ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit na unášivý posuv po přímce a druhotnou rotaci kolem téže přímky. Tuto přímku nazýváme osou šroubového pohybu (zkráceně osou šroubu). Pro rotačně symetrické těleso se možnost šroubového pohybu zajistí jeho uložením do prostorové rotačně-posuvné vazby realizované dvěma (úzkými) radiálními ložisky, popřípadě jedním širokým radiálním ložiskem. Taková vazba tělesu odebere 4 stupně volnosti, takže šroubový pohyb je pohybem obecně se dvěma stupni volnosti. Jedná se o už zmíněný posuv v ose šroubu a rotaci kolem téže osy. Poznámka: Rovinný pohyb, při kterém se jeden bod tělesa pohybuje po přímce lze v tomto bodě rozložit na unášivý posuv po této přímce a (narozdíl od šroubového pohybu) druhotnou rotaci kolem osy na tuto přímku kolmé. V technické praxi se šroubový pohyb často realizuje přes dotýkající se závitové plochy šroubu a matice (tedy rámu). Jedná se o tzv. šroubovou kinematickou dvojici, jež kromě rotačně-posuvné vazby zajišťuje kinematickou závislost unášivého pohybu a druhotné rotace šroubového pohybu. Šroubový pohyb realizovaný šroubovou kinematickou dvojicí je pohyb pouze s jedním stupněm volnosti, kdy unášivý posuv a druhotná rotace jsou vázány vztahem, definujícím konstantní úhel β stoupání závitu. Rozvineme-li závit
s x
β rϕ 2πr
Obrázek 1: do roviny, máme situaci znázorněnou na obr. 1. Jestliže s [m] je stoupání závitu, r [m] poloměr závitu, x [m] posuv v ose šroubu a ϕ [rad] úhel natočení druhotné rotace kolem osy šroubu, pak zřejmě platí tgβ =
s x = ⇒ x = rtgβ · ϕ . 2πr rϕ
Časovými derivacemi tohoto výrazu dostaneme v = rtgβ · ω ; a = rtgβ · α ,
(1)
kde v resp. a je rychlost resp. zrychlení unášivého posuvu a ω resp. α je úhlová rychlost resp. úhlové zrychlení druhotné rotace šroubového pohybu. 1
Statika šroubové dvojice Nechť šroub je zatížen vnější akcí F~ v ose šroubu (obr. 2), jež způsobí (rovnoměrný) F
1 0 0 1 0 1 0 1
11 00 00 11 00 11 00 11
x, v ϕ, ω
Obrázek 2: pohyb šroubu dolů. Úhlová rychlost formulovaná jako vektor pak (v případě pravého závitu) míří rovněž dolů. Síla F~ vyvolá na elementární plošce závitu elementární nor~ (obr. 3). Tato reakce vyvolá při pohybu šroubu dolů elementární málovou reakci dN
dR ϕ
dN
dA β dT
dB β Obrázek 3: třecí sílu dT~ mířící proti smyslu pohybu, tedy po závitu vzhůru. Zmíněné dva účinky se ~ skloněné proti smyslu pohybu od normáloskládají do elementární výsledné reakce dR, vého směru o třecí úhel ϕ. Pro tento úhel platí tgϕ = f , kde f je koeficient smykového ~ do tření mezi ploškami závitu na šroubu a rámu (matici). Rozložme dále reakci dR ~ a do směru kolmého (tečný směr-složka dB). ~ směru osy šroubu (axiální směr-složka dA) Z obr. 3 je ihned patrno, že (předpokládáme, že β > ϕ) dA = dR cos(β − ϕ) ; dB = dR sin(β − ϕ) .
