9. Modelov´an´ı operaˇcn´ıho rizika Lucie Mazurov´a Operaˇcn´ı riziko lze ch´apat obecnˇe jako riziko ztr´aty v d˚ usledku provozn´ıch nedostatk˚ u a chyb, resp. jako riziko plynouc´ı z operac´ı firmy. Operaˇcn´ı riziko se pˇritom nevztahuje na produkci nebo sluˇzby poskytovan´e firmou. (Napˇr´ıklad u banky operaˇcn´ı riziko nezahrnuje ztr´aty v d˚ usledku obchodov´an´ı, investov´an´ı, p˚ ujˇcov´an´ı penˇez apod. v rozsahu norm´aln´ıch aktivit banky. Oproti tomu ztr´ata vznikl´a jedn´an´ım obchodn´ıka, kter´ y pˇri obchodov´an´ı pˇrekroˇcil povolen´ y limit, bude pod ztr´aty z operaˇcn´ıho rizika zahrnuta.) Pojem operaˇcn´ıho rizika lze obecnˇe aplikovat na jakoukoli firmu ˇci organizaci, metody pro mˇeˇren´ı a modelov´an´ı tohoto rizika se vˇsak nejv´ıce rozv´ıjely v bank´ach. V souˇcasnosti se d´ıky zohlednˇen´ı operaˇcn´ıho rizika smˇernic´ı Evropsk´e Unie zn´amou jako Solventnost II st´av´a ot´azka modelov´an´ı operaˇcn´ıho rizika aktu´aln´ı rovnˇeˇz pro pojiˇst’ovny.
9.1
Operaˇ cn´ı riziko v r´ amci koncepce Basel II
Pod n´azvem Basel II je zn´ama metodika ˇr´ızen´ı rizik v bank´ach vypracovan´a Basilejsk´ ym v´ yborem pro bankovn´ı dohled ([2]). Tato metodika je souˇc´ast´ı legislativy Evropsk´e Unie, ˇ e republice je implementov´ana vyhl´aˇskou CNB ˇ v Cesk´ ([1]). Uved’me definici operaˇcn´ıho rizika dle Basel II (shodnˇe definuje operaˇcn´ı riziko pro pojiˇst’ovny Solventnost II): Operaˇcn´ı riziko je riziko ztr´aty vypl´yvaj´ıc´ı z nedostateˇcnosti nebo selh´ an´ı vnitˇrn´ıch proces˚ u, osob , syst´em˚ u, nebo z vnˇejˇs´ıch ud´ alost´ı. Pod tuto definici spad´a pr´avn´ı riziko (tj. napˇr. riziko, ˇze protistrana nen´ı pr´avnˇe zp˚ usobil´a uzav´ırat kontrakt nebo riziko konfliktu transakc´ı s legislativou). V´ yˇse uveden´a definice naopak nezahrnuje strategick´e rizko (riziko ztr´aty v d˚ usledku ˇspatn´eho obchodn´ıho rozhodnut´ı) ani reputaˇcn´ı riziko (poˇskozen´ı reputace je ch´ap´ano jako d˚ usledek jin´eho selh´an´ı v oblasti operaˇcn´ıho rizika). Basel II uv´ad´ı kategorizaci operaˇcn´ıho rizika na r˚ uzn´ ych u ´rovn´ıch dle typ˚ u ud´alost´ı, ’ kter´e vedou ke ztr´atˇe. Pro ilustraci zde uved me z´akladn´ı typy ztr´atov´ ych ud´alost´ı s nˇekter´ ymi konkr´etn´ımi pˇr´ıklady: vnitˇrn´ı nekal´e jedn´ an´ı (podvod, zpronevˇera, obch´azen´ı pr´avn´ıch ˇci vnitˇrn´ıch pˇredpis˚ u), vnˇejˇs´ı nekal´e jedn´ an´ı (ze strany tˇret´ı osoby), pracovnˇepr´ avn´ı postupy a bezpeˇcnost provozu (´ ujma na zdrav´ı, diskriminace zamˇestnanc˚ u), klienti, produkty, obchodn´ı postupy (neplnˇen´ı z´avazk˚ u v˚ uˇci klientovi, ochrana osobn´ıch dat, vady produkt˚ u), ˇskody na hmotn´em majetku (pˇr´ırodn´ı katastrofy a jin´e ud´alosti), naruˇsen´ı ˇcinnost´ı a selh´an´ı syst´em˚ u (hardware, software, telekomunikace), prov´ adˇen´ı transakc´ı, dod´ avky, ˇr´ızen´ı proces˚ u (zpracov´an´ı transakc´ı, vztahy se smluvn´ımi partnery). 1
Metodika Basel II je zaloˇzena na koncepci tˇr´ı pil´ıˇr˚ u, z nichˇz prvn´ı zahrnuje v´ ypoˇcet minim´aln´ıch kapit´alov´ ych poˇzadavk˚ u, druh´ y stanov´ı pravidla pro dohled regul´ator˚ u nad kapit´alovou pˇrimˇeˇrenost´ı a pro intern´ı syst´emy ˇr´ızen´ı rizik, tˇret´ı pil´ıˇr je oznaˇcov´an jako trˇzn´ı discipl´ına a obsahuje poˇzadavky na zveˇrejˇ nov´an´ı informac´ı d˚ uleˇzit´ ych pro u ´ˇcastn´ıky trhu. Poznamenejme, ˇze tato struktura byla pˇrevzata i do evropsk´e smˇernice Solventnost II. Pro u ´ˇcely kapit´alov´e pˇrimˇeˇrenosti banka stanovuje minim´aln´ı kapit´alov´e poˇzadavky k u ´vˇerov´emu, trˇzn´ımu a operaˇcn´ımu riziku. Pro v´ ypoˇcet kapit´alov´eho poˇzadavku k operaˇcn´ımu riziku jsou v z´asadˇe moˇzn´e tˇri pˇr´ıstupy: 9.1.1
Pˇ r´ıstup z´ akladn´ıho ukazatele (BIA-Basic Indicator Approach)
Kapit´alov´ y poˇzadavek k operaˇcn´ımu riziku se podle pˇr´ıstupu BIA stanov´ı jako pr˚ umˇer za posledn´ı 3 roky z pevnˇe stanoven´eho pod´ılu (d´ale oznaˇcovan´eho α) z kladn´ ych roˇcn´ıch hrub´ ych v´ ynos˚ u. Matematicky lze kapit´alov´ y poˇzadavek v roce t vyj´adˇrit formul´ı 3 1 X α max(GI t−i , 0), Zt i=1
t CBI =
kde Zt =
3 X
(1)
I[GI t−i >0]
i=1
a GI j oznaˇcuje hrub´ y roˇcn´ı v´ ynos v roce j. (Poznamenejme, ˇze hrub´ y roˇcn´ı v´ ynos je definov´an jako ˇcist´ yu ´rokov´ y plus ˇcist´ y ne´ urokov´ y v´ ynos, je poˇc´ıt´an pˇred odeˇcten´ım n´aklad˚ u na tvorbu opravn´ ych poloˇzek a rezerv a provozn´ıch n´aklad˚ u, nezahrnuje realizovan´ y zisk nebo ztr´atu z prodeje n´astroj˚ u investiˇcn´ıho portfolia, mimoˇr´adn´e a nepravideln´e v´ ynosy a v´ ynosy z pojistn´eho plnˇen´ı.) Na z´akladˇe dopadov´ ych studi´ı byla stanovena v´ yˇse pod´ılu α na 15%. 9.1.2
