ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER PADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI
(Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)
Oleh: Eko Suharto [NRP. 1309201708] Pembimbing: Dr. Sutikno, S.Si, M.Si Dr. Purhadi, M.Sc Januari 2011
Latar L t Belakang B l k Apa yang diukur Data Spasial ?? Informasi Lokasi Informasi Lokasi
Type Data Spasial: 1. Point Patern: Menggunakan longitude dan Latitude 2. Geostatistikal Data (Garis): Spasial Surface, Geologi 3. Lattice Data: Menggunakan Area, Wilayah Administrasi
Latar Belakang L t B l k Model Regresi g OLS
Asumsi-Asumsi
Pelanggaran Asumsi Pengujian Efek Spasial Regresi Spasial Spasial Dependensi Hukum Tobler :Everything is related to everything else, but near thing are more related than distant things. Segala sesuatu saling berhubungan satu dengan y g yang lainnya, tetapi sesuatu yang dekat lebih mempunyai pengaruh daripada y p y g p y p g p sesuatu yang jauh.
Latar Belakang L t B l k 3. Pengujian efek spasial menjadi penting, karena mengabaikannya menyebabkan estimasi tidak effisien dan kesimpulan menjadi tidak tepat. Terdapat beberapa uji yang digunakan untuk mendeteksi adanya dependensi spasial dalam model yaitu, uji Wald, uji j Moran’s I, dan uji j Lagrange g g Multiplier (LM). 4. Salah satu statistik uji yang digunakan adalah Uji Lagrange Multiplier. Diawali oleh Silvey 1959, kemudian dikembangkan oleh Breusch, T.S. dan A.R. Pagan (1980) Burridge (1980), dan Anselin(1988). 5. Dengan menggunakan pendekatan yang dilakukan oleh Bera dan Yoon (1993), Anselin (1996) melakukan suatu modifikasi terhadap uji LM pada model dependensi spasial yang disebut uji Robust LM.
Latar Belakang L t B l k 6. Kejadian kematian bayi dalam suatu wilayah mencerminkan bagaimana kondisi kesehatan masyarakat didalamnya. Peningkatan kesehatan ibu dan bayi di Indonesia adalah salah satu komitmen Departemen Kesehatan melalui penerapan Rencana Pengurangan g g Angka g Kematian dan Kesakitan Ibu dan Bayi. Faktor Pendidikan: 1. Lama Sekolah
Faktor Ekonomi: 1. Penduduk Miskin 2. Pertumbuhan Ekonomi
Angka Kematian Bayi Faktor Kesehatan: 1. Penolong Kelahiran 2. ASI Ekslusif 3. Imunisasi Dasar
Faktor Lingkungan: 1. Air Bersih
Kerangka hubungan variabel penelitian terhadap Angka Kematian Bayi
Perumusan Masalah P M l h 1. Bagaimana menyusun algoritma dan program untuk statistik uji LM dan Robust LM pada model regresi spasial dependensi? 2. Faktor‐faktor apa saja yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur?
Tujuan Penelitian 1. 2.
Menyusun algoritma dan program untuk statistik uji LM dan Robust LM pada model regresi spasial dependensi. Mendapatkan p faktor‐ faktor y yang mempengaruhi g p g angka g kematian bayi di Provinsi Jawa Timur.
Manfaat Penelitian 1. Mengembangkan wawasan mengenai statistik uji LM dan Robust LM pada d model d l regresii spasial i l dependensi. d d i 2. Mengetahui faktor‐ faktor apa saja yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur.
Batasan Penelitian Dalam Penelitian ini masalah dibatasi p pada mengkaji g j p pengujian g j model regresi spasial dengan keberadaan korelasi error spasial menggunakan statistik uji LM dan Robust LM untuk mengetahui adanya dependensi spatial. Dependensi spasial dalam hal ini meliputi spatial lag model dan spatial error model. Matrik penimbang spasial yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan matrik penimbang spasial yang sama baik untuk spasial lag maupun spasial error.
