az 1. sz. melléklet kártyáit! Húzz egy kártyát, írd a pontsorokra a bontott alakját, és hasonlítsd a megadott számokhoz! Tedd ki közéjük a <, > vagy = jelet! –4

…………

–2

…………

0

…………

–4

…………

–2

…………

0

…………

–4

…………

–2

…………

0

…………

3. feladatlap emlékezz! Ellentett: A számegyenesen a 0-tól egyenlő távolságra található számok egymás ellentettjei. (Például: a +4 ellentettje a – 4, a – 4 ellentettje a +4.) Abszolútérték: Egy számnak a számegyenesen a 0-tól mért távolsága. A 4 két számnak is abszolútértéke, a +4-nek és a – 4-nek.)

(Például: a +4 és a – 4 abszolútértéke is 4.

1. Írd a *-gal jelölt pontok fölé, melyik szám helyét jelölik! Jelöld meg piros ponttal mindegyik szám ellentettjét!

0

1

0

1

Kösd az első számegyenesen jelölt számokat a második számegyenesen jelölt abszolútértékükhöz!



15

2. Melyik igaz?

a) Egy szám ellentettje lehet nagyobb a számnál.

b) Minden szám ellentettje kisebb magánál a számnál.

c) Van olyan szám, amelynek az ellentettje egyenlő magával a számmal.

d) Minden negatív szám ellentettje egyenlő az abszolútértékével.

3. a) Készíts számegyenest, és ábrázold a megadott számokat! 24, –21, –12, 18, 13, – 6, 5

b) Ábrázold a fent megadott számok ellentettjét!

c) Ábrázold az a) feladatban adott számok abszolútértékét!

4. feladatlap 1. Megjelöltük számegyenesen azokat a szakaszokat, ahol olyan egész számok vannak, amelyek igazzá teszik valamelyik nyitott mondatot. Melyik nyitott mondat melyik szakaszhoz tartozhat?

a)

b)

c)

d)

0

1

0

1

0

1

–9 <

< –1

–3 

< 4

–6 <

< 2

–6 

0

–5 

 1

–4 <

 3

–6 <

< 0

–8 

< –1

2. Jelöld számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Jelöld színessel azt a vonalat, amelyen megtalálod azokat az egész számokat, amelyek igazzá teszik az adott nyitott mondatot: < –2

kékkel: pirossal:

–2 

zölddel:

2 

< 2 .

16



5. feladatlap 1. Írj nyitott mondatot, amelyet igazzá tévő egész számok a színessel megjelölt vonalon vannak! A szomszédos osztóvonalak szomszédos egész számokat jelölnek, a nyíl a számok növekedésének irányát jelzi!

a)

b)

c)

0

0

d)

0

e)

f)

0 0

0

2. Mely egész számok lehetnek a piros vonalakon, ha a beosztás egyesével történt? Írj róluk nyitott mondatot is!

a)

b) 0

0

c)

d) 0

0

feladatgyűjtemény 1. A téli szünetben Évi barátaival síelni ment. Minden nap felhívta szüleit telefonon, beszámolt a napi programról és az időjárásról is. Évi megfigyelte, hogy otthon minden nap 5 °C-kal hidegebb volt, mint a síparadicsomban. Állapítsd meg a hiányzó hőmérsékleteket! A hőmérséklet (°C) a síparadicsomban

8

5

2

otthon

4

6 1

–2

–1

2. Januárban minden reggel megfigyeltük, hány fokot mutatott a hőmérő. A táblázat mutatja a hetenkénti leghidegebb és legmelegebb hőmérsékletet:

1. hét:

leghidegebb –5

legmelegebb –1

2. hét:

–8

3

3. hét:

–1

5

4. hét:

1

3

Melyik héten fordulhatott elő 0 °C?



17

3. Adj meg 5 egymást követő egész számot, amelyek között szerepel a –1 is! Keresd meg az összes megoldást! 4. Adj meg a számegyenesen olyan szakaszokat, amelyeken található egész számok mindegyike a) nagyobb – 5-nél és kisebb 3-nál;

b) nagyobb –3-nál és kisebb 5-nél!

Sorold fel a szakaszon található egész számokat!

5. Rajzolj egy számegyenest, és jelöld meg rajta két egész szám helyét, amelyek 4 egységnyi távolságra vannak! Legyen a) mindkét szám negatív, de egyik se legyen – 6-nál kisebb;

b) egyik negatív, a másik pozitív;

c) az egyik szám a 0;

d) mindkét szám kisebb 5-nél, és egyik szám se legyen negatív; e) mindkét szám negatív és nagyobb –3-nál!

6. Az alábbi számegyeneseken megjelöltük két-két szám helyét. Jelöld mindegyiken a 0 helyét! –5

–6

3

–20

8

–12

10

– 50

–200

30

a) A megjelölt számok közül melyik van legközelebb a 0-hoz?

b) A megjelölt számok közül melyik a legnagyobb?

c) A megjelölt negatív számok közül melyik a legnagyobb?

d) A megjelölt számok közül melyik a legkisebb?

e) A megjelölt negatív számok közül melyik a legkisebb?

3

100

7. Alkoss 10 számjegyből öt kétjegyű számot, lásd el a számokat pozitív vagy negatív előjellel úgy, hogy illeszkedjenek ebbe a sorba! A tíz számjegy mindegyikét csak egyszer használd fel!

– 50 <

< –5 <

< –18 < 30 <

< 55 <

< 88 <

8. Megjelöltük az időszalagon a gyerekek születési időpontját egymáshoz viszonyítva.

A

B

C

E

F

Állapítsd meg, melyik állítás igaz, melyik hamis!

a) A a legidősebb.

b) E fiatalabb, mint F.

c) Van két-két gyerek, akik között ugyanakkora a korkülönbség.

d) Ha a legfiatalabb gyerek legalább egy éves, akkor van már iskolás a gyerekek között. A gyerekek között hárman testvérek. Kik lehetnek ők, ha a testvérek között több mint egy év korkülönbség van?

18



9. A kör alakú papírra írt összeg készpénzt, a téglalap alakú lapra írt összeg adósságot jelent.

500

300

200

100

450

300

50

100

Mi a gyerekek nevének kezdőbetűje, ha igazak az állítások:

C-nek lenne a legkevesebb pénzre szüksége, hogy törleszteni tudja az összes adósságát.

B-nek van a legkevesebb pénze.

D-nek akkor is maradna pénze, ha törlesztené az összes adósságát.

A-nak és C-nek együtt olyan a vagyoni helyzete, mint B-nek.

10. Rajzolj egy számegyenest! Jelöld meg rajta a 2, –1, 0, 5 helyét! Jelöld kékkel a számok ellentettjeinek helyét! Keress a megjelölt számok közül olyanokat, amelyek 3 egységnyi távolságra vannak egymástól! 11. Gondoltam egy számra, igaz rá, hogy a szám abszolútértéke

a) pozitív;

b) nulla;

c) negatív!

Melyik számra gondolhattam?

12. Gondoltam egy számra, igaz rá, hogy a szám ellentettje

a) pozitív;

b) nulla;

c) negatív.

Melyik számra gondolhattam?

13. Gondoltam egy számra, igaz rá, hogy 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 egységnyi távolságra van a számegyenesen

a) az ellentettjétől;

b) az abszolútértékétől!

Adj meg minden lehetséges megoldást!

19



14. Két gép közül az első a bedobott szám ellentettjét dobja ki, a másik a szám abszolútértékét.

ellentetje

Töltsd ki a táblázatot! –2

0

–4

–3

5

–1

10

2

–5

1

4

ellentettje

a) Válogasd ki a –2, 0, – 4, –3, 5, –1, 10, 2, – 5, 1, 4 közül azokat a számokat, amelyekre a két gép egyenlő számokkal válaszol! Gyűjts még ilyen egész számokat!

b) Válogasd ki a fenti számok közül azokat, amelyeket a gépekbe dobva az első gép kisebb számmal válaszol, mint a második gép! Gyűjts még ilyen egész számokat!

c) Keress olyan egész számot, amelyet a gépekbe dobva az első gép nagyobb számot dob ki, mint a második gép!

15. Mi van távolabb a tenger szintjétől:

a) A Kékestető csúcsa (1014 m) vagy a Földközi tengerben 1020 m mélységre ereszkedett merülőszerkezet? b) A világ legmélyebben fekvő szárazföldi pontja (Holt-tenger árka: –397 m) vagy Badacsony teteje (437 m)?

0622. MODUL egész számok

Egész számok összeadása és kivonása Készítette: Zsinkó Erzsébet

22



1. feladatlap 1. a) Tegyél a pénztárcákba 2 Ft-ot! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

A

1 forintot (+1), a

1 forintról szóló adósságot ér (–1)!

………… + +2 = …………

………… + +2 = …………

………… + +2 = …………

………… + +2 = …………

b) Vegyél el a pénztárcákból –2 Ft-ot! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

………… – –2 = …………

………… – –2 = …………

………… – –2 = …………

………… – –2 = …………

c) Hasonlítsd össze az a) és b) feladatot! Mit tapasztalsz?

0622. Egész számok összeadása…


2. a) Tegyél a pénztárcákba –2 Ft-ot! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

A

1 forintot (+1), a


………… + –2 = …………

………… + –2 = …………

………… + –2 = …………

………… + –2 = …………

b) Vegyél el a pénztárcákból –2 Ft-ot! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

………… – +2 = …………

………… – +2 = …………

………… – +2 = …………

………… – +2 = …………

c) Hasonlítsd össze az a) és b) feladatot! Mit tapasztalsz?

23

24



A tapasztalatok azt mutatják, hogy egy szám elvétele, illetve az ellentettjének a hozzáadása egyenlő eredményhez vezet. Egy szám hozzáadása, illetve ellentettjének elvétele ugyancsak egyenlő számokat eredményez. Ennek ismeretében áttérhetünk a szakirodalomban gyakran használatos jelölési rendszerre, amely többnyire az előjeleket a műveleti jelekkel egy szinten jelöli. Például: –1 – (+3) = –1 + (–3) = –1–3 = –4 –1 – (–3) = –1 + (+3) = –1+3 = 2 –1 + (+3) = –1 – (–3) = –1+3 = 2 –1 + (–3) = –1 – (–3) = –1–3 = –4

2. feladatlap 1. S zámfeladatok írják le a hőmérséklet változását. Jelöld a hőmérőkön a mért hőmérsékleteket! Mennyi volt és mennyi lett?

szombat

5–8

vasárnap

hétfő

–5 + 2

kedd

Készíts időjárás-jelentést szombattól keddig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Írd le a vízállás-jelentéseket számfeladattal! A folyó közepes vízállását jelölik 0-val. A közepes vízállásnál nagyobb értékeket pozitív, az annál kisebb értékeket negatív számmal jelöljük. A folyó 10 cm-ről 8 cm-t apadt –10 cm-ről 8 cm-t emelkedett 10 cm-ről 8 cm-t emelkedett –10 cm-ről 8 cm-t apadt 3. Viszonyítsd a napokat a mai naphoz! Jelöld a mai napot 0-val! Írd le az időpontokat számfeladattal! Állapítsd meg, milyen napokat jelölnek ezek az időpontok! a) 1 héttel ezelőtt; b) 1 hét múlva; c) tegnapelőtthöz képest 5 napra; d) tegnap múlt egy hete; e) holnap lesz 2 hete; f) holnaputánhoz képest 2 hét múlva.



25

3. feladatlap 1. a) Tegyél a pénztárcákba annyit, amennyit a kép alatt látsz! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

A

10 forintot (+10), a


………… + +10 = …………

………… + –10 = …………

………… + +20 = …………

………… + –20 = …………

b) Vegyél el a pénztárcákból annyit, amennyit a kép alatt látsz! Írd le, mennyi volt bennük előtte, és mennyi lett utána!

………… – –10 = …………

………… – +10 = …………

………… – –20 = …………

………… – +20 = …………

26



c) Hasonlítsd össze az a) és b) feladatot! Mit tapasztalsz? 2. Kösd össze az egyenlőket!

a)

c)

9 + (–5)

9–5

–9 + (–5)

b)

90 + (–50)

90 – 50

–9 + 5

–90 + (–50)

–90 + 50

–9 – (–5)

9+5

–90 – (–50)

90 + 50

900 + (–500)

900 – 500

9000 + (–5000)

9000 – 5000

–900 + (–500)

–900 + 500

–900 – (–500)

900 + 500

d)

–9000 + (–5000) –9000 + 5000 –9000 – (–5000)

9000 + 5000

3. Jelöld a számok helyét a számegyenesen! a)

–10 0–5

2–5

–(–2)

–5

–1 0 1

5

10

az 5 ellentettje

2 + (– 5)

0 – (–2)

0+2

0 – (–20)

0 + 20

0 – (–20)

0 + 35

0 – (–65)

0 – (–55)

b)

–100 0 – 50

20 – 50

–(–20)

–50

–10 10 0

az 50 ellentettje

50

100

20 + (– 50)

c)

–50 0 – 15

40 – 15

15 –(–5)

–10 0 10 a 35 ellentettje

50 45 + (– 5)

d)

–50 0 – 65

–60 – 5

–5 –(–50)

–10 0 10 a 65 ellentettje

50 45 + (– 15)



27

4. feladatlap 1. Hasonlítsd össze, melyik nagyobb! Azt is állapítsd meg, hogy mennyivel nagyobb az egyik a másiknál! a)

78 + 19

78 + 20

78 + (–19)

b)

78 + 19

80 + 20

78 + (–20)

78 + (–19)

80 + (–20)

–78 + (–19)

–78 + (–20)

–78 + (–19)

–80 + (–20)

–78 + 19

–78 + 20

–78 + 19

–80 + 20

2. Írd a számokat olyan sorrendbe, hogy könnyű legyen kiszámolni a számok összegét! Változtathatod a tagokat is, ha biztos vagy benne, hogy az összeg nem változik! –43 + (–18) + 27 + (–12) + 13

=

=

72 + 49 + (–51) + (–21) + (–14)

=

=

51 + (–2) + (–5) + 23 + (–4) + 17

=

=

3. Az összeadás tagjainak célszerű változtatásával számold ki az összeget! 77 + (–19) + 27

=

=

–109 + (–29) + 38

=

=

43 + (–42) + 44

=

=

4. Változtasd a kivonásokat összeadásra úgy, hogy az összeg ne változzon! a) 2 – 6 + (–2) – 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) 2 – 6 – 2 – 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) ( 2 – 6 ) + (–2) – (–4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d) 2 – (–6) – (+2) – (–4) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28



5. feladatlap 1. Rakd ki játékpénzzel, és keresd meg a nyitott mondatok megoldását! a) 7 +

= –7

b) (–7) –

e) 17 +

=7

c)

+ 7 = –7

d

– (–7) = 7

f) (–17) –

= –7 =7

g)

+ 17 = –7

h)

– (–17) = 7

álassz egy nyitott mondatot a)-tól d)-ig, és fogalmazd meg a kérdést a párodnak szavakkal. V Például: Melyik az a szám, amelyet 7-hez adva, az összeg –7? A párod találja ki, hogy melyik nyitott mondathoz alkottad a kérdést! Cseréljetek szerepet! 2. Használd a számegyenest a nyitott mondatok megoldásához! Keresd az összes olyan egész számot, amely igazzá teszi a nyitott mondatot!

a) –3 < –6 +

<3

b) –3  –6 +

<3

c) –3 < –6 +

3

d) –3  –6 +

3

Hasonlítsd össze, mi a különbség a négy feladatban és a megoldásaikban!

3. Gondoltam két egész számot. Az egyik 3-mal nagyobb a másiknál. A két szám összege –5. Melyik két számot gondoltam? Válassz, melyik nyitott mondat készülhetett ehhez a kérdéshez! a)

+(

b)

+ 3 = –5

c)

+(

+ 3) = –5 – 3) = –5

4. A számegyenesen megjelölt számok közül melyik két számra igaz, hogy az összegük negatív?

–14

–10

–5

–1

0 1

5

10

5. A kétjegyű kerek tízesek közt keresd meg az összes olyan számpárt, ami igazzá teszi a következő nyitott mondatot:

x + y = –20

Gyűjtsd táblázatba a „jó” számpárokat! x y



29

6. A kerek százasok közt keress olyan számpárokat, amelyek igazzá teszik a következő nyitott mondatot:

x + y = –100

Gyűjtsd táblázatba a „jó” számpárokat! x y

6. feladatlap 1. A világ legnagyobb tengeri hegycsúcsa (Monte Pico) 399 méterrel alacsonyabb, mint a Föld legmagasabb hegycsúcsa (Mount Everest), amely 8848 m magas. A tengerből kiemelkedő része 2351 méter. A hegynek mekkora része van víz alatt? Hogy írhatod le a hegy lábát jelző adatot a tenger szintjéhez viszonyítva? világon a legnagyobb hegy (Mauna Kea) 1357 A méterrel magasabb a Mount Everestnél, mégsem ez a legmagasabb hegy a Földön, hiszen mind össze 4205 méterrel emelkedik a tenger szintje fölé. Milyen mélyen van a hegy legalacsonyabb pontja a tengerszint alatt? Mit lehet még ezekből az adatokból megtudni?

Monte Pico

Fogalmazz meg további kérdéseket!

Mount Everest

Mauna Kea

30



2. A legmélyebb tengeri barlang (Dean’s Blue Hole) a tenger szintje alatt 202 méterre található.

Dean’s Blu Hole

algák

nnél több mint 60 méterrel mélyebben találtak élő algákat. Milyen mélyen élhetnek növények a E tengerszint alatt? 3. Mint tudjuk, az óceán legmélyebb pontja: –10 911 m. A legmélyebben élő halat ettől kevesebb, mint 3 kilométerrel magasabban találták. Milyen mélyen találhatták ezt a halat?

7. FELADATLAP 1. a) Add meg a négyzet csúcsainak koordinátáit! b) Válassz egy rácspontot a négyzet valamelyik oldalán! Mondd meg a párodnak a pont koordinátáit! A társad válaszoljon egy másik ponttal, amelyik a négyzet ugyanezen oldalán van! Folytassátok szerepcserével! y

1 1

x

c) Fogalmazzátok meg közösen, milyen összefüggés van a négyzet egy-egy oldalán lévő rácspontok koordinátái között! d) Jelöld meg az oldalak felezőpontját, add meg mindegyik pontot koordinátáival! Milyen sokszöget határoz meg ez a négy pont? Kösd össze a pontokat, jelöld különböző színnel a négyszög oldalait! Írj igaz állításokat az egy oldalra eső rácspontok koordinátáiról! e) Mit mondhatsz a két négyszög területéről?



31

FELADATgyűjtemény 1. Kösd a rövid vízállásjelentéseket a megfelelő számfeladatokhoz! A folyó –3 cm-ről 6 cm-t apadt 3 cm-ről 6 cm-t emelkedett –3 cm-ről 6 cm-t emelkedett 3 cm-ről 6 cm-t apadt

–3 + 6 –3 – 6 3–6 3+6

2. Viszonyítsd az éveket a jelenlegi évhez! Jelöld ezt az évet 0-val! Írj a történetekről számfeladatokat!

a) 6 évvel ezelőtt kezdtük az iskolát.

b) 6 év múlva befejezzük a középiskolát.

c) 2 évvel ezelőtt még ezt mondtam: 4 év múlva döntenem kell, hogy hol tanulok tovább.

d) Most már csak 2 évem van a döntésig.

3. Á llapítsd meg, hogy mekkora érték van a pénztárcában, és kövesd a változásokat!

(A

1 forintot, a

1 forintról szóló adósságot ér!)

a) Változtasd a pénztárca tartalmát 3-szor 1-1 forint hozzáadásával! Írd le a tevékenységeket számtan nyelven is! b) Változtasd a pénztárca tartalmát 3-szor 1-1 forint adósságlevél hozzáadásával! Írd le a tevékenységet matematikai jelekkel! 4. Elvétellel hozd létre a szükséges változtatást! Mindegyik tevékenységről írj műveletet!

(A

a) Érjen a pénztárca tartalma 4 Ft-tal kevesebbet! b) Érjen a pénztárca tartalma 4 Ft-tal többet!

1 forintot, a


32



5. C serélj ki érmét adósságlevélre vagy adósságlevelet érmére úgy, hogy a pénztárcában lévő érték változzon!

(A

a) Legyen az összeg 4 Ft-tal több!

b) Csökkentsd az összeget 2 Ft-tal!

c) Érjen az összeg –2 Ft-ot!

1 forintot, a


6. Építsd fel a számpiramist összeadással!

a)

b)

–4

–2

–40 3

–6

–20

–60

30

Változtasd meg az alsó sorban található számok sorrendjét, és építs így is egy piramist! Lehet-e a csúcsszám pozitív?

7. Állapítsd meg, melyik igaz (i), melyik hamis (h)! a)

60 – 90

=

20 + (–50)

17 – (–15)

>

130 + (–45) –36 + 19

b)

–70 – (–90)

<

0 + 20

–17 + (–15)

125 – (–35)

>

125 + (–35)

=

–130 + 45

35 + (–47)

=

32 + (–50)

=

–35 + 20

–49 + 75

=

–44 + 70



33

8. Úgy tedd ki a <, > vagy = jelek valamelyikét, hogy igaz legyen az állítás! a)

70 – 90

70 + (–90)

45 – (–15)

b)

70 – 90

50 – 70

–45 + (–15)

25 – (–35)

25 + (–35)

30 + (–45)

–30 + 45

35 + (–40)

30 + (–45)

–45 + 80

45 – 80

–40 + 85

–47 + 80

9. Játsszatok párban! Vegyetek a markotokba mindketten 12 piros-kék korongot, és dobjátok azokat az asztalra magatok elé! Érjen a piros 10-et, a kék (–10)-et! a) Állapítsátok meg, ki dobott többet, és mennyivel! Legyen ez az összeg a nagyobbat dobó játékos jutalompontja! b) Mennyit dobtatok összesen? Legyen ez a kisebb számot dobó játékos jutalompontja! Néhány játék után fogalmazzátok meg, lehet-e az a) jutalompont több b)-nél! Milyen dobások esetén kaphat a nagyobbat dobó több jutalompontot a kisebbet dobónál? Mi a véleményed a jutalompont elnevezésről? Elképzelhető-e, hogy mindkét játékos ugyanannyi jutalompontot írhat magának? 10. Végezd el a kijelölt műveleteket! a)

(–9) + 8 =

b)

8 – 9 + (–8) – 9 =

(–9) – 8 =

8 – (–9) + [(–8) – 9] =

9 + (–8) =

8 + (–9) – (–8) + 9 =

(–9) + (–8) =

8 + (–9) – [(–8) + 9] =

9 – (–8) =

(8 – 9) – (–8) – (–9) =

(–9) – (–8) =

(8 – 9) – [(–8) – (–9)] =

11. Töltsd ki a bűvös négyzetek üres mezőit!

a)

b)

1 –9 5

c)

–2

–1

–60

–1 2

0

–20

20 0

34



12. Húzz a tanár által adott számkártyákból négy számot. Írd a számokat a betűk helyére olyan sorrendben, hogy igaz legyen az állítás!

x+y
13. Válassz x és y helyére –6-nál nem kisebb és +6-nál nem nagyobb egész számot úgy, hogy igaz állításhoz juss! Keress minél több megoldást!

a) x + y = 0 x y

b) x + y < –9 x y

c) x + |y|  –3 x y

d) |x – y|  3 x y

14. A világon a leghidegebb lakott település Oroszországban van, ott már –68°C-ot is mértek. Magyarországon 2003-ban közel –32°C volt a leghidegebb hőmérséklet. Mennyivel alacsonyabb ennél az Oroszországban mért hőmérséklet? 15. Még az egészséges embereket is megviseli a hirtelen bekövetkező hőmérséklet-változás. Figyeld meg a táblázatot, amely egy hetes hőmérséklet-ingadozást mutat be! H

K

Sz

Cs

P

Sz

V

–1

2

0

–4

–10

–4

0

Ábrázold diagramon a hőmérsékleteket, és olvass a diagramról! Két érdekes adat a világ más pontjairól:

a) A világon eddig jegyzett legkülönösebb hőmérséklet-emelkedés igen rövid idő alatt következett be. 2 perc alatt –20°C-ról 7°C-ra emelkedett a hőmérséklet. Mennyit változott ekkor 2 perc alatt a hőmérséklet?

b) Az egy nap alatt bekövetkezett legnagyobb hőingadozás során 7°C-ról –49°C-ra esett a hőmérséklet. Mekkora volt a változás?



35

16. Olvasd le az összetartozó számokat! Írd ezeket a számpárokat táblázatba és írd le, mi lehet a hozzátartozó gép működési szabálya!

0

1

0

1

17. K észíts táblázatot a gép működésének megfelelően! Ábrázold az összetartozó számpárokat párhuzamos számegyenes-páron és koordináta-rendszerben is!

(A –

a

ellentettjét jelöli!)

= –

–8

0

1

0

1

36



18. a) Színezd pirosra azokat a rácspontokat, amelyek első koordinátája legalább –3, de nem nagyobb 3-nál!

b) Színezd kékre azokat a rácspontokat, amelyek második koordinátája legalább –3, de nem nagyobb 3-nál!

c) Fogalmazd meg, mi igaz azokra a pontokra, amelyeket pirosra is és kékre is színeztél!

y

1 1

x

0623. MODUL egész számok Szorzás és osztás egész számokkal Készítette: Zsinkó Erzsébet

38



1. FELADATLAP TUDNIVALÓ Szorzás negatív számmal Megállapodás szerint, a negatív számmal való szorzás eredménye a szám abszolútértékével való szorzás eredményének az ellentettje. 1. Mit jelent a (–1)-szerezés a számegyenesen? Válassz egy egész számot a számegyenesen, jelöld ugyanolyan színnel a szám és (–1)–szeresének helyét!

–10

–5

0 1

5

10

Írd le számfeladattal! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Válassz egy egész számot a számegyenesen, jelöld ugyanolyan színnel a szám 2-szeresének és (–2)szeresének helyét!

–10

–5

0 1

5

10

Írd le számfeladattal! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Egy gyalogos egyenletesen haladva sétál egyenes úton. Átlagosan 50 m-t tesz meg 1 perc alatt a nyíl irányában. itt vagyok most

0

50

(m)

Válaszd ki a történetekhez a megfelelő számfeladatot, és keresd meg a gyalogos helyét a számegyenesen! 8 perc múlva egy üzlethez érkezik.

50 · (–8)

6 perccel ezelőtt látott egy mókust.

50 · (–6)

8 perccel ezelőtt még felhős volt az ég, hol volt ekkor?

50 · 8

Az üzlethez érkezése előtt 2 perccel találkozik egy ismerősével.

50 · (–2)

2 perccel ezelőtt egy harkály kopácsolt a mellette lévő fán. Hol van a fa?

50 · (8 – 2)

0623. Szorzás és osztás egész számokkal


2. FELADATLAP 1. Milyen egész számok teszik igazzá az egyenlőségeket? a) (–7) ·

= –28

d)

· (–7) = 28

g)

· 9 = –36

b) 7 ·

= –28

e)

· (–7) = –28

h)

· (–9) = 36

c) (–7) ·

= 28

f) (–9) ·

i)

· (–9) = –36

= –6

2. A gép a bedobott számokat megszorozza (–6)-tal. Folytasd a táblázat kitöltését!

7

· (–6)

9

5

–4

–8

–18

Írd le a bedobott (

) és a kijövő (

18

) számok közti kapcsolatot!