Standardizovan´ y pˇ r´ıstup
Pro u ´ˇcely standardizovan´eho pˇr´ıstupu se uvaˇzuje ˇcinnost banky rozdˇelen´a do osmi lini´ı podnik´an´ı: podnikov´e financov´an´ı, obchodov´ an´ı na finanˇcn´ıch trz´ıch, retailov´e makl´eˇrstv´ı, podnikov´e bankovnictv´ı, retailov´e bankovnictv´ı, z´ uˇctovac´ı sluˇzby pro tˇret´ı osoby, sluˇzby z povˇeˇren´ı, obhospodaˇrov´an´ı aktiv. Pro kaˇzdou linii podnik´an´ı slouˇz´ı hrub´ y v´ ynos jako pˇribliˇzn´a m´ıra expozice riziku. Kapit´alov´ y poˇzadavek pro linii j je vypoˇc´ıt´an vyn´asoben´ım hrub´eho v´ ynosu dan´ ym faktorem βj . Celkov´ y kapit´alov´ y poˇzadavek je pak stanoven jako tˇr´ılet´ y pr˚ umˇer z kladn´ ych souˇct˚ u d´ılˇc´ıch poˇzadavk˚ u stanoven´ ych pro jednotliv´e linie podnik´an´ı: " 8 # 3 X X 1 max βj GIjt−i , 0 . (2) CSt = 3 i=1 j=1 2
Poznamenejme, ˇze v´ yˇse uveden´a formule umoˇzn ˇuje pouˇz´ıt z´aporn´ y kapit´alov´ y poˇzadavek v linii podnik´an´ı se z´aporn´ ym hrub´ ym v´ ynosem ke sn´ıˇzen´ı kapit´alov´ ych poˇzadavk˚ uv ostatn´ıch lini´ıch. Pˇredepsan´a v´ yˇse koefiicent˚ u β ve formuli (2) se pohybuje v rozmez´ı 12%-18%. V´ yˇse uveden´e element´arn´ı pˇr´ıstupy nezohledˇ nuj´ı u ´spˇeˇsnost banky v pˇredch´azen´ı ˇskod z operaˇcn´ıch rizik. Jsou urˇceny bank´am s malou expozic´ı operaˇcn´ımu riziku. Mezin´arodnˇe p˚ usob´ıc´ım bank´am s velkou rizikovou expozic´ı je doporuˇcov´an pokroˇcil´ y pˇr´ıstup, kter´ y bude obsahem dalˇs´ıho v´ ykladu. 9.1.3
Pokroˇ cil´ y pˇ r´ıstup (AMA - Advanced Measurement Approach)
AMA pˇr´ıstup pˇredstavuje v´ ypoˇcet kapit´alov´eho poˇzadavku vych´azej´ıc´ı z intern´ıch model˚ u operaˇcn´ıho rizika banky. Jeho pouˇzit´ı podl´eh´a schv´alen´ı regul´atorem, kter´e je podm´ınˇeno splnˇen´ım ˇrady kvalitativn´ıch a kvantitativn´ıch podm´ınek. Uved’me nˇekter´e z´asadn´ı poˇzadavky na akceptovateln´ y model. Model pro mˇeˇren´ı operaˇcn´ıho rizika mus´ı b´ yt dostateˇcnˇe detailn´ı a mus´ı postihovat moˇznost v´ yskytu extr´emnˇe velk´ ych ˇskod. Kapit´alov´ y poˇzadavek m´a b´ yt stanoven tak, aby zahrnoval neoˇcek´avanou i oˇcek´avanou ztr´atu, pˇri tom m´a b´ yt dosaˇzeno standardu srovnateln´eho s hladinou spolehlivosti 99,9% v pr˚ ubˇehu roˇcn´ıho obdob´ı. Banka mus´ı shromaˇzd’ovat intern´ı data o ˇskod´ach z operaˇcn´ıho rizika, v´ ypoˇcet m´ıry rizika pro stanoven´ı kapit´alov´eho poˇzadavku m´a b´ yt zaloˇzen na datech z nejm´enˇe pˇetilet´eho obdob´ı (pˇri pˇrechodu na AMA pˇr´ıstup staˇc´ı zpoˇc´atku obdob´ı tˇr´ılet´e). Intern´ı syst´em pro mˇeˇren´ı operaˇcn´ıho rizika z´aroveˇ n mus´ı uˇz´ıvat relevantn´ı extern´ı data. Pˇredpokl´ad´a se, ˇze intern´ı data vypov´ıdaj´ı o ˇskod´ach opakuj´ıc´ıch se s relativnˇe velkou frkvenc´ı, extern´ı data by mˇela slouˇzit k modelov´an´ı ˇskod, kter´e nast´avaj´ı zˇr´ıdka, avˇsak maj´ı velk´ y dopad. Intern´ı model operaˇcn´ıho rizika mus´ı rovnˇeˇz zahrnovat testov´an´ı sc´en´aˇr˚ u. D´ale uved’me typickou stochastickou strukturu popisuj´ıc´ı data o ztr´at´ach z operaˇcn´ıho rizika, pouˇzitelnou v AMA pˇr´ıstupu. Od banky se poˇzaduje, aby byla data o ˇskod´ach tˇr´ıdˇena dle v´ yˇse uveden´ ych 8 lini´ı podnik´an´ı a 7 z´akladn´ıch typ˚ u ˇskodn´ıch ud´alost´ı. Pˇredpokl´adejme tedy pro v´ ypoˇcet kapit´alov´eho poˇzadavku pro rok t data z minul´ ych T let ve struktuˇre (T ≥ 5): Xkt−i,b,l , i = 1, . . . , T, b = 1, . . . , 8, l = 1, . . . , 7, k = 1, . . . , N t−i,b,l , (3) kde Xkt−i,b,l pˇredstavuje k-tou ˇskodu typu l v linii b v roce t − i a N t−i,b,l je poˇcet ˇskod typu l v linii b v roce t − i. Typick´e je stanoven´ı doln´ı meze pro v´ yˇsi ˇskod zahrnut´ ych do modelu (napˇr´ıklad v ˇr´adu 10 000 EUR), takˇze rozdˇelen´ı veliˇcin (3) je moˇzno ch´apat jako zleva useknut´e rozdˇelen´ı, tj. odvozen´e z rozdˇelen´ı celkov´ ych v´ yˇs´ı ˇskod jako podm´ınˇen´e rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı typu P (X ≤ x|X > d).
3
Celkov´a v´ yˇse ˇskod v linii b v roce t − i m´a tedy vyj´adˇren´ı t−i,b,l
L
t−i,b
=
7 NX X l=1
Xkt−i,b,l ,
(4)
k=1
odkud z´ısk´ame seˇcten´ım vyj´adˇren´ı celkov´e v´ yˇse ˇskod v roce t − i: L
t−i
=
8 X
Lt−i,b .
