Rijm en rekenen, vroeger en nu Rijm als oplossing voor een imagoprobleem?

Verdiepende tekst bij hoofdstuk 12 van Verborgen talenten

Rijm en rekenen, vroeger en nu Rijm als oplossing voor een imagoprobleem? Marjolein Kool Het imago van het vak wiskunde Het vak wiskunde worstelt met een imagoprobleem. Binnen de wiskundekringen zelf speelt het probleem niet. Wie bijvoorbeeld op 1 en 2 februari 2002 een bezoek bracht aan de Nationale Wiskundedagen in Noordwijkerhout was getuige van een levendige conferentie. De 550 enthousiaste deelnemers waren en zijn zonder uitzondering ervan overtuigd dat wiskunde een boeiend vak is, waaraan je veel plezier kunt beleven. Buiten wiskundekringen denkt men daar vaak anders over en plaatst men het vak op een hoog voetstuk. Wiskunde vindt men saai en ontoegankelijk. Bij wiskundigen denkt men aan stoffige heren met geitenwollen sokken, dikke brillen en gebreide spencers. Het groeiend aantal jonge vrouwelijke wiskundedocenten kan in dit onaantrekkelijke beeld nauwelijks enige verandering brengen. Wiskunde is voor sommige mensen synoniem aan wereldvreemd. Daar kun je maar beter niet bij horen. Je merkt het bijvoorbeeld aan het gedrag van quizkandidaten op de televisie. Als mensen de hoofdstad van de provincie Brabant niet kunnen opnoemen, giechelen ze beschaamd. Als ze 25% van 444 euro niet vlot kunnen berekenen lachen ze frank en vrij de camera in: ‘Nee, dat weet ik niet, ik heb geen wiskundeknobbel.’ En dat laatste lijkt eerder een zegen dan een gebrek te zijn. Jammer! In de gedichtenbundel Wis-en natuurlyriek heb ik samen met Drs. P een poging ondernomen om het vak wiskunde van zijn voetstuk af te helpen. We schreven gedichten over allerlei onderwerpen uit de wis-, natuur- en scheikunde en hoopten op deze wijze de kloof tussen de alfa’s en de bèta’s te dichten. Hierna volgt als voorbeeld één van onze wiskundegedichten:1 Transseksueel Toen ik in moeders armen lag – ze voelde zich ontzettend rijk – riep ze vol trots naar wie mij zag: ‘Het is een echte kubus, kijk!’

Ik was een kubus naar men zei, met zijden, hoeken, waterpas, maar ach, mijn ziel vertelde mij, dat ik een piramide was. Ik trok vanuit een diepe drang steeds piramidekleren aan. Ik vocht ertegen jarenlang, maar ging steeds piramider staan. Mijn psychiater gaf het op. Geen praatgroep wist een therapie. Ik vond na jarenlang getob mijn redding in de chirurgie. In een luguber soort kliniek, waar men van hoge prijzen houdt, werd ik – de ingreep was uniek – tot piramide omgebouwd. Nu zit ik lekker in mijn vel en mijn probleem is opgelost, al heeft die hele grap me wel vier ribben uit mijn lijf gekost. Het boek werd een succes, maar de vraag is of dat heeft bijgedragen tot een imagoverbetering van het vak wiskunde. Ik heb de indruk dat vooral liefhebbers van de exacte vakken het gekocht hebben. Diepgewortelde vooroordelen roei je niet zomaar uit. Eigenlijk kun je beter proberen vooroordelen te voorkomen. Laat kinderen al op jonge leeftijd ervaren dat wiskunde leuk kan zijn. Met allerlei middelen en op allerlei manieren wordt daar op dit moment in het onderwijs aan gewerkt. Tot nu toe zijn gedichten een onbeproefd middel. Zou rijm een rol kunnen spelen in het reken-wiskundeonderwijs en daarmee een steentje kunnen bijdragen aan een positieve beeldvorming van het vak rekenen-wiskunde? Dat is de vraag die me al enige tijd bezighoudt en die ik in dit artikel aan de orde wil stellen.

1 van 9


Rijm in de middeleeuwen Drs. P en ik gebruikten rijm in de exacte vakken. Dat lijkt bijzonder, maar dat is het natuurlijk niet, want dat werd eeuwen geleden al gedaan. Uit de middeleeuwen zijn veel berijmde teksten overgeleverd. Niet alleen fictieve verhalen als kluchten, abele spelen, mirakelspelen, enzovoort, ook niet-fictieve teksten werden destijds vaak berijmd. Denk bijvoorbeeld aan de beroemde werken van Jacob van Maerlant. In de tweede helft van de dertiende eeuw schrijft hij zijn Der naturen bloeme. Het is een vertaling in het Middelnederlands van de toonaangevende Latijnse encyclopedie De naturis rerum van Thomas van Cantim pré. Jacob van Maerlant schreef zijn vertaling geheel op rijm. Over de olifant schreef hij bijvoorbeeld:2

