Riziko rezerv na jednoletém horizontu Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Ing. Lucie Hronová
Náplň přednášky Jednoletý vs. „ultimate“ horizont BE budoucích závazků jako stochastický proces Přístupy k modelování jednoletého rizika Bootstrap – ukázkový příklad
2
Ing. Lucie Hronová
Jednoletý vs. „ultimate“ horizont
3
Ing. Lucie Hronová
„Ultimate“ horizont Tradiční přístup Výpočet technických rezerv jako best estimate budoucích závazků a odhad variability (míry rizika) této rezervy Kvantifikace rizika toho, že vytvořená technická rezerva nepokryje budoucí výplaty pojistných plnění Stanovení rezervy podle zvolené hladiny spolehlivosti
4
Ing. Lucie Hronová
Analyzovanou náhodnou veličinou je rozdíl BEultimate loss(t) - BEultimate loss(0) Nejčastěji používanou mírou rizika je VaR (99.5% kvantil) Standardní případ: VaR(1-year) < VaR(ultimate)
BE celkové škody (ultimate loss)
…
0
5
…
1
Ing. Lucie Hronová
ultimate
t
k-letý horizont Strategické a taktické plánování srovnání dostupného kapitálu a budoucích závazků pro různé horizonty a různé hladiny spolehlivosti
Udržení solventnosti na víceletém horizontu Strategie zajištění Alokace aktiv Tvorba produktů – např. nastavení výše spoluúčasti Jednoletý horizont: SCR podle Solvency II
6
Ing. Lucie Hronová
Proces vypořádání pojistných událostí
7
Ing. Lucie Hronová
„Handling times“ (T j ) j 0 T0 - ohlášení škody; T1 T2 ... TN - výplaty/nové informace; TN 1 TN 2 ... .
T0 Ohlášení
8
T1 Částečné plnění
T2 Dodatečná informace
Ing. Lucie Hronová
TN=3 Dodatečné plnění
„Payment process“ (T j , X j ) j 0 X j 0 - výplata v čase Tj ; X N 1 X N 2 ... 0.
X0 = 0 T0 Ohlášení
9
X1 T1 Částečné plnění
X2 = 0 T2 Dodatečná informace
Ing. Lucie Hronová
X3 TN=3 Dodatečné plnění
„Payment process“ ( X (t )) : X(t)
X
j: T j t
j
... kumulativní výplaty
- rostoucí skoková funkce - X(t) 0 pro t T0
X1+X3
X1
- X() lim (X(t),t ) X j
T0
T1
T2
TN=3
T2
TN=3
j 0
(U (t )) : U(t) X() X (t )
X
j: T j t
- klesající skoková funkce - U(t) X () pro t T0
j
... budoucí závazky
X1+X3
- lim (U(t),t ) 0
X3 T0
10
Ing. Lucie Hronová
T1
„Settlement process“ (T j , ( X j , I j )) j 0 I j - nová informace v čase Tj ;
I0 = ø
I1= ø
I2
I3= ø
X0 = 0
X1
X2 = 0
X3
T1 Částečné plnění
11
T2 Dodatečná informace
Ing. Lucie Hronová
TN=3 Dodatečné plnění
„Prediction process“ ( t ) : t () P( X () | t ) t {(T j , X j , I j ) j 0 , T j t} ... informace dostupné v čase t t
(M t ) : M t E (X( )) t
(Vt ) : Vt Var t (X( ))
T0 Ohlášení
12
T1 Částečné plnění
I0 = ø
I1= ø
I2
I3= ø
X0 = 0
X1
X2 = 0
X3
T0 Ohlášení
T2 Dodatečná informace
Ing. Lucie Hronová
T1 Částečné plnění
T2 Dodatečná informace
TN=3 Dodatečné plnění
TN=3 Dodatečné plnění
Podmíněná střední hodnota (BE) celkové škody (ultimate loss) martingalo vá vlastnost : E t (M u ) M t , t u aktuální odhad budoucího odhadu celkové škody je roven aktuálnímu odhadu celkové škody BE celkové škody (Mt)
M0
0
1
ultimate
E t (M1 )
13
Ing. Lucie Hronová
E t (M ultimate )
t
Změna BE celkové škody BE celkové škody
…
0
1
ultimate t
E[ M (t , t k )] 0 Var[ M (t , t k )] ? VaR[ M (t , t k )] ? 14
Ing. Lucie Hronová
Zdroj: Dorothea Diers, Martin Eling, Christian Kraus, Marc Linde, (2013) "Multi-year non-life insurance risk", Journal of Risk Finance, The, Vol. 14 Iss: 4, pp.353 - 377