Model M d l Regresi R i OLS Model:
,
dimana ,
adalah vektor berukuran vektor k b berukuran k
dan
, matriks berukuran
, dan d vektor k b berukuran k
Matriks mempunyai rank kolom penuh , dimana
.
Model Umum Regresi Spasial Model:
y = ρ W 1y + X β + u u = λ W 2u + ε ε ∼ N (0,σ
2
I)
y : vektor berukuran p x 1, ρ : koefisien dari variabel dependen spasial lag. u : vektor error, , W: matrik terbobot dengan ukuran nxn. β : vektor kx1 parameter regresi. X : matrik berukuran nxk variabel prediktor λ : koefisien dalam struktur spasial autoregressive
Regresi Spasial 1. Model regresi linier OLS, diperoleh apabila nilai ρ = 0 dan λ = 0 dimana model General spatial model berubah menjadi:
y = Xβ + ε 2 Model Dependensi Spasial Lag atau Spasial Autoregresi (Spatial 2. Autoregressive Model), diperoleh apabila nilai ρ ≠ 0 dan λ = 0 sehingga modelnya menjadi:
y = ρ W 1y + X β + u 3. Model Korelasi Error Spasial atau Spasial Error (Spatial Error λ≠0 Model d l), ) diperoleh d l h apabila b l nilai l ρ = 0 dan d sehingga modelnya menjadi:
y = Xβ + u u = λ W 2u + ε
Regresi Spasial Model Spasial Lag:
y = ρ W 1y + X β + u Fungsi likelihood untuk model spasial lag:
Ln likelihood untuk model spasial lag:
Regresi Spasial Model Spasial Error:
y = Xβ + u u = λ W 2u + ε Fungsi likelihood untuk model spasial error:
Ln likelihood untuk model spasial error:
Matriks Pembobot Matriks Penimbang pada Spasial Area ( LeSage, 1999),diantaranya: 1. Rook Contiguity (Persinggungan sisi); 2. Bhisop Contiguity (Persinggungan sudut); 3 Queen Contiguity (persinggungan sisi 3. sisi-sudut); sudut); Wilayah 1
Wilayah 3
Wilayah 2 Wilayah 4
Wilayah 5
Contoh Konfigurasi Persinggungan dalam Penyusunan Matrik Penimbang Spasial
g g Multiplier p Lagrange Misalkan ada suatu fungsi likelihood merupakan fungsi dari
dan fungsi ln likelihood
yang
parameter vektor . Dari fungsi ln likelihood
akan
diperoleh suatu maximum likelihood estimator untuk , yaitu . Maka akan ada suatu fungsi lagrangian sebagai berikut: Turunan pertama dari fungsi lagrangian tersebut terhadap parameter dan akan menghasilkan: dimana, merupakan merupakan
vektor
lagrange multiplier
, merupakan
matriks
g g Multiplier p Lagrange Breusch dan Pagan pada tahun 1980 mendefinisikan statistik uji LM sebagai berikut: merupakan elemen dari matriks informasi berukuran k x k yang elemen didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing‐masing parameter didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing masing parameter yang diestimasi: Jika benar maka statistik uji LM diatas akan mengikuti distribusi dan akan ditolak jika nilai statistik LM lebih besar dari dan akan ditolak jika nilai statistik LM lebih besar dari .