(5)
b=1
Kl´ıˇcovou u ´lohou je nyn´ı vyuˇzit´ı ˇskodn´ıch dat k odhadu rozdˇelen´ı celkov´e ˇskody v roce t t, L a v´ ypoˇcet vhodn´e m´ıry rizika pro odhadnut´e rozdˇelen´ı. Oznaˇc´ıme-li jako ρα zvolenou m´ıru rizika pro poˇzadovanou hladinu spolehlivosti α, m˚ uˇzeme kapit´alov´ y poˇzadavek k operaˇcn´ımu riziku stanoven´ y pomoc´ı pˇr´ıstupu AMA obecnˇe vyj´adˇrit vztahem t CAM = ρα (Lt ).
(6)
Pokud nev´ıme nic o struktuˇre sdruˇzen´eho rozdˇelen´ı ˇskodn´ıch veliˇcin v (4) a (5), m˚ uˇzeme stanovit kapit´alov´ y poˇzadavek seˇcten´ım d´ılˇc´ıch hodnot pro jednoliv´e linie podnik´an´ı: t CAM
=
8 X
ρα (Lt,b ).
(7)
b=1
Njeˇcastˇejˇs´ı volbou pro m´ıru rizika je hodnota v riziku, VaRα , definovan´a jako α-kvantil uvaˇzovan´eho rozdˇelen´ı celkov´e ˇskody. Pˇri t´eto volbˇe by pak vztahy (6) a (7) d´avaly stejn´ y v´ ysledek, pokud by veliˇciny vyjadˇruj´ıc´ı ˇskodn´ı u ´hrny za jednotliv´e linie podnik´an´ı byly komonot´ onn´ı. Pravidla pro vyuˇzit´ı AMA pˇr´ıstupu umoˇzn ˇuj´ı bank´am vytv´aˇret vlastn´ı modely pro mˇeˇren´ı korelac´ı mezi jednotliv´ ymi kategoriemi ztr´at, kter´e ovˇsem podl´ehaj´ı schv´alen´ı org´anem dohledu. Podrobnˇe o moˇznostech agregace rizik a mˇeˇren´ı z´avislost´ı pojedn´avaj´ı napˇr´ıklad kapitoly 3 a 5 textu [3]. Alternativn´ı volbu m´ıry rizika pˇredstavuje zbytkov´ a hodnota v riziku, TVaRα , kter´a je definov´ana jako stˇredn´ı hodnota uvaˇzovan´eho rozdˇelen´ı za podm´ınky, ˇze dojde k pˇrekroˇcen´ı hodnoty v riziku VaRα . Vztah mezi obˇema zm´ınˇen´ ymi m´ırami rizika tedy lze zapsat rovnost´ı TVaRα (L) = Varα (L) + e (VaRα (L)) , (8) kde e(u) = E(L − u|L > u)
(9)
je stˇredn´ı hodnota exces˚ u nad mez´ı u. Pokud je zbytkov´a hodnota v riziku (8) uˇzita ke stanoven´ı kapit´alov´eho poˇzadavku, poskytuje v pˇr´ıpadˇe pˇrekroˇcen´ı meze dan´e kvantilem VaRα prostˇredky ve v´ yˇsi odpov´ıdaj´ıc´ı oˇcek´avan´e velikosti pˇrekroˇcen´ı t´eto meze. Prostˇrednictv´ım stˇredn´ı hodnoty e (VaRα (L)) umoˇzn ˇuje zbytkov´a m´ıra v riziku zohlednit charakter chvostu rozdˇelen´ı ztr´atov´e veliˇciny L. 4
Podrobnˇejˇs´ı v´ yklad vlastnost´ı hodnoty v riziku a zbytkov´e hodnoty v riizku lze nal´ezt napˇr´ıklad v kapitole 2 textu [3]. Z v´ yˇse nast´ınˇen´eho postupu vypl´ yv´a, ˇze modelov´an´ı ztr´at z operaˇcn´ıho rizika zaloˇzen´e na historick´ ych datech v mnoha ohledech pˇripom´ın´a modelov´an´ı ˇskodn´ıch u ´hrn˚ u v neˇzivotn´ım pojiˇstˇen´ı. V literatuˇre urˇcen´e odborn´ık˚ um v oblasti ˇr´ızen´ı rizik se proto k modelov´an´ı operaˇcn´ıho riizka ˇcasto doporuˇcuj´ı metody zn´am´e z aktu´arsk´e literatury (viz napˇr. [4], [5]). V dalˇs´ım v´ ykladu se budeme podrobnˇeji vˇenovat nˇekter´ ym aspekt˚ um stochastick´ ych model˚ u, typick´ ym pro operaˇcn´ı riziko.
9.2
Tradiˇ cn´ı aktu´ arsk´ y pˇ r´ıstup k modelov´ an´ı ztr´ at z operaˇ cn´ıho rizika
Pro modelov´an´ı celkov´ ych u ´hrn˚ u ˇskod pro jednotliv´e linie podnik´an´ı a typy ˇskodn´ıch ud´alost´ı se nab´ız´ı pˇr´ıstup kolektivn´ıho modelu rizika, kde je u ´hrn ˇskod za urˇcit´e obdob´ı pops´an veliˇcinou typu N X S= Xi , (10) i=1
kter´a m´a sloˇzen´e rozdˇelen´ı, je tedy souˇctem n´ahodn´eho poˇctu vz´ajemnˇe nez´avisl´ ych a stejnˇe rozdˇelen´ ych veliˇcin, kter´e jsou nez´avisl´e na naˇc´ıtac´ı veliˇcinˇe N . Pˇri modelov´an´ı u ´hrn˚ u ˇskod zaloˇzen´em na kolektivn´ım modelu se uvaˇzuje zvl´aˇst’ vhodn´ y ’ model pro v´ yˇse jednotliv´ ych ˇskod a zvl´aˇst model pro jejich poˇcty (ˇskodn´ı frekvenci). 9.2.1
Modelov´ an´ı v´ yˇ s´ı jednotliv´ ych ˇ skod a ˇ skodn´ı frekvence
Jako model pro v´ yˇse jednotliv´ ych ˇskod se ˇcasto vol´ı nˇekter´e parametrick´e rozdˇelen´ı spojit´e nez´aporn´e veliˇciny. Pˇripomeˇ nme zde tvar hustoty nˇekter´ ych ˇcasto pouˇz´ıvan´ ych rozdˇelen´ı: gama rozdˇelen´ı: f (x) =
(x/θ)α e−x/θ ,α x Γ(α)
> 0, θ > 0,
logaritmicko-norm´aln´ı rozdˇelen´ı: f (x) = Paretovo rozdˇelen´ı: f (x) =
αθα ,α (x+θ)α+1
√ 1 2πσ x
h exp − 21
ln x−µ 2 σ
i
, µ ∈ R, σ > 0,
> 0, θ > 0.,
Typickou vlastnost´ı rozdˇelen´ı ztr´at z operaˇcn´ıho rizika jsou tzv. tˇeˇzk´e chvosty. Tato vlastnost vyjadˇruje pomˇernˇe velkou pravdˇepodobnost v´ yskytu velmi vysok´ ych hodnot. Pojem tˇeˇzk´eho chvostu nen´ı pˇresnˇe kvantifikov´an, existuje vˇsak nˇekolik zp˚ usob˚ u, jak rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı podle chvost˚ u klasifikovat. Uved’me zde pˇrehled moˇznost´ı takov´e klasifikace dle [5]: 1) Klasifikace zaloˇzen´a na chov´an´ı chvost˚ u, tj. na limitn´ım chov´an´ı funkce P (X ≥ x) = F (x) = 1 − F (x) pro x → ∞: K porovn´an´ı chvost˚ u dvou rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ımi funkcemi F1 , F2 a stejnou stˇredn´ı hodnotou lze pouˇz´ıt limx→∞ FF1 (x) . Pokud je tato limita nekoneˇcn´a, ˇrekneme, ˇze rozdˇelen´ı s (x) 2
5
distribuˇcn´ı funkc´ı F1 m´a tˇeˇzˇs´ı chvost neˇz rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı F2 . V teorii extr´emn´ıch hodnot jsou rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ymi chvosty charakterizov´ana vztahem F (x) ≈ x−α L(x), x → ∞,
(11)
kde L je kladn´a lebesgueovsky mˇeˇriteln´a funkce na (0, ∞) splˇ nuj´ıc´ı limx→∞ L(tx) = 1, t > 0. L(x) ˇ ık´ame, ˇze L je pomalu se mˇen´ıc´ı funkce v nekoneˇcnu.) (R´ Chvosty ve tvaru F (x) = x−α L(x) charakterizuj´ı rozdˇelen´ı naleˇzej´ıc´ı do sf´ery pˇritaˇzlivosti Fr´echetova rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı G(x) = exp(−x−α ), x > 0, α > 0.
