MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A” Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE 2. FÉLÉV
A kiadvány KHF/4363-12/2009. engedélyszámon 2008.08.28. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv
A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.
Szakmai vezető: Oláh Vera Szakmai tanácsadó: Somfai Zsuzsa Alkotószerkesztő: Csatár Katalin, Oláh Judit, Széplaki Györgyné, dr. Fried Katalin Grafika: Birloni Szilvia, Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Király és Társai Kkt, Vidra Gábor Lektor: Pálmay Lóránt Felelős szerkesztő: Teszár Edit
H-AMAT0902 © Szerzők: Birloni Szilvia, Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lövey Éva, Vidra Gábor Educatio Kht. 2008. Tömeg: 560 gramm Terjedelem: 30,66 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos-szakmai szakértő: dr. Marosváry Erika Technológiai szakértő: Zarubay Attila
tartalom
IV. FÜGGVÉNYEK 11. modul: Lineáris függvények (Csákvári Ágnes) ............................................................................ 5 12. modul: Abszolútérték-függvény (Csákvári Ágnes)...................................................................... 27 13. modul: Másodfokú függvény (Csákvári Ágnes) .......................................................................... 57 V. VEKTOROK 14. modul: Vektorok (Vidra Gábor)....................................................................................................... 81 15. modul: Egybevágósági transzformációk (Birloni Szilvia) ........................................................... 95 VI. Algebrai azonosságok, egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek 16. modul: Algebrai azonosságok (Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor) ................................... 113 17. modul: Egyenletek, egyenlőtlenségek, kétismeretlenes egyenletek (Darabos Noémi Ágnes) . ................................................... 143 VII. statisztika 18. modul: Statisztika (Lövey Éva, Gidófalvi Zsuzsa)......................................................................... 171 VIII. kör és részei 19. modul: A kör (Vidra Gábor).............................................................................................................. 201
A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.
11. MODUL lineáris függvények Készítette: Csákvári Ágnes
6
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi idő alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban levő vízmennyiséget az eltelt idő függvényében! Megoldás: 1. Válasz a kérdésre: 16 perc alatt telik meg a kád, mert
80 = 16 . 5
2. Értéktáblázat készítése: T (perc)
1
2
3
4
8
12
16
L (liter)
5
10
15
20
40
60
80
3. Ábrázolás grafikonnal:
4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az x tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x a 5 · x vagy f (x) = 5 x.
7
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Mintapélda2 Egy 20 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt időtől függően! Megoldás:
1. Válasz a kérdésre: A gyertya 1 óra alatt
20 = 5 cm-t csökken, fél óra alatt 2,5 cm-rel 4
lesz alacsonyabb. 2. Értéktáblázat készítése: T (h)
0
0,5
1
1,5
2
3
4
M (cm)
20
17,5
15
12,5
10
5
0
3. Ábrázolás grafikonnal:
4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt időt az x tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x a –5 x + 20. vagy f (x) = –5 x + 20.
8
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda3 Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 110 km/h sebességgel halad. Mennyi idő alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! Megoldás:
1. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t =
v 50 = = 0,4& 5& . s 110
2. Értéktáblázat készítése: s (km) ⎛ km ⎞ v⎜ ⎟ ⎝ h ⎠
1
10
20
30
40
45
50
110
110
110
110
110
110
110
3. Ábrázolás grafikonnal:
4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az x tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így:
x a 110, vagyis f (x) = 110.
9
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
II. A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = mx + b képlettel adhatjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. Ha m = 0, akkor az f ( x ) = b
1. f(x) = mx + b
hozzárendelést kapjuk, melyet konstans (nulladfokú) függvénynek nevezünk.
Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes.
2. f(x) = b
Ha m
0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.
3. f(x) = mx, ha m > 0
4. f(x) = mx, ha m < 0
Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = mx függvény az egyenes arányosság függvénye, az arányossági tényező az m. (Minden x érték esetén az f(x) érték m-szerese az x-nek). A grafikonról leolvashatjuk, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.
10
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda4 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = 2 x − 5 hozzárendeléssel megadott függvényt!
Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a 5 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 2,5. 4. Szigorúan növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű).
Mintapélda5 3 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = − x + 3 hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a −
3 meredekség miatt 4
4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén. 3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 4. 4. Szigorúan csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).
11
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Feladatok 1. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott
függvények grafikonját! a) f (x ) = 2 x ;
b) f (x ) = −2 ;
1 c) f (x ) = − x ; 3
d) f (x ) =
3 . 2
2. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott
függvények grafikonját! a) f (x ) = x − 5 ;
b) f (x ) = − x + 4 ;
c) f (x ) = 5 − 2 x ;
d) f (x ) = 3 x − 4 .
3. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott
függvények grafikonját! 1 a) f (x ) = − x + 5 ; 3
2 b) f (x ) = − x − 1 ; 3
c) f (x ) = 2 x −
1 ; 2
d) f (x ) = −
3 x +1 2
4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott
függvények grafikonját! a) f (x ) =
2x + 3 ; 6
b) f (x ) =
4x −1 ; 2
c) f (x ) = −
− 5x + 1 ; 3
⎛ 2 ⎞ d) f (x ) = −⎜ − x − 1⎟ . ⎝ 3 ⎠
12
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda6 ha
x≤5
⎩2 x − 8, ha
x>5
Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = ⎧⎨ megadott függvény grafikonját!
x − 3,
hozzárendelési utasítással
Megoldás: Ábrázoljuk először az f1 (x ) = x − 3 függvény grafikonját a ] – ∞; 5] intervallumon, majd folytassuk az f 2 (x ) = 2 x − 8 függvény grafikonjával az ] 5; ∞ [ intervallumon. Közben megfigyelhetjük, hogy az x = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik fel a függvények: f1 (5) = 5 − 3 = 2 ,
f 2 (5) = 2 ⋅ 5 − 8 = 2 .
Mintapélda7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = függvény grafikonját!
x 2 − 25 x −5
Megoldás: Egyszerűsítsük a törtet! x 2 − 25 (x + 5) ⋅ (x − 5) f (x ) = = = x + 5, (x − 5) x−5 x 5. Ábrázoláskor figyeljünk arra, hogy a függvény az x = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.
hozzárendelési utasítással megadott
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
13
Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! x(x − 3) x2 x 2 − 16 ; c) f ( x ) = ; a) f ( x ) = ; b) f ( x ) = x x+4 x−3 x ⎧− x + 2, ha x ≥ 2 x 2 + 6x + 9 d) f ( x ) = ; e) f ( x ) = ; f) f ( x ) = ⎨ ; x+3 x ⎩ 2 x − 4, ha x < 2 ⎧− 2 x, ha x ≤ 3 ⎧ x − 2, ha x > −1 ; h) f ( x ) = ⎨ . g) f ( x ) = ⎨ ⎩− 6, ha x > 3 ⎩− x − 4, ha x ≤ −1
Mintapélda8 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( −3; 5) ponton és az y tengelyt a –10 helyen metszi! b) átmegy a P( 2; −1) ponton és grafikonja párhuzamos az f (x ) = −2 x + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonjával!
Megoldás: a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f (x ) = mx + b . Adott: P( −3; 5), valamint b = −10. f (x ) az x helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így
x = −3 és f (− 3) = 5 .
Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe kapjuk: 5 = −3m − 10 ⇒ m = −5 . A keresett hozzárendelési utasítás: f (x ) = −5 x − 10 . b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f (x ) = mx + b . Adott: P( 2; −1). Az előző példához hasonlóan x = 2 és f (2 ) = −1 . Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az f (x ) = −2 x + 6 függvény képével, akkor a meredekségük megegyezik. A keresett hozzárendelési szabályban a meredekség tehát szintén –2. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe kapjuk: −1 = 2·(−2) + b, ebből b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: g (x ) = −2 x + 5 .
14
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 6. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az
a) átmegy a P( 7; 4) ponton, és a meredeksége
1 ! 2
b) átmegy a P( 2 ; 2) ponton és az x tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P( −2; 6) ponton, és meredeksége 0! d) átmegy a P( 100; −1) ponton és párhuzamos az x tengellyel! e) átmegy a P(−1; −4) és a Q( 4; 1) pontokon!
7. a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordináta-
tengelyeket!
f1 (x ) = x + 5 ;
f 2 (x ) = 2 x − 3 ;
f 3 (x ) = − x − 2 ;
b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is!
15
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
II. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása 1. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Mintapélda8 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank havi számlafenntartási díja 300 Ft, de havonta 2 tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 100 Ft. A másik banknál a havi számlafenntartási díj 100 Ft, de minden tranzakció 150 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha havonta 5 tranzakció történik? Havonta hány tranzakció esetén éri meg az első bank, illetve a második? Válaszaidat indokold!
Megoldás: Értéktáblázat készítése: Egyik bank: Havonta a tranzakciók száma
1
2
3
4
5
6
Díj (Ft)
300
300
400
500
600
700
Havonta a tranzakciók száma
1
2
3
4
5
6
Díj (Ft)
250
400
550
700
850
1000
Másik bank:
Hozzárendelési szabályok: x-szel jelöljük a tranzakciók számát. Egyik bank:
⎧300 + (x − 2)⋅ 100, x ≥ 3 ; e(x ) = ⎨ x ∈ {1;2} ⎩300,
Másik bank:
m(x ) = 100 + 150 x .
16
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Grafikon készítése:
Szöveges válasz: Havi 5 tranzakció esetén az első bankot érdemes választani, mert itt csak 650 Ft-ot kell fizetnie, míg az másik banknál 850 Ft-ot. Havi egy tranzakció esetén a második bankban, de 2 vagy annál több tranzakció esetén az elsőben éri meg számlát nyitni.
Feladatok Útmutató a következő 4 feladat megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat a következőképpen: töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatban a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben!
8. Egy új autó 2 500 eFt-ba kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz rá fordí-
tott költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 100 eFt-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó ára csak 800 eFt, de az éves szervizdíja átlagosan 300 eFt. Melyik autóra kell többet költenünk, ha a költségeket az autók 10 éves koráig összeszámoljuk? Melyik az a legkésőbbi időpont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold!
17
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Kitöltendő értéktáblázatok: Új autó év
0
6
7
8
10
11
15
8
10
11
15
költség (eFt)
Használt autó év
0
6
7
költség (eFt)
9. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal
indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 25 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos
s (km)
0
0,5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
t (min) Busz
s (km)
0
0,5
1
t (min)
10. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autó-
busszal. A táv 100 km, a biciklisták 25 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat éri hamarabb a célt? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!
18
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli
s (km)
0
20
40
60
70
80
100
60
70
80
100
t (h; perc) Autóbusz
s (km)
0
20
40
t (h; perc)
11. Kati szeretne beiratkozni könyvtárba. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj,
és minden kölcsönzés 150 Ft. A másik könyvtárban 1200 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az első, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db)
0
1
2
5
7
8
9
7
8
9
Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft)
0
1
2
5
19
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
2. Lineáris egyenlőtlenségek Mintapélda10 Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül az y + 4 < 3x egyenlőtlenség?
Megoldás: Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve kapjuk az y < 3x – 4 egyenlőtlenséget. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azokat a síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a baloldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatók. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík. Az egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshalmazba (ezt szaggatott vonallal jelöljük).
12. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül, hogy
a) y < x;
b) y ≤ 3x + 4;
c) –y ≥ x + 1;
e) 2y > 3x – 4?
13. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek!
Hozzárendelési utasítások: 3 1 1 f (x) = – x – 2 g (x) = x + h (x) = –2 x + 4 4 2 2 Pontok: 1 P(–1; ) Q(5; ) R( − ; ) S(1; ) T(–6; ) 2
i (x) = x – 3
U(0; )
V(3,5 ; )
14. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a
megoldási halmazt! a) y
3;
1 b) − x + 4 > 0,5, 3
c) –1
y < 5,
d) 2 x – 4
2.
15. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a
megoldási halmazt! a) x + 4 > x – 2;
b) 3 x – 2
–2 x + 5;
c) –5 x – 7 < –5 x + 1;
d)
3 x–1 2
–x.
20
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
16. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenlőtlenségeket! Színezd ki a
megoldási halmazt! a) y > 3 x – 1;
b) y
3 és |x| < 1;
c) y < –2 x + 1 és –1 < x < 5.
17. Jellemezd az adott ponthalmazokat!
a)
b)
21
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
IV. Előjel-, törtrész és egészrész függvény 1. Előjelfüggvény Azt a függvényt, amely a negatív valós számokhoz –1-et, a pozitív valós számokhoz +1-et, a 0-hoz pedig 0-át rendel, előjelfüggvénynek (szignum függvénynek) nevezzük. ⎧ 1, ha x > 0 ⎪ A valós számok halmazán értelmezett sgn( x) = ⎨ 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással ⎪− 1, ha x < 0 ⎩
megadott függvény grafikonja a következő: Jellemzés: É.T.:
R.
É.K.:
{–1; 0; 1}.
Zérushely:
x = 0.
Monotonitás:
monoton növekvő.
Szélsőérték:
minimumhely: minden x < 0 esetén;
minimumérték: –1;
maximumhely: minden x > 0 esetén;
maximumérték: 1.
Paritás:
páratlan, mert sgn(–x) = –sgn(x).
2. Egészrész-függvény Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Az egészrész jele: [x] A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük.
Grafikonja a következő:
22
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Jellemzés: É.T.:
R.
É.K.:
Z.
Zérushely:
0
Monotonitás:
Az értelmezési tartományán monoton növekvő, de szakaszonként
x < 1.
állandó. Ha k egész szám, akkor k Szélsőérték:
x < k+1 helyeken k értéket veszi fel.
nincs szélsőértéke.
3. Törtrész-függvény Ha egy számból elveszük az egészrészét, akkor a „törtrésze” marad. Jelölése: x − [x] = {x} A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következő: Jellemzés: É.T:
R.
É.K:
[0; 1[.
Zérushely:
x
Monotonitás:
Ha k
Szélsőérték:
minimumhely: x
Z. Z, akkor a [k; k+1[ intervallumon szigorúan növekvő. Z;
minimumérték: 0;
maximuma nincs. A függvény periodikus, vagyis tetszőleges helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az 1-gyel, vagy bármely egész számmal nagyobb helyen. Az 1 a legkisebb ilyen pozitív egész szám, ezt nevezzük a periódus hosszának. Jelöléssel: f(x + 1) = f(x), tetszőleges k
Z esetén f(x) = f(x + k).
23
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
Mintapélda11 Ábrázold a következő függvényeket! a) f(x) = [2x];
b) g(x) = 2{x};
c) h(x) = sgn (x + 1).
Megoldás: a) A függvény a 0 értéket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [0 2[ = 0, de [0,5 2[ = 1. Az 1 értéket a [0,5; 1[ intervallumon veszi fel, pl.: [0,5 2[ = 1, de [1 2[ = 2 stb. A grafikon:
b) Az alapfüggvény minden függvényértéke kétszeresére nő:
c) A függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel:
24
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 18. Ábrázold a következő függvényeket!
1 [x]; 2
a) f(x) = –[x];
b) f(x) = [–x];
c) f(x) =
d) f(x) = [x] + 1;
e) f(x) = [x ] – 1;
f) f(x) = [x + 1];
g) f(x) = [x – 1].
19. Ábrázold a következő függvényeket!
a) f(x) = –{x};
b) f(x) = {–x};
d) f(x) = {x} – 1;
e) f(x) = {x + 1}.
⎧1 ⎫ c) f(x) = ⎨ x ⎬ ; ⎩2 ⎭
20. Ábrázold a következő függvényeket!
a) f(x) = –sgn(x);
b) f(x) = sgn(–x);
d) f(x) = sgn(x) – 1;
e) f(x) = 2 sgn(x).
c) f(x) = sgn( |x| );
11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK
25
Kislexikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége. Grafikon-
ja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete) mindig megadható f (x ) = mx + b
alakban, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont 2. koordinátája. b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón. Ha m = 0, akkor a függvény konstans függvény, grafikonja párhuzamos az x tengellyel. Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra
haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépni pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása:
–
ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növő, vagyis ha az x helyébe bármely két különböző valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez nagyobb függvényérték tartozik.
–
ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökkenő, vagyis ha az x helyébe bármely két különböző valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez kisebb függvényérték tartozik.
Pont és egyenes illeszkedése: A P(x0;y0) pont rajta van az f (x ) = mx + b hozzárendelési uta-
sítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0 -t; f(x) helyébe y0 -t helyettesítve az egyenlőség teljesül. Ha y0 > mx0 + b , akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el, ha y0 < mx0 + b , akkor pedig alatta van. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,
akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f (x ) = mx , m ≠ 0 lineáris függvény írja le, ahol m az arányossági tényező.
26
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Előjelfüggvénynek (szignumfüggvénynek) nevezzük a valós számok halmazán értelmezett ⎧ 1, ha x > 0 ⎪ sgn( x) = ⎨ 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt. ⎪− 1, ha x < 0 ⎩
Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x−nél. Az egészrész jele: [x]. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Ha egy számból elveszük az egész részét, akkor a „törtrésze” marad. Jelölése: x − [x] = {x}. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük.
12. MODUL abszolútértékfüggvény Készítette: Csákvári Ágnes
28
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. |0|=0 ⎧ a, ha a ≥ 0 a =⎨ ⎩− a, ha a < 0 A valós számok halmazán értelmezett abszolútérték-függvényt az ⎧ x, ha x ≥ 0 f ( x) = x = ⎨ ⎩− x, ha x < 0 hozzárendelési utasítással definiáljuk. Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen.
Az abszolútérték-függvény ( f (x) = |x| ) tulajdonságai x
–53
–10,5 –5
–4
f (x)
53
10,5
4
5
3 2 3 2
–
.
–1
–0,63
1
0,63
.
0
1
0
1
2 3 2 3
2
3
11,36
2
3
11,36
1. Monotonitás: – Ha x < 0, akkor növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = |x| függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. – Ha x
0, akkor növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a
függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekvő. 2. Zérushely: Az f(x) = |x| függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel. 3. Szélsőérték: Az f (x) = |x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van.
29
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
(Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési
tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f(x) = 0. A g (x) = –|x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen maximuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton növekvő, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton csökkenő.) Másképp: a g függvény az értelmezési
tartományának x = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g (x)=0.
Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: x
–53
–10,5
–5
–4
g(x)
–53
–10,5
–5
–4
3 2 3 – 2
–
.
–1
–0,63
–1
–0,63
.
0
1
0
–1
2 3 2 – 3
2
3
11,36
–2
–3
–11,36
4. A h (x) = x − 3 függvénynek az x = 0-ban helyi (lokális) maximuma van, és maxi-
mumértéke h(0)=3. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az x = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel 3-nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz.
x h(x)
–6 3
–5 2
–4 1
–3 0
–2 1
–1 2
0 3
1 2
2 1
3 0
4 1
5 2
6 3
30
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda1 Az f (x) = –
3 |x| + 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve 2
használjuk a tanult jelöléseket! Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! x
0
–2
f(x)
5
2
4 9 13 3
—
0
10 10 14 14 ; − ; − 3 3 3 3
6
5
0
–2
Megoldás: Függvényértékek számítása: 3 f(0)=– ·|0|+5=5 2 3 3 f ( –2 ) = – · | –2 | + 5 = – · 2 + 5 = –3 + 5 = 2 2 2 4 3 4 3 4 2 2 15 13 = f( )=– ·| |+5=– · +5=– +5=– + 9 2 9 2 9 3 3 3 3 Adott függvényértékek esetén az x értékek számítása: Tipp az x helyek számára: 0
f (x) = 6
A tipp indoklása: a – 32 |x| sohasem lehet pozitív, így a függvény 5–nél nagyobb értéket nem vehet fel. –
3 |x|+5=6 2
3 – |x|=1 2 |x|=–
2 3
Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza.
f (x) = 5
–
3 |x|+5=5 2
–
3 |x|=0 2
|x|=0 x=0
Tipp az x helyek számára: 1
31
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Tipp az x helyek számára: 2
f (x) = 0
–
3 |x|+5=0 2
–
3 | x | = –5 2
10 ⎧ 10 ⎪ x1 = 3 |x|= =⎨ 3 ⎪ x = − 10 2 3 ⎩
A többi függvényértékhez tartozó x helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni.
Feladatok Az 1., 2., 3., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás előtt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted. 1. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a
tanult jelöléseket! a) a (x) = 3 |x| 0 x a(x)
–1
2/3 6
1
0
–3
3
0
–2
6
4
1
0
–2
–1
4
1
–1
0
5 3
3
10 3
b) b (x) = –|x| + 4 –2 x b(x)
0
4
c) c (x) = |–2 x| – 1 –2 x c(x) d) d (x) = x d(x)
–
6 5
0
4
2 |x – 3| 3 0
0,75
32
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
2. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a
tanult jelöléseket! 1 a) a (x) = ·| x | – 2 2 a ( –8 ) = ?; a ( –1 ) = ?; a ( 4 ) = ? x = ?, ha a (x) = 4; 1; 0; –2; –4 b) b (x) = 2 | x + 3 | b ( 0,5 ) = ?; b ( 0 ) = ?; b ( 5 ) = ? x = ?, ha b (x) = –3; 0; c) c (x) = –
1 ; 1; 2. 2
1 |x|+4 2
c ( –2 ) = ?; c ( 0 ) = ?; c ( 1,24 ) = ? x = ?, ha c (x) = 5; 4;
3 ; 0; –0,5. 2
d) d (x) = | x – 4 | – 5 d ( –8 ) = ?; d ( –2 ) = ?; d ( 3 ) = ? x = ?, ha d (x) = 4; 0; –1; –5; –6.
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
3. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a
tanult jelöléseket! a) a (x) = –| x – 6 | + 8 a ( –1 ) = ?; a ( 3 ) = ?; a ( 10 ) = ? x = ?, ha a (x) = 10; 6; 4; 0; –2. b) b (x) = | x + 2 | – 3 b ( – 5 ) = ?; b ( 1 ) = ?; b ( 13 ) = ? x = ?, ha b (x) = –4; –3; 0; 2; 5. c) c (x) = 3 | x + 2 | c ( –2
2 ) = ?; c ( 0 ) = ?; c ( 0,1 ) = ? 3
1 4 x = ?, ha c (x) = 3 ; 3; ; 0; –0,5. 3 3 d) d (x) = –| x + 1 | + 1 d ( –3 ) = ?; d ( 0 ) = ?; d ( 1,75 ) = ? x = ?, ha d (x) = 2; 1;
3 ; 0; –4. 2
33
34
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = | x |, a g (x) = | x | – 3 illetve a (x) = | x | + 2 hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x
–5
–4,3
–3
–2
–1
0
g(x)
2
1,3
0
–1
–2
–3
h(x)
7
6,3
5
4
3
2
⎧ x − 3, ha x ≥ 0 g (x) = ⎨ ⎩− x − 3, ha x < 0
2 3 7 − 3 8 3
2
3
4
5
–1
0
1
2
4
5
6
7
⎧ x + 2, ha x ≥ 0 h (x) = ⎨ ⎩− x + 2, ha x < 0
Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény megfelelő értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelelő értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f (x) függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén –3 illetve +2 egységgel. Általánosságban: a g (x) = | x | + a („a” 0–tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = | x | függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |a| egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.
35
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Az abszolútérték-függvény transzformálása: x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = | x |, a g (x) = | x + 1 | illetve a h (x) = | x – 2 | hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x
–5
–4,3
–3
–2
–1
0
f(x)
5
4,3
3
g(x)
4
3,3
x
–5
f(x) h(x)
1
2
1
0
2
1
0
1
2
–4,3
–3
–2
–1
0
1
5
4,3
3
2
1
0
1
7
6,3
5
4
3
2
1
1
4 3 4 3 4 3
2
3
4
5
2
3
4
5
3
4
5
6
2
3
4
2
3
4
0
1
2
3 5 3 4 5 3 2 5 4
5 5 3
⎧ x + 1 , ha x ≥ −1 g (x) = ⎨ ⎩− x − 1 , ha x < −1 ⎧ x − 2 , ha x ≥ 2 h (x) = ⎨ ⎩− x + 2 , ha x < 2
Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy
36
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba 1 egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = | x + a | („a” 0–tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = | x | függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén |a| egységgel „a” előjelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba.
Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás 1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját!
f (x) = | x |; g (x) = 3 | x |;
h (x) = −
1 x. 2
Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját!
x g(x)
–3 9
–2 6
x
–3 3 2
–2,5
h(x)
1,25
⎧3x , ha x ≥ 0 g(x)= ⎨ ⎩− 3 x , ha x < 0
–1 3 –1 1 2
0 0
1,3 3,9 0 0
1 1 2
2 6 2 1
3 9 3 3 2
⎧ 1 ⎪− 2 x , ha x ≥ 0 h(x)= ⎨ 1 ⎪ x , ha x < 0 ⎩2
37
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
2. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját:
f (x) = | x |; g (x) = 3 | –x |; h (x) =
1 −x ! 2
Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját!
x –x g(x)
–3 3 9
–2 2 6
x –x
–3 3 3 2
–2,5 2,5
h(x)
1,25
–1 1 3 –1 1 1 2
0 0 0
1,3 –1,3 3,9
2 –1 6
3 –3 9
1 –1 1 2
2 –2
3 –3 3 2
0 0 0
1
⎧3x , ha x ≥ 0 g(x)= ⎨ ⎩− 3 x , ha x < 0
⎧1 ⎪ x , ha x ≥ 0 h(x)= ⎨ 2 1 ⎪− x , ha x < 0 ⎩ 2
Észrevehetjük, hogy 1. az |x| és az |–x| függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek 2. az f függvény értékeit 3-mal szorozva, a g függvény értékeit, míg
1 –del szorozva, a 2
h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelelő lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényező. Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f (x) = | x | függvényből a g (x) = a | x | függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényező – 0 és 1 között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, – 1-nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, – negatív, akkor a grafikon az x tengelyre is tükröződik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris
függvényből is a következő módon: először a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az x tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az x tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.
38
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
4. Válaszolj a következő kérdésekre!
1. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen? 2. Mi az abszolútérték-függvény definíciója? 3. A függvény legyen adott f (x) = | x | + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, 1 ill. 2 helyen? 4. A függvény legyen adott f (x) = | x | + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetszőleges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, 1 ill. 2 zérushelye? 5. Mi a különbség az f (x) = | x + 5 |, illetve az f (x) = | x | + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f (x) = | x – 1 | + 3 függvénynek hol van szélsőértéke? Maximuma vagy minimuma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f (x) = | x + 1 | + 3 függvény szélsőértéke a 6. feladatban található függvény szélsőértékéhez képest? 8. Az f (x) = c | x | függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maximuma? 9. Hogyan változik az f (x) = | x | függvény grafikonja, ha az | x |–t megszorozzuk egy ]0;1[ intervallumbeli számmal? 10. Jellemezd az f (x) = c | x | hozzárendelési utasítással megadott függvény monotonitását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!
39
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda2 3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – | x |, x [ –4;6 [ hozzárende4 lési utasítással megadott függvényt!
Megoldás: Értéktáblázattal:
x
–4
f(x)
–3
–3 9 – 4
–2 3 – 2
–1 3 – 4
0
1
0
–
2 3 4
–
3 3 2
–
9 4
4
5
5,9
–3
–4,75
–4,425
Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 3 2. g (x) = | x | 4 3 3. f (x) = – | x | 4 Definíció szerint: ⎧ 3 ⎪− 4 x , ha x ≥ 0 f (x) = ⎨ 3 ⎪ x , ha x < 0 ⎩4
Jellemzés: –
É.T.: –4 ≤ x < 6, ahol x valós.
–
É.K.: –4,5 < f (x) ≤ 0.
–
Zérushely: x = 0.
–
Monotonitás: –4 ≤ x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő. 0 ≤ x <6 intervallumon szigorúan monoton csökkenő.
–
Szélsőérték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = 0.
40
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az
f (x) = –| x | – 2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal:
x f(x)
–4 –6
–3 –5
–2 –4
–1 –3
0 –2
1 –3
2 –4
3 –5
4 –6
Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 2. g (x) = –| x | 3. f (x) = –| x | – 2 Definíció szerint:
⎧− x − 2 , ha x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩ x − 2 , ha x < 0 Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x) ≤ –2.
–
Zérushely: nincs.
–
Monotonitás:
R.
x ≤ 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 < x esetén szigorúan monoton csökkenő.
–
Szélsőérték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = –2.
41
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az
f (x) = | x – 6 | + 1 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás: Értéktáblázattal:
x f(x)
–3 10
0 7
3 4
4 3
5 2
6 1
7 2
9 4
12 7
Transzformációs lépések: 1. h (x) = | x | 2. g (x) = | x – 6 | 3. f (x) = | x – 6 | + 1 Definíció szerint: , ha x ≥ 6 ⎧x − 6 + 1 = x − 5 f (x) = ⎨ ⎩− x + 6 + 1 = − x + 7 , ha x < 6
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x)
–
Zérushely: nincs.
–
Monotonitás: x < 6 esetén szigorúan monoton csökkenő. x 6 esetén szigorúan monoton növekvő.
–
Szélsőérték: x = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) = 1.
R.
1.
42
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = –
2 | x + 1 | hozzárendelési 3
utasítással megadott függvényt!
Megoldás: Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x + 1 | 3. g (x) =
2 |x+1| 3
4. f (x) = –
2 |x+1| 3
Definíció szerint: 2 ⎧ 2 ⎪− 3 x − 3 , ha x ≥ −1 f (x) = ⎨ 2 2 ⎪ x+ , ha x < −1 3 ⎩3
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x) ≤ 0.
–
Zérushely: x = 0.
–
Monotonitás:
R.
x < –1 esetén szigorúan monoton növekvő. x
–
–1 esetén szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték: x = –1 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( –1 ) = 0.
43
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda6 3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – | x – 3 | + 8, x 2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt!