Hij schrijft dus voor een publiek dat niet of nauwelijks Latijn kent. Dat betekent dat de teksten in de volkstaal waarschijnlijk niet op de kloosterscholen zijn gebruikt, want daar werd al het onderwijs in het Latijn gegeven. Wie gebruikte ze dan wel, en waarom zijn veel van deze teksten berijmd? De auteur van een collectief lunarium uit de Bibliothèque Nationale te Parijs biedt een paar aanknopingspunten. (ms. Lat. 7998.) Een collectief lunarium is een soort populair-astrologische kalender waarin voor elke dag van de maanmaand voorspellingen worden gedaan betreffende onderwerpen als: geboorte, ziekte, droom, diefstal, aderlaten, enzovoort.3 In deze tekst komen de volgende zinnen voor: Nu hoert, ghi heren, al besonder: Ic sal u segghen wonder

Elephas dats die olifant, In Dietsche eist een elpendier ghenant. Een dier eist groet ende stranc; Ter mulen hanget hem een snavel lanc, Die groet es, ende daer hi mede Doet alle sine besichede

En even later:

Nu hebt herte ende sin Ende onthoudet wel dar in

Tijdens de middeleeuwen was het Latijn de officiële wetenschappelijke voertaal, maar daarnaast zijn er ook allerlei ‘leerzame’ teksten in de volkstaal geschreven. Het Repertorium van Ria JansenSieben geeft een groot overzicht van Middelnederlandse teksten over de meest uiteenlopende onderwerpen, zoals astrologie, gelaatskunde, geneeskunde, recepten, kruiden, enzovoort. Deze teksten worden artes-teksten genoemd, naar de artes liberales, de zeven vrije kunsten. Een voor de hand liggende vraag is: voor wie werden deze rijmende artes-teksten geschreven en met welk doel? Soms lichten de auteurs, de dichters, zelf een tipje van de sluier op.

Doel en publiek van de rijmende artes- teksten

De dichter van een berijmde chiromantie, dat is een tractaat over handleeskunde, dat zich bevindt in de UB van Gent (hs. 697) schrijft: Omdat die latijnsche tale Niet en verstaen alle die lieden, So willict hu in dietsche bedieden

Er is kennelijk sprake van een luisterend publiek, dat vermoedelijk zelf niet kon lezen, aan wie de teksten werden voorgedragen. In de teksten komt veel herhaling voor. De informatie wordt spaarzaam gedoseerd. Daaruit en ook uit het voorgaande citaat kan men afleiden dat het luisterende publiek de aangeboden kennis ter plekke moest memoriseren. Rijm kon hierbij helpen, want rijm is een beproefd mnemotechnisch middel. Dat wist ook de auteur van de berijmde Natuurkunde van het geheelal, een 13e-eeuws leerdicht uit de UB van Utrecht (hs. 1328). In dit leerdicht worden allerlei natuurkundige verschijnselen beschreven. De dichter schrijft: Ic sal v segghen in vraeyen rimen Elc gheset op sine linien Om dat ghijt te bet onthouden sult Ende niet daer in en sijt verdult.

Kortom, rijm kan helpen bij het memoriseren van een tekst.

2 van 9


In de middeleeuwen werd het geheugen zwaar beproefd. Er moest heel veel uit het hoofd geleerd worden. Dat had verschillende redenen. Om te beginnen konden veel mensen niet lezen. Voor hen zat er niets anders op dan goed te luisteren en goed te onthouden. Daar kwam bij dat boeken duur waren, zo duur dat men ze nauwelijks voor privédoeleinden kon aanschaffen. De derde reden was een ideële, in het onderwijs beschouwde men het uit het hoofd leren als een goede onderwijsmethode. Van Oostrom schrijft: ‘Parate kennis werd gezien als ideale voedingsbodem, waarop daarna de ware wijsheid kon worden aangekweekt.’4 Uit het hoofd leren was nodig en rijm kon daarbij helpen. Dat blijkt bijvoorbeeld ook uit de voor-rede van het boekje van schoolmeester Valcooch: Regel der Duytsche School-meesters (1597). Hij legt uit waarom hij zijn werk berijmd heeft: So heb ick dan dit boecxken fraey in ordene gestelt ende in slecht rijm ende duytsch gecomponeert, dat meest om den jongen scholieren wille, die het soeter ende genuechlicker in de ooren clincket ende int herte connen drucken dan sware redenen ende duystere materien.

Met andere woorden, Valcooch schreef zijn teksten op rijm en in de volkstaal, om het uit het hoofd leren ervan voor jonge scholieren aangenamer en makkelijker te maken.