(2)
Popsaná situace je analogická pro libovolnou plošku (bod) na závitu, po celé jeho účinné délce. Uvažujme nyní jeden závit a podívejme se na něj shora v ose šroubu (obr. 4). Každému bodu B závitu odpovídá jistý protilehlý bod B’. V těchto bodech působí elementární axiální a tečné síly podle obrázku 4. Nahraďme je v ose šroubu (tedy v bodě S na obr. 4). Při přenesení těchto reakcí na rovnoběžné nositelky připojujeme silové 2
B
dA (nahoru) dB
r dB
B
S
, ω
dA (nahoru)
Obrázek 4: dvojice, které se v případě axiálních reakcí u protilehlých bodů B a B’ vyruší a pro případ tečných reakcí se sečtou. Vlastní do bodu S přenesené reakce se naopak v případě axiálních reakcí sečtou a v případě tečných reakcí se vyruší. Výsledkem bude součtová axiální reakce 2dA v ose šroubu a výsledná dvojice, jejíž moment míří dolů v ose šroubu a má velikost 2rdB. Protože veličiny r (poloměr závitu), β (úhel stoupání závitu) a ϕ (třecí úhel), jsou v každé plošce závitu stálé, dostáváme odtud integrací přes všechny činné plošky závitu vzhledem k (2), že náhradou popisovaných účinků v ose šroubu je vzhůru jdoucí osová síla o velikosti A = R cos(β − ϕ) a silová dvojice, jejíž moment míří ~ = R dR ~ v ose šroubu dolů a má velikost MA = Rr sin(β − ϕ). V těchto výrazech je R výsledná reakce, přenášená všemi činnými ploškami závitu při rovnoměrném pohybu šroubu dolů. Vyloučením reakce R z popisovaných výrazů pro A a MA dostáváme vztah MA = Artg(β − ϕ) .
(3)
Nechť šroub je zatížen svislou akční silou F~ v ose šroubu. Tato síla vyvolá výše popsané reakční účinky (nahrazené rovněž v ose šroubu). Hledejme vnější akční silovou dvojici o momentu M v ose šroubu pro rovnoměrný pohyb šroubu dolů. Ze složkové a momentové podmínky do osy šroubu ihned plyne A = F ; MA = M , takže podle (3) pro velikost momentu pro rovnováhu platí M = F rtg(β − ϕ) .
(4)
Tento moment míří proti reakčnímu momentu, tedy vzhůru. Argument tangenty ale může být záporný. V takovém případě by moment M mířil dolů. Záleží na relaci mezi úhlem stoupání závitu β a třecím úhlem ϕ. Je-li β > ϕ (tedy malé tření), šroub se pod působením (libovolně malé) osové síly F samovolně roztáčí a moment M o velikosti (4) pro rovnováhu míří skutečně vzhůru. Jestliže platí relace opačná (tedy velké tření), šroub se samovolně (ani pod působením jakkoliv velké síly) nedá do pohybu. Pro rovnováhu při rovnoměrném pohybu dolů je potřeba připojit moment o velikosti (4), ovšem opačné orientace, mířící rovněž dolů. Tento stav je běžný u šroubových spojů. Teoretický případ rovnosti β = ϕ znamená stav rovnováhy na mezi pohybu oběma směry bez připojení akčního momentu. Poznámka: Jestliže by šroub byl zatížen obecným zatížením, pak výše popsané jevy odpovídají osovým složkám výsledné vnější akční síly a momentu. Ostatní složky vnějšího akčního zatížení vyvolají reakce v rovinách kolmých na osu šroubu a představují v příslušných rovnicích rovnováhy celkem čtyři neznámé. 3
Dynamika šroubového pohybu Šroubový pohyb rozložíme na unášivý posuv po ose šroubu se zrychlením ~a a druhotnou rotaci kolem téže osy úhlovým zrychlením α ~ a úhlovou rychlostí ω. Setrvačné účinky jsou superpozicí setrvačných účinků od unášivého posuvu a od druhotné rotace. ~ = −m~a (m je hmotnost šroubu) působící Od unášivého posuvu jde o setrvačnou sílu D v těžišti šroubu (ve směru osy šroubu, proti smyslu kótování zrychlení posuvu)-obr.5.