15
Ing. Lucie Hronová
Zdroj: Dorothea Diers, Martin Eling, Christian Kraus, Marc Linde, (2013) "Multi-year non-life insurance risk", Journal of Risk Finance, The, Vol. 14 Iss: 4, pp.353 - 377 16
Ing. Lucie Hronová
Změna BE celkové škody t u : M (t , u ) M u M t , X (t , u ) X (u ) X (t ) M (t , u ) [ X (t , u ) E t ( X (t , u ))] [ E u (U u ) E t (U u )] úprava odhadu budoucích závazků (tj. v intervalu (u,)) na základě informací získaných v intervalu (t,u]
chyba v předpovědi pojistných plnění v intervalu (t,u]
Úprava odhadu budoucích závazků
Změna BE celkové škody
Odhad výplat v intervalu (u,)
Odhad výplat v intervalu (u,)
Chyba v předpovědi pojistných plnění Výplaty v intervalu (t,u] (simulace)
Odhad výplat v intervalu (t,u] Výplaty v intervalu (-,t]
Výplaty v intervalu (-,t] t
17
u
Ing. Lucie Hronová
Metody odhadu jednoletého rizika
18
Ing. Lucie Hronová
Claims development result V literatuře se změna BE celkové škody obvykle označuje jako „claims development result“ (CDR) CDR(t , t 1) BE (t ) [ BE (t 1) Claims (t , t 1)] Úprava odhadu budoucích závazků
Změna BE celkové škody
Odhad výplat v intervalu (u,) Odhad výplat v intervalu (u,)
Chyba v předpovědi pojistných plnění Výplaty v intervalu (t,u]
Odhad výplat v intervalu (t,u] Výplaty v intervalu (-,t]
Výplaty v intervalu (-,t] t
19
u
Ing. Lucie Hronová
Analytická formule Wuthrich, Merz, Lysenko Založeno na Mackově modelu (Chain ladder) => nutnost splnění předpokladů modelu Rozklad rizika: + Process error
20
Ing. Lucie Hronová
Estimation error
21
Ing. Lucie Hronová
22
Ing. Lucie Hronová
Stochastické modelování Obecný princip: 1.
Odhad budoucích pojistných plnění v čase t
2.
Simulace pojistných plnění v intervalu (t,t+1]
3.
Odhad budoucích pojistných plnění v čase t+1, se zohledněním nových (náhodně vygenerovaných) informací z intervalu (t,t+1]
Zřejmě nejčastěji uváděnou metodou je aplikace bootstrapu na vývojové trojúhelníky
23
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap ve vývojových trojúhelnících Ultimate horizont
Jednoletý horizont
Výplaty
Výplaty BE(0)
BE(0)
Výplaty
Výplaty
BE(1) simulace
24
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap ve vývojových trojúhelnících Příprava: 1. Best estimate v čase 0 2. Fitování modelu - rekurzivní přepočet hodnot v horním trojúhelníku na základě odhadnutých vývojových faktorů 3. Výpočet reziduí Simulace: 4. Vygenerování nového horního trojúhelníku („pseudo“) 5. Výpočet modelových hodnot nové diagonály pro pseudo data („mean prediction“) 6. Úprava hodnot nové diagonály o „process error“ 7. Best estimte v čase 1 25
Ing. Lucie Hronová
Ukázkový příklad bootstrap krok za krokem Data: smyšlená Metoda pro BE (a pro fitování trojúhelníků): Chain ladder Definice residuí: Adjusted Pearsons‘ Residuals
26
Ing. Lucie Hronová
Vstupní data Original cumulative triangle Occurence period
Development period
PeriodStart PeriodEnd
2011-02
2011-02
2011-03
2011-03
2011-04
2011-04
2011-05
2011-05
2011-06
2011-06
2011-07
2011-07
2011-08
2011-08
2011-09
2011-09
2011-10
2011-10
2011-11
2011-11
2011-12
2011-12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
520 60 250 0 210 1,000 0 220 300 210 300