3. Töltsd ki a táblázat üres mezőit! ·

2

5

10

–4

–7 0

–8 0 –1

1

–3

21 6

–6 42

39

40



3. FELADATLAP 1. Oldd meg a konkrét feladatokat, mielőtt kitöltenéd a táblázatokat! Nem biztos, hogy mindegyik kérdésre lehet egyértelműen válaszolni! a) Milyen lesz két egész szám összege? 2. tag

1. tag

0

10+0 =

pozitív

(–20)+(–10) =

(–10)+(–20) =

negatív

20+(–10) =

10+(–20) =

0

(–20)+10 =

(–10)+20 =

20–10 =

10–20 =

pozitív

(–20)– (–10) =

(–10)– (–20) =

negatív

20– (–10) =

10– (–20) =

0

(–20)– 10 =

(–10)– 20 =

b) Milyen lesz két egész szám különbsége?

kisebbítendő

pozitív

negatív

0

c) Milyen lesz két egész szám szorzata? 2. tényező

pozitív

negatív

0

20 · 10 =

10 · 20 =

pozitív

(–20) · (–10) =

(–10) · (–20) =

negatív

20 · (–10) =

10 · (–20) =

0

(–20) · 10 =

(–10) · 20 =

1. tényező

negatív

20+10 =

kivonandó

pozitív

d) Milyen lesz két egész szám hányadosa? osztó osztandó

pozitív

negatív

0

20 :10 =

10 : 0 =

pozitív

(–20) : (–10) =

–(–10) : 0 =

negatív

20 : (–10) =

0 : (–20) =

0

(–20) : 10 =

0:0=

2. Írd le a 48-at szorzatalakban! Keress minél több megoldást! A tényezők egész számok legyenek! Készítsd el a (–48) szorzatalakjait is!



41

4. FELADATLAP 1. Töltsd ki a táblázatot! •

(–8)

(–4)

(–2)

2

4

8

(–9)

(–6)

(–3)

3

6

9

(–12) (–6) (–4) (–3) (–2) 2 3 4 6 12

2. Keress az előző táblázatban olyan sorokat vagy oszlopokat, amelyek alapján választ adhatsz a kérdésekre! Hogyan változik a szorzat, ha

a) az első tényezőt 2-szeresére változtatjuk;

b) a második tényezőt 2-szeresére változtatjuk;

c) mindkét tényezőt 2-szeresére változtatjuk;

d) az első tényezőt (–2)-szeresére változtatjuk;

e) a második tényezőt (–2)-szeresére változtatjuk;

f) mindkét tényezőt (–2)-szeresére változtatjuk?

3. A z 1. feladat táblázatában színezd kékre a 2 · (–3) szorzatot! Színezd sárgával az összes olyan mezőt, ahol ennek a számnak a 6-szorosát találod! Figyeld meg, hogyan változtak a tényezők! 4. Színezd a táblázatban zöldre a 24-et! Legyen a 24 az osztandó! Írj osztásokat! Hogyan változik a hányados, ha

a) az osztót 2-szeresére változtatjuk;

b) az osztót a felére változtatjuk;

c) az osztót (–2)-szeresére változtatjuk?

42



5. FELADATLAP 1. Tedd ki a < , > , = jelek közül a megfelelőt! 20 · (–4)

10 · (–8)

20 · (–3)

6 · (–20)

(–4) · (–12)

(–12) · 4

(–5) · (–12)

|-5| · |–12|

(–10) · (–12)

10 · 12

(–2) · 3

(–10) · 15

2. a) A műveletek elvégzése nélkül kösd össze az egyenlőket! (–3) · 8 12 · (–2)

(–6) · (–4) 3 · (–6) (–3) · 4

2 · 12 (–3) · (–8)

4 · (–6)

b) Rendezd növekvő sorrendbe a különbözőket!

3. Írd az üres keretekbe a hiányzó számokat, illetve a nyilakra a hiányzó műveleteket!

a)

b) 10

·2

·3

·3

10 · (–6)

c)

d) 10

·2

· (–3)

10

· (–2) ·6



43

4. Jelölj meg az előző feladatlap táblázatában három oszlopot, amelyben két oszlopba írt számok soronkénti összege a 3. oszlop számait adja! Írj róluk számfeladatokat! 5. Keress további érdekességeket a táblázatban! Találsz magyarázatot is ezekre az érdekességekre?

·

6.

·

Válassz mindegyik keretbe egy-egy számot! Írd valamelyik keretbe a 2-t vagy az ellentettjét; egy másikba a –3 és a 3 közül válassz; az utolsóba a –5 vagy az 5 kerüljön! Lesznek-e a különböző módon kijelölt szorzatok között egyenlők? Sejtésedet ellenőrizd számolással! Írd le azt a szorzatalakot, amelyikből a legegyszerűbb kiszámolni a (–2), 3 és a (–5) számok szorzatát!

6. FELADATLAP 1. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a)

20 · 3 =

b)

21 · 3 =

c)

19 · 3 =

20 · 2 =

21 · 2 =

19 · 2 =

20 · 1 =

21 · 1 =

19 · 1 =

20 · 0 =

21 · 0 =

19 · 0 =

20 · (–1) =

21 · (–1) =

19 · (–1) =

20 · (–2) =

21 · (–2) =

19 · (–2) =

20 · (–3) =

21 · (–3) =

19 · (–3) =

20 · (–4) =

21 · (–4) =

19 · (–4) =

20 · (–5) =

21 · (–5) =

19 · (–5) =

Mit gondolsz, melyik sorozatnak lesz tagja a –140, –190, –420, –350? Indokold az elképzelésedet!

44



2. Folytasd a szorzótáblák kiterjesztését a negatív számokkal való szorzással! a)

6 · 10 =

b)

3 · 10 =

c)

9 · 10 =

6·9=

3·9=

9·9=

6·8=

3·8=

9·8=

6·7=

3·7=

9·7=

6·6=

3·6=

9·6=

6·5=

3·5=

9·5=

6·4=

3·4=

9·4=

6·3=

3·3=

9·3=

6·2=

3·2=

9·2=

6·1=

3·1=

9·1=

6·0=

3·0=

9·0=

6 · (–1)=

3 · (–1)=

9 · (–1)=

6 · (–2)=

3 · (–2)=

9 · (–2)=

6 · (–3)=

3 · (–3)=

9 · (–3)=

6 · (–4)=

3 · (–4)=

9 · (–4)=

6 · (–5)=

3 · (–5)=

9 · (–5)=

6 · (–6)=

3 · (–6)=

9 · (–6)=

6 · (–7)=

3 · (–7)=

9 · (–7)=

6 · (–8)=

3 · (–8)=

9 · (–8)=

6 · (–9)=

3 · (–9)=

9 · (–9)=

6 · (–10)=

3 · (–10)=

9 · (–10)=

Keress érdekességeket a sorozatokon belül és a sorozatok között!



45

3. Képezd a sorozat hat tagját, és jelöld a számok helyét a számegyenesen! Írd le a sorozat néhány tagját, és képezz új sorozatot a szomszédos tagok különbségéből!

a) 1-től indulva 2-szerezéssel; –5

0

5

. .1 . . . . . . 2 . . . . . . .4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . .2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) (–1) -től indulva 2-szerezéssel; –5

0

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) 1 -től indulva (–2)-szerezéssel; –5

0

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) (–1) -től indulva (–2)-szerezéssel!; –5

0

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Indulj a 2-től!

a) Képezz sorozatot 2-szerezéssel!

b) Képezz sorozatot (–2)-szerezéssel!

Hasonlítsd össze a sorozatokat az előző feladat sorozataival! Fogalmazd meg észrevételeidet!

5. Indulj a (–2)-től!

a) Képezz sorozatot 2-szerezéssel!

b) Képezz sorozatot (–2)-szerezéssel!

Hasonlítsd össze a sorozatokat az előző feladat sorozataival! Fogalmazd meg észrevételeidet!

46



7. FELADATLAP 1. Válaszd ki a –10-nél nagyobb, de a 10-nél kisebb egész számok közül azokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat! Hogyan változna a feladatok megoldása, ha tetszőleges egész számok között keresgélhetnénk? a)

c)

· 4 < 24

b)

· (–4) > –24

· 4 > 24

· (–4) < 24

· 4 = 24

· (–4) = 24

· 4 < –24

d)

· 4 > –24

–24 <

· 4 < 24

–24 <

· (–4) = 24

· 4 = –24 2. Írj a feladatokról nyitott mondatot, és keresd a számot!

a) Melyik az a szám, amelyben háromszor van meg a –3

b) Hányszor van meg a –4 a 12-ben?

c) Melyik szám van meg a 24-ben –8-szor?

d) Hányszor kell venni a –4-et, hogy –32-t kapjunk?

e) Melyik szám ötszöröse a –30?

f) Hányszor van meg a 0-ban a –2?

g) Melyik számban van meg ötször a 0?

h) Melyik szám 0-szorosa a 12?

i) Hányszorosa a 0-nak a 10?

3. Írd a számokat egy-egy cédulára: –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6!

a) Keverd össze őket, és húzz ki közülük két számot!

Gyűjtsd külön csoportba azokat a számpárokat, amelyek igazzá teszik az x · y = 12 nyitott mondatot! Keresd az összes megoldást!

b) Gyűjtsd külön csoportba azokat a számpárokat, amelyek igazzá teszik az x · y = –12 nyitott mondatot! Keresd az összes megoldást!



47

8. FELADATLAP 1. Egy csiga mászik egyenletes tempóval fölfelé a fán, minden órában 3 cm-es utat tesz meg. Mozgásáról pillanatfelvételeket készítettünk, és ezeket egymás mellé helyeztük. 0-val jelöltük az első felvétel időpontját és a csiga akkori helyzetét.

Ilyen ábrát kaptunk: Pillanatfelvételek a lassúbb csigáról cm 15 12 9 6 3 –3

–2

–1

0

0

1

2

–3 –6 –9 –12

Jelöld, milyen felvétel készülhetett volna 2 óra, 5 óra múlva! És ha korábban is fényképeztünk volna?

3

4

5

ennyi óra telt el

48



2. Milyen „fotósorozat” készülhetne arról a csigáról, amelyik óránként 4 centimétert tesz meg? Készíts táblázatot, és rajzold le a fotókat az előzőhöz hasonlóan! a felvétel ideje (x óra) a megtett távolság (y cm)

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

0

Írd le nyitott mondattal, milyen kapcsolat van a felvétel ideje és a csiga helyzete között! Pillanatfelvételek a gyorsabb csigáról cm 15 12 9 6 3 –3

–2

–1

0

0

1

2

3

4

5

–3

ennyi óra telt el

–6 –9 –12 3. Két csiga mászik, az egyik óránként 4 cm-t tesz meg, a másik 3-at. Mit olvashatsz le a pillanatfelvételekről? Mit gondolsz, utoléri-e a gyorsabb csiga a lassúbbat? Mekkora volt a távolság köztük az első felvétel előtt 2 órával? Két csiga cm 12 9 6 3 –3

–2

–1

0 –3 –6 –9 –12

0

1

2

3

4

5

ennyi óra telt el



49

4. Mit olvashatsz le a három csigáról készült fotósorozatról?

Állapítsd meg, melyik állítás igaz!

a) Két csiga fölfelé, egy lefelé mászik a rúdon.

b) A fölfelé mászó csigák közül az egyik 2-szer akkora távolságot tesz meg egy óra alatt, mint a másik.

c) A lefelé araszoló csiga a leglassúbb.

d) A fölfelé mászó csigák fognak leghamarabb találkozni.

e) Lesz olyan időpont, amikor mind a három csiga ugyanakkora magasságban lesz.

f) Két órával az első fotó előtt két csiga között több, mint 20 centiméter volt a távolság. Három csiga cm 15 12 9 6 3 –3

–2

–1

0

0

1

2

3

4

5

–3

ennyi óra telt el

–6 –9 –12

9. FELADATLAP 1. Töltsd ki a táblázatot, és jelöld az összetartozó számokat a párhuzamos számegyenes-páron!

a) y = 12 – x x y

–12

–6

3

–3

–6

4

–1 6

0 1

0 1

1

50



b) y = (–2) · x x

–12

–6

3

y

–3

4

–6

–1

1

–1

1

6

0 1

0 1

c) x · y = 12 x

–12

–6

3

y

–3

4

–6

6

0 1

0 1 2. Milyen kapcsolat van az egymáshoz rendelt számok között?

a)

–15

–10

–5

0

5

10

15

–15

–10

–5

0

5

10

15

–15

–10

–5

0

5

10

15

–15

–10

–5

0

5

10

15

b)

3. Bontsd a 36-ot minden lehetséges módon két egész szám szorzatára! Készíts a számpárokhoz táblázatot! A táblázatba gyűjtött számpárok legyenek pontok koordinátái! Ábrázold a pontokat koordináta-rendszerben! A füzetedben dolgozz! 4. Bontsd a –36-ot minden lehetséges módon két egész szám szorzatára! Készíts a számpárokhoz táblázatot, és jelöld a pontokat koordináta-rendszerben! A füzetedben dolgozz!



51

FELADATgyűjtemény 1. Pótold a hiányzó számokat, illetve írd a nyilakra a hiányzó műveleteket!

a)

c)

· (–8)

7

e)

–9

b)

d)

–2

36

–21

f)

· (–4)

–9

–6

· (–7)

· –7

28

12 : (–3)

2. Építsd fel a piramist szorzással! (Két egymás melletti téglalapra írt szám szorzata adja a fölöttük álló számot.)

a)

b)

–16

–320 –8

1

–10

10

–1

1

1

2 –2

Írd a piramis alsó sorában kapott számokat más sorrendbe! El lehet-e helyezni a számokat olyan sorrendbe, hogy a csúcsszám növekedjen?

a)

b)

52



Válassz a piramis alsó sorába a –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 számok közül úgy, hogy a csúcsszám negatív legyen!

3. Töltsd ki a táblázat üres mezőit! Az osztandó az első oszlopban, az osztó az első sorban található.

a) :

–10

2

60

10

5 –30

10

–4

–30 –4 –6 b) A kitöltött táblázatban karikázd be ugyanolyan színnel az egyenlő számokat! Írd le a hozzájuk tartozó osztásokat, és fogalmazd meg, hogyan változott az osztandó és hogyan az osztó! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Számítsd ki a sorozat első három tagját, aztán folytasd még négy további taggal!

a) 2; 2 · 2; 2 · 2 · 2; ...

b) –2; –(2 · 2) ; –(2 · 2 · 2); ...

c) (–2);

d) –(–2); –[(–2) · (–2)]; –[(–2) · (–2) · (–2)]; ...

(–2) · (–2);

(–2) · (–2) · (–2); ...

53



5. Keresd az egész számok között a nyitott mondatok megoldását!

:2=6

a)

b)

: (–2) = 6

(–12) :

= 6

(–12) :

= –6

12 :

= 6

12 :

= –6

c)

:3=4

d)

: (–6) = 2

(–12) :

= 4

(–12) :

12 :

= –3

12 :

=6 = –2

6. Válaszd ki a –13-nál nagyobb, de a 13-nál kisebb egész számok közül azokat a 4-gyel osztható számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat!

a)

: 4 < 3

b)

: (–4) > –3

: 4 > 3

: (–4) < 3

: 4 = 3

: (–4) = 3

: 4 < –3

c)

d) –3 <

: 4 > –3

: 4 = –3

: 4 < 3

e) –3 <

: (–4) = 3

Hogyan változna a feladatok megoldása, ha tetszőleges egész számok között keresgélhetnénk?

7. Töltsd ki a táblázatot! Jelöld meg az összetartozó számokat koordináta-rendszerben! x x⋅3

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

0624. MODUL egész számok

Műveletek sorrendje Készítette: Zsinkó Erzsébet

56



1. FELADATLAP 1. A műveletek elvégzése nélkül állapítsd meg, melyik nagyobb és mennyivel! Változtasd meg az így létrejött egyenlőtlenségek valamelyik oldalát úgy, hogy igaz egyenlőséghez juss! Például: a) –6 + (–4) < –4 + (–2) 4 vagy vagy vagy

b) 6 + (–3)

c) 6 – (–4)

d) –6 – (–3)

e) –6 + 4

f) –6 – (–4)

–6 + (–4) + 4

=

–4 + (–2)

–6 + (–4) – (–4) –6 + (–4) = –6 + (–4) =

= –4 + (–2) –4 + (–2) – 4 –4 + (–2) + (–4)

–6 + 3

6–4

–3 – (–6)

–4 + (–6)

–4 – (–2)

2. A műveletek elvégzése nélkül próbáld megkeresni a hiányzó számot! Írd le a matematika nyelvén, hogyan gondolkodtál! Erre a leírásra mintát ad az első példa.

a) –46 + (–19) = –45 + (–20)

b) 298 + (–317) = 300 + ………

c) 68 – (–47)

d) –688 – (–103) = ……… – (–100)

e) –67 + 49

= –70 + 50 + ………

f) –446 – 154

= ……… – 150

= 70 – ………

–46 – (–1) + [(–19) + (–1)] = –45 + (–20)

0624. Műveletek sorrendje


57

3. Egészítsd ki a hiányos mondatokat, hogy igazak legyenek! Mutass mindegyik állításra legalább egy példát!

a) Ha egy összeg egyik tagját növeljük és a másik tagját ugyanannyival csökkentjük, az összeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Ha egy összeg valamely tagjához hozzáadunk egy negatív számot, akkor az összeg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Az összeget kétféleképpen növelhetjük: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fogalmazd meg, hogyan kell változtatni – a kisebbítendőt, hogy a különbség növekedjen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – a kivonandót, hogy a különbség növekedjen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – a kisebbítendőt és kivonandót, hogy a különbség ne változzon: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Á llapítsd meg, melyik igaz, melyik hamis! Indokolj! Csak akkor használj zárójelet, ha feltétlenül szükséges!

a) 28 – [(–7) + (+3)] = 28 – (–7) – (+3)

b) 28 – [(+7) + (+3)] = 28 + 7 – 3

c) 28 – [(–7) – (+3)] = 28 + 7 – (–3)

d) 28 – [(+7) – (–3)] = 28 – 7 + (–3)

5. Tedd ki a „<”, „>” vagy „=” jelet! Számolással ellenőrizd az elképzelésedet!

a) 32 – (–12) + (–9)

32 – [(–12) + (–9)]

b) 32 – (–12) – (+9)

32 – [12 + (–9)]

c) 32 + (–12) + (–9)

32 – 12 – 9

d) 32 + (–12) – (–9)

32 – (12 + 9)

58



2. FELADATLAP 1. Figyeld meg, hogyan változnak a tényezők és hogyan a szorzat!

a) 4 · 5

b) 4 · (–5)

c) (–4) · (–5)

8 · 15

8 · (–15)

(–8) · (–15)

12 · 10

12 · (–10)

(–12) · (–10)

Jegyezd le, hogyan számolható ki az első szorzatból a következő két szorzat!

2. Hasonlítsd össze a szorzatokat, melyik kisebb a másiknál! Találsz-e egyenlőket? a)

21· 6

20 · 6

(–21) · 6

(–20) · 6

b)

21· (–6)

42 · (–12)

21· (–6)

42 · (–3)

21· (–6)

20 · (–6)

21· (–6)

(–21) · (–6)

(–20) · (–6)

21· (–6)

(–21) · 6 20 · (–5)

3. Változtasd az osztandót és az osztót úgy, hogy a hányados ne változzon!

a) 72 : 12 = c) 100 : (–10) =

b) (–48) : 8 = d) (–90) : (–3) =

4. Dönts az állítások igazságáról! Mutass példákat a döntésed alátámasztására!

a) Pozitív előjelű számok szorzata és hányadosa is pozitív.

b) Negatív előjelű számok hányadosa negatív.

c) Különböző előjelű számok hányadosa negatív.

d) A szorzat nő, ha valamelyik tényezőjét 6-szorosra változtatjuk.

e) A hányados növekedhet, ha az osztandót csökkentjük és az osztót változatlanul hagyjuk.

5. Melyik művelet végezhető el, melyiknek nincs értelme?

a) 0 : (–3) =

c) 0 ⋅ (–3) =

b) (–3) : 0 =

0 : 0 =

0:0=

0 : 3 =

3:0=

0⋅0=

3⋅0=

6. Dönts az állítások igazságáról! Mutass példákat a döntésed alátámasztására!

a) A 0-ban bármelyik egész szám 0-szor van meg.

b) A 0 minden negatív számban 0-szor van meg.

c) Minden pozitív szám 0-szor van meg a 0-ban.

d) 0-val nem lehet osztani.

e) Van olyan szám, amelyben az 5 0-szor van meg.



59

7. Készítsetek elő 4 piros-kék korongot! Az 1. korong egyik oldalára írjátok a 2-t, a másikra a –3–at! A második korong egyik oldalára a –2, a másik oldalára a 3 kerüljön! A harmadik korongra a 3-at és a –5–öt és a negyedikre a –3-at és az 5-öt írjátok! Először válassz az állítások közül:

a) A szorzat páros szám lesz.

b) A szorzat páratlan szám lesz.

c) A szorzat pozitív szám lesz.

d) A szorzat negatív szám lesz.

e) A szorzat 10-zel osztható szám lesz.

f) A szorzat osztható lesz 3-mal.

Ezután a négy korongot egyszerre feldobjuk, és a dobott számokat összeszorozzuk. Végezzétek el a kísérletet 10-szer! A csoportban mindenki 1 pontot kap, akinek a választott állítása igaz lett a dobott számok szorzatára és –1 pontot kap az, akinek az állítása hamis. 10 dobás után összesítsétek a pontjaitokat!

3. feladatlap 1. Keress kapcsolatokat az egy oszlopban álló számok között! A változások megfigyelésével végezd el a műveleteket!

a) (–40) · 10

(–40) · 8

(–40) · 18

(–40) · 38

(–38) · 8

b) 40 · (–10)

c) (–40) · 9

40 · (–12)

(–40) · (–12)

40 · 9 · (–2)

(–38) · (–12)

(–40) · 2 · 9

38 · (–12)

2. Keress különböző számítási módokat a szorzások elvégzéséhez!

a)

b) (–49) · 32

c) (–25) · (–13)

d) 63 · 27

e) (–24) · 19

f) 600 · (–91)

40 · (–9)

13 · (–48)

3. Számítsd ki a szorzatokat célszerű műveleti sorrendet alkalmazva!

a)

2 · (–63)· (–5)

d) 31· (–125) · 0 · 4

b)

92 · (–4)· (–5)

e) (–4)· (–4) · 15

c) (–4) · (–73)· 25

f) 50· (–27) · (–3) · 2

(–38) · 9· 2

60



4. Számítsd ki a műveleteket a legegyszerűbben!

a)

25 · (–16) : (–8) · (–4)

d) 31 · (–125) · 0 · 4

b)

92 · (–4) + 16 ⋅ (–2)

e) [(–48) – 64] : (–4)

c) (–4) · (–73) · 25

f) [50 – (–27) : (–3)] · 2

5. Számítsd ki!

a) 12 · [(–23) – (–25)] + 32 : (–4)

b) (–33) : (–3) – 11 · (–5)

c) (–23) – (–25) + 48 : 12 · (–4)

d) 23 – (–25) + 48 : [12 · (–4)]

6. Írd le műveleti jelekkel, majd számítsd ki!

a) (–18) és 26 összegének a (–4)-szerese;

b) (–18) és 26 különbségének a negyed része;

c) 18 (–4)-szeresének és (–26) (–4)-szeresének az összege;

d) 18 (–4)-szeresének és (–26)-nak az összege.

4. FELADATLAP 1. Mindegyik számegyenesről olvasd le azokat az egész számokat, amelyek helye a számegyenesen a zölddel jelölt vonalon van! Válaszd ki azt a nyitott mondatot, amelyet az egész számok közül a számegyenesről leolvasott számok tesznek igazzá! x > –10 0 1 –10 < x < –3 0 1

0 1

–10  x  –3 –10 > x –10 < x  –3

0 1

0 1

–10  x < –3 –10 > x vagy x > –3



61

2. A számegyenesen lépegess, úgy keresd a nyitott mondatok megoldását az egész számok körében!

a) 7 + 4 + x = 0

7 + 4 + x < 0

7+4+x>0

0 1

b) (–7) + 4 + x = 0

(–7) + 4 + x < 0

(–7) + 4 + x > 0

0 1

c) (–7) – 4 + x = 0

(–7) – 4 + x < 0

(–7) – 4 + x > 0

0 1

d) (–7) – (–4) + x = 0

(–7) – (–4) + x < 0

(–7) – (–4) + x > 0

0 1

5. FELADATLAP 1. Gyűjtsd össze, melyik feladatnak hány megoldását várod az egész számok körében!

Pontosan 1 megoldása lesz:

Néhány megoldása lesz:

Végtelen sok megoldása lesz:

Nem lesz megoldása:

a) –3 + x = x – (–24)

b) –3 – x = –2 – x – 1

c) x – (–3) = –24

d) x + (–3) < –24 + x

e) –3 + x  –24

f) x – (–3) = –24 – x

g) x · (–3) = –24

h) (–24) : x = (–6) · x

i) (–3) · x < (–24) · x

A nyitott mondatok megoldása után hasonlítsd össze a megoldások számát a becsléseddel!

62



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Adok öt számot: –16; –8; –4; +2; +1. Helyezd el ezeket az öt keretben úgy, hogy az eredmény a) a lehető legnagyobb legyen

–

+

–

+

=

b) a lehető legkisebb legyen

–

+

–

+

=

–

+

–

+

=

–

+

–

+

=

c)

a lehető legközelebb legyen! a 0-hoz

d) kerek tízes legyen

Elképzelésedet ellenőrizd számolással!

2. Ebben a műveletsorban hiányzik a számok előjele. Adj a számoknak előjelet úgy, hogy az eredmény a) a lehető legnagyobb legyen

(

1) – (

3) + (

9) – (

27) + (

81) =


(

1) – (

3) + (

9) – (

27) + (

81) =

(

1) – (

3) + (

9) – (

27) + (

81) =

(

1) – (

3) + (

9) – (

27) + (

81) =

c)

a lehető legközelebb legyen a 0-hoz

d) 5-re végződjön!


3. Adok öt számot: +1, –12, +23, –34, +45. Helyezd a keretekbe a számokat úgy, hogy az eredmény a) a lehető legnagyobb legyen

– (

+

)–(

+

)=


–(

+

)–(

+

)=

–(

+

)–(

+

)=

–(

+

)–(

+

)=

c)

a lehető legközelebb legyen a 0-hoz

d) 23 legyen!




63

4. Adok néhány számot: –7; –5; –3; –2, +2; +3; +5; +7. Válogass a keretekbe a számok közül úgy, hogy az eredmény a) a lehető legnagyobb legyen

·

·

·

·

=


·

·

·

·

=

c) kerek tízes legyen

·

·

·

·

=

·

·

·

·

=

d)

páros legyen, de ne végződjön 0-ra!


5. A szürkére színezett négyszögekbe ezek közül a számok közül válassz: –60; –30; 30; 60; a többi négyszögbe pedig ezek közül: –5; –3; –2; 2; 3; 5! Legyen a műveletsor eredménye

a) a lehető legnagyobb

/

·

·

/

=

b) a lehető legkisebb

/

·

·

/

=

c) páratlan

/

·

·

/

=

d) 1000 körül!

/

·

·

/

=


6. Folytasd a sorozatot egyenlő lépésekkel!

a) 120; 108; 96; …

b) 100; 89; 78; …

Próbáld meg előre kitalálni, mi lesz a sorozat 10.; 15.; 20. tagja!

7. Folytasd a sorozatot! Írd alá a különbségeket! 81

79

76

74

Mit gondolsz, melyik szám lesz tagja a sorozatnak a következők közül?

44

39

27

21

–1

–17

–28

–44

–50

Írj a –50-nél nagyobb negatív számok közül további 5 számot, amelyek tagjai lesznek a sorozatnak!

64



8. Válaszd ki a –10-nél nagyobb, de a 10-nél kisebb egész számok közül azokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat! a)

· 4 < 20

e)

· (–4) > –24

b)

· 4 > 20

f)

· (–4) < 24

c)

· 4 < –24

g)

–24 <

· 4 < 20

d)

· 4 > –24

h)

–24 <

· (–4) < 20

9. Válaszd ki a –10-nél nagyobb, de a 10-nél kisebb egész számok közül azokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat! a)

· 4 –10 < 20

e)

· (–4) +10 > –24

b)

· 4 –10 > 20

f)

· (–4) – (–10) < 24

c)

· 4 +10 < –24

g)

–24 <

· 4 +10 < 20

d)

· 4 –10 > –24

h)

–24 <

· (–4) –10 < 20

10. V álaszd ki a –10-nél nagyobb, de a 10-nél kisebb egész számok közül azokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat!

a)

(

– 10) · 4 < 24

e)

(

– 10) · 4 > 24

b)

(

+ 10) · 4 < 24

f)

(

+ 10) · 4 > 24

c)

· 4 – 10 · 4 < 24

g)

· 4 – 10 · 4 > 24

d)

· 4 + 10 · 4 < 24

h)

· 4 + 10 · 4 > 24

Hasonlítsd össze a megoldásokat! Mely nyitott mondatok megoldásai egyenlők?

