Komáromi András* Orova Lászlóné** MATEMATIKAI MODELLEK AZ INNOVÁCIÓ TERJEDÉSÉBEN
BEVEZETÉS Az új termék, technológia elterjedésének ismerete nélkülözhetetlen a termel cégek számára, ezért külföldi és hazai kutatók már évtizedek óta tanulmányozzák az innováció diffúzióját. Az innováció fogalomkörébe az új terméken, technológián kívül az új piac, beszerzési forrás, valamint új szervezet létrehozását vagy felfedezését már SCHUMPETER (1930) is beleértette. A technológiai újítások terjedésének vizsgálata a magyar kutatókat is régóta foglalkoztatja, példa erre EÖTVÖS LÓRÁND báró és BUCSY BÉLA munkássága, akik e témakörben Fejl déselmélet címmel közös egyetemi jegyzetet írtak 1919-ben. Az innováció diffúziójaként ROGERS (1983) egy olyan folyamatot definiál, melynek során az innováció a társadalom tagjai között bizonyos kommunikációs csatornákon keresztül id vel ismertté válik. A diffúziós folyamat négy alapvet összetev jének az innovációt, az id t, a kommunikációs csatornát, valamint az adott társadalmi rendszert tekinti. (ROGERS az innovációt szélesebb körben értelmezi, mint SCHUMPETER). Egy innováció elfogadásának különböz szakaszai figyelhet k meg: megismerés, érdekl dés, értékelés, kipróbálás, elfogadás. ROGERS különböz empirikus kutatások alapján az egyéneket csoportokba osztotta, annak függvényében, hogy milyen ütemben adoptálják az újítást (1. ábra).
1. ábra Rogers-féle elfogadási görbe (Rogers, 1962) *
BGF Külkereskedelmi F iskolai Kar, Matematika-Statisztika tanszék, oktató. ** Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar, Informatika tanszék, egyetemi adjunktus. 94
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK … Diffúzió terjedésének modellezése A diffúziós modellek célja az, hogy egyszer matematikai összefüggéssel adják meg az innováció bevezetését l eltelt id függvényében az innováció terjedésének mértékét a várható „elfogadók” adott körében. Az elfogadó az, aki megvásárolja és használja az új terméket. Tartós fogyasztási cikkeknél az els vásárlás veend számításba, más cikkeknél természetesen a vásárlás meg is ismétl dhet. Az elfogadó lehet egy személy, család, vagy egy csoport is, az innovációtól függ en. Egy általános diffúziós modell tartós fogyasztási cikk egyszeri megvásárlásával foglakozik. A modellnek három szegmens dinamikáját kell valamilyen módon leírnia: 1. TM(t): a teljes piac mérete a t-edik id pontban. 2. TN(t): piacpotenciál, azon egyének halmazának nagysága, akik a t-edik id pontban tudnak a termékr l és meg is tudnák venni azt, azaz a potenciális vásárlók táborát gyarapítják. 3. N(t): a lefedett piac mérete, vagyis azon elfogadók száma, akik a t-edik id pontig már vásároltak az új termékb l. A diffúziós folyamat során a teljes piac tagjaiból válnak ki a potenciális piac tagjai (pl. tudomást szereznek a termékr l), akikb l aztán a vásárlás során a lefedett piacot b vít egyének kerülnek ki. Az id k folyamán minden szegmens nagysága változik. Különböz elképzelések vannak a fel l, hogy mi a szegmensek változásának mozgatórugója különös tekintettel arra a mozgásra, mely az egyik szegmensb l a másikba irányul. Tapasztalatok alapján az innováció-elfogadás mértékének id beli alakulása S-alakú görbét eredményez, azaz kezdetben kevés új terméket vásárolnak az innovátorok (a ROGERS-féle terminológia alapján), majd a korai elfogadók és a korai többség vásárlásai miatt er sen megemelkedik a görbe, végül a kés i többség, de különösen a „lemaradók” vásárlása következtében a görbe ellaposodik. Modellezésre a francia TRADE már 1903-ban is ezt az S-alakú diffúziós görbét ajánlotta [LÁNG (2003)]. Véleménye szerint a vezet , vélemény-irányító egyéneket utánozzák a többiek (opinion leader), de kés bb az S görbén alapuló diffúziós modellek több csoportja is kifejl dött: strukturált, valamint kapcsolati diffúziós hálózatok, melyek az egyén társadalmi kapcsolatain nyugszanak valamint küszöb- és kritikus tömeg modellek, melyek az elfogadók ill. elfogadások mértékét l teszik függ vé az újabb elfogadásokat (VALENTE [1995]). A strukturált diffúziós hálózatok feltevése, hogy az egyes társadalmi csoportok közötti innováció átvételére a kiterjedt gyenge kapcsolatokkal rendelkez személyek alkalmasak. A kapcsolati diffúziós modell szerint az innováció terjedési sebességét a társadalom tagjainak személyes kapcsolatai határozzák