(12)
(Tzn., ˇze Fr´echetovo rozdˇelen´ı je limitou rozdˇelen´ı vhodnˇe normovan´ ych maxim Mn z n nez´avisl´ ych veliˇcin s distribuˇcn´ı funkc´ı F , pˇri n → ∞.) Pˇr´ıkladem takov´eho rozdˇelen´ı je Paretovo rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı θ α F (x) = 1 − , α > 0, θ > 0, x ≥ 0. (13) θ+x Lze uk´azat, ˇze momenty E X j rozdˇelen´ı ze sf´ery pˇritaˇzlivosti Fr´echetova rozdˇelen´ı jsou nekoneˇcn´e pro j > α. 2) Klasifikace zaloˇzen´a na momentech: Za rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ym chvostem je povaˇzov´ano rozdˇelen´ı kladn´e n´ahodn´e veliˇciny, pro kter´e existuj´ı koneˇcn´e momenty jen do urˇcit´eho ˇr´adu. Rozdˇelen´ı n´ahodn´e veliˇciny s koneˇcn´ ymi momenty vˇsech ˇr´ad˚ u je povaˇzov´ano za rozdˇelen´ı s lehk´ ym chvostem (napˇr´ıklad gama rozdˇelen´ı). 3) Klasifikace zaloˇzen´a na intenzitˇe rizika (hazard rate): Intenzita rizika pro rozdˇelen´ı s hustotou f a dekumulativn´ı distribuˇcn´ı funkc´ı F je definov´ana vztahem f (x) . (14) h(x) = F (x) Rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ym chvostem se vyznaˇcuj´ı klesaj´ıc´ı funkc´ı (14), naopak rostouc´ı funkce (14) znaˇc´ı rozdˇelen´ı s lehk´ ym chvostem. Napˇr´ıklad intenzita rizika Paretova rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı (13) m´a vyj´adˇren´ı α h(x) = , x ≥ 0. (15) x+θ 4) Klasifikace zaloˇzen´a na stˇredn´ı hodnotˇe exces˚ u: Rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ym chvostem se vyznaˇcuj´ı rostouc´ı funkc´ı e(u) (viz definice (9)), v pˇr´ıpadˇe klesaj´ıc´ı funkce e(u) mluv´ıme o rozdˇelen´ı s lehk´ ym chvostem. Souvislost dvou poslednˇe uveden´ ych v´ ysledk˚ u lze vysvˇetlit na z´akladˇe vz´ajemn´eho vztahu intenzity rizika a stˇredn´ı funkce exces˚ u. Z definice (14) plyne h Z y i F (y + u) = exp − h(u + t) dt . (16) F (u) 0 6
Stˇredn´ı hodnotu exces˚ u lze vyj´adˇrit vztahem Z ∞ F (y + u) e(u) = dy. F (u) 0
(17)
Pokud je tedy intenzita rizika klesaj´ıc´ı funkc´ı, je stˇredn´ı hodnota exces˚ u rostouc´ı funkc´ı promˇenn´e d, nebot’ dle (16) je pak rostouc´ı funkc´ı promˇenn´e d pˇri pevn´em y pod´ıl FF(y+u) . (u) Poznamenejme, ˇze obr´acen´a implikace v tomto pˇr´ıpadˇe neplat´ı. Pro modelov´an´ı poˇct˚ u ˇskod nastal´ ych v urˇcit´em ˇcasov´em obdob´ı je nejobl´ıbenˇejˇs´ım modelem Poissonovo rozdˇelen´ı definovan´e pravdˇepodobnostmi λn −λ e , n = 0, 1, . . . , λ > 0. P(N = n) = n Parametr λ Poissonova rozdˇelen´ı je roven stˇredn´ı hodnotˇe i rozptylu. Pokud pozorovan´e poˇcty ˇskod vykazuj´ı vˇetˇs´ı rozptyl, neˇz je jejich stˇredn´ı hodnota, m˚ uˇze b´ yt vhodn´ ym modelem negativnˇe binomick´e rozdˇelen´ı, kter´e lze odvodit jako Poissonovo rozdˇelen´ı s n´ahodn´ ym parametrem maj´ıc´ım gama rozdˇelen´ı. Basilejsk´ y v´ ybor pro bankovn´ı dohled vydal v roce 2009 publikaci [6], kter´a shrnuje v´ ysledky pr˚ uzkumu uskuteˇcnˇen´eho v roce 2008 mezi bankami, kter´e pouˇz´ıvaj´ı pro v´ ypoˇcet kapit´alov´eho poˇzadavku k operaˇcn´ımu riziku nˇekter´ y z postup˚ u metodiky Basel II. V koneˇcn´e zpr´avˇe byly pouˇzity pouze odpovˇedi bank, kter´e mohou pouˇz´ıvat pokroˇcil´ y AMA pˇr´ıstup, nebo jsou org´any dohledu povaˇzov´any za kandid´aty pro tento pˇr´ıstup. Materi´al tedy ukazuje praxi v bank´ach s rozvinut´ ymi metodami modelov´an´ı operaˇcn´ıho rizika. Pr˚ uzkum zahrnoval odpovˇedi celkem 42 bank, z toho bylo 20 bank z Evropy, 10 ze Severn´ı Ameriky, 5 z Austr´alie a 7 z Japonska. Banky ve sv´e vˇetˇsinˇe uˇz´ıvaj´ı k modelov´an´ı v´ıce neˇz jeden pˇr´ıstup, mohly proto tak´e v odpovˇed´ıch volit v´ıce moˇznost´ı. Uved’me nˇekter´e v´ ysledky pr˚ uzkumu ohlednˇe uˇzit´ı pravdˇepodobnostn´ıch rozdˇelen´ı pro modelov´an´ı ztr´at z operaˇcn´ıho rizika. Valn´a vˇetˇsina bank pˇristupuje oddˇelenˇe k modelov´an´ı v´ yˇs´ı ˇskod a k modelov´an´ı ˇskodn´ı frekvence. 