Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet stupňů volnosti tělesa v Euklidovském prostoru je i = 6° Typy pohybů v rovině (2D): posuvný rotační obecný rovinný (ORP) Pohyby v prostoru (3D) sférický šroubový pohyb obecný prostorový
Posuvný pohyb tělesa definice: 2 nerovnoběžné přímky nemění svůj směr trajektorie všech bodů jsou shodné navzájem posunuté křivky v každém okamžiku jsou rychlosti a zrychlení všech bodů těles navzájem stejné existují dva pohyby: přímočarý posuvný křivočarý posuvný
posuvný křivočarý
rotační
Posuvný pohyb – kinematika Posuvný pohyb je určen pohybem jednoho bodu dva body tuhého tělesa A, B polohový vektor bodu B je dán rovnicí rB = rA + rBA (1) rBA má konstantní směr i velikost, vBA = rɺBA = 0 rychlost je dána derivací vektorové rovnice (1)
vB = rɺB = v A zrychlení je dáno derivací vB
aB = vɺB = a A
Posuvný pohyb – kinematika Pokud všechny body tělesa mají v daném okamžiku pohybu shodné kinematické veličiny, pak stačí určit kinematické veličiny 1 bodu (rychlost a zrychlení) k výpočtu použijeme vztahy pro přímočarý resp. křivočarý pohyb
Rotační pohyb tělesa jedna přímka tělesa zůstává trvale v klidu = osa rotace (otáčivý pohyb – osa otáčení) trajektorie všech bodů jsou kružnice ležící v rovinách kolmých k ose rotace a mají střed na této ose, soustředné kružnice rotační pohyb je pohybem rovinným (vyšetřujeme v rovině kolmé k ose rotace)
Rotační pohyb – kinematika rotační pohyb je určen úhlem φ ϕ = ϕ ( t ) úhlová rychlost [
s-1
]
úhlové zrychlení [ s-2 ]
dϕ ω= = ϕɺ dt
dω d 2ϕ α= = ωɺ = 2 = ϕɺɺ dt dt
d (ω 2 )
ω dω α= = 2dϕ dϕ
Rotační pohyb – pohyb obecného bodu Pohyb obecného bodu A tělesa vyjádříme v souřadnicovém systému základního prostoru (0,x,y) s pomocí souřadnic bodu A v prostoru tělesa (0,ξ,η). Uvažujeme, že počátek obou souřadnicových systémů je shodný. ϕ = ϕ ( t ) určuje pohyb tělesa. x = ξ cos ϕ − η sin ϕ , y = ξ sin ϕ + η cos ϕ ,
(1)
Rotační pohyb – pohyb obecného bodu Rychlost obecného bodu A má složky v x = − (ξ sin ϕ + η cos ϕ ) ϕɺ , v y = (ξ cos ϕ − η sin ϕ ) ϕɺ ,
Zrychlení obecného bodu a x = − (ξ sin ϕ + η cos ϕ ) ϕɺɺ − (ξ cos ϕ − η sin ϕ ) ϕɺ 2 , a y = (ξ cos ϕ − η sin ϕ ) ϕɺɺ − (ξ sin ϕ + η cos ϕ ) ϕɺ 2 .
kde ϕɺ = ω je úhlová rychlost ϕɺɺ =α = ωɺ je úhlové zrychlení
Rotační pohyb -rotace kolem pevné osy vektorové vyjádření
Úhel pootočení, úhlová rychlost a úhlové zrychlení – jsou vektory ležící na ose rotace ϕ = ϕe
ω = ϕɺ = ϕɺ e α = ωɺ = ϕɺɺ = ωɺ e = ϕɺɺe e je jednotkový vektor na ose o, orientovaný tak, že při pohledu proti
němu se jeví narůstání úhlu v kladném smyslu (proti smysli chodu hodinových ručiček Rychlost bodu rotujícího tělesa v = dr = ω × r dt i v = ω × r = ωx x
j
k
y
z
ω y ω z = ( zω y − yω z ) i + ( xω z − zω x ) j + ( yω x − xω y ) k
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí i
j
k
v = ω × r = 0 0 ω = − yω i + xω j x
y
0
Zrychlení bodu rotujícího tělesa
a=
kde α × r = at je tečné zrychlení ω × v = a je normálové zrychlení n
dv dv = α ×r +ω×v dt
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy dv a= = α ×r +ω×v dt
Složky vektoru zrychlení vyjádříme obdobně jako u rychlosti: : i
j
k
x
y
z
i
j
k
vy
vz
at = α × r = α x
an = ω × v = ω x vx
α y α z = ( zα y − yα z ) i + ( xα z − zα x ) j + ( yα x − xα y ) k
ω y ωz = ( vz ω y − yωz ) i + ( vxω z − zω x ) j + ( v yω x − xω y ) k
Rotační pohyb – rotace kolem pevné osy Je-li osa otáčení totožná s osou z (rovinný případ), platí i
j
k
at = α × r = 0 0 α = ( − yα z ) i + ( xα z ) j x
y
0
i
j
k
an = ω × v = 0
0
ω = ( −v y ω ) i + ( vx ω ) j
vx
vy
0
Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření Rovinný případ: vyjdeme z rovnic (1) pro analytické vyjádření polohy bodu rotujícího těles
r = Tρ x kde r = je polohový vektor bodu v základním prostoru, y ξ ρ = je polohový vektor bodu v prostoru tělesa, η cos ϕ T= sin ϕ
− sin ϕ je transformační matice rotačního pohybu cos ϕ
Kinematika rotačního pohybu v maticovém vyjádření Rychlost je dána derivací polohového vektoru
ɺ v = rɺ = Tρ kde
vx v= vy
− sin ϕ ɺ T= cos ϕ
je vektor rychlosti bodu v základním prostoru, − cos ϕ ω − sin ϕ
Zrychlení je dáno derivací vektoru rychlosti
ɺɺ a = ɺɺ r = Tρ − cos ϕ ɺɺ T= − sin ϕ
sin ϕ 2 − sin ϕ ω + − cos ϕ cos ϕ
− cos ϕ α − sin ϕ