x
11 00 00 11 00 11 00 11
me α
0 S
Iα α
ma
0110 10
me ω2
z
v, a
y ω, α Obrázek 5: Jestliže šroub je těleso osově souměrné, je tato osa souměrnosti pro libovolný počátek hlavní osu setrvačnosti šroubu. Setrvačnými účinky od druhotné rotace jsou proto silová ~ D = −I~ dvojice M α (I je osový moment setrvačnosti šroubu k jeho ose) ve směru osy šroubu proti smyslu kótování úhlového zrychlení rotace, dále tečná setrvačná síla velikosti meα a odstředivá síla velikosti meω 2 (e je excentricita těžiště šroubu), vznikající od kruhového pohybu těžiště S šroubu. Obě síly jsou nahrazeny v bodě O-viz obr.5. Velmi důležitý speciální případ tvoří stav, kdy e = 0. Tento případ nastává např. tehdy, když osově symetrický šroub je navíc homogenní. Oba silové setrvačné účinky ~ (i setrvačná dvojice M ~ D ) pak půod druhotné rotace se pak anulují. Setrvačná síla D sobí v ose šroubu. Ve všech případech jsou vlastními pohybovými rovnicemi složková a momentová podmínka dynamické rovnováhy k ose šroubu. Pro určení kinetické energie se omezujeme pouze na případ, kdy e = 0. Popisovaný rozklad pohybu je (základní) rozklad v těžišti, takže platí pro něj Königova věta. Podle ní je 1 Ek = (mv 2 + Iω 2 ) . 2
(5)
Příklad Homogenní symetrický šroub je spojen šroubovou kinematickou s rámem (maticí). Osově je zatížen výslednou silou F a výslednou dvojicí o momentu M -obr.6. Šroub má 4
F
11 00 00 11 00 11 00 11
ma Iα
1 0 0 1 0 1 0 1 v, a
A
MA M ω, α Obrázek 6: hmotnost m, moment setrvačnosti ke své ose I, poloměr závitu r, úhel stoupání závitu β a třecí úhel mezi plochami závitů ϕ. Určete zrychlení ~a posuvu šroubu. ~ působící dolů (viz obr.6). Rychlost a zrychlení Řešení: Uvažujme sílu F~ i moment M unášivého posuvu kótujeme kladně rovněž dolů, stejně jako úhlovou rychlost a úhlové zrychlení druhotné rotace (pravý závit). Popsané statické akce vyvolají v ose šroubu vzhůru mířící reakci A a dolů mířící reakční moment MA , pro který platí (3). Dynamic~ velikosti D = ma a vzhůru mířící kými účinky jsou vzhůru mířící osová setrvačná síla D ~ setrvačný moment MD velikosti MD = Iα. Protože statické i dynamické zatížení je pouze v ose šroubu, jsou všechny (čtyři) reakce v rovinách kolmých na osu šroubu nulové. Jediné dvě netriviální podmínky dynamické rovnováhy jsou tedy složková a momentová podmínka do osy šroubu. Tyto podmínky tvoří zároveň vlastní pohybové rovnice. Mají tvar složková : momentová :
ma + A − F = 0 ,
Iα − MA − M = 0 .
(6) (7)
Dosadíme-li do (7) za MA z (3) a za α z (1), dostaneme I
a − M = Artg(β − ϕ) . rtgβ
Dosazením za A a (6) vznikne I
a − M = (F − ma)rtg(β − ϕ) , rtgβ
odkud úpravou a = rtgβ
M + F rtg(β − ϕ) . I + mr2 tgβtg(β − ϕ)
(8)
Jestliže F =konst i M =konst, je i a =konst a pohyb šroubu je rovnoměrně zrychlený nebo zpožděný (eventuálně rovnoměrný). Protože pro reálné relace mezi β a ϕ je jme5
novatel zlomku (8) kladný, rozhoduje o kvalitě pohybu šroubu znaménko čitatele tohoto zlomku. Pro M > −F rtg(β − ϕ) = F rtg(ϕ − β)
se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený. Pro opačnou relaci se jedná o pohyb rovnoměrně zpožděný (popřípadě rovnoměrně zrychlený v opačném smyslu - situace by závisela na počátečních kinematických podmínkách šroubu). Je-li M = F rtg(ϕ − β) ,
(9)
je a = 0 a tedy se jedná o rovnoměrný pohyb šroubu. Je-li šroub samosvorný (v praxi skoro vždy), je ϕ > β a moment (9) je moment, kterým způsobíme pohyb šroubu konstantní rychlostí dolů. U nesamosvorného šroubu je ϕ < β a moment (9) vychází záporný. Tímto momentem pak musíme rozběhnutý šroub brzdit pro zajištění jeho rovnoměrného pohybu dolů.