0625. MODUL egész számok Gyakorlás, mérés Készítette: Zsinkó Erzsébet

66



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Írd a táblázatba a hiányzó számokat, illetve a nyilakra a műveleteket!

·2

5

–5

7

· (–2)

–7 16

–16 16

–16

Írd le a változók közötti kapcsolatokat nyitott mondatokkal!

2. A gép működése alapján töltsd ki a táblázat üres mezőit! a

b

a·b

a

6

b

–8

7

–3

–9 –6

a·b

28

–24

60

0

–8 36

–4

72

20

32

3. Válaszd ki a (–6)-nál nagyobb, de a 8-nál kisebb egész számok közül azokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! Készíts a füzetedbe mindegyik feladathoz számegyenest, és jelöld rajta a nyitott mondatot igazzá tevő számokat! a)

· 8 = 16

e)

· (–8) = (–16)

b)

· (–8) = 16

f)

· (–8) = 48

c)

· 8 = (–24)

g)

· (–8) + 16= (–48)

d)

· (–8) = (–24)

h)

· (–8) – 16= (–48)

0625. Gyakorlás, mérés


67

4. Számolás nélkül kösd össze az egyenlőket!

(–350) · 7 + 350 · (–3)

700 : 2 + (–350) · 7

(–350) · 7 + 350

(–350) · 14

(–350) · 10 – 350 · (–2)

(–350) · 5 · 2

(300 + 50) · (–2) · 2

–(350 · 7 + 350)

350 · (–10)

350 · 7 · (–7)

A különbözőket írd le (–350) · rendbe!

alakban, és rendezd a szorzat alakú számokat növekvő sor-

5. Melyik sorozatnak tagja a –100 és melyiknek a 100?

a) Indulj 1-től! Váltakozva adj hozzá, aztán vegyél el egyre nagyobb számot a sorozat tagjaiból! 1

3 +2

–3

4 +4

–5

b) Hasonlóan képezd a sorozatot, mint az előbb, de kezdd az 1 hozzáadásával, és csak páratlan számokat adj hozzá, illetve vegyél el! 1

2 +1

0

–1 –3

+5

–7

c) Hasonlóan képezd a sorozatot, mint az előbb, de kezdd a 2 elvételével, és csak páros számokat adj hozzá, illetve vegyél el! 1

–1 –2

+4

–6

+8

6. Melyik sorozatnak tagja a –1000 és melyiknek az 1000? Indulj 1-től! Szorzással képezd a sorozat tagjait! Négy különböző szorzótényezőt használj!

a) 1

2 ·2

· (–2)

· (–5)

·2

· (–2)

·5

· (–5)

·2

·5

· (–2)

·2

· (–5)

b) 1

2 ·2

·5

c) 1 · (–5)

68



7. Pótold a hiányzó műveleti jeleket úgy, hogy igaz állításhoz juss!

a) [600 90 (–10) (–5) · 2 · 5 · (–2)] : 2 (–200) = 0

b) [600 90 (–10) (–5) · (–2) · 5 · (–2)] : 2 (–200) = 200

c) [600 (90 10) 5 · 2 · 5 · 2] : 2 (–200) = 400

d) [600 (– 90 10) 5 · 2 · 5 · (–2)] : 2 200 = 0

8. Írj a számok közé műveleti jeleket úgy, hogy a műveletsor eredménye közel kerüljön a 100-hoz! Zárójeleket is használhatsz!

a) 1 4 5 6 (–2) 3

b) (–1) (–4) 5 6 2 3

c) (–6) (–5) 1 (–4) 3 2

0631. MODUL tengelyes tükrözés

Képek és tükörképek Készítette: Birloni Szilvia

70

matek „A” – 6. évfolyam – 063.tengelyes tükrözés


Boldizsár Ildikó: Az árnyék meséje Valamikor réges-régen az árnyékok is színesek voltak. Az embereknek nem kellett tükörbe tekinteniük, ha meg akarták nézni magukat, elég volt rápillantaniuk az utca kövére vagy a ház falára, és rögtön látták, hogy csálén áll a kalapjuk, leszakadt a kabátaljuk, netán falevelet, madártollat sodort hajukba a szél. Az árnyékok engedelmesen követték az embereket, és nagyon büszkék voltak pompás külsejükre. Nem volt közöttük két egyforma, mint ahogy az emberek világában sem akadt ilyen. Ha az emberek megálltak, hogy elbeszélgessenek, az árnyékok is szóba elegyedtek egymással: – Hallottátok, mi történt azzal a zöld kockás fickóval? – kérdezgették. Vagy: – Nem tudjátok, mi lehet a piros sapkással? Olyan régen láttuk! És hol van az a sárga hasú a csíkos nadrágjával? Így volt ez hosszú időn keresztül, s talán örökre így is maradhatott volna, ha egy napon az egyik árnyék azt nem gondolja magában: „Miért kell nekem folyton az ember nyomában járni? Miért nem mehetek oda, ahová én akarok? Unom már, hogy mindig őt kell követnem, az ő ritmusára kell lépnem, az ő mozdulatára kell emelnem a karom. Akkor kell ébrednem, amikor ő kikel az ágyból, s csak akkor aludhatok el, ha ő már álomra hajtotta a fejét. Elég volt ebből!” Az árnyék még aznap elmondta bánatát a többieknek. Az árnyékok sugdolózni kezdtek egymás között: – Igaza van! – mondogatták. – Mi nem akarjuk többé követni az embereket! – Így hát azon kezdték törni árnyékfejüket, hogyan szabadulhatnának meg tőlük. A kisfiú árnyéka azt eszelte ki, hogy délben, amikor össze kell zsugorodniuk, töpörödjenek, olyan kicsire, amilyenre csak tudnak, és ne kezdjenek növekedni, amikor a Nap továbbindul az égen. De a többiek nem akarták ezt, mert attól féltek, hogy örökre kicsik maradnak. A mesemondó árnyéka azt találta ki, bújjanak álruhába, és elmesélte, hogy az állatok között is vannak olyanok, amelyek álruhát tudnak ölteni. Ezen egy kis vita támadt, mert nem hitték el neki, de a tudós árnyéka elmagyarázta, hogy valóban vannak álruhás állatok: a tövises sáska a levelekhez tud hasonlítani, a botsáska a fák ágaihoz, az üvegsügér a víz színéhez, a sziklahal a kőhöz, az egyszínű lepényhalból pedig még kockás sakktábla is válhat, ha nagyon akarja. Ezen az árnyékok jót nevettek, és már sorolták is, ki milyen álruhába bújna legszívesebben: teáskanna... füles kosár... hintaszék... vitorlás hajó. De egyiküknek sem sikerült, hiába próbálgatták. – Tudjátok mit? – szólalt meg akkor a futó árnyéka. – Szökjünk meg az emberektől! – Ez az! – kiabálták a többiek. – Szökjünk meg tőlük! – De hogyan? – Talán akkor a legkönnyebb, amikor alszanak. Lemászunk az ágyukról, és csöndben kisurranunk a házak ajtaján. A tisztáson megvárjuk egymást… – mondta az árnyék, de befejezni már nem tudta a mondatot, mert a futó futásnak eredt. Nagy volt az izgalom azon az estén az árnyékok között. A kislány árnyéka annyira izgatott volt, hogy elfelejtette utánozni a kislányt fogmosás közben. A táncosnő árnyéka mindent összekevert: ha a táncosnő a bal kezét emelte, ő a jobbot tette fel, ha a jobb lábát lendítette, neki a balja lendült. Szerencsére senki nem vette észre a tévedéseket. Aztán eljött az éjszaka. Az árnyékok búcsú nélkül hagyták ott az embereket, és boldogan gyülekeztek a tisztáson. A sötétben nem látták jól egymást, s hogy zajt ne csapjanak, hang nélkül indultak az erdő felé. Vándoroltak egész éjszaka, siettek, hogy minél messzebb kerüljenek az emberektől. Menet közben arról álmodoztak, milyen jó lesz végre, hogy nem kell senkit utánozniuk, milyen jó lesz majd azt csinálni, amihez kedvük van. Az éjszaka után eljött a reggel is. Fölkelni készült a Nap, megrezzent a levegő, ébredeztek a fák és a vizek. Az erdő lassan megtelt fénnyel, s a fény ébresztgetni kezdte a színeket is. De hiába jött szemét dörzsölgetve a piros, ásítozva a zöld, álomittasan a világoskék, az erdő közepét nem tudták beragyogni. Ott, az erdő közepén, száz meg száz fekete alak kuporgott, ott kuporgott az egész árnyékvilág. Abban a pillanatban, amikor leváltak az emberről, és kisurrantak az ajtókon, elveszítették színeiket, kockáikat, pöttyeiket meg csíkjaikat, és egyformák lettek valamennyien, egy-

0631. Képek és tükörképek


71

forma feketék. Bánták már a szökést, siratták engedetlenségüket, és fordultak volna is vissza azonnal, de nem ismerték a visszafelé vezető utat. Az emberek, akik ébredés után rögvest a keresésükre indultak, késő délután találtak rájuk, de hiába ölelkezett össze ki-ki a maga árnyékával, már semmi sem úgy volt, mint azelőtt: az árnyékok nem láthatták többé az emberben magukat, és az ember sem láthatta magát bennük. – Mégiscsak az én tervem sikerült! – sírta a mesemondó árnyéka. – Van ugyan álruhánk, de ezt az álruhát mi már soha többé nem vethetjük le.

1. FELADATLAP 1. A játék tapasztalata alapján írd a táblázat rovataiba az „azonos”, „különbözik”, „megegyezik”, illetve „ellentétes” szavak valamelyikét! méret

forma

valódi árnyék árnyék játék tükör játék

2. Válaszd ki, hogy melyik eredeti és melyik tükörkép!

Melyiknél volt nehéz a dolgod, és miért?

előre-hátra irány

forgás iránya

72



3. a) Színezd ki az építményeket úgy, hogy egymás tükörképei legyenek!

b) Keress párokat, melyek egymással tükrös helyzetbe hozhatók!

4. Páros feladat: Készítsetek a színesrúd-készletből egy-egy építményt! Cseréljetek helyet, és mindketten készítsétek el a másik építményének tükörképét!



73

5. Figyeld meg a természetben előforduló tükröződéseket! Gyűjts hasonló képeket újságokból, albumokból vagy az internetről, és készítsetek tablót belőlük!

2. FELADATLAP 1. a) Keresd meg a tükör helyét! Kiindulásként mindig ezt a rajzot használtuk:

Állapítsd meg, hogy hol lehetett a tükör, amikor ezeket a képeket kaptuk!

74



b) Készítsetek egymásnak a csoportban hasonló rejtvényt a kép alapján! (Helyezzétek el valahová a tükröt, rajzoljátok le, amit láttok, majd adjátok tovább társatoknak!) Legyen ez a cápa a kiindulási ábra, vagy rajzoljatok magatoknak valami mást!

2. Az utasításnak megfelelően tükrözd a levelet tengelyesen, másolópapír segítségével!

TUDNIVALó Ha a síkban megadunk egy egyenest, és a sík minden pontját úgy mozgatjuk, hogy a megadott egyenes pontjai önmagukba kerülnek, az általa határolt félsíkok pedig felcserélődnek, akkor tengelyes tükrözést hajtottunk végre. A megadott egyenest tengelynek nevezzük. 3. Végezd el a tükrözést a megadott tengelyre másolópapír segítségével. Figyelj, ahol nem jelöltünk meg pontot a tengelyen, ott ezt neked kell megtenned!

a)

b)

c)

d)

e) Minden rajz eredetijén jelölj meg 1-1 pontot színessel! Figyeld meg, hogy a megjelölt pont hová kerül a mozgatás után, és jelöld azonos színnel!



75

4. Ezeket a rajzokat tükrözéssel készítettük. Keresd meg a színessel jelölt részek tükörképét, és színezd azonos színnel. Ha kell, használj másolópapírt vagy zsebtükröt!

3. FELADATLAP 1. A P pontnak a t tengelyre vonatkozó tükörképe P’. Rajzold meg a színessel jelölt szakaszok tükörképét azonos színnel! A

P

P’

B C t

a) Mi lesz az AP szakasz tükörképe?

b) Mi lesz a PB szakasz tükörképe?

c) Mi lesz a PC szakasz tükörképe?

d) Mit lehet elmondani a szakaszokról és tükörképeikről?

e) Mit veszel észre a PB és BP’ szakaszokon?

76



2. A P pontnak a t tengelyre vonatkozó tükörképe P’. Rajzold meg a színessel jelölt szögek tükörképét azonos színnel! Segítség: a BAP szög az A csúcsnál lévő kékkel jelölt szög. A

a) Mi lesz az APB szög tükörképe?

b) Mi lesz a BAP szög tükörképe?

c) Mi lesz PBA szög tükörképe?

d) Mi lesz PCB szög tükörképe?

e) Mit mondhatunk el szögről és tükörképéről?

f) Keresd meg, és jelöld be a PCP’ szöget!

g) Keresd meg, és jelöld be a PAP’ szöget!

h) Mit veszel észre ezeknél a szögeknél?

P

P’

B C t

TUDNIVALÓ A tengelyes tükrözésnél mozgatással bármely alakzat fedésbe hozható a tükörképével. Ezt röviden úgy mondjuk, hogy a két alakzat „egybevágó”. A mozgatásból az is következik, hogy a szakaszok és a szögek nagysága nem változik. Ezért azt mondjuk, hogy a tengelyes tükrözés távolságtartó és szögtartó.

4. FELADATLAP 1. Osszátok szét a négy pontot: A(–5; 1), B(–2; 0), C(–2; 2), D(0; –6) a csoporton belül. Mindenki végezze el a saját pontjával a tükrözést, és írja az eredményt a táblázatba. Amikor mindenki elkészült a saját pontjával, osszátok meg, és írjátok be a táblázatba egymás eredményeit! Aki előbb készen van, válasszon magának még egy pontot az E, F és G közül, és azzal is végezze el a tükrözéseket!

a) Olvasd le a pontok koordinátáit, és írd a táblázat megfelelő helyére!

b) Tükrözd a pontod az x tengelyre, a tükörkép színe legyen piros! Olvasd le a piros pont koordinátáit, és írd a táblázat megfelelő helyére!

c) Tükrözd az eredeti pontot az y tengelyre, a tükörkép színe most legyen kék! Olvasd le a kék pont koordinátáit, és írd a táblázat megfelelő helyére!

d) Tükrözd az eredeti pontot a zöld egyenesre, a tükörkép színe legyen zöld! Olvasd le a zöld pont koordinátáit, és írd a táblázat megfelelő helyére! eredeti

A( ; )

B( ; )

C( ; )

D( ; )

E( ; )

F( ; )

G( ; )

x-re

A( ; )

B( ; )

C( ; )

D( ; )

E( ; )

F( ; )

G( ; )

y-ra

A( ; )

B( ; )

C( ; )

D( ; )

E( ; )

F( ; )

G( ; )

zöldre

A( ; )

B( ; )

C( ; )

D( ; )

E( ; )

F( ; )

G( ; )



77

2. a) Ábrázold a pontokat a koordináta-rendszerben, és kösd össze őket a megadott sorrendben egyenes vonalakkal! (–3; 2), (–10; 2), (–9; 0), (–3; 0), (–1; 2), (–3; 2), (–3; 9), (–8; 3), (–3; 3) y

x

b) Tükrözd a kapott képet a piros egyenesre!

c) Színezd a (–1; 2) és (–10; 2) pontokat összekötő szakaszt kékre! Keresd meg a tükörképét, és azt is színezd kékre! Mit lehet elmondani a kék szakaszokról?

d) Színezd a (–3; 3), (–3; 9) és (–8; 3) pontok által meghatározott háromszöget pirosra. Keresd meg a tükörképét, és azt is színezd pirosra! Mit tudsz elmondani a piros háromszögekről?

e) Van-e olyan rész a rajzon, melynek tükörképe önmaga? Miért?

5. FELADATLAP 1. A rajzokon alakzatokat és tükörképeiket látod. a) Betűzd a háromszögek csúcsait, és színezd a megfelelő színűre a tükörkép részeit!

b) Színezd azonosra a megfelelő részeket! Jelöld nyíllal az óramutató járásának irányát az eredetin és a tükörképen! Mit tapasztalsz?

78



c) Színezd a megfelelő részeket! Figyeld meg az azonos színűek tengelyhez viszonyított helyzetét! Mit tapasztalsz?

6. FELADATLAP 1. Tükrözz a megadott tengelyre a pontrács segítségével!



79

2. A z előző feladatok tapasztalata alapján egészítsd ki a szöveget! Ha egy alakzat metszi a tengelyt, akkor tükörképe ………………………………… metszi a tengelyt. A tengellyel párhuzamos egyenes vagy szakasz képe ……………………………………………………… Egy egyenesnek és képének a tengellyel bezárt szöge ………………………………………………………… ezért a két egyenes hajlásszögét a tengely …………………………………………………………………… Az egyenes tükörképe egybeesik az eredetivel, ha a tengely …………………………………………… Ha egy szakasz merőleges a tengelyre, akkor képe ………………………………………………………… Ha egy szakaszt a ……………………………………………………-re tükrözünk, akkor tükörképe megegyezik az eredetivel. Egy szöget szögfelezőjére tükrözve a képe ………………………………………………………………… Ha egy kört olyan egyenesre tükrözünk, amelyik …………………………………………………………, akkor tükörképe megegyezik az eredetivel. A P pont …………………… egység távolságra van a tengelytől. Tükörképe P’ ……………… egység távolságra van a tengelytől.

7. FELADATLAP 1. Képzeld el, hogy a sík minden pontja végrehajtja az utasítást. Rajzold meg piros színnel, hogy hová kerülnek a zsiráf pontjai! a) a) Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen az O ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább még kétszer annyit, mint amekkora utat a pontig megtett!

b) Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a t egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!

t

O

80


c) Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen az O ponthoz, és ugyanabba az irányba haladjon tovább annyit, mint amekkora utat a pontig megtett!


d) Sík pontjai figyelem! Minden pont a lehető legrövidebb úton menjen a t egyeneshez, és ugyanabba az irányba haladjon tovább kétszer annyit, mint amekkora utat az egyenesig megtett!

t

O

e) Válaszd ki, hogy melyik utasítást követhetik a sík pontjai tengelyes tükrözéskor. Írd ide a megfelelő utasítás betűjelét!

2. Ábrázold a koordináta-rendszerben a pontokat, és kösd össze egyenes szakaszokkal azokat, amelyeknek koordinátáit is összekötöttük!

a) (–6; 2) – (–5; 3) – (–2; 3) – (–3; 2) – (–6; 2);

(–6; 0) – (–6; 2); (–3; 0) – (–3; 2);

(–2; 1) – (–2; 3); (–5; 1) – (–5; 3).

b) Változtasd minden pont mindkét jelzőszámát az ellentettjére, és ábrázold az így kapott alakzatot pirossal! (Az eredetileg összekötött pontokat most is kösd össze!)

c) Változtasd minden (eredeti) pont első jelzőszámát a (–2)-szeresére, a második jelzőszámot hagyd változatlanul. Az így kapott pontokat ábrázold kékkel.

d) Minden (eredeti) pont második jelzőszámát szorozd meg (–1)-gyel, és első jelzőszámát hagyd változatlanul. Az így kapott képet rajzold meg zölddel!

e) Minden (eredeti) pont mindkét jelzőszámát szorozd meg (–2)-vel. Az így kapott alakzatot ábrázold sárgával.

f) Figyeld meg az eredeti kisasztallal történt változásokat! Nézd meg az előző feladat zsiráfjait, és párosítsd össze azokat, ahol ugyanolyan változás történt a zsiráffal, mint a kisasztallal. Színezd a zsiráfot a megfelelő színnel!



81

3. Fogalmazz meg a b), c), d) e) feladatban lévő változásokhoz a pontok számára egy-egy utasítást, ezzel a kezdettel: „Sík pontjai figyelem! Minden pont menjen a…”

TUDNIVALÓK Egy pont tengelyes tükrözését többféle módon is megszerkeszthetjük. Próbáld ki mindkét eljárást! 1. A tengely tetszőleges A pontjából egy AP sugarú kört rajzolunk. A tengely másik tetszőleges B pontjából egy BP sugarú kört rajzolunk. A két kör metszéspontja lesz a P pont tükörképe. A P pont tükörképét P’-vel jelöljük. kiindulási helyzet

1. lépés

2. lépés

végső helyzet

2. P középpontú körrel elmetsszük a tengelyt. Két ugyanilyen sugarú kört rajzolunk, amelyek középpontja a két metszéspont. A két kör metszéspontja a P pont tükörképe. P pont tükörképét P’-vel jelöljük. kiindulási helyzet

1. lépés

2. lépés

végső helyzet

8. FELADATLAP 1. Rajzolj a füzetedbe egy tetszőleges A pontot és egy tengelyt, ami nem megy át rajta. Tükrözd az A pontot a tengelyre! 2. Rajzolj egy BC szakaszt a füzetedbe, és egy tengelyt, aminek nincs közös pontja a szakasszal! Tükrözd a B és a C pontokat a tengelyre, és rajzold meg a BC szakasz tükörképét! 3. Rajzolj egy MN szakaszt, és egy tengelyt, ami áthalad az M ponton! Tükrözd tengelyesen az MN szakaszt! 4. Rajzolj egy FD szakaszt, és egy tengelyt, ami metszi! Tükrözd a szakaszt a tengelyre!

82



5. Tükrözd az ABC háromszöget a tengelyre! t C A

B

9. FELADATLAP 1. Tükrözz az y tengelyre! Mit ábrázol az eredeti és a tükrözött kép együttese? y

x

2. Készíts hasonló rejtvényt társaidnak!



83

10. FELADATLAP 1. Szerkeszd meg mindkét pont tengelyes tükörképét! Ne feledkezz meg a képek megfelelő betűzéséről! t

A B

2. Tükrözd a szakaszt a megadott tengelyre! A tükörképet is betűzd meg! B A

t

3. Szerkeszd meg a háromszög tengelyes tükörképét! Figyelj a megfelelő betűzésre! C A

B

t

84



4. Tükrözd a háromszöget a megadott tengelyre! Ha szükséges, először végezd el a tükrözést másolópapír segítségével. Betűzd a csúcsokat! t

C A

B

11. FELADATLAP 1. a) Szerkeszd meg a P pont tükörképét! t

b) Rajzold meg a PP’ egyenest! Milyen helyzetű ez az egyenes a tengelyhez képest?

85



2. a) Szerkessz merőlegest e egyenesre az A pontból! e

A

b) Állíts merőlegeseket a megadott pontokból az f egyenesre! A

D

f

B

C

TUDNIVALÓ Egy egyenesre merőlegest egy külső pontból úgy szerkesztünk, hogy a pontot az egyenesre tengelyesen tükrözzük, majd a kapott pontot az eredetivel összekötjük.

86



12. FELADATLAP 1. Tükrözd tengelyesen a színes szakaszokat a t egyenesre! Színezd ki a tükrözött és az eredeti vonalak által együtt meghatározott síkidomot a megfelelő színnel!

t

t

2. Gyűjtsetek össze a csoportban minél több információt a színezett síkidomokról! (oldalak hossza, szögeik, átlóik)

13. FELADATLAP Egy fénysugár a tükörből mindig úgy verődik vissza, mintha egy tükör mögötti pontból érkezne, mégpedig abból a pontból, amely az eredeti fényforrásunk tengelyes tükörképe. Figyeld meg a rajzot: az F pontból a tükörre érkező fénysugár úgy verődik vissza, mintha az F’ pontból indult volna. Ez azt is jelenti, hogy a visszaverődő és a beeső fénysugár ugyanakkora szöget zár be a tükörrel.

F’

F



87

1. Szerkeszd meg a visszaverődő fénysugarakat a rajzokon!

a)

b)

c)

B

A

2. A biliárdasztalon a golyó épp úgy viselkedik, mint a visszaverődő fénysugár: ugyanakkora szögben pattan vissza a falról, mint amekkora szögben érkezett. A rajzon egy biliárdasztal képét látod. A B-vel jelzett helyen lévő golyót a nyíl irányában meglökjük. Rajzold be, hogy hol éri el a falat, és szerkeszd meg a visszaverődő golyó útját!

B

3. A következő biliárdasztalon a P-vel jelzett golyót olyan erővel löktük meg, hogy három falról is visszapattant. Szerkeszd meg a golyó útját!

P

88



4. A biliárdasztalon a feketével jelzett helyeken lyukak találhatók. Hol kell pattannia a G-vel jelzett golyónak a pirosra színezett falon, hogy onnan az L-lel jelzett lyukba érkezzen? Szerkeszd meg a helyet, ahová célozni kell!

L

G

14. FELADATLAP 1. Tükrözd a köröket a t-vel jelzett egyenesekre! Jelöld a tükrözött kör középpontját O’-vel!

t

t

O

O

t t O O

Rajzold meg az OO’ szakaszt az ábrákon! Mit veszel észre?



89

2. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, és egy egyenest, ami átmegy valamelyik csúcsán! Tükrözd a háromszöget az egyenesre! 3. Rajzolj a füzetedbe egy háromszöget, és tükrözd valamelyik oldalegyenesére!

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. V álassz ki, és színezz a víztükörben látszó pontokat, vonalakat, idomokat! Keresd meg, és színezd be mindegyiknek az eredetijét is!

2. Keress a képen olyan részeket, amelyek egymás tükörképei lehetnek!

90



3. Színezd úgy az alakzatokat, hogy tükrös helyzetűek legyenek!

a)

b)

c)

4. Készítsd el színesrúd-készletből ezt az építményt, és építsd meg a tükörképét is! a)

b)



91

5. Tükrözz másolópapírral!

6. Karikázd be azokat az alakzat párokat, melyek tükörképei egymásnak! A tükörtengelyt is rajzold meg!

92



7. Keresd meg a tengely helyét! Ha kell, használj zsebtükröt! (Van, ahol több megoldás is van.)

Színezd be, hogy melyik ábránál mi lehetett az eredeti, amit tükröztünk!

8. a) Ábrázold, és kösd össze a pontokat a megadott sorrendben!

(2; 0) – (5; 0) – (6; 1) – (7; 3) – (6; 5) – (6; 6) – (7; 7) – (7; 8) – (6; 9) – (4; 10) – (4; 16) –

(5; 17) – (5; 19) – (3; 19) – (3; 10) – (1; 9) – (0; 8) – (0; 7) – (1; 6) – (1; 5) – (0; 3) – (1; 1) –

(2; 0) valamint (2; 4) – (3; 3) – (4; 3) – (5; 4) – (4; 5) – (3; 5) – (2; 4)

b) Tükrözd a kapott alakzatot az y tengelyre! Jelölj meg egymásnak megfelelő részeket az eredeti és a tükörkép alakzaton!

9. Tükrözd a képeket a megadott tengelyre! t

t



93

10. Ezek az ábrák tükrözéssel készültek. Rajzold meg a tengelyt! (Ha kell, használd a zsebtükröt.) Ahol lehet, keress több megoldást is! a) b)

c)

d)

11. Tükrözd a kisszéket a színes tengelyekre! A kép mindig legyen a tengellyel azonos színű!

Keress egymásnak megfelelő részleteket a fenti képeken!

12. Rajzolj a füzetedbe egy kört, és egy rajta kívül elhelyezkedő tengelyt! Tükrözd a kört a tengelyre! 13. Rajzolj a füzetedbe egy kört és egy tengelyt, ami metszi! Tükrözd a kört a tengelyre! 14. R ajzolj a füzetedbe egy kört, és szerkessz bele egy szabályos hatszöget! Tükrözd a hatszöget a körrel együtt a hatszög egyik oldal egyenesére! 15. Rajzolj egy hegyesszöget és tükrözd valamelyik szárának egyenesére! 16. R ajzolj egy hegyesszöget és egy tengelyt, ami mindkét szögszárat elmetszi! Tükrözd a szöget a tengelyre!