Rijm in het middeleeuwse onderwijs was dus heel gebruikelijk. Hoe zit het met rijm in het middeleeuwse rekenonderwijs? Er is een beroemde arithmetica op rijm overgeleverd uit 1225. Dat is het Carmen de Algorismo van Alexander de Villa Dei.5 Maar die was in het Latijn geschreven. Er zijn nog wel meer middeleeuwse Latijnse rekenteksten overgeleverd, maar die rijmen geen van alle. Deze Latijnse teksten werden vermoedelijk in kloosterscholen gebruikt. Uit de vroege middeleeuwen zijn geen rekenteksten in de volkstaal overgeleverd. Het oudste Nederlandstalige rekenboek is uit 1445.6

dag van vandaag worden er in de Nederlandse bodem middeleeuwse rekenpenningen gevonden. Die penningen waren geen betaalmiddel, maar schijfjes die op een rekenbord of rekentafel gebruikt werden bij het zogeheten penningrekenen. Deze rekenmethode heeft zeer oude wortels. Al vijfhonderd jaar v.C. maakten de Grieken berekeningen met behulp van schijfjes van glas, been of ivoor op een rekenbord met verticale lijnen. Dit rekenen met schijfjes is vermoedelijk nog veel ouder, want overgenomen uit Azië, Mesopotamië of India.7 Het bereikte via de Romeinen ten slotte West-Europa waar het gedurende de middeleeuwen steeds meer in gebruik raakte. De methode onderging in de loop der tijden wel enige wijzigingen. De schijfjes werden van metaal gemaakt en het rekenbord werd een kwartslag gedraaid, zodat de lijnen horizontaal lopen. Gezien het grote aantal overgeleverde rekenpenningen was het penningrekenen een gebruikelijke methode gedurende de middeleeuwen. Toch zijn er nauwelijks teksten over deze methode overgeleverd. Dat is niet zo verbazingwekkend, want het penningrekenen is een concrete, materiële rekenmethode, die zich goed laat aanleren volgens de beproefde didactiek van voordoen en nadoen. Het was een niet-schriftelijke manier van rekenen. Natuurlijk kon het af en toe eens nodig zijn om het eindresultaat van een berekening schriftelijk vast te leggen, dat gebeurde dan met Romeinse cijfers, maar bij het maken van de berekening zelf waren pen en papier overbodig. Pas in de 16e eeuw werd een uitleg van het penningrekenen af en toe op schrift gesteld en dan werd de methode aangekondigd als de rekenmethode voor mensen die niet konden schrijven. Christianus van Varenbraken schrijft in zijn rekenboek van 1532 (fol. 185r):

Rekenen zonder pen en papier

Toch moet er voor 1445 in de Nederlanden gerekend zijn, en niet alleen door clerici. Tot op de 3 van 9

Om dies wille dat veel persoonen niet scriven en connen dien nochtans de conste der rekeninghe wel van noode es te weten, so sal ic de selve conste hier naer bescriven … hoemen die metten penninghen ende legghelde orboren sal.


De trage opkomst van een schriftelijke rekenmethode In de loop van de 15e en 16e eeuw is er naast het traditionele penningrekenen een rekenmethode in opkomst voor mensen die wel kunnen schrijven. Uit de periode van 1445 tot 1600 zijn in het totaal 36 Nederlandstalige rekenboeken overgeleverd: 12 handschriften en 24 gedrukte boeken.8 In deze rekenboeken wordt die nieuwe rekenmethode uitgelegd: het schriftelijke rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. Overigens is deze schriftelijke rekenmethode nieuw voor de 15e- en 16e-eeuwse Nederlanden, maar bestond hij elders al veel langer. AlKhwarizmi, een geleerde uit Bagdad, schreef al in de 9e eeuw een traktaat over het rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. Pas vele eeuwen later bereikte deze methode via Spanje en Italië de overige landen van Europa. De overstap van het traditionele rekenen met penningen naar het moderne rekenen met de pen werd niet van de ene dag op de andere gemaakt. In de Nederlanden heeft het zeker twee eeuwen geduurd voordat het penningrekenen geheel verdwenen was. Nog in 1698 worden in de Zuidelijke Nederlanden rekenpenningen geslagen.9 Er zijn verschillende redenen waarom de overgang naar de nieuwe methode zoveel tijd in beslag nam. Allereerst voldeed het rekenen met penningen aan de eisen zolang het om niet al te grote bedragen en ingewikkelde berekeningen ging. Daar kwam bij dat de overstap naar het nieuwe positionele getalsysteem niet eenvoudig is voor iemand die alleen de Romeinse cijfers kent. Vooral het getal nul zorgde aanvankelijk voor begripsproblemen. Bij de Romeinse cijfers en op het rekenbord was geen symbool voor nul nodig. ‘Niets’ was een lege plek op het rekenbord. Nu kwam er dus een nieuw getal bij dat enerzijds niets waard was en anderzijds de waarde van een getal kon veranderen als het eraan toegevoegd was. Uit de uitvoerige aandacht die het getal nul in de rekenboeken krijgt, valt af te leiden dat men er aanvankelijk moeite mee had. De nieuwe rekenmethode kende nog een nadeel. Hij was schriftelijk. Het nieuwe rekenen werd uitgevoerd met pen op papier, of nog veel

vaker met een griffel op een lei, want papier was erg duur. De moderne rekenaar moest kunnen schrijven en dat was in de 16e eeuw nog lang niet voor iedereen een vanzelfsprekendheid.

Niet schrijven, toch rekenen

Rond 1600 kan in de Nederlanden 40% van de vrouwen en 60% van de mannen haar of zijn handtekening zetten