31% dotazovan´ ych bank pouˇz´ıv´a jeden model pro postiˇzen´ı v´ yˇs´ı jednotliv´ ych ˇskod, nejobl´ıbenˇejˇs´ı je v tomto pˇr´ıpadˇe logarimicko-norm´aln´ı rozdˇelen´ı (33%) a Weibullovo rozdˇelen´ı (17%). 30% bank pouˇz´ıv´a dvˇe rozd´ıln´a rozdˇelen´ı, z nichˇz jedno vystihuje ˇskody bˇeˇzn´e v´ yˇse a druh´e pak velmi vysok´e ˇskody, nast´avaj´ıc´ı s malou frekvenc´ı. Pro ˇskody bˇeˇzn´e v´ yˇse je z parametrick´ ych model˚ u opˇet nejˇcastˇeji voleno logaritmicko-norm´aln´ı rozdˇelen´ı (19%), 26% bank uv´ad´ı vyuˇzit´ı empirick´eho rozdˇelen´ı z´ıskan´eho z dat. Pro modelov´an´ı chvost˚ u rozdˇelen´ı v´ yˇs´ı ˇskod je nejˇcastˇeji uv´adˇeno zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı (31%), n´asledov´ano logaritmickonorm´aln´ım rozdˇelen´ım (14%). Pouˇzit´ı zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı pro modelov´an´ı vysok´ ych ˇskod, vych´azej´ıc´ı z teorie extr´emn´ıch hodnot, bude pˇredmˇetem v´ ykladu v dalˇs´ı ˇc´asti tohoto textu. Pokud jde o modelov´an´ı poˇct˚ u ˇskod, je jednoznaˇcnˇe nejobl´ıbenˇejˇs´ım modelem Poissonovo rozdˇelen´ı, kter´e zvolilo 93% vˇsech dotazovan´ ych bank. Pouˇz´ıv´an´ı negativnˇe binomick´eho modelu uvedlo 19% bank, 7% bank se pˇrihl´asilo k vyuˇzit´ı jin´ ych diskr´etn´ıch rozdˇelen´ı. 7
9.2.2
V´ ypoˇ cet sloˇ zen´ ych rozdˇ elen´ı
Pro v´ ypoˇcet rozdˇelen´ı celkov´ ych roˇcn´ıch u ´hrn˚ u ˇskod je moˇzno vedle stochastick´ ych simulac´ı vyuˇz´ıt celou ˇradu metod, bˇeˇznˇe popisovan´ ych v aktu´arsk´e literatuˇre. Pro pˇrehlednost zde struˇcnˇe zm´ın´ıme hlavn´ı skupiny tˇechto metod: 1) Aproximace. Do t´eto skupiny metod lze zaˇradit napˇr´ıklad pˇribl´ıˇzen´ı distribuˇcn´ı funkce nebo hustoty pomoc´ı posunut´eho gama rozdˇelen´ı nebo posunut´eho logaritmicko-norm´aln´ıho rozdˇelen´ı, zaloˇzen´e na shodˇe prvn´ıch tˇr´ı moment˚ u, pˇribl´ıˇzen´ı vych´azej´ıc´ı z Edworthova rozvoje apod. Pˇr´ıklady tˇechto metod lze nal´ezt napˇr´ıklad v [7]. 2) Inverzn´ı metody. Jde o metody vyuˇz´ıvan´e k numerick´emu v´ ypoˇctu rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı ze zn´am´eho vyj´adˇren´ı nˇekter´e transformace jeho distribuˇcn´ı funkce. Velmi zn´am´ ym pˇr´ıkladem takov´e metody je rychl´a Fourierova transformace (FFT), kter´a umoˇzn ˇuje v´ ypoˇcet diskr´etn´ıho rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı inverz´ı jeho charakteristick´e funkce. 3) Rekurzivn´ı metody. Metoda pro rekurzivn´ı v´ ypoˇcet sloˇzen´eho rozdˇelen´ı je zn´am´a pod n´azvem Panjerova rekurze. Zavedeme-li pro rozdˇelen´ı poˇct˚ u ˇskod ve sloˇzen´em rozdˇelen´ı oznaˇcen´ı pn = P (N = n), pak je vyuˇzit´ı rekurzivn´ı metody moˇzn´e v pˇr´ıpadˇe, ˇze toto rozdˇelen´ı splˇ nuje rekurentn´ı vztah b pn−1 , n = 1, 2, . . . (18) pn = a + n pro nˇejak´e re´aln´e parametry a a b. Lze uk´azat, ˇze jedin´a rozdˇelen´ı, vyhovuj´ıc´ı podm´ınce (18), jsou Poissonovo, negativnˇe binomick´e a binomick´e rozdˇelen´ı. Rozdˇelen´ı v´ yˇs´ı ˇskod je pro u ´ˇcely rekurzivn´ı metody povaˇzov´ano za diskr´etn´ı. V praxi se obvykle ze spojit0ho rozdˇelen´ı v´ yˇs´ı ˇskod pˇrejde k diskr´etn´ımu rozdˇelen´ı zaokrouhlen´ım, tj. soustˇredˇen´ım pravdˇepodobnosti odpov´ıdaj´ıc´ı hodnot´am z urˇcit´eho intervalu do jednoho bodu. Potom i sloˇzen´e rozdˇelen´ı (10) je diskr´etn´ı a pravdˇepodobnosti pro jednotliv´e celoˇc´ıseln´e hodnoty se vypoˇctou pomoc´ı rekurzivn´ı formule P(S = k) =
k X m=1
bm a+ k
P(X = m) P(S = k − m), k = 1, 2, . . .
(19)
Detailnˇe je Panjerova rekurze pˇredstavena napˇr´ıklad v 6. kapitole knihy [5].