Obecný prostorový pohyb Tento pohyb rozložíme ve vhodném referenčním bodě A na unášivý posuv se zrychlením ~aA a druhotný sférický pohyb s centrem A. Setrvačné (dynamické) účinky od tohoto pohybu jsou pak superpozicí setrvačných účinků od obou dílčích pohybů. Jsou to tyto účinky: ~ = −m~aA působící v těžišti tělesa. 1. Od unášivého posuvu setrvačná síla D ~ r = −m~aSr působící v centru 2. Od druhotného sférického pohybu setrvačná síla D A sférického pohybu. Veličina ~aSr vyjadřuje relativní zrychlení těžiště tělesa při druhotném sférickém pohybu. ~ D . Tuto dvojici vyjadřujeme 3. Od druhotného sférického pohybu setrvačná dvojice M pro případ osově symetrického tělesa (kdy osa symetrie je pro jakékoliv centrum sférického pohybu na ní ležící hlavní osou setrvačnosti) v souřadnicové soustavě ξ, η, ζ, vůči které těleso už pouze rotuje a která vůči soustavě x, y, z, pohybující se s referenčním bodem A unášivým posuvem, vykonává pouze precesi a nutaci. Složky této setrvačné dvojice ve zmíněné soustavě jsou vyjádřeny Eulerovými dynamickými rovnicemi (viz téma Sférický pohyb). Poznámka: Jestliže referenčním bodem A popisovaného základního rozkladu je těžiště ~ r. tělesa, odpadá síla D Technicky velmi důležitým speciálním případem je prostorový pohyb rotačně symetrického homogenního tělesa, hmotnosti m a momentu setrvačnosti I0 k ose symetrie, skládající se ze dvou rovnoměrných rotací kolem mimoběžných (obecně nekolmých) os. Osa o1 (obr.7) je trvale v klidu. Je osou rotace kolem které rotuje stálou úhlovou rychlostí ω1 (pevně s o1 spojená) k o1 kolmá příčka délky OA = b (obr.7). Zároveň s touto příčkou kolem o1 rotuje (pevně s ní spojená) v rovině k ní kolmé ležící osa o2 .1 Osa o2 svírá s mimoběžnou kolmicí k o1 úhel β. Kolem popsané pohyblivé osy o2 rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω2 (homogenní osově symetrické) těleso, jehož 1
Jde o speciální případ mimoběžných nekolmých os. Pokud by nastal případ obecný a osa o2 by neležela v rovině kolmé k příčce, neovlivnilo by to kvalitu unášivého ani druhotného pohybu. Pouze nutační úhel by se neurčil tak jednoduše, jak je uvedeno níže v textu.
6
, z=z o1 η
0110 01 10 1010
. (ω 1 ) = ψ
ω1
.
D
, x=ξ
υ A .