[ –2; 5 [
Megoldás:
Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x – 3 | 3. g (x) = –
3 |x–3| 2
3 4. f (x) = – | x – 3 | + 8 2
Definíció szerint: 3 9 3 25 ⎧ 3 ⎪− 2 (x − 3) + 8 = − 2 x + 2 + 8 = − 2 x + 2 , ha 3 ≤ x < 5 f (x) = ⎨ 3 3 9 3 7 ⎪ (x − 3) + 8 = x − + 8 = x + , ha − 2 ≤ x < 3 2 2 2 2 ⎩2
Jellemzés: – – –
É.T.: x [ –2; 5 [ , ahol x valós. 1 É.K.: ≤ f (x) ≤ 8. 2 Zérushely: nincs.
–
Monotonitás: 3 ≤ x < 5 intervallumon szigorúan monoton csökkenő. − 2 ≤ x < 3 intervallumon szigorúan monoton növekvő.
–
Szélsőérték: x = 3 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 3 ) = 8. x = –2 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( –2 ) =
1 . 2
44
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = | | x + 5 | – 4 | hozzárendelési utasítással megadott függvényt!
Megoldás: Transzformációs lépések: 1. l (x) = | x | 2. h (x) = | x + 5 | 3. g (x) = | x + 5 | – 4 4. f (x) = | | x + 5 | – 4 | Definíció szerint:
⎧x + 1 ⎪− x − 1 ⎪ f (x)= ⎨ ⎪x + 9 ⎪⎩− x − 9
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: 0 ≤ f (x).
–
Zérushely: x = –9 és x = –1 helyeken.
–
Monotonitás:
–
, ha , ha , ha , ha
x ≥ −1 − 5 ≤ x < −1 − 9 ≤ x < −5 x < −9
R.
x ≥ −1 esetén szigorúan monoton növekvő.
− 5 ≤ x < −1 intervallumon szigorúan monoton csökkenő.
− 9 ≤ x < −5 intervallumon szigorúan monoton növekvő
x < −9 esetén szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték: x = –9 és x = –1 helyeken minimuma van.
A minimum értéke: f ( –9 ) = f ( –1 ) = 0. x = –5 helyen lokális maximuma van. A maximum értéke: f ( –5 ) = 4.
45
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = |x – 3| + |x – 5|, x [–5;10[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt!
Megoldás: Definíció szerint:
⎧ x − 3 , ha x ≥ 3 g (x) = | x – 3 | = ⎨ ⎩− x + 3 , ha x < 3
⎧ x − 5 , ha x ≥ 5 h (x) = | x – 5 | = ⎨ ⎩− x + 5 , ha x < 5
Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja 3-nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest 3 részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt.
Összegezve: ⎧2 x − 8 , ha 5 ≤ x < 10 ⎪ f (x) = ⎨2 , ha 3 ≤ x < 5 ⎪− 2 x + 8 , ha − 5 ≤ x < 3 ⎩
46
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Jellemzés: – É.T: x
[ –5; 10 [.
– É.K: 2 ≤ f (x) ≤ 18. – Zérushely: nincs. – Monotonitás:
5 ≤ x < 10 intervallumon szigorúan monoton növekvő.
3 ≤ x < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel.
− 5 ≤ x < 3 intervallumon szigorúan monoton csökkenő.
– Szélsőérték:
3 ≤ x < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f (x) = 2.
x = –5 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( –5 ) = 18.
Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = | x + 5 |, 8
x
3;
b) f (x) = | x – 7 |;
d) f (x) = | x | – 4, 6
x
4;
e) f (x) = –| x |;
4 f) f (x) = – | x |, x 5
[ –4; 8 [;
3 g) f (x) = | x |, x 2
c) f (x) = | x | + 3;
] –6; 3 ];
h) f (x) = –3 | x |;
i) f (x) = –| x | – 1;
j) f (x) = –| x + 4 |, –5 < x < 1;
k) f (x) = |–3 x | ;
l) f (x) = | 2 x | ;
m) f (x) = –| x | + 5.
6. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 2 | x + 1 |; 3
a) f (x) = 2 | x – 4 |, 1 < x < 7;
b) f (x) = –
d) f (x) = | x + 3 | – 2, x
e) f (x) = | 3 x | + 2, –3
[–6;4];
3 | x | – 5, –2 < x < 4; 4 j) f (x) = –4 | x – 2 |, x ] –2; 5 ];
g) f (x) = –
h) f (x) = –2 | x | + 10; k) f (x) = | x – 2 | – 1;
c) f (x) = | x – 3 | + 4;
x < 5;
1 | x | – 2; 4 1 i) f (x) = | x + 3 |; 3 l) f (x) = –| x + 1 | + 3. f) f (x) =
47
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
7. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) =
1 x + 4 −2; 3
b) f (x) = −
d) f (x) = | 2 x + 5 | + 1, x
[ –8; 1 ];
f) f (x) = | –4 x + 8 | + 2, x
[ –3; 7 ];
h) f (x) = | 2 | x – 1 | – 3 |, x j) f (x) = | –
5 x −5 +8, x 2
] –5; 6 ];
1 | x | + 3 |, –15 < x 3
[ –1; 8 [;
c) f (x) = 2 x + 5 + 1 ;
1 x | – 4 , x [–10;0[; 2 2 4 g) f (x) = − x − − 5 ; 3 3 i) f (x) = | | x + 4 | – 5 |; e) f (x) = | 3 +
15.
8. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x ) = | –5 | x – 3 | + 2 |; d) f (x ) = | x | + | x + 2 |; x f) f (x) = |x + 1| – |x|;
b) f (x) = | x | + x; ] –8; 3 [;
c) f (x) = 2 x – | x |; x
e) f (x) = | x – 1 | + | x – 6 |; x
[ –6; 4 ];
[ –5; 10 [;
g) f (x) = –|x – 2| – |x + 4|; h) f (x) = 2 |x – 3| + |x + 1| – 2.
9. Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordináta-
rendszer tengelyeit! a) f (x) = | x |
b) f (x) = –| x |
48
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
c) f (x) = | x + 5 |
e) f (x) = –
1 |x–3| 4
TANULÓK KÖNYVE
d) f (x) = –2 | x | + 8
1 3 f) f (x) = | x | – 2 2
g) f (x) = | x + 3 | – 6
h) f (x) = | x – 4 | – 3
i) f (x) = | x – 2 | + 3
j) f (x) = –| x + 1 | + 4
49
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = –| x – 10 | + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség:
Másik lehetőség:
1. x tengely menti eltolás
1. x tengelyre történő tükrözés
2. x tengelyre történő tükrözés
2. x tengely menti eltolás
3. y tengely menti eltolás
3. y tengely menti eltolás
Feladat 10. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő
hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: – x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = | x | + 1;
b (x) = | x + 1 |;
c (x) = –| x |;
d (x) = –| x | – 2;
e (x) = –| x – 2 |;
f (x) = | x + 1 | + 2;
g (x) = | x – 2 | – 1;
h (x) = –| x + 3 | – 4.
50
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda10 Állítsuk sorrendbe az előbbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az 2 m (x) = – | x + 2 | – 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az 3 alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű) 1. x tengely menti eltolás 2. x tengelyre történő tükrözés 3. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. (3·2·1 – 1 = 3! – 1 = 5 )
Feladat 11. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő
hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: – x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a (x) = 2 | x | + 3; d) d (x) = –
4 |x|+4; 3
2 |x–2|; 3 1 e) e (x) = – | x + 3 | – 2; 3
b) b (x) = –
c) c (x) = –
1 | x + 1 |; 2
f) f (x) = 3 | x – 1 | + 1.
51
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
III. Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda11 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 | = 3 egyenletet! Megoldás:
A keresett értékek: x1 = −8 , illetve x2 = −2 .
Mintapélda12 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 |
3 egyenlőtlenséget!
Megoldás:
A keresett intervallum: –8
x
–2.
Mintapélda13 Oldjuk meg grafikusan a | x + 5 | > 3 egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallumok: x1 < –8 vagy x2 > –2.
Feladat 12. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) | x | −2 ≥ 1 ;
b) − | x | +3 > − 4 ;
c) | x + 4 |< 5 ;
d) − | x − 2 |≤ 1 ;
e) | x |= x .
52
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda14 1 Oldjuk meg az | x – 2 | – 4 = – x + 2 egyenletet! 2 1. megoldás (grafikus):
A keresett értékek: x1 = −8 , x2 ≈ 5 .
2. megoldás (algebrai): Az abszolútérték definícióját alkalmazzuk (esetszétválasztás): I. x – 2 ≥ 0 eset: | x − 2 | = x − 2 behelyettesítéssel adódik: 1 16 1 x – 2 – 4 = – x + 2, ebből x1 = =5 2 3 3 II. x – 2 < 0 eset: | x − 2 | = − (x − 2 ) behelyettesítéssel adódik: 1 – ( x – 2 ) – 4 = – x + 2, ebből x2 = – 8 2 1 A megoldás tehát x1 = 5 , x2 = −8 . 3
Mintapélda15 1 Oldjuk meg grafikusan a | x – 2 | – 4 ≥ – x + 2 egyenlőtlenséget! 2 Megoldás:
A metszéspontok x koordinátáját az előző mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: x < –8 vagy 5
1 <x 3
53
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
Mintapélda16 1 Oldjuk meg grafikusan a | x – 2 | – 4 < – x + 2 egyenlőtlenséget! 2 Megoldás:
A metszéspontok x koordinátáját a 13. mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: –8
x
1 5 . 3
Feladatok 13. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket, egyenletet!
a) | x + 2 | −5 < 2 ;
b) | x + 3 |≥ − x + 3 ;
c) | x − 4 | −2 =
1 x − 2; 2
d) | x |> 2 x + 3 .
14. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket!
a) − 3 =| x − 2 | −5 ;
b) | x − 2 | −5 = 5 ;
c) − 3 <| x − 2 | −5 ≤ 5 ;
15. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor
a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete színű legyen! a) | x | < 3 és y
4;
b) | x |
3 és y < 4;
c) | x |
3 és y > 4 .
Mintapélda16 Színezzük ki azon pontok halmazát, melyek koordinátáira teljesül, hogy | x | < 4 és | y | < 2! A színezéshez használjuk fel a 15. feladatban leírtakat! Megoldás:
54
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 16. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket!
1 2 | x | −3 = x + 3 ; 2 3
a) − 2 x − 8 =
1 | x | −3 ; 2
b)
c) − 2 x − 8 ≤
1 2 | x | −3 < x + 3 ; 2 3
d) − 2 x − 8 >
1 1 2 | x | −3 vagy x − 3 ≥ x + 3 . 2 2 3
17. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket, egyenlőtlenségeket!
3 a) − 2 | x − 3 | +5 > − x + 6 ; 2
b) | x | −2 ≥ − | x | ;
c) | x + 8 | +7 < − | x + 5 | +1 ;
d) | x − 4 | +2 ≤| x − 5 | +3 ;
e) | x − 3 | + | x |= 3 .
18. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor
a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete színű legyen! a) | x | < 4 és | y |
2;
b) | x |
4 és | y | > 2;
c) | x |
4 és | y |
2.
12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY
55
Kislexikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. |0|=0. ⎧ a, ha a ≥ 0 a =⎨ ⎩− a, ha a < 0 Legyen x tetszőleges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény: ⎧ x, ha x ≥ 0 f ( x) = x = ⎨ ⎩− x, ha x < 0 Tulajdonságai:
1. Monotonitás Ha x < 0, akkor növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = |x| függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő.
Ha x
0, akkor növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a
függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük. 2. Zérushely: Az f (x) = |x| függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel. 3. Szélsőérték: Az f (x) = |x| függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökkenő, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekvő.) Másképp: az f függvény az értelmezési
tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f (x) = 0
13. MODUL másodfokú függvények Készítette: Csákvári Ágnes
58
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f (x) = x2 alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : –5
–4
f (x) 256 110,25 25
16
x
–16 –10,5
3 2 9 4
–
–1
–0,63
0
1
1
0,3969
0
1
2 3 4 9
2
3
11,3
4
9
127,69
Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f (x) = x2 függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek első tagja egy tetszőleges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következő görbét kapjuk:
Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen x2 = (–x)2. A parabola szimmetriatengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük.
Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út–idő kapcsolatnál.
A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai 1. Monotonitás – Ha x ≤ 0, akkor növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökkenő. – Ha x
0, akkor növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. Így a függvényt
ezen a tartományon szigorúan monoton növekvőnek nevezzük.
59
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
2. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f (x) = x2 függvénynek az x = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az x tengellyel. 3. Szélsőérték Az f (x) = x2 függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban szélsőértéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét.
Tekintsük a g (x) = –x2 függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt!
x
–16
–10,5
–5
–4
g ( x)
–256
–110,25
–25
–16
3 2 9 – 4 –
–1
–0,63
0
1
–1
–0,3969
0
–1
2 3 4 – 9
2
3
11,3
–4
–9
–127,69
A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0 helyen szélsőértéke, nevezetesen maximuma van. A g függvény nempozitív x-ek esetén szigorúan monoton növekvő, nemnegatív x-ekre pedig szigorúan monoton csökkenő. Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét.
Mintapélda1 Az f (x) = ( x – 3 )2 + 2 hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás előtt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát!
60
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
a) x
0
2
–3
4,5
6
1
2
4,25
3
6
f ( x)
b) x f ( x)
Megoldás:
a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 – 3 )2 + 2 = ( –3 )2 + 2 = 9 + 2 = 11 f ( 4,5 ) = ( 4,5 – 3 )2 + 2 = ( 1,5 )2 + 2 = 2,25 + 2 = 4,25
A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: x
0
2
–3
4,5
6
f ( x)
11
3
38
4,25
11
b) x értékek kiszámítása: Tipp az x helyek számára: 0
f (x) = 1
Gondolkozzunk! Az (x – 3)2 előjele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következő +2 miatt ez a minimumérték +2, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f (x) = 2 függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. (x – 3)2 + 2 = 1 (x – 3)2 = –1
Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. A fenti tipp ellenőrzése
f (x) = 2
(x – 3)2 + 2 = 2 (x – 3)2 = 0 x–3=0 x=3
61
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
A fenti tipp ellenőrzése
f (x) = 3
(x – 3)2 + 2 = 3 ⎧ x − 3 = 1 → x1 = 4 (x – 3)2 = 1 ⎨ ⎩ x − 3 = −1 → x 2 = 2
A további x értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: x f ( x)
1
0
1,5; 4,5
4; 2
5; 1
2
4,25
3
6
Feladatok A 2. és a 3. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, 1 vagy 2 helyen is felvehet. Számítás előtt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát! Számításodat grafikonon ellenőrizheted. 1. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult
jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a (x) = –x2 + 3 –6
x
–5
–2
0
1
2
4
4,5
6
a( x )
b) b (x) = ( x – 4 )2 + 3 0
x b( x )
c) c (x) = 2 x2 – 8 c (–2 ) = ?; c ( −
d) d (x) =
1 3 ) = ?; c ( ) = ?; c ( 1 ) = ?; c ( 2 ) = ? 2 2
1 2 x –2 4
d (–1 ) = ?; d ( 0 ) = ?; d ( 2 ) = ?; d (
1 ) = ?; d ( 4 ) = ? 2
62
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
e) e (x) = –
TANULÓK KÖNYVE
1 2 x +4 2
e (–2 ) = ?; e ( 0 ) = ? ; e (1,24) = ? f) f (x) = 3 (x + 2)2
2 f (–2 ) = ?; f ( 0 ) = ?; f (0,1) = ? 3 g) g (x) = –(x + 3)2 g (–6) = ?; g ( –5 ) = ?; g (–2) = ?; g ( 0 ) = ?; g ( 1 ) = ?
1 h) h (x) = – (x + 3)2 3 h (–6) = ?; h (–5) = ?; h ( –2 ) = ?; h ( 0 ) = ?; h ( 1 ) = ?
i) k (x) = (x – 4)2 – 5 k (–8) = ?; k (–2) = ?; k ( 3 ) = ?
j) l (x) = –(x + 1)2 + 1 l (–3) = ?; l ( 0 ) = ?; l ( 1,75 ) = ? 2. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult
jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó x helyeket! a) a (x) = –x2 + 3 x a (x)
0
–2
4
3
–6
2
3
4,25
6
b) b (x) = (x – 4)2 + 3 x b (x)
1
c) c (x) = 2 x2 – 8 x = ?, ha c (x) = 0; –10; –8; 4,5; –9.
d) d (x) =
1 2 x –2 4
x = ?, ha d (x) = 0; –4; –2; −
31 ; –1. 16
63
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
e) e (x) = –
1 2 x +4 2
x = ?, ha e (x) = 5; 4;
3 ; 0; –0,5. 2
f) f (x) = –(x + 3)2 x = ?, ha f (x) = –5; –3; 0; 1;
2 . 3
g) g ( x ) = 3 ( x + 2 )2 1 4 x = ?, ha g (x) = 3 ; 3; ; 0; –0,5. 3 3 1 h) h (x) = – (x + 3)2 3 1 5 x = ?, ha h (x) = 3; 0; − ; –1; − . 9 3 i) k (x) = (x – 4)2 – 5 x = ?, ha k ( x ) = 4; 0;–1; –5; –6.
j) l (x) = –(x + 1)2 + 1 x = ?, ha l (x) = 2; 1;
3 ; 0; –4. 2
3. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot!
a) f (x) = (–2 x)2 – 1 x
–2
0
4
f (x)
0
–2
–1
4
1
–1
0
5 3
3
10 3
2 b) g (x) = (x – 3)2 3 6 0 0,75 x – 5 g (x)
64
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
4. Egy 4 m széles, 3 m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút
közepén haladva. Az alagút formája követi az f (x) = –
1 2 x + 4 másodfokú függvény 2
grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 10 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 38 m széles folyón átívelő
híd alatt. A vitorlás szélessége 2 m. A híd íve követi az f (x) = –
1 2 x + 12 másodfokú 32
függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud–e kelni a folyó partjától 10 m-re? (A vitorlás árboca 10 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre
süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 10 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f (x) =
1 2 x – 8 függvény 2
grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter? 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f (x) = –
1 2 x + 2 másodfokú 4
függvény grafikonját követi , és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 méter. Peti 180 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis 1,8 méter magasságból. Hány métert repül előre a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy műugró bajnok 10 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata
végrehajtására, mielőtt beleesne a vízbe? (s = (g/2)·t2, ahol g = 9,81 m/s2) 9. Egy ember vitorlázórepülővel szeretne leereszkedni a domb tetejéről a völgybe. Milyen
magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f (x) = (x – 5)2 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen 1–1 kilométer? A domb tetőpontjának talppontja (tetőpont x tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 10. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük?
Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!
65
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi 1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f (x) = x2,
a g (x) = x2 – 3, illetve h (x) = x2 + 2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: x
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
g(x)
13
6
1
–2
–3
–2
1
6
13
h(x)
18
11
6
3
2
3
6
11
18
Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig 2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelent –3, illetve +2 egységgel. Általánosságban: a g (x) = x2 + v („v” 0–tól különböző, tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén | v | egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé. 2. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x2, a g (x) =
(x + 1)2, illetve a h (x) = (x – 2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz
felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.
66
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Összehasonlítjuk a megfelelő függvényértékeket: x f (x) g (x)
–4 16 9
–3 9 4
–2 4 1
–1 1 0
0 0 1
1 1 4
2 4 9
3 9 16
4 16 25
x f (x) h (x)
–4 16 36
–3 9 25
–2 4 16
–1 1 9
0 0 4
1 1 1
2 4 0
3 9 1
4 16 4
Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp
fogalmazva, negatív irányba 1 egységgel. A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = (x + u)2 („u” 0–tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén | u | egységgel „u” előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.
67
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
3. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények
grafikonjait! f (x) = x2;
g (x) = 3 x2;
h (x) = −
1 2 x 2
4. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait! 1 f (x) = (–x)2; g (x) = 3 (–x)2; h ( x ) = − (–x)2 2
Észrevehetjük, hogy 1. az f (x) = x2 és a f (x) = (–x)2 függvények grafikonjai és tulajdonságaik megegyeznek, hiszen x2 = (–x)2 . 2. az f függvény értékeit 3-mal szorozva a g függvény megfelelő 1 értékeit, míg – -del szorozva a h függvény megfelelő értékeit 2 kapjuk meg. Általánosságban: a függvény az f (x) = a x2 hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a
0 valós számot jelöl. Az f (x) = x2 függvényből a
g (x) = ax2 függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-
szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az „a” szorzótényező 0 és 1 között van, akkor a másodfokú függvény grafikonja szétnyílik; 1–nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül; negatív, akkor a grafikont az x tengelyre tükröznünk is kell.
68
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda2 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = – (x + 1)2 hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Megoldás:
A transzformáció lépései: 1. h (x) = x2
alapfüggvény ábrázolása
2. g (x) = (x + 1)2 h eltolása az x tengely
mentén balra, 1 egységgel. 3. f (x) = –(x + 1)2 g tükrözése az x tengelyre.
Értéktáblázattal: –4 –9
x f (x)
–3 –4
–2 –1
–1 0
0 –1
1 –4
2 –9
3 –16
4 –25
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x)
–
Zérushely: x = –1 helyen.
–
Monotonitás: x ≤ 0 esetén szigorúan monoton növekvő.
R. –
R
{0} (vagy: a nempozitív számok halmaza).
x ≥ 0 esetén szigorúan monoton csökkenő.
–
Szélsőérték: x = –1 helyen maximuma van. A maximumérték: f (–1) = 0.
69
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
Mintapélda3 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) =
1 2 x hozzárendelési utasítással 3
megadott függvényt! Megoldás: A transzformáció lépései: 1. g (x) = x2 alapfüggvény ábrázolása 1 1 2. f (x) = x 2 g minden függvényérté- kének - szorosára változtatása (y tengely 3 3 menti zsugorítás)
Értéktáblázattal: –4 16 f ( x) 3 x
–3
–2 4 3
3
–1 1 3
0 0
1 1 3
2 4 3
3 3
4 16 3
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x)
–
Zérushely: x = 0 helyen.
–
Monotonitás: x ≤ 0 esetén szigorúan monoton csökkenő.
R. R: f ( x )
0 (vagy f (x)
[ 0; + [ ).
0 < x esetén szigorúan monoton növekvő.
–
Szélsőérték: x = 0 helyen minimuma van. A minimumérték: f ( 0 ) = 0.
70
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = −
3 2 x + 2 hozzárendelési 2
utasítással megadott függvényt! Megoldás:
A transzformáció lépései: 1. l (x) = x2
alapfüggvény ábrázolása
3 2/a. h (x) = x2 2
3 –szeresére 2 változtatunk. (y tengely menti nyújtás) vagy
2/b. h (x) = –x2
x tengelyre tükrözés
3. g (x) = −
minden függvényértéket
3 2 x 2
a 2. lépéstől függően a h függvény grafikonját 3 – 2
vagy tükrözzük az x tengelyre, vagy szeresére nyújtjuk. 4. f (x) = −
3 2 x + 2 g függvény grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 2 2 egységgel.
Értéktáblázattal: –4
x
f (x) –22
–3 23 − 2
–2
–1 1 2
–4
0
1 1 2
2
2
3
–4
−
4 23 2
–22
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x)
–
Zérushely: x1 = −
–
Monotonitás:
R. R: f ( )
2.
2 3
illetve x2 =
2 3
helyen.
x ≤ 0 esetén szigorúan monoton növekvő. 0 ≤ x esetén szigorúan monoton csökkenő.
–
Szélsőérték: x = 0 helyen maximuma van. A maximumérték: f ( 0 ) = 2.
71
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
Mintapélda5 1 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = − ( x − 6) 2 + 8 hozzárendelési 2 utasítással megadott függvényt! Megoldás:
A transzformáció lépései: 1. l(x) = x 2
alapfüggvény ábrázolása
2. h(x) = ( x − 6) 2
az l függvény grafikonjának eltolása x tengely mentén pozitív irányba 6 egységgel.
1 3. g(x) = − ( x − 6) 2 2
a h függvény grafikonjának 1 -szeresére változtatása, majd 2 tükrözése az x tengelyre.
1 4. f(x) = − ( x − 6) 2 + 8 2
a g függvény grafikonjának eltolása az x tengely mentén 8 egységgel felfelé
Jellemzés: –
É.T.: x
–
É.K.: f (x)
–
Zérushely: x1 = 2, illetve x2 = 10 helyen.
–
Monotonitás: x ≤ 6 esetén szigorúan monoton növekvő.
R. R: f ( x )
8.
6 ≤ x esetén szigorúan monoton csökkenő.
–
Szélsőérték: x = 6 helyen maximuma van. A maximumérték: f ( 6 ) = 8.
72
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 11. Az alábbi csoportokban 3–3 állítást olvashatsz ugyanarról a tulajdonságról vagy
transzformációról. Döntsd el, melyik közülük a hamis! Válaszodat indokold! a) Tekintsük az f (x) = x2 függvényt! 1. Az f függvény grafikonját a lineáris függvény grafikonjából, az x tengely alatti részének az x tengelyre történő tükrözésével kapjuk. 2. Az f függvény grafikonját parabolának hívjuk. 3. Az f függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. b) Tekintsük az f (x) = x2 + 3 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. 1. Az f függvény a 3 értéket pontosan egy helyen, mégpedig az x = 0–ban veszi fel. 2. Az f függvény sohasem vehet fel negatív függvényértéket. 3. Az f függvény a 2 értéket pontosan 2 helyen veszi fel. c) Tekintsük az f (x) = x2 + b hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt!. 1. Az f függvénynek pozitív b esetén nincs közös pontja az x tengellyel. 2. Az f függvénynek pozitív b esetén pontosan egy közös pontja van az x tengellyel. 3. Az f függvény negatív b esetén pontosan két közös pontja van az x tengellyel. d) Tekintsük az f (x) = x2, a g (x) = (x + 5)2, illetve a h (x) = x2 + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvényeket! 1. Az g függvényt az f –ből annak x tengely menti +5 –tel való eltolásával kapjuk. 2. A h függvényt az f –ből annak y tengely menti, +5 –tel való eltolásával kapjuk. 3. Az g függvényt az f –ből annak x tengely menti, –5 –tel való eltolásával kapjuk. e) Tekintsük az f (x) = (x – 3)2 + 2 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! 1. Az f függvénynek a 3 helyen van szélsőértéke. Az ebben a pontban felvett függvényérték 2. 2. Az f függvénynek a P ( 3; 2 ) pontban minimuma van. 3. Az f függvénynek a P ( 3; 2 ) pontban maximuma van. f) Tekintsük az f (x) = a x2 hozzárendelési utasítással megadott másodfokú függvényt! Az f függvénynek negatív a értékek esetén minimuma van. Az f függvénynek negatív a értékek esetén maximuma van. Az f függvénynek pozitív a értékek esetén minimuma van.
73
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
12. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f (x) = x2 + 1;
b) f (x) = x2 – 3;
c) f (x) = –x2;
d) f (x) = –(x + 3)2;
e) f (x) = –x2 + 7;
f) f (x) = (x + 5)2;
g) f (x) = (x – 3)2;
h) f (x) = 2 x2;
i) f (x) =
1 2 x ; 4
j) f (x) = −
1 2 x . 2
13. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. 1 (x – 5)2; 4
a) f (x) = –(x + 3)2 + 2;
b) f (x) =
g) f (x) = (2 x)2 – 6;
h) f (x) = ( −
c) f (x) = (x + 3)2 – 5;
1 x + 6 )2; 2
i) f (x) = (–
3 2 x) + 1. 2
14. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal
megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz használhatsz értéktáblázatot is. a) f (x) = –3 (x + 3)2 + 2; d) f (x) = −
3 (x – 4)2 – 2; 2
g) f (x) = | x2 – 4 | ;
b) f (x) =
1 (x – 5) 2 + 1; 4
3 c) f (x) = (x + 1)2 – 6; 2
e) f (x) = 2 (x + 2)2 – 3;
1 f) f (x) = ( x − 3) 2 + 10 ; 2
h) f (x) = | x – 4 |2;
i) f (x) = | –x2 + 6 |.
Mintapélda6 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az g (x) = – (x – 10)2 + 7 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az
alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Egyik lehetőség:
Másik lehetőség:
1. x tengely menti eltolás
1. x tengelyre történő tükrözés
2. x tengelyre történő tükrözés
2. x tengely menti eltolás
3. y tengely menti eltolás
3. y tengely menti eltolás
74
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megjegyzés: Az első lehetőség egy általános érvényű sorrend. Ha a behelyettesítési lépések
sorrendjét követjük a megfelelő geometriai transzformációban, akkor biztosan jó az eljárás. 15. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő
hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk:
– x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = x2 – 5;
b (x) = (x – 5)2;
d (x) = 3 x2;
e ( x) = –
2 2 x + 6; 3
c (x) = –x2 + 3; f (x) = –(x + 6)2.
Mintapélda7 2 Állítsuk sorba az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a g(x) = – (x + 2)2 – 6 3 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Megoldás: Első lehetőség: (ez a sorrend általános érvényű)
1. x tengely menti eltolás 2. x tengelyre történő tükrözés 3. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszerű előbb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani.) 4. y tengely menti eltolás Többi lehetőség: az első három transzformáció sorrendje tetszőlegesen felcserélhető. Ez
további 5 lehetséges sorrendet eredményez. (3·2·1 – 1 = 3! – 1 = 5 )
75
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
16. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következő
hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk:
– x tengely menti eltolás – y tengely menti eltolás – x tengelyre tükrözés – y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = – (x + 4)2 + 7; d ( x) =
1 (x – 4)2; 2
b (x) = (x – 2)2 – 6; e ( x) =
1 (x – 1)2 + 2; 4
c (x) = –3 x2 – 1; f (x) = 4 (x + 2)2 – 8.
76
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Mintapélda8 Oldjuk meg grafikusan a –x2 + 3 = – 6 egyenlőséget! Megoldás:
A megoldások a grafikonról leolvashatók: x1 = –3; x2 = 3.
Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a megoldást.
Mintapélda9 Oldjuk meg grafikusan az x2 – 3 ≥ 6 egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallumok: x1 ≤ –3 vagy x2 ≥ 3.