1,230 770 750 360 610 1,050 330 220 720 630
2,750 1,120 1,750 1,410 810 1,650 1,130 720 840
2,820 2,120 1,830 1,530 1,130 2,100 1,910 1,020
3,110 2,120 4,430 2,200 2,330 2,100 2,910
3,310 2,120 4,430 2,300 2,730 2,100
3,310 3,120 4,430 2,300 2,730
3,810 3,120 6,430 2,300
3,810 4,020 6,430
3,870 4,020
4,070
Original incremental triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02 2011-02 2011-03 2011-03 2011-04 2011-04 2011-05 2011-05 2011-06 2011-06 2011-07 2011-07 2011-08 2011-08 2011-09 2011-09 2011-10 2011-10 2011-11 2011-11 2011-12 2011-12
27
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
520 60 250 0 210 1,000 0 220 300 210 300
710 710 500 360 400 50 330 0 420 420
1,520 350 1,000 1,050 200 600 800 500 120
70 1,000 80 120 320 450 780 300
290 0 2,600 670 1,200 0 1,000
200 0 0 100 400 0
0 1,000 0 0 0
500 0 2,000 0
0 900 0
60 0
200
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 1: Best estimate v čase 0 RESULTS Occurence period
No discounting Latest incurred
Triangle ultimate
Triangle extrapolated
Tail value
Total extrapolated
Total ultimate
PeriodStart
PeriodEnd
2011-02
2011-02
4,070
4,070
0
0
0
4,070
2011-03
2011-03
4,020
4,228
208
0
208
4,228
2011-04
2011-04
6,430
6,814
384
0
384
6,814
2011-05
2011-05
2,300
2,602
302
0
302
2,602
2011-06
2011-06
2,730
3,675
945
0
945
3,675
2011-07
2011-07
2,100
3,016
916
0
916
3,016
2011-08
2011-08
2,910
4,360
1,450
0
1,450
4,360
2011-09
2011-09
1,020
2,183
1,163
0
1,163
2,183
2011-10
2011-10
840
2,292
1,452
0
1,452
2,292
2011-11
2011-11
630
3,467
2,837
0
2,837
3,467
2011-12
2011-12
300
3,564
3,264
0
3,264
3,564
27,350
40,271
12,921
0
12,921
40,271
Total
28
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 2a: „Fitted cumulative triangle“ Chain ladder factors
0->1
1->2
2->3
3->4
4->5
5->6
6->7
7->8
8->9
9->10
2.16
2.02
1.28
1.43
1.04
1.07
1.19
1.07
1.01
1.05
Fitted cumulative triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02
2011-02
2011-03
2011-03
2011-04
2011-04
2011-05
2011-05
2011-06
2011-06
2011-07
2011-07
2011-08
2011-08
2011-09
2011-09
2011-10
2011-10
2011-11
2011-11
2011-12
2011-12
29
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
343 356 574 219 309 254 367 184 193 292 300
740 768 1,238 473 668 548 792 397 417 630
1,491 1,549 2,497 953 1,346 1,105 1,597 800 840
1,902 1,975 3,184 1,216 1,717 1,409 2,037 1,020
2,717 2,822 4,548 1,737 2,453 2,013 2,910
2,833 2,943 4,744 1,811 2,558 2,100
3,024 3,141 5,062 1,933 2,730
3,598 3,738 6,024 2,300
3,841 3,989 6,430
3,870 4,020
4,070
Ci ,fitJ i 1 Cioriginal , J i 1 Ci ,fitj Ci ,fitj1 / fˆ j j 1 Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 2b: „Fitted incremental triangle“ Fitted incremental triangle Occurence period PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
PeriodEnd 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
Development period 0 343 356 574 219 309 254 367 184 193 292 300
1 397 412 665 254 358 294 425 213 224 338
2 752 781 1,259 481 679 557 805 403 423
3 410 426 687 262 370 304 440 220
4 815 847 1,365 521 736 604 873
5 117 121 195 75 105 87
6 190 198 319 122 172
7 574 597 962 367
8 242 252 406
X i ,fit1 Ci ,fit1 X i ,fitj Ci ,fitj1 Ci ,fitj
30
Ing. Lucie Hronová
9 29 31
10 200