94



17. A háromszög csúcsait egy-egy paca eltakarja. Tükrözd úgy a megadott egyenesre, hogy nem rajzolod meg az eredetin a hiányzó részeket, de a képen a teljes háromszög látszik!

0632. MODUL tengelyes tükrözés

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok Készítette: Birloni Szilvia és Lénárt István

96



A tengelyes szimmetria TUDNIVALÓ Tengelyesen szimmetrikusnak nevezzük azokat az alakzatokat, melyekhez található olyan egyenes, melyre tükrözve az alakzat képe önmaga. Az egyenest az alakzat szimmetriatengelyének nevezzük. A természetben, az építészetben, művészeti alkotásokban és hétköznapi tárgyainkban sok helyen találkozhatunk szimmetrikus alakzatokkal.

1. FELADATLAP 1. a) Rajzold meg a képek szimmetriatengelyeit! Melyik képnek van a legtöbb szimmetriatengelye?

b) Színezd ki a képeket úgy, hogy tengelyesen szimmetrikusak maradjanak!

0632. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok


97

2. Színezd ki a képeket úgy, hogy 1, 2, 3, 4, 5, 6, illetve 0 szimmetriatengelye legyen!

3. A z alábbi parkettákat tengelyes tükrözéssel készítettük. Rajzolj be a különböző képeken más-más szimmetriatengelyeket, keresd meg, hogy a tükrözéssel hova kerülnek a színezett sokszögek, és színezd őket megfelelő színnel!

a)

b)

c)

d)

4. A megadott alakzatokból készíts a füzetedbe parkettamintát úgy, hogy tengelyesen szimmetrikus legyen!

a)

b)

c)

d)

98



2. FELADATLAP 1. Rajzold be az alakzatok összes szimmetriatengelyét! Ha bizonytalan vagy, akkor kivágással és hajtogatással ellenőrizz!

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

m)

n)

p)

g)

l)

o)

r)



99

3. FELADATLAP 1. Rajzolj a füzetbe egy A pontot és tőle 3 cm távolságra egy B pontot!

a) Keresd meg azokat a pontokat, és jelöld pirossal, amelyek A-tól és B-től is 2 cm távolságra vannak!

b) Jelöld pirossal azokat a pontokat, amelyek A-tól és B-től is 4 cm távolságra vannak!

c) Jelöld pirossal, azokat a pontokat, amelyek A-tól és B-től is 5 cm távolságra vannak!

Mit tapasztalsz? Fogalmazd meg, hogy mi a piros színű pontok közös tulajdonsága, és írd le a füzetbe! 2. Rajzolj a füzetedbe egy 4 cm hosszú CD szakaszt! Szerkeszd meg a szakaszfelező merőlegest!

a) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek C-hez közelebb vannak, mint D-hez!

b) Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek D-hez közelebb vannak, mint C-hez!

c) Mely pontokat nem színezted sem kékre, sem pirosra? Miért?

3. Rajzolj a füzetedbe egy 4 cm-es FG szakaszt, és szerkeszd meg a szimmetriatengelyeit! 4. Jóska és Pisti egy utcában laknak az erdő szélén. Elhatározzák, hogy közös rejtekhelyet építenek egy fa ágai közé. Úgy szeretnék kiválasztani a fát, hogy mindkettőjük házától ugyanolyan távol legyen. Segíts nekik! Jelöld be a térképen, hogy melyik fa jöhet szóba!

5. Rajzolj a füzetedbe egy e egyenest, és jelölj ki rajta egy P pontot! Szerkessz merőlegest az egyenesre a kijelölt pontban! (Segítség: Ha nem boldogulsz, nézd meg jól az előző feladatot!)

100



6. Egészítsd ki a szöveget! Egy szakasznak ……………… szimmetriatengelye van. Az egyik a szakasz egyenese, a másik a ……………….…………… A szakaszfelező merőleges minden pontja …………………………… távol van a szakasz két végpontjától. Ha egy egyenesre egy megadott pontjába merőlegest kell szerkeszteni, akkor a megadott ponttól ……………………………… távolságra kijelölünk az egyenesen két pontot, és megszerkesztjük az általuk meghatározott szakasz ………………………………………………

4. FELADATLAP 1. Szerkeszd meg a szimmetriatengelyeket! Csak körzőt és egyenes vonalzót használhatsz. szakasz

körcikk

körív

körszelet

2. Szerkeszd meg a szögtartományok szimmetriatengelyét!

3. Egészítsd ki a szöveget! A szögtartomány szimmetriatengelye ……………………………… a szöget. Ha kiválasztok egy pontot a szimmetriatengelyen a szögtartomány belsejében, akkor az a pont a szög mindkét szárától ……………………………… távolságra van.



4. Szerkeszd meg a szögfelezőket!

5. a) Szerkessz 45°-os szöget az egyenesszög kétszeri felezésével!

b) Szerkessz 135°-os szöget az egyenesszög kétszeri felezésével!

c) Szerkessz 225°-os szöget!

101

102



emlékeztető Szakaszfelező merőleges szerkesztése: 1. lépés: A szakasz egyik végpontjából, a szakasz felénél nagyobb sugárral kört rajzolunk.

2. lépés: A szakasz másik vég3. lépés: összekötjük a körök pontjából az előzővel megegyező metszéspontjait sugarú kört rajzolunk.

Egyenes adott pontjába merőleges szerkesztése: 1. lépés: a megadott ponttól azonos távolságra két pontot kijelölünk az egyenesen.

2-3. lépés: megszerkesztjük a két kijelölt pont által meghatározott szakasz felező merőlegesét, az előzőek szerint.

Szögfelező szerkesztése: 1. lépés: a szög csúcsa köré tetszőleges sugárral kört rajzolunk.

2-3. lépés: az előző metszéspontokból, azonos sugárral kört rajzolunk úgy, hogy messék egymást

4. lépés: a körök metszéspontját összekötjük a szög csúcsával



103

Tükrös háromszögek emlékeztető

A

A háromszög csúcsait az abc nagybetűvel, az óramutató járásával ellentétesen jelöljük. Az oldalak és a szögek betűzését ehhez viszonyítva állapítjuk meg az ábra szerint.

a c

b

Minden háromszög belső szögeinek összege 180˚.

C

g

b

B

a

A háromszögeket szögeik nagysága szerint három csoportra oszthatjuk: hegyesszögű

derékszögű

tompaszögű

A legnagyobb szöge hegyesszög.

A legnagyobb szöge derékszög.

A legnagyobb szöge tompaszög.

5. FELADATLAP 1. a) Rajzold meg a háromszögek tükörtengelyét, és színezd a részek tükörképét egyformára.

b) Keress a képeken egyforma nagyságú szögeket és azonos hosszúságú szakaszokat!

2. Egészítsd ki a szöveget!

A szimmetrikus háromszögnek van két …………………………………………………………… oldala.

Az egyenlőszárú háromszög szimmetriatengelye az egyik oldal ………………………………………

A szimmetriatengely felezi az …………………………… és a ………………………………………………

Az egyenlőszárú háromszög egyik szögfelezője ……………………………………………………………

104



TUDNIVALÓ

szárszög

Az olyan háromszöget, melynek van szimmetriatengelye, egyenlőszárú háromszögnek is nevezzük. Az ilyen háromszög tulajdonságai: – van két egyenlő hosszúságú oldala, ezeket szárnak nevezzük az általuk bezárt szög a szárszög, a harmadik oldal a háromszög alapja

szár

szár

– az alapon fekvő szögei egyenlők – a szimmetriatengely az alap szakaszfelező merőlegese – a szimmetriatengely felezi a szárak által bezárt szöget.

alap

A szabályos háromszög is egyenlőszárú, illetve szimmetrikus háromszög, melynek három szimmetriatengelye van. A szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő.

6. FELADATLAP 1. Számítsd ki a megjelölt szögeket az egyenlőszárú háromszögek esetén! a)

b)

c) 58°

a

a

g

b

b

32°

a

d)

e) b

b

122°

f)

48°

b

g 25°

a

54°

a a b



105

2. E gy tükrös háromszög alapja 3,5 cm, a rajta fekvő szögek 45°-osak. Szerkeszd meg a háromszöget! 3. E gy egyenlőszárú háromszög alapja 4 cm, és szimmetriatengelyének a háromszögbe eső szakasza 3,5 cm. Szerkeszd meg a háromszöget! 4. E gy tükrös háromszög szárszöge 45°-os, szimmetriatengelyének a háromszög belsejébe eső szakasza 5cm. Szerkeszd meg a háromszöget! 5. Szerkessz szabályos háromszöget, melynek oldala 5cm! 6. Rajzolj egy 3cm sugarú kört a füzetedbe!

a) Szerkessz bele egyenlőszárú háromszöget, melynek szárai 5cm-esek!

b) Szerkessz bele egyenlőszárú háromszöget, melynek alapja 3,5 cm!

7. E gy szabályos háromszög szimmetriatengelyének a háromszög belsejébe eső szakasza 3cm. Szerkeszd meg a háromszöget! 8. P árban dolgozzatok! Írjátok fel az egyenlő szárú háromszög tulajdonságait egy-egy papírra. Felváltva fogalmazzatok meg ezek segítségével „Ha ……….., akkor ……….. . „ típusú állításokat! (Például: Ha egy háromszög egyenlőszárú, akkor van két egyforma szöge.) A pár másik tagja mindig az állítás megfordítását mondja! (Például: Ha egy háromszögnek van két egyforma szöge, akkor egyenlőszárú.)

106



A kör EMLÉKEZTETŐ Egy megadott ponttól egyenlő távolságra levő pontok a síkban egy körvonalat alkotnak. A megadott pont a kör középpontja, a középpont és a körvonal pontjainak a távolsága a sugár. A sugár jele: r (a latin rádiusz szóból). Egy kör és egy egyenes egymáshoz képest háromféleképpen helyezkedhet el: 1. A körnek és az egyenesnek nincs közös pontja 2. A körnek és az egyenesnek egy közös pontja van. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az egyenes a kör érintője.

érintő

3. A körnek és az egyenesnek két közös pontja van. Ilyenkor az egyenes a kör szelője. A szelő körhöz tartozó szakaszát húrnak nevezzük.

szelő húr

7. FELADATLAP 1. Szerkeszd meg a szimmetriatengelyt!

a)

b)



107

c)

d)

e) A kör húrjának felező merőlegese átmegy a ................................................................. .

f) A kör érintője és az érintési pontba húzott sugár ............................................. egymásra.

2. Az előző feladat tapasztalatai alapján végezd el a szerkesztéseket!

a) Szerkeszd meg a kör középpontját!

b) Szerkessz érintőt a körhöz a P pontba!

P

c) Szerkeszd meg a kör középpontját!

d) Szerkessz érintőt a körhöz a D pontba!

D

108



e) Szerkessz a körök közös pontjába érintőt!

f) Szerkessz a körök közös pontjába érintőt!

g) Szerkeszd meg annak a körnek a közép- pontját, ami áthalad a háromszög mindhárom csúcsán!

h) Szerkeszd meg annak a körnek a középpontját, ami áthalad a húrtrapéz négy csúcsán!

i) Szerkessz kört, mely P pontban érinti a megadott kört és sugara 1,5 cm!

j) Szerkessz egymást érintő köröket, melyek sugara 2 cm illetve 1,5 cm!

P



109

3. Rajzolj 3-3 kört az ábrákba úgy, hogy érintsék mindkét egyenest, és a kapott ábra tükrös legyen!

a)

b)

c) Rajzolj mindkét esetben szimmetriatengelyeket!

d) Hol lesz a két egyenest érintő körök középpontja párhuzamos egyenesek esetén?

e) Hol lesz a két egyenest érintő körök középpontja metsző egyenesek esetén?

ÖSSZEGZÉS Egy kör bármely húrjának szakaszfelező merőlegese áthalad a kör középpontján. Emiatt a kör középpontja megszerkeszthető két nem párhuzamos húr szakaszfelező merőlegesének metszéspontjaként. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Emiatt a körhöz egy megadott pontjába úgy kell érintőt szerkeszteni, hogy a O megadott pontot összekötjük a kör középpontjával, és az így kapott sugárra merőlegest szerkesztünk. P

O

8. FELADATLAP 1. Rajzolj a füzetedbe 3 kört! Mindegyikbe rajzolj 2-2 húrt úgy, hogy a kapott ábra tükrös legyen, és a húrok

a) metsszék egymást;

b) egyik végpontja érintkezzen;

c) ne legyen közös pontjuk!

2. Rajzolj a füzetedbe 3 kört! Mindegyikbe rajzolj 3-3 húrt úgy, hogy a kapott ábra tükrös legyen, és

a) a húroknak legyen 1 közös végpontja;

b) a húrok alkossanak egy háromszöget;

c) a húroknak ne legyen közös pontjuk!

3. R ajzolj a füzetedbe 3 kört! Mindegyikbe rajzolj 4-4 húrt úgy, hogy a kapott ábra tükrös legyen, és a húrok négyszöget alkossanak! (Legyenek a négyszögek különbözők!)

110



A trapéz TUDNIVALÓ Az olyan négyszöget, melynek van egy párhuzamos oldal párja, trapéznak nevezzük. A párhuzamos oldalak távolsága a trapéz magassága. A párhuzamos oldalakat alapnak, a másik két oldalt szárnak nevezzük.

szár

alap magasság

sz á

r

alap Trapézok:

Speciális trapéz a húrtrapéz, mely köré a négy csúcsán áthaladó kör írható.

A paralelogramma, a rombusz, téglalap és a négyzet is trapéz, mert mindegyiknek van párhuzamos oldal párja.

9. FELADATLAP 1. R ajzold meg a húrtrapéz szimmetriatengelyét, és a megjelölt részek tükörképét színezd azonos színnel! (Ahol szükséges, rajzold is meg!)



2. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz (I) és melyik hamis (H)!

a) A húrtrapéz két szára egyenlő hosszú. I

b) A húrtrapéz átlója szimmetriatengely. H

c) A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúságúak. I

d) A húrtrapéz azonos alapon fekvő két szöge egyenlő nagyságú. I

e) A húrtrapéz átlói felezik egymást. I

f) A húrtrapéz magassága egyenlő a szimmetriatengely trapézon belüli szakaszával. I

g) A húrtrapéz szárán fekvő két szöge egyenlő egymással. H

h) A húrtrapéz szétdarabolható egy téglalapra és két egybevágó derékszögű háromszögre. I

i) A húrtrapézt bármely magassága két egybevágó derékszögű trapézra darabolja. H

3. Szerkessz a sávba húrtrapézt, melynek a) rövidebb alapja 1,5 cm, szárai 2 cm-esek!

c) hosszabb alapja 6 cm, a rajta fekvő szögek 45°-osak!

b) két alapja 4 cm és 3 cm!

d) rövidebb alapja 2 cm, és átlóji 3,5 cm-esek!

111

112



4. Szerkessz a füzetedbe húrtrapézt! a) Legyen a az alapja, b a szára, és a a megadott alapon fekvő szögek nagysága!

a b a

b) Legyen a az alapja, b a szára és f az átlója! a b f

TUDNIVALÓ A húrtrapéz olyan trapéz, mely az alapjainak közös felezőmerőlegesére tengelyesen szimmetrikus. A tengelyes szimmetriából következő tulajdonságai: – a két szára egyenlő hosszú – az azonos alapon fekvő két szöge egyenlő nagyságú – átlói egyenlő hosszúságúak



113

A deltoid 10. FELADATLAP 1. a) Tükrözd a háromszögeket a t egyenesre! A kapott alakzatok közül karikázd be a deltoidok betűjelét!

t

a

b

c

d

e

f

b) Színezd egyforma színnel azokat a szögeket, amelyek a tükrözés miatt egyenlők!

2. R ajzold meg a deltoidok szimmetriatengelyét! (Lehet több is.) Keresd meg a színes szakaszok tükörképét, és színezd őket azonos színnel!

3. Rajzold meg a deltoidok szimmetriatengelyét! (Lehet több is!) Keresd meg a színes szögek tükörképét, és színezd őket azonos színnel!

114



10. FELADATLAP 4. A következő állításokról döntsétek el, hogy minden esetben igazak, soha nem teljesülnek, vagy lehet hogy teljesülnek. Párban dolgozzatok úgy, hogy az egyikőtök olvassa fel az állítást, és tegyen javaslatot a megoldásra. Ha a megoldással egyetért a pár másik tagja, akkor mindketten tegyetek egy X-et a táblázat megfelelő oszlopába! Vita vagy tanácstalanság esetén segíthet egy kivágott téglalap megfigyelése. mindig

lehet

soha

1. A téglalapnak van két szimmetriatengelye. 2. A téglalapnak van két hegyesszöge. 3. A téglalap átlói merőlegesek egymásra. 4. A téglalap átlói egyforma hosszúak. 5. Az oldalak felező merőlegesei szimmetriatengelyek. 6. A téglalap átlói felezik egymást. 7. A négyzet is téglalap. 8. A téglalap egy speciális trapéz. 9. A téglalap szemközti oldalai egyenlők. 10. A téglalapnak van tompaszöge. 11. A téglalap 2-2 szomszédos oldala egyenlő. 12. A téglalapnak minden szöge egyenlő. 13. A téglalap egyben rombusz is. +1 A téglalap szomszédos szögeinek összege 180˚.

TUDNIVALÓ Az olyan tengelyesen szimmetrikus négyszöget, melynek valamelyik átlója szimmetriatengely, deltoidnak nevezzük. A deltoid szimmetriából adódó tulajdonságai: – van két szemközti szöge, ami egyenlő; – van két-két szomszédos egyenlő hosszúságú oldala; – a szimmetriaátló merőlegesen felezi a másik átlót; – a szimmetriaátló felezi a szögeket.

A deltoidok között van konvex és konkáv is. A rombusz és a négyzet speciális deltoidok.



115

11. FELADATLAP A következő feladatoknál a füzetedbe dolgozz! Készíts vázlatot, és írd le a szerkesztés menetét is! 1. Szerkessz deltoidot, melynek két oldala 4 cm és 6 cm, szimmetriaátlója 8 cm! 2. Szerkessz deltoidod, melynek két oldala 3,5 cm és 5 cm, és az általuk bezárt szög 60°-os! 3. Egy deltoidnak a két oldala 3 cm és 4,5 cm. Az az átlója, amelyik nem szimmetriatengely 4 cm. Szerkeszd meg a deltoidot! 4. Szerkessz rombuszt, melynek átlói 3,5 cm és 4,5 cm-esek! 5. Egy deltoid szimmetriaátlója 6 cm, a másik átlója 4 cm. Utóbbi átló 1 : 2 arányban osztja két részre a szimmetriaátlót.

116



Tükrös négyszögek TUDNIVALÓK Tükrös négyszögeknek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek van szimmetriatengelye. Ilyenek a deltoid, a húrtrapéz, a rombusz, a téglalap és a négyzet.

Két-két szomszédos oldala egyenlő. Van két egyenlő szemközti szöge. A másik két szöget felezi a szimmetriaátló. A szimmetriaátló felezi a másik átlót.

A húrtrapéz olyan trapéz, mely köré mind a négy csúcsún átmenő kör írtható

A deltoid olyan négyszög, amelynek van szimmetriaátlója

A húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus az alapjai közös felezőmerőlegesére. Szárai egyenlő hosszúak. Az azonos alapon fekvő két szöge egyenlő. A száron lévő két szöge 180°-ra egészíti ki egymást. Átlói egyenlő hosszúak.

A rombusznak két szimmetriatengelye van, ezek az átló egyenesei. Minden oldala egyenlő. Szemközti szögei egyenlők. Szomszédos szögei 180°-ra egészítik ki egymást. Átlói felezik egymást és derékszöget zárnak be. A rombusz speciális deltoid.

A téglalap olyan négyszög, melynek minden szöge egyenlő

A rombusz olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő

A téglalapnak két szimmetriatengelye van, melyek az oldalak felező merőlegesei. Szögei derékszögek. Szemközti oldalai egyenlők. Átlói egyenlő hosszúságúak, és felezik egymást. A téglalap speciális húrtrapéz

A négyzetnek négy szimmetriatengelye van: az átlók egyenesei és az oldalfelező merőlegesek. Szögei derékszögek. Átlói merőlegesen felezik egymást. A négyzet speciális téglalap, deltoid, rombusz és húrtrapéz is egyben.

A négyzet olyan négyszög, melynek minden oldala és minden szöge egyenlő



117

Tükrözés és szimmetria a gömbön (Lénárt-gömb) Keressünk olyan tárgyakat a környezetünkben, melyek gömbölyűek és szimmetrikusak! Néhány példa:

A teniszlabda szimmetriatengelye két, egymásra merőleges gömbi egyenes, vagyis főkör.

Ha a diót héjastul képzeljük el. (Természetesen, sehol sincs szó tökéletes szimmetriáról – csak a mi képzeletünk tekinti egyformának a csak körülbelül egyforma részeket.)

Ha a sünit tökéletes gömbnek képzeljük.

Ősi japán népművészet a Temari. Tűvel-fonállal varrnak puha labdára gömbi díszeket, mintázatokat.

118



Rajzoljatok a gömbre! Jelölje t a gömbi tükörtengelyt – a szimmetriatengelyt. A T1 és T2 pontok egymás tükörkép-pontjai, mert a t gömbi egyenes akármelyik pontjától egyforma messze esnek. Például, a zöld ponttal két, egyforma hosszú, zöld gömbi szakasz köti össze a T1 és T2 pontokat; ugyanígy, a kék ponttal két, egyforma hosszú kék gömbi szakasz köti össze őket. Ugyanez igaz a t gömbi egyenes bármelyik más pontjára is, például arra a piros pontra, amelyik a tengely valamennyi pontja közül legközelebb esik a T1 ponthoz is, és a T2 ponthoz is. Ha már ismerjük a T1 és T2 pontokat, akkor ezt a pontot úgy szerkeszthetjük meg, hogy megrajzoljuk a T1T2 gömbi szakaszt, és megjelöljük a szakasznak a tengellyel vett metszéspontját. Ez a metszéspont a T1T2 gömbi szakasz felezőpontja lesz. A T1T2 gömbi szakasz merőleges a szimmetriatengelyre. Ha adott egy T1 pont, és a t tükörtengely, akkor a T2 tükörképi pont megszerkesztéséhez a síkon megismert módszereket is felhasználhatjuk. Próbáljunk ki a gömbvonalzó segítségével másféle, a gömbi merőleges szerkesztésénél már megismert módszert!

Megszerkesztjük a tengely egyik összekötjük a megadott T1 sarkpontját a gömbvonalzóval, ponttal,

megmérjük a T1 pont és a t tengely közötti gömbi távolságot, és ezt a távolságot körzővel felmérjük a t tengely másik oldalára,

így kapjuk a T2 tükörképi pontot.

Hogyan szerkeszthetjük meg valamennyi, egy szakasz két végpontjától egyenlő messze eső pontot? Tekintsük a két végpontot egymás tükörpontjainak, és szerkesszük meg a tükörtengelyüket, ami a két pontot összekötő szakasz felező merőlegese lesz.



119

Két szimmetriatengelyt találunk. A zöld szimmetriatengely a két szögcsúcs egyenlítője, ezért a gömbvonalzó nyergén levő sarkpont és a skálázott alapfőkör segítségével könnyen megszerkeszthetjük. A kék szimmetriatengely a szögtartomány mindkét szögének szögfelezője. Ugyanúgy szerkeszthetjük meg, mint a síkbeli szögtartomány szögfelezőjét. Annyi a könnyebbség, hogy a szögcsúcstól egyenlő távol eső pontokat a másik szimmetriatengely segítségével is kijelölhetjük. Földünk majdnem tökéletes gömb, amelyen a földrajzi koordináta-rendszer segítségével tájékozódhatunk. Keressünk itt olyan alakzatokat, amelyek az Egyenlítőre szimmetrikusak! Kezdjük pontokkal! Melyek a legegyszerűbb esetek a gömbön? Egyik eset, mikor a pont éppen sarkpont. Ekkor a tükörképe csakis a másik sarkpont lehet. Milyen különlegessége van ennek az esetnek? Ennek a két tükörkép-pontnak az Egyenlítő bármelyik pontjától mért távolsága éppen 90 gömbi lépés. Van-e a síkon olyan szimmetriatengely, és hozzá két tükörkép-pont, hogy a tükörkép-pontoknak a tengely bármelyik pontjától mért távolsága ugyanaz az ÁLLANDÓ érték, akárhová megyünk is a tengelyen? Síkon ez lehetetlen; gömbön is csak akkor lehetséges, ha a két pont átellenes, és a tengely a hozzájuk tartozó egyenlítő. Másik, különleges eset, amikor a pont éppen az Egyenlítőre esik. Ekkor a tükörképe – saját maga. Nehéz feladat: Keressünk a földgömbön földrajzi helyeket, amelyek (nagyjából) egymás tükörképei az Egyenlítőre nézve! Milyen földrajzi helyek adják a legkönnyebb, legegyszerűbb megoldást? Egyrészt a sarkpontok, az Északi- és Déli-sark, amelyek egymás tükörképei; másrészt bármilyen földrajzi hely, amelyik körülbelül az Egyenlítőre esik – hiszen ez azonos saját, az Egyenlítőre vonatkozó tükörképével. Példák: A Kenya-hegycsúcs Kenyában, Afrikában, Quito Ecuadorban, Dél-Amerikában. Rajzoljuk meg az alábbi példákat: Szimmetrikus-e, tükörképi pár-e a két zöld alakzat egymáshoz képest? A két kék alakzat egymáshoz képest? Igen, akármelyik pontjukat kiválasztva, ellenőrizhetjük, hogy ezek tükörképi párok. Vegyük le most a két félgömbfóliát, és próbáljuk meg bármilyen térbeli mozgatással, tologatással, forgatással a két zöld alakzatot egymással fedésbe hozni! Semmiképpen sem sikerül! Ugyanilyen eredményre jutunk a két kék tartomány esetében is. Azt tapasztaljuk tehát, hogy a gömbön léteznek olyan tükörképi párok, amelyeket semmiképpen sem lehet egymással fedésbe hozni!

120



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. a) Színezd ki a zászlókat úgy, hogy tengelyesen szimmetrikusak legyenek! Ha nem tudod, nézz utána, hogy melyik milyen országé, és hogy néz ki eredetileg!

b) Színezd ki a címereket úgy, hogy tengelyesen szimmetrikusak maradjanak! Nézz utána, hogy melyik minek a címere, és hogyan néz ki eredetileg!

2. Rajzolj az ábrába egy-egy lehetséges tengelyt, és keresd meg a színezett szakasz képeit!

3. a) Rajzolj két egyforma sugarú kört, amik metszik egymást! Hány szimmetriatengelye van a két körből álló alakzatnak? Rajzold be a tengelyeket!

b) Rajzolj két egyforma sugarú kört, amik nem metszik egymást! Hány szimmetriatengelye van a két körből álló alakzatnak? Rajzold be a tengelyeket!



121

4. Másold át a következő ábrákat másolópapírra, vágd ki, és hajtogatással keresd meg a szimmetriatengelyeket! Rajzold be az összes szimmetriatengelyt! 1

2

3

4

5

6

7

8

9

122



5. S zerkeszd meg a rajzok szimmetriatengelyét! Ha bizonytalan vagy valamelyiknél, akkor rajzold át másolópapírra, és keresd meg először hajtogatással a tengelyt! Vigyázz, van, ahol több tengely is van!

6. Van két négyzet, amelyek együtt tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkotnak. Rajzold le őket! Keress minél több elrendezést! A tengelyt vagy tengelyeket is rajzold meg! 7. Egy szabályos hatszög és egy kör együtt szimmetrikus alakzatot alkot. Rajzolj ilyen alakzatokat! 8. a) Rajzolj a füzetedbe egy 5 cm-es DF szakaszt. Szerkeszd meg a szakaszfelező merőlegesét! Keress olyan pontokat, amelyek a szakasz mindkét végpontjától 6 cm-re vannak!

b) Rajzolj a füzetedbe egy a egyenest, és jelölj ki rajta egy pontot. Szerkessz merőlegest az egyenesre a kijelölt ponton át!