Mintapélda10 Oldjuk meg grafikusan a –x2 + 3 > –6 egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallum: –3 < x < 3.
77
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
Feladat 17. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) x2 – 2 < 2;
b) –x2 + 6 ≥ –3;
d) –(x – 2)2 < x – 4;
e)
c) (x + 5)2 = 1;
1 2 1 x – 1 ≥ x. 2 2
Mintapélda11 Oldjuk meg grafikusan a –2 x2 + 6 =
1 | x | – 3 egyenlőséget! 2
Megoldás:
A megoldások a grafikonról leolvashatók: x1 = –2 x2 = 2
Mintapélda12 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 6 ≤
1 |x|–3 2
egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallumok: x1 ≤ –2 vagy x2 ≥ 2
Mintapélda13 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 6 > egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallum: –2 < x < 2
1 |x|–3 2
78
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 18. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
1 1 (x – 1)2 – 4 < – x – 1,5 4 2
a) (x + 2)2 + 3 ≥ 4x + 8
b)
d) 2 (x – 3)2 > 2 | x – 3 |
e) –1 < (x + 1)2 – 5 < 4
c) –2x2 + 8 ≥
1 |x|–1 2
19. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor
a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltérő színű legyen! a) x2 – 3 ≤ y
b) x2 – 3 > y
Mintapélda14 Oldjuk meg grafikusan a –2x2 + 4 = x2 + 1 egyenlőséget! Megoldás:
a) A megoldás a grafikonról leolvasható: x1 = –1; x2 = 1 b) Ezt az egyenletet algebrai úton is könnyű megoldani: átrendezéssel kapjuk: 3 = 3 x2 1 = x2 ebből x1 = –1; x2 = 1
Mintapélda15 Oldjuk meg grafikusan a –2 x2 + 4 ≤ x2 + 1 egyenlőtlenséget! Megoldás:
A keresett intervallumok: x ≤ –1, illetve x ≥ 1
Szintén jó megoldást kapunk, ha ábrázolás előtt nullára rendezzük az egyenlőtlenséget. Ekkor csak egyetlen másodfokú függvényt kell ábrázolnunk, és azt vizsgáljuk, hogy hol vesz fel nem negatív (pozitív vagy 0) függvényértékeket.
79
13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK
Feladatok 20. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
1 a) – (x – 4)2 + 3 ≥ – (x – 4)2 4
b) –2x2 + 6 < x2 + 3
c) (x + 2)2 – 1 = x2 – 5
21. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) (x – 4)2 – 3 < 2| x – 4 | – 3
b)
1 1 (x + 1)2 + 2 ≥ – (x – 1)2 + 7 2 2
22. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenlőség megengedett, akkor a
tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor eltérő színű legyen! a) ( x + 2 )2 – 1 > y
b) – x2 + 5 < y ≤ 0
80
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon A másodfokú alapfüggvény: Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a
hozzárendelési utasítás f(x) = x2 alakban írható fel. A kapott görbe neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. A parabola szimmetria tengelyén lévő pontját tengelypontnak nevezzük. A függvénytranszformációkról általánosan: Eltolás az y tengely mentén:
A g(x) = f (x – c) (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az x tengely mentén c egységgel. (Ha c > 0 pozitív irányba, ha c < 0, akkor negatív irányba.) Eltolás az x tengely mentén:
A g(x) = f (x) + c (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét eltoljuk az y tengely mentén c egységgel. (c > 0 esetén pozitív irányba, c < 0 esetén negatív irányba.) Tükrözés az y tengelyre:
A g(x) = –f (x) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbét tükrözzük az x tengelyre. Tükrözés az y tengelyre:
A g(x) = |f (x)| függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azokat a görbedarabokat, ahol f negatív értéket vesz fel, tükrözzük az x tengelyre. Nyújtás, zsugorítás:
A g(x) = c f (x) (c > 0) függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy a görbe minden pontjának y koordinátáját c-szeresére változtatjuk.
14. MODUL vektorok Készítette: Vidra Gábor
82 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Vektor fogalma, tulajdonságai Vektornak nevezzük az irányított szakaszt.
A vektorokat írásban aláhúzással (a), nyomtatásban megvastagítva (a) jelöljük. A vektor meghatározása után áttekintjük a vektorok tulajdonságait. Vektor abszolútértéke: A vektorok kezdőpontjukkal és végpontjukkal kijelölnek egy irányt és egy
távolságot.
A
távolságot
a
vektor
hosszának
vagy
abszolútértékének nevezzük (jele | a | ), és mindig valamilyen hoszszúságegységhez viszonyítjuk.
Mintapélda1 Számítsuk ki az ábrán szereplő vektorok abszolútértékét! Megoldás: A koordináta-rendszer derékszögű négyzetrácsa és a Pitagorasz-tétel segítségével végezzük a számítást:
12 + 6 2 = 37 , azaz | a | = 37 ≈ 6,1 egység. Hasonlóan számítva | b | = 50 ≈ 7,1 egység. Vektor állása, iránya
Ha két vektor egyenese párhuzamos, akkor megegyező állásúnak mondjuk őket. Ezek az egyállású vektorok lehetnek azonos vagy ellentett irányúak, irányításúak.
14. modul: VEKTOROK
83
Vektorok egyenlősége: Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik.
A vektorok egyenlősége és azonossága különböző fogalmak. Két vektor azonos, ha kezdőpontjaik és végpontjaik páronként megegyeznek, jelölés: a ≡ b. Egy adott vektorral azonos vektor a síkon vagy a térben ugyanott helyezkedik el. Ezzel szemben egy adott vektorral egyenlő vektort a sík vagy tér bármely pontjából felmérhetünk, így egy adott vektorral egyenlő vektorból végtelen sok van.
Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kez-
dőpontja és a végpontja. Irányát tetszőlegesnek tekintjük. Az a vektor ellentettjének nevezzük azt a vektort, amelyik vele egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Jelölése: – a .
Feladatok 1. Keress egyenlő, ellentett és azonos vektorokat a kockán és a szabályos hatszögön!
84 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
2. Keress egyenlő, egyenlő hosszúságú, illetve ellentett vektorokat az ábrán!
85
14. modul: VEKTOROK
II. Vektorműveletek Vektorok összeadása Toljuk el az ABC háromszöget előbb az a, majd a b vektorral!
a
b
a+b
A két eltolás egymásutánját helyettesíthetjük egyetlen eltolással is. Ennek vektorát a két vektor összegének nevezzük.
Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor az a + b vektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat.
b) paralelogramma módszer: az a és b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává; ekkor az a + b vektor a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora.
86 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Több vektor összeadásánál használható a láncszabály:
Egy a vektor és a nullvektor összege az a vektorral egyenlő: a + 0 = a.
Mintapélda2 Másold át a füzetedbe az a, a b és a c vektort, és szerkeszd meg az alábbi vektorokat: a) a + b;
b) b + a;
d) a + (b + c);
e) (a + b) + c !
c) a + b + c;
Megoldás:
a)
b)
c)
d)
e)
Tapasztalat: a vektorok összeadása
kommutatív: a + b = b + a, és asszociatív:
a + b + c = ( a + b ) + c = a + ( b + c ) művelet.
14. modul: VEKTOROK
87
A vektorok összeadását használjuk például vektor összetevőkre bontásakor a fizikában. A szánkót húzó személy a kötélen keresztül F erőt gyakorol a szánkóra. Ennek az erőnek a vízszintes komponense (Fv) a gyorsításra fordítódik, függőleges komponense (FF) a test talajra ható nyomóerejét csökkenti. F felbontható erre a két komponensre!
Vektorok kivonása
Laci Párizsból Budapestre repül, Berlin érintésével. Útjának vektorait bejelöltük. Felírhatjuk, hogy a = b + c. Ha a c vektort akarjuk kifejezni a és b segítségével, vagyis az összeg és az egyik összeadandó segítségével írjuk fel a másik összeadandót, akkor a két vektor különbségét képezzük: c = a – b. Az a – b vektort úgy is megszerkeszthetjük, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk b ellentett vektorát (–b vektort). Az a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a – b vektor.
A vektorok kivonására nem teljesül sem a kommutativitás, sem az asszociativitás.
88 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Vektor szorzása számmal Az ábrán az a, b és c vektorok között összefüggések állapíthatók meg. Az ellenetett vektor definíciójánál láttuk, hogy b = – a. c és b vektorok között a számmal való szorzás teremt kapcsolatot: c vektor két b összeadásával keletkezett, így is írhatjuk: c = 2b.
Az ellentett vektor helyett szorzással a b = –1·a összefüggést is felírhatjuk. Így tehát c = 2·(–1·a) = –2·a További példák vektorok szorzására:
Az a vektor k-szorosa (k R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza |k|·|a|, iránya pedig k > 0 esetén a irányával megegyező, k < 0 esetén a irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk.
Ha 0-val szorzunk egy vektort, nullvektort kapunk. 1-nél nagyobb abszolútértékű számmal megszorozva a vektor hossza növekszik (nyújtás), 0 és 1 közé eső abszolútértékű számmal megszorozva csökken (összenyomás). A csupán szorzótényezőjükben különböző vektorokat egyneműeknek tekintjük, így azok öszszevonhatók: a + 2a = 3a .
Feladatok 3. Mi az összefüggés a – b és b – a között? 4. Adj meg három vektort, és rajzold fel a – b – c, (a – b ) – c és a – (b – c) vektorokat!
Segítségükkel igazold, hogy a vektorok kivonására nem teljesül az asszociativitás (felcserélhetőség)!
89
14. modul: VEKTOROK
5. Vegyél fel egy tetszőleges a vektort, és szerkeszd meg a következő vektorokat!
a) a + 2a
e) −
a +a 3
b) a – 2a
1 c) − a − a 2
1 f) a − a 2
g) –a + a
1 5 d) − a − a 2 2 1⎛ 1 ⎞ h) ⎜ − a + a ⎟ 2⎝ 2 ⎠
6. Adott az ábra szerint az a, b és c vektor. Szerkeszd meg a következő vektorokat! a) a + 2b
d) a −
b−c 2
b) a – 2b
e)
1 (a + b) − b 2
c)
b + 2c 3
f)
2a − b + 2c 2
7. Add meg a vektorműveletek eredményét (összevonás után): 2a + b −a+b 3 2 3 1 c) a + 2b − a − b + b(a − b) 3 2 3
⎛a b⎞ b) a + 2b − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝2 2⎠ 1 ⎛ ⎞ d) 2 ⋅ ⎜ 2a + (a − b) − 2b ⎟ 2 ⎝ ⎠
a)
b ⎞ a 3b ⎛2 e) 2 ⋅ ⎜ a − ⎟ − + 6⎠ 2 4 ⎝3 8. Adott egy szabályos hatszög egy csúcsából kiinduló a és b vektor. Írd fel ezek segítségével a következő vektorokat: a) AG ;
b) AD ;
c) BE ;
e) CE ;
f) BD ;
g) DF ;
d) FB ;
9. A paralelogramma oldalvektorainak (a és b ) segítségével írd fel a következő vektorokat, ha a = AD , b = AB !
a) AH ;
b) AG ;
c) EB ;
d) BH .
Melyik vektort adja meg: e) – a – b;
1 f) – a – b; 2
g) –
1 a –b? 2
90 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
10. Adott egy két négyzetből álló téglalap, és egy csúcsából kiinduló a = AF és b = AB vektor. Írd fel az a és a b segítségével a következő vektorokat (G, M és H felezőpontok): a) AD ;
b) AG ;
c) AH ;
d) JL ;
e) IF ;
f) HK ;
g) CK ;
h) HJ .
11. Az a és b vektorok 3 egység hosszúak, egymással 60°-os szöget zárnak be. Mekkora az a + b vektor hossza?
12. Az a és b vektorok 5 egység hosszúak, egymással 90°-os szöget zárnak be. Mekkora az a + b vektor hossza?
13. Egy testre ható erők eredőjét úgy szerkesztjük meg, hogy a súlypontjába mérjük fel a testre ható összes erőt, majd ott összeadjuk az erővektorokat. Szerkeszd meg a testekre ható eredő erőt! a)
b)
c)
91
14. modul: VEKTOROK
Mintapélda3
A testek mozgásának vizsgálatakor (dinamikai és kinematikai feladatokban) a következő modellt használjuk: a testet a tömegközéppontjával helyettesítjük, és vizsgáljuk az erre ható erők eredőjét. A tömegpontok nyugalomban vannak, vagyis a rá ható erők eredője zérus (Newton I. törvénye miatt; összegük nullvektor). Szerkeszd meg a következő testre ható hiányzó erőt! Megoldás:
Megszerkesztjük a piros és a kék erő összegét (lila vektor), és a megoldást ennek az ellentett vektora adja (zöld).
Feladatok 14. Szerkeszd meg a következő, nyugalomban levő testekre ható hiányzó erőt!
15. A méhecskék koordináta-rendszerében állítsuk elő az i és j vektorok segítségével a következő vektorokat! Segítségképpen határozd meg a hatszög átlóinak és oldalainak vektorait! Például BD vektor: BD = 3 · (-j) + 2 · (- (i+j)) = -5j – i . a) AC ;
b) CE ;
c) HI ;
d) AG ;
e) FC ;
f) IE .
92 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
16. Az oszlopdiagramokon azokat a lépéseket látod, amelyeket egymás után meg kell tenned a koordináta-rendszerben i és j vektorokkal (piros: i, zöld: j; i az x irányú egységvektor, j az y irányú egységvektor). Indulj ki az origóból, és mérd fel a megfelelő lépéseket! A végén add meg annak a pontnak a koordinátáit, ahová érkeztél! Példa: 3 2 1 0 -1 -2
A diagram szerint i-vel 3 lépés jobbra (3i), j-vel 2 lépés le (–2 j) stb. A végén megérkezünk a (6; 0) pontba. lépések
a) 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
b)
lépések
4 3 2 1 0 -1 -2 -3
lépések
93
14. modul: VEKTOROK
17. Állítsd elő az i, j és k (az A csúcsból az élfelező pontokba mutató) vektorokkal az A csúcsból a kocka két lapátlójának negyedelő pontjaiba mutató vektorokat!
18. O-ból az A pontba az a vektor, B pontba a b vektor mutat. Előállítjuk az O-ból az AB szakaszt 2 : 3 arányban osztó C pontba mutató c vektort: c = a + AC = a + 2 ⋅
b − a 5a + 2(b − a) 3a + 2b = = 5 5 5
Hasonló módon állítsd elő (írd fel) az a és b vektorok segítségével AB-t a megadott arányban osztó pontok koordinátáit (készíts ábrákat is): a) 1 : 1 (felezőpont)
b) 1 : 2 (A-hoz közelebbi harmadoló pont)
c) 2 : 1
d) 3 : 2
e) 1 : 3
f) 4 : 5
g) 2 : 7
h) 3 : 4
19. Igazold, hogy tetszőleges négyszög középvonalának vektorára felírható a k =
a+b összefüggés. 2
94 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon Vektor: irányított szakasz, vagy az azzal jellemezhető mennyiség. Vektor abszolútértéke (|a|): a vektor hossza. Két vektor egyenlő, ha hosszuk és irányuk megegyezik. Egységvektor (e): egységnyi hosszúságú vektor. Nullvektor (0): 0 hosszúságú vektor. Definíciója: olyan vektor, amelynek megegyezik a kezdőpontja és a végpontja. Iránya tetszőleges. Vektor ellentettje: az a vektor, amelyik az adott vektorral egyenlő abszolútértékű, egyező állású, de vele ellentétes irányú. Két vektor összegét kétféle módszer szerint szerkeszthetjük meg: a) háromszög-módszer: az a végpontjából mérjük fel a b vektort; ekkor a + b az a kezdőpontjából a b végpontjába mutat; b) paralelogramma módszer: az a és a b vektorokat közös kezdőpontból mérjük fel, kiegészítjük paralelogrammává. a + b a paralelogramma közös kezdőpontból kiinduló átló vektora. A vektorok összeadása kommutatív és asszociatív művelet. a és b vektorok különbségét úgy képezzük, hogy közös kezdőpontból mérjük fel őket. A végpontjaikat összekötő, a végpontja felé mutató vektor az a – b vektor. A vektorok kivonása nem kommutatív és nem asszociatív művelet. v vektor k-szorosa (k
R, vagyis k egy valós szám) az a vektor, amelynek hossza |k|·|v|, irá-
nya pedig k > 0 esetén v irányával megegyező, k < 0 esetén v irányával ellentétes. k = 0 esetén nullvektort kapunk.
15. MODUL egybevágósági transzformációk Készítette: Birloni Szilvia
96 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. A geometriai transzformáció fogalma A geometriai transzformációk A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Ebben a fejezetben az értelmezési tartomány és az értékkészlet is egy sík, illetve annak egy része. Hozzárendelési szabályok: 1. Tengelyes tükrözés: Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P’ pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP’ szakaszt 2. Középpontos tükrözés: Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP’ szakaszt. 3. Eltolás: Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P’ pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. 4. Merőleges vetítés: Adott a síkban egy e egyenes (tengely), melynek minden pontjához önmagát rendeli. Az e egyenesre nem illeszkedő bármely P pont képe (vetülete) a P pontból az e egyenesre bocsátott merőleges P’ talppontja. 5. Identitás (azonos leképezés): Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás.
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
97
Feladatok 1. Végezd el a tengelyes és a középpontos tükrözést a négyzetrács segítségével!
2. Legyen a hozzárendelés szabálya: ( x; y ) a ( x + 5; y − 2) ! Ábrázold az így kapott zászló
képét! Melyik geometriai transzformációt adtuk meg?
98 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM 3. Legyen a hozzárendelés szabálya:
TANULÓK KÖNYVE
( x; y ) a (−2 x;−2 y ) ! Ábrázold az így kapott
háromszög képét! Milyen geometriai transzformációt végeztél?
4. Vetítsd merőlegesen a v egyenesre a P pontot és
az AB szakaszt!
5. Adott a házikó három pontjának képe. Találd ki a hozzárendelés szabályát és rajzold
meg a teljes alakzat képét! Fogalmazd meg a hozzárendelés szabályát!
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
6. Egy geometriai transzformáció a piros négy-
szöget a kékbe viszi. Keresd meg a betűkkel jelölt mozaiklapok képét! Milyen transzformációt végeztél? .
99
100 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. Transzformációk rendszerezése A geometriai transzformációk tulajdonságai Egy geometriai transzformáció egyenestartó, ha bármely egyenes képe is egyenes. Távolságtartó az olyan geometriai transzformáció, amelynél bármely szakasz és képének
a hossza egyenlő. Az ilyen transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Egy geometriai transzformáció szögtartó, ha bármely szög és képe egyenlő nagyságú. Megfordíthatónak mondjuk a geometriai transzformációt, ha a hozzárendelési szabály és
a kép ismeretében egyértelműen előállítható az eredeti alakzat. A hasonlósági transzformációk esetében
az alakzatok formája változatlan marad, csak
a méretük változik. Körüljárási irányt megtartó vagy körüljárási irányt megváltoztató egy geometriai
transzformáció aszerint, hogy alakzatnak és képének körüljárási iránya azonos vagy ellentétes. Azokat a geometriai transzformációkat, amelyeknél nemcsak az alakzat mérete, hanem formája is megváltozik „torzítónak” mondjuk. Egy geometriai transzformáció esetén fixpontnak nevezzük azt a pontot, amelynek képe önmaga. Fixalakzatnak az olyan alakzatot mondjuk, amelynek minden pontja fixpont.
Azokat az alakzatokat, melyeknek képe önmaga, invariáns alakzatoknak nevezzük. Az invariáns alakzatnak nem feltétlenül minden pontja fixpont.
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
101
Egybevágósági transzformációk tulajdonságai: 1.
Tengelyes tükrözés:
Távolságtartó, szögtartó. A tengely pontjai fixpontok, a tengely fixalakzat. A tengelyre merőleges egyenesek invariáns alakzatok. Az alakzatok körüljárási iránya megváltozik.
2.
Középpontos tükrözés:
Távolságtartó, szögtartó. A középpont fixpont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik. 3.
Eltolás:
Távolságtartó, szögtartó. Az eltolás vektorával párhuzamos egyenesek invariáns alakzatok. Bármely egyenes és képe párhuzamos egymással. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik. Amennyiben az eltolás vektora 0 (nullvektor), akkor minden pontja fixpont, más esetben nincs fixpontja. 4.
Identitás (azonos leképezés):
Minden pontja fixpont.
Nem egybevágósági transzformációk tulajdonságai: 1. Merőleges vetítés:
Nem távolságtartó és nem szögtartó. A tengely pontjai fixpontok, az egyenes maga fixalakzat. Nem egyenestartó, mert a tengelyre merőleges egyenes képe egy pont. Torzító transzformáció. Nem megfordítható. 2. Középpontos hasonlóság:
Nem távolságtartó, de szögtartó geometriai transzformáció. Fixpontja a középpont. A középponton áthaladó egyenesek invariáns alakzatok. A középponton át nem haladó egyenes és képe párhuzamos egymással. Megfordítható hozzárendelés. Az alakzatok körüljárási iránya nem változik.
102 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Elforgatás A pont körüli elforgatás Hozzárendelési szabály: Adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P’ pont, amelyre OP = OP' és a POP ' szög nagysága és iránya az elforgatás szöge.
Tulajdonságok: – Távolságtartó (egybevágósági transzformáció) – Szögtartó – A középpont fixpont – Megfordítható – Alakzat és képe azonos körüljárási irányú – Hegyesszögű vagy derékszögű elforgatáskor bármely egyenes és képe az elforgatás szögé-
vel azonos szöget zár be – A 0˚-kal, 360˚-kal vagy egész számú többszörösével történő elforgatás azonos leképezés
Feladatok 7. Végezd el a pont körüli elforgatást másolópapír segítségével a zászlós mutató szerint!
103
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
8. Forgasd el az alakzatokat az O középpont körül a megadott forgásszöggel! Színezz
egymásnak megfelelő szakaszokat illetve szögeket a képen! a)
b)
9. Forgasd el az ábrán látható hatszögeket az O pont körül + 60°-kal másolópapír
segítségével!
104 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
IV. Elforgatást, szimmetriát alkalmazó feladatok Feladatok 10. Forgasd el a megadott O pont körül a T pontot és az NL szakaszt a megadott szöggel!
11. Forgasd el a szabályos háromszöget az O pont körül –45˚-kal!
O
12. Forgasd el a szöget a csúcsa körül – 90°-kal! Figyeld meg a szögszárakat! Milyen
szögpárfajtát látsz? Mire emlékszel ezzel kapcsolatosan?
105
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
13. Valamilyen pont körüli elforgatás a T pontot a T ’-be vitte. Hol lehet a forgatás közép-
pontja?
T
T’
14. Az AB szakasz elforgatott képe A’B’. Határozd meg az elforgatás középpontját és
szögét!
106 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
V. Forgásszimmetrikus alakzatok Egy alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0˚-tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.
A forgásszimmetria rendjét az határozza meg, hogy hány olyan szög van a 0° < α ≤ 360° tartományban, melyre nézve az alakzat forgásszimmetrikus. A szabályos hatszög például hatodrendben, míg a szabályos háromszög harmadrendben forgásszimmetrikus. A feladata:
Add meg az alábbi alakzatok, illetve minták forgásszimmetriájának rendjét, és azokat a szögeket, amivel elforgatva önmagukba mennek át!
B feladata:
Színezd a parkettát úgy, hogy forgásszimmetrikus legyen! Keress több megoldást! Add meg a szimmetria rendjét is!
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
107
C feladata:
Szerkessz négyzetet, melynek középpontja O és két szomszédos csúcsa rajta van egy-egy egyenesen! Használj másolópapírt!
D feladata:
Szerkessz szabályos háromszöget, ha középpontja O és két csúcs rajta van a szög egy-egy szárán! Használj másolópapírt!
108 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
VI. Térbeli transzformációk, szimmetriák Feladatok 15. Geometriai transzformációt értelmezhetünk a tér pontjaira is. A térben tükrözhetünk
síkra, egyenesre vagy pontra. Emiatt térbeli alakzatok is lehetnek szimmetrikusak (síkra, egyenesre vagy pontra). Állapítsd meg, mire szimmetrikusak az alábbi testek!
16. Páros munka: Tartsátok úgy egy-egy kezeteket, hogy egyik a másiknak tükörképe
legyen! Használjátok ehhez mindkettőtök bal kezét, majd egy jobb és egy bal kezet! 17. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely
az alakzatot önmagába viszi át. Ilyen például a kocka vagy a szabályos sokszög alapú egyenes hasáb. Keress forgásszimmetrikus alakzatokat a környezetedben! Határozd meg, milyen tengely körül, és hány fokos szöggel kell elforgatni őket, hogy önmagába menjenek át!
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
109
18. A felső sorban szereplő síkidomok elforgatásával testek származtathatók. Párosítsd
össze a megfelelő testet a hozzá tartozó síkidommal!
Keress forgással származtatható testeket! Rajzold le, milyen síkidomból származtathatók!
Térbeli szimmetriák Geometriai transzformációk értelmezhetők a tér pontjain is. Ilyenek például a síkra vonatkozó tükrözés, az egyenesre való térbeli tükrözés és az egyenes körüli elforgatás is. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga.
Például a kocka és a gömb síkszimmetrikus testek. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át.
A négyzetes oszlop, a körhenger és a forgáskúp forgásszimmetrikus testek.
110 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Geometriai transzformációk szorzata Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük.
Feladatok 19. Rajzolj egy háromszöget és két egymással párhuzamos egyenest! Tükrözd egymás után
a háromszöget a két egyenesre. Mit tapasztalsz? (Lehet-e helyettesíteni a két tükrözést egyetlen transzformációval?
20. Rajzolj egy téglalapot! Forgasd el valamely csúcsa körül először 45˚-kal, majd 30˚-kal!
Milyen transzformációval helyettesíthető a két elforgatás?
21. Rajzolj egy kört! Told el először az a majd a b vektorral! Tudnád-e egyetlen transz-
formációval helyettesíteni a két eltolást?
a
b
22. Rajzolj egyenlőszárú háromszöget és két, egymást metsző egyenest! Tükrözd a há-
romszöget egymás után a két egyenesre tengelyesen! Helyettesítsd a két transzformációt egyetlennel!
15. modul: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK
111
Kislexikon A geometriai transzformációk olyan függvények, melyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. Két geometriai transzformáció elvégzését egymás után a két transzformáció szorzatának nevezzük. Egybevágósági transzformációk: Tengelyes tükrözés:
Adott egy t egyenes, a tengely, melynek minden pontjához önmagát rendeljük. A t egyenesre nem illeszkedő P ponthoz azt a P’ pontot rendeljük, amelyre igaz, hogy a tengely merőlegesen felezi a PP’ szakaszt Középpontos tükrözés:
Adott egy O pont, a középpont, melynek képe önmaga. A sík O-tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és az O felezi a PP’ szakaszt. Eltolás:
Adott egy v vektor, azaz irányított szakasz. A sík egy adott P pontjának képe az a P’ pont, amelyre igaz, hogy a PP' irányított szakasz egyenlő a megadott v vektorral. Pont körüli elforgatás:
A pont körüli elforgatásnál adott egy O pont, a középpont, valamint az elforgatás szöge (nagysággal és iránnyal). Az O pont képe önmaga. A sík O-tól különböző bármely P pontjának a képe az a P’ pont, amelyre OP = OP' és a POP' szög nagysága és iránya az elforgatás szöge. Identitás (azonos leképezés):
Minden ponthoz önmagát rendeli. Ilyen például a v = 0 vektorral való eltolás.
112 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Nem egybevágósági transzformációk például: merőleges vetítés, középpontos hasonlóság.
Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan 0˚-tól különböző szögű pont körüli elforgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha létezik olyan tengely körüli forgatás, amely az alakzatot önmagába viszi át. Egy térbeli alakzat síkszimmetrikus, ha van olyan sík, amelyre tükrözve, az alakzat képe önmaga.
16. MODUL algebrai azonosságok Készítette: Darabos Noémi Ágnes és Vidra Gábor
114
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
I. Ismétlő feladatok Sokszor előfordul a mindennapok során, hogy valamit tervezünk, de konkrét adataink még nincsenek. Például vásárláskor bemegyünk 1-2 boltba körülnézni, utána kivesszünk pénzt az automatából. Hogy mennyi pénzt veszünk ki, az több dologtól is függhet: milyenek az igényeink, mennyi pénz van a számlán, sikerült-e akciót kifogni. A fizikában az összefüggéseket képletek írják le, amelyekben állandók (például g ≈ 10
műveletek találhatók: s =
m ), mennyiségek jelei (pl. t: idő) és s2
g 2 t . 2
A betűk használatát már megszoktuk a matematikában is (gondoljunk például a területképletekre). A számokat, betűket és műveleteket tartalmazó képleteket kifejezéseknek nevezzük. Amikor a betűknek értéket adunk, akkor a kifejezés helyettesítési értékét számoljuk ki (például a kerület nagyságát, ha adottak az oldalak). Bonyolultabb kifejezéseket egyszerűbbé is tehetünk, ha azokat a szabályok alapján átalakítjuk. Ezekkel az alapszabályokkal foglalkozunk ebben a modulban. Megismerkedünk a nevezetes azonosságokkal, amelyek alkalmazásával sok feladat megoldása leegyszerűsödik. Az egyenletek megoldása szinte lehetetlen nélkülük. A műveleteknek van három tulajdonsága, amelyekkel a valós számkör tárgyalásakor (4. modul) már találkoztunk. Ezek a kommutativitás, az asszociativitás és a disztributivitás. Az összeadás és a szorzás kommutatív műveletek. A kommutativitás felcserélhetőséget jelent: tetszőleges sorrendben adhatjuk, illetve szorozhatjuk össze a számokat, betűket. Összeadáskor a tagok, szorzáskor pedig a tényezők sorrendje felcserélhető. Kommutativitás:
a, b ∈ R
a+b =b+a a ⋅b = b ⋅ a
Az összeadás és a szorzás egy másik tulajdonsága az asszociativitás. Az asszociáció szó társítást, összekapcsolást, képzettársítást jelent. Az elemeket (tagokat, tényezőket) tetszőlegesen
csoportosíthatjuk, zárójelezhetjük. Ne felejtsük el, hogy a zárójel a műveleti sorrend kijelölésére szolgál! Asszocativitás: (a + b ) + c = a + (b + c ) = a + b + c (a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) = a ⋅ b ⋅ c a, b, c ∈ R
115
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
A harmadik tulajdonság a disztributivitás, ami elosztást, felosztást, osztályozást jelent, de ez a szó nem fejezi ki a tulajdonság lényegét. A szabályon kívül azt érdemes megjegyezni, hogy ez a tulajdonság egyik irányban kiemelésről, másik irányban zárójelfelbontásról szól, és összekapcsolja az összeadást és a szorzást. kijelölt szorzás elvégzése
Disztributivitás: (a + b )⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c kiemelés
a, b, c ∈ R
A következő feladatokkal felelevenítjük a tanultakat a kifejezésekről, törtekről, műveletekről.