Bootstrap – krok 3a: „Pearsons‘ residuals unscaled“ Unscaled Pearson's residuals Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02 2011-02 2011-03 2011-03 2011-04 2011-04 2011-05 2011-05 2011-06 2011-06 2011-07 2011-07 2011-08 2011-08 2011-09 2011-09 2011-10 2011-10 2011-11 2011-11 2011-12 2011-12
31
Development period
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9.6 -15.7 -13.5 -14.8 -5.6 46.8 -19.2 2.7 7.7 -4.8 0.0
15.7 14.7 -6.4 6.7 2.2 -14.2 -4.6 -14.6 13.1 4.4
28.0 -15.4 -7.3 26.0 -18.4 1.8 -0.2 4.8 -14.7
-16.8 27.8 -23.2 -8.8 -2.6 8.4 16.2 5.4
-18.4 -29.1 33.4 6.5 17.1 -24.6 4.3
7.7 -11.0 -14.0 2.9 28.7 -9.3
-13.8 57.1 -17.8 -11.0 -13.1
-3.1 -24.4 33.5 -19.2
-15.6 40.9 -20.1
5.6 -5.5
0.0
resiunscaled ,j
Ing. Lucie Hronová
fit X ioriginal X ,j i, j
X i ,fitj
Bootstrap – krok 3b: „Pearsons‘ residuals adjusted“ Adjusted Pearson's residuals Occurence period PeriodStartPeriodEnd 2011-02 2011-02 2011-03 2011-03 2011-04 2011-04 2011-05 2011-05 2011-06 2011-06 2011-07 2011-07 2011-08 2011-08 2011-09 2011-09 2011-10 2011-10 2011-11 2011-11 2011-12 2011-12
0 11.6 -19.0 -16.4 -17.9 -6.8 56.7 -23.2 3.2 9.3 -5.8 0.0
Development period 1 19.0 17.7 -7.7 8.1 2.7 -17.2 -5.6 -17.7 15.9 5.4
2 33.9 -18.7 -8.8 31.5 -22.3 2.2 -0.2 5.8 -17.9
3 -20.3 33.7 -28.0 -10.6 -3.2 10.1 19.7 6.5
4 -22.3 -35.2 40.5 7.9 20.7 -29.8 5.2
5 9.3 -13.3 -16.9 3.6 34.8 -11.3
6 -16.7 69.1 -21.6 -13.4 -15.9
7 -3.8 -29.6 40.5 -23.2
8 -18.9 49.5 -24.4
9 6.8 -6.7
10 0.0
resiadjusted resiunscaled scale _ factor ,j ,j
scale _ factor
# observation degrees_of_freedom
66 66 21
degrees_of_freedom # observations # parameters
32
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 3c: Residuals sample 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33
11.6 19.0 33.9 -20.3 -22.3 9.3 -16.7 -3.8 -18.9 6.8 0.0 -19.0 17.7 -18.7 33.7 -35.2 -13.3 69.1 -29.6 49.5 -6.7 -16.4
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Ing. Lucie Hronová
-7.7 -8.8 -28.0 40.5 -16.9 -21.6 40.5 -24.4 -17.9 8.1 31.5 -10.6 7.9 3.6 -13.4 -23.2 -6.8 2.7 -22.3 -3.2 20.7 34.8
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
-15.9 56.7 -17.2 2.2 10.1 -29.8 -11.3 -23.2 -5.6 -0.2 19.7 5.2 3.2 -17.7 5.8 6.5 9.3 15.9 -17.9 -5.8 5.4 0.0
Bootstrap – krok 4a: Residuals resampling Random item Occurence period PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
PeriodEnd 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
54 40 18 46 57 1 27 48 33 37 43
52 13 54 2 6 62 38 49 2 46
35 14 16 34 48 49 36 20 64
34 8 1 19 54 53 53 40
30 38 62 2 29 50 54
41 18 5 62 10 59
44 4 23 55 37
20 40 47 17
46 36 35
7 11
48
Resampled residuals Occurence period PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
34
PeriodEnd 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
11.6 19.0 33.9 -20.3 -22.3 9.3 -16.7 -3.8 -18.9 6.8 0.0 -19.0 17.7 -18.7 33.7 -35.2 -13.3 69.1 -29.6 49.5 -6.7 -16.4
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
-7.7 -8.8 -28.0 40.5 -16.9 -21.6 40.5 -24.4 -17.9 8.1 31.5 -10.6 7.9 3.6 -13.4 -23.2 -6.8 2.7 -22.3 -3.2 20.7 34.8
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
-15.9 56.7 -17.2 2.2 10.1 -29.8 -11.3 -23.2 -5.6 -0.2 19.7 5.2 3.2 -17.7 5.8 6.5 9.3 15.9 -17.9 -5.8 5.4 0.0
Development period
