Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP

Lingkaran & Garis Singgung A.

B.

Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan titik pusat P ditulis “ [ P” Unsur-unsur pada lingkaran :  Titik P disebut pusat lingkaran  Jari-Jari adalah jarak antara pusat lingkaran dengan titik yang ada dilingkaran. AP = PB = PC adalah jarijari lingkaran dengan panjang r Gambar 1  Tali Busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : BC dan AB  Diameter adalah tali busur yang melalu pusat lingkaran. Panjang Diameter adalah 2 kali jarijari lingkaran. Contoh pada gambar 1 : AB  Apotema adalah jarak tali busur ke pusat lingkaran. Contoh pada gambar 1 : PQ adalah Apotema [ P  Busur adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : Garis lengkung AB, Garis lengkung BC, Garis lengkung AC  Juring adalah Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Contoh pada gambar 1 : daerah APC, daerah BCP dan daerah APB  Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan sebuah tali busur. Contoh pada gambar 1 : daerah yang dibatasi oleh busur CB dan tali busur CB Keliling & Luas Lingkaran Keliling Lingkaran : K = 2  r =  d Luas Lingkaran : L =  r2 =  d Keterangan : =

atau  = 3,14

r = jari-jari lingkaran d = diameter Contoh : Pada gambar berikut ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 28 cm. Berapa keliling dan luas lingkaran yang diarsir ? Jawab : Diketahui diameter lingkaran besar d1 = 28 cm, r1 = 14 cm dan diameter lingkaran kecil d2 = 14 cm, r2 = 7 cm

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP. 085655092901 - 085331221413

a. Keliling daerah yang diarsir = (½ K [ besar) + K [ kecil = (½  d1) +  d2 = (½ x

x 28) + (

x 14)

= 44 + 44 = 88 cm b. Luas daerah yang diarsir = (½ L [ besar) - L [ kecil = ½  r12 +  r22 = (½ x

C.

x 142) – (

x 72)

= 308 – 154 = 154 cm2 Panjang Busur Perhatikan gambar 1 di atas : Panjang Busur AC =

x Keliling Lingkaran

Contoh : Perhatikan gambar 1, Tentukan panjang busur BC jika sudut CPB = 108o dan jari-jari lingkaran 7 cm ? Jawab : x Keliling [ P

Panjang Busur BC = =

x (2  r)

=

x (2 .

. 7)

= 0,3 x 44 = 13,2 cm D.

Luas Juring Masih pada gambar 1 di atas : x Luas [ P

Luas Juring APC =

Contoh : Pada gambar 1, Tentukan luas juring APC jika CPB = 108o dan jari-jari lingkaran 7 cm ! Jawab : x Luas [ P

Luas Juring APC = o

= 180 = 180o – 108o = 72o Luas Juring APC =

x  r2

= 0,2 x (

. 72)

= 0,2 x 154 = 30,8 cm2 E.

Luas Tembereng Pada gambar 1 di atas : Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC – L. œ BPC


Contoh : Masih pada gambar 1, jika jari-jari lingkaran P adalah 13 cm, panjang tali busur BC = 24 cm, dan = 25o. berapa luas tembereng BCT ? Jawab : Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC – L. œ BPC L. Juring BPC

x  r2

= = =

x

= 0,36 x 531,14 = 191,21 cm2 = ½ BC x PQ

L. œ BPC

F.

. 132)

x(

= ½ x 24 x √ = 12 x 5 = 60 cm2 Luas Tembereng BCT = 191,21 – 60 = 131,21 cm2 Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring Serta Luas Lingkaran Perhatikan gambar ! 1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring = 2.

=

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Lingkaran =

=

Contoh : Jika jari-jari [ P = 10 cm dan luas juring APB yang diarsir. Jawab :

= 60o, berapa

? jika luas juring DPC yang diarsir 2 kali

= Luas Juring APB = =

x Luas [ P x(

x 102)

= 52,3 cm2 = = =

= 120o

Secara singkat, karena luas juring diarsir DPC besarnya 2 kali lipat luas juring diarsir APB maka besar sudut DPC dua kali lipat besar sudut APB


G.

H.