Feladatok 1. Végezd el a következő műveleteket!
a) 2(a + b) ;
b) c(2 + a ) ;
c) 2 x( x − 3 y ) ;
d) (3a − b)c ;
e) − 3 x(−2 x − 5) ;
f) (−3) ⋅ d ⋅ (5d + 4) .
2. Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges összevonásokat!
a) 2(2 x + 6) − 14 − 4 x ;
b) 6 x − 3( x + 2) ;
d) (2 − 5d )d + 4d 2 ;
e) (3d − 4) ⋅ (−9) + 9 .
c) − 2 − 3(5a − 2b) + 7a ;
Összevonni csak egynemű tagokat lehet. Egyneműek azok a tagok, amelyek legfeljebb együtthatóikban különböznek.
3. Keress egynemű tagokat a következő kifejezések között!
a) 2 x; − 4 x; az; 5 y; − 4 xy; − by; ax 2 ; ( 2a − 1 )x; ( 3a + b)x; x( 4a − y); b) 4,7 x 2 ; 5bxy; − 4ax 2 ;2(b − 2a) x 2 ; c) 3x 2 y; − 10 xy; − 5,4 x 2 x; axy 2 ; − 2b(a + 4) x 2 y;100 yx; − 3ayx 2 ; (2 − a)by; (2 − a)byx 2 .
116
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
4. Vond össze a következő kifejezéseket!
a) 12a − (2 + 5a) + 20a − 6 ;
b) − (3x 2 y + 2 xy) + 24 yx 2 + 2 xy ;
c) − [(4a − 5b + 6c) − (2a + 3b)] + 4a − 2c ;
d)
e)
3 a−a; 2
2 ⎛ 2 ⎞ x − ⎜ − x + 2⎟ . 5 ⎝ 3 ⎠
5. Végezd el a kijelölt műveleteket, a kijelölt szorzásokat és a lehetséges összevonásokat!
a) 4 + 4b − 5a − 2 ⋅ (2a + 3b) ;
b) 3b + 7a − (−2a) − 12 ⋅ (−a) + 5a − 2b ;
c) 8a − [6b − (4a − 2b) − 4a ] − 5b ;
d) 3( x + y ) + 5( x − y ) ;
e ) 9a − (2b + 3a) ⋅ (−3) + (−9b + 6a − 4) ⋅ (−5) ; f) − 4(5 − 2 x) + 5( x − 1) − (3x − 5) .
6. A következő kifejezésekben végezd el a lehetséges kiemeléseket!
a) 2a + 40
b) 2 y + 12 − 2 y ;
c) − 6 x 2 + 9 x + 3 ;
e) a 2 b + 2a ;
f) 6ax 2 y 2 − 3xy 2 ;
g) − 4 x 2 y + 8 xy 2 ;
d) 10a − 20b + 5 ;
h) 4a 4 − 12a 2 ; i) 12d 5 + 4a 2 .
7. Egészítsd ki a bővítést a változók lehetséges értékei mellett!
a)
2a = 5 10
e)
4x − 2 y = 2 3 9x
b)
4 = 6x 6x2
c)
2 − 3a = 7 21
d)
5x − y = 3 6y
A törtekkel való számolás során nagyon kell figyelni az egyszerűsítésre. Könnyen megérthető a helyes egyszerűsítés, ha megjegyzed a következő szabályt: Egyszerűsíteni csak azzal a kifejezéssel lehet, ami a számlálóban és a nevezőben egyaránt kiemelhető.
Ezért a fenti példát így is fel lehet írni:
3ab − 6 3/ (ab − 2) = ab − 2 . = 3 3/
117
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
Az esetek többségében a törteket azért célszerű egyszerűsíteni, hogy könnyebb legyen
velük számolni. A feladatok végeredményében lehetőleg mindig leegyszerűsített törtek álljanak! A törtek összeadásakor vagy kivonásakor az egyszerűsítést a műveletek elvégzése közben akkor nem szoktuk végrehajtani, ha a bővített alakkal könnyebb számolni. Például 3 − 9a 4 3 − 9a + 4a 3 − 5a + = = 3a 3 3a 3a A következő feladatokban olyan törtek is előfordulnak, amelyek nevezőjében betű (változó) is található. Ilyen esetben figyelni kell arra, hogy a nevező nem lehet nulla.
Feladatok 8. Egyszerűsítsd a következő kifejezéseket!
a)
3ab 2 ; 9b
b)
4 x − 16 ; 8
e)
12a − 4b + 8 x ; 4a
f)
6a − 3 2 + a 2 − . 3 3a
c)
4ab 2 − 2ac ; 2ac
d)
5a ; 5a − 10b
9. Végezd el a következő műveleteket, figyelj a törtekre!
a)
5 3 7 + +3+ 3 a b
b)
5a − 10 2a + 8 − 6 10
c)
a b 6 ⎛ 3b − 2a ⎞ ⋅ 5 − ⋅ 12 + ⋅ ⎜ ⎟ 3 6 4 ⎝ 9 ⎠
10. Végezd el a következő műveleteket, ahol lehet, egyszerűsíts! ⎞ 6x ⎟⎟ : 3 ; ⎠ 4y
2x 6x 2 ; : a) 3y y 2
2b b) 15b : ; 10a
⎛ 3x 2 c) ⎜⎜ − ⎝ 4y
3a : 6a ; e) 4b
2 xy 3 f) 6 x y : 2 ; 3x y
18a 2 b 3 − 6b 2 ; g) 3b 2
2
12 x 3 − 6 x 2 2 x 2 : h) ; 9 3 j)
3a 3b ⎛ a 2 2a ⎞ ⎟ + ⎜ − b 3 a ⎜⎝ 3b 3b 2 ⎟⎠
2
⎛ 8b ⎞ d) 16a 2 b : ⎜ − ⎟; ⎝ 32a ⎠
3x 2 y ⎛ 4 x 2 x 5 y ⎞ ⎟ ⎜ i) − a 3 ⎜⎝ ay 2 15ab ⎟⎠
118
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
11. Végezd el a következő műveleteket!
a) ( p − 2)( p − 2) ;
b) ( x + 2)( x − 7) ;
c) ( p − 1)( p + 1) ;
3 ⎞ ⎛1 ⎞⎛ d) ⎜ a − 6 ⎟⎜ 3 − a ⎟ ; 4 ⎠ ⎝3 ⎠⎝
e) (2 x + 3)(1 − x) ;
f) (2a + 1)(2a + 1) ;
g) (2d − 1)(d − 1) .
12. Végezd el a következő műveleteket!
a) 4a 2 (2 − 3a 2 ) − 2a 2 (4 + 3a) + 3a(2a 2 − 1) ; b) x(2 x 2 − 3x + 6) + 8 x 2 (2 x − 3) − (4 x 2 + x + 4) ; c) −
a⎛2 2 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ a + 3a ⎟ + 7a⎜ − 3a ⎟ . 2⎝3 ⎠ ⎝9 ⎠
Mintapélda1 Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! a)
2x + y x − 5 y − + 2x 5 4
Megoldás: a)
b)
7 x − 3 y + 5 5x − 2 y − −1 6 4
c)
− 5 x − 2 y 3x − 6 y − 3 6
− x + 10 − 13x + 2 y 43x + 29 y ; c) ; b) . 20 12 6
Feladatok 13. Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonáso-
kat! a)
x − 3 y 2 y + 5x − ; 5 4
d)
3 y − 2 x + 5 − 3x + 4 y − 3 . + 7 4
b)
8x − 3 y 7 y − 3x − ; 4 5
c)
5x − 2 x x − 8 y − ; 8 9
14. Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonáso-
kat! a)
3( x − 2) 4 − 5 x + + 2x ; 4 10
b) 3x −
3x − 3 4 − 4 x + ; 4 6
c)
3 − 2y 3y − 2 + . 6 18
119
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
Mintapélda2 Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonásokat! a)
4(a + 4b) 4a − 9b 2(a − 1) 5(3 − 2a) x + 2 y 2x − y 7x − 3y ; − ; b) + + ; c) − 5b 5b 2 xy 2 xy 2 xy a+7 a+7
d)
3( x − 4) 3x − 4 + . 4 x − 10 2(5 − 2 x)
Megoldás: a) 5;
b)
5x − y ; xy
c)
12a − 17 ; a+7
d)
2 . 5 − 2x
Feladatok 15. Végezd el a műveleteket, és hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket (az egész
számokat is)! ⎛ 9 3 x ⎞ a) 4 x 2 y 2 ⎜⎜ − 2 + 3 ⎟⎟ ; 2y ⎠ ⎝ 2x y
⎛ a − b ab ⎞ b) 2ab⎜ 2 2 − ⎟ ; 2 ⎠ ⎝a b
2 ⎞ ⎛ 1 d) ⎜ + ⎟3ab ; ⎝ 3a + b 3a − b ⎠
e)
⎛ x2 + y2 1 ⎞ − ⎟⎟3 x ; c) ⎜⎜ 3⎠ ⎝ 6 xy
4d − 1 6 d + 1 − . 2d 3d
16. Végezd el a műveleteket, és hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket (az egész
számokat is)!
a) 3 −
1 ; x+5
b)
2 +2; 3− x
c)
3a −1. 3a − 5
Mintapélda3 a = 1 és b = 3 esetén mennyi a következő kifejezések helyettesítési értéke: a) 2a − 3b b)
6a + 2b − 10 4
kiemelhető a 2:
Az érték 2·1
3· ( 3) = 2 + 9 = 11.
Egyszerűsíthetünk, mert a számlálóból és a nevezőből is 6a + 2b − 10 2 ⋅ (3a + b − 5) 3a + b − 5 3 ⋅ 1 + (−3) − 5 5 = = =− . = 4 2⋅2 2 2 2
120
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Feladatok 17. Mennyi a következő kifejezések helyettesítési értéke, ha
a) x = 1;
x + 2 6 − 3x ; − x − 3 2x − 6
c) z = –2; y =
b) y = 5;
2 4 − ; 3y y
1 3z + 1 2(4 − y ) − 2 y ; − 3⋅ ; 2y 8y 2
d) a = 3; b = –5;
3a − 2 5a 2 − 2a − 1 − . ab ab 2
18. Írd fel változókat tartalmazó kifejezésekkel a következőket:
a) x-nek a
4 -e; 9
d) a-ból az a 15 %-a;
b) y-nak a 30 %-a;
c) a + (a-nak a 20 %-a); e) x kétharmadából az x 20%-a.
121
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
II. Törtes kifejezések értelmezési tartománya A kifejezéseket mindig az alaphalmazukon értelmezzük, amelyet a feladat szövege határoz meg. Ha az alaphalmaz meghatározása hiányzik, akkor a valós számok (R) halmaza az alaphalmaz. A „tiltott” műveletek általában kizárják az alaphalmaz egyes elemeit, és az ezekkel szűkített alaphalmazt a kifejezés értelmezési tartományának nevezzük.
Régen megtanultuk a szigorú tiltást: nullával nem lehet osztani, mert ez a művelet nem értelmezhető. A törtekre nézve ez azt jelenti, hogy amennyiben a nevező tartalmaz változót, ki kell kötni, hogy a nevező nem lehet nulla, majd meg kell határozni, hogy mi NEM lehet a változó értéke
Mintapélda4 Mi a következő kifejezés értelmezési tartománya, ha alaphalmaza a valós számok halmaza: 7 3x − 5 3x − 5 ≠ 0
Megoldás: A nevező nem lehet 0, ezért Tehát a feladat megoldása: x
R és x ≠
3x ≠ 5
5 , amit így is szoktunk írni: x 3
5 x≠ . 3 ⎧5 ⎫ R\ ⎨ ⎬ . ⎩3⎭
Feladatok 19. Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát:
a)
2 ; x −1
b)
4y ; 2− y
c)
x+2 ; x+3
e)
3 ; y
f)
a ; 3a − 1
g)
−5 . − 5 + 5x
d)
2x − 5 ; 3x + 5
20. Írj fel olyan kifejezéseket, amelyek nem értelmezhetők a következő számokra:
a) 3; f) −
1 ; 2
2 ; 3
b) 0;
c) 2,5;
d)
g) 1 és – 1;
h) 0 és 2;
i) – 2, 3 és
e) − 0,6 ; 2 . 3
122
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Ha több változó is van a nevezőben, a kikötést ezek kapcsolataként írjuk le. 2+ x Például: esetén a nevező nem lehet nulla, így 2 x − y ≠ 0 , vagyis 2 x ≠ y . 2x − y
Ha több tört is van egy kifejezésben, akkor összevonjuk a kikötéseket, hiszen egyik nevező 3 3 sem lehet 0. Például − esetén a ≠ 0 és a ≠ 1 , az értelmezési tartomány: R \ {0; 1}. a a −1 Vizsgáljuk meg azt az esetet is, amikor a nevezőben szorzat áll, vagy ha a nevező szorzattá alakítható. Tudjuk, hogy egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla. Ezt használjuk ki.
Mintapélda5 Határozzuk meg az
1 kifejezés értelmezési tartományát! x( x − 1)
x ⋅ ( x − 1) = 0 , amiből x = 0 vagy x = 1 .
Megoldás:
Ennek tagadása: x ≠ 0 és x ≠ 1 , vagyis az értelmezési tartomány: R \ {0; 1}.
Feladatok 21. Határozd meg, hogy milyen kikötéseket kell tenni a következő kifejezések esetében!
A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a)
4y ; x + 3x 2
b)
− 4 a −1 ; − − 2a a + 1
c)
x + 2 6 − 3x ; − x − 3 2x − 6
d)
2 3x . + 4x − 6x x − 1 2
22. Határozd meg, hogy milyen kikötéseket kell tenni a következő kifejezések esetében!
A feladatokban írd fel a kifejezések értelmezési tartományát is, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a)
2x + 1 ; 2x + y
b)
3− x ; y − 4x
c)
3z 3 + ; 2s 4 z
d)
−4 a −1 ; − 5a + 2 a + 1
e)
1 1 ; − x −1 x +1
f)
3x ; x −1
g)
3x ; x − 3x
h)
3x − 1 3x − 2 . − 3x + 1 9 x + 3
2
2
23. Végezd el a következő műveleteket! Állapítsd meg a változók értelmezési tartományát is!
a)
2 x 5x − 5 y ⋅ ; x− y 3xy
b)
7(a − 1) 2a + 6 ; ⋅ 4a + 12 3a − 3
d)
10a − 5b 6b − 12a : ; 6b − 8a 24a − 18b
e)
4 x − 8 y 3x − 6 y : ; 5 x + 15 y 9 y + 3 x
f) ( x − 2)( x + 3) + ( x + 2)( x − 3) ;
c)
5a + 10 2a 2 − 3a ⋅ ; 6 a − 9 a 2 + 2a
d ⎞ 3 ⎛3 1 ⎞ ⎛1 ⎞⎛ g) ⎜ d − 2 ⎟⎜ 4 + ⎟ + d ⎜ − d ⎟ . 2⎠ 2 ⎝4 2 ⎠ ⎝2 ⎠⎝
123
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
III. Polinomok Néhány elnevezés Ha számok és számokat helyettesítő betűk egész kitevőjű hatványát és gyökét a négy alapművelet véges számú alkalmazásával kapcsoljuk össze, algebrai kifejezést kapunk. A polinomok olyan algebrai kifejezések, amelyekben nem fordul elő gyökvonás és változót tartalmazó kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Ha legalább elsőfokú polinommal való osztás is szerepel a kifejezésben, akkor racionális törtkifejezésről beszélünk. A feladatokban sokszor találkozhatunk ilyen jellegű kifejezésekkel: Egytagú kifejezések: 3a, 5, 4x,
2 4 , 6⋅7, x. 5 3
Kéttagú kifejezések: 2 x − 4 , 3a − 2b ,
2 x + 5. 3
Kétváltozós hetedfokú polinom: 9 x 3 − 3x 5 y 2 + y + 13 . Az előforduló legmagasabb kitevő: 5 + 2 = 7.
Egy változós, negyedfokú polinom: − 2 x 4 + 4 x 2 − 5 x + 2 . Az előforduló legmagasabb kitevő: 4.
Együtthatók: A negyedfokú polinomban az x 4 -es tagé 2, az x 3 -os tagé 0, az x2-es tagé 4, az x-es tag együtthatója 5, a konstans pedig 2 (szintén együttható, az 1-nek, azaz a nulladfokú tagnak az együtthatója). x-et változónak vagy ismeretlennek nevezzük.
Az együtthatók az előjeleiket is tartalmazzák. Egy polinom fokszámát úgy határozzuk meg, hogy előbb maghatározzuk az egyes tagok fokát (összeadjuk a tagjaiban található ismeretlenek kitevőit), majd ezekből a legnagyobbat vesszük.
Óriási könnyebbséget jelentett az algebrai leírásokban a XIX. század végére kialakult, mai algebrai jelölésmód. René Descartes (1596 – 1650) javasolta először a változó mennyiségek
124
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
bevezetését, korábban az ismeretlent nem jelölték külön betűvel. Descartes nevét őrzi egyébként a derékszögű koordináta-rendszer is. A középkori matematikusok a latin szavak rövidítéseit és ma már szokatlan jelöléseket használtak a problémák leírására. Pl.: ~ 42 m ~ 21 p ~ 3 0 egaulx m ~ 50 ; 6 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 3 = −5 régen így nézett ki: 6 3 p ⎧D quadratum ⎫ D2 − B ⎪ ⎪ a = E egyenlet őse: ⎨ − B planum ⎬ aequabitur E ; 2D ⎪⎩ D bis ⎭⎪
a 2 x 3 − 3Bx 2 = C egyenlet akkori alakja: A2 cubus – B latus in A3 quadratum aequatur C solido
Feladatok 24. Határozd meg a következő polinomok fokszámát!
4 a) 2a + ab + 1 ; 5
b) 3a 2b + 2ab − b 4 ;
c) − 4 pq + p 3 +
2 2 p q. 3
25. Rendezd fokszám szerint csökkenő sorrendbe a következő polinomokat!
a) 6 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 3 ;
b) 12ab 5 − 3 ;
c) 2a 2 +
1 3 b a; 4
d) 12 x + 2 .
26. Végezd el a kijelölt műveleteket és a lehetséges összevonásokat, majd rendezd csök-
kenő fokszám szerint a polinomokat! Számítsd ki a kifejezések helyettesítési értékét is a megadott értékek mellett! a) ( x 2 − x + 1) x ; x = 3
b) 2 x(5 − 3x 2 − x) ; x = –10
1 2 c) x 2 (4 x 3 2 x 2) ; x = 2,4 d) (−3 x + 3)2 x + 8(3 − x) − 5 x( x − 5) ; x = 2 3
1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 e) ⎜ a − b ⎟12a − ⎜ a + b ⎟6a ; a = –2; b = 3. 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝3 ⎝3
125
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
IV. Nevezetes azonosságok Mintapélda6 Négyzet alapú irodába 1m mélységű vitrines sarokszekrényt hoztak, ami teljes két falat (és három sarkot) elfoglal. Így az iroda alapterülete 15 m2-rel csökkent. Mekkora az iroda falának hossza? Megoldás: Jelölje x az iroda eredeti falának hosszát. A vitrin elhelyezése előtt az alapterület x2 volt, utóbb ez ( x − 1) 2 -re csökkent. Felírhatjuk a következő egyenletet: x 2 − ( x − 1) 2 = 15 A megoldáshoz el kell végezni az ( x − 1)( x − 1) szorzást: ( x − 1)( x − 1) = x 2 − x − x + 1 = x 2 − 2 x + 1 x 2 − (x 2 − 2 x + 1) = 15 x 2 − x 2 + 2 x − 1 = 15 2 x = 16 x =8
Ellenőrzés: 82 = 64; 72 = 49; 64 – 49 = 15. Az iroda fala 8 méter hosszú. A számolást meggyorsíthatjuk, ha begyakoroljuk a nevezetes azonosságok használatát. Ezek közül leggyakrabban a következő három fordul elő (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – b2 = (a + b)(a – b) a, b R
Ezeket legegyszerűbben a „több tag szorzása több taggal” műveleti szabályai szerint bizonyíthatjuk: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ba + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ba – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 + ba – ab – b2 = a2 – b2
126
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Szavakkal megfogalmazva: Két tag összegének négyzete a két tag négyzetének összege, hozzáadva a két tag két-
szeres szorzatát, vagy első tag négyzete + az első és második tag kétszeres szorzata + a második tag négyzete. Két tag különbségének négyzete a két tag négyzetének összege, kivonva a két tag
kétszeres szorzatát. Két tag összegének és különbségének szorzata egyenlő a kisebbítendő négyzetének
és a kivonandó négyzetének különbségével.
Mintapélda7 Végezzük el a következő műveleteket! a) ( x + 3) 2 ;
b) ( x − 4) 2 ;
c) (ax + b) 2 ;
d) (b − 3ax) 2 ;
e) (2 x − 1) 2 ;
f) (7 − 4 x) 2 ;
g) ( x + 1)( x − 1) ;
h) (1 − 2a)(1 + 2a) ; 2
2
2
i) (a + b + c) ;
1⎞ ⎛ l) ⎜ x + ⎟ . x⎠ ⎝
2
j) (2 x − 3 − y ) ;
k) (−3x + 2 y − z ) ;
Megoldás: a) x 2 − 6 x + 9; b) x 2 − 8 x + 16; c) a 2 x 2 + 2abx + b 2 ; d) b 2 − 6abx + 9a 2 x 2 ; e) 4 x 2 − 4 x + 1; f) 49 − 56 x + 16 x 2 ; g) x 2 − 1; h) 1 − 4a 2 ; i) a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc; j) 4 x 2 + 9 + y 2 − 12 x − 4 xy + 6 y; 1 k) 9 x 2 + 4 y 2 + z 2 − 12 xy + 6 xz − 4 yz; l) x 2 + 2 + 2 . x
Mintapélda8 Végezzük el a következő műveleteket! 2
2
2
a) (3 x − 2) − (3 x + 2) ;
2
2
2
2
b) ( p + q) + 2( p − q ) ;
1⎞ ⎛ c) ⎜ b + ⎟ . b⎠ ⎝
Megoldás: a) (3x − 2) 2 − (3 x + 2) 2 = 9 x 2 − 12 x + 4 − (9 x 2 + 12 x + 4) = −24 x ;
( )
b) ( p 2 + q) 2 + 2( p 2 − q ) 2 = p 2 2
2
[(
+ 2 p2q + q2 + 2 p2 2
1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 ⎛ c) ⎜ b + ⎟ = b 2 + 2 ⋅ b ⋅ + ⎜ ⎟ = b 2 + 2 + 2 . b⎠ b ⎝b⎠ b ⎝
)
2
]
− 2 p 2 q + q 2 = 3 p 4 − 2 p 2 q + 3q 2 ;
127
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
Feladatok 27. Végezd el a következő műveleteket:
a) (2a − 1) 2 − 3(3a − 2) 2 + 2(a + 1)(a − 1) ; 2
b) (3a + 2) 2 − (6a − 1) 2 − (2a + 3)(2a − 3) ;
2
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ c) ⎜ s + ⎟ − ⎜ s − ⎟ . s⎠ ⎝ s⎠ ⎝
28. Végezd el a következő műveleteket! 2
2
2
b⎞ ⎛ b) (a − 3b) − ⎜ 2a − ⎟ ; 2⎠ ⎝
⎛3 ⎞ ⎛1 ⎞ a) ⎜ a + 4 ⎟ − ⎜ + 2a ⎟ ; ⎝2 ⎠ ⎝4 ⎠ 2
2
2
3 ⎞ 2 ⎞ ⎛3 ⎛2 c) ⎜ a + b ⎟ + 3⎜ a − b ⎟ ; 3 ⎠ 5 ⎠ ⎝5 ⎝3
(
)
2
e) a n − b n ;
2
2
⎛ 2x ⎞ ⎛4 ⎞ d) ⎜ − 3 y ⎟ − ⎜ y − 4x ⎟ ; ⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠
(
)
2
f) 2 x n + x n+1 .
29. Párosítsd az azonosságokhoz a megfelelő ábrákat!
a) a(b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c ;
b) (a + b)(c − d ) = ac + bc − ad − bd ;
c) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;
d) (a − b)(c − d ) = ac − bc − ad + bd ;
e) (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 ;
f) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
128
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
30. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy az két tag összegének vagy különb-
ségének négyzetét adja! a) 9a 2 + ... + 49 ;
b) 36 x 2 − 48 x + ... ;
c) 4d 2 + 32d + ... ;
d) ... + 180 y + 100 ;
e) 36a 2 − 24a + ... ;
f) ... − 130t + 169 ;
g) (3x + ...) 2 = ... + ... + 49 ;
h) (... − 4) 2 = ... − 48d + ... ;
i) (... + ...) 2 = 4s 2 + 32 s + ... ;
j) (3a − ...) 2 = ... − 48a + ...
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
129
V. Kifejezések szorzattá alakítása A matematikai problémák kezelése során többször találkozunk azzal, hogy az összegek, különbségek szorzattá alakítása egyszerűsíti a feladat megoldását. Többször előfordul, hogy szorzattá alakítás nélkül nem is jutunk végeredményre. Ilyenkor, ha sikerül szorzattá alakítanunk az egyenletben szereplő kifejezéseket, meg tudjuk oldani az egyenletet. Néhány példa, amikor segíthet a szorzattá alakítás: x2 + 2x − 3 = 2 egyenletet (ahol x ≠ 1 ) a nevezőjével szorozva másodfokú egyenletet x −1 kapnánk, amelyet 10. évfolyamon tanulunk megoldani. Azonban ha észrevesszük, hogy x 2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3) , akkor egyszerűsíthetünk:
( x − 1)( x + 3) =2 x −1 x+3= 2 x = −1 – 1 esetén a nevező nem válik nullává és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldás. x 5 − 5 x 4 = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá alakíthatjuk: x 4 ( x − 5) = 0 . Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, ezért vagy x4 nulla (és ekkor x = 0), vagy (x – 5) = 0, ekkor x = 5. Vagyis két megoldást kaptunk: x1 = 0 és x2 = 5. A példákból látható, hogy a szorzattá alakításnak valóban nagy jelentősége lehet a feladatok megoldásában. A szorzattá alakítás három módszerével ismerkedünk meg:
130
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Mintapélda9 Alakítsuk szorzattá következő kifejezéseket a megadott módszerekkel! a) Kiemeléssel: x 4 − 3x 2 − 5 x = x( x 3 − 3 x − 5) ;
a (b − 4) − 2(4 − b) = a (b − 4) + 2(b − 4) = (a + 2)(b − 4) . b) Csoportosítással: x 2 + yx + 2 y + 2 x = x( x + y ) + 2( x + y ) = ( x + 2)( x + y ) . A csoportosítás tulajdonképpen nem más, mint többszöri kiemelés. c) Nevezetes azonosságokkal:
16 x 2 − 9 = (4 x ) − 32 = (4 x − 3)(4 x + 3) 2
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 = (3 − x) 2 9 x 2 + 42 x + 49 = (3x + 7) 2 = (−3 x − 7) 2
31. Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket:
2 5 4 2 a a − a + ; 3 3 3
a) x 2 − 2 x ;
b) 4 x 3 − 6 x ;
c)
d) a( x + 2) + b( x + 2) ;
e) 2a( x − y ) − ( y − x) ;
f) 3a(d − 1) + (1 − d ) ;
g) a(b − 5) + 2(5 − b) ;
h) − 3 x 2 y − 6 x 3 y 3 + 9 x 2 y 4 ; i) d 3 + 2d 2 − d .
131
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
32. Alakítsd szorzattá csoportosítással a következő kifejezéseket!
a) 2a ( x + y ) + x + y ; b) 2 xy − 2 y 2 − ax + ay ;
c) x + x 2 − x 3 − x 4 ;
d) d 2 + 2d − 2s − sd .
33. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket!
a) a 2 + 16a + 64 ;
b) p 2 − 6 p + 9 ;
c) x 2 − 2 x + 1 ;
d) d 2 + 10d + 25 ;
e) 4a 2 + 4a + 1 ;
f) 9 x 2 − 12 x + 4 .
34. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket!
a) x 2 − 1
b)
1 c) 9s 2 − t 2 9
1 2 a − 4s 2 4
d) 16 − x 2 y 2
e) a 2 x 2 − 9a 2 .
35. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket!
a) (a + b) 2 − 4a 2 ;
b) 4( x + y ) 2 − 9( x − y ) 2 ;
c) (5 x + 3 y ) 2 − 4 y 2 ;
d) 49(2d − 3c) 2 − 9(d + c) 2 ;
e) 4a 2 − (3a − 2b) 2 ;
f) ( x 2 + 1) 2 − 4 x 2 ;
g) (a 2 + 4b) 2 − 16b 2 ;
h) 4 x 2 − 20 xy + 25 y 2 − 36 ; i) a 4 − 81 ;
j) 16 x 4 − 81 ;
k)
16 4 1 a − ; 81 16
l) 16 x 4 −
1 4 y . 16
36. Alakítsd szorzattá tetszőleges módszerrel a következő kifejezéseket!
a) 2 x( y − 1) + y − 1 ;
b) d (2 − d ) + d − 2 ;
c) s 2 − 4s + 4 − s ;
d) t 2 − 5a + at − 5t ;
e) 2 s 2 − 3d − s 2 d + 6 ;
g) 27 p 2 − 12q 2 ;
h) 20a 2 − 45b 2 ;
j) 4 − 0,01d 2 ; m) x 2 − y 2 − x − y ;
k) 36 x 2 − ( x 2 + 9) 2 ; n) x 4 − y 4 .
f) 0,09 − 0,25d 2 ; 9 2 4 2 i) x − y ; 16 9 2 l) 1 − x − 2 xy − y 2 ;
37. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!
a) x 2 − 5 x + 6 ;
b) x 2 + 5 x + 6 ;
c) a 2 − a − 12 ;
d) d 2 − 2d − 15 ;
e) m8 − 4m 4 − 5 ;
f) x 4 − 7 x 2 + 12 ;
g) 2 + x − x 2 ;
h) − 4 x + 21 − x 2 ;
i)
9 3 x − x2 − 6 + x . 2 4
132
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
VI. Algebrai műveletek alkalmazásai Mintapélda10 Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezést: x 2 − 6 x + 5 , azaz a kifejezésben egy két tagú összeg (vagy különbség) négyzete, és egy állandó tag szerepeljen! Megoldás: Két tag összegének és különbségének négyzetre emelésekor a kétszeres szorzat jelenik meg: (x ± a ) = x 2 + a 2 ± 2ax , ezért az elsőfokú (x-es) tagból indulunk ki: megfelezzük 2
az együtthatóját (– 6 -ot). x 2 − 6 x +9
2
x − 6 x + 5 = ( x − 3) 2 − 4 Felírjuk a kifejezés négyzetét, és korrigálunk (+ 9 helyett nekünk + 5-re van szükségünk, ezért elveszünk 9-ből 4-et).
Mintapélda11 Határozd meg az x 2 + 8 x − 12 kifejezés minimális értékét és azt is, hogy milyen x érték esetén veszi azt fel! Megoldás: A kifejezést teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítjuk: x 2 + 8 x − 12 = ( x + 4) 2 − 28 A kapott alakból kiolvasható a megoldás. A kifejezés értéke x értékétől függ. Az x egy változó: ha változik, nyilván az egész kifejezés értéke is változni fog. x = −4 esetén ( x + 4) értéke nulla, így ( x + 4) 2 is nulla. Ekkor a legkisebb a kifejezés
értéke, ugyanis ha x nem – 4, akkor ( x + 4) 2 értéke pozitív (nullánál nagyobb). Tehát az átalakított kifejezésből megállapítható, hogy az x 2 + 8 x − 12 kifejezés a legkisebb értékét x = −4 esetén veszi fel, és ez az érték – 28.
133
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
Az előbbi feladathoz hasonlóan lehet megállapítani azt, hogy a − ( x + 3) 2 + 2 kifejezés legnagyobb értéke (maximuma) + 2, és ezt x = −3 esetén veszi fel.
Azokat a feladatokat, amelyekben egy kifejezés legnagyobb vagy legkisebb értékét kell megállapítani, szélsőérték-feladatoknak nevezzük. A másodfokúra visszavezethető szélsőértékfeladatok megoldásának egyik módja a teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás.
Feladatok 38. Egészítsd ki teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következő kifejezéseket! Hatá-
rozd meg legnagyobb, illetve legkisebb értéküket is! a) x 2 + 8 x + 2 ;
b) a 2 − 14a + 20 ;
e) x 2 − 5 x + 2 ;
f) a 2 + 7 a +
i) x 2 − 6 x ;
j) x 2 − 4 x .
19 ; 4
c) − x 2 + 4 x − 6 ;
d) − s 2 − 12s + 5 ;
g) 2 x 2 − 12 x + 10 ;
h) − 2 x 2 + 8 x − 10 ;
39. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!
a) (4 x − 3 y ) 2 − (−2 x − y ) 2 ;
b) (−2 x + 7 y ) 2 − (3x − 5 y ) 2 ;
c) (2 p − 3) 2 − ( p − 4)( p + 4) − 2 p ( p + 2) ;
Mintapélda12 Végezzük el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tartományát! a)
a+b a−b − ; a −b a +b
b)
4x − 1 1 − 2x ; − 3x + 3 x 2 − 1
⎛ 4y ⎞ 5 − 2 ⎟⎟ : 2 . c) ⎜⎜ ⎝ 2y − 5 ⎠ 4 y − 25
Megoldás: a) Egyik nevező sem lehet nulla, ezért a ≠ ±b . A nevezők különbözőek, ezért a megoldást közös nevezőre hozással kezdjük: a + b a − b (a + b)(a + b) − (a − b)(a − b) a 2 + 2ab + b 2 − (a 2 − 2ab + b 2 ) = = = − a −b a +b (a − b)(a + b) (a − b)(a + b)
=
4ab 4ab = 2 . (a − b)(a + b) a − b 2
b) A nevezők szorzattá alakíthatók:
134
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
4x −1 1 − 2x 4x −1 1− 2x . Egyik nevező sem lehet nulla, ezért x ≠ ±1 . − 2 = − 3x + 3 x − 1 3( x + 1) ( x + 1)( x − 1) A közös nevező a nevezők legkisebb közös többszöröse: 3( x + 1)( x − 1) . A közös nevezőre hozás után a számlálóban alakítjuk a kifejezést:
4x −1 1 − 2x 4x −1 1− 2x (4 x − 1)( x − 1) − 3(1 − 2 x) = − 2 = − = 3x + 3 x − 1 3( x + 1) ( x + 1)( x − 1) 3( x + 1)( x − 1) =
4x 2 − x − 4x +1 − 3 + 6x 4x 2 + x − 2 . = 3( x + 1)( x − 1) 3( x 2 − 1)
c) Szorzattá alakítás és kikötés meghatározása után közös nevezőre hozunk a zárójel5 ben: y ≠ ± ; 2 ⎛ 4y ⎞ 5 4 y − 2(2 y − 5) 5 ⎜⎜ = = − 2 ⎟⎟ : 2 : 2y −5 (2 y + 5)(2 y − 5) ⎝ 2y −5 ⎠ 4 y − 25 =
4 y − 4 y + 10 (2 y + 5)(2 y − 5) 10(2 y + 5)(2 y − 5) ⋅ = = 2(2 y + 5) = 4 y + 10 . 2y −5 5 5(2 y − 5)
Feladatok 40. Végezd el a következő műveleteket és határozd meg a kifejezések értelmezési tarto-
mányát! a)
y 2y +1 + ; y+2 y−2
b)
p +1 p −1 + ; p + 2q p − 2q
c)
10 5 + ; 2 x −1 x +1
d)
a2 + 1 a −1 − ; a2 − 4 a + 2
e)
4x − 1 1 − 2x − ; 3x + 3 x 2 − 1
f)
y+2 3 − 2y + ; 2 4y − 9 6y − 9
g)
1 1 ; + 2 2 a −a a +a
h)
5 4 − 3x 2 − 3. − 2x2 + 6x x2 − 9
41. Végezd el a következő műveleteket! 3x 2 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ x ⎟; a) ⎜ + 1⎟ : ⎜⎜1 − 2 ⎟ ⎝ x +1 ⎠ ⎝ 1− x ⎠
4d ⎛ 2d + 1 2d − 1 ⎞ − b) ⎜ ; ⎟: ⎝ 2d − 1 2d + 1 ⎠ 10d − 5
(
)
2
3 29 ⎞ 2 ⎛ 3 − − 2 c) ⎜ ⎟ ⋅ a − 25 ; ⎝ a − 5 a + 5 a − 25 ⎠
2b ⎞ 2b ⎛b ; d) ⎜ − ⎟: 3 2 ⎝ a 2a + b ⎠ 4a − ab
⎛ x x⎞ 4x2 e) ⎜⎜ − ⎟⎟ : 3 ; 2 ⎝ y − 2 x y ⎠ y − 4 yx
⎛ 11x ⎞ 10 x + 2 − 1⎟ 2 . f) ⎜ ⎝ 10 x + 2 ⎠ x − 4
135
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
42. Végezd el a következő műveleteket!
a)
a 2 − 25 a 2 + 5a ; : 2 a−3 a −9
b)
3x 2 − 3 y 2 6 x − 6 y − ; x 2 + 5x x+5
c)
x2 − y2 x4 ⋅ ; x2 x 2 + 2 xy + y 2
d)
(5a + 3) 2 ; 25a 2 − 9
e)
5−c ⋅ (4c 2 − 4); 2 (6c − 6)(c + c)
f)
q − 2 p q2 − 4 p2 ; : q + 2 p (q + 2 p ) 2
4 y 2 − 12 xy + 9 x 2 3x − 2 y g) ; : 2 4
(
)
h) 4 y 2 − 24 y + 36 :
y −3 . 4
43. Végezd el a következő műveleteket!
a)
1 1 1 + 2 − ; x + x x −1 x
c)
5 a−2 a −1 − 2 + ; a − 3 a − 9 2a + 6
2
e)
a 2 − 6 a + 8 a 2 − 4a + 4 ; : a 2 + 4a + 3 5a + 15
g)
a 2 − 10a + 25 a 2 − 14a + 49 . − 5−a 7−a
b)
7 3 12 − − 2 ; 2x − 4 x + 2 x − 4
(
)
4 4 ⎞ 2 ⎛ 25 d) ⎜ 2 − + ⎟⋅ d −9 ; ⎝ d − 9 d − 3 d + 3⎠ a 2 − a − 2 a 2 + 3a − 4 f) ⋅ ; a 2 + 5a + 4 a 2 − 3a + 2
Mintapélda13 A szferométer (gömbmérő) olyan műszer, mellyel vékony lemezek, drótok, üveglencsék görbületi sugarát, gömbfelületsugarát lehet meghatározni. A hengeres szferométer egy körhengerrel összekötött mikrométercsavar. Pontos illesztéssel ráhelyezik a görbe felületre és a csavart addig tekerik a henger alapsíkja felé, amíg vége a felületet el nem éri. A műszer alapsíkja és az alaphenger tengelyében elhelyezkedő csavar végének síkja közötti távolságot a mikrométercsavarhoz kapcsolódó skálán olvassák le és ebből számítható ki például egy gömbfelület sugara. János édesapja hazahozott a műhelyből egy hengeres szferométert, melynek alapköre 5 cm sugarú. Meghatározták János földgömbjének sugarát. Mennyit kaptak eredményül, ha a szferométer skálája 6,2 mm-t mutatott?
136
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Megoldás: A megoldás kulcseleme a megfelelő ábra elkészítése. r a gömb sugara. Az ábrán látható derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tételt felírva kapjuk az alábbi egyenletet: r 2 = 5 2 + (r − 0,62) 2 . Négyzetre emelés és összevonás után r 2 = 52 + r 2 − 1,24r + 0,62 2 1,24r = 25,3844 r = 20,47 ≈ 20 cm A gömb sugara 20 cm.
Feladatok 44. Egy derékszögű háromszög átfogója 10 cm-rel hosszabb az egyik befogójánál. A má-
sik befogó hossza 30 cm. Mekkorák a háromszög oldalai?
45. Naomi az egyenlítőn él. Egy legenda szerint ősei nagyon régen kiszá-
molták a Föld sugarát. Utánajárt a számításnak, és elvégezte a hozzá tartozó kísérletet (persze mai eszközökkel): a víz felszínétől 15 méter magasban egy nagy hajóról nézte távcsővel, hogy mikor tűnik el az a csónak, amely az egyenlítő mentén távolodott az ő hajójuktól. Amikor eltűnt a horizonton, a távolságmérős távcső 13,82 km-t mutatott. Mekkorának számította Naomi a Föld sugarát?
46. A planetárium körfolyosójának középvonala a középponttól
mérve 37 méter sugarú kör, a körfolyosó területe 1394 m2. Mekkora a terem és a külső fal köreinek sugara?
47. Sok középkori monostorban építettek kerengőt: kis belső
kertet körbevevő, árkádos folyosót. Mekkora területű négyzet alapú udvart vesz körül az a kerengő, amelynek szélessége 2,8 méter, területe 165,76 m2 ?
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
137
48. Egy körgyűrű belső és külső sugarának összege 22 cm, a körgyűrű területe 44π . Mek-
kora a két sugár?
49. Egy kör alakú rét egyik átmérőjének két végpontjához érkezik egy darázs és egy mé-
hecske. Észrevesznek a rét szélén egy színpompás virágot, és egyszerre indulnak el feléje. A méhecske sebessége 6,8 m/s, a darázsé 8 m/s. A darázs útja a virágig 78,46 méter, a méhecske útja a rét átmérőjénél 38 méterrel kevesebb. Melyikük ér előbb a virághoz?
Számelméleti feladatok A 4. modulban már találkoztunk az osztó, a többszörös, a prímek és az összetett számok fogalmával, valamint a legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös és a relatív prímek definíciójával. A következő feladatokban – többek között – ezeket alkalmazzuk.
Mintapélda14 Három egymást követő természetes szám összege 1998. Mekkora közülük a legnagyobb szám? Megoldás: Jelölje x a középső számot. Ekkor ( x − 1) + x + ( x + 1) = 1998 3 x = 1998 x = 666
A legnagyobb szám: x + 1 = 667 Megjegyzés: A feladat akkor is megoldható, ha nem a középső számot vesszük ismeretlen-
nek. Azonban ez az ötlet leegyszerűsítheti a feladatok megoldását, érdemes megjegyezni.
50. Három egymást követő páros szám összege 1998. Mekkora közülük a legnagyobb
szám?
51. Négy egymást követő természetes szám összege 2002. Melyik közülük a legnagyobb
szám?
138
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
52. Írj fel olyan számokat, amelyek 4-gyel osztva 3 maradékot adnak. Írd fel ezek általános
alakját!
Mintapélda15 Ha egy pozitív egész szám 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 3-mal osztva a 4-szerese? Megoldás: 4(3k + 1) = 12k + 4 = 3(4k + 1) + 1 azaz 3-mal osztva 1 maradékot ad.
Feladatok 53. Ha egy pozitív egész szám 3-mal osztva 1 maradékot ad, akkor milyen maradékot ad
3-mal osztva a négyzete?
54. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva 3 maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5-
tel osztva a négyzete?
55. Ha egy pozitív egész szám 5-tel osztva 3 maradékot ad, akkor milyen maradékot ad 5-
tel osztva a 4-szerese?
139
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
VII. Vegyes feladatok 56. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket és számítsd ki a helyettesítési érté-
keket! 2 ⎞ 1 1 ⎞3 ⎛ 1 ⎛ 1 a) ⎜ 2 x − 3 y ⎟1 x − ⎜ 3 x − 2 y ⎟ y ; x = 6; y = 15; 5 ⎠ 4 4 ⎠4 ⎝ 3 ⎝ 6 8 1⎛1 1⎞ 3⎛2 3 ⎞ b) 2 ⎜ b − ⎟ − ⎜ − b ⎟ ; b = . 3⎝4 5⎠ 4 ⎝ 3 2 ⎠ 9
57. Végezd el a következő műveleteket!
a) − 4a 3 (a − 2) + a(3 − a + a 2 ) − 4(a + 1) ;
b)
2 5 a(2a 3 − 2) − (3 + a 2 ) . 3 6
58. Végezd el a következő műveleteket! Állapítsd meg a változók értelmezési tartományát
is! a)
3d + 21 5d − 10 ⋅ ; 8d − 16 28 + 4d
b)
16 w − 24 8w − 12 ; : 45 + 27 w 15 + 9w
c)
6a + 3 6a + 12 : ; 2a − 6 5a − 15
2 ⎛1 ⎞⎛ 2 ⎞ d) ⎜ x − y + 3 ⎟⎜ x − 2 ⎟ . 3 ⎝2 ⎠⎝ 3 ⎠
59. Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonáso-
kat! a)
6a + 2b − 5 4a + 6b − ; 5 2
b) 8 −
3a − 6b 4a − b + ; 9 3
c)
3a + 2b 2a + 3b − −4. 2 6
60. Hozd közös nevezőre az alábbi kifejezéseket, és végezd el a lehetséges összevonáso-
kat! a)
2 x + 3 y 3x − 4 y − ; 3x 3x
b)
a+3 a−7 + ; a−5 5−a
c)
4t 5t 9t − 4 + − . t +3 t +3 t +3
61. Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát:
a)
3+ x ; 4y
b)
5x ; − 3x − 4
c)
8 . 4 − 2x
140
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
2
3⎞ ⎛ b) ⎜ 3a + ⎟ . a⎠ ⎝
2
a) ( x − 2 y − 3z ) ;
62. Végezd el a következő műveleteket!
2
2
⎛ d 2t 5 ⎞ 5 ⎞ ⎛5 − dt ⎟⎟ . 63. Végezd el a következő műveleteket: ⎜ d 2t − dt ⎟ + 3 ⋅ ⎜⎜ 3 ⎠ 9 ⎠ ⎝6 ⎝ 3 64.. Az alábbi kifejezések közül melyik egyenértékű a (2 x − 1) 2 kifejezéssel?
a) 2( x − 1) 2 − 6 x ;
b) 2( x − 1) 2 − 8 ; 2
2
1⎞ ⎛ d) 4⎜ x − ⎟ . 2⎠ ⎝
2
c) 2[( x − 1) + x ] − 1 ;
65. Az alábbi kifejezések közül melyik egyenértékű a ( x + 3 y ) 2 kifejezéssel?
a)
[
)]
(
1 2( x + 3) 2 − 18 1 − y 2 ; 2
b) ( x − 3 y ) 2 + 3 y ;
c) (3x + y ) − ( x + 3)( y + 3) + ( x + 3) 2 ; 2
d) (2 x + 3) 2 − 3( x + y ) 2 + 3 y 2 .
66. Végezzük el a következő műveleteket:
a) (a + b) 2 − (a + b)(a − b) − (a − b) 2 ;
b) ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 − ( x + 1)( x − 1) ;
c) 2(a + b) 2 − 3(a − b) 2 ;
d) (−2a 3 + b) 2 + 2(5a 3 − 3b) 2 ;
e) (a + 2) 2 − (a − 2) 2 ;
f) ( x − 2 y ) 2 + ( x + 2 y ) 2 ;
g) (1 + 3x) 2 − (1 − 3 x) 2 ;
h) (m − 3) 2 − (3 − m) 2 ;
i) (n − 3) 2 − (n + 3) 2 .
67. Alakítsd szorzattá csoportosítással a következő kifejezéseket!
a) 3t − 1 + 6 st − 2 s ;
b) 12d 2 + 8 − 6d 2 e 2 − 4e 2 ;
c) a 2b 3 − b 3 + 1 − a 2 .
68. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!
a) 81 − ( x + 4) 2 ;
b) (2a + 3) 2 − (a − 4) 2 ;
d) 25 p 2 − 4 p 2 + 12 pq − 9q 2 ; e) 1 − 16 x 4 .
c) 9 − a 2 + 2ab − b 2 ;
141
16. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK
69. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!
a) a 2 − 8a + 15 ;
b) y 6 + 2 y 3 − 3 ;
c) − x 2 + x + 2 ;
d) − x 2 − 7 x − 12 ;
e) 6 x − 3 + 3x − 6 x 2 ;
f) − 10 x 3 − 5 x 2 + 4 + 8 x .
70. Végezd el a következő műveleteket!
a)
3 x +1 x −1 + 2 − ; x + 2 x − 9 ( x + 2)( x + 3)
2b ⎞ 2b 2 ⎛b : c) ⎜ − ⎟ 3 2 ⎝ a 2a + b ⎠ 4a − ab 4x2 − 9 y 2 2x + 3y e) ; : 2 3 x − 5 y 9 x − 25 y 2
g)
;
a 2 − 4b 2 ; a − 2b 2 5y + 2 d) ⋅ (3 − y ) ; 3y2 − 9 y b)
2a ⎞ 6a 2 + 10a ⎛ 3a f) ⎜ ; + ⎟: 2 ⎝ 1 − 3a 3a + 1 ⎠ 1 − 6a + 9a
x 2 − 8 x + 16 . 4− x
71. Lehet-e három egymást követő páratlan szám összege 2006?
72. Melyik négy egymást követő páratlan szám összege a 2000?
73. Öt egymást követő természetes szám összege 2000. Melyik közülük a legnagyobb
szám?
74. Igaz-e, hogy ha x nem osztható 3-mal, akkor x2 – 1 osztható lesz 3-mal?
75. Igazold, hogy az x 5 − 5 x 3 + 4 x kifejezés osztható 120-szal, ha x természetes szám!
142
MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANÁRI ÚTMUTATÓ
Kislexikon Alaphalmaz: az a számhalmaz, amelyet a feladat szövege ad meg, ennek hiányában a valós
számok (R). Bővítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a számmal
vagy kifejezéssel szorozzuk (a szám illetve a kifejezés értéke nem lehet nulla). Több tagú számláló illetve nevező esetén bővítéskor minden tagot megszorzunk. A bővítés ellentéte az egyszerűsítés. Egyneműek tagok: legfeljebb együtthatójukban különböznek. Egyszerűsítés: törtekkel végezhető művelet, a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nul-
lától különböző számmal vagy kifejezéssel osztjuk. Több tagú számláló illetve nevező esetén egyszerűsíteni csak azzal a kifejezéssel vagy számmal lehet, ami kiemelhető a számláló illetve a nevező minden tagjából. Kifejezés értelmezési tartománya: kikötésekkel szűkített alaphalmaz. Kifejezés helyettesítési értékét úgy kapjuk, hogy a betűknek értéket adunk. Nevezetes másodfokú azonosságok: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ,
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , ahol a ∈ R, b ∈ R. Polinom: olyan algebrai kifejezés, amelyekben nem szerepel gyökvonás és változót tartalma-
zó kifejezéssel való osztás. A polinom másik neve: racionális egész kifejezés. Polinom fokszáma: a legmagasabb fokú tagjának foka.
17. MODUL Egyenletek, egyenlőtleségek, kétismeretlenes egyenletek Készítette: Darabos Noémi Ágnes
144 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Egyszerű egyenletek Mintapélda1 Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél 3-mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen? Megoldás: Jelöljük az alsó polcon található könyvek számát x-szel. Ekkor a felső polcon: 3 x + 6 darab könyv van. 3x + 6 − 8 −3 = x+8 2 3 x − 2 − 6 = 2 x + 16 x = 24
Daninak jelenleg az alsó polcon: x + 8 = 24 + 8 = 32 , a felső polcon: 3 ⋅ 24 + 6 − 8 = 70 darab könyve van, így összesen 102 darab könyve van. Ellenőrzés: 70 fele: 35 tényleg 3-mal több a 32-nél.
Mintapélda2 Egy 36 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia? Megoldás: Anya
Fia
Most
36
6
x év múlva
36 + x
6+x
36 + x = 3(6 + x ) 18 = 2 x x=9 9 év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia. Ellenőrzés: 9 év múlva az anya 45 éves, a fia 15 éves lesz és 15 ⋅ 3 = 45 .
145
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
Minden egyenlethez hozzátartozik egy alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok
halmazát
tekintjük
annak.
Az
alaphalmaz
azt
a
legbővebb
részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egyenlet értelmezési tartományának nevezzük. Az egyenlet megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartományból, amelyek kielégítik az egyenletet. Ezeket a számokat hívjuk az egyenlet megoldásainak, vagy az egyenlet gyökeinek és ezek a számok alkotják az egyenlet megoldáshalmazát. Amennyiben nincs olyan szám, amelyik igazzá teszi az egyenletet, akkor az egyenletnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz.
Az egyenlet megoldása során úgy kell átalakítanunk az egyenletet, hogy egyre egyszerűbb egyenlethez jussunk. Célunk, hogy végül az egyenlet egyik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon egy konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. Az egyenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlet mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor hamis gyököket kaphatunk, ha osztunk, akkor gyököket veszthetünk. Ennek elkerülésére az ismeretlent tartalmazó kifejezésről, ekkor mindig fel kell tételeznünk, hogy nem 0.
146 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 1. Oldd meg a 2 x − 7 = 11 egyenletet a racionális számok halmazán! 2. Oldd meg a 12(4 x − 7 ) = 16 + 3 x egyenletet az egész számok halmazán! 3. Egy bankjegykiadó automatát az ünnepek előtt szinte teljesen kifosztottak. Összesen 61000 Ft maradt benne 2000-es és 5000-es címletekben. Hány darab 2000-es és 5000-es maradt az automatában, ha egy híján kétszer annyi 2000-es van, mint 5000-es? 4. Meg tudja-e venni Tibor a 3600 Ft-os feltöltőkártyát, ha pénzének harmada 400 Ft-tal kevesebb, mint a feltöltőkártya árának a fele? 5. Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba 32 db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után? 6. Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban 1-gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak?
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
147
II. Törtegyütthatós egyenletek Mintapélda3 Zoli, Krisztián, Laci és István szeretnék megvenni a kedvenc Play Station játékukat. Zoli beleadott 3250 Ft-ot, Krisztián feleannyit, Laci harmadannyit, István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen. Mennyibe került a játék? Megoldás: Jelöljük x-szel a játék árát. Krisztián feleannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a harmadát. Laci harmadannyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a negyedét. István negyed annyit fizetett, mint a többiek összesen, vagyis kifizette a ötödét. x x x + + =x 3 4 5 195000 + 47 x = 60 x 3250 +
15000 = x
A játék 15000 Ft-ba került. Ellenőrzés: a szöveg alapján.
Mintapélda4 Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet!
3x − 1 2 − 7 x 4x + 4 − = 1− 5 3 15 Megoldás: Alaphalmaz: R. 3 ⋅ (3 x − 1) − 5 ⋅ (2 − 7 x ) = 15 − (4 x + 4 ) 9 x − 3 − 10 + 35 x = 15 − 4 x − 4 48 x = 24 1 x = = 0,5 2 1 1 1 3⋅ −1 2 − 7 ⋅ 4⋅ + 4 3 3 2 2 = ; Ellenőrzés:Bal oldal értéke: − jobb oldal értéke: 1 − 2 = . 5 3 5 15 5 1 A eleme az egyenlet alaphalmazának, és az ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési 2 1 értéke egyenlő, ezért az x = valóban megoldás. 2 ⎧1 ⎫ Megoldáshalmaz: M = ⎨ ⎬ . ⎩2⎭
148 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 7. Egy osztály tanulóinak
1 2 -a jár gyalog az iskolába, -a jár valamilyen tömeg6 3
közlekedési eszközzel, a többi 5 diákot kocsival hozzák. Hány tanulója van az osztálynak? Hányan jönnek gyalog, és hányan valamilyen járművel? 8. Oldd meg a
3x x − 3 7 = egyenletet a pozitív számok halmazán! − 4 2 3
9. Egy órás hétfőn eladta az óráinak felét és még 6 darabot. Kedden a maradék készlet
harmadát és még 3 darabot, szerdán 7 darab órát adott el, így kifogyott a készlete. Hány darab óra volt az üzletben hétfő reggel? 10. Oldd meg az egyenletet a racionális számok halmazán!
3−
6x + 5 5x − 1 = 2− 4 3
11. Elutazás előtt zoknikat csomagolok. A fiókból kivettem három pár zoknit, majd a
maradék egyharmadát. Később kivettem a fiókból még egyet, ekkor a zoknik fele maradt a fiókban. Hány pár zoknim van? Mennyit vittem magammal az utazásra? 12. Fejtsd meg Diophantosz, görög matematikus sírfeliratát!
„Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egy hatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egy heted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett. Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?”
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
149
III. Algebrai törtes egyenletek Mintapélda5 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 8 x − 15 6 x − 35 −2= − x−4 x−4
Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \ {4}. Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 4 ) -gyel!
(8 x − 15) − 2(x − 4) = −(6 x − 35) 8 x − 15 − 2 x + 8 = −6 x + 35 12 x = 42 x = 3,5 Ellenőrzés: Bal oldal értéke:
8 ⋅ 3,5 − 15 6 ⋅ 3,5 − 35 − 2 = −28 ; jobb oldal értéke: − = −28 . 3,5 − 4 3,5 − 4
Megoldáshalmaz: M = {3,5}.
Mintapélda6 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 3x − 4 x + 6 = +2 x −3 3− x Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 3-tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \ {3}. Észrevétel: (x − 3)-nak a (− 1) -szerese a (3 − x ). 3x − 4 x+6 = 2− x−3 x−3 Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 3)-mal!
3x − 4 = 2(x − 3) − (x + 6) 3x − 4 = 2x − 6 − x − 6 2 x = −8 x = −4
150 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Ellenőrzés:
Bal oldal értéke:
3(− 4) − 4 − 12 − 4 − 16 16 = = . = (− 4) − 3 − 4 − 3 − 7 7
Jobb oldal értéke: Megoldáshalmaz:
(− 4) + 6 + 2 = 2 + 2 = 2 + 14 = 16 . 3 − (− 4) 7 7 7 M = {− 4}.
Mintapélda7 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x −1 2 − x 7x − 9 + = x − 3 x + 3 x2 − 9 Megoldás:
Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 3-tól és –3-tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \ {3; – 3}.
(x − 1)(x + 3) + (2 − x )(x − 3) = 7 x − 9 (x − 3)(x + 3) (x + 3)(x − 3) x 2 − 9 Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 3)(x + 3) = x 2 − 9 -cel!
(x − 1)(x + 3) + (2 − x )(x − 3) = 7 x − 9 x 2 − x + 3x − 3 + 2 x + 3x − x 2 − 6 = 7 x − 9 7x − 9 = 7x − 9 Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \ {3; – 3}.
Feladatok 13. Oldd meg az egyenletet a természetes számok halmazán!
2 7 + = 11 x 2x 14. Oldd meg az egyenletet az egész számok halmazán!
x−2 2 = x−4 x−4 15. Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán!
5 9− x +2 = x−3 x−3
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
151
Mintapélda8 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 8 x − 15 6 x − 35 −2= − x−4 x−4 Megoldás: Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 4-től különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \ {4}. Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 4 ) -gyel!