meg, ezen belül vannak olyan feltevések, hogy az információk el ször egy meghatározott réteghez jutnak el, csak utána a többiekhez, vagy a csoporton belül az információ állandó sebességgel halad, illetve az ego hálók mérete határozza meg az innováció terjedését, valamint az úgynevezett személyes érintettségi modell, melynek feltételezése, hogy az egyén elfogadását az határozza meg, hogy a személyes környezetében vannak-e jó tapasztalatok. Új termék bevezetésének ilyenfajta vizsgálatához számos szociológiai tanulmány kapcsolódik. A küszöb- és kritikus tömeg modellek vizsgálatához globális adatok szükségesek, melyek a gyakorlatban jobban rendelkezésre állnak, a klasszikus modellek és e modellek kiterjesztései ilyen típusúak, alapjukat a piaci szegmensek méretének id beni változása adja (MAHAJAN és MÜLLER [1979]). Bass-modell A BASS-modell (1969) feltételezi, hogy egy vásárló csak egy egységet vásárol és a teljes, valamint a potenciális piac mérete állandó. (TM(t)=const., TN(t)=m). A tömegkommunikáció hatására vásárolnak kezdetben az innovátorok, és személyes beszélgetés hatására az imitátorok. (Sikeres er feszítések történtek a BASS-modell kiterjesztésére a megszorítások enyhítése érdekében. HEELER [1980].)
95
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK … Az alapfeltételezés szerint annak a valószín sége, hogy új vásárló vásárol egy adott id pontban, az addigi vásárlások lineáris függvénye.
P(t ) =
f (t ) = p + qF (t ), 1 − F (t )
ahol: f(t) F(t) p q
a t id pontban történ vásárlás feltétel nélküli valószín sége, a t id pontig történ vásárlás valószín sége, az innovációra jellemz paraméter (az els vásárlás valószín sége t=0-ban), az imitációra jellemz paraméter
és
F(0) = 0, valamint F(T ) = f ( t )d ( t ) .
T
∫ 0
Adott id pontban a vásárlás valószín sége:
f (t ) = (1 − F (t )) ∗ ( p + qF (t )) = p + ( p − q ) F (t ) − qF (t ) 2 , ahol: adott id pontban a vásárlások:
Y (t ) = mf (t ) és
ahol m a potenciális piac nagysága a termék az adott id pontig az összes vásárlás: N (t ) = mF (t ) , teljes élettartama alatt. Az adott id pontban a vásárlások a fenti egyenletek alapján:
Y (t ) = mp + (q − p ) N (t ) −
q N (t ) 2 m
A termék sikeres q>p esetén. A legnagyobb elfogadás mértékét, Y(tmax), és id pontját, tmax, a kiindulási feltételezésen alapuló összefüggésekb l levezetve alábbiak adódnak:
Y (t max ) =
m( p + q ) 2 4q
t max =
1 q ln( ) p+q p ,
Több adatsor vizsgálata alátámasztotta a gyakorlatban a fenti összefüggések helyességét. Valós id sorok vizsgálatakor a folytonos modell helyett célszer diszkrét id intervallumokat vizsgálni, így a T-edik id intervallumban az új elfogadás valószín sége:
Y (T ) N (T − 1) = p+q m − N (T − 1) m
ahol: Y(T) az új elfogadások száma a t-edik id intervallumban, N(T-1) a t
Y (T ) = mp + (q − p ) N (T − 1) −
q N (T − 1) 2 m
A diffúzióra jellemz paraméterek. p, q, és m meghatározhatók a valós adatsorokból nyert Y(T) és N(T-1) értékpárokra a legkisebb négyzetek módszerével illesztett másodfokú polinommal, hiszen a fenti egyenlet felírható az alábbi formában:
Y (T ) = a + bN (T − 1) + c[ N (T − 1)]2 , ahonnan
96
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK …
m=−
b + b 2 − 4ac 2c
p=
a m
q=p+b
a > 0, b ≥ 0, c < 0 feltételek teljesülése mellett. Valós adatsor alapján meghatározott paraméterek lehet vé teszik a termék jöv beni elfogadásának el rejelzését. Az innováció diffúziójának BASS-féle modelljét eredményesen alkalmazták többféle termékre, különböz országokban, a modell elterjedtségének egyik mutatója, hogy a különböz országokban, többféle termékre meghatározott p és q értékek alapján tanulmányozzák a diffúzió sebességének változását országok és termékek között (BLUTE [2002]). A BASS-modellt alkalmazva egy termékre, a megfigyelés id tartamától függ en eltér eredmények adódnak a f bb paraméterekre. A jelenség magyarázható azzal, hogy a körülmények változnak, ezért elméleti kutatások folynak a BASS-modell sztochasztikus megfogalmazására (NIU [2002]). Sztochasztikus id sormodellek A hagyományos (determinisztikus) id sormodelleknél az id sort a trend (Tt), a szezonális (St) és a véletlen (ut) komponens alkotja, amelyek összekapcsolására leggyakrabban az additív modellt alkalmazzák:
Yt = Tt + S t + u t