0 -0.2 2.7 69.1 56.7 3.2 11.6 -16.9 2.2 31.5 -13.4 20.7
1 -23.2 17.7 -0.2 19.0 9.3 15.9 -23.2 10.1 19.0 56.7
2 7.9 -18.7 -35.2 -10.6 2.2 10.1 3.6 49.5 -5.8
Ing. Lucie Hronová
3 -10.6 -3.8 11.6 -29.6 -0.2 -5.6 -5.6 2.7
4 -24.4 -23.2 15.9 19.0 40.5 -29.8 -0.2
5 -22.3 69.1 -22.3 15.9 6.8 5.8
6 34.8 -20.3 -7.7 19.7 -13.4
7 49.5 2.7 -17.2 -13.3
8 56.7 3.6 7.9
9 -16.7 0.0
10 2.2
Bootstrap – krok 4b: „Incremental pseudo-data calculation“ Pseudodata incremental triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02
2011-02
2011-03
2011-03
2011-04
2011-04
2011-05
2011-05
2011-06
2011-06
2011-07
2011-07
2011-08
2011-08
2011-09
2011-09
2011-10
2011-10
2011-11
2011-11
2011-12
2011-12
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
338 406 2,229 1,058 366 439 43 214 630 64 659
-65 773 659 557 535 567 -53 361 508 1,381
969 259 9 247 736 796 906 1,397 304
195 349 991 -217 366 207 322 260
119 171 1,952 955 1,836 -127 866
-124 882 -116 212 175 141
670 -88 181 339 -3
1,760 662 427 112
1,125 308 565
-61 31
231
fit resampled fit X ipseudo X res X ,j i, j i, j i, j
35
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 4c: „Cumulative pseudo-data and development factors calculation“ Pseudodata cumulative triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02
2011-02
2011-03
2011-03
2011-04
2011-04
2011-05
2011-05
2011-06
2011-06
2011-07
2011-07
2011-08
2011-08
2011-09
2011-09
2011-10
2011-10
2011-11
2011-11
2011-12
2011-12
Pseudo data CH-L factors
36
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
338 406 2,229 1,058 366 439 43 214 630 64 659
273 1,179 2,888 1,615 901 1,006 -11 574 1,138 1,445
1,242 1,438 2,896 1,862 1,637 1,802 896 1,971 1,442
1,437 1,786 3,887 1,645 2,003 2,009 1,218 2,231
1,555 1,958 5,839 2,601 3,839 1,881 2,084
1,431 2,840 5,724 2,813 4,015 2,022
2,101 2,752 5,904 3,151 4,011
3,861 3,413 6,331 3,263
4,986 3,722 6,896
4,925 3,752
5,156
0->1
1->2
2->3
3->4
4->5
5->6
6->7
7->8
8->9
9->10
1.9025
1.58796
1.17988
1.41268
1.06626
1.06522
1.21285
1.1469
0.99648
1.04691
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 5a: „Mean prediction of next year diagonal“ Pseudo data CH-L factors
0->1
1->2
2->3
3->4
4->5
5->6
6->7
7->8
8->9
9->10
1.9025
1.58796
1.17988
1.41268
1.06626
1.06522
1.21285
1.1469
0.99648
1.04691
Mean prediction cumulative triangle Occurence period PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11
PeriodEnd 0 2011-02 338 2011-03 406 2011-04 2,229 2011-05 1,058 2011-06 366 2011-07 439 2011-08 43 2011-09 214 2011-10 630 2011-11 64
1 273 1,179 2,888 1,615 901 1,006 -11 574 1,138 1,445
2011-12
2011-12
1,254
37
659
Development period 2 1,242 1,438 2,896 1,862 1,637 1,802 896 1,971 1,442 2,294
3 1,437 1,786 3,887 1,645 2,003 2,009 1,218 2,231 1,702
4 1,555 1,958 5,839 2,601 3,839 1,881 2,084 3,151
Ing. Lucie Hronová
5 1,431 2,840 5,724 2,813 4,015 2,022 2,222
6 2,101 2,752 5,904 3,151 4,011 2,154
7 3,861 3,413 6,331 3,263 4,865
8 4,986 3,722 6,896 3,742
9 4,925 3,752 6,872
10 5,156 3,928
Bootstrap – krok 5b: „Mean prediction incremental payments“ Mean prediction incremental triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 2011-02
2011-02
2011-03
2011-03
2011-04
2011-04
2011-05
2011-05
2011-06
2011-06
2011-07
2011-07
2011-08