9.3
Modelov´ an´ı ztr´ at z operaˇ cn´ıho rizika zaloˇ zen´ e na teorii extr´ em˚ u
Klasick´e aktu´arsk´e pˇr´ıstupy k modelov´an´ı u ´hrn˚ u ˇskod ˇcasto neumoˇzn ˇuj´ı realisticky vystihnout chov´an´ı chvost˚ u rozdˇelen´ı ˇskodn´ıch veliˇcin. Pro spr´avn´e vyhodnocen´ı rizika velmi vysok´ ych a s mal´ ymi pravdˇepodobnostmi nast´avaj´ıc´ıh ˇskod se proto pouˇz´ıv´a metodika vych´azej´ıc´ı z teorie extr´emn´ıch hodnot, kter´a je oznaˇcov´ana zkratkou POT (z anglick´eho peaks over treshold ). Vych´az´ı se pˇri n´ı ze sledov´an´ı hodnot pˇrekraˇcuj´ıc´ıch urˇcitou vysokou mez (exces˚ u). 8
Z´akladn´ı pojmy teorie extr´emn´ıch hodnot vˇcetnˇe z´aklad˚ u POT - metody byly vyloˇzeny v 4. kapitole [3]. Nyn´ı nˇekter´e pojmy zopakujeme, v´ yklad rozˇs´ıˇr´ıme a zm´ın´ıme moˇzn´a u ´skal´ı pouˇzit´ı POT - metody k mˇeˇren´ı operaˇcn´ıho rizika. 9.3.1
POT - model
Z´akladn´ım modelem je pro POT - metodu zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı, jehoˇz distribuˇcn´ı funkce je d´ana vztahem Wγ,β (x) = 1 − (1 + γ x/β)−1/γ (20) pro γ 6= 0, resp. Wγ,β (x) = 1 − exp(−x/β)
(21)
pro γ = 0. Parametr β je v obou pˇr´ıpadech kladn´ y. Pro γ ≥ 0 je zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı definov´ano pro nez´aporn´a x, v pˇr´ıpadˇe γ < 0 je nosiˇcem rozdˇelen´ı interval [0, −β/γ]. Stˇredn´ı hodnota rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı (20) resp. (21) je koneˇcn´a v pˇr´ıpadˇe γ < 1 a m´a vyj´adˇren´ı β . (22) EX = 1−γ Pˇripomeˇ nme rovnˇeˇz vyj´adˇren´ı distribuˇcn´ı funkce zobecnˇen´eho rozdˇelen´ı extr´emn´ıch hodnot ve tvaru −1/γ ! x−µ (23) Gγ,µ,σ (x) = exp − 1 + γ σ pro γ 6= 0, resp.
Gγ,µ,σ (x) = exp −e
x−µ σ
(24)
pro γ = 0. Distribuˇcn´ı funkce (23) je definov´ana pro x splˇ nuj´ıc´ı 1 + γ x−µ > 0. σ Z hlediska vysok´ ych ˇskod je d˚ uleˇzit´ ym modelem Fr´echetovo rozdˇelen´ı, kter´e m´a v tomto pˇr´ıpadˇe distribuˇcn´ı funkci (23) s parametrem γ > 0. Z distribuˇcn´ı funkce (12) lze toto rozdˇelen´ı odvodit reparametrizac´ı γ = α1 a pˇrid´an´ım parametr˚ u polohy a mˇeˇr´ıtka. Pˇripomeˇ nme jeˇstˇe oznaˇcen´ı F (u) (x) = P(X − u ≤ x|X > u), x ≥ 0
(25)
pro distribuˇcn´ı funkci rozdˇelen´ı exces˚ u nad mez´ı u. Pouˇzit´ı modelu zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı k popisu vysok´ ych ˇskod je teoreticky podloˇzeno zn´am´ ym v´ ysledkem teorie extr´em˚ u, kter´ y ˇr´ık´a, ˇze pro distribuˇcn´ı funkci F n´aleˇzej´ıc´ı do sf´ery pˇritaˇzlivosti rozdˇelen´ı extr´emn´ıch hodnot s parametrem γ lze naj´ıt kladnou funkci β(u) tak, ˇze rozdˇelen´ı exces˚ u nad mez´ı u lze pro velk´a u aproximovat zobecnˇen´ ym Paretov´ ym rozdˇelen´ım s distribuˇcn´ı funkc´ı Wγ,β(u) . Vzhledem k tomu, ˇze v podstatˇe kaˇzd´e bˇeˇznˇe uˇz´ıvan´e spojit´e rozdˇelen´ı pravdˇepodobnost´ı naleˇz´ı do sf´ery pˇritaˇzlivosti nˇekter´eho rozdˇelen´ı extr´emn´ıch hodnot (rozliˇsen´ ych na tˇri typy podle parametru γ), slouˇz´ı v´ yˇse uveden´ y v´ ysledek k od˚ uvodnˇen´ı toho, ˇze pro 9
dostateˇcnˇe vysokou mez se pouˇz´ıv´a zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı pˇr´ımo jako model vystihuj´ıc´ı rozdˇelen´ı velikosti exces˚ u nad touto mez´ı. POT - model je obvykle formulov´an pomoc´ı n´asleduj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: 1) Okamˇziky pˇrekroˇcen´ı vysok´e meze u posloupnost´ı vz´ajemnˇe nez´avisl´ ych a stejnˇe rozdˇelen´ ych n´ahodn´ ych veliˇcin tvoˇr´ı Poisson˚ uv proces. 2)Velikosti pˇrekroˇcen´ı vysok´e meze (excesy) jsou vz´ajemnˇe nez´avisl´e a maj´ı zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı. 3) Velikosti exces˚ u a okamˇziky pˇrekroˇcen´ı meze u jsou vz´ajemnˇe nez´avisl´e. Pro u ´ˇcely anal´ yzy extr´emn´ıch hodnot m˚ uˇze b´ yt uˇziteˇcn´ y n´asleduj´ıc´ı v´ ysledek, ukazuj´ıc´ı na urˇcitou souvislost mezi obˇema hlavn´ımi typy rozdˇelen´ı z teorie extr´em˚ u. Tvrzen´ı 1. Necht’ N je n´ahodn´a veliˇcina, kter´ a m´ a Poissonovo rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou λ a je nez´avisl´a na posloupnosti {Xn , n ≥ 1} vz´ ajemnˇe nez´ avisl´ych a stejnˇe rozdˇelen´ych veliˇcin, kter´e maj´ı zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı Wγ,β . D´ ale necht’ MN = max(X1 , . . . , XN ). Potom plat´ı P (MN ≤ x) = exp −λ (1 + γ x/β)−1/γ = Gγ,µ,σ (x), kde µ = β γ −1 (λγ − 1), σ = β λγ pro γ 6= 0 a µ = β log λ, σ = β pro γ = 0. Podle v´ yˇse uveden´eho tvrzen´ı v modelu, ve kter´em m´a poˇcet pˇrekroˇcen´ı meze u Poissonovo rozdˇelen´ı a excesy maj´ı zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı s parametrem γ, maj´ı maxima tˇechto exces˚ u zobecnˇen´e rozdˇelen´ı extr´emn´ıch hodnot se stejn´ ym parametrem γ. D˚ ukaz. Distribuˇcn´ı funkci maxima MN lze vyj´adˇrit ve tvaru P (MN ≤ x) =
∞ X n=0
e−λ
λn n W (x) = exp (−λ (1 − Wγ,β (x)) . n! γ,β
Po dosazen´ı dost´av´ame v pˇr´ıpadˇe γ 6= 0 −1/γ ! x −1/γ x − γ −1 β (λγ − 1) P (MN ≤ x) = exp −λ (1 + γ ) . = exp − 1 + γ β β λγ Pˇr´ıpad γ = 0 se redukuje na P (MN ≤ x) = exp −e−(x−β log λ)/β .