9. Rajzolj három különálló 4 cm sugarú kört, és jelöld a középpontokat is. Mindháromnak a kerületén jelölj ki egy A és egy B pontot, egymástól 3,5 cm-re!

a) Az első körbe rajzold meg az AB húrt, és szerkeszd meg annak felező merőlegesét!

b) A második körben színezd kékkel a megjelölt pontok által meghatározott kisebb körívet, és szerkeszd meg a szimmetriatengelyét!

c) Aharmadik körben kösd össze az A és a B pontokat a kör középpontjával! Szerkeszd meg az így kapott hegyesszög szögfelezőjét!

Hasonlítsd össze a három ábrát! Mit tapasztalsz?



123

10. Rajzolj egy hegyesszöget!

a) Szerkeszd meg a szögfelezőjét!

b) Jelölj meg a szögfelezőn egy P pontot, és szerkeszd meg a P pont távolságát a szög két szárától! (A pontból állíts merőlegest a szög mindkét szárára!)

c) Mérd le a megszerkesztett távolságokat.

11. Szerkessz egy 45˚-os szöget! a) Szerkeszd meg a szögfelezőjét! b) Jelölj meg egy pontot a szögfelezőn. Szerkeszd meg, és becsüld meg a szögszáraktól való távolságát! c) Mérd le a megszerkesztett távolságokat! 12. a) A kalózok megtalálták egy kincses sziget térképét. Egy folyó és a folyó két partján egy-egy fa található rajta. A térkép szövege szerint a kincset a folyómederben ásták el, a két fától egyenlő távolságra. Készítsd el a térkép vázlatát, és jelöld be rajta a kincs helyét! b) Az országút mentén villanyvezeték fut. Két tanya van, az országúttól különböző távolságban, de az út azonos oldalán. Szeretnék mindkét helyre bevezetni az áramot. Ehhez állítaniuk kell az út mentén egy oszlopot, amelyről mindkét házba kábel vezet. Hogyan válasszák meg az oszlop helyét, hogy ugyanolyan hosszú kábelre legyen szükségük? (Készíts rajzot!) 13. a) Rajzolj egy egyenesszöget (18 °-os), és felezd el! b) Rajzolj egy A kezdőpontú félegyenest, és szerkessz rá az A pontba 90˚-os szöget! c) Szerkessz 45˚-os szöget! 14. A két testvér egy útelágazáshoz ért. Elváltak egymástól, és egyedül folytatták vándorútjukat. Füles, a mókus, aki eddig kísérte őket, tanácstalanul álldogált az erdő szélén, az elágazásban. Mindkét fiút szerette, így nem tudta eldönteni melyikükkel tartson. Végül elhatározta, hogy ő is egyedül megy tovább, de úgy, hogy a két fiútól egyenlő távol vezessen útja. Merre menjen Füles? Készíts térképet! 15. a) Rajzolj egy egyenest, és jelölj ki rajta egy pontot! Szerkessz merőlegest az egyenesre a ponton át! b) Rajzolj egy egyenest és jelölj ki egy A pontot, ami nem esik az egyenesre. Szerkessz merőlegest az egyenesre az A ponton át! 16. Hédi és Gréti versenyt akarnak úszni. A folyó egyik partjáról indulnak, és a másik parton mindketten a saját stégünkhöz érkeznek. Honnan kell rajtolniuk, hogy igazságos legyen a verseny. (Vagyis, hogy mindkettőjüknek ugyanannyit kelljen úszni.) Készíts térképet, és szerkeszd meg a starthelyet a térképen!

124


17. Á llapítsd meg a térképvázlat alapján, hogy milyen messze van a fa (F) az úttól (u), ha a térképen 1 cm távolság a valóságban 200 m-nek felel meg! Először szerkeszd meg a távolságot jelentő szakaszt, és csak utána mérj!

18. A z út mentén, egy megadott helyre egy 2 m-es póznát függőlegesen akarnak felállítani. A tetejét két huzallal akarják a földhöz rögzíteni, a pózna aljától 1,5 méteres távolságban. Milyen hosszú huzal szükséges a rögzítéshez? Szerkessz méretarányos ábrát (1 m-nek a rajzon feleljen meg 1 cm), és mérd le a szükséges adatot!


F

u

út pózna helye

19. Kókuszdiót szüretelünk. Egy három méter magas törzsű pálmához 5 m-es létrát szeretnénk támasztani úgy, hogy az épp a törzsének a tetejéig érjen. Milyen távolra kell tenni a létrát a fa aljától? Szerkessz a füzetedbe méretarányos ábrát (1 m-nek a rajzon feleljen meg 1 cm), és mérd le a szükséges adatot!

20. E gy mesterséges halastavat szeretnének vízzel ellátni a közeli folyóból. Ennek érdekében egy csatornát kell építeni, mely összeköti a tavat a folyóval. Segíts a tervezésben! Rajzolj vázlatot a füzetedbe, ahol a tavat egy 3 cm sugarú kör, a folyót pedig egy egyenes jelképezi! Szerkeszd meg a legrövidebb csatornát!



125

21. a) Rajzold meg a térképen a Pápától és Székesfehérvártól egyenlő távolságra levő pontokat! Mely települések vannak egyforma messze a két várostól?

b) Tekintsük egyenesnek a Dunát Érd és Dunaújváros között (rajzold be az egyenest). Szerkeszd meg Székesfehérvár távolságát a Dunától, és mérd meg! Mekkora ez a valóságban, ha a térkép méretaránya 1 : 900 000-hez?

c) Adj fel hasonló rejtvényt a térképről társaidnak!

22. A térkép három szigetet ábrázol a tengeren. Hova tűzzék ki a világítótorony helyét, hogy mindhárom szigettől egyenlő távol legyen?

126



23. A számháborúban a várvédők a zászlót egy fa lombjába rejtették. A fa a patak partján áll, mégpedig egy ösvény mellett, ami a két országúttól egyenlő távolságra halad. Sajnos a térkép csak az országutakat és a patakot jelzi. Rajzold meg az ösvényt, és jelöld be a rejtekadó fa helyét!

24. Blankának különleges, háromszög alaprajzú kertje van. Szeretne a közepére egy nyárfát ültetni, mindhárom kerítéstől egyenlő távolságban. Szerkeszd meg a fa helyét! Szerkeszd meg a kerítésektől mért távolságát is!

25. a) Rajzolj egy 5 cm sugarú kört! Jelölj ki a kerületén két pontot (A, és B), és rajzold meg az AB húrt! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek A-tól és B-től egyenlő távolságra vannak!

b) Most rajzolj egy másik húrt az előző körbe! Szerkeszd meg ennek a végpontjától egyenlő távol lévő pontokat is! Mit tapasztalsz?

26. Ennek a körnek elfelejtettük megrajzolni a középpontját. Meg tudnád szerkeszteni? Ha nincs ötleted, nézd meg az előző feladat megoldását!



127

27. a) Rajzolj egy 4 cm-es AB szakaszt! Szerkessz olyan kört, ami áthalad a szakasz mindkét végpontján! Hány megoldás van? Hol lehet a keresett kör középpontja?

b) Rajzolj egy 4 cm-es CD szakaszt! Szerkessz olyan kört, ami áthalad a C és D pontokon és 5 cm a sugara! Hány megoldást találtál?

28. Rajzolj három pontot (F, G, H), amelyek nem esnek egy egyenesbe! Szerkessz olyan kört, ami áthalad az F és G pontokon! Szerkessz kört, ami áthalad a G és H pontokon! Tudsz olyan kört rajzolni, ami átmegy mindhárom ponton? 29. Párosítsd össze a síkidomokat a nevükkel! Nevek: négyzet, téglalap, húrtrapéz, rombusz, szabályos háromszög, szabályos ötszög, paralelogramma.

30. Egy tükrös háromszög egyik szárának két végpontja: (–2; 5) és (1; 2). Add meg a harmadik csúcs koordinátáit! (Keress több megoldást!) 31. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott a tengelyének egyenese, és a) két csúcsa b) egyik szöge

A

A

B B

c) egy csúcsa és szárának egy-egy pontja

128



32. R ajzold meg a négyszögek szimmetriatengelyeit, és színezd a megjelölt részek tükörképét azonos színnel!

33. Olvasd el az állításokat, és tegyél X jelet a megfelelő helyre! deltoid 1. Van szimmetriatengelye. 2. Van két szemközti oldala, melyek egyenlők. 3. Van két szemközti szöge, melyek egyenlők. 4. Átlói merőlegesen felezik egymást. 5. A szimmetriatengely felezi a szögeket. 6. A szimmetriatengely felezi az oldalakat. 7. Átlói felezik egymást. 8. Átlói merőlegesek egymásra. 9. Belső szögeinek összege 180°. 10. Átlói egyenlő hosszúak.

húrtrapéz

mindkettő

egyik sem

0641. MODUL számelmélet Számoljunk a maradékokkal Készítette: Pintér Klára

130

matek „A” – 6. évfolyam – 064. számelmélet


1. feladatlap 1. Keressünk szabályt, amely szerint az alábbi ábra minden részébe számot írhatunk!

144

11

8

9

72

104 2. Az alábbi ábrákon mindegyik körbe írt szám azoknak a számoknak a szorzata, amelyekbôl nyíl vezet a körhöz. Töltsd ki a köröket!

3

12 3. Az alábbi diagram minden körébe azoknak a számoknak a szorzatát írjuk, amelyekbôl nyíl vezet a körhöz. Töltsd ki a köröket!

7

3

0

2

0641. Számoljunk a maradékokkal


131

TUDNIVALÓ 12 többszöröse a 3-nak, mert 3 ∙ 4 = 12, azaz van olyan természetes szám, amellyel a 3-at megszorozva 12-t kapunk. 3 osztója 12-nek, mert 3 ∙ 4 = 12, azaz van olyan természetes szám, amellyel a 3-at megszorozva 12-t kapunk. 12 osztható 3-mal, mert 3 ∙ 4 = 12, azaz van olyan természetes szám, amellyel a 3-at megszorozva 12-t kapunk. Általánosan: a osztója b-nek, ha van olyan c természetes szám, amellyel a-t megszorozva b-t kapjuk (ahol a, b természetes szám) (a ∙ c = b). Jele: a|b

TUDNIVALÓ Az 1 minden természetes számnak osztója. A 0 minden természetes számnak többszöröse.

2. feladatlap 1. Melyik útvonalon érheti el az űrhajós az űrhajóját, ha mindegyik pontból csak a többszörösére léphet a vonalak mentén?

28 14

86 48

94

24

7 12

48 1

12

5 6 3

24

192

90 150 150

Figyeljük meg a következőket: – Mit mondhatunk az útvonal 10. és 2. eleméről? – Szerepelhet-e ugyanaz a szám többször is az útvonalon? – Milyen számról léphetnénk a 0-ra? – Melyik számra léphetnénk a 0-ról? – Milyen számról léphetnénk az 1-re? – Melyik számra léphetnénk az 1-ről?

576

192

30

1152

180

96

15

720

96

0

18

188

132



2. Papírcsíkokra mondatokat írtak, majd mindegyiket kettétépték. Kösd össze azokat a papírcsíkokat, melyek egy darabban voltak eredetileg. Írd le a kapott mondatokat! 12-nek osztója

3-mal

12 osztója

a 36-nak

12 osztható

a 4-nek

12 többszöröse

a 4 és a 6

3. Egy hegymászó a hegy lábától a csúcsra igyekszik. A számokkal jelzett pontokra léphet a vonalak mentén úgy, hogy egy számról felfelé mindig csak a többszörösére, lefelé pedig csak az osztójára léphet. Hogyan juthat fel a hegy csúcsára? 216 80 72 24

6

54 27

9

7

40 20

5

12

4

3

4. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indokoljunk! Ha az állítás hamis, írjuk le a tagadását!

a) A 12-nek van 12-nél nagyobb osztója.

b) Minden szám osztója önmagának.

c) A 0 minden természetes számnak többszöröse.

d) A 0 páros szám.

e) A 12-nek van 12-nél kisebb pozitív többszöröse.

5. Hányféle olyan egész centiméter oldalhosszúságú téglalap van, melyek területe 24 cm 2, ha az egybevágókat nem tekintjük különbözőnek? Rajzoljuk le ezeket!



133

3. FELADATLAP 1. Válaszoljunk a következő kérdésekre a szorzatok kiszámítása nélkül!

Hányszorosa a 6-nak a 6 háromszorosának a négyszerese?

Hányszorosa a 4-nek a 4 ötszörösének a kétszerese?

Hányszorosa a 7-nek a 14 ötszöröse?

Hányszorosa a 9-nek a 27 négyszerese?

2. Számegyenesen két szöcske ugrál: Hipp és Hopp. A 0-ból indulnak. Hipp 3 egység hosszúkat ugrik, Hopp 6 egység hosszúkat.

a) Jelöld a számegyenesen az ugrásaikat, Hipp ugrásait piros nyíllal, Hopp ugrásait kékkel! 0

1

2

4

5

6

7

8

9 10 11 12

b) Sorold fel, mely számokra ugrottak a szöcskék, mielôtt átugrottak a 37-es ponton. Hipp számai közül karikázd be kékkel azokat, amelyekre Hopp is ráugrott, és Hopp számai közül karikázd be pirossal azokat, amelyekre Hipp is ráugrott!

Hipp:

Hopp:

3

c) Egészítsd ki az alábbi mondatokat úgy, hogy az ábráról szóló igaz állítások legyenek!

– Hipp a ………(szám) többszöröseire ugrik.

– Hopp a ………(szám) többszöröseire ugrik.

– H…pp minden számára H…pp is ráugrik.

– A ……… minden többszöröse ……… is többszöröse.

– Ha egy szám osztható ………, akkor osztható ……… is.

3. a) Helyezd el az alábbi számokat a halmazábrában! 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 18; 22; 28; 38; 44; 53; 58.

Osztható 2-vel

b) A halmazábra melyik része maradt üresen?

Osztható 4-gyel

134



c) Egészítsd ki az alábbi mondatokat úgy, hogy az ábráról szóló igaz állítások legyenek! – Ha egy szám osztható ………, akkor osztható ……… is. – A ……… minden többszöröse többszöröse a ……… is. – Minden ……… osztható szám osztható ……… is. – Van olyan ……… osztható szám, amelyik nem osztható ………

összegzés Bármely természetes szám többszörösének a többszöröse az eredeti számnak is többszöröse. Bármely természetes szám osztójának az osztója az eredeti számnak is osztója.

4. FELADATLAP 1. A szorzatok kiszámítása nélkül döntsd el, hogy a szorzat páros vagy páratlan! Jelöld kékkel a páros, pirossal a páratlan szorzatokat!

2. A körökben szorzatok, a téglalapokban osztók állnak. Kösd össze a szorzatokat osztóikkal! (A szorzatoknak lehet olyan osztója is, ami nincs felsorolva.) 10 · 7

3 · 14

2

3

4

21 · 4

5

6 · 10

6

7



135

3. Írd a halmazábra megfelelő részébe az alábbi szorzatokat! 14 · 5;

29 · 21;

25 · 37;

42 · 11;

65 · 77;

19 · 28;

32 · 33

Írj további szorzatokat a halmazábrába!

Osztható 2-vel

Osztható 3-mal

4. a) Írj az alakzatok helyére számokat úgy, hogy a szorzat osztható legyen 10-zel! Alakzatonként melyik a beírható legkisebb pozitív természetes szám?

6 ∙  ∙ 7

3 ∙ 11 ∙

=

 ∙ 9 ∙ 15

 =

=

b) Írj az alakzatok helyére számokat úgy, hogy a szorzat osztható legyen 9-cel és 7-tel! Alakzatonként melyik a beírható legkisebb pozitív természetes szám?

 ∙ 9 ∙ 15

 =

5 ∙  ∙ 8

=

3 ∙ 11 ∙

=

TUDNIVALÓ Szorzatnak minden tényezője osztója. Szorzat minden tényezőjének osztója a szorzatnak is osztója.

136



5. FELADATLAP 1. A számegyenesen két szöcske ugrál, mindketten az 1 pontból indulnak. Hipp 3 egység hosszúságúakat, Hopp 4 egység hosszúságúakat ugrik. 0

1

2

3

4

5

a) Sorold fel az első 10 ugrásuk helyét! b) Melyik pontba jutottak az 5., a 25., a 82., a 100. és az 1000. ugrással? c) Állapítsd meg az alábbi pontokról, melyik szöcske ugorhatott rá, ha elég sokat ugrált! 45; 56; 77; 94; 184; 541; 3211.

2. A számokat láncra fűztük az ábra szerint.

a)

1

4

0

3

2

b)

7 5

6

8

1

2

5

6

9

10

0

3

4

7

8

11

9

12

Hogyan állnak a nyilak az alábbi számhármasok között? Mindkét láncban vizsgáld meg!

a) 15 – 16 – 17

b) 32 – 33 – 34

c) 58 – 59 – 60

d) 241 – 242 – 243

3. A 40-nél nem nagyobb számok 4 szobában gyülekeznek. Mi lehet a szabály, ha tudjuk, hogy 3 szám eltévedt. Keresd meg az eltévedt számokat, és vezesd őket a helyükre!

5

13 1 21

17

37

7

33

25

40

9 14 22

38

20 36

28

10 26

18

24 32

12

2

26

4

29

30

16

39

27

23 3

31

35

6

11

8

19

15



137

4. Most ősz van. Milyen évszak lesz

a) 3 évszak múlva;

b) 7 évszak múlva?

c) 41 évszak múlva;

d) 1282 évszak múlva;

Számolhatsz az „évszakórán” is.

TUDNIVALÓ 4-gyel osztva a számok 4-féle maradékot adhatnak: 0, 1, 2, 3. A 4-es osztási maradékok alapján a természetes számok 4 csoportba sorolhatók: az egy csoportba tartozó számok ugyanazt a maradékot adják 4-gyel osztva. Az egy csoportba tartozó számok különbsége 4 többszöröse. Páros számok összege páros. Két páratlan szám összege páros. Páros számú páratlan szám összege páros. Egy páros és egy páratlan szám összege páratlan. Páratlan számú páratlan szám összege páratlan. A páros számok 0 maradékot adnak 2-vel osztva, a páratlan számok 1 maradékot. Fogalmazzuk meg a 2-vel való osztási maradékokkal a fentieket: páros + páros = páros  maradékokkal: 0 + 0 = 0, páros + páratlan = páratlan  maradékokkal: 0 + 1 = 1, az összeg maradéka egyenlő a maradékok összegével, páratlan + páratlan = páros  maradékokkal: 1 + 1 = 2  0, összeg maradéka egyenlő a maradékok összegének maradékával.

6. FELADATLAP 1. Minden katicabogárnak hét pöttye van. Rajzold be a pöttyöket, majd számold össze, hány pöttye van az egy levélen pihenő katicáknak. Hány pöttye van a katicáknak összesen?

Az egyik levélen 2 katica van:

A másik levélen 3 katica van:

138



2. A z iskolakezdés előtt pont 4 héttel érkeztünk haza a nyaralásból, az iskola 3 hete kezdődött. Hány napja érkeztünk haza? Számolj kétféleképpen! 3. Hányszorosa a 7-nek:

a) a 7 négyszeresének és hatszorosának összege;

b) a 7 32-szeresének és 68-szorosának összege;

c) a 7 462-szeresének és 538-szorosának összege?

TUDNIVALÓ Többszörösök összege is többszörös. 4. Két kosárban retek van, melyeket ötösével csomókba kötnek. Az egyik kosárban 45 darab, a másikban 75 darab retek. Hány csomó retek lesz?

TUDNIVALÓ Ha egy összeg mindkét tagja osztható egy természetes számmal, akkor az összeg is osztható vele. 5. Nagymama baracklekvárt főz. Az első adagból 18 üveggel, a másodikból 16 üveggel lett. A kamrában egy polcra 6 üveget rak. Hány polcra kerülnek baracklekváros üvegek? Számolj többféleképpen! 6. A CD-ket 12-esével csomagolták dobozokba. Először 60 darabot, utána 30 darabot csomagoltak be. Hány maradt ki?

TUDNIVALÓ Ha egy összeg egyik tagja osztható egy természetes számmal, a másik pedig nem, akkor az összeg sem osztható vele. 7. Az alábbi összegek közül karikázd be

a) a 10-zel oszthatókat kékkel;

b) a 25-tel oszthatókat pirossal;

c) az 5-tel oszthatókat zölddel;

d) a 9-cel oszthatókat sárgával!

9000 +17

25 + 2700

50 + 36

125 + 90

150 + 180

360 + 450

5400 + 225

72 + 4000

8. Írj a 18

számba a

45 + 2700

helyére számjegyet úgy, hogy a kapott háromjegyű szám osztható legyen

a) 5-tel;

b) 10-zel;

c) 3-mal;

d) 9-cel!

Keresd meg az összes lehetőséget!



139

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Írjuk fel az alábbi számok 10 egymás utáni többszörösét!

a) 3

b) 6

c) 13

2. Keressük meg az alábbi számok összes osztóját!

a) 36

b) 54

c) 29

3. Kati a 10-es busszal jár iskolába. Hány járat indul 8 óráig, és mikor, ha az első busz reggel 5-kor indul és 8-ig 12 percenként jár? 4. Peti belázasodott, most bevett egy lázcsillapítót, amiből négyóránként kell bevennie egyet. Mennyi időre elég a megmaradt 8 lázcsillapító tabletta? 5. Hányféle olyan egész centiméter élhosszúságú téglatest van, melyek térfogata 12 cm3, ha az egybevágókat nem tekintjük különbözőnek? 6. Mivel osztható biztosan

a) két egymás utáni természetes szám szorzata;

b) három egymás utáni természetes szám szorzata?

7. Legkevesebb hány egymás utáni természetes számot kell összeszorozni, hogy a szorzat biztosan osztható legyen

a) 5-tel;

b) 8-cal?

8. Hányféle maradékot adhatnak a számok

a) 6-tal osztva;

b) 8-cal osztva;

c) 11-gyel osztva?

9. Hány olyan természetes szám van, melyet 5-tel osztva a hányados és a maradék megegyezik? 10. Hány olyan kétjegyű szám van, amelyet

a) 4-gyel osztva a maradék 3;

b) 5-tel osztva a maradék 2;

c) 9-cel osztva a maradék 3?

140



11. S zámegyenesen görgessünk egy egység oldalú szabályos háromszöget: tegyük le az egység oldalú ABC szabályos háromszöget a számegyenesre úgy, hogy az A csúcs a 0 pontba, a B csúcs az 1 pontba kerüljön, ezután görgessük a háromszöget a számegyenesen! Melyik csúcs esik az alábbi pontokba?

a) 7;

b) 12;

c) 17;

d) 26;

e) 45;

f) 124;

g) 656;

h) 9426.

12. O ldjuk meg az előző feladatot, ha egy egység oldalú ABCD négyzetet helyezünk a számegyenesre, az A pontot a 0-ba, a B-t az 1-be! Ezután görgetjük a négyzetet a számegyenesen. 13. Ha most hétfő van, milyen nap lesz

a) 9;

b) 17;

c) 40;

d) 146;

e) 746 nap múlva?

14. Ha most 11 óra van, akkor hány óra lesz

a) 12;

b) 26;

c) 80;

d) 172;

e) 980 óra múlva?

15. Igaz-e, hogy akárhogyan választunk 6 természetes számot, van köztük legalább kettő, melyek ugyanazt a maradékot adják 5-tel osztva? 16. Gyalogtúrán az osztály 3 óra alatt ért fel a hegyre a várromhoz, utána 2 óra alatt gyalogoltak le a vasútállomáshoz. Hány percet gyalogoltak összesen? Számolj kétféleképpen! 17. Hányszorosa az 5-nek

a) a 10 nyolcszorosa;

b) az 5 hatszorosának és hétszeresének összege;

c) az 5 háromszorosának és a 10 négyszeresének összege;

d) a 10 kétszeresének és a 25 háromszorosának összege?



141

18. Az alábbi kártyák közül válasszunk olyan párokat, amelyek

a) összege;

b) különbsége osztható 6-tal. 8·6+2

;

3+4·6

;

6·9

;

5 · 6 + 3 ;

17 · 6 + 1

;

13 · 6 + 3 ;

54 · 6

;

7·6+2

;

6 · 22 + 4

;

22 · 9

.

19. Oldjuk meg az előbbi feladatot a 3-mal való oszthatóságot vizsgálva! 20. A z 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokat hányféleképpen lehet egymás után sorba írni úgy, hogy ne legyen két egymás utáni, amelyek összege osztható 2-vel vagy 3-mal? Hányféleképpen lehet körberakni őket ugyanezzel a feltétellel? 21. H ány forintos összegeket tudunk kifizetni, ha korlátlanul rendelkezünk 2 és 5 forintosokkal? Mit mondhatunk, ha rengeteg 3 és 5 forintosunk van?

0642. MODUL számelmélet

A számok osztói, az oszthatósági szabályok Készítette: Pintér Klára

144



TUDNIVALÓ 10-zel való oszthatóság Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor 0-ra végződik. Ha egy természetes szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel. Ez a két állítás egy mondatban: egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha 0-ra végződik.

2-vel való oszthatóság Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor 2-vel osztható számjegyre végződik. Ha egy természetes szám 2-vel osztható számjegyre végződik, akkor osztható 2-vel. Ez a két állítás egy mondatban: egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha 2-vel osztható számjegyre végződik.

5-tel való oszthatóság Ha egy természetes szám osztható 5-tel, akkor 0-ra vagy 5-re végződik. Ha egy természetes szám 0-ra vagy 5-re végződik, akkor osztható 5-tel. Ez a két állítás egy mondatban: egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik.

1. FELADATLAP 1. Helyezd el az alábbi számokat a halmazábrában! 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 10; 12; 15; 20; 28; 30; 45; 54; 60.

Írj további számokat a halmazábrába!

Osztható 2-vel

Osztható 5-tel

2. A halmazábra segítségével döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis!

a) Van olyan 5-tel osztható szám, amelyik nem osztható 2-vel.

b) Minden 5-tel osztható szám osztható 10-zel is.

c) Nincs olyan 10-zel osztható szám, amelyik nem osztható 5-tel.

d) Ha egy számnak a 10 osztója, akkor a 2 is osztója.

0642. A számok osztói, az oszthatósági szabályok


145

3. Töltsd ki a számkeresztrejtvényt! 1.

2.

3.

4. 5. Vízszintes: Függőleges:

1. 5-tel osztható háromjegyű páratlan szám. 4. A legnagyobb páros szám, amely 600-nál kisebb. 5. Osztható 10-zel. 1. Azonos számjegyekből álló 5-tel osztható háromjegyű szám. 2. A legnagyobb háromjegyű páros szám.

4. Vizsgáld a következő műveleteket:

485 + 34

=

1872 ∙ 49

=

6203 + 56

Írjál számjegyeket a jelek helyére úgy, hogy a művelet eredménye osztható legyen

a) 2-vel;

=

b) 5-tel;

c) 10-zel!

2. FELADATLAP 1. Rajzolj 12 cm hosszúságú szakaszokat, és oszd minél többféleképpen egész centiméter hosszú egyenlő részekre! 2. A 12-es számrendszer számjegyei: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A (=10); B (=11). Írjuk be a helyiérték-táblázatba a következő 12-es számrendszerbeli számokat és azok 1012 = 1210 -szeresét! 13; 42; 1A; 60. A 12-es számrendszer helyiérték-táblázata: 10012 = 14410

1012 = 1210

1

Milyen szabályszerűséget tapasztalsz?

Sorold fel azokat a számokat, amelyekkel a számok 1012 = 1210 -szerese biztosan osztható!

Ezek a 1012 = 1210 osztói: 1; 2; 3, 4; 6; 1012 = 1210.

146



3. A z alábbi táblázatban levő számokat írd fel összegalakban, majd döntsd el, hogy mely számokkal osztható (írj + jelet ,ha osztható, – jelet, ha nem osztható)! Az első sor egy példát mutat be.