(8 x − 15) − 2(x − 4) = −(6 x − 35) 8 x − 15 − 2 x + 8 = −6 x + 35 12 x = 42 x = 3,5 Ellenőrzés:
Bal oldal értéke:
8 ⋅ 3,5 − 15 6 ⋅ 3,5 − 35 − 2 = −28 ; jobb oldal értéke: − = −28 . 3,5 − 4 3,5 − 4
Megoldáshalmaz: M = {3,5}.
Mintapélda9 Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 3x − 4 x + 6 +2 = x −3 3− x Megoldás:
Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 3-tól különböző egész számok halmaza. Röviden: Z \ {3}. Észrevétel: (x − 3)-nak a (− 1) -szerese a (3 − x ). 3x − 4 x+6 = 2− x−3 x−3 Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 3)-mal! 3x − 4 = 2(x − 3) − (x + 6) 3x − 4 = 2x − 6 − x − 6 2x = −8 x = −4
152 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM Ellenőrzés:
Bal oldal értéke:
TANULÓK KÖNYVE
3(− 4) − 4 − 12 − 4 − 16 16 = = = . (− 4) − 3 − 4 − 3 − 7 7
Jobb oldal értéke: Megoldáshalmaz:
(− 4) + 6 + 2 = 2 + 2 = 2 + 14 = 16 . 3 − (− 4) 7 7 7 M = {− 4}.
Mintapélda10 Oldjuk meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x −1 2 − x 7x − 9 + = x − 3 x + 3 x2 − 9 Megoldás:
Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 3-tól és –3-tól különböző racionális számok halmaza. Röviden: Q \ {3; – 3}.
(x − 1)(x + 3) + (2 − x )(x − 3) = 7 x − 9 (x − 3)(x + 3) (x + 3)(x − 3) x 2 − 9 Szorozzunk a közös nevezővel, (x − 3)(x + 3) = x 2 − 9 -cel!
(x − 1)(x + 3) + (2 − x )(x − 3) = 7 x − 9 x 2 − x + 3x − 3 + 2 x + 3x − x 2 − 6 = 7 x − 9
7x − 9 = 7x − 9 Azonosság. Az értelmezési tartomány minden eleme megoldás. Megoldáshalmaz: M = Q \ {3; – 3}.
Feladatok 16. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 22 3x − 1 +2 = 2x − 8 x − 4 17. Oldd meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! 3x − 2 7x + 3 +6= 2x + 1 2(2 x + 1) 18. Oldd meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 2x − 3 3x − 1 +3= x−4 4−x
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
19. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x − 7 6 − 2x x + 5 + = x − 3 x2 − 9 x + 3 20. Oldd meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán! 3x − 5 5x + 6 − 3= x −3 3− x 21. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x + 6 4 − 3x x −5 + 2 = x + 4 x − 16 x − 4 22. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 3 − x x + 2 13x − 4 + = x + 4 x − 4 x 2 − 16 23. Oldd meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! x2 + 3 x + 2 3 − = 2 2−x x+2 4−x 24. Oldd meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! x 2 + 10x + 25 =8 3x + 15
153
154 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
IV. Egyenlőtlenségek Mintapélda11 Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 3x − 7 <0 x Megoldás:
Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ {0}.
Egy tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset
VAGY
II. eset
Ha a számláló pozitív és a nevező
Ha a számláló negatív és a nevező
negatív.
pozitív.
3x − 7 > 0 ÉS 3x > 7 7 x> 3
x<0
A kettő együtt sohasem teljesül, ebből az esetből nem kapunk megoldást.
3x − 7 < 0 ÉS 3x < 7 7 x< 3
x>0
A kettő együtt akkor teljesül, ha x > 0 és x <
7 7 , azaz 0 < x < . 3 3
A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: ⎤ M = ⎥ 0; ⎦
7⎡ . 3 ⎢⎣
⎧ M = ⎨0 < x < ⎩
7⎫ ⎬ , más módon jelölve 3⎭
155
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
Mintapélda12 Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegyenesen! 2x − 3 >0 6x + 3 1. megoldas:
2. megoldás:
Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a −
1 -től különböző 2
⎧ 1⎫ valós számok halmaza. Röviden: R \ ⎨− ⎬ . ⎩ 2⎭ Szorozzuk meg az egyenlőtlenséget (6 x + 3) -mal! I. eset Ha 6 x + 3 > 0 , azaz x > −
VAGY 1 2
II. eset Ha 6 x + 3 < 0 , azaz x < −
1 2
Ha pozitív számmal szorzunk, az
Ha negatív számmal szorzunk, az
egyenlőtlenség iránya változatlan
egyenlőtlenség iránya megváltozik,
marad.
megfordul a relációs jel.
2x − 3 > 0 /+ 3 2x > 3 / : 2 3 x> 2
2x − 3 < 0 /+ 3 2x < 3 / : 2 3 x< 2
Ez valóban a vizsgált tartományba
Ennek csak egy része esik a vizsgált
esik, mert x >
2 1 >− . 3 2
tartományba, ezért csak ezek a jó megoldások: x < −
1 3 < . 2 2
156 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve 1 ⎧ azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = ⎨ x < − vagy x > 2 ⎩
3⎫ ⎬. 2⎭
3. megoldás: ⎧ 1⎫ Értelmezési tartomány: R \ ⎨− ⎬ . ⎩ 2⎭ Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a nevezője azonos előjelű. VAGY
I. eset
II. eset
Ha a számláló és a nevező is pozitív
Ha a számláló és a nevező is negatív
6 x + 3 > 0 ÉS
6 x + 3 < 0 ÉS
2x − 3 > 0
6 x > −3 x>−
1 2
2x > 3 x>
3 2
A kettő együtt akkor teljesül, ha x>
3 . 2
6 x < −3 x>−
1 2
2x − 3 < 0 2x < 3 x<
3 2
A kettő együtt akkor teljesül, ha 1 x<− . 2
A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, így a két esetet összegezve 1 3⎫ ⎧ azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = ⎨ x < − vagy x > ⎬ . 2 2⎭ ⎩
Feladatok 25. Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik
zenekar 15000 Ft-ot kér előre, és utána óránként 2500 Ft-ot, a másik 20000 Ft előleget kér, és óránként 2000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát!
26. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldás-
halmazt ábrázold számegyenesen! − 3 x + 2 ≥ −2 x − 7
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
157
27. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! A megoldás-
halmazt ábrázold számegyenesen! 3x + 7 3x − 1 2x + 4 − ≤ 3− 3 7 21 28. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold szám-
egyenesen! 2x + 3 >0 4x − 2 29. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold szám-
egyenesen! 2x − 5 ≥3 4−x 30. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázold szám-
egyenesen! 2x + 12 3x + 1 5x − 3 − ≥ 1+ 7 3 21
Az egyenlőtlenségek megoldásakor a következő műveleteket végezhetjük: – Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot. – Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal. – Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egyenlőtlenség mindkét oldalából. Ha negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenséget, akkor megváltozik az egyenlőtlenség iránya. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk vagy osztunk, akkor figyelnünk kell arra, hogy az lehet pozitív, negatív, illetve nulla is.
158 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
V. Abszolútértékes egyenletek Mintapélda13 Oldjuk meg a valós számok halmazán az x = 4 + x egyenletet! 1.megoldás (grafikus):
2. megoldás (algebrai): I. eset
VAGY
II. eset
Feltétel: x ≥ 0
Feltétel: x < 0
Ha az abszolútérték jelen belül álló
Ha az abszolútérték jelen belül álló
kifejezés nem negatív, akkor a szám
kifejezés negatív, akkor a szám
abszolútértéke önmaga, azaz
abszolútértéke a szám ellentettje:
elhagyhatjuk az abszolútérték jelet:
− x = 4+ x − 2x = 4
x = 4+ x
x = −2
0=4
Ellentmondás. Ebben a
Ez a feltételben meghatározott
tartományban nem kaptunk
tartományba esik, mert x = −2 < 0 .
megoldást. Ellenőrzés:
Bal oldal értéke: − 2 = 2 ;
jobb oldal értéke: 4 + (− 2 ) = 2 .
A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = {− 2}.
159
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
Mintapélda14 Oldjuk meg a 2 x − 1 = 3 x − 3 egyenletet! Megoldás: I. eset Feltétel: x ≥
1 2
VAGY
II. eset Feltétel: x <
1 2
Ha az abszolútérték jelen belül álló
Ha az abszolútérték jelen belül álló
kifejezés nem negatív, akkor a szám
kifejezés negatív, akkor a szám
abszolútértéke önmaga, azaz elhagy-
abszolútértéke a szám ellentettje:
hatjuk az abszolútérték jelet:
− (2 x − 1) = 3 x − 3
2 x − 1 = 3x − 3
− 2 x + 1 = 3x − 3
x=2
4 = 5x
Ez a feltételben meghatározott tar-
x=
tományba esik, így az eredeti egyenletnek is gyöke.
4 5
Ez az érték nem felel meg az x <
1 2
feltételnek, így az eredeti egyenletnek sem lesz gyöke. Ellenőrzés: Bal oldal értéke: 2 ⋅ 2 − 1 = 3 ; jobb oldal értéke: 3 ⋅ 2 − 3 = 3 . A két esetet összegezve azt kapjuk, hogy a megoldáshalmaz: M = {2}.
Egy valós szám abszolútértékén a nullától mért távolságát értjük.
⎧a, ha a ≥ 0 Legyen a tetszőleges algebrai kifejezés, ekkor a = ⎨ ⎩− a, ha a < 0
160 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 31. Jelöld számegyenesen azokat a számokat,
a) amelyeknek 0-tól való távolsága kisebb 4-nél;. b) amelyeknek 3-tól való távolsága nagyobb 2-nél; c) amelyeknek abszolútértéke nagyobb 3-nál; d) amelyeknek abszolútértéke kisebb 5-nél. 32. Melyik az a szám, amelynek az abszolútértéke 3? 33. Oldd meg az x = 5 + 3 x egyenletet! 34. Oldd meg a racionális számok halmazán a 2 x − 3 = 4 egyenletet! 35. Oldd meg a 3 x + 2 = 7 x − 2 egyenletet! 36. Oldd meg az egész számok halmazán az x + 4 + x − 1 = 9 egyenletet! 37. Oldd meg az 5x + 7 = 12 egyenletet! 38. Oldd meg az 5 x − 3 = 2 x − 1 egyenletet!
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
161
VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Behelyettesítő módszer Mintapélda15 Két testvér a bérletpénztárnál jegyet vásárol. Az egyik 2 vonaljegyért és egy átszálló jegyért 630 Ft-ot, a másik 6 vonaljegyért és 4 átszállójegyért 2180 Ft-ot fizet. Mennyibe kerül egy vonaljegy és egy átszállójegy? Megoldás: Jelöljük a vonaljegyek árát x-szel, az átszálló jegyekét y-nal. Így a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: 2 x + y = 630 ⎫ ⎬ 6 x + 4 y = 2180⎭ Az első egyenletből fejezzük ki y-t: y = 630 − 2 x Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, y helyére: 6 x + 4(630 − 2 x ) = 2180
6 x + 2520 − 8 x = 2180 − 2 x = −340 x = 170
Az x-et ismerve, y-t visszahelyettesítéssel kiszámíthatjuk:
y = 630 − 2 x = 630 − 2 ⋅ 170 = 630 − 340 = 290 Egy vonaljegy 170 Ft, míg egy átszállójegy 290 Ft-ba kerül. Ellenőrzés: a szöveg alapján.
Behelyettesítő módszer A kétismeretlenes egyenletrendszer egyik egyenletéből kifejezzük valamelyik ismeretlent és a kapott kifejezést, behelyettesítjük a másik egyenletbe. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlent. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlent is.
162 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 39. 17 perc múlva kezdődik a U2 együttes koncertje. A 4 fős társaságnak már csak egy
hídon kell átkelnie, hogy odaérjen. Viszont a híd egyszerre csak 2 embert bír el. Azonkívül sötét van és világítás nélkül egy tapodtat sem tudnak megtenni, de szerencsére van egy zseblámpájuk. Tehát valaki világít és átkísér egy embert, aztán vissza kell vinni a zseblámpát (átdobni nem tudják), stb. Az egyik ember 1 perc alatt ér át a hídon, a másik 2 perc alatt, a harmadik 5 perc alatt, a negyedik 10 perc alatt. Milyen sorrendben menjenek át, hogy 17 perc múlva mind a négyen a híd túloldalán legyenek? 40. Űrlények két faja érkezett a földre. Az egyik fajnak 3 feje és 7 lába, a másiknak 2 feje
és egy lába van. Összesen 46 fejük és 89 lábuk van. Hány űrlény érkezett az egyes fajokból? 41. Oldd meg a következő egyenletrendszert!
x + 5y = 7 ⎫ ⎬ x − 3 y = −1⎭ 42. Oldd meg a következő egyenletrendszert!
x + 3y = 9 ⎫ ⎬ 3x − 5y = −22⎭ 43. Három szám közül a középső ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a
legnagyobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 115. Melyek ezek a számok? 44. Egy háromszög oldalainak hossza 23 cm, 19 cm és 16 cm. Rajzoljunk köröket a
háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai?
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
Egyenlő együtthatók módszere Mintapélda16 Oldjuk meg a következő egyenletrendszert! 5x + 3 y = 2 ⎫ ⎬ 4 x + 7 y = 20⎭ Megoldás: Az első egyenletet szorozzuk 4-gyel, a másodikat 5-tel. 20 x + 12 y = 8 ⎫ ⎬ 20 x + 35 y = 100⎭ Kivonjuk az első egyenletből a második egyenletet: − 23 y = −92
y=4 Visszahelyettesítve valamelyik eredeti egyenletbe: 5x + 3 ⋅ 4 = 2 x = −2
Ellenőrzés: 5 ⋅ (− 2) + 3 ⋅ 4 = 2 4 ⋅ (− 2 ) + 7 ⋅ 4 = 20 A megoldás a (− 2; 4 ) rendezett számpár.
Egyenlő együtthatók módszere Úgy szorozzuk az egyenleteket, hogy valamelyik ismeretlenünk együtthatója mindkét egyenletben egyenlő, vagy egymás ellentettje legyen. Ezután a két egyenletet összeadva vagy egyiket a másikból kivonva, egy egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlen értékét. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét is.
163
164 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 45. Ádám négy évvel ezelőtt háromszor annyi idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig
kétszer annyi idős lesz. Hány évesek most? 46. Oldd meg a következő egyenletrendszert!
6 x + 8 y = −9 ⎫ ⎬ 5 x − 9 y = 16 ⎭ 47. A piacon valaki 4 kg krumplit és 3 kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte
álló 5 kg hagymáért és 2 kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma?
Egyenletrendszerek megoldhatósága Mintapélda17 Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! x + 3y = 4 ⎫ ⎬ 2 x + 6 y = 8⎭ Megoldás: a)
b)
2 x + 6,00001y = 7,99998⎫ ⎬ 2 x + 5,99999 y = 8,00002⎭
c)
x + 2y = 6 ⎫ ⎬ 2 x + 4 y = 4⎭
a) Az egyik egyenlet következménye a másiknak, így az egyenletrendszer megoldásainak elég az első egyenletet kielégítenie. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. (Bármely x értékhez kiszámíthatjuk, hogy mennyi a hozzátartozó y.) Például: Ha y = 1 ⇒ x = 4 − 3 y = 1 . Ha y = −2 ⇒ x = 4 − 3 y = 10 . b) Alkalmazzuk az egyenlő együtthatók módszerét, vonjuk ki az első egyenletből a másodikat 0,00002 y = −0,00004 ⇒
y = −2 . Ezt visszahelyettesítve az eredetibe
kapjuk: x = 10 . A megoldás a (10; − 2 ) rendezett számpár. c) A második egyenletet kettővel egyszerűsítve kapjuk: x + 2 y = 2 , ami ellentmond az első egyenletnek. Ekkor az egyenletrendszernek nincsen megoldása.
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
Új ismeretlen bevezetése Mintapélda18 6 + x Oldjuk meg a 3 − x
5 ⎫ = 27 ⎪ y ⎪ ⎬ egyenletrendszert! 7 = −15⎪ ⎪⎭ y
1. megoldás: x ≠ 0, y ≠ 0 6 y + 5 x = 27 xy ⎫ ⎬ 3 y − 7 x = −15 xy ⎭ Az első egyenletet a másodikkal elosztva az kapjuk, hogy: 6 y + 5x 27 = 3 y − 7 x − 15
− 90 y − 75 x = 81y − 189 x 114 x = 171y x=
3 y 2
Visszahelyettesítünk az eredeti egyenletrendszer egyik egyenletébe: 6 5 + = 27 3 y y 2 3 3 6 + ⋅ 5 = 27 ⋅ y 2 2 12 + 15 = 81y 27 = 81 y y=
27 1 = 81 3
Ekkor x =
3 3 1 1 y= ⋅ = . 2 2 3 2
165
166 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
2. megoldás: Vezessük be az a =
1 1 ,b= ismeretleneket, ez megkönnyíti az egyenletrendszerünk x y
megoldását. Az új egyenletrendszer: 6a + 5b = 27 ⎫ ⎬ 3a − 7b = −15⎭ Az egyenlő együtthatók módszerével megoldva az egyenletrendszert a = 2 és b = 3 adódik.
Most már kiszámíthatjuk x és y értékét: 2=
1 x
3=
1 ; y
x=
1 2
y=
1 . 3
⎛1 1⎞ A ⎜ ; ⎟ rendezett számpár eleme az egyenletrendszer alaphalmazának, és az ⎝ 2 3⎠ ellenőrzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenlő, ezért ez valóban megoldás.
Új ismeretlen bevezetése Akkor célszerű ezt a módszert alkalmazni, ha egyenleteinkben hasonló kifejezéseket fedezünk fel, így egyszerűbbé tehetjük a megoldandó feladatot.
Feladatok 48. Oldd meg a következő egyenletrendszert!
4 25 ⎫ + = 7⎪ x y ⎪ ⎬ 8 15 − =1 ⎪ ⎪⎭ x y
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
167
49. Oldd meg a következő egyenletrendszert!
4 3 ⎫ + = 7⎪ x−2 y+5 ⎪ ⎬ 1 2 + = 8⎪ ⎪⎭ x−2 y+5 50. Két autó egyenlő teljesítményű motorjának gazdaságosságát vizsgálva kiderül, hogy
adott idő alatt az egyik 60 liter benzint fogyasztott, a másik – két órával kevesebb idő alatt – 38,4 litert. Ha az első motor annyit fogyasztott volna óránként, mint a második, a második pedig annyit mint az első, akkor az előbbi idők alatt egyenlő lett volna a fogyasztásuk. Óránként hány litert fogyasztott az 1. és mennyit a 2. motor?
168 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
VII. Vegyes feladatok Mintapélda19 Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 17 darabot vásárolt a boltban 2185 Ft értékben. A kék tollak 125 Ft, a fekete tollak 135 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból? 1. megoldás: Legyen a kék tollak száma: x. Ekkor a fekete tollak száma: 17 − x . A kék tollakért fizetett pénz: 125 x . A fekete tollakért fizetett pénz: 135 ⋅ (17 − x ) . A kettő összege a kifizetett pénz: 125 x + 135 ⋅ (17 − x ) = 2185 . 125 x + 2295 − 135 x = 2185 − 10 x = −110 x = 11 17 − x = 6
Ellenőrzés: Brigi 11 kék tollat vett, (1375 Ft), valamint 6 feketét (810 Ft) ez összesen 2185 Ft. Brigi tehát 11 kék és 6 fekete tollat vásárolt. 2. megoldás: Ha az összes toll kék lett volna, akkor 17 ⋅ 125 = 2125 Ft-ot kellett volna fizetni. A különbözet: 60 Ft. Ha egy kék tollat kicserélünk egy feketére, akkor 10 Ft-tal kell többet fizetnie Briginek. A 60 Ft többlet tehát 60 : 10 = 6 cserét jelent. Így a fekete tollak száma 6, a kék tollaké, pedig 11.
Feladatok 51. LÁGYTOJÁS (Matematika határok nélkül verseny)
A lágytojást, mint az közismert, 3 percig kell főzni forró vízben. Sajnos csak két homokóra áll rendelkezésünkre. Egyik 6 percet, a másik 7 percet tud mérni. Hogyan járjunk el, ha lágyra szeretnénk főzni a tojást?
17. modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK…
169
52. HIXE ASSZONY ÉLETKORA (Matematika határok nélkül verseny)
Egy tapintatlan ember Hixe asszony életkora iránt érdeklődik. Íme Hixe asszony válasza: „Életkorom éppen 4/3-a a hátralevő időm felének, ha száz évig élek.” Hány éves Hixe asszony? 53. Egy lakásban javításra szorul a vízvezeték. Két szerelőnél érdeklődtek: az egyik
5000 forint a kiszállási díjat és 1500 forint az óradíjat, míg a másiknál 3500 forint a kiszállási díjat és 2000 forint az órabért kért. Melyik szerelővel dolgoztassanak, ha előreláthatólag 3 órás munka vár rá? Becsüld meg, nagyjából mennyi pénz kell ahhoz, hogy biztosan ki tudják fizetni a szerelőt! Kivel dolgoztatnál, ha nem tudod mennyi időbe telik a javítás? Ábrázold grafikonon! Mitől függ? 54. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 11. Ha a számjegyeit felcseréljük, akkor
az eredeti kétszeresénél 20-szal kisebb számot kapunk. Melyik ez a szám? 55. 5 liter 64%-os alkoholhoz hány liter vizet öntsünk, hogy a keverék 38%-os legyen? 56. A Rózsaszirom lakópark építésén három festő dolgozik. Az eddigi tapasztalatok
alapján ugyanakkora lakást az első festő 8 óra alatt, a második 7,5 óra alatt, a harmadik 7 óra alatt fest ki egyedül. Mennyi idő alatt végeznek az utolsó lakással, ha együtt dolgoznak? Be tudják-e fejezni a munkát, mire – előreláthatólag 3 óra múlva – a munkafelügyelő megérkezik? 57. Egy uszodában leeresztették a vizet. Három csapon keresztül töltik újra a medencét.
Az első csap egyedül 12 óra alatt, a második 15 óra alatt, a harmadik 16 óra alatt tölti tele a medencét. Mit mondjanak a vendégeknek, mennyi idő múlva úszhatnak újra a medencében, ha csak a teljesen feltöltött medencébe engedik be az úszni vágyókat? 58. Egy kerékpáros a faluból a városba 10 km/h sebességgel megy. Egy órával később
utána indul egy másik kerékpáros 12 km/h sebességgel és egyszerre érkeznek a városba. Hány km-re van a város a falutól?
170 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
59. Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni 24 évvel korábban született, és így
négyszer annyi idős, mint Fáncsi. Hány évesek az elefántok? 60. Egy anya 21 évvel idősebb a gyermekénél. 3 év múlva 4-szer annyi idős lesz, mint
gyermeke. Mennyi idős az anya és a gyermeke most? 61. Otthon alkoholmentes koktélt akarunk készíteni. Az Apricot Shake nevű koktélhoz
összekevertünk háromféle gyümölcslevet. 2 liter 40%-os ananászlevet, 1 liter 100%-os cseresznyelevet, 3 liter 12%-os sárgabaracklevet. Az alapanyagokat turmixgépben tört jéggel simára turmixoljuk. Hűtött pohárba töltjük, és citromszelettel díszítjük. A koktélban hány % a gyümölcstartalom? Számolás előtt becsüld meg az eredményt! 62. Egy 90 km/h sebességű gyorsvonat az egyik városból a másikba megy. Egy órával
később utána indult egy 30 km/h-val nagyobb sebességű InterCity vonat. A két vonat egyszerre érkezik az állomásra. Mekkora a két város távolsága? 63. Szandi, Ditta és Betti testvérek. Szandi a lakást egyedül 3 óra alatt, Ditta 90 perc alatt,
Betti 135 perc alatt takarítja ki. Mennyi idő alatt végeznek együtt? Szerinted be tudják fejezni a takarítást még mielőtt a szüleik hazaérnek, ha a szülők várhatóan fél óra múlva lesznek otthon, és csak most tudják elkezdeni a munkát?
18. MODUL statisztika Készítette: Lövey Éva (Gidófalvi Zsuzsa moduljának felhasználásával)
172 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. Ismerkedés a grafikonokkal Az újságokban, plakátokon, reklámkiadványokban nagyon sok grafikon található, ezért szükséges, hogy mindenki értelmezni tudja azokat, értse meg a nyelvüket. Néhány grafikon ismerős nekünk, hiszen a függvények ábrázolásánál is hasonlókkal találkozhattunk. A grafikonoknál megengedhető az, hogy közös koordináta-rendszerben ábrázoljunk különböző adatsorokat.
Mintapélda1
Egy cég közös grafikonban ábrázolja a teljesítményét és az alkalmazottak létszámát. Le tudnánk-e olvasni, mekkora volt a cég teljesítménye és a dolgozók létszáma 2000-ben, ha csak az 1996os adatokat ismernénk?
Megoldás: Az ilyen típusú grafikonokat oszlopdiagramnak hívják, és a diagram magassága egyenesen arányos az ábrázolt mennyiséggel, de észrevehetjük, hogy itt egy kis csalás történt. A cég forgalmát szemléltető 2006-os adat ugyanis 5,7-szerese az 1996-osénak, de az oszlop magassága csak négyszerese az első oszlop magasságának. A létszámmal fordított a helyzet. 3,2-szeres adatot 4-szeres oszloppal szemléltettek. Az mindenesetre teljesül, hogy nagyobb adathoz nagyobb oszlop tartozik. Az ilyen „csalás” megengedhető, ha az adatokat feltüntetik az oszlopnál. A 2000-es adatokat tehát nem tudnánk megbízhatóan leolvasni a grafikonról, ha az adatok nem szerepelnének ott.
Mintapélda2
A Központi Statisztikai Hivatal közölte ezt a grafikont. Állapítsuk meg, melyik negyedévben látogatott Magyarországra a legtöbb turista! Olvassuk le, melyik negyedévben költöttek a legtöbbet a külföldiek!
173
18. modul: STATISZTIKA
Becsüljük meg, hogy mennyi az egy látogatóra eső kiadás 2007 második és harmadik negyedévében! Megoldás: 2006 harmadik negyedévében érkezett a legtöbb külföldi, körülbelül 13 millió fő. A vizsgált időszakokban 9,5, illetve 11 millió külföldi érkezett, és 240 milliárd forintot, illetve 320 milliárd forintot költöttek. 240 ⋅ 10 9 ≈ 25 ezer, 9,5 ⋅ 10 6
320 ⋅ 10 9 ≈ 29 ezer. 11 ⋅ 10 6
Az első időszakban az egy főre eső költség körülbelül 25 ezer Ft, a másodikban 29 ezer Ft volt. Megfigyeltük, hogy itt is két teljesen különböző jellegű adat változását ábrázolták ugyanabban a grafikonban.
Mintapélda3 Nézzük meg a diagramot és válaszoljunk a
Nappali oktatásban résztvevő középiskolások aránya
vizsgált időszakra vonatkozó kérdésekre! a) Melyik tanévben járt a középiskolások
2006/2007
legnagyobb
2005/2006
része
nappali
oktatásra?
b) Melyik tanévben jártak a legkevesebben nappali oktatásra?
2004/2005 2003/2004 2002/2003 2001/2002
Megoldás:
2000/2001
a) Az 1996/1997-es tanévben a
1999/2000
középiskolások körülbelül 83,8%-a járt
1998/1999
nappali tagozatra. Ez a legmagasabb érték.
1997/1998 1996/1997
b) Erre a kérdésre nem tudunk válaszolni
1995/1996
annak ismerete nélkül, hány középiskolás
1994/1995
diák volt az egyes években. Csupán a
1993/1994
grafikont ismerve azt olvashatjuk le, hogy
1992/1993
az 1990/1991-es tanévben járt a középiskolások legkisebb része a nappali tagozatra.
1991/1992 1990/1991 79,00
80,00
81,00
82,00 százalék
83,00
84,00
85,00
174 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Az egyes években a középiskolások száma ismeretében a nappali tagozatosok számát is meg tudjuk becsülni: (Az adatok a KSH (Központi Statisztikai Hivatal) adatbázisából valók.) Tanév Tanuló Tanév Tanuló
1990/1991 1991/1992 1992/1993 1993/1994 1994/1995 1995/1996 1996/1997 1997/1998 1998/1999 360 034
379 316
400 333
418 886
437 126
448 509
462 170
474 642
491 061
1999/2000 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 2006/2007 505 323
509 500
516 120
519 473
531 391
528 989
531 168
534 423
Ennek ismeretében kiszámítható, hány tanuló is járt az egyes években a nappali képzésre: Tanév % nappalis
Tanév % nappalis
1990/1991 1991/1992 1992/1993 1993/1994 1994/1995 1995/1996 1996/1997 1997/1998 1998/1999 81,1 82,6 82,4 81,8 81,4 83,1 83,8 83,5 82,7 292 000
313 000
330 000
343 000
356 000
373 000
387 000
396 000
406 000
1999/2000 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 2006/2007 82,5 82,0 81,6 82,1 82,4 82,9 83,1 83,0 417 000
418 000
421 000
426 000
438 000
439 000
441 000
444 000
Mivel a diagramról leolvasható százalékértékek kerekítettek, a számított tanulói létszámot ezresekre kerekítettük. Ez a diagram is rokona az oszlopdiagramnak, csak az oszlopok vízszintes hosszával jellemzi az adatokatl.
Mintapélda4 Ez a térhatású oszlopdiagram egy kozmetikai
termékcsalád
anyag-összetételét függőleges
ható-
mutatja.
tengely
A
felirata:
Hatóanyag g/500ml. Melyik
termék
tartalmazza
a
legtöbb „fahéj és narancshéjolaj” hatóanyagot? Melyik
termék
tartalmazza
a
legtöbbet a felsorolt hatóanyagok közül? Melyik terméket ne javasoljuk annak, aki amúgy is hajlamos a pirulásra?