Sudut-Sudut pada Lingkaran dan Hubungannya merupakan sudut pusat , dan merupakan sudut keliling 1. Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling. = 2 x , karena (sudut pusat) dengan (sudut keliling) menghadap busur yang sama yaitu busr AB 2. Sudut keliling yang menghadap busur sama besarnya sama = = karena menghadap busur yang sama yaitu busur AB 3. Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90o. = 90o (siku-siku), karena menghadap diameter lingkaran Contoh : AC adalah diameter lingkaran. Jika besar = 30o. Berapa besar ? Jawab : merupakan sudut keliling dengan besar 30o. Dan menghadap busur yang sama dengan sudut pusat . Maka : =2x = 2 x 30o = 60o. dan saling berpelurus, maka : + = 180o 60o + = 180o = 120o Sifat Segi Empat Tali Busur Segi empat tali busur adalah segiempat yang dibatasi oleh empat tali busur dimana keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. 1. Jumlah sudut yang berhadapan 180o. + = 180o + = 180o 2. HAsil kali panjang diagonal = jumlah perkalian sisi yang berhadapan. AC x BD = (AB x CD) + (AD x BC) 3. Hasil kali bagian diagonal adalah sama AE x EC = BE x ED Contoh : Perhatikan gambar ! Berapa besar dan ? Jawab : Jumlah sudut yang berhadapan 180o. = 180o -


I.

J.

= 180o – 135o = 45o = 180o = 180o – 80o = 100o Sudut Antar Dua Tali Busur 1. Berpotongan di dalam = + Atau =½( + ) 2. Berpotongan di Luar = Atau =½( ) Contoh : Pada gambar berikut, O ousat lingkaran. Jika = 55o dan = 30o, berapa besar ? Jawab : =½( ) o o 30 = ½ ( – 55 ) o ½ = 30 + 27,5o = 57,5o = 115o Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran dalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. 1. Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran PB2 = AP2 + AB2 AB = √

2.

Garis Singgung Persekutuan Luar AB = √ PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran r1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil)

3.

Garis Singgung Persekutuan Dalam AB = √ PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran


r1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil) Contoh : Pada gambar berikut, lingkaran P berjari-jari 7 cm dan lingkaran Q berjari-jari 5 cm. Berapa panjang ruas garis singgung persekutuan AB ? Jawab : Diketahui r1 = 7 cm dan r2 = 5 cm Lingkaran P dan lingkaran Q bersinggungan sehingga jarak PQ = r1 + r2 = 7 + 5 = 12 cm AB = √ = √ = √ K.

= √ =√ = 2 √ cm Lingkaran Dalam & Lingkaran Luar Segitiga 1. Lingkaran Dalam Segitiga

Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga adalah r, AB = c, BC = a, AC = b r= dengan :

2.

Luas œABC = √ S = ½ (a + b + c) Lingkaran Luar Segitiga

Misalkan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah r, AB = c, BC = a, AC = b maka : r=


Contoh : Perhatikan gambar ! Berapa luas daerah yang diarsir ? (  = 3,14) Jawab : Panjang sisi miring segitiga dalam lingkaran = =√ =√ = 20 cm √ Luas yang diarsir = Luas lingkaran – Luas segitiga Untuk mencari luas lingkaran harus tahu jari-jari lingkaran r. r= Luas setiga ABC = ½ x 16 x 12 = 96 cm2 r=

L.

= 10 cm

Luas Lingkaran =  r2 = 3,14 x 102 = 314 cm2 Jadi Luas daerah yang diarsir = 314 – 96 = 218 cm2 SOAL 1. Sebuah segi tiga ABC dengan panjang sisi AB = 13 cm dan AC 15 cm, luasnya 24 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah 4 cm, maka panjang garis tinggi menuju sisi BC adalah … a. 6 cm c. 12 cm b. 7 cm d. 4 cm (UN 2000/2001) 2. Jika jarak pusat lingkaran luar segi enam beraturan ke sisinya adalah 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran luar segi enam tersebut adalah … a. 6 √ cm b. 4 √ cm c. 3 √ cm

3.

4.

d. 2 √ cm (UN 2000/2001) Dua lingkaran masing-masing dengan jari-jari 17 cm dan 25 cm, panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran tersebut adalah … a. 12 cm c. 23 cm b. 17 cm d. 35 cm (UN 2001/2002) Segitiga ABC siku-siku di A. Panjang sisi AB = 21 cm dan sisi BC= 35 cm. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah … a. 10 cm c. 15,0 cm b. 12,5 cm d. 17,5 cm (UN 2002/2003)


5.

Perhatikan gambar ! Jika luas juring OBC = 60 cm2, luas juring OAC adalah … a. 44 cm2 b. 76 cm2 c. 104 cm2 d. 120 cm2 (UN 2012/2013)


Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP

Recommend Documents