A szám

Összegalak

Osztható 2-vel

Osztható 3-mal

Osztható 4-gyel

Osztható 6-tal

Osztható 1012 = 1210 vel

76

70 + 6

+

+

–

+

–

18 A2 1B0 95 23 149

4. Fogalmazd meg, hogy 12-es számrendszerben mely számokkal való oszthatóságot dönthetjük el az utolsó számjegy alapján!

összegzés Egy 12-es számrendszerben felírt természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel (3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel), ha 2-vel (3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel) osztható számjegyre végződik. 5. Írj 12-es számrendszerbeli természetes számokat a feltételeknek megfelelően!

a) osztható 3-mal, de nem osztható 4-gyel:

b) osztható 4-gyel, de nem osztható 6-tal:

c) osztható 2-vel, de nem osztható 4-gyel:

d) osztható 3-mal, de nem osztható 6-tal:

6. Bűvészmutatvány: Gondolj egy kétjegyű számra! Szorozd meg 4-gyel, a szorzathoz adj 24-et, majd ezt az összeget szorozd meg 25-tel! Az eredményből vond ki a gondolt számot! Mondd meg, mit kaptál, és kitalálom a gondolt számot!

TUDNIVALÓ Egy 10-es számrendszerben felírt természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal (1000-rel), ha legalább két (három) 0-ra végződik. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből álló kétjegyű szám osztható 4-gyel.

összegzés Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25-tel, 20-szal, 50-nel, ha az utolsó két számjegyből álló kétjegyű szám osztható 25-tel, 20-szal, 50-nel.



147

3. FELADATLAP 1. Az alábbi szorzatok közül karikázd be azokat, amelyeknek a 100 osztója!

2. Írd be az alábbi számokat a halmazábra megfelelő helyére! 4355; 12 550; 2742; 9600; 3880; 113 000; 67 524; 4568; 9075; 2438.

Osztható 4-gyel

Osztható 25-tel

3. A 3 6 számba a jelek helyére írjál számjegyeket úgy, hogy a szám osztható legyen

a) 4-gyel;

=

=

A lehetőségek száma összesen:

b) 20-szal;

= 0-9

=0


c) 25-tel;

=

=


d) Milyen számjegy kerüljön a 6 helyére, hogy találjunk megfelelő számjegyeket a jelek helyére úgy, hogy a szám osztható legyen 25-tel?

148



4. Kösd össze azokat a számpárokat, amelyek összege 4-gyel osztható! 2826

8321

5647

133 502

4348

7939 8313

18 756

TUDNIVALÓ Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 8-cal. Mivel a 125, a 200, az 500 is az 1000 osztói, az ezekkel való oszthatóság is eldönthető az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám alapján.

összegzés Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125-tel, 200-zal, 500-zal, ha az utolsó három számjegyből álló háromjegyű szám osztható 125-tel, 200-zal, 250-nel, 500-zal.

4. FELADATLAP 1. A következő számok közül húzd alá kékkel a 2-vel oszthatókat, pirossal a 4-gyel oszthatókat, sárgával a 8-cal oszthatókat! 3451; 17 828; 93 1752; 34 168; 564 392; 714 576.



149

2. Készíts halmazábrát a 2-vel, 4-gyel, 8-cal osztható számokkal, és írd be a fenti számokat a megfelelő helyre! Osztható 2-vel

Osztható 4-gyel

Osztható 8-cal

3. Döntsd el a következő állításokról, melyik igaz, melyik hamis!

a) Minden 4-gyel osztható szám osztható 2-vel is.

b) Van olyan 8-cal osztható szám, amelyik nem osztható 4-gyel.

c) Minden 8-cal osztható szám osztható 2-vel is.

d) Ha egy szám nem osztható 4-gyel, akkor nem lehet osztható 8-cal sem.

e) Egyetlen páratlan szám sem osztható 8-cal.

f) Nincs olyan 4-gyel osztható szám, amelyik nem osztható 8-cal.

4. A táblázat felső sorában levő számok bizonyos számjegyeit letakartuk. Írd be a megfelelő helyre, mely számokkal osztható biztosan, melyekkel lehetetlen, melyekkel lehetséges, hogy osztható. (Azokra a számokra gondoljatok, amelyekkel való oszthatóságot eddig vizsgáltuk.) 504 Biztosan Lehetetlen Lehetséges

3940

97528

150



5. FELADATLAP

5643

5000 5

600 6

40 4

3 3

Szám maradéka

Maradékok összegének maradéka

Maradékok összege

Egyesek és maradékuk

Tízesek és maradékuk

Százasok és maradékuk

Szám

Ezresek és maradékuk

1. Állapítsd meg a számok 9-es osztási maradékát a táblázat kitöltésével!

18

0

0

2421 3112 8937 4843

– Figyeljétek meg a maradékokat, milyen szabályosságot lehet észrevenni? – Mi lehet a szabályosság oka?

2. Írd be a megfelelő számjegyeket a -okba, hogy az egyenlőség igaz legyen, és állapítsd meg a számok 9-es osztási maradékát!

a) 6738 = 6 ∙ 999 +

c) 1323 = 1 ∙ 999 +

9-es maradéka:

9-es maradéka:

d) 9762 =

∙ 999 +

9-es maradéka:

∙ 99 + 7 + 3 ∙ 9 +

+7+

∙ 999 +

b) 2457 =

9-es maradéka:

+

+8=

+ 4 ∙ 99 + +

+

+ +

+

+7

+7=

alapján:

+

∙9+

+3

+3=

∙ 99 + +

alapján: +5∙9+

+ 3 ∙ 99 + +

+8

+

alapján:

+ =

∙9+

+ alapján:

TUDNIVALÓ Egy természetes szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel.

összegzés Egy természetes szám 9-es osztási maradéka egyenlő a számjegyek összegének 9-es osztási maradékával.



151

3. Á llapítsd meg a számok 3-mal való osztási maradékát! Használd a fenti felbontást!

6738

2457

1323

9762

TUDNIVALÓ

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 3-mal, ha a számjegyek összege osztható 3-mal.

összegzés

Egy természetes szám 3-as osztási maradéka egyenlő a számjegyek összegének 3-as osztási maradékával. 4. A z alábbi számok közül húzd alá kékkel a 3-mal oszthatókat, pirossal a 9-cel oszthatókat, majd ábrázold a számokat halmazábrában! 246 Osztható 3-mal

7812

Osztható 9-cel

4239 1752 67 314 53 127

5. Egészítsd ki a számokat (ha lehet többféleképpen) úgy, hogy oszthatók legyenek

a) 3-mal;

b) 9-cel! 3-mal osztható

9-cel osztható

6723 1932 761 642 415

6. A z 1, 2, 3, 4, 5 számkártyákból húzz hármat, alkoss belőlük háromjegyű számot; és döntsd el, hogy osztható-e 3-mal, 9-cel!

152



6. FELADATLAP 1. Írd fel sorban a természetes számokat az 5-ös számrendszerben, majd karikázd be a párosakat! Milyen érdekességet figyelsz meg? 2. Írd fel az 5-ös számrendszerbeli számokat az alábbihoz hasonló bontásban, majd döntsd el, hogy osztható-e 4-gyel, 2-vel! 2315 = 2005 + 305 + 15 = 2 ∙ (44 5 + 1) + 3 ∙ (4 5 + 1) + 1 = 2 ∙ 44 + 2 + 3 ∙ 4 + 3 + 1 = = 2 ∙ 44 + 3 ∙ 4 + 2 + 3 + 1 Mivel a 2 ∙ 44 + 3 ∙ 4 osztható 4-gyel, a 2 + 3 + 1 pedig nem, a szám nem osztható 4-gyel. Mivel a 2 ∙ 44 + 3 ∙ 4 osztható 2-vel, a 2 + 3 + 1 is osztható 2-vel, a szám is osztható 2-vel. 1215 = 4225 = 1235= 2415= 1415=

TUDNIVALÓ Egy természetes szám pontosan akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal. 3. Készítsük el a 3-mal és 5-tel osztható számok halmazábráját, írjunk mindegyik részbe számokat!

a) Mivel osztható mindegyik, a két halmaz közös részébe eső szám?

b) Van-e olyan 15-tel osztható szám, amely nem osztható 3-mal?

c) Van-e olyan 15-tel osztható szám, amely nem osztható 5-tel?

d) Mi a 15-tel oszthatóság szabálya?

4. a) Az alábbi számok közül melyik osztható 12-vel, melyik nem? Hogyan lehet gyorsan eldönteni?

789; 552; 390; 464; 6274; 1236; 8172.

b) Mely számokkal kell feltétlenül osztható legyen egy természetes szám ahhoz, hogy osztható legyen 12-vel?

c) Mi lehet a 12-vel oszthatóság szabálya? Próbáljunk az előzőhöz hasonló szabályt találni!

d) Igaz-e, hogy ha egy természetes szám osztható 2-vel és 6-tal, akkor osztható 12-vel?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Hány 10-zel osztható természetes szám van, amely

a) 1000-nél nem nagyobb;

b) 50 000-nél nem nagyobb;

c) 1 000 000-nál nem nagyobb?



153

2. Hány szám nem osztható 10-zel

a) 100 és 300 között;

b) 2000 és 5000 között?

3. Leírtuk egy-egy kártyára a pozitív kétjegyű számokat, és beletettük egy kalapba. Legkevesebb hány számkártyát kell kihúzni, hogy biztosan legyen köztük olyan, amelyik nem osztható 10-zel? 4. A kétjegyű számok között páros szám vagy páratlan szám van több? 5. Egy számról a következőket tudjuk:

– négyjegyű;

– az első és az utolsó számjegye megegyezik;

– a tízes helyiértéken álló számjegy 2-vel kisebb az egyes helyiértéken állónál;

– a százas helyiértéken a legkisebb páros számjegy áll;

– a szám osztható 5-tel.

Melyik ez a szám?

6. Keressük azokat a 4-gyel osztható, 6-ra végződő, ötjegyű természetes számokat, amelyek első három számjegye egyforma páros számjegy! 7. Hány 8600-nál nem nagyobb, de 7500-nál nagyobb 25-tel osztható természetes szám van? 8. Peti új perselyt kap a születésnapjára, amibe minden nap este beletesz 4 forintot. Melyik pénzös�szeg lehet a perselyben és melyik nem, amikor feltöri, ha a persely kezdetben üres volt, és közben nem vett ki belőle?

5642 Ft; 4984 Ft; 8763 Ft; 9571 Ft.

9. Nyári Olimpia 2004-ben volt Athénban. Melyik olimpiai év, és melyik olimpia előtti év az alábbiak közül (tegyük fel, hogy semmi sem gátolja, hogy rendben folytatódjon a hagyomány)? 1968; 1975; 1984; 1997; 2012; 2036; 2025; 2017; 2052; 2111. 10. Írd le azokat a 8-cal osztható összegeket, amelyek első tagja az első sorból, második tagja a második sorból való!

200; 300; 2500; 8600;

72; 28; 36; 56.

11. A z alábbi számok közül válaszd ki azokat, amelyek

a) oszthatók 4-gyel;

b) oszthatók 8-cal;

c) 4-gyel oszthatók, de 8-cal nem;

d) a 2; 4; 8 közül pontosan két számmal oszthatók;

e) a 2; 4; 8 közül legfeljebb egy számmal oszthatók! 892; 2367; 594; 652; 1728; 4560; 6872; 3714; 9432; 15 276; 52 346; 128 783; 2 527 816.

154



12. Az alábbi számok közül melyek azok, amelyeknek osztója a

a) 3;

b) 9;

c) 4;

d) 8? 2356; 6852; 18 648; 4190; 53 827; 632 853; 45 972; 8822. Ezekkel a számokkal tündérek játszanak. A z Ezres Tündér az ezres helyiértéken álló számjegyet változtathatja meg, a Százas Tündér a százas helyiértéken álló számjegyet, a Tízes Tündér a tízes helyiértéken álló számjegyet, az Egyes Tündér az egyes helyiértéken álló számjegyet változtathatja meg úgy, hogy a kapott szám már osztható legyen a megfelelő osztókkal. Végezd el a munkájukat! Keress több lehetőséget!

13. A 2, 5 és 6 számjegyek egyszeri felhasználásával hányféle háromjegyű számot lehet készíteni, amelyik

a) osztható 3-mal;

b) osztható 4-gyel;

c) osztható 9-cel:

d) Vizsgáld meg a lehetőségek számát, ha mindegyik számjegyet többször is felhasználhatod!

14. H agyd el a legkevesebb számjegyet a 12 875 234 számból, hogy a megmaradt szám osztható legyen a) 3-mal; b) 9-cel; c) 4-gyel; d) 8-cal? 15. Az alábbi számok közül melyik osztható 3-mal, melyik 9-cel is? a) 576 892 611 748 235; b) 17 865 428 575 784 247 487 192 647 612; c) 7 234 937 563 573 635 927 482 638 462 846 722; d) 140 darab 4-es számjegyből álló szám. 16. Van-e olyan csupa 5-ös számjegyből álló szám, amely a) osztható 3-mal; b) osztható 9-cel; c) osztható 6-tal? 17. Döntsd el az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy természetes szám osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel is. b) Van olyan 2-vel osztható szám, amelyik nem osztható 6-tal. c) Minden 3-mal osztható szám osztható 6-tal is. d) Ha egy szám nem osztható 6-tal, akkor se 2-vel, se 3-mal nem osztható. e) Ha egy szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható 4∙6=24-gyel is. 18. Milyen számjegyet jelölnek a betűk, ha a számok oszthatók 6-tal?

a) 5AA

A=

b) B7B

B=

c) CC2CC

C=

d) 1DDD

D=



155

19. Mennyi a 3-mal osztható kétjegyű páros számok összege? 20. H ány olyan négyjegyű természetes szám van, amely csak 1 vagy 2 számjegyeket tartalmaz, és osztható 6-tal? 21. Peti vásárolt 5 darab Túró Rudit egyenként 45 forintért, 3 doboz 147 forintos tejet és 6 joghurtot, darabját 38 forintért. A pénztáros 893 forintot kért tőle. Peti rögtön válaszolt, hogy a pénztáros biztosan tévedett. Hogyan jöhetett rá olyan gyorsan? 22. Döntsük el, a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis!

a) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 6-tal is.

b) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 3-mal is.

c) Ha egy szám osztható 45-tel, akkor osztható 15-tel is.

d) Ha egy szám osztható 3-mal és 15-tel, akkor osztható 45-tel is.

e) Ha egy szám osztható 5-tel és 9-cel, akkor osztható 45-tel is.

23. A z alábbi számok egyikére gondolt három gyerek, és a következőket mondta róla: Anna: A szám osztható 3-mal; Bori: A szám osztható 15-tel; Csaba: A szám osztható 45-tel. 390; 495; 675; 530; 831; 923. Állításaik közül azonban csak egy igaz. Melyik számra gondoltak?


Törzsszám (prímszám), összetett szám, prímtényezős felbontás Készítette: Pintér Klára

158



1. FELADATLAP 1. Találjátok ki a színezés szabályát!

12 =

45 =

36 =

75 =

98 =

2. Rakjuk ki a számokat 2–20-ig az eddig használt négyféle színű színes rúddal! Mely számoknak kell feltétlenül új színt találni? Írjuk mellé a szorzatalakot számokkal is! Osztók száma

Szám

2

2

12

6

3

2

13

2

4

3

14

4

5

2

15

4

6

4

16

5

7

2

17

2

8

4

18

6

9

3

19

2

10

4

20

6

11

2

1

1

Szám

Színkép

Színkép

Osztók száma

3. Írjuk 2–20-ig a számok mellé, hogy hány osztójuk van!

TUDNIVALÓ Azokat a természetes számokat, amelyeknek két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük. Azokat a természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztója van, összetett számoknak nevezzük. Az 1 nem prímszám és nem is összetett szám. 4. Soroljuk fel az 50-nél kisebb prímszámokat!


0643. Törzsszám (prímszám), összetett szám, prímtényezős felbontás

159

5. Készíts egy színképet, számold ki, melyik számhoz tartozik, majd a számot mondd meg a társadnak! Te megkapod az ő számát. Készítsétek el a kapott számnak is a színképét, majd ellenőrizzétek, jól dolgozott-e a társatok! 1. módszer: A számot két 1-nél nagyobb természetes szám szorzatára bontjuk, majd a tényezőket is tovább bontjuk, amíg lehet. A lépéseket nyíldiagrammal ábrázoljuk: például: 60

30

2

6

5

2

3

A tovább nem bontható számok a prímszámok, ezek szorzata adja a számot:

60 = 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 3 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5.

2. módszer: Leírjuk a számot, húzunk mellé egy vonalat. A szám sorába írjuk a legkisebb prímosztóját, majd a szám alá ennek az osztópárját. Ezzel a számmal folytatjuk az eljárást mindaddig, amíg a bal oldalra 1 kerül. A prímtényezős felbontás a jobb oldalon levő számok szorzata. 60

2

30

2

15

3

5

5

60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

1

2. FELADATLAP 1. Egészítsd ki az alábbi diagramokat, rajzold meg a színképüket, és írd fel a számok prímtényezős felbontását! 48

2

300

30

4

3

160



2. Írd fel a következő számok prímtényezős felbontását, és rajzold meg a színképüket! 711

495

3. Az alábbi számok között a prímszámok vagy az összetett számok vannak többen?

259

73

53

273 69

143

4 9 6

1

91

107

167

4. Az alábbi állítások között melyik igaz, melyik hamis?

a) Minden prímszám páratlan.

b) Három prímszám összege mindig páratlan.

c) Van két olyan prímszám, melyek különbsége 2.

d) Ha egy szám osztható 5-tel, akkor nem lehet prím.

3. FELADATLAP 1. Rakjuk ki a következő színképet (90)!

Rakjuk ki a szám összes osztóját osztópárokban:

1 – 90

egy osztó, a 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5

2 – 45

két osztó, a 2 és a 3 ∙ 3 ∙ 5

3 – 30

két osztó, a 3 és a 2 ∙ 3 ∙ 5

5 – 18

két osztó, az 5 és a 2 ∙ 3 ∙ 3

6 – 15

két osztó, a 2 ∙ 3 és a 3 ∙ 5

9 – 10

két osztó, a 3 ∙ 3 és a 2 ∙ 5

A 90-nek 12 osztója van.


0643. Törzsszám (prímszám), összetett szám, prímtényezős felbontás

161

2. R ajzoljunk koordináta-rendszert, és ábrázoljuk a számok osztóit! Az x-tengelyen a pozitív természetes számokat, az y-tengelyen osztóikat ábrázoljuk: egy (a; b) pontot megjelölünk, ha b osztója a-nak.

162



3. A z alábbi táblázatba a pozitív egész számokat írtuk 1-től 100-ig. Az 1 nem prím. A 2 prím, karikázzuk be, és húzzuk ki a 2 többszöröseit! A következő szám a 3, karikázzuk be, majd húzzuk ki a többszöröseit! A következő ki nem húzott szám nagyság szerint haladva az 5, karikázzuk be, majd húzzuk ki a többszöröseit! Így haladunk tovább 10-ig. (Nem kell tovább nézni, mert a 10-nél nem nagyobb számok többszöröseiként minden 100-nál nem nagyobb összetett szám előáll, ugyanis 10 ∙ 10 = 100.) A kihúzások után megmaradt számok a 100-nál nem nagyobb prímszámok.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. A prímszámok milyen számjegyre végződhetnek? Keress mindegyikre példákat! 2. Hány 7-re végződő 100-nál kisebb prímszám van? 3. Melyik a legkisebb pozitív egész szám, amelynek a 30-szorosánál 7-tel nagyobb szám nem prím? 4. Melyik a legkisebb pozitív prímszám, amely nem állítható elő két pozitív prímszám különbségeként? 5. Az első 20 prímszám összege páros vagy páratlan? 6. Milyen számjegy áll az egyesek helyén a 100-nál kisebb prímszámok szorzatában? 7. Dobj egy számot dobókockával, adj hozzá 12-t! Tippelj, minek nagyobb az esélye: ez az összeg prímszám vagy összetett szám! Végezd el a kísérletet 20-szor és számold össze, hányszor kaptál prímszámot és hányszor összetett számot! 8. Készíthető-e az 1–9 számokkal bűvös négyzet, amelyben minden sorban, oszlopban és átlóban levő számok szorzata ugyanannyi? 9. Írjuk fel a 280, a 252, az 550, a 702 számok prímtényezős felbontását! Ez alapján írjuk fel az összes osztójukat! Melyiknek hány osztója van? 10. A 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 szorzatnak melyik szám az osztója a 15, a 25, a 39, a 45, a 66, a 102 közül? Számoljunk a prímtényezők alapján! 11. Á llapítsuk meg a prímtényezős felbontás alapján, hogy a 2 ∙ 3, a 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5, a 2 ∙ 3 ∙ 11, a 3 ∙ 5 ∙ 11, a 2 ∙ 5 ∙ 13, a 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 szorzatok közül melyiknek többszöröse az 1650?


Közös osztók, közös többszörösök Készítette: Pintér Klára

164



1. FELADATLAP 1. Rakjuk ki a számok színképét, keressük meg az összes osztóikat és helyezzük el halmazábrában, az egyik halmazba az egyik szám, a másikba a másik szám osztóit!

A számpárok:

30 – 42;

30 – 75;

36 – 54;

24 – 60;

11 – 17;

20 – 63.

30 osztói

42 osztói

Írjuk fel a két halmaz közös részében levő számokat! Ezek a 30 és a 42 közös osztói.

TUDNIVALÓ Két természetes szám közös osztói közül a legnagyobbat a két szám legnagyobb közös osztójának nevezzük. Jele: (30; 42) = 6 Tehát az összes közös prímtényező szorzata adja a legnagyobb közös osztót.

(30; 75) =

(36; 54) =

(24; 60) =

(11; 17) =

(20; 63) =

Ha két szám legnagyobb közös osztója 1, a számokat relatív prímeknek nevezzük. Két prímszám legnagyobb közös osztója 1. Két szám legnagyobb közös osztója akkor is lehet 1, ha egyik szám sem prím.

0644. Közös osztók, közös többszörösök


165

2. Döntsük el, a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis!

a) Két szám legnagyobb közös osztójának minden közös osztójuk osztója.

b) Két szám közös osztóinak mindkét szám többszöröse.

c) Van két olyan a, b szám, melyekre a és b legnagyobb közös osztója nem egyenlő b és a legnagyobb közös osztójával.

d) Két szám legnagyobb közös osztója a két szám különbségének is osztója.

3. Keressük meg a 360 és a 756 legnagyobb közös osztóját!

2. FELADATLAP 1. Rakd ki és rajzold le a 24, a 36 és az 54 színképét és osztóikat! Állapítsd meg a (24;36)-t, és a (36;54)-t! Ábrázold az osztókat egy halmazábrában, és keresd meg, mennyi a három szám legnagyobb közös osztója!

24 osztói

54 osztói

36 osztói

2. A nagy és kis téglalapok oldalai is egész egység hosszúságúak. A négy kis téglalap közül háromba beírtuk a területét. Mennyi a negyedik kis téglalap területe, és mekkorák lehetnek a kis téglalapok oldalai?

12

20

45

?

18

?

72

56

166



3. Kösd össze a törteket a tovább már nem egyszerűsíthető alakjával! Mivel egyszerűsíthetjük a törteket?

126 ––– 189

21 ––– 28

3 –– 4

105 ––– 140

14 ––– 21

6 –– 9 2 –– 3

42 ––– 63

3. FELADATLAP TUDNIVALÓ Két természetes szám közös többszörösei közül a legkisebb pozitív számot a két szám legkisebb közös többszörösének nevezzük. Jele: [6;15] = 30. 1. Rakjuk ki a következő számok színképét, keressük meg a legkisebb közös többszörösüket!

9 – 15;

4 – 6;

6 – 7;

18 – 24.

2. Döntsd el a következő állítások közül, melyik igaz, melyik hamis! Az igaz állításokat mutassuk meg színképekkel, a hamisra mutassunk ellenpéldát!

a) Két szám legkisebb közös többszöröse a szorzatuk.

b) Két szám legkisebb közös többszöröse osztója a többi közös többszörösnek.

c) Két szám legkisebb közös többszörösének és legnagyobb közös osztójának szorzata egyenlő a két szám szorzatával.

3. Végezd el a következő műveleteket! A lehető legkisebb közös nevezővel dolgozz! 12 5 ––– + –– = 15 6 7 11 ––– + ––– = 12 8 5 3 ––– + ––– = 18 24 9 4 ––– – ––– = 12 15 3 3 –– – ––– = 14 7 1 2 –– – –– = 7 5

0644. Közös osztók, közös többszörösök


167

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. A z iskolai évkönyvbe a végzős osztályok minden tanulójáról elhelyeznek egy képet. Úgy akarják elrendezni a képeket osztályonként külön-külön, hogy minden sorban ugyanannyi kép legyen. Mennyi a legtöbb kép, amit egy sorba rakhatnak, ha az osztálylétszámok: 30; 24; 36? 2. A négyzetekbe 1-9-ig beírtuk a természetes számokat, majd soronként és oszloponként összeszoroztuk őket, és a szorzatokat odaírtuk a megfelelő helyre. Találd ki a szorzatokból a számok eredeti elhelyezkedését! 24 48 315 27

84

160

3. Egy téglatest minden élének hossza centiméterben mérve egész szám. Mekkora lehet a térfogata, ha két lapjának területe 24 cm2 és 36 cm2? 4. Ha 4 15 = 1; 6 10 = 2 és 9 21 = 3, akkor mennyi 12 12? 5. Kati a buszmegállóhoz megy, ahonnan 5 percenként indul a 34-es, 6 percenként a 12-es busz egész órától kezdve. Kati 8 óra után 3 perccel érkezik a megállóba. Mikor jön legközelebb egyszerre mind a két busz? 6. A z első 10 pozitív egész szám legkisebb közös többszörösét a „fáraó számának” is nevezik, mert egy egyiptomi piramis sírkamrájának falán találták hieroglifákkal leírva. Melyik ez a szám? 7. Peti a bélyegeit rakja be az albumba. Megállapítja, hogy ha kettesével, hármasával, ötösével és hatosával is rakhatná őket, akkor minden sorba ugyanannyi bélyeg kerülne. Legkevesebb hány bélyege van Petinek? 8. A z osztály tanulóit egyforma létszámú csoportokra akarják osztani. Akár négyesével, akár ötösével alkotnak csoportokat, kimarad egy tanuló. Legkevesebb hány tanuló járhat az osztályba? 9. A következő számpároknak mennyi a legnagyobb közös osztója és a legkisebb közös többszöröse?

a) 88 és 56;

b) 69 és 115;

c) 150 és 1155;

d) 420 és 3003.

0645. MODUL számelmélet Gyakorlás, mérés Készítette: Pintér Klára

170



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Melyik számot kaphattuk eredményül az alábbiak közül, ha helyesen összeszoroztuk a 2; 3; 4; 5; 41 számokat?

a) 3510;

b) 5472;

c) 3845;

d) 4920;

e) 4352

2. Hány olyan egész centiméter oldalhosszúságú téglalap van, amelynek területe négyzetcentiméterben mérve éppen a 2006-os évszám? 3. Hány olyan egész centiméter élhosszúságú téglatest van, melynek térfogata köbcentiméterben mérve éppen a 2006-os évszám? 4. Két pozitív egész szám szorzata 420. Mi az összegük lehetséges legnagyobb értéke? 5. Három pozitív egész szám szorzata 1980. Mi az összegük lehetséges legnagyobb értéke? 6. Két pozitív egész számot rejtettem el, amelyekről elárulom, hogy a szorzatuk 10 000, de egyik sem osztható 10-zel. Mondd meg az összegüket! 7. Elárulom a születésnapomat: a hónap 4-nek többszöröse, de a 3 nem osztója. A napot jelző szám egy, az 5-öt prímtényezőként tartalmazó számnál 1-gyel nagyobb. Mikor ünnepelem a születésnapomat? 8. Elárulom a telefonszámomat. A körzetszám osztható 10-zel, de nem osztható se 3-mal, se 4-gyel, viszont többszöröse az összegüknek. Az utolsó két számjegy a legnagyobb kétjegyű prímszám, az első három számjegy a 8, a 12 és a 15 legkisebb közös többszöröse, a kimaradt két szám pedig a 75 és a 200 legnagyobb közös osztója. Mi a telefonszámom? 9. Találj ki a fentiekhez hasonló feladatot a saját születésnapodra és a telefonszámodra! 10. D orka virágokat ültet. Akár hármasával, akár négyesével rakja őket sorba, mindig kimarad egy. Hány virágja lehet Dorkának?