175
18. modul: STATISZTIKA
Megoldás: A négy oszlop azonos színű részeinek hosszúságát kell vizsgálnunk. A grafikonról tehát úgy tűnik, hogy a B termékben a legtöbb a fahéj és narancshéjolaj hatóanyag, vagy legalábbis nem kevesebb, mint a többiben. A legtöbb hatóanyagot a negyedik termék tartalmazza. A vérbőséget fokozó komplex hatóanyag pirulást okoz, tehát az erre hajlamosaknak csak az A terméket javasolnánk.
Mintapélda5 Ez a grafikon egy útkezelő társaság honlapján található. Értelmezzük a grafikont! Mi a hiba? Megoldás: Az ábrán három kördiagramot láthatunk. Három úttípus esetén azt akarja mutatni, hogy az azon haladó járművek milyen összetételben használják az utat. Az egyértelmű, hogy mindhárom utat a személygépkocsi-forgalom uralja 71%, 81%, illetve 81% arányban. Egy-egy kördiagramon belül és a különböző úttípusoknál megmondható az egyes járműtípusok arányszáma is. Ha megnézzük, az első ábrán 5 körcikk van, körötte 4 járműtípus, a 2. ábrán 4 körcikk van és három fajta jármű, a 3. ábrán pedig 5 körcikk és 4 jármű van. Tehát egy közlekedési járműfajtát mindegyik ábráról lefelejtett a rajzolója!
176 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Mintapélda6 Az ábrán egy korfa látható. Ausztrália lakosságának összetételét mutatja. A függőleges tengelyen az életkor látható, a vízszintes tengelyen pedig a lakosok száma (600k=600 ezer). a) Mit jelent a sárga és piros szín? b) Melyik grafikonfajtára hasonlít legjobban ez a grafikon? c) Hány 80 év fölötti lakosa van Ausztráliának? d) Fiú, vagy lány születik több? Megoldás: a) A grafikon sarkaiban levő jelek szerint a sárga oldal a férfiakra, a piros pedig a nőkre vonatkozó adatokat szemlélteti. b) Ez igazából két vízszintes oszlopdiagram. c) Össze kell adni a 80 év fölötti férfiak és nők számát. Ezt a férfi és a női oldalakról lehet leolvasni: 200ezer + 380eze r= 580ezer. d) Körülbelül 50 ezerrel több fiú születik, mint lány.
Feladatok: 1. A következő grafikon úgy keletkezett, hogy 2006. március 29-én Törökországban a napfogyatkozás idején 1175 fotót készítettek a Napról, majd megállapították azok átlagos fényességét. Meg tudod-e mondani, pontosan hány órakor volt a napfogyatkozás?
177
18. modul: STATISZTIKA
2. a) Olvasd le a grafikonról, hogy mekkora volt az egyes adók hallgatottsága 2007-ben Szolnokon? b) Add össze az a) részben kapott %-okat. Mit tapasztalsz? Mi lehet a magyarázata? c) Melyik évben lett több hallgatója az R2000 adónak, mint a Danubius rádiónak? 3. Az oszlopdiagram az egyes országokban érvényes telefonálási tarifákat mutatja. Foglalkozzunk most csak a hívásindítás árával. a) Melyik országban kell a legtöbbet fizetni a hívásindításkor? b) Melyik országban kell a legkevesebbet fizetni a hívásindításkor? c) Hány százalékkal nagyobb a hívásindítás költsége abban az országban, ahol a legtöbbet fizetnek érte, mint ahol a legkevesebbet?
178 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
4. Megkérdeztek sok-sok embert, hogy a könnyűzene melyik ágát hallgatja a legszívesebben. Mindenki csak egy választ adhatott. A válaszokat leolvashatod az oszlopdiagramról. Hány ember válaszolt? A válaszadók hány százaléka számára volt a legnépszerűbb a rock?
5. A két kördiagram Európa energiafelhasználását mutatja. A második grafikon szemlélteti a különböző megújuló energiaforrásokat.
a) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka származik a biomassza elégetéséből? b) Az összes energiafogyasztásunk hány százaléka geotermikus eredetű? c) Az atomenergiából vagy a vízi energiából származó energiát használjuk nagyobb mértékben? 6. Idézet egy újságcikkből: „A grafikon a …… drogambulancia forgalmának alakulását mutatja, és önmagáért beszél. A kiemelt három csoport ugyanis azok arányát mutatja klienseink között, akik nemcsak maguk vannak a legnagyobb veszélyben, hanem súlyos veszélyforrást jelentenek másokra, egész
18. modul: STATISZTIKA
korosztályukra nézve is. Az ópium típusú szerek (ópiátok) függősége ugyanis rosszindulatú, makacs, és terjedésre hajlamos kórkép.” A kérdések a fenti ambulanciára vonatkoznak. (A grafikonon az i.v. rövidítés: az intravénásan beadott kábítószer.) a) Hány olyan betegük van, akik jelenleg is használnak intravénásan beadott kábítószert? b) Hány ópiátfogyasztó nőbetegük van? c) Összesen hány betegük van? 7. A grafikon az arany árát mutatja dollárban. a) Mit gondolsz, mit jelenthet az, hogy az egyes időpontokban nem kis pont, hanem kis vonal jelzi az arany árát? b) Olvasd le, mikor volt az arany ára a legalacsonyabb, illetve a legmagasabb? c) Hányszorosa a legalacsonyabb ár a legmagasabb árnak?
8. A grafikon alapján válaszolj a következő kérdésekre:
a) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással az alacsony páratartalom? b) Melyik típusú betegségekre van rossz hatással a magas páratartalom? c) Írd le, milyen hatással van az allergiás betegre a páratartalom változása?
179
180 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
9. A grafikon egy tanulmányi verseny népszerűségének növekedését mutatja. a) Melyik tanévben indult a verseny? b) Melyik tanévben készült a grafikon? c) Hányszorosára nőtt a résztvevők létszáma a verseny beindítása óta?
10. Az alábbi vonaldiagram az éves forgalom alakulását mutatja ezer Ft-ban egy kereskedelmi vállalat három telephelyén. Egy kereskedelmi vállalat három telephelyének forgalma 2000 1500 1000 500 0 1.hó
2.hó
3.hó
4.hó
5.hó
6.hó A
7.hó B
8.hó
9.hó
10.hó
11.hó
C
Határozd meg az egyes telephelyek havi forgalmának értékeit, és készíts belőle táblázatot! Határozd meg telephelyenként, hogy melyik volt a leggyengébb és melyik volt a legerősebb hónap forgalom szempontjából!
12.hó
181
18. modul: STATISZTIKA
11. A következő oldalon található a) diagram 10 tanuló testmagasságát ábrázolja, a b) diagram pedig Pistike testmagasságának változását mutatja. Matematikailag melyik helyes és melyik nem? Miért? Tanulók testmagassága 200 195 190 185 180 175 170 165 160 155 150 Ádám
Bernadett
Éva
Ferenc
Is tván
Józs ef
Mária
Piros ka
Sándor
Sarolta
Testmagasság(cm)
a) diagram
Pistike testmagasságának változása az utóbbi öt évben 160 155 150 145 140 135 130 125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 75 70 2000
2001
2002
b) diagram
2003
2004
2005
182 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
II. Tömegjelenségek és a statisztika A statisztika szót ma kétféle értelemben használjuk: egyrészt információk valamilyen szempontból rendezett összessége, másrészt tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Tömegjelenségnek nevezzük azokat a jelenségeket, amelyek tetszőlegesen sokszor, lényegében azonos feltételek mellett mennek végbe. Például egy autó motorja üzemanyag nélkül soha nem működik, vagy esőhöz mindig felhőre van szükség. Persze, ha feldobunk egy szabályos pénzérmét, nem tudjuk, melyik oldalára fog esni, vagy esetleg megáll az élén, de az kétségtelen, hogy a három lehetséges eset közül az egyik biztosan bekövetkezik. Ilyenkor véletlen tömegjelenségről beszélünk. Erről van szó pl. akkor is, amikor egy játékkockát feldobunk, és megfigyeljük, melyik oldalára esett.
Mintapélda7 Minden tanuló kap egy-egy játékkockát. Mindenki 10-szer dob a kockával. Az alábbi táblázatokat másoljuk a füzetbe, és a kapott eredményeket írjuk bele! Egy dobás lehetséges kimenetei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dobás
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Kimenet Bizonyos társasjátékokban (például: Ne nevess korán) csak akkor indulhatunk el a bábunkkal, ha 1-est vagy 6-ost dobtunk. Vizsgáljuk meg, hány 1-es és hány 6-os dobás történt ? 1-es dobása Dobások száma
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Gyakoriság
Dobások száma
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Gyakoriság
Dobások száma Gyakoriság
210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
183
18. modul: STATISZTIKA
6-os dobása Dobások száma
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Gyakoriság
Dobások száma
110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Gyakoriság
Dobások száma
210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
Gyakoriság
Ha a kapott eredményeket összegyűjtjük, rendezzük, és valamilyen formában (táblázatban, grafikonon, diagramon stb.) ábrázoljuk, akkor statisztikát készítettünk. Az ilyen típusú felméréseket leíró statisztikának nevezzük. A leíró statisztika tehát egy adott, meghatározott elemekből álló információhalmazt értékel ki. A kiválasztott egyedekre vonatkozó adatokat összegyűjti, rendezi, esetleg még táblázatosan vagy grafikusan ábrázolja is. A megfigyelés tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Gyakoriság, relatív gyakoriság szemléltetése A gyakoriság azt mutatja meg, hogy az egyes jelenségek a felmérés során hányszor fordulnak elő. A statisztikában alapsokaságnak vagy adatsokaságnak nevezik a vizsgálat tárgyát képező adatok (egyedek) összességét. Ezek tulajdonságára egy részük, az úgynevezett minta alapján következtetünk. A mintát a sokaságból általában véletlenszerűen választjuk ki. Ha egy kisérletet – amelynek az eredménye az, hogy egy A esemény bekövetkezik-e vagy sem – n-szer megismételünk, és az n közül k esetben bekövetkezik az A esemény, akkor k-t az A esemény gyakoriságának nevezzük. (k
n.)
184 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A gyakoriságot szemléltehetjük grafikonon is. Egy diagramnak vagy grafikonnak általában a következőket kell tartalmaznia : legyen címe, szerepeljen jelmagyarázat, legyen neve a koordinátatengelyeknek (az ábrázolt adat megnevezése), legyenek egységek a koordinátatengelyeken. Ha két, eltérő elemszámú statisztikai sokaságot szeretnénk összehasonlítani, akkor a gyakoriság nem megfelelő mutatószám. Például az, hogy az egyik osztályból 10-en, a másikból pedig 12-en röplabdáznak, nem mond sokat. Kifejezőbb, ha azt mondjuk meg, hogy az osztály hányadrésze (hány százaléka) röplabdázik. Definíció: Ha a gyakoriságot elosztjuk a statisztikai sokaság elemszámával, akkor a relatív gyakoriságot kapjuk.
A relatív gyakoriságok összege 1, ha százalékos formában adjuk meg, akkor 100%. Megjegyzés: A kerekítések miatt ettől egy kis eltérés lehetséges. (Lásd az 5. és 14. feladatot.)
Mintapélda8 A 2004-ben megrendezésre kerülő megyei informatika verseny első tizenöt helyezettjének a középiskola típusa szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat.
Gimnázium Szakközépiskola Összesen
9. évfolyam 4 11 15
10.évfolyam 6 9 15
11. évfolyam 3 12 15
12. évfolyam 5 10 15
Ábrázoljuk az eredményt különböző diagramokon ! Megoldás: Ebben az ábrázolási módban az adatokat mint téglalapokat jelenítjük meg. A téglalapok magassága arányos az adat nagyságával. (A negatív adatokat lehet lefelé rajzolni.)
185
18. modul: STATISZTIKA
Ábrázolás oszlopdiagrammal
Megyei informatika verseny helyezettjei 16 14 12 10 8 6 4 2 0 9. évfolyam
10.évfolyam Gimnázium
11. évfolyam
12. évfolyam
Szakközépiskola
Megyei informatika verseny helyezettjei 14 12 10 8 6 4 2 0 9. évfolyam
10.évfolyam Gimnázium
11. évfolyam
12. évfolyam
Szakközépiskola
Oszlopdiagramok esetében térbeli ábrákat is készíthetünk: Megyei informatika verseny helyezettjei 14 12 10 8
Gimnázium
6
Szakközépiskola
4 2 0 9. évfolyam
10.évfolyam
11. évfolyam
12. évfolyam
186 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Ábrázolás vonaldiagrammal (grafikonnal) A vonalas ábrázolási mód hasonlít az oszlopdiagramos módszerhez. Koordináta-rendszerben ábrázoljuk az adatok nagyságának megfelelő pontokat, majd ezeket egy töröttvonallal összekötjük.
Ezt az adatsort így ábrázolni például teljesen értelmetlen, hiszen a 9. és a 10. évfolyam értékei között hiába van vonal, az nem jelent semmit. Ennek az ábrázolási módnak csupán csak az az előnye, hogy a leolvasást könnyíti. (Pontról pontra „vezeti a szemet”. Főként akkor alkalmazzák, ha sok diszkrét pont szerepel valamilyen változás vagy egyszeri mérés esetén.) Ezt az ábrázolási módot leginkább valamely adat változásának szemléltetésére használjuk. A vonaldiagram (grafikon) hátránya, hogy folytonos változást érzékeltet, pl. azt, hogy egy kisebb értékről egy nagyobb értékre folyamatos növekedéssel jutottunk el. Ez nem feltétlenül igaz, hiszen ha pl. a minden második évben szerzett adatokat ábrázoljuk, akkor a közbenső években az előző adatsor növekedésétől függetlenül is bekövetkezhetett relatív csökkenés a korábbi évek eredményéhez képest. Ilyen diagram a kórházi lázgörbe is.
Mintapélda9 Játsszunk kockapókert 5 dobókockával a következő szabályok szerint! Egy pár:
2 egyforma + 1 + 1 + 1 szám (pl. 3, 4, 5, 1, 3)
Két pár:
2 egyforma + 2 egyforma + 1 szám (pl. 3, 5, 4, 3, 5)
Terc vagy drill: 3 egyforma + 1 + 1 szám (pl. 2, 3, 4, 2, 2) Sor:
5 egymást követő szám, tetszőleges sorrendben (pl. 2, 3, 1, 4, 5)
187
18. modul: STATISZTIKA
Full:
3 egyforma + 2 egyforma szám (pl. 3, 2, 3, 3, 2)
Póker:
4 egyforma + 1 szám (pl. 3, 4, 3, 3, 3)
Royal póker:
5 egyforma szám
Lehetséges
Gyakoriság
Relatív gyakoriság
eredmény Egy pár Két pár Terc Sor Full Póker Royal póker Melyik esemény bekövetkezése valószínűbb? A relatív gyakoriságok szemléltetésére különösen alkalmas a kördiagram és a sávdiagram. Ábrázolás kördiagrammal, gyűrűdiagrammal A kördiagram segítségével általában a rész és az egész arányát ábrázoljuk. A teljes kör jelképezi a 100%-ot, és az egyes részek arányát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög arányos a relatív gyakorisággal. A gyűrűdiagram tulajdonképpen a kördiagram egy részlete.
Mintapélda10 Ábrázoljuk most kördiagramon a 8-as mintapéldában szereplő verseny gimnáziumi résztvevőinek évfolyamonkénti relatív gyakoriságát! (Összesen 18 gimnáziumi tanulóról volt szó.) 9. évfolyam 10.évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam Gimnázium relatív gyakoriság középponti szög
4
6
2/9 80
o
3
1/3 120
o
5
1/6
5/18
o
100o
60
188 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Gim názium i résztvevők relatív gyakorisága 28%
22% 9. évfolyam 10.évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam
17%
33%
Ábrázolás sávdiagrammal A rész és az egész arányának szemléltetésére, azaz a relatív gyakoriság ábrázolására használhatunk sávdiagramot is. A sávdiagramon a rész és az egész viszonya ugyan jól látható, azonban az egyes részek egymáshoz való viszonya nem igazán szemléletes. Példa: Informatika verseny gimnáziumi helyezettjeinek megoszlása évfolyamonként, sávdiagramon: 22 %
33 %
17 %
28 %
22 % ( 9. évfolyam ), 33 % (10. évfolyam), 17 % ( 11. évfolyam), 28% (12. évfolyam).
Feladatok 12. Véletlenszerűen választottunk ki 200 családot, és felmértük, hogy a családok hány százaléka nézi az általunk kiválasztott témájú műsorokat a televízióban. A felmérés eredményét tartalmazza az alábbi táblázat. TV műsor
Családok %-a
Híradó
75
Fókusz
55
Vetélkedők
85
Sorozatok
80
Természetfilmek
50
Történelmi filmek
35
Romantikus filmek
25
A véletlenszerűen kiválasztott 200 családban melyik a legkedveltebb és melyik a kevésbé kedvelt műsor?
189
18. modul: STATISZTIKA
A százalékok alapján határozd meg a családok számát, és ábrázold oszlopdiagramon az alábbiak szerint: a diagram címe: Televízió műsorok nézettsége. A vízszintes tengelyen a műsorok neve, a függőleges tengelyen pedig a családok száma szerepeljen. 13. Az alábbi táblázat egy adott évben a magyarországi autóértékesítés adatait tartalmazza a legkedveltebb nyolc autómárka esetén: Márka Darab
Suzuki 32 600
Opel 28 300
Renault 19 600
VW 15 600
Peugeot 14 000
Fiat 12 500
Ford 11 600
Skoda 9600
Számítsd ki az egyes márkák esetén a relatív gyakoriságot és ábrázold sávdiagramon!
14. Egy műveltségi teszt maximális pontszáma 100 pont. A tesztet 35 tanuló írta meg. Az eredményeket tartalmazza a következő táblázat: Pontszám Gyakoriság
0-30 6
31-40 3
41-50 7
51-60 5
61-70 3
71-80 4
81-90 3
91-100 4
Készíts oszlop-, sáv- és gyűrűdiagramot a relatív gyakoriságból!
15. Egy 30 fős osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlását ábrázolja az alábbi kördiagram. Egy osztály tanulóinak lakhely szerinti megoszlása
Debrecen
Hajdúszoboszló
Kaba
Újfehértó
Ebes
Szögmérő felhasználásával határozd meg a százalékokat (a relatív gyakoriságokat)! Számítsd ki, az osztályból hány tanuló lakik az egyes városokban! Az adatokból készíts táblázatot!
190 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
16. Az internetes játékok közül öt játékot választottunk ki: sakk, pasziansz, póker, foci, autóverseny. Megvizsgáltuk, hogy az elmúlt napon hányan játszották ezeket a játékokat, és az eredményeket tartalmazza az alábbi diagram.
Játékosok száma 35 30 25 20 15 10 5 0 Sakk
Pasziansz
Póker
Foci
Autóverseny
Olvasd le az értékeket, és készíts belőle táblázatot! Készíts kördiagramot a relatív gyakoriságok alapján! 17. Megkérdeztük egy 40 fős osztály tanulóit, hogy melyek a kedvenc ételeik, és a kapott válaszok alapján készítettük el az alábbi sávdiagramot.
. Lila: pizza, szürke: hamburger, sötétzöld: milánói makaróni, világoszöld: rántott sajt, sárga: palacsinta, barna: hot dog. a) Olvasd le a relatív gyakoriságokat! b) Ezek ismeretében határozd meg a gyakoriságokat! c) A gyakoriságok alapján készíts oszlopdiagramot! d) Határozd meg, hogy melyik a legnépszerűbb étel az osztályban!
191
18. modul: STATISZTIKA
18. Az itt látható grafikon öt tizenkettedikes osztály három tanévre vonatkozó hiányzási átlagait (nap/fő) mutatja. Két táblázatot mellékeltünk. Döntsd el, hogy melyik a grafikonhoz tartozó táblázat! Ha már döntöttél az egyik táblázat mellett, ábrázold kördiagramon, hogy az egyes osztályoknak mekkora részük volt a 12. évfolyam hiányzásaiból 2003/2004-ben! Három tanév hiányzási átlagai 30 25 20 15 10 5 0 12.a
12.b
12.c
2001/2002
12.d
2002/2003
12.e
2003/2004
Év/osztály
12.a
12.b
12.c
12.d
12.e
2001/2002
15
10
20
7
18
2002/2003
10
15
25
15
10
2003/2004
8
15
22
12
20
Év/osztály
12.a
12.b
12.c
12.d
12.e
2001/2002
15
10
20
7
18
2002/2003
10
13
25
10
15
2003/2004
8
15
22
12
20
192 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Középértékek (módusz, medián, átlag) Mintapélda11 Bergengócia királyának ellopták a jogarát. A térfigyelő kamerák felvétele alapján a lopással erősen gyanúsítható X.Y. nagykorú, foglalkozását tekintve udvari bolond. A jogart azonban nem találták a gyanúsított lakásán. A királyi rendőrség a helyi telefontársaságtól lekérte X.Y. telefonvonaláról indított hívások listáját. A lista a következő volt: (A 111111 szám a telefonos ébresztésé.) 222554 111111 222554 524877 222554
111111 123456 222554 222554 111111
222554 111111 222554 111111 222554
222554 222554 111111 222554 222554
Mit olvashatunk ki ebből a táblázatból? Mennyiben segít ez a jogar megtalálásában? Megoldás: A hívott számok gyakoriságát a következő táblázat mutatja: A legtöbbször előforduló adat jellemzi leginkább ezt a sokaságot. A leggyakrabban hívott szám valószínűleg a tettestársé lehet.
111111 123456 222554 524877
6 1 12 1
(Így lelepleződött a szakács.) A sokaságot jellemezhetjük a leggyakrabban előforduló elemével, ezt módusznak nevezzük. Ha több olyan elem van, ami egyforma gyakorisággal fordul elő, akkor ezek a móduszok halmazát alkotják. Ha minden elem csak egyszer-kétszer fordul elő a sokaságban, akkor a móduszok halmazának megadásával elég kevés, és viszonylag rosszul kezelhető információhoz jutunk.
Mintapélda12 A Galaktikus Elhárítás emberszabású robotokat alkalmaz kémnek. Problémát okoz azonban, hogy a robot intelligenciája általában meghaladja a társaságában levő emberekét, így gyorsan lebukik. Hogyan állítsák be a robot IQ szintjét, ha azt akarják, hogy a társaságában levő embereknek pontosan a fele legyen nála okosabb? A robot most egy konferenciára megy, ahol a résztvevők IQ szintje a következő: 124
132
140
115
136
125
120
115
115
132
110
136
193
18. modul: STATISZTIKA
Megoldás: Állítsuk nagyság szerinti sorrendbe a résztvevők IQ értékeit, majd válasszuk ki a középső adatot! 110
115
115
115
120
124
125
132
132
136
136
140
Most – mivel az adatok száma páros – nincs középső adat. Ha a két középső adat átlagát vesszük, ugyanannyi lesz a résztvevők között a nála okosabb, mint a butább. A robot IQ-ját tehát 124,5-re érdemes beállítani. Bizonyos sokaságokról elég sokat elárul a sokaság középső értéke (természetesen ez megkívánja, hogy az adatok rendezhetőek legyenek.) Vagyis rendezzük nagyság szerinti sorrendbe az adatokat, és válasszuk ki a középső elemet; ha nincs középső elem, mert páros számú adatunk van, akkor a középső két elem számtani közepét vegyük. Az így kapott elemet mediánnak nevezzük. A medián is viszonylag kevés információt hordoz a sokaságról, hiszen az elemek sorának elején és végén a mediántól nagyon eltérő elemek is állhatnak. A mediánt csak a sokaság többi tagjának a sorrendje határozza meg, de azok nagyságáról nem ad képet.
Mintapélda13 Egy elemeket gyártó cégnél két terméket is előkészítettek gyártásra. Úgy döntöttek, hogy a két termék közül azt fogják valóban gyártani, amelynek az élettartama hosszabb. Mindkét fajtából megmérték, hogy 10-10 elem mennyi ideig működik egy lámpában, és utána döntöttek. Hogyan lehet összehasonlítani a két termék élettartamát? A mért időtartamokat (órákban) az alábbi táblázat mutatja. Az adatokból grafikont is készítettek. B elem 50 69 84 66 70 38 100 89 69 74
Elemek élettartama
120 100 80 óra
A elem 86 97 32 69 88 97 78 63 80 77
A elem
60
B elem 40 20 0 elemek
194 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Megoldás: Sem a grafikon, sem a táblázat most nem segít a döntésben. Érdemes a működési idők átlagát (számtani közepét) venni.
xA =
86 + 97 + 32 + 69 + 88 + 97 + 78 + 63 + 80 + 77 = 76,7 10
xB =
50 + 69 + 84 + 66 + 70 + 38 + 100 + 89 + 69 + 74 = 70,9 10
Az A jelű elemet fogják tehát gyártani, mert annak az átlagos élettartama nagyobb. Ha a sokaság számokból áll, akkor több tájékoztatást kaphatunk a sokaságról, ha minden benne szereplő számot figyelembe veszünk, tehát a számok összegét osztjuk a darabszámukkal. Az így kapott értéket nevezzük a sokaság aritmetikai átlagának vagy számtani közepének. Ez azonban megint csalóka lehet: ha van egy, a többiekhez képest
nagyon nagy, vagy nagyon kicsi szám a sokaságban, akkor az adatok jelentős része döntően eltérhet az átlagként kapott adattól. A móduszt, a mediánt és az átlagot statisztikai középértékeknek nevezzük.
Feladatok 19. Valaki megvizsgálta, melyik betű hányszor szerepel Ady Endre: Lédával a bálban
című versében. Az eredményt a vers alatt található táblázat mutatja. (A vers címét és a kettős betűket nem vettük figyelembe.) Sikolt a zene, tornyosul, omlik Parfümös, boldog, forró, ifju pára S a rózsakoszorús ifjak, leányok Rettenve néznek egy fekete párra. „Kik ezek?” S mi bús csöndben belépünk. Halál-arcunk sötét fátyollal óvjuk S hervadt, régi rózsa-koszoruinkat A víg teremben némán szerte-szórjuk. Elhal a zene s a víg teremben Téli szél zúg s elalusznak a lángok. Mi táncba kezdünk és sírva, dideregve Rebbennek szét a boldog mátka-párok.
195
18. modul: STATISZTIKA
a
á
b
c
d
e
é
24
10
9
3
7
35
8
f
g
h
i
í
j
k
6
9
3
11
3
4
23
l
m
n
o
ó
ö
ő
17
7
20
13
5
3
0
p
q
r
s
t
u
ú
5
0
23
23
16
7
3
ü
ű
v
w
x
y
z
3
0
7
0
0
3
15
A táblázat alapján készíts grafikont az alábbiak szerint: a vízszintes tengelyen a betűk szerepeljenek, a függőleges tengelyen pedig a gyakoriságok! Állapítsd, meg milyen statisztikai középértékkel lehet jellemezni ezt a sokaságot. Add is meg ezt a középértéket!
20. Egy oszályból kiválasztottunk 20 tanulót. A csoportot megvizsgáltuk nemük,
lakhelyük, születési dátumuk, testmagasságuk, és hajszínük szerint. (Az egyszerűség kedvéért a tanulókat sorszámmal azonosítjuk.) A tanulók adatai az alábbi táblázatokban láthatók. Határozzuk meg az egyes ismérvek gyakoriságát! Az egyes ismérvek esetében állapítsuk meg a lehetséges és jellemző statisztikai közepeket! Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T1 lány Debrecen 1989.01.25 165 szőke
T2 lány Debrecen 1989.01.13 163 szőke
196 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T3 lány Ebes 1989.02.15 165 vörös
T4 lány Kaba 1989.03.04 158 barna
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T5 lány Kaba 1989.03.05 163 fekete
T6 lány Szolnok 1989.02.06 161 szőke
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T7 lány Debrecen 1989.03.15 165 szőke
T8 lány Ebes 1989.01.23 163 vörös
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T9 lány Szolnok 1989.02.25 158 vörös
T10 lány Derecske 1989.04.12 161 vörös
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T11 lány Kaba 1989.03.14 167 szőke
T12 lány Ebes 1989.01.24 158 barna
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T13 lány Debrecen 1989.03.30 163 szőke
T14 fiú Debrecen 1989.04.23 168 barna
197
18. modul: STATISZTIKA
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T15 fiú Ebes 1989.02.13 165 fekete
T16 fiú Szolnok 1989.03.24 172 barna
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T17 fiú Derecske 1989.01.27 172 barna
T18 fiú Ebes 1989.05.14 175 fekete
Tanuló Nem Lakhely Sz_dátum Testmagasság Hajszín
T19 fiú Ebes 1989.03.17 168 szőke
T20 fiú Debrecen 1989.05.08 175 fekete
21. Testnevelésórán felmérés volt távolugrásból. A 9.b osztály tanulóinak eredményei
méterben megadva a következők: 1,5; 2,1; 1,6; 2,1; 2,3; 1,6; 1,8; 2,0; 2,1; 1,5; 1,6; 1,6; 1,8; 1,8; 1,9; 2,0; 2,1; 2,2; 1,8; 1,5; 1,6; 2,1; 2,3; 2,0; 1,6; 1,9; 2,2. a) A kapott eredményeket rendezd növekvő sorrendbe! b) Készítsd el az eredmények gyakorisági sorát! c) Válaszd ki a rendezett számsor mediánját (középső elemét) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! d) A gyakorisági sorból válaszd ki a móduszt (azt az eredményt, amely a leggyakrabban fordul elő) és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! e) Határozd meg, hogy hány méter a tanulók ugrásának átlaga és írd le, hogyan jellemzi a sokaságot! 22. A nyári egyhetes osztálytábor előtt felmérjük, hogy a gyerekek közül kinek mi a
kedvenc étele. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt?
198 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
23. Egy munkahelyen összeírjuk mindenkinek az iskolai végzettségét. Arra a kérdésre
szeretnénk választ kapni, hogy ez magasan kvalifikált emberekből álló hely-e vagy sem. Milyen adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt?
24. Felmérjük egy budapesti iskolában, hogy a tanulók melyik kerületben laknak. Milyen
adattal jellemezhetjük a kapott adathalmazt?