Ez a megközelítés felteszi, hogy az id sor összetev i kívülr l adottak, a feladat ezek elkülönítése és becslése. Az eredményül kapott modell hosszú távú elemzésre és el rejelzésre egyaránt alkalmas. Gyakorlati alkalmazásokban m szaki területeken évtizedek óta használják a sztochasztikus id sormodelleket, amelyek az id sor bels struktúrájára összpontosítanak, és a folyamatokat alapvet en a véletlen által vezéreltnek fogják fel. Ennek megfelel en a sztochasztikus id sormodellek az id sort valószín ségi változók diszkrét (és többnyire ekvidisztans) id ben realizálódó sorozataként írják le. A modellezés célja feltárni, hogy a véletlen lökések miként épülnek be a folyamatba, azaz meghatározni az adatgeneráló folyamatot (DGP, Data Generating Process). Ezek a modellek leginkább rövid távú el rejelzésre alkalmasak, az id sor viselkedésére oksági magyarázattal nem szolgálnak. Az utóbbi évtizedekben más területeken, pl. az alkalmazott kvantitatív közgazdaságtan egyik területén, az ökonometriában is sikeresen alkalmazzák rövid távú el rejelzésekre, például árfolyamok, t zsdei papírok er sen ingadozó id sorainak vizsgálatában. Felmerül a kérdés, lehetséges-e az innováció diffúzióját ilyen módon eredményesen modellezni. A legalapvet bb sztochasztikus id sormodell az id sor bels struktúráját az alábbi kérdések megválaszolásával próbálja feltárni: • a vizsgált jelenség függ-e korábbi értékét l, megfigyelhet -e örökl dés (tehetetlenség), amit id ben független véletlen változó zavar, ami maga is beépül a folyamatba (p-edrend autoregresszív modell: AR(p))
Yt = α 1Yt −1 + α 2Yt − 2 + ... + α p Yt − p + u t
•
valamilyen véletlen küls lökések határozzák-e meg a folyamatot, melyek hol felt nnek, hol elhalnak és egy bizonyos id elteltével a folyamat egyáltalán nem emlékszik ezekre a küls hatásokra (q-adrend mozgóátlagolású modell: MA(q))
Yt = u t − β1u t −1 − β 2 ut − 2 − ... − β q u t − q
•
ezen hatások kombinációja figyelhet -e meg (autoregreszív és mozgóátlagolású modell: ARMA(p,q)), esetleg szezonális hatásokkal.
Yt = α 1Yt −1 + α 2Yt − 2 + ... + α pYt − p + u t − β1u t −1 − β 2u t −2 − ... − β q ut − q
Célunk a determinisztikus BASS-modell és a sztochasztikus ARMA modell alkalmazhatóságának vizsgálata el rejelzésre új élelmiszeripari termék esetén. 97
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK … ANYAG ÉS MÓDSZER Az innováció diffúzióját egy élelmiszeripari termék, új ízesítés alkohol kapcsán vizsgáltuk. Rendelkezésünkre álltak a gyártó havi kiszállításai 1995 októberét l 2003 októberéig, ami jelen esetben majdnem egy teljes termék-életgörbét jelent. Az adatsorra adaptáltuk a BASS-modellt, 4 év adatait vettük figyelembe, s a meghatározott paraméterek alapján 4 évre el rejelzést végeztünk. Sztochasztikus modell felírásához a BOX-JENKINS módszert, a számolási munkák egyszer sítése érdekében az EViews ökonometriai programcsomagot alkalmaztuk. Az ex post el rejelzés mintája a 7 éves adatsor havi adatai, az el relejzési periódus 1 év. A stacionaritást az EViews program beépített kiterjesztett DICKEY-FULLER tesztjével ellen riztük. A folyamat valószín jellegét korrelogram alapján határoztuk meg, majd különböz trendet és ARMA-folyamatot feltételezve megvizsgáltuk az illeszkedés és a modell „jóságát” különböz kritériumok alapján. A sztochasztikus el rejelzést összehasonlítottuk a valós adatokkal, valamint a BASS-modell alapján kapott el rejelzéssel. EREDMÉNY ÉS ÉRTÉKELÉS A determinisztikus BASS-modell paramétereire a 4 éves havi adatokat alapul véve (2. ábra): m = 1 425 144 L, azaz ennyi a potenciális piac összes felvev képessége, az innovációs tényez , p = 0,0042 és az imitációs tényez q = 0,043. Átfogó felméréseket végeztek különböz termékek elterjedésének vizsgálatára, melynek során meghatározták különböz termékek BASS-féle paramétereit (LILIEN [1999]). Körülbelül 10 évre vonatkozó adatokat dolgoztak fel s az innovációs tényez re átlagosan 0,040, az imitációs tényez re pedig 0,398-et kaptak. Ezek az értékek egy nagyságrenddel nagyobbak, mint a jelen modellezés eredménye, de a tényez k érzékenyek a mintavételi gyakoriságra, amiben 12-szeres különbség van, mivel mi havi adatokkal dolgoztunk a minél pontosabb el rejelzés érdekében, s nem utolsó sorban azért, hogy a havi adatokat alapul vev sztochasztikus el rejelzéssel össze lehessen hasonlítani a determinisztikus modell eredményét. (Éves adatokon p = 0,048 és q = 0,385, s ez megfelel LILIEN felmérésének is.)