0651. MODUL Törtek

A törtekről tanultak ismétlése Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

172

matek „A” – 6. évfolyam – 065. törtek


1. feladatlap 1. Mindegyik rajz 1-et jelent. Mennyit ér a kiszínezett rész?

a)

b)

c)

d)

e)

__________

__________

__________

__________

__________

2. Színezd be az ábra: 1 a) ––– részét; 12

3 b) –– részét, 4

4 c) –– részét, 6

2 d) –– részét, 3

25 e) ––– részét! 24

3. Miki névnapjára három csokoládét kapott, melyeket Péterrel, Zsuzsival és Bélával ettek meg közösen. Mindenki ugyanannyi csokit evett. Mekkora részét ette meg Miki a kapott csokoládéknak? 2 3 1 4. Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalai –– dm, ––– dm és –– dm hosszúak? 5 10 2 5 7 5. Gondoltam egy számot, hozzáadtam ––– -et, és –– -ot kaptam. Mire gondoltam? 12 6 5 6. Kató néni a kertjében epret termeszt, melyet piacon ad el. Szombaton a termés ––– részét adta el 12 1 tízig, délig eladta még az –– részét. Zárásig az egész termést eladta. A termés mekkora részét adta 6 el dél és zárás között?

0651. A törtekről tanultak ismétlése


2. FELADATLAP 1. a) Ábrázold számegyenesen a következő egész számokat pirossal; ellentettjeiket kékkel!

–7, 5, 3, –2, –4, –1, 8.

b) Határozd meg a számok és ellentettjeik abszolútértékét!

EMLÉKEZTETŐ Ternészetes számok: 0, 1, 2, 3, … Egész számok: … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … Ellentett: a számegyenesen a 0-tól egyenlő távolságra található számok egymás ellentettjei. Egy szám és ellentettjének összege 0. Például: (–5) + (+5) = 0 Abszolút érték: egy számnak a számegyenesen a 0-tól mért távolsága. Az abszolútérték jele: | | Például: |–8| = 8, | 6 | = 6. 2. Ábrázold számegyenesen a következő törteket! 1 5 1 3 7 12 12 a) ––– , ––– , ––– , –– , – ––– , – ––– , – ––– . 12 12 12 2 12 12 12

4 5 1 1 1 1 1 4 7 4 b) –– , –– , –– , –– , – –– , – –– , – –– , – –– , –– , – –– . 6 6 4 3 4 2 3 6 6 3

2 2 2 3 3 4 6 5 1 5 7 c) –– , –– , – –– , –– , – –– , – –– , –– , – –– , – –– , – –– – –– 4 3 3 4 4 3 4 3 6 6 6

1 –– 6

2 –– . 6

3. Milyen törtszámokat jelölnek a betűk az alábbi számegyeneseken? a) a

b

0

c

1

d

b) a

b

c

0

d

1

e

173

174



c) c

a

b

0

c

0

d

f

1

e

2 3

f

d) a

b

d

e

e) Beszéljétek meg a d) feladatban szereplő törtek ellentettjét és abszolútértékét!

3. FELADATLAP 1. Mely műveleteket tudod leolvasni az alábbi számegyenesekről? Válaszod betűjelét írd a pontozott részre! Olvasd le a számegyenesről az eredményeket!

2 5 2 – –– + –– + –– 3 3 3  3 3 3 1 – –– + –– + –– + – –– 4 4 2  4

 2  9 1 –– – 1 + –– + – ––  6 3  12 

 3 6 2 –– + – –– – –– + 2 8  4 8

a) –1

1 4

1 2

–1

1 2

1

0

1 4

3 4

1

c) 2 3

0

b) 5 4

3 4

0

1 3

1

5 3

d) –1

2 3

1 3

0

1 3

2 3

5 6



2. Végezd el a következő műveleteket!

–2 + (–4) =

–5 – 7 =

–3 – (–7) =

(–4) + 4 =

3. Végezd el a következô mûveleteket! Az eredményt egyszerûsítsd! 1 4 – –– – –– = 3 3 3  6 – –– + – ––  = 5  5 8  5  – –– – – ––  = 7  7  5  1  – –– – – ––  = 2  4 

4. feladatlap 1. Válaszd ki a „kakukktojást”! Az a mely értékére nem igaz az állítás? 13 4 a – –– < –– 3 3

17 1 4 a = –– , 0, – ––, – –– 3 3 3

1 3 a+ –– > – –– 2 2

1 5 1 a = –– , – ––, –1, – ––, 2 2 2

1 3 a – –– < – –– 5 5

3 2 1 a = –1, – ––, – ––, – –– 5 5 5

3 – 2 – a < –– 4

9 5 11 4 a = – ––, – ––, – ––, –– 4 2 4 7

2. Egészítsd ki az alábbi nyitott mondatokat!  4  –– –  ––  = 1 5  15   3  1 – ––  + –– = ––  4  12 12  2   7  – ––  – –– = – ––   5  10  10 

175

176



3. A piramis felsô három sorában mindegyik szám az alatta lévô két szám összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezôit! a)

101 6

1 3

11 3

b)

8 3 11 12 1 6 1 2

4. Egészítsd ki az alábbi nyitott mondatokat! 9 5 –– + –– = 1 –– 7 7 7 2 11 –– + –– = 4 –– 3 3 3 18 –– + –– = 4 6 6 2 7 –– – –– = –– 9 9 9 15 –– – –– = 2 6 6 5 3 –– + –– = –– 8 8 4 4 1 –– + –– = –– 6 6 2

2

1 2



177

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Végezd el a következő műveleteket! Az eredményt egyszerűsítsd, ahol lehet, írd fel vegyestört alakban is! 5 2 –– + –– = 8 8 20 13 –– + –– = 15 15 9 5 –– + –– = 20 20 8 4 –– – –– = 3 3 3 19 –– – –– = 5 5 20 13 –– – –– = 15 15

2. Végezd el a következô mûveleteket! Az eredményt egyszerûsítsd, ahol lehet, írd fel vegyestört alakban is! 2 5 –– + –– = 3 6 5 4 –– + –– = 18 9 1 7 –– + –– = 8 16 23 4 –– – –– = 12 6 29 7 –– – –– = 20 5

3. Oldd meg a következô feladatokat!

5 5 5 a) Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalai –– dm, –– dm és –– dm hosszúak? 6 4 3

3 3 33 b) Egy háromszög két oldala –– dm és –– dm, kerülete –– dm. Mekkora a harmadik oldal 5 4 20 hossza?

3 7 2 c) Melyik az a szám, amelyik a –– és –– összegénél –– -del kisebb? 5 5 3

178


4. Végezd el a következő műveleteket! Az eredményt egyszerűsítsd! 2  5  –– + – ––  = 3  6  3 1 – –– – –– = 4 5 4  2  –– – – ––  = 3  5   4 –5 – 2  – ––   –– ––  =  6   12 3  5  2 3 –– +  –– – ––  = 3  15  5  4  –  2 + 1 = – ––  –– ––  18   9  3

5. Végezd el a következô mûveleteket! Az eredményt egyszerûsítsd! a) 1  1   4 2  –– – ––  +  –– + ––  = 4  4 14 7    2  2   1 1  – 2 –– – ––  – 1 –– – ––  = 4  3 4 3    1  1  6  1 1 –– – ––  + –– + ––  = 5  5 2 2    b) 2  12   12  10  –– + ––  –  –– + ––  = 50  25   25  50 17  3  11  15  –– – ––  + –– + ––  = 20  65  65 20  c)  3  1   4   1  + ––  + –2 ––  + – ––  + + ––  =  8  2   5   4   13   1   1   1   – ––  + –1 ––  + + ––  + – ––  =  10   5   5   2  d) 1 1 3 – –– + –– + –– = 7 2 8 4 3 5 – –– + –– + –– = 10 5 6 5 3 3 1 6 –– – –– + –– – –– – –– = 10 4 5 8 15 1 1 –1 –– + 2 –– 2 6

 5  – – ––  =  6 


0652. MODUL Törtek A racionális szám fogalma

Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

180



1. FELADATLAP 1. Pótold a hiányzó számokat! a) 3 : 5 =



8 b) 8 :  = –– 5

5



2

7

 : 3 = ––3

 : 12 = ––6

(–2) : 7 =

4:9=

3 : (–8) =

8:9=

8 ––– =  :  = 11



2 – –– =  :  = 9

7:3=

4





5

4 8 :  = –– 7

–8

 

1 3 :  = –– 3 1 : 4 = –– 2

 6

2. FELADATLAP Töltsd ki a táblázat hiányzó mezőit!

100

10

1

0,1

0,01

1

3

2

3

9

2

0

7

1

0

5

5

9

2

7

0

3

3

0

8 123,13 89,03 1679,2

25

1

258,23

0652. A racionális szám fogalma


181

3. FELADATLAP 1. Bővítsd a következő tizedestörteket!

a) 0,6 =

c) 13,99 =

e) 1,01 =

b) 0,12 =

d) 40,4 =

f) –7,11 =

2. Egyszerűsítsd a következő tizedestörteket!

a) 0,52000 =

c) 20,250 =

b) 56,3300 =

d) 0,6600 =

e) 99,900 =

3. Írd fel a tizedestörteket tört alakban, ahol tudsz, egyszerűsíts!

a) 0,35 =

c) 0,02 =

b) 4,25 =

d) 0,905 =

e) –10,6 =

TUDNIVALÓ Véges tizedestört, végtelen tizedestört Megfigyelhetjük, hogy a tört tizedestört alakja véges tizedestört, ha a tört egyszerűsített formájának nevezője csak 2 és 5 számok szorzatát tartalmazza. 1. Az osztás során lehet, hogy valamikor 0 maradékot kapunk, ekkor véges tizedestört az eredmény. 2. Ha valamelyik maradék megismétlődik, akkor a hányadosban a számjegyek periodikussá válnak. Jelölés:

23 = 0,.851. 27

4. FELADATLAP 1. Írd át a megadott törteket tizedestört alakba! 6 ––– = 5

11 ––– = 12

95 ––– = 20

14 ––– = 3

365 ––– = 15

96 ––– = 7

2. Húzd alá azokat a törteket, melyek tizedestört alakja véges tizedestört! 98 42 27 17 13 99 21 6 27 33 9 8 12 ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– , ––– . 14 64 35 9 45 15 20 34 25 8 15 11 23

182



3. Egészítsd ki a táblázatot! Alsó egész szomszéd

Felső egész szomszéd 139 12 39 10 15

57 9

19 68,94 100 9,6439 –56,6 –

9 4

4. Ábrázold számegyenesen a következő tizedestörteket!

–0,4; 0,5; 0,7; –0,8; 0,3; –1,2

0 5. Írd fel növekvő sorrendben a következő számokat!

15 132 a) –0,75; 3,33; – ––– ; ––– 12 100

2 4 88 b) 12,708; – ––– ; – ––– ; – ––– ; 12,91 25 15 5

96 158 37 29 4 c) – ––– ; ––– ; –9,11; ––– ; – ––– ; ––– ; –0,08 75 10 4 2 4

1



183

5. FELADATLAP 1. Balázs születésnapi zsúrjára anyukája koktélt kevert. Elárulta, hogy egy 2 dl-es pohárba 0,2 dl kókusz szirupot, 0,2 dl eperszirupot, 3 cl tejszínt és ananászlevet rakott. Hány dl ananászlé kell a koktélhoz?

2. A Bengáli tűz elkészítéséhez 15 g bárium-nitrát; 1,5 g alumíniumpor; 12 g vaspor és 3 g keményítő szükséges. Írd fel, milyen arányban kell összekeverni az egyes anyagokat a kísérlet bemutatásához!

Bárium-nitrát, alumíniumpor, vaspor, keményítő aránya: 1 :

::.   

1 3. A z 1858-ban megszűnt pengő pénzrendszerben a garas ––– rész egységet jelentett, azaz 2 kra20 jcárt. 1 A forintszámításra történt átmenet után is népies használatban az ––– rész, azaz 2 krajcár 50 megnevezésére használatos maradt. Hány pengőt ért 1 garas 1858 előtt, illetve hány forintot ért 1858 után?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Pótold a hiányzó számokat! 3 ––– = 3 :  16

8 –– = (–8) :  9

 = 2 : 7 

 =7: 3



2. Add meg a következő törtek tizedestört alakját 4 tizedesjegy pontossággal! 7 –– = 6

15 –– = 9

8 –– = 13

13 –– = 4

23 –– = 20

184



3. Írd fel a következő tizedestörteket törtalakban, ahol lehet, egyszerűsíts! 4,12 =

0,18 =

2,125 =

0,005 =

4. Töltsd ki a táblázat hiányzó mezőit! 1000

100

10

1

0,1

0,01

2

13

4

15

0

2

0

32

15

0

6

0

9

15

0

6

35

50

4

7

35

0

26

8 1520,69 45,09 0,6

3 3 5. Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalai –– dm, 1,3 dm és –– dm? 5 2 4 6. Ha a háromszög kerülete 40 cm, két oldala 14 cm és 1 –– dm, mekkora a háromszög harmadik 5 oldala? 5 1 4 7. Mekkora a trapéz kerülete, ha oldalai –– dm, –– dm, 1,5 cm és –– dm? 2 6 3

8. Ábrázold számegyenesen a következő tizedestörteket! –0,9;

1,2;

0,5;

–0,2;

–1,1;

0,7.

0

1

9. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Alsó szomszéd tized

Alsó szomszéd század

Szám 0,347 –4,521 3,562 –12,93 –2,878 46,921

Felső szomszéd század

Felső szomszéd tized



185

10. A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! a)

b)

8,5 4,5

9 10

7 10

5,7

21 5

1,4

11 5

11. A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám különbsége. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit! a)

b)

–7,03 11,18 2,24 33,4

23,5

11,2

8,9

4,33

0653. MODUL Törtek Szorzás törttel, osztás törttel

Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

188



1. FELADATLAP 1. Állítsd növekvő sorrendbe a következő törteket!

a)

2 4 3 ; ; ; 3 5 4

b)

2 5 3 ; ; ; 3 8 5

c)

14 7 8 ; ; ; 9 4 5

2. Panni 3 hétvégén kirándulni ment. Az I. túra 10 km-es volt, a II. 12 km-es volt, a III. túra 16 km-es 3 2 5 volt. Uzsonna elôtt az I. túrán az út részét, a II. túrán az út részét, a III. túrán az út részét 5 3 8 tette meg.

Melyik kiránduláson tette meg az aznapi út nagyobb részét uzsonna elôtt?

Melyik kiránduláson tette meg a legtöbb utat uzsonna elôtt?

2. FELADATLAP 1. a) Mennyi az 1 egész

3 3 része? Színezd a szakasz részét! 4 4

b) Mennyi a 2 egész


c) Mennyi a 3 egész


2. Pótold a hiányzó számokat!

a)

·4 5 3

b)

·2 4 5

0653. Szorzás törttel, osztás törttel


c)

d)

·3

189

·5 2 7

3 8

3. FELADATLAP 1. Számítsd ki a következő szorzatokat!

a) 3 · (–4) =

b) (–5) · 6 =

c) (–2) · (–7) =

d) 54 : (–6) =

e) (–10) : 2 =

EMLÉKEZTETŐ Megállapodás szerint a negatív számmal való szorzás eredménye a pozitív számmal való szorzás eredményének az ellentettje. 2. Számítsd ki a szorzatokat!

a)

3 · 10 = 5

d)

2 · 4 = 11

g) 3 ·

3 = 4

3. Számítsd ki!

7 :2= 5

8 :4= 7

4 : (–5) = 3

12 : (–3) = 4

6 :5= 5

b)

4 · (–2) = 3

e) 30 · h) –12 ·

1 = 2 5 = 6

c)

7 ·2= 9

f) –18 ·

2 = 3

190



4. Melyik állítás igaz? Miért? 5 1 része . 4 4

a) 5

b)

7 7 7 7 háromszorosa ugyanannyi, mint + + . 5 5 5 5

c)

2 2 ötszöröse ugyanannyi, mint az 5 része. 3 3

TUDNIVALÓ Törtek szorzása egész számmal Törtet egész számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számlálót megszorozzuk az egész számmal, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk. Ha a nevező többszöröse a szorzónak, akkor törtet egész számmal úgy is szorozhatunk, hogy a számlálót változatlanul hagyjuk, és a nevezőt elosztjuk az egész számmal. Tört osztása egész számmal Törtet egész számmal úgy is oszthatunk, hogy a tört nevezőjét megszorozzuk a számmal, a számlálóját változatlanul hagyjuk. Ha a számláló többszöröse az osztónak, akkor törtet egész számmal úgy is oszthatunk, hogy a számlálót elosztjuk a számmal, a nevezőjét változatlanul hagyjuk. 5. Hogyan számítjuk ki annak a téglalapnak a területét, melynek szélessége 3 egység? 5

1 egység, hosszúsága 2

6. A z egységnyi oldalú négyzet oldalait feloszthatjuk az ábrákon jelzett módon. Írd fel a beszínezett téglalapok oldalainak hosszát és területét!

a)

b)



191

7. Határozd meg a következő szorzatok eredményét! A megoldás során színezd ki a megfelelő ábrát! Az ábra egy négyzet, egységnyi hosszú oldalakkal, melyeket egyenlő részekre osztottunk. Segíthet a szorzat megállapításában, ha a szorzásnak megfelelően kiszínezed.

A) a)

3 1 -nek a része? 7 5

1 3 · = 9 8

b) Mennyi az

D) a)

4 1 -nak a része? 5 6

1 3 · = 5 7

b) Mennyi az

C) a)

b) Mennyi az

B) a)

1 4 · = 6 5


2 2 · = 5 3

b) Mennyi az


192



4. FELADATLAP 1. Határozd meg, hogy milyen szorzást szemléltetnek a következő ábrák, a szorzat eredményét számítsd ki!

2. A következő feladatban a szorzóként szereplő törteket hányadosként írjuk föl. Pótold a hiányzó számokat, és határozd meg a szorzatok eredményét! 3 3 5 –– · –– = –– · 5 : 2 2 7

=

2 2 4 –– · –– = –– · 3 3 5

:5=

1 1 4 –– · –– = –– · 3 3 5

:

7 5 –– · –– = 7 : 4 4

5 · –– = 4

5 13 –– · –– = 5 : 12 4

13 · –– = 4

=

4 5 –– · –– = 3 2 5 3 –– · –– = 4 10 13 7 –– · –– = 14 26 25 6 –– · –– = 7 5 21  2  –– · – ––  = 8  7   9  5 – ––  · –– =  20  18  7   20  – ––  · – ––  =  15   49  3. Keresd a kakukktojást! Figyeljük meg a következő műveleteket! Melyiknek az eredménye különbözik a többitől? 5 2 · 6 3

a)

e) (5 : 6) · (2 : 3)

5 · 2 : 3 6

c)

5 : 3 · 2 6

d)

f) (5 · 2) : (6 · 3)

g)

5 : 3 : 2 6

h) 5 ·

b)

5 · (2 : 3) 6 2 ·3 6



4. Egészítsd ki a hiányzó számokat!

= 5  16 35 7  · = 12  24 5    – 45 · = 7   56  · 8 = 24  5 25 · 9 = 9  16 28 5 25  · = 3 21  1 · 2

3 1 5. a) Hány óra az –– óra –– része? 4 2

4 11 b) Mekkora annak a téglalapnak a területe, melynek oldalai –– cm és –– cm? 3 6

6. Melyik állítás igaz? Miért?

1 1 2 a) Az –– kétharmad része egyenlô az –– –– -szeresével. 3 3 3

5 5 b) Egy szám –– részét úgy határozhatjuk meg, hogy a számot elosztjuk az –– -del. 7 7

5 5 c) Egy szám –– részét úgy kaphatjuk meg, hogy a számot megszorozzuk az –– -dal. 6 6

3 d) Egy szám –– részét úgy kaphatjuk meg, hogy elosztjuk 3-mal és megszorozzuk 4-gyel. 4

3 e) Egy szám –– részét úgy kaphatjuk meg, hogy elosztjuk 4-gyel és megszorozzuk 3-mal. 4

f) Egy szám ötödét úgy kaphatjuk meg, hogy elosztjuk 5-tel.

1 g) Egy szám –– -szerese egyenlô a szám felével. 2 1 2 1 h) Az –– –– részét felírhatjuk így is: –– · 2 : 3. 5 3 5 5 2 2 i) Az –– –– részét felírhatjuk így is: 5 : 4 · –– . 4 7 7 2 3 2 j) A –– –– részét felírhatjuk így is: –– : 3 · 5. 11 5 11 2 11 2 11 k) A –– –– részét felírhatjuk így is: –– · –– . 9 3 9 3

193

194



7. Kösd össze az egyenlőket!

4 fele

2 2 –– –– része 3 5

3 –– 5

2 2 –– · –– 3 5

2 15 –– része 3

1 3 –– -szerese 5

11 negyede 10 1 11 · –– 4

1 4 · –– 2

TUDNIVALÓ Tört szorzása törttel Törtet törttel úgy is szorozhatunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával.

5. FELADATLAP 1. Végezd el a következô szorzásokat! 5 2 –– · –– = 2 5 1 –– · 3 = 3 6 7 –– · –– = 7 6 5   7   – ––  7  ·  – –– =    5 



195

2. Oldd meg az alábbi nyitott mondatokat! 4 –– · 5

=1

1 –– · 3

=1

 7   – ––  ·  8  6·

=1

=1

3. Milyen számot írhatsz az üres helyekre? 7 = –– 8

7 4 –– · –– · 8 3 3  9  –– ·  – ––  · 7  11  5 –– · 4

5 5 · –– = –– 4 6

8 1 –– · –– · 3 4 12 ·

3 = –– 7

8 = –– 3

2 · –– = 12 3

125 44 · ––– · 79

= 44

TUDNIVALÓ Számok reciproka Egy szám reciproka az a szám, amellyel a számot megszorozva a szorzat értéke 1. Ha egy tört számlálóját és nevezőjét felcseréljük, akkor a szám reciprokát kapjuk. Ez az egész számokra is igaz, ha törtalakban írjuk fel őket. Például: 5 9 9 5 –– reciproka a –– , mert –– · –– = 1 9 5 5 9 1 1 – 7 reciproka –– , mert 7 · –– = 1 7 7

196



6. FELADATLAP 1. Egészítsd ki!

a)

·6

b)

5 3

d)

·

1 2

c)

2

·

3

2 5

e)

2 3

·

5 2

4

·

1 2

·

7 6

f)

3 4

2. Végezd el a következô osztásokat kétféleképpen, bôvítéssel, és reciprokkal való szorzással is! 5 –– : 6 = 6 5 6 : –– = 6 4 7 –– : –– = 3 5 11 3 –– : –– = 9 7 8 7 –– : –– = 5 6 3. Végezd el a következô osztásokat kétféleképpen, bôvítéssel, és reciprokkal való szorzással is! 12 2 4 –– : –– : –– = 5 7 9 1 7 5 –– : –– : –– = 3 9 14 7 2 14 –– : –– : –– = 3 9 8



197

4. Végezd el a kijelölt mûveleteket! 8 7 21 –– + –– : –– = 11 12 4 2 1 7 –– + –– : –– = 5 2 6  2 1  7  –– + ––  : –– = 2  6  5  7 4  3  –– + ––  : –– = 5  10  9  4 3  7 –– +  –– : ––  = 9  5 10 

TUDNIVALÓ Tört törttel való osztása Törtet törttel oszthatunk úgy, hogy az osztandót szorozzuk az osztó reciprokával. 15 3 4 3 5 Pl.: –– : –– = –– · –– = –– 8 2 5 2 4

7. FELADATLAP Töltsd ki a TOTÓ-t!

1.

2. 3. 4.

1 Egy szám –– -ad-szorosa azonos 3 a harmad részével. Ha egy törtet pozitív egész számmal szorzunk, akkor pozitív eredményt kapunk. Ha egy negatív törtet pozitív egész számmal szorzunk, akkor az eredmény 45 A –– tört tizedestört alakja 36

1

2

X

igen

nem

néhány számra igaz

igen

nem


mindig pozitív

mindig negatív

véges

végtelen és szakaszos

egyenlôek

az első nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

az első nagyobb

a második nagyobb

pozitív vagy negatív végtelen, de nem szakaszos

Melyik nagyobb? 5.

6.

4 2 A –– -nak a –– -szerese vagy 5 3 2 4 –– -nek a –– -szerese? 3 5 Melyik nagyobb?  2 2 26 1  A  –– + ––  · 4 vagy a –– · –– ? 3 5 5   3

válasz

198

7.

8. 9.

10.


Melyik nagyobb? 4 2 2 4 A –– -nek a –– része vagy –– -nek a –– 7 5 5 7 része? Ha egy törtet egy pozitív egész számmal szorzunk, akkor az eredmény 1-nél nagyobb.  1 1  3 2 A –– : –– és az  –– + ––  · 3? 5  5 3  3 Melyik nagyobb? 4 6 7 4 A –– -nek a –– része vagy –– -nek a –– 5 7 6 5


egyenlôek

az első nagyobb

a második nagyobb

igen

nem


egyenlôek

az első nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

az első nagyobb

a második nagyobb

az első

a második

egyenlô hosszú utat tettek meg

22 –– 12

ezekkel az adatokkal nem szerkeszthetô meg ez a háromszög

18 –– 12

2 –– 7

14 –– 9

2 –– 7

nem lehet eldönteni, mert hibás a feladat

0

legalább 3

-szerese?

11.

12.

13.

Az a turista gyalogolt többet, aki 25 km3 es túrának a –– részét tette meg, vagy az, 5 2 aki a 30 km-es túrának a –– részét tette 3 meg. Mekkora a háromszög kerülete, ha 2 1 oldalai –– cm, –– cm és 1 cm? 3 6 2 3 Melyik szám –– -szerese a –– ? 3 7

Hány tanulónak lett ötös a matematika 1 dolgozata, ha –– részüknek négyes lett, 3 13+1 1 5 –– részüknek hármas lett, –– részüknek 12 4 kettes lett, és egyes nem lett senkinek.

8. FELADATLAP 1. Oldd meg a következő szöveges feladatokat!

4 6 a) Melyik számra gondoltam, ha a reciprokának a –– -szerese a –– ? 9 7 3 4 b) Mekkora a területe annak a téglalapnak, melynek oldalai –– és –– egység hosszúak? 5 3 4 4 c) Gondoltam egy számot, hozzáadtam –– -ot, az eredményt megszoroztam –– -del, és eredményül 9 3 22 –– -et kaptam. Melyik számra gondoltam? 27 d) Mekkora része maradt meg Peti születésnapi tortájának? A zsúrjára meghívott fiúk a torta 3 –– részét ették meg, a lányok pedig harmadannyit, mint a fiúk. 5



199

2. Számítsd ki! 1 3 –– + 5 · –– = 4 7 1 3 –– + 5 –– = 4 7 1 2 2 –– + 3 · –– = 7 5 1 1 3 –– – 5 –– = 3 2 8 2 8 1 –– · –– + –– · –– = 5 7 5 7 8 –– 5

 2 1  ·  –– + ––  = 7   7

7 2 5 –– – –– · –– = 5 3 3  7 2  5  –– – ––  · –– = 3  3  5

3. Tölts ki az alábbi táblázatot! szám

1 –– 3

4 –– 7

3 – –– 2

reciproka

4. Végezd el a kijelölt mûveleteket!  6 2  8  –– + ––  : –– = 15  6  5 6 2 8 –– + –– : –– = 5 15 6  3 1  11  2 –– – 1 ––  : –– = 4  7  7 3 1 11 2 –– – 1 –– : –– = 7 4 7 3 2 : –– = 4 3 –– 5 = 7 –– 3

11 –– 32 3 –– 8

8 – –– 7

2 2 –– 5

6 –1 –– 11 4 –3 –– 7

36 –– 6

200



FELADATGYŰJTEMÉNY 1. A megoldás során használd a színesrúd-készletet!

a) Legyen a piros rúd 1! Mennyit ér:

– három rózsaszín;

– négy kék?