Pro identifikaci zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı se ˇcasto uˇz´ıv´a stˇredn´ı hodnoty exces˚ u e(u) (stˇredn´ı hodnoty rozdˇelen´ı (25)), kter´a m´a pro zobecnˇen´e Paretovo rozdˇelen´ı s distribuˇcn´ı funkc´ı (20) s parametrem γ < 1 (podm´ınka existence stˇredn´ı hodnoty) tvar e(u) =
β+γu 1−γ
10
(26)
pro u splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku β + γ u > 0. Pˇrirozen´ ym odhadem stˇredn´ı hodnoty exces˚ u je n X d = 1 e(u) (Xi − u)+ , u ≥ 0, (27) Nu i=1 kde Nu je poˇcet pˇrekroˇcen´ı meze u v pozorovan´ ych datech o rozsahu n. Pokud vykazuje pr˚ ubˇeh empirick´e funkce (27) od urˇcit´e vysok´e meze u line´arn´ı trend, lze pˇr´ısluˇsn´e rozdˇelen´ı exces˚ u aproximovat zobecnˇen´ ym Paretov´ ym rozdˇelen´ım. POT - metoda odhadu chvostu rozdˇelen´ı je zaloˇzena na vztahu F (x) = F (u) F (u) (x − u)
(28)
platn´em pro x ≥ u. (Podobnˇe jako v´ yˇse zde pruhem znaˇc´ıme dekumulativn´ı distribuˇcn´ı funkci 1 − F .) Odhad funkce F (x) v bodech leˇz´ıc´ıch nad zvolenou vysokou mez´ı u pak dostaneme jako souˇcin odhad˚ u jednotliv´ ych ˇcinitel˚ u na prav´e stranˇe (28). Tyto d´ılˇc´ı odhady jsou tvaru Nu [ F (u) = , n kde Nu opˇet znaˇc´ı pozorovan´ y poˇcet pˇrekroˇcen´ı zvolen´e meze u, −1/ˆγ x−u \ (u) , F (x − u) = 1 + γˆ βˆ
(29)
(30)
kde za parametry zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı dosazujeme jejich odhady z´ıskan´e z dat, napˇr´ıklad metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti (viz [3], odstavec 4.2.5). Celkem dost´av´ame pro x ≥ u −1/ˆγ Nu x−u [ . (31) F (x) = 1 + γˆ n βˆ Pozn´ amka. Vyj´adˇren´ı (31) m˚ uˇzeme upravit na tvar −1/ˆγ γ Nu −ˆ 0 ˆ x−u+β − 1 /ˆ γ n [ F (x) = 1 + γˆ x ≥ u, βˆ0 kde βˆ0 = βˆ
(32)
ˆ Nu γ n
. To odpov´ıd´a zobecnˇen´emu Paretovu elen´ ı s parametrem tvaru γˆ , rozdˇ −ˆ γ parametrem polohy βˆ0 a parametrem mˇeˇr´ıtka u − βˆ0 Nnu − 1 /ˆ γ. Z odhadu (31) odvod´ıme odhad hodnoty v riziku (α-kvantilu) pro α > 1 − ˆ 1 − α −ˆγ \α = u + β VaR −1 . γˆ Nu /n
Nu : n
(33)
Pro vyj´adˇren´ı zbytkov´e hodnoty v riziku v modelu se zobecnˇen´ ym Paretov´ ym rozdˇelen´ım exces˚ u nad zvolenou vysokou mez´ı u vyuˇzijeme n´asleduj´ıc´ı vlastnost uvaˇzovan´eho rozdˇelen´ı. 11
Tvrzen´ı 2. Necht’ rozdˇelen´ı exces˚ u nad mez´ı u je zobecnˇen´e Paretovo s parametry γ a β, tj. F (u) (x) = Wγ,β (x) pro x takov´a, ˇze x + u n´ aleˇz´ı do definiˇcn´ıho oboru distribuˇcn´ı funkce F . Potom rozdˇelen´ı exces˚ u nad libovolnou vyˇsˇs´ı mez´ı v > u je opˇet zobecnˇen´e Paretovo, (v) pˇritom plat´ı F (x) = Wγ,β+γ (v−u) (x). D˚ ukaz. K d˚ ukazu vyuˇzijeme vztah mezi distribuˇcn´ı funkc´ı exces˚ u F (u) a p˚ uvodn´ı distribuˇcn´ı funkc´ı F (resp. mezi pˇr´ısluˇsn´ ymi dekumulativn´ımi distribuˇcn´ımi funkcemi). F (v) (x) = =
F (u) F (u + (x + v − u)) F (v + x) = F (u + (v − u)) F (u) F (v) F (u) (x + v − u)
F (u) (v − u) = Wγ,β+γ (v−u) (x).
=
Wγ,β (x + v − u) Wγ,β (v − u)
Ve vyj´adˇren´ı zbytkov´e hodnoty v riziku figuruje stˇredn´ı hodnota exces˚ u nad mez´ı rovnou hodnotˇe v riziku VaRα , kterou lze dle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı a dle (22) ps´at ve tvaru E (X − Varα |X > VaRα ) =
β + γ(VaRα −u) , 1−γ
(34)
pˇri splnˇen´ı podm´ınek u ≤ VaRα , γ < 1 a β + γ (VaRα −u) > 0. Odtud a z (8) dost´av´ame vyj´adˇren´ı zbytkov´e hodnoty v riziku ve tvaru TVaRα =
VaRα β − γ u + . 1−γ 1−γ
(35)
Odhad zbytkov´e hodnoty v riziku pak obdrˇz´ıme dosazen´ım do (35) odhadu (33) a odhadnut´ ych parametr˚ u βˆ a γˆ . 9.3.2
Pouˇ zitelnost standardn´ıch a POT - metod v praxi
V z´avˇeru zm´ın´ıme nˇekter´a u ´skal´ı, na kter´a lze narazit pˇri aplikaci v´ yˇse vyloˇzen´ ych metod na data o ˇskod´ach z operaˇcn´ıho rizika. 1) Nestacionarita dat. V oblasti operaˇcn´ıho rizika se lze setkat s pˇr´ıpady, kdy okamˇziky jednotliv´ ych ˇskodn´ıch ud´alost´ı jsou v ˇcase rozloˇzeny znaˇcnˇe nepravidelnˇe. Tato nepravidelnost m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobena napˇr´ıklad t´ım, ˇze ˇskody starˇs´ıho data mohou vypadnout z datab´az´ı, m˚ uˇze b´ yt tak´e d˚ usledkem obchodn´ıch ˇci ekonomick´ ych cykl˚ u, z´asahu managementu apod. Vysok´e ˇskody mohou m´ıt tendenci vyskytovat se ve shluc´ıch. Pˇr´ıklady alternativ k tradiˇcn´ımu POT - modelu vych´azej´ıc´ımu z pˇredpokladu, ˇze okamˇziky vzniku ˇskod se ˇr´ıd´ı Poissonov´ ym procesem, lze nal´ezt napˇr´ıklad v knize [4]. 2) Neopakuj´ıc´ı se data. Autoˇri ˇcl´anku [8] poukazuj´ı na rozd´ıln´ y charakter ˇskod z operaˇcn´ıho rizika v z´avislosti na typu ˇskodn´ı ud´alosti. Banka se setk´av´a s ˇradou mal´ ych aˇz stˇrednˇe 12