g j g Pengujian Asumsi Regresi Pengujian kehomogenan varians menggunakan uji Glejser yaitu meregresikan antara harga mutlak residual dengan variabel independen, bentuk persamaannya (Gujarati,2004). Hipotesis yang digunakan dalam uji Glejser yaitu: adalah: minimal ada Jika pengujian individu terhadap koefisien parameter nilai dapat dikatakan residual masih bergantung pada variabel independen minimal ada nilai (terjadi heteroskedastisitas)
maka sehingga
Uji k kenormalan l d data t menggunakan k statistik t ti tik uji ji Kolmogorov K l Smirnov S i (KS) dengan hipotesis: residual berdistribusi normal residual tidak berdistribusi normal Nilai KS ditentukan oleh: i = 1,2,…,n merupakan fungsi distribusi frekwensi kumulatif relatif dari Dimana di t ib i teoritis distribusi t iti dibawah dib h . Sedangkan S d k merupakan k di distribusi t ib i frekwensi f k i kumulatif pengamatan sebanyak sampel. Tolak jika p-value <α
g j g Pengujian Asumsi Regresi Otokorelasi residual dapat terjadi jika ada hubungan antara residual yang tersusun secara runtutan waktu (pada data time series) atau dalam rangkaian ruang (pada data cross section). Hipotesis yang digunakan yaitu: Tidak terjadi otokorelasi residual Terjadi otokorelasi residual Statistik uji yang digunakan adalah Durbin Watson test yang dinotasikan sebagai:
adalah nilai statistik uji Durbin Watson, adalah error pada pengamatan ke t dan adalah error pada pengamatan ke t-1.
g Konseptual p Kerangka Hitung OLS Regresi Lakukan Uji Efek Spasial g j Dengan Statistik Uji LM
Tidak
Keduanya tidak Si Signifikan ifik
Apakah Signifikan? Ya Ya, Keduanya Signifikan?
Tidak
Tidak
Ya
Ya Model OLS
LM‐Lag Signifikan?
Lakukan Uji Efek Spasial dengan dengan Statistik uji Robust LM
Robust LM‐ Lag Lag Signifikan?
Tidak
Ya SLM
SEM
SLM
SEM
Metode Penelitian Sumber data : Indikator Makro dan Data Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) Propinsi Jawa Timur Tahun 2008. Variabel yang digunakan yaitu: A k Kematian Angka K ti Bayi B i per kabupaten k b t di Provinsi P i i Jawa J Ti Timur (Y) Persentase rumah tangga dengan sumber air bersih (X1), Rata-rata lama sekolah (X2), Persentase penolong kelahiran dari tenaga medis (X3), ) Persentase penduduk miskin (X4), Rata-rata lama pemberian ASI eksklusif (X5), Persentase imunisasi dasar (X6), ) dan Laju pertumbuhan ekonomi (X7)
Metode Penelitian Metode analisis yang digunakan dalam mencapai tujuan penelitian ini yaitu : 1. Menyusun Menyusun algoritma algoritma dan dan matlab matlab code untuk untuk statistik statistik uji uji LM LM dan dan Robust LM serta untuk estimasi parameter model regresi spasial berdasarkan tahapan berikut ini: (i) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial lag: a Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood a. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi c. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu: (ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error: a. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi c. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu: M d tk t ti tik ji LM t t t k d l i ll it
Metode Penelitian Tahapan inferensi dalam menurunkan statistik uji Robust LM: (i) Menurunkan M k statistik t ti tik uji ji LM LM untuk t k model d l spasial i l llag d dengan adanya d spasial error a. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial lag b. Mendapatkan uji Robust LM untuk model spasial lag dengan adanya spasial error (ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error dengan adanya spasial lag: a Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial error a. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial error b. Mendapatkan uji Robust LM untuk Model spasial error dengan adanya spasial lag
Metode Penelitian Tahapan dalam menyusun estimasi parameter model regresi spasial: (i) Model spasial lag (SLM) a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi yaitu:
dan menyamakan dengan nol.