– két citromsárga?

– három fehér?

b) Legyen a lila rúd 1! Mennyit ér:

– négy fehér?

– két citromsárga?

– két rózsaszín?

– két fekete?

c) Legyen a bordó rúd 1! Mennyit ér:

– a fehér?

– négy fehér?

– a lila rúd fele?

– a piros rúd?

– a zöld rúd fele?

– a zöld rúd negyede?

2. Keresd a párját!

A

B

C

D

E

F

2 4 –– : –– 5 3

6 14 –– · –– 7 9

1 7 –– · –– 4 6

1 7 –– -nek a –– része 4 6

3 2 –– · –– 4 5

1 1 –– 3

3. A z egységnyi oldalú négyzet oldalait feloszthatjuk az ábrákon látható módon. Írd fel a beszínezett téglalapok oldalainak hosszát, területét és kerületét!

a)

b)

c)

d)



201

4. A lehetséges egyszerûsítések után végezd el a szorzásokat! 3 14 a) –– · –– = 7 9 13 20 b) –– · –– = 15 39 1 4 c) 3 –– · –– = 2 7 1 9 d) 4 –– · –– = 3 26 2 1 e) 1 –– · 2 –– = 5 7 7 3 5 1 f) –– · –– · –– · –– = 5 5 7 6 5. Szerkeszd meg a háromszöget, ha egyik oldala 5 cm, és ezen az oldalon fekvô szögei a derékszög 5 2 –– részével, illetve az egyenesszög –– részével egyenlôek! 9 9 3 6. Ági az öccse hatodik születésnapján ezt mondta: „Te most –– -szer olyan idôs vagy, mint én.” Hány 7 éves most Ági? 6 7. Mekkora annak a háromszögnek a területe, melynek egyik oldala –– cm, a hozzá tartozó magasság 7 20 pedig –– mm? 5 4 8. Csaba a következôt mesélte el a házukról: „A házunk téglalap alakú. Az egyik oldala 9 –– m, a te5 rülete 56 m 2 .” Mekkora a házuk másik oldala? 9. Egészítsd ki!

a)

3 4

………

:2

b)

8 3

………

·3

c)

………

–

1 2

·5

· (–2)

d)

:7

· (–2) 7 3

:7

:4

………

202



10. Töltsd ki a táblázatot, ha a szabály a következő: 4 a) y = x · –– 5 x

1 –– 3

3 –– 4

5 –– 7

0

1 – –– 2

3 – 1 –– 4

6 – –– 5

3 –– 5

6 –– 4

1 2 –– 2

0

3 – –– 2

5 – –– 6

3 –– 4

5 –– 7

8 –– 9

0

1 – –– 2

3 – –– 2

3 –– 5

0

3 – –– 2

6 – –– 5

7 – –– 5

15 – –– 20

y 2 5 b) y = x · –– + –– 3 6 x

1 –– 2

y

2 c) y = x : –– 3 x

1 –– 3

y

3 4 d) y = x : –– + –– 10 5 x

1 –– 3

y

3 4 11. Melyik számot osztottuk el –– -del, ha a hányados –– lett? 4 7 32 2 7 12. Melyik számra gondoltam, ha elosztottam –– -del, és hozzáadtam –– -ot, akkor –– -et kaptam? 21 3 15

0654. MODUL Törtek

Szorzás, osztás tizedestörttel, százalék fogalma, százalékszámítás Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

204



1. FELADATLAP 1. Végezd el a következő műveleteket!

∙

10 000

1000

100

10

0,1

0,01

0,001

0,0001

215 23 0,14 1 1 1 1 Mit kapunk eredményül, ha az elsô oszlopban lévô számokat –– -del, ––– -dal, –––– -del, ––––– -del 10 000 1000 100 10 szorozzuk meg? Az eredményt írd fel tört és tizedestört alakban is! Mit veszel észre? 1 215 · –– = 10

1 23 · –– = 10

1 0,14 · –– = 10

1 215 · ––– = 100

1 23 · ––– = 100

1 0,14 · ––– = 100

1 215 · –––– = 1000

1 23 · –––– = 1000

1 0,14 · –––– = 1000

1 215 · ––––– = 10 000

1 23 · ––––– = 10 000

1 0,14 · ––––– = 10 000

2. Figyeljük meg a következô szorzásokat! Végezd el a mûveleteket! Figyeld meg a szorzat tizedesjegyeinek számát!

30 ∙ 0,01 =

250 ∙ 0,01 =

4000 ∙ 0,01 =

TUDNIVALÓ Szorzás tizedestört alakú számmal A tizedestörteket ugyanúgy szorozzuk össze, mint az egész számokat, csak a szorzás elvégzése után rakjuk ki a tizedesvesszőt. A tizedesvessző helyét úgy határozzuk meg, hogy a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a két tényezőben együttvéve van.

0654. Szorzás, osztás tizedestörttel…


205

2. FELADATLAP 1. Mekkora az ábrán látható lakás alapterülete? (A helyiségek méreteit méterben, a falvastagságokat cm-ben olvashatod le az ábráról.)

3. FELADATLAP 1. Keresd a párját!

A

B

C

10,43 · 1,2

10,43 · 0,12

104,3 · 0,012

D

E

F

1043 · 0,12

1,043 · 12

1,043 · 120

2. Végezd el a kijelölt szorzásokat!

a) 0,25 · 20 =

0,25 · 2 =

0,25 · 0,2 =

0,25 · 0,02 =

0,25 · 0,002 =

206



b) 2,5 · 2 =

2,5 · 0,2 =

2,5 · 0,02 =

2,5 · 0,002 =

25 · 0,2 =

25 · 0,02 =

25 · 0,002 =

3. Számítsd ki a következő szorzatok eredményét! ∙

0,34

3,4

34

340

25 2,5 0,25 0,025


A

B

C

13 2 –– : –– 10 5

130 2 ––– : –– 100 50

13 20 ––– : –– 100 50

D

E

F

130 20 ––– : –– 10 50

13 20 –– : –– 10 5

130 20 ––– : –– 10 5

2. Végezd el a kijelölt osztásokat!

a) 14,4 : 100=

14,4 : 10=

14,4 : 0,1=

14,4 : 0,01=

14,4 : 0,001=

b) 1,44 : 100=

1,44 : 10=

14,4 : 0,1=

1,44 : 0,01=

14,4 : 0,001=



207


A

B

C

15,36 : 2,5

15,36 : 0,25

153,6 : 25

D

E

F

153,6 : 25

0,1536 : 0,25

1536 : 25

2. Végezd el a következő műveleteket! : 215 23 0,14

10 000

1000

100

10

0,1

0,01

0,001

0,0001

1 1 1 1 Mit kapunk eredményül, ha az elsô oszlopban lévô számokat –– -del, ––– -dal, –––– -del, ––––– -del 10 000 1000 100 10 osztjuk el? Az eredményt írd fel tört és tizedestört alakban is! Mit veszel észre? 1 215 : –– = 10

1 23 : –– = 10

1 0,14 : –– = 10

1 215 : ––– = 100

1 23 : ––– = 100

1 0,14 : ––– = 100

1 215 : –––– = 1000

1 23 : –––– = 1000

1 0,14 : –––– = 1000

1 215 : ––––– = 10 000

1 23 : ––––– = 10 000

1 0,14 : ––––– = 10 000

3. Egy téglalap alapú kert területe 223,38 m 2 . Egyik oldala 15,3 m hosszú. Mekkora a kert kerülete?

TUDNIVALÓ Osztás tizedestört alakú számmal Ha az osztó tizedestört, akkor az osztandót és az osztót úgy bővítjük, hogy az osztó egész szám legyen, majd az így kapott egész számmal elvégezzük az osztást. (Emlékszel, ha az osztót és az osztandót is ugyanannyival szorozzuk vagy osztjuk, a hányados nem változik.)

208



6. FELADATLAP 1. Végezd el a kijelölt műveleteket! 1,4 ∙ 45 = 1,4 ∙ 4,5 = 14 ∙ 4,5 = 0,14 ∙ 0,45 = 540 : 45 = 540 : 4,5 = 54 : 45 = 54 : 4,5 = 1 2. Milyen messzire juthatunk egy vitorlázó repülőgéppel 1 óra, 2 óra, –– 2 óra, illetve 3,4 óra alatt, ha az átlagsebessége 7,2

km ––– ôra

?

3. A következő feladatok között vannak olyanok, amelyekben a tizedesvessző rossz helyre került a szorzatban, illetve a hányadosban. Javítsd ki! Hogyan javítanál, ha a tizedesvessző csak a szorzatban, illetve a hányadosban mozdítható el, a tényezőkben nem? 4,5 ∙ 25 = 1125 1,2 ∙ 40,5 = 4,86 3,25 ∙ 2,48 = 80,6 19,55 ∙ 41,26 = 80663,3 3,348 : 6,2 = 5,4 420 : 3,5 = 12 7179,55 : 14,05 = 5,11 2,895 : 3 = 9,65 4. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3 2   –– ∙ 0,25 =  4 + –– 5   2 3 –– ∙ 0,25 + –– ∙ 0,25 = 5 4 3 2  1  –– ∙ –– =  4 + –– 5  4  1 (0,75 + 0,4) ∙ –– = 4



209

7. FELADATLAP 1. A Kovács család nappalija 4,2 m széles és 6,75 m hosszú.

a) Mekkora a parketta szegélyléce, ha az ajtó 1,2 m hosszú, és oda nem került szegély?

b) K i szeretnék tapétázni a nappalit. Egy tapétacsík 50 cm széles. Hány tapétacsík lesz összesen a szobában, ha az ablakok és ajtók miatt legalább 3 csíkot meg tudunk spórolni?

c) Hány méter tapétacsíkot használnak el, ha 2,7 m magasságig tapétáznak?

2. Angliában a magyar mértékegységektől eltérő mértékegységeket használnak.

a) Régen a magyarok hüvelyknek, a németek collnak, az angolok inchnek nevezték azt a mértékegységet, ami 2,54 cm-rel egyenlő. Az ún. „angol szabók” inchben mérték meg a derékbőséget stb.

Töltsd ki a táblázatot! inch

3

7,6

12,3

cm

2

7

b) A térfogat mérésére a pint használatos, 1 pint  0,6 liter. Töltsd ki a táblázatot! pint

4

11,62

liter

23,045 4

2,6

3. A z amerikai futballt 360 láb hosszú és 160 láb széles (1 láb = 30,5 cm) pályán játsszák. A pályán 5 yardonként egyenes vonalak keresztezik a pályát, és minden yardot úgynevezett hashmarks jelöl, ami a labda pontos elhelyezéséhez szükséges. A célterület (End Zone) a játéktér részét képezi, és a gólvonal mögött 30 láb mély.

a) Hány m 2 az amerikai futballpálya?

b) Hány darab egyenes vonal keresztezi a pályát (1 yard = 0,914 m)?

c) Hány dm2 az úgynevezett End Zone?

210



8. FELADATLAP Tölts ki a TOTÓ-t!

1.

2. 3.

1 Egy szám –– -ed szerese azonos a tized 10 részével.

1

2

X


nem

igen

nem

igen

nem

igen

véges

végtelen és szakaszos

végtelen, de nem szakaszos

Ha egy tizedestörtet negatív számmal lehet, de nem szorzunk, akkor pozitív eredményt biztos kapunk. Ha egy számot elosztunk százzal, akkor néhány a szám 0,01 szorosát kapjuk. számra igaz

4.

14 A –– tört tizedestört alakja. 20

5.

26 Melyik szám nagyobb, a –– vagy az 5,32? 5

az elsô nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

6.

11 11 Melyik nagyobb, a –– · ––– vagy az 10 100 1,1 · 0,11?

az elsô nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

az elsô nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

az elsô kertbe

a második kertbe

ugyanannyit

az elsô nagyobb

a második nagyobb

egyenlôek

259,81 cm

260 cm

Nem szerkeszthetô meg ez a háromszög.

a második szélesebb 38,61 m-rel

a második szélesebb 16,5 m-rel

szélességük egyenlô

az elsô nagyobb

egyenlôek

a második nagyobb

az elsô nagyobb

egyenlôek

a második nagyobb

lehet, de nem biztos

nem

igen

7.

8.

9.

10.

11.

12. 13. 13+1

Melyik nagyobb, az 1,3 tízszerese vagy a 13 · 0,1? Melyik kertbe tudunk több rózsát ültetni, ha az elsô 26,4 m hosszú és 15,2 m széles, a második pedig 152 dm hosszú és 31,78 m széles? Melyik nagyobb a 12,3 : 4,1 vagy a 123 : 0,41? Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalai 13,2 dm, 58,4 cm és 69,4 cm? Melyik udvar szélesebb, ha az elsô területe 372,06 m2 és 15,9 m hosszú, a második területe pedig 758,16 m 2 és 32,4 m hosszú? A (15,3 + 4,7) : 0,2 és a (3,28 –1,28) : 0,02 közül 12 9 54 A 2,35 · 0,7 : 16,45 és a –– · –– : –– közül 5 10 25 Ha egy számot 0,1-del szorzunk, akkor 1-nél kisebb számot kapunk.

válasz



211

százalék „Víz! Se ízed nincs, se zamatod, nem lehet meghatározni téged, megízlelnek, anélkül, hogy megismernének. Nem szükséges vagy az életben: maga az élet vagy.” (Saint-Exupèry) A víz: maga az élet. Minden élôlény elsôsorban vízzel „táplálkozik”, sejtjeink, szerveink folyamatosan igénylik a kellô mûködéshez a folyadékot. Szervezetünk minden sejtje tartalmaz vizet, ettôl maradnak a szövetek rugalmasak. Az emberi test 75% vízbôl áll (sôt agyunk még ennél is több, Sivatag eső után 85% vizet tartalmaz), amit folyamatosan pótolni kell az ivással, különben a szervezet egyensúlyi állapota megbomlik, mivel naponta 3 liter vizet választunk ki (kb. 2 litert a veséken keresztül, 1 litert a bôrön át és a légzés útján). Tegyük változatossá az ivási tervet. Igyunk pl. reggel 2 csésze teát és 1 csésze narancslevet. Délelôtt 2 csésze gyümölcsteát (csipkebogyó, mályva, hibiszkusz). Délben 1/2 liter almafröccsöt. Délután 1-2 csésze malátakávét. Este újra 1/2 liter gyümölcsfröccsöt és l/4 liter gyümölcsteát. Délben és este együnk levest. Ôszi csemegének számítanak a friss gyümölcsbôl (alma, körte, szilva, bodza) készült gyümölcslevesek. Ne igyunk limonádét és colát! Sok káros foszfátot tartalmaznak, ami elômozdítja a csontok leépülését. Tragikus, hogy az emberiség létezésének egyik legfontosabb biztosítéka – a Föld ivóvíz-készlete – környezetünk szennyezôdése (és szennyezése!) miatt veszélybe került. (A víztôl eredô betegségek évente 4,2 millió ember halálát okozzák. Ez annyi, mintha naponta 40 Jumbo zuhanna le.) A bolygónkon található víznek mindössze 2,5%-a édesvíz, és ebbôl csak 1% hozzáférhetô az emberi fogyasztás számára. (A többi a jégsapkákban, gleccserekben található.) A felhasznált víz 70%-át a mezôgazdaság, 20%-át az ipar használja fel, csupán 10% jut a háztartásokba. Kétmilliárd ember használ föld alatti tartalékokból kiszivattyúzott vizet. Sok vidéken ezek a vízraktárak kezdenek kiürülni, mert több vizet vesznek ki belôlük, mint amennyi természetes úton pótlódni képes. A partok mentén a tengervíz beszivárog ezekbe a raktárakba, sóssá és ihatatlanná téve a vizüket. Kb. 1,1 milliárd embernek nincs biztonságos ivóvize, 2 milliárdnak biztonságos tisztálkodási lehetôsége. 1995-ben a Föld lakosságának 40%-a (80 ország) küzdött súlyos vízhiánnyal. 2032-re ez az érték 50%, Nyugat-Ázsiában 90% lesz…

212



9. FELADATLAP 1. Írd át az alábbi törteket százalék alakba! 23 9 17 1 3 8 18 5 3 7 ––– ; ––– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; 0,6; 0,256; 1,2; 3,05 100 100 10 10 2 5 5 86 8 4

2. Írd át a százalék alakban megadott számokat a lehető legegyszerűbb tört alakú számokká! 50%; 13%; 40%; 5%; 36%; 75%; 135%; 6,7%; 0,9% 3. 2 005 őszén megkérdezték az érettségizőket, hogy milyen intézményekbe akarnak jelentkezni. A felmérés eredményét a következő diagram ábrázolja:

Továbbtanulási felmérés

Írd fel a százalék alakban megadott számokat tört alakban! 4. Egy család a családapa fizetésének 29%-át a lakás fenntartásának költségeire, 12%-át a lakás hitelének törlesztésére, 42%-át élelmiszerre és háztartási cikkekre, 8%-át a ruházkodásra és kulturális programokra költi. Az apa fizetésének hány százalékát tudja a család félretenni? Színezd ki különböző színekkel, hogy mennyit költ a család az egyes tételekre! Egy négyzet az apa fizetésének 1%-át jelenti.



213

TUDNIVALÓ Az 1 egész mennyiséget 100 egyenlő részre osztjuk. Így azt felírhatjuk ebben a bővített alakban is: 100 , amit másképpen így írunk fel: 100%. 1= 100 2 4 25 1 = = = …= =… Minden törtnek végtelen sok bővített alakja van. Például: 10 20 100 5 25 = 25% Ezek közül azt, amelynek 100 a nevezője, más alakban is meg szoktuk adni: 100 A századrészt másképpen százaléknak nevezzük, és % jellel jelöljük. Például: 100 = 100% 100 75 3 = = 75% 100 4 150 = 150% 1,5 = 100 1=

10. FELADATLAP 1. Az 500 g-os margarinnak 48%-a zsír. A margarin hány g zsírt tartalmaz? 2. Hány g-os a képen látható tejföl, melynek 90 g a zsírtartalma?

MINTAPÉLDA Diákoknak a múzeumi belépő 75%-át kell kifizetniük. Mennyibe kerül a teljes áru jegy, ha a diákjegyért 630 Ft-ot kell fizetni? Megoldás:

75%

1%  630 : 75 = 8,4 100 db 100%  8,4 · 100 = 840 Egy teljes áru múzeumi belépő 840 Ft-ba kerül.

630 Ft

214



11. FELADATLAP 1. A z új építésű lakások vásárlásakor a vételár 10%-át kell kifizetni szerződéskötéskor, a fennmaradó részt pedig a beköltözéskor. Mennyibe kerül a lakás, ha a szerződéskötéskor

a) 910 000 Ft-ot,

b) 1 390 000 Ft-ot,

c) 3 075 000 Ft-ot kell kifizetni?

2. Egy könyv árát 10%-kal csökkentették, így 450 Ft-tal kerül kevesebbe. Mennyibe került a könyv az árcsökkentés előtt, illetve az árcsökkentés után? 3. Laci sportolni kezdett a nyári szünetben. Két hónap alatt testsúlya 5%-kal csökkent. Így a nyár végén a mérleg 3,2 kg-mal mutatott kevesebbet. Hány kilogramm volt Laci a nyári szünet előtt? 4. Szabó bácsi házának felújításakor a vásárolt festék 75%-át használta el. 15 liter festék maradt meg. Mennyi festéket vásárolt a felújítás előtt?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Végezd el a kijelölt szorzásokat! a) Az eredményt írd fel tört és tizedestört alakban is! 4 14 –– · ––– = 10 100 9 9 ––– · –––– = 100 1000 3 21 ––– · ––– = 100 100 5 12 –––– · –– = 1000 10

b) 5 · 1,3 = 12 · 0,3 = 4,3 · 0,1 = 0,7 · 0,5 = 133,02 · 100 = 313,01 · 0,01 = 11,9 · 0,3 = 0,35 · 0,17 =

2. Végezd el a következô szorzásokat! 40 · 0,0025 = 4 · 0,025 = 0,4 · 0,25 = 0,04 · 2,5 = 0,004 · 25 =



215

3. Egy téglalap alapú kert egyik oldala 15,26 m, a másik oldala 155,5 dm. Mekkora a kert területe? 4. Számítsd ki! 25,5: 0,5 = 8,08 : 2,02 = 43,7112 : 3,12= 7,65 : 0,75 = 122,06 : 22,02 = 5. Egy téglalap alapú úszómedence alapterülete 283,5 m2, szélessége 112,5 dm. Milyen hosszú az úszómedence? Hány liter víz szükséges a medence feltöltéséhez, ha a feszített víztükrû medence 2 m mély? 6. Egy 3 km hosszú útszakasz megépítése után az út szélére két és fél méterenként nyírfákat ültettek. a) Mennyi palántát ültettek el az út mentén?

b) Hány forintba kerültek a palánták, ha darabja 1645 Ft?

7. Egy 3,5 m · 1,5 m-es veteményes kertbe hány darab paradicsompalántát tudunk ültetni, ha a palántákat 2,5 deciméterenként érdemes elültetni? 8. Gondoltam egy számra, megszoroztam 1,2-del, majd elosztottam 2,5-del, így 2,16-ot kaptam eredményül. Melyik számra gondoltam? 9. Gondoltam egy számra, megszoroztam 3,4-del, majd hozzáadtam 24,37-et, és az eredményt elosztottam 4, 0025-del. Melyik számra gondoltam, ha 8-at kaptam eredményül? 10. Egészítsd ki! · 2,6

0,51

· 0,16

0,448

216



11. Végezd el a kijelölt műveleteket! 1 –– + 1,2 ∙ 0,25 = 7 1,3 ∙ 0,26 + 2,7 = 45,32 + 0,12 ∙ 5,69 = 5 –– + 1,2 : 0,3 = 9 3 12. Egy sorozat elsô tagja a 3. Minden tag az elôtte levônek a –– -szerese. Írd fel a sorozat elsô öt tagját 10 tizedestört alakban! 13. Ádám szobája 3,25 m széles és 45,2 dm hosszú. A szoba belmagassága 2,75 m.

a) Mekkora a szoba alapterülete?

b) Mekkora a szoba térfogata?

1 c) Ha tudjuk, hogy a levegô körülbelül –– része oxigén, akkor hány m3 oxigén van Ádám szobájá5 ban?

14. Írd át az alábbi törteket százalék alakba! 99 398 10 7 66 11 50 1 2 38 ––– ; ––– ; ––– ; –––– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; 0,3; 0,63; 2,45; 4,05 100 10 100 1000 25 5 5 2 4 8

15. Írd át a százalék alakban megadott számokat a lehetô legegyszerûbb tört alakú számokká!

55%; 23%; 44%; 7%; 35,5%; 90%; 105%; 3,5%; 75,75%

16. P iroska néni retket termeszt. Termésének 22%-át megtámadták a spanyol csigák. Mennyi retket ültetett Piroska néni, ha 1562 db retek veszett kárba? 17. A z osztály diákönkormányzat választáson 3 tanuló indult: Péter, Ilona és Bálint. Bálint a szavazatok 70%-át kapta, míg Ilona a 20%-át.

a) A szavazatoknak hány százalékát kapta Péter?

b) Hány tanuló jár az osztályba, ha Bálintra összesen 14-en szavaztak?

c) Hány szavazatot kapott Péter és Ilona?



217

18. Mekkora a képen látható lakás területe? Mennyibe kerül a lakás, ha 1 m2 ára 279 ezer Ft, valamint az erkély területének csak az 50%-át számítják bele a vételárba? A vásárlás során mennyibe kerülhet az ügyvédi költség, ha a vételár 1,20%-át kell kifizetni?

19. A képen látható joghurtok közül melyikben található a legtöbb gyümölcs? Az 1. doboz 125 g-jának 13%-a, a 2. doboz 150 g-jának 15%-a, a 3. doboz 500 g-jának 9%-a eper.

0655. MODUL Törtek

Összefoglalás, mérés Készítették: Benczédy-Laczka Krisztina, Malmos Katalin

220



1. FELADATLAP 1. Vizsgáld meg a következő törteket és tizedestörteket! 1 3 1 3 4 8 3 9 –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; –– ; 0,4; 0,2; 0,5; 0,1; 0,9; 1,3; 2,4; 1,2 5 10 2 4 5 5 2 10

a) A törtek közül válaszd ki azokat, amelyek 0 és 1 közé esnek.

b) A tizedes törtek közül válaszd ki azokat, amelyek 0 és 1 közé esnek.

c) A kiválasztott racionális számokat ábrázold számegyenesen, majd rendezd növekvő sorrendbe.

0

1 d) A fenti számokat írd át százalék alakba!

2. FELADATLAP 1. Végezd el a következő műveleteket! Az előző feladatból válassz törteket, illetve tizedestörteket!

a) a + b

a – b

a·b

a : b

(a + b) · c

(a – b) · c

a + b · c

a : b – c

a = b = a = b =

b) a = b = c = a = b = c =

0655. Összefoglalás, mérés


221

3. FELADATLAP 1. Számítsd ki 75-nek a 20%-át! 2. K iárusításkor a hűtőszekrények 72%-át eladták. Hány darab hűtőszekrényt adtak el, ha eredetileg 1200 darab volt? 3. Cipővásáron minden cipő árát 20%-kal csökkentették. Hány forintba került a cipővásáron az a cipő, melynek eredeti ára 4000 Ft volt? 4. Műanyag üveg gyártásakor az alapanyag 20%-a a hulladék. Mennyi hulladék keletkezik 80 kg műanyag üveg gyártásakor?

FELADATGYŰJTEMÉNY 1. A piramis felső három sorában mindegyik szám az alatta lévő két szám összege. Töltsd ki a piramis hiányzó mezőit!

a)

1,75 3 2 3 5

0,3

b)

96,4 122 +31,9 5 3 20 · 2 7 5 · 3+2

2 ·1,25

2. Töltsd ki a táblázatot!

2a + b 1 2 a = –– b = –– 3 3 3 a = –– b = 0,15 4

2 · (a – b)

a·b

a:b

222



3. Végezd el a következô mûveleteket!  2  1 5  1 –– + –– · 3  · –– =  3 6  3  7   5   1   – ––  –  – ––  +  – ––  =  10   2   5  1 2  5  –1 –– + 2 –– –  – ––  = 6 3  6   9  5 13 7  – ––  · –– – –– · –– =  20  18 14 26 1 1 2 1 3 –– : –– + –– · –– – 1 : –– = 3 4 9 9 2 12 2 4 –– : –– : –– = 5 7 9 3  7  4 –– :  –– + ––  = 10  9  5  7 3 2  5  –– – ––  · –– + 2 : –– = 4 3  3  5 4 · 1,2 + (–0,4) · 0,3 – 3 · (–0,71) = 1 3 –– · 0,7 + 3,3 · –– + 2,7 = 3 4 1 7 –– : 0,2 – 5,25 : 1 –– = 8 4  3 3   –– + ––  : 3,2 = 4   2 25,5 : 0,5 – 0,33 · 2,5 =  3 4 9   –– – –– · ––  · 0,3 + 0,25 =  25 3 5  2006 · 0,1 + 2006 · 0,01 + 2006 · 0,001 + 2006 · 0,0001 = 1 1 1 1 1 + –– + –– + –– + –– = 16 8 4 2

5 7 4. A téglalap oldalai –– dm, –– dm. Mekkora a négyszög kerülete és területe? 3 4 5. Egy nappali szoba egyik oldala, mely végig ablakos, 6,25 m hosszú. Hány darab függönyt kell vásárolnunk, ha egy függöny 1,25 m széles és olyan hosszú, hogy éppen földig ér a szobában? 6. 2 005 szeptemberében 6250 Ft-ba került egy felnôtt bérlet. 2006 szeptemberére 6900 Ft-ra emelték fel az árát. Hány százalékkal emelték meg a bérlet árát?

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Recommend Documents