vysok´ ych ˇskod, kter´e se pomˇernˇe ˇcasto a s jistou pravidelnost´ı opakuj´ı. Jako pˇr´ıklad mohou slouˇzit ˇskody zp˚ usoben´e administrativn´ımi chybami pˇri zpracov´an´ı transakc´ı, selh´an´ı v´ ypoˇcetn´ıch syst´em˚ u, chyby v programech. Oproti tomu jin´e typy ˇskod se vyskytuj´ı zˇr´ıdka a v datech nejsou zastoupeny v dostateˇcn´em rozsahu, kter´ y by umoˇzn ˇoval jejich statistickou anal´ yzu. Pro takov´e ˇskody je typick´ y jejich znaˇcn´ y rozsah, kter´ y m˚ uˇze v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech ohrozit samotnou existenci podniku. Typick´ ym pˇr´ıkladem je podvodn´e jedn´an´ı zamˇestnance, kter´ y zp˚ usob´ı ˇskodu napˇr´ıklad rizikov´ ymi obchody pˇresahuj´ıc´ımi jeho schv´alen´e limity. Moˇznosti kvantitativn´ıch metod mˇeˇren´ı rizika a jeho ˇr´ızen´ı pomoc´ı vypoˇcten´eho kapit´alov´eho poˇzadavku jsou v pˇr´ıpadˇe takov´ ych ˇskod velmi omezen´e a k ochranˇe pˇred nimi je tˇreba vyuˇz´ıvat zejm´ena n´astroj˚ u kvalitativn´ıho ˇr´ızen´ı rizik spadaj´ıc´ıho pod druh´ y pil´ıˇr metodiky Basel II. 3) Volba meze u pro pouˇzitelnost POT - modelu. Jedn´ım z hledisek pˇri volbˇe vhodn´e meze pro vysok´e ˇskody je pouˇzitelnost zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı, kter´a je zd˚ uvodnˇena dostateˇcnou velikost´ı meze u, jak bylo vysvˇetleno v´ yˇse. Z velikosti zvolen´e meze vˇsak m˚ uˇze plynout probl´em nedostateˇcn´eho poˇctu exces˚ u, neumoˇzn ˇuj´ıc´ıho spolehliv´ y odhad hodnot popisuj´ıc´ıch chvost dan´eho rozdˇelen´ı, jak´ ymi jsou napˇr´ıklad vysok´e kvantily. Pro ilustraci tohoto probl´emu uved’me nˇekter´e v´ ysledky ze simulaˇcn´ı studie [9]. Jde o studii pˇresnosti odhadu kvantil˚ u VaRα pro vysok´e hodnoty α zaloˇzenou na srovn´an´ı odhadnut´ ych kvantil˚ u s teoretick´ ymi hodnotami. Pouˇzit´ y postup lze shrnout do nˇekolika bod˚ u: 1) Pro vybranou distribuˇcn´ı funkci F zn´am´eho rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ ymi chvosty se zvol´ı α0 < α < 1 a poˇcet exces˚ u Nu . 2) Vypoˇcte se u = VaRα0 . 3) Vypoˇcte se skuteˇcn´a hodnota kvantilu VaRα . 4) Simulac´ı se z´ısk´a Nu nez´avisl´ ych realizac´ı pˇrekraˇcuj´ıc´ıch hodnotu u, zaznamen´a se celkov´ y poˇcet n simulovan´ ych hodnot, kter´ y byl tˇreba k dosaˇzen´ı Nu exces˚ u. 5) Odhadnou se parametry γ a β proloˇzen´ım zobecnˇen´eho Paretova rozdˇelen´ı Nu excesy metodou maxim´aln´ı vˇerohodnosti. −ˆγ 1−α \α = u + βˆ − 1 . 6) Vypoˇcte se VaR γ ˆ Nu /n 7) Kroky 4-6 se opakuj´ı 500-kr´at za u ´ˇcelem odhadu vych´ ylen´ı a stˇredn´ı kvadratick´e chyby odhadnut´ ych kvantil˚ u. K posouzen´ı pˇresnosti odhadu kvantil˚ u se uˇz´ıv´a vych´ ylen´ı odhadu definovan´e vztahem \α ) = E |VaR \α − VaRα |. Bias(VaR
(36)
Charakteristika (36) se odhaduje pr˚ umˇerem 500
1 X\ VaRα,i − VaRα . 500 i=1 13
(37)
Podobnˇe se vypoˇcte stˇredn´ı kvadratick´a chyba (root mean square error) definovan´a vztahem r 2 \ \ RMSE(VaRα ) = E VaRα − VaRα . (38)
Literatura [1] Vyhl´aˇska ˇc. 123/2007 Sb. o pravidlech obezˇretn´eho podnik´an´ı bank, spoˇriteln´ıch a u ´vˇern´ıch druˇzstev a obchodn´ık˚ u s cenn´ ymi pap´ıry, ve znˇen´ı vyhl´aˇsky ˇc. 89/2011 Sb. [2] International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Framework - Comprehensive Version. Basel Committee on Banking Supervision, 2006. Dostupn´e na http://www.bis.org/publ/bcbs128.htm. [3] P. Mandl, L. Mazurov´a, I. Justov´a: Matematika a ˇr´ızen´ı rizik 2009/10. Matfyzpress, Praha 2010. [4] A.J.McNeil, R.Frey, P.Embrechts: Quantitative Risk Management. Princeton University Press, 2005. [5] H.H.Panjer: Operational Risk. Modeling Analytics. John Wiley & Sons, 2006. [6] Observed range of practice in key elements of Advanced Measurement Approaches (AMA). Basel Committee on Banking Supervision, 2009. Dostupn´e na http://www.bis.org/publ/bcbs160.htm. [7] P. Mandl, L. Mazurov´a: Matematick´e z´aklady neˇzivotn´ıho pojiˇstˇen´ı. Matfyzpress, Praha 1999. [8] P. Embrechts, H. Furrer, R. Kaufmann: Quantifying Regulatory Capital for Operational Risk. Derivatives Use, Trading & Regulation 9(2003), 217-233. [9] A.J. McNeil, T. Saladin: The peaks over thresholds method for estimating high quantiles of loss distributions. Proceedings of XXVIIth International ASTIN Colloquium, Cairns (1997), 23-43.
14
Vˇ ecn´ y rejstˇ r´ık AMA pˇr´ıstup, 3 Basel II, 1 BIA pˇr´ıstup, 2 funkce pomalu se mˇen´ıc´ı v nekoneˇcnu, 6 hodnota v riziku, 4, 11 intenzita rizika, 6 kapit´alov´ y poˇzadavek, 2 kolektivn´ı modle rizika, 5 komonot´onn´ı n´ahodn´e veliˇciny, 4 linie podnik´an´ı, 2 operaˇcn´ı riziko, 1 Panjerova rekurze, 8 POT - metodika, 8 POT - model, 9 rozdˇelen´ı extr´emn´ıch hodnot, 9 Fr´echetovo, 6, 9 gama, 5 logaritmicko-norm´aln´ı, 5 negativnˇe binomick´e, 7 Paretovo, 5 Poissonovo, 7 sloˇzen´e, 5 sf´era pˇritaˇzlivosti, 6 Solventnost II, 1 stˇredn´ı hodnota exces˚ u, 4 stˇredn´ı kvadratick´a chyba, 14 standardizovan´ y pˇr´ıstup, 2 tˇeˇzk´e chvosty, 5 vych´ ylen´ı odhadu, 13 zbytkov´a hodnota v riziku, 4 15