b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood: c. Mencari nilai yang dapat memaksimumkan fungsi concentrated ln likelihood tersebut. d Mencari nilai estimasi parameter untuk : d. Mencari nilai estimasi parameter untuk , dan
Metode Penelitian (i) Model spasial error (SEM) a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi yaitu diestimasi yaitu:
,dan dan
dan menyamakan dengan dan menyamakan dengan
nol b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood: c. Menghitung nilai untuk , ,
dan estimasi likelihood untuk d. Hitung nilai vektor residual ML: e. Jika < 0.0001 maka kekonvergenan tercapai f Hitung nilai estimasi untuk f. Hitung nilai estimasi untuk :
Metode Penelitian 2. Menentukan faktor‐faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur : a. Melakukan pemodelan Angka Kematian Bayi dengan metode regresi klasik (OLS). b Melakukan b. M l k k pengujian ji asumsi i model d l regresi i kl klasik, ik yaitu i uji ji linieritas, tidak terjadi otokorelasi, uji kesamaan varian, dan error yang berdistribusi normal. c Melakukan c. Melakukan identifikasi identifikasi awal awal model model regresi regresi spasial spasial dengan Statistik Uji dengan uji LM dan uji Robust LM dalam melihat efek dependensi spasial. d Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktor d. Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktor dengan regresi spasial lag atau regresi spasial error. e. Melakukan interprestasi hasil dari model regresi spasial.
Hasil dan Pembahasan Uji LM Lag: Hipotesis yaitu . Statistik uji LM untuk spasial lag adalah: j p g Dimana Uji LM Error Hipotesis yaitu vs . St ti tik ji LM t k Statistik uji LM untuk spasial error adalah: i l d l h
Dimana Dibawah , maka statistik uji mengikuti distribusi k d b
dan
didistribusikan asimptotis
Hasil dan Pembahasan Uji Robust LM Lag Bera dan Yoon (1993) menyarankan penggunaan modifikasi pada statistik uji LM di LM, dimana pada d saat t melakukan l k k pengujian ji tterhadap h d d dan demikian pula sebaliknya. Modifikasi terhadap statistik uji LM Lag sebagai berikut:
Apabila matrik penimbang spasial
, maka
ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag. ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag
akan menjadi:
Hasil dan Pembahasan Uji Robust LM Error Untuk pengujian hipotesis dimana modifikasinya menjadi: difik i j di
dan
maka
Apabila matrik penimbang spasial menjadi:
, maka
ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Error ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Error Kedua statistik uji Robust LM mengikuti distribusi
.
akan
Hasil dan Pembahasan Algoritma adalah urutan langkah logis tertentu untuk memecahkan suatu masalah. Yang ditekankan adalah urutan langkah logis, yang berarti algoritma harus mengikuti suatu urutan tertentu, tidak boleh melompatlompat. **Algoritma Statistik Uji LM dan Robust LM** **Algoritma Estimasi Parameter Model Spasial** ** Graphical User Interface Model Regresi Spasial**
Hasil dan Pembahasan Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Regresi OLS t_hitung p‐value Variabel Estimasi Parameter ( ) Konstan 97,878 , 19,85 , 0,000 , Lama Sekolah (X2 ) ‐1,6101 ‐1,82 0,078 Persalinan Medis (X3 ) ‐0,3681 ‐2,92 0,006 Asi Ekslusif (X5 ) ) Asi Ekslusif (X ‐3,9240 3,9240 ‐2,50 2,50 0,018 Imunisasi Dasar (X6 ) 0,1555 ‐2,68 0,013 PPengujian Asumsi Regresi: ji A iR i 1. Uji gletser: Tidak terjadi Heteroskedastisitas pada errornya 2. Uji Normalitas: diperoleh errornya mengikuti distribusi normal 3. Uji Durbin Watson: Terjadi Otokorelasi Uji Durbin Watson: Terjadi Otokorelasi pada errornya pada errornya
Hasil dan Pembahasan Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji LM g p gg j No Jenis Statistik Uji 1 Statistik uji LM‐lag 2 Statistik uji LM‐error
Nilai 4,2647 11,2549
P‐ Value 0,0389 0,0007
Kesimpulan Tolak H0 Tolak H0
Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji Robust LM g p gg j No Jenis Statistik Uji 1 Statistik uji robus LM‐lag 2 statistik uji robust LM‐error
Nilai P‐ Value 0,1652 0,6844 7,1554 0,0075
Kesimpulan Gagal Tolak H0 Tolak H0
Hasil dan Pembahasan Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Spasial Error Variabel Estimasi Parameter ( ) t_hitung p‐value Konstan 95,6928 17,4157 0,0000 Lama Sekolah (X2 ) ‐1,9961 ‐2,9533 0,0031 P Persalinan Medis (X li M di (X3 ) ‐0,2912 0 2912 ‐2,9305 2 9305 0,0034 0 0034 Asi Ekslusif (X5 ) ‐3,8249 ‐2,9839 0,0028 Imunisasi Dasar (X6 ) ‐0,2074 ‐4,1443 0,0000 Lambda Lambda 0 5291 0,5291 3 7977 0,0001 3,7977 0 0001
Persamaan regresi yang dihasilkan adalah sebagai berikut:
p Kesimpulan dan Saran Dari hasil analisis dan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Statistik uji Robust Lagrange Multiplier berguna apabila statistik uji Lagrange Multiplier mengalami ketidakjelasan dalam menyimpulkan model regresi spasial mana yang akan digunakan apakah spasial lag model (SLM) atau spasial error model (SEM). 2. Dalam pemodelan angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur, model yang digunakan yaitu spasial error model (SEM), dengan variabel-variabel yang mempengaruhi adalah rata-rata lama sekolah, persentase penolong kelahiran dari tenaga medis, rata-rata lama pemberian ASI ekslusif dan pemberian i imunisasi i id dasar. Dari penelitian ini saran yang dapat diberikan adalah dalam penelitian selanjutnya hendaknya lebih dikembangkan untuk small area statistic dalam hal pada level y yang g lebih rendah misalnya y kecamatan atau desa dengan g ini p mempertimbangkan ketersediaan data, sehingga akan mampu untuk mempertajam efek spasial dari data itu sendiri. Selain itu perlu dipertimbangkan juga penggunaan regresi spasial data panel sehingga dapat diperoleh informasi spasial baik secara cross section maupun time series. series
Daftar Pustaka Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models, Kluwer. Academic Publishers Publishers, Dordrecht Dordrecht. -------------. & Florak. (1994). Small Sample Properties of Test for Spatial Dependence in Regression Models: Some Futher Result. Research Paper. -------------. , A.K. Bera, R. Florax, dan M.J. Yoon (1996), “Simple diagnostic tests for f spatiall d dependence”, d ” Regionall Science and d Urban b Economics 26, 77104. Bera, A. and M. Yoon.(1993). Specification testing with locally misspecified alternatives, Econometric Theory 9, 649-658. Burridge P. (1980). On the Cliff-Ord Test for Spatial Correlation. Journal of The Royal Statistical Society Vol 42, No. 1 pp 107-108. Cressie, N.A.C. (1991). Statistics For Spatial Data. John Wiley & Sons, Inc. United States of America America.
Draper p N,, & Smith.(1992). ( ) Analisis Regresi g Terapan p . Gramedia Pustaka Utama,, Jakarta. Galton, F.(1886). Reggresion towards Mediocrity in Hereditary Stature. Didownload dari www.galton.org. Gujarati D. Gujarati, D (2004). (2004) Basic Econometrics 4th Edition. The McGraw-Hill Companies Kosfeld, Reinhold.(2006). Spatial Econometric. Didownload dari http://www.scribd.com LeSage, JP.(1999). The Theory and Practice of Spatial Econometrics. Dept of Economics University off Toledo. l d Ohio. h Miller, H. J. (2004). Tobler's First Law and Spatial Analysis. Annals of the Association of American Geographers, 94: 284–289 Silvey, SD.(1959). The Lagrangian Multiplier Test. The Annals of Mathematical Statistics, Vol 30, No 2. Pp. 389-407. Institute of Mathematical Statistics.
SEKIAN dan TERIMA KASIH!! ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER PADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI
(Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)
Eko Suharto [NRP. 1309201708] Pembimbing: P bi bi Dr. Sutikno, S.Si, M.Si Dr. Purhadi, M.Sc
Januari 2011