. ω2 = ϕ β Dr
T
o2 = ζ
c
b
0
Obrázek 7: těžiště T leží (na ose o2 ) ve vzdálenosti AT = c (obr.7.) Popíšeme setrvačné účinky na takové těleso působící. Popsaný pohyb rozložíme v referenčním bodě A na unášivý posuv po kružnici, charakterizovaný úhlovou rychlostí ω1 , a druhotný sférický pohyb s centrem v bodě A. Tento sférický pohyb se skládá z rovnoměrné precese úhlovou rychlostí ψ˙ = ω1 (”přeloženou” z osy o1 na rovnoběžnou osu z-viz obr.7) a z rovnoměrné vlastní rotace úhlovou rychlostí ω2 = ϕ˙ kolem osy o2 = ζ při konstantním nutačním úhlu ϑ = π2 − β. Protože nutace sférického pohybu je rotací kolem x′ ≡ ξ (viz téma Sférický pohyb), při které osa z ′ (≡ z) přechází do polohy ζ, je zřejmě osa ξ výše uvedené souřadnicové soustavy ξ, η, ζ prodloužením příčky OA (obr.7). Příslušnou osu η pak k osám ξ a ζ doplníme tak, aby soustava byla pravoúhlá a pravotočivá. Setrvačné účinky na těleso jsou pak následující. 1. Od rovnoměrného unášivého posuvu po kružnici v těžišti tělesa působící odstředivá ~ = −m~an , kde ~an je dostředivé zrychlení kruhového pohybu bodu A o síla D velikosti an = bω12 . Zmíněná síla má tedy směr příčky OA a míří ”ve smyslu od bodu O k bodu A”. 2. Setrvačné účinky od výše popsaného druhotného sférického pohybu. Tyto účinky jsou následující. ~ r od precesního pohybu těžiště po kružnici poloměru c cos β (a) Odstředivá síla D úhlovou rychlostí ω1 . Tato síla je nahrazena v centru sférického pohybu. Její velikost je Dr = mω12 c cos β, směr kolmý na rovinu ξz ”ve smyslu od bodu A” (obr.7). (b) Rozšířený (první) gyroskopický moment, jenž působí v kladném smyslu kolem osy ξ. Jeho velikost je (viz téma Sférický pohyb) MDξ = (I − I0 )ψ˙ 2 sin ϑ cos ϑ − I0 ψ˙ ϕ˙ sin ϑ = ω1 cos β[(I − I0 )ω1 sin β − I0 ω2 ] , (10) 7
kde I je moment setrvačnosti tělesa k (libovolné) ose kolmé k ose jeho symetrie procházející bodem A. Poznámky: 1. V jistém smyslu výhodnější by byl rozklad výše popsaného prostorového pohybu √ přímo v těžišti T tělesa na unášivý posuv po kružnici poloměru ρ = b2 + c2 cos2 β úhlovou rychlostí ω1 a druhotný sférický pohyb s centrem v těžišti tělesa. Osy souřadnicové soustavy ξ, η, ζ příslušející k tomuto sférickému pohybu budou rovnoběžné s osami stejných označení pro výše sledovaný sférický pohyb, počátek soustavy ovšem bude těžiště tělesa T. Protože centrum sférického pohybu je tě~ r nulová. Atributy setrvačné dvojice budou žištěm tělesa, bude setrvačná síla D analogické jako výše. Setrvačné účinky na těleso nyní budou tedy pouze dva. ~ od unášivého posuvu o velikosti D = mρω12 působící v (a) Setrvačná síla D těžišti ve směru úsečky označující nejkratší vzdálenost těžiště T od osy o1 , ”ve smyslu od osy o1 ”. (b) Rozšířený první gyroskopický moment tvaru (10), kde I je nyní osový moment setrvačnosti tělesa k (libovolné) ose kolmé na o2 , jež ale prochází těžištěm tělesa. 2. Zmíněné setrvačné účinky jsou uváděny do rovnováhy dynamickými složkami reakcí v prostorové rotační vazbě tělesa k ose o2 , popřípadě dynamickými složkami reakcí v prostorové rotační vazbě tělesa k ose o1 . ~ zůstává beze 3. Speciálně pro případ kolmých mimoběžných os je β = 0. Síla D 2 ~ r je mcω1 a velikost gyroskopického momentu je MDξ = změny. Velikost síly D = −I0 ω1 ω2 (tedy záporně kolem osy ξ.)
8