2011-08
2011-09
2011-09
2011-10
2011-10
2011-11
2011-11
2011-12
2011-12
38
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
176 -24 479 854
132 138 920 259 849 595
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 6a: „Residuals resampling for next year diagonal“ Random item Occurence period PeriodSta PeriodEn rt d 2011-02 2011-02 2011-03 2011-03 2011-04 2011-04 2011-05 2011-05 2011-06 2011-06 2011-07 2011-07 2011-08 2011-08 2011-09 2011-09 2011-10 2011-10 2011-11 2011-11 2011-12 2011-12
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
10 6
22 11 30 3 28
65 3
11.6 19.0 33.9 -20.3 -22.3 9.3 -16.7 -3.8 -18.9 6.8 0.0 -19.0 17.7 -18.7 33.7 -35.2 -13.3 69.1 -29.6 49.5 -6.7 -16.4
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
-7.7 -8.8 -28.0 40.5 -16.9 -21.6 40.5 -24.4 -17.9 8.1 31.5 -10.6 7.9 3.6 -13.4 -23.2 -6.8 2.7 -22.3 -3.2 20.7 34.8
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
-15.9 56.7 -17.2 2.2 10.1 -29.8 -11.3 -23.2 -5.6 -0.2 19.7 5.2 3.2 -17.7 5.8 6.5 9.3 15.9 -17.9 -5.8 5.4 0.0
42 32
Resampled residuals Occurence period PeriodStartPeriodEnd 2011-02 2011-02 2011-03 2011-03 2011-04 2011-04 2011-05 2011-05 2011-06 2011-06 2011-07 2011-07 2011-08 2011-08 2011-09 2011-09 2011-10 2011-10 2011-11 2011-11 2011-12 2011-12
39
9
Development period 0->1
1->2
2->3
3->4
4->5
5->6
6->7
7->8
8->9
9->10 9.3 -16.4
0.0 -24.4 33.9 -21.6 5.4 33.9 -3.2 8.1
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 6b: „Process error included prediction for next year“ Process error prediction Occurence period PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
PeriodEnd 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
Development period 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 342
-66 155 -37 544
-117 550 747 560 498
simulated X 3,177 i i
mean _ prediction resampled mean _ prediction X isimulated X res X ,j i, j i, j i, j
40
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 7a: „Updated incremental triangle“ Updated incremental triangle Occurence period
PeriodStart 2011-02 2011-03 2011-04 2011-05 2011-06 2011-07 2011-08 2011-09 2011-10 2011-11 2011-12
PeriodEnd 0 2011-02 338 2011-03 406 2011-04 2,229 2011-05 1,058 2011-06 366 2011-07 439 2011-08 43 2011-09 214 2011-10 630 2011-11 64 2011-12 659
Development period
1 -65 773 659 557 535 567 -53 361 508 1,381 498
2 969 259 9 247 736 796 906 1,397 304 560
3 195 349 991 -217 366 207 322 260 747
4 119 171 1,952 955 1,836 -127 866 550
5 -124 882 -116 212 175 141 -117
6 670 -88 181 339 -3 544
7 1,760 662 427 112 -37
8 1,125 308 565 155
9 -61 31 -66
Incremental pseudo-data triangle & Process error included prediction for next year 41
Ing. Lucie Hronová
10 231 342
Bootstrap – krok 7b: „Updated cumulative triangle and Chain-ladder factors calculation“ Updated cumulative triangle Occurence period PeriodStart PeriodEnd 0 1 2011-02 2011-02 338 273 2011-03 2011-03 406 1,179 2011-04 2011-04 2,229 2,888 2011-05 2011-05 1,058 1,615 2011-06 2011-06 366 901 2011-07 2011-07 439 1,006 2011-08 2011-08 43 -11 2011-09 2011-09 214 574 2011-10 2011-10 630 1,138 2011-11 2011-11 64 1,445 2011-12 2011-12 659 1,157
Development period 2 1,242 1,438 2,896 1,862 1,637 1,802 896 1,971 1,442 2,005