25. Egy kis helység cipőkészítő üzemének csak arra van lehetősége, hogy egyféle méretű
cipőt készítsen. A tulajdonosának milyen cipőméretet célszerű kiválasztania?
26. Egy gazdasági társaságnál a dolgozók fizetésére és létszámára vonatkozó adatokat
tartalmazza a következő táblázat. Dogozók
Létszám (fő)
Átlagfizetés (ft/fő)
Vezetők
5
450 000
Adminisztratív dolgozók
3
80 000
Alkalmazottak
10
120 000
Takarítók
8
57 000
Határozd meg, mennyi a dolgozók átlagos keresete a társaságnál! Mennyi az átlagfizetések módusza és mediánja? Értelmezd ezeket a statisztikai jellemzőket!
18. modul: STATISZTIKA
199
Kislexikon Statisztika : 1. Információk valamilyen szempontból rendezett összessége.
2. Tömegjelenségek vizsgálatához szükséges módszerek összessége. Leíró statisztika: statisztikai adatok feldolgozása és kiértékelése. Statisztikai sokaság: a megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. Statisztikai ismérv: a megfigyelés szempontja(i). Gyakoriság: megmutatja, hogy az egyes jelenségek a felmérés (a kisérlet) során hányszor
fordulnak elő. Relatív gyakoriság: a gyakoriság és a statisztikai sokaság elemszámának hányadosa. Módusz: a sokaság legtöbbször előforduló eleme. (Ha több ilyen elem is van, akkor a
móduszok halmazáról beszélünk.) Medián: a nagyság szerint rendezett sokaság középső eleme (ha az elemek száma páratlan),
ill. a két középső elem számtani közepe (ha az elemek száma páros). Átlag: számokból álló sokaságban a számok összegének és az elemek darabszámának
hányadosa.
19. MODUL kör és részei Készítette: Vidra Gábor
202 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
A kör szerepe mindennapi életünkben (olvasmány) A kör az egyik leggyakoribb és legharmonikusabbnak tartott forma. Kör alakú pénzzel fizetünk, kör alakú gyűrűt, karkötőt, láncot viselünk, látjuk a virágok szirmainak elrendeződésében, kanyarodás közben sokszor köríven mozgunk, ruháinkon is sok kör alakú nyílás van. Természetes, hogy a körrel kapcsolatos számítások az ókor óta izgatták az embereket. A Holdat, a Napot is korong alakúnak látták az égen. Tibetben mandalákat alkottak, hogy például a rajtuk elhelyezkedő ábrákkal tanítsák a buddhizmus tanát, vagy gyógyítsanak, meditáljanak vele. A mandala jelentése: „kör”, az Univerzumot és annak energiáját szimbolizálja. A kör megtalálható az összes vallás szimbólumai között. Leonardo da Vinci jól ismert grafikája (A vitruviuszi férfi) is utal az emberi test felépítésének és a körnek a kapcsolatára. Azt is megtudhatjuk belőle, hogy az ember körülbelül olyan magas, mint a kiterjesztett karján levő ujjvégek távolsága.
A
történetéről (olvasmány)
A kör kerületének és sugarának arányszámával sokan foglalkoztak, története több ezer évre nyúlik vissza. A π jelet 1739 óta használjuk, Leonhard Euler (1707–1783) javaslatára. Értékét a különböző korokban és kultúrákban ily módon becsülték:
⎛8⎞ a) sumérek, i.e. 4000: 4 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝9⎠
2
3,1605;
⎛ 16 ⎞ b) egyiptomiak, i. e. 2000: ⎜ ⎟ ⎝9⎠
2
3,1605;
c) Arkhimédész Kr. e. 250-ben a kör kerületét a körbe írt, illetve köré írt sokszögek kerületével közelítette: kiszámította a két 96 oldalú szabályos sokszög kerületét, és eredményül azt kapta, hogy
d) Ptolemaiosz i. sz. 150-ben:
223 22 <π < , azaz 3,1408< π < 3,1429; 71 7
377 azaz körülbelül 3,1417; 120
203
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
e) Árjabhata hindu matematikus, VI. század: a 364 oldalú szabályos sokszöggel számolva 3,1416-ot kapott; f) Adrian Metius, XVI. század: 393216 oldalú szabályos sokszöggel számolva 9 tizedes jegyig pontos számot kapott;. g) Ludolf van Ceulen, XVI. század, Hollandia: az első 35 jegyét határozta meg a πnek, tiszteletére hívjuk más néven Ludolf-féle számnak. Síremlékére végakaratának megfelelően felvésték.
Közelítették még
10 ≈ 3,1623 értékével, vagy
2 + 3 ≈ 3,1463 összeggel is az idők folya-
mán. Napjaink számítógépes technikai hátterével 16 millió jegyig számították ki az értékét. Érdekes megjegyezni, hogy a π-nek nincs pontos értéke: irracionális szám, sőt nem jön ki semmilyen algebrai egyenlet gyökeként (transzcendens szám). Számjegyeinek memorizálására úgynevezett „π verseket” írtak (a szavak betűinek száma adta a számjegyeket). (A π értékét jó pontossággal közelíthetjük hatványsorokkal, vagy statisztikai eszközökkel is.) Hatszögek beleírásával és köré írásával mi is kiszámíthatjuk π közelítő értékét: A beleírt hatszög oldalai: r, kerülete: 6r. A köré írt hatszög egy központi szabályos háromszögének ma3 2 , így x = ⋅r . gassága r, oldalára r = x 2 3 12 A köré írt hatszög kerülete 6 x = ⋅ r ≈ 6,9282 ⋅ r . 3 Így a kerületre 6r < K < 6,9282r adódik. Mivel K = 2rπ , π értékére kapott közelítés: 3 < π < 3,4641 .
204 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
I. A kör területe, kerülete A jól ismert képletek szerint:
A kör kerülete: K = 2 r π A kör területe: T = r 2 π
Mintapélda1 Kör alakú asztallapot akarunk készíteni bútorlapból úgy, hogy a szélére élfóliát ragasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kör alakot otthon kell elkészíteni dekopírfűrésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásárolni, ha azt csak egész méterben árulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútorlap és az élfólia ára együtt), ha az asztal átmérője 2,7 méter, egy m2 bútorlap ára 2700 Ft és egy méter élfólia 40 forintba kerül? c) A levágatott bútorlap hány százaléka szemét? Megoldás: Egy 2,7×2,7 méteres négyzetet kell levágatni, ami 2,7 2 = 7,29 (m2). A bútorlap költsége 7,29 ⋅ 2700 = 19683 Ft. Az élfólia hossza a kör kerületének egészre felkerekített értékéből számítható: K = d ⋅ π = 8,48 (m), felkerekítve 9m, aminek a költsége 9 ⋅ 40 = 360 Ft. Az összes költség tehát 19683 + 360 = 20043 Ft. A hulladék arányát úgy kapjuk, hogy a fölösleg területét elosztjuk a négyzet területével. A fölösleg a négyzet és a kör területének különbsége. 2
2,7 2 − 5,72 ⎛d ⎞ A kör területe ⎜ ⎟ ⋅ π ≈ 5,72 (m2), így a hulladék aránya = 0,215 , vagyis 2,7 2 ⎝2⎠
21,5 % a hulladék.
205
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
Mintapélda2 Számítsuk ki, mennyi a fekete, a piros és a bordó körök területeinek összege! A kisebb körök 2 cm átmérőjűek. Megoldás: A sugarak: 1 cm és 2 cm, a négyzetek oldalhosszai 2 cm és 4 cm. Fekete: 3 kis kör, és egy négyzet körből kimaradó része:
T1 = 3 ⋅ 12 ⋅ π + 2 2 − 12 ⋅ π = 2 ⋅ 12 ⋅ π + 2 2 = 10 ,28 (cm2). Piros: a kis piros körök és a mellettük található piros négyzetdarabok egymásba illenek, így a piros esetében két négyzet és egy nagy kör összegét kell számítani:
T2 = 2 ⋅ 2 2 + 2 2 ⋅ π = 20,56 (cm2). Bordó: egy kis négyzet és két nagy négyzet körön kívüli része:
(
)
T3 = 2 2 + 2 4 2 − 2 2 π = 10,88 (cm2).
Feladatok 1. Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek kerülete
a) 628 cm;
b) 100 cm;
c) 893 m;
d) 75 dm?
c) 300 m2;
d) 0,256 m2?
2. Mekkora a kör kerülete, ha területe
a) 200 cm2;
b) 2,85 dm2;
3. Mekkora oldalú négyzet írható abba a körbe, amelynek területe
a) 25 m2;
b) 130 cm2;
c) 345 m2;
d) 0,43 m2?
4. Számítsd ki a félkörökkel lezárt téglalap alakú idom hiányzó adatait!
T jelenti az egész alak területét, K az egész kerületét.
K a) b) c) d)
T 2
300 cm 170 m 400 m
d
s
5 cm 10 cm
15 cm 25 m 100 m
206 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
5. Egy motoros 90 m sugarú, félkör alakú úton halad. Mennyi idő alatt teszi meg a félkört,
ha sebessége a) 8 km/h;
b) 20 km/h;
c) 80 km/h;
6. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a = 30 mm)!
7. Számítsd ki a színezett részek területét és kerületét (a = 2,4 cm)!
d) 120 km/h?
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
8. Hány százaléka a színezett rész területe az egész (félkör, illetve háromszög) területé-
nek?
9. a) Bizonyítsd be, hogy a piros félkörök területeinek összege
megegyezik a kék félkör területével!
b) Hippokratész holdacskái: bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a derékszögű háromszög területével!
c) Bizonyítsd be, hogy a piros holdacskák területeinek összege megegyezik a négyzet területével!
207
208 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
d) Bizonyítsd be, hogy a narancs és a kék rész területe egyenlő! Azt is igazold, hogy a zöld rész területe egyenlő a négyzet területének negyedével!
10. Számítsd ki π közelítő értékét úgy, hogy a kör köré illetve a körbe
írható négyzetet használod!
11. Az építészetben gyakoriak az alábbi ablakformák, díszítő motívumok. Számítsd ki a
kerületüket és a területüket a feltüntetett adatok alapján! A kerületbe minden határoló vonal beleszámít.
12. Számítsd ki, hogy a szabályos háromszög beleírt körén kívül eső részének területe
hány százaléka a szabályos háromszög területének!
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
209
13. Az ABCD és az EFGH négyzet között a kék vagy a
piros részek területösszege nagyobb? Ha segít, AB szakasz hossza 120 cm.
14. Egy pizzéria kétféle kerek pizzát szolgál fel: mindkettő ugyanolyan vastag, de más
méretű. A kisebbik 30 cm átmérőjű és 30 tallérba kerül. A nagyobbik 40 cm átmérőjű és 40 tallérba kerül. Melyik pizza éri meg jobban? Válaszodat indokold!
15. A diákoknak különböző átmérőjű, kör alakú ezüstérméket kell tervezniük, melyek
együtt sorozatot alkotnak: valamennyi érme átmérője 15–45 mm; mindegyik érménél 30%-kal nagyobb átmérőjű a sorozatban utána következő; a gép csak egész számú milliméter átmérőjű érméket tud verni. Tervezz érmesorozatot, amely megfelel a fent leírt követelményeknek! Egy 15 mm-es átmérőjű érmével kezdd, sorozatod annyi érmét tartalmazzon, amennyi csak lehetséges!
16. Egyetlen egyenes vonallal felezd meg a színezett rész területét!
210 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
17. Ahhoz, hogy mobiltelefonjainkat használni tudjuk, szükség van arra, hogy a telefonja-
inkról kimenő és az azon fogadott jeleket antennák, úgynevezett bázisállomások továbbítsák. Minden ilyen telepített bázisállomás egy meghatározott sugarú körben képes hívásokat fogadni és továbbítani. Azt a területet, amely a bázisállomások hatósugarába esik, lefedett területnek nevezzük, csak ilyen területen tudunk mobilhívásokat folytatni. Az alábbi ábrán egy példa látható a lefedettségre.
a) Egy négyzet alakú, 2 km-es oldalú területnek legfeljebb hányad részét fedheti le 1 darab 1 km hatósugarú bázisállomás? Úgy dolgozz, hogy számításod nyomon követhető legyen! b) A következő ábrák ugyanannak a területnek (négyzet) kétféle lefedését mutatják. Az A vagy a B esetben nagyobb a lefedettség? Válaszodat indokold!
18. A játék kezdetén a biliárdgolyókat egymás
mellett, egy szabályos háromszög alakú keretbe kell elhelyezni. Lemértük a keret magasságát. Mekkora egy biliárdgolyó sugara?
211
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
II. Szögperc, szögmásodperc A szögeket eddig fokban mértük. A részfokokat vagy szögpercben és szögmásodpercben fejeztük ki, vagy tized fokban. Az újabb számológépek közvetlenül elvégzik az átváltást a
tizedfok és a szögperc között: egyes gépeken DMS (degree, minute, second angol szavakból), más gépeken
feliratú billentyűvel, kezelését meg kell tanulni. Gyakorolni kell az átváltást
akkor is, ha számológépet nem használhatunk.
Mintapélda3 a) Határozd meg, mennyi a 0,25 szögpercben! 1° = 60’
/· 0,25
0,25° = 0,25·60’ = 15’ A szögpercet úgy kapjuk, hogy a tizedfokot megszorozzuk 60-nal.
1° = 60’
b) Váltsd át a 25 -et fokba! 1’ =
1 60
/ : 60 o
o
25 = 0,42° 25 ’ = 60
A tizedfokot úgy kapjuk, hogy a szögpercet elosztjuk 60-nal.
Feladatok 19. Végezd el a következő átváltásokat:
a) 30
b) 2 15
c) 21 45
d) 1 12
e) 2 6
f) 72 33
g) 61 25
h) 55 42
i) 87 55
j) 42 27
20. Végezd el a következő átváltásokat:
a) 4,4
b) 85,5
c) 18,9
d) 6,8
e) 23,75
f) 4,04
g) 21,87
h) 68,13
i) 72,68
j) 44,12
212 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
III. Egyenes arányosságok a körben Talán már feltűnt, hogy a negyed kör és a félkör között felírható néhány kapcsolat: ¾ a félkör középponti szöge (180°) kétszerese a negyed kör középponti szögének (90°); ¾ a félkör ívhossza kétszerese a negyed kör ívhosszának; ¾ a félkör területe kétszerese a negyed kör területének.
Ezek az összefüggések nemcsak a derékszög és az egyenesszög kapcsolatában találhatók meg. Ha a kört egy foknyi szeletekre bontjuk, kiderül, miért található egyenes arányosság a középponti szögek, az ívek és a körcikk területeinek arányában: az 1°-os körcikket többször egymás mellé mérve a középponti szög is, a körív is és a terület is megtöbbszöröződik. A következő ábra egy 43 mm sugarú, 26° középponti szöghöz tartozó körcikk területének és ívhosszának kiszámítását mutatja.
T1° az 1°-hoz tartozó körcikk területét jelöli. A 26° középponti szögű körcikket felbonthatjuk
26 darab, 1°-os középponti szögű körcikkre, és ezek területeit összegezzük. Az ívhossz kiszámítása hasonlóan történik. A számított értékek: T26° = 419,5 mm2, i26° = 19,5 mm. A körív hossza is, a körcikk területe is egyenesen arányos a középponti szöggel.
213
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
Az °-hoz tartozó körív hosszát úgy határozzuk meg, hogy az 1°-hoz tartozó körív hosszát megszorozzuk -val.
Az °-hoz tartozó köcikk területét úgy határozzuk meg, hogy az 1°-hoz tartozó körcikk területét megszorozzuk -val.
A körcikk területét kiszámíthatjuk a T =
i⋅r összefüggéssel is. 2
Mintapélda4 Geom bolygó lakosai a kör iránti tiszteletük jeléül 360 napos évet használnak. Naptáruk is olyan kör, amelyet fokonként osztottak be 360 egyenlő körcikkre. Fővárosuk főterén óriásnaptár található 2,5 méteres sugárral, amelyen minden körcikk különböző színű. Számítsuk ki, hogy mennyi festék kell egy körcikkre, és mekkora egy körcikket szegélyező körív hossza! A festék kiadóssága 8 l/m2. Megoldás:
A körcikkek középponti szöge 1 . Az ehhez tartozó körcikk területe a kör területének 360-ad része, vagyis ami
r 2π . A körcikk körívének hossza a kör kerületének 360-ad része, 360
2rπ rπ . A példában r = 2,5 m, ezért a körcikk területe 0,0545 m2, a körív hosz= 360 180
sza 0,044 méter, illetve 4,4 cm. A szükséges festék 1 m2 felülethez hez ennek 0,0545-szöröse: 0,0068 liter = 6,8 cm3.
1 liter, 0,055 m28
214 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Feladatok 21. Mekkora körcikk és körív tartozik ahhoz a 4 cm-es sugarú körcikkhez, melynek kö-
zépponti szöge a teljesszög 35 %-a?
22. Töltsd ki a következő táblázat hiányzó celláit! r
5 cm
α
200°
i
152 mm
10 cm 85°
600 mm
150° 10 cm
100 cm2
T
35 dm 300° 108 dm
20 cm2
11,775mm 35 cm2
29,4 mm2
23. Körcikk alakú asztallapot készítünk úgy, hogy egy 90°-os körcikk hiányzik a teljes
körből. Számítsd ki az anyagköltséget, ha az asztal sugara 1,6 méter, a kerületére ragasztható bevonó szalag métere 400 Ft, és az asztallap anyagából 1m2-nyi 3200 Ft-ba kerül!
24. Melyik a nagyobb? Tedd ki a megfelelő relációjeleket (T: a körcikk területe, i a kör-
cikk teljes kerülete)! a)
A: 30 cm sugarú körben 65°-os körcikk B: 20 cm sugarú körben 150°-os körcikk
b)
A: 150 dm sugarú körben 200°-os körcikk
TA
?
TB
iA
?
iB
B: 200 dm sugarú körben 135°-os körcikk
25. Egy 5 cm sugarú körben a körcikk területe a kör területének 45%-a. Számítsd ki a kö-
zépponti szöget, a körcikk területét, és a határoló ív hosszát!
215
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
IV. Ívmérték, radián Mivel a középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, a szögeket körívvel is jellemezhetjük. Ezt a mértéket ívmértéknek, radiánnak nevezzük. A műszaki életben sokszor nem fokokban számolnak, hanem radiánban. Ha a szöget fokokban mérjük, a teljes szög 360°. Ívmértékkel mérve a teljes szög 2π radián (a radiánt nem szoktuk kiírni). Vagyis 180°-nak megfelel π radián:
180° = π (rad) ;
1° =
π 180
(rad) ;
1 (rad) =
180°
π
≈ 57,3° .
A 180-nak rengeteg osztója van, és ez segítséget nyújt az átszámításhoz. Például 30° éppen a hatoda 180°-nak, így π-nek is: 30° =
π 6
. 150° a 30°-nak ötszöröse, ezért 150° =
5π , vagy 6
5 π formában szoktuk felírni. Mivel π irracionális, a legpontosabb szögértéket akkor adhat6 juk meg, ha meghagyjuk a szögben a π szimbólumot. A
180°
π
pontosabb, mint az 1 radiánhoz
tartozó 57,3°.
Mit gondolsz, melyik a régebbi mértékegység, a radián vagy a fok? A szögek ívhosszal történő mérése Roger Cotes (1682–1716, angol fizikus és csillagász) ötlete volt 1714-ben, de a radián kifejezés James Thomson (1822–1892, ír mérnök és fizikus) nevéhez fűződik: ő használta először nyomtatásban, 1873-ban. A kör 360 egységre osztása több mint háromezer éves találmány, a babiloniaknál jelent meg, még az ékírásos időkben.
216 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Felmerülhet, hogy miért hívják ívmértéknek ezt a szög-mértékegységet. Azért, mert ha radi) ánban adjuk meg a szögeket, a körív hosszát az i = r ⋅ α szorzattal számíthatjuk ki.
Fok
Körív hossza
Körcikk területe
Egész kör
360°
2 rπ
r 2π
Félkör
180°
Negyed kör
90°
Egy fok
1°
2 rπ = rπ 2 2 rπ rπ = 4 2 2 rπ rπ = 360 180
r 2π 2 r 2π 4 r 2π 360
α fokos szög
α
α radián
α
)
) i = rα
i=
rπ ⋅α 180
Feladatok 26. Alakítsd át a fokokat radiánná!
a) 180 ;
b) 90 ;
c) 60 ;
d) 45 ;
e) 120 ;
f) 240 ;
g) 135 ;
h) 270 ;
i) 40 ;
j) 70 ;
k) 35 ;
l) 72 ;
m) 220 ;
n) 1000 ;
o) 300 ;
p) 1200 .
27. Számítsd át a radiánokat fokokká!
a) 3π ;
b)
4π ; 15
f)
e)
i) 2 rad;
π
;
c)
5π ; 12
d)
7π ; 9
5π ; 6
g)
8π ; 3
h)
11π ; 10
12
j) 3,56 rad;
k) 10 rad;
l) 8,12 rad.
T=
r 2π ⋅α 360
T=
) r 2α 2
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
217
V. A kör részeinek területe Az előző részben volt már szó a körcikkről, de a kör más részeivel is megismerkedünk. A következő ábrák ezek gyakorlati felhasználásából mutatnak példákat.
A hétköznapi életben sok helyen alkalmazzák a kör részeit: a gumi- és betongyűrűk, csövek keresztmetszete körgyűrű alakú; a körgyűrűcikket az építészetben: a megfelelően faragott kövekből összeállított boltozat akár kötőanyag nélkül is megtart falakat (például korai gótikus épületekben), hidakat, födémeket.
218 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Elnevezések A kör részeivel kapcsolatban az alábbi elnevezéseket használjuk: középponti szög (α ) körcikk körszelet körgyűrű körgyűrűcikk Területüket általában területek kivonásával számítjuk ki:
Tkörcikk =
i⋅r 2
(
Tkörszelet = Tkörcikk – Tháromszög
)
Tkörgyűrű = R22 − R12 π
R1,
→ T1
R2,
→ T2
T = T2 – T1
219
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
Mintapélda5 Rajzolj egy 8 cm sugarú kört! Becsüld meg a négyzetrácsok segítségével, hogy mekkora területű körcikk tartozik 1 radián középponti szöghöz? Mérd le a körcikket határoló körív hosszát is (például cérnával)! Végezz számításokat is, utána vizsgáld meg, hány százalékos volt az eltérés a becsült és a mért adatok között! Megoldás:
1 radiánhoz tartozó körcikk területe a teljes kör területének 2 -ed része: r 2π r 2 = = 32 cm2. Egy négyzetrácsban egy kis négyzet területe 0,52 = 0,25 cm2, 2π 2
vagyis
32 = 128 kis négyzet az eredmény. 0,25
Ha például 98 kis négyzetet számoltál meg, az eltérés 30 kis négyzet, ami 30 ⋅ 100 = 23,4% eltérés (hiba). 128 A körív hossza a teljes kör kerületének 2 -ed része:
2 rπ = r = 8 cm. 2π
Ha 7,6 cm-t mértél, a hiba az eltérés/jó eredmény, százalékban kifejezve képlet szerint 8 − 7,6 ⋅ 100 = 5% . 8
Feladatok 28. Egy műanyagcső külső átmérője ¾ coll, az anyagvastagság 1,5 mm (1 coll = 2,45 cm.).
A cső keresztmetszetén a belső kör területének hány százaléka a műanyagot tartalmazó körgyűrű területe?
29. Adott a körgyűrű belső (r) és külső (R) sugara. Mekkora a körgyűrű területe?
a) r = 45 mm, R = 50 mm;
b) r = 72 cm; R = 78 cm;
c) r = 6 cm; R = 6,4 cm.
220 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
30. Egy 30 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 7 %-a a cső anyaga. Mekkora az
anyagvastagság?
31. Egy 50 cm külső átmérőjű cső keresztmetszetének 18%-a a cső anyaga. Mekkora a
belső keresztmetszet területe?
32. A planetárium körfolyosóját le kell burkolni. A burkoló az
ábrán látható távolságot mérte le. Miért elegendő ez az adat a burkolat anyagmennyiségének meghatározásához? Mennyibe kerül a burkolás, ha a burkoló anyaggal együtt 2600 Ft-ot kér 1 m2 burkolatért?
33. Biztos láttál már olyan vadnyugati filmeket, amelyben postakocsi szerepel, és észrevet-
ted, hogy néha állni látszik a kocsi küllős kereke. Ez azért van, mert másodpercenként 24 képet vetítenek a filmen, és ennyi idő alatt fordul egy küllőnyit a kerék. Mekkora annak a postakocsinak a sebessége, amelyiknek a kereke 120 cm átmérőjű, a kerék állni látszik, és a küllők száma a) 10;
b) 12;
c) 16;
d) 8.
Mintapélda6 Számítsuk ki a
2π radiánú középponti szöghöz tartozó körszelet területét és kerületét, ha a 3
kör sugara 30 cm! Megoldás:
2π a 120°-os szögnek felel meg (harmad kör), így készítünk egy ábrát. 3 A körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy kivonjuk a körcikk területéből a középen levő háromszög területét. A háromszög kiegészíthető a oldalú szabályos háromszöggé, aminek a területe
a2 ⋅ 3 . 4
r 2 ⋅π r 2 ⋅ 3 Így a körszelete területe: T = − = 942 − 390 = 552 cm2. 3 4
221
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
A kerülete a kör kerületének harmada, hozzáadva kétszer a szabályos háromszög magasságát: K =
2 ⋅ r ⋅π 3 + 2⋅r ⋅ = 62,8 + 51,96 = 114,8 cm. 3 2
Ismétlés: az a oldalú szabályos háromszög területe
a2 ⋅ 3 . 4
34. Egy kör sugara 25 cm. Számítsuk ki a következő középponti szögekhez tartozó körsze-
letek területét: a) 60°;
b)
π 2
;
c)
2π ; 3
35. Mekkora a színezett rész területe?
d) 240°.
222 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
VI. A kör érintője Mintapélda7 Végezzük el a következő szerkesztéseket, és az eredmény alapján válaszoljunk a kérdésekre! 1. Szerkesszünk derékszögű háromszöget, melynek befogói: AC = 3 cm és BC = 4 cm! 2. Tükrözzük a háromszöget az AB átfogóra! 3. Szerkesszük meg a háromszög köré írható k kört! Középpontját jelöljük F-fel. 4. Szerkesszük meg az A középpontú, AC sugarú k1 kört! a) Mi a kapcsolat a k1 kör és a BC egyenese között? b) Mit mondhatunk BC és BD hosszáról? c) Milyen összefüggést állapíthatunk meg a kör érintője és sugara között? Megoldás: a) BC a k1 kör érintője. b) Egyenlők, mert az ABC és az ABD háromszögek egybevágók. c) A sugár (AC) merőleges az érintőre (BC) az érintési pontban (C).
A kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az átfogó felezőpontja.
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
223
Mintapélda8 Vegyünk fel egy C a középpontú kört és rajta kívül egy P pontot! Szerkesszük meg a körhöz a P pontból húzott érintőket! Megoldás:
A CP szakasz Thalész-körén (kThalész) helyezkednek el azok a pontok, amelyek a C és P pontokkal derékszögű háromszöget alkotnak. Mivel az érintő merőleges a sugárra az érintési pontban, az adott kör és a Thalész-kör metszéspontjai (A és B) az érintési pontok.
Feladatok 36. A k körhöz P külső pontból húzott
érintők A és B pontokban érintik a kört az ábrán látható módon. Egy további érintő egyenes a C és D pontokban metszi a szögszárakat. Igazold, hogy a PCD háromszög kerülete egyenlő a PA szakasz hosszának kétszeresével!
224 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
37. a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogó, r a köré írt kör sugara. Töltsd ki a
táblázat hiányzó celláit! a b c r
15 cm 20 cm
12 dm 3m
32,7 dm 13,4 cm 5,8 dm
54 cm 589 cm 32 cm
38. C a kör középpontja, P egy külső pont, és E a P-ből a körhöz húzható érintő érintési
pontja. Készíts rajzot, és töltsd ki a táblázat hiányzó celláit! CP EP r
12 cm 5 cm
4,1 dm
149 cm
0,4 m
5,8 dm
61 cm 6 dm
5,3 dm 45 cm
39. Szerkeszd meg a C középpontú, r sugarú körhöz húzható érintőket P pontból, ha
a) r = 4 cm, CP = 8 cm;
b) r = 2,5 cm, CP = 7 cm;
c) r = 5 cm, CP = 7 cm.
40. Ebbe a derékszögű trapézba kör írható. Milyen kapcsolat van
a szemben fekvő oldalak összege között? Mekkora a beleírható kör sugara, ha az alapok hossza 4 és 12, a nem derékszögű szár hossza 10 egység?
További szerkesztések 41. Kőrácsos ablak. Ezt a rozetta alakot 1210 körül tervezte Jean d’Orbais a Reimsben
található székesegyházban, és innen terjedt el Európa szerte.
19. modul: A KÖR ÉS RÉSZEI
42. Szabályos sokszögek (négyzet, szabályos hatszög,
szabályos nyolcszög) szerkesztése.
43. Román-kori ablak szerkesztése.
44. Gótikus ablak szerkesztése.
225
226 MATEMATIKA „A” • 9. ÉVFOLYAM
TANULÓK KÖNYVE
Kislexikon A kör kerülete K = 2rπ , a kör területe T = r 2π A szögpercet úgy kapjuk tizedfokból, hogy a tizedfokot megszorozzuk 60-nal. A tizedfokot úgy kapjuk szögpercből, hogy a szögpercet elosztjuk 60-nal. A körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos a középponti szöggel.
A
fokhoz tartozó körcikk területét úgy határozzuk meg, hogy az 1 -hoz tartozó körcikk
területét megszorozzuk -val. A körcikk területét kiszámíthatjuk a T =
A
i⋅r képlettel is. 2
fokhoz tartozó körív hosszát úgy határozzuk meg, hogy az 1 -hoz tartozó körívet meg-
szorozzuk -val. A kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra.
Egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő. Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az
átfogó felezőpontja.