2. ábra Négy éven alapuló Bass-féle el rejelzés
98
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK … A legjobbnak talált sztochasztikus modell a másodrend autoregressziv és másodrend mozgóátlag modell: SARIMA(0,12,0)(2,0,2), melynél 12 hónapos szezonális hatás kisz résével sikerült a modellezés érdekében stacionárissá tenni az adatsort. Megfigyelhet továbbá, hogy 1997. 12. hó és 2001. 12. hó között magasabb volt a kibocsátások átlaga, mint az id sor elején és végén, ezt egy „dummy” változóval kezeltük, s így a trendfüggvény egy három szakaszból álló konstansfüggvény lett, amire jó illeszkedést kaptunk. Az eredeti adatsor és az el rejelzés a 3. ábrán látható.
3. ábra ARMA el rejelzés A kétféle el rejelzés eredményének szemléletes összehasonlítása a 4. ábrán látható.
4. ábra El rejelzések összehasonlítása az utolsó évre
99
KOMÁROMI A., OROVA L.: MATEMATIKAI MODELLEK … Megfigyelhet , hogy az el rejelzett értékek nagyobbak mindkét módszernél, mint a ténylegesek. A sztochasztikus el rejelzés az els négy hónapra jobb közelítést eredményez, mint a BASSmodell, tekintetbe véve azonban azt a tényt, hogy a BASS-modellnek ez a negyedik el rejelzett éve, megállapítható, hogy hosszú távú el rejelzésre ezen élelmiszeripari termék esetén sikeresen alkalmazható a tartós fogyasztási cikkek vizsgálatára kifejlesztett BASS-modell. KÖVETKEZTETÉSEK A viszonylag hosszú távú el rejelzés a determinisztikus Bass-modell segítségével eredményesnek bizonyult, ami els sorban az új termék gyártóinak nyújthat támpontot, forgalmazás szempontjából azonban a sztochasztikus ARMA-modell nyújt inkább megbízható el rejelzést, a havi ingadozásokra érzékenyen. IRODALOM BASS F. (1969): A New Product Growth Model for Consumer Durables Management Science 15 (January), 215-227. HEELER R. M., HUSTAD T. P. (1980): Problems in Predicting New Product Growth for Consumer Durables, Management Science, 26(10) LÁNG S., LETENYEI L., SIKLÓS V. (2003): Információs technológia és helyi társadalom. Budapest, BKÁE, II. kötet 5-28, www.socialnetwork.hu LILIEN G. L., BLUTE M. (1999): Diffusion Models: Managerical Application and Software, ISBM Report 7-1999, Institute for the Study of Business Markets, 7. MAHAJAN V., MÜLLER E. (1979): Innovation Diffusion and New Product Growth Models In Marketing, Journal of Marketing, 233-247. OROVA L.-NÉ, KOMÁROMI, A. (2006): Új termék elfogadásának determinisztikus és sztochasztikus modelljei, Acta Agraria Kaposváriensis, Vol. 10 No 1, 103-111. RAMANATHAN R. (2002): Introductory Econometrics with Application, Panem Könyvkiadó, Budapest, 531-541. ROGERS E. (1995): Diffusion of Innovations Fourth Udition, The Free Press, New York, 263-268. SCHUMPETER J. (1987): Theorie der wirtschaftlichen Entwicklung, Berlin, Drucker & Humblot. SHUN-CHIEN NIU (2002): A stochastic Formulation of the Bass Model of New-Product Diffusion, Mathematical Problems in Engineering, 2002, Vol. 8(3), pp. 249-263; VALENTE T. (1995): Network Models of the Diffusion of Innovations. New Jersey: Hampton Press.
100