3 1,437 1,786 3,887 1,645 2,003 2,009 1,218 2,231 2,189
4 1,555 1,958 5,839 2,601 3,839 1,881 2,084 2,780
5 1,431 2,840 5,724 2,813 4,015 2,022 1,967
6 2,101 2,752 5,904 3,151 4,011 2,566
7 3,861 3,413 6,331 3,263 3,974
8 4,986 3,722 6,896 3,418
9 4,925 3,752 6,831
10 5,156 4,095
Updated data CH-L factors
0->1 1->2 2->3 3->4 4->5 5->6 6->7 7->8 8->9 9->10 1.902195 1.379542 0.943284 1.073458 0.836181 0.860994 0.823432 0.748681 0.456156 0.332474
Updated data CH-L factors - cumulative
0->10 1->10 2->10 3->10 4->10 5->10 6->10 7->10 8->10 9->10 8.298195 4.362432 2.747132 2.328353 1.648126 1.545626 1.451089 1.196452 1.043177 1.046904
42
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – krok 7c: Best estimate v čase 1 RESULTS Occurence period Latest PeriodStart PeriodEnd incurred 2011-02 2011-02 5,156 2011-03 2011-03 4,095 2011-04 2011-04 6,831 2011-05 2011-05 3,418 2011-06 2011-06 3,974 2011-07 2011-07 2,566 2011-08 2011-08 1,967 2011-09 2011-09 2,780 2011-10 2011-10 2,189 2011-11 2011-11 2,005 2011-12 2011-12 1,157 Total 36,138
43
No discounting Triangle Triangle ultimate extrapolated 5,156 0 4,095 0 7,151 320 3,566 148 4,755 781 3,723 1,157 3,040 1,073 4,582 1,802 5,097 2,908 5,508 3,503 5,047 3,890 51,720 15,582
Ing. Lucie Hronová
Tail Total Total value extrapolated ultimate 0 0 5,156 0 0 4,095 0 320 7,151 0 148 3,566 0 781 4,755 0 1,157 3,723 0 1,073 3,040 0 1,802 4,582 0 2,908 5,097 0 3,503 5,508 0 3,890 5,047 0 15,582 51,720
Výstup Krok 1: BE(0) Opakováním kroků 4 až 7: empirické rozdělení BE(1) a Claims(1) získané ze simulovaných scénářů nasimulované empirické rozdělení CDR
44
Ing. Lucie Hronová
Bootstrap – pro a proti Přínosy Stochastická metoda – výsledkem je kompletní empirické rozdělení CDR Velká variabilita ve volbě modelů pro výpočet BE
Omezení Časová náročnost – zejména při využití stochastického modelu pro výpočet BE
45
Ing. Lucie Hronová
Další přístupy Faktorový model – Simulujeme pouze ultimate loss
CDRi ( I 1) Cˆ iI, J Cˆ iI, J1 ˆI Cˆ iI, J1 Cisimulace ( 1 ) C ,J i,J – Problematická může být kalibrace parametru
Least Squares Monte Carlo simulations
46
Ing. Lucie Hronová
Použité zdroje a doporučená literatura ARJAS, ELJA. The claims reserving problem in non-life insurance: Some structural ideas. Astin Bulletin, 1989, 19.2: 139-152. BOUMEZOUED, Alexandre, et al. One-year reserve risk including a tail factor: closed formula and bootstrap approaches. arXiv preprint arXiv:1107.0164, 2011. ENGLAND, Peter D.; VERRALL, Richard J. Stochastic claims reserving in general insurance. British Actuarial Journal, 2002, 8.3: 443-518. OHLSSON, Esbjörn; LAUZENINGKS, Jan. The one-year non-life insurance risk. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 45.2: 203-208. PINHEIRO, Paulo JR; ANDRADE E SILVA, João Manuel; DE LOURDES CENTENO, Maria. Bootstrap methodology in claim reserving. Journal of Risk and Insurance, 2003, 70.4: 701-714. SHAPLAND, Mark R. Bootstrap Modeling: Beyond the Basics. In: Casualty Actuarial Society E-Forum, Fall 2010. 2010. p. 1. WÜTHRICH, Mario V.; MERZ, Michael; LYSENKO, Natalia. Uncertainty of the claims development result in the chain ladder method. Scandinavian Actuarial Journal, 2009, 2009.1: 63-84. 47
Ing. Lucie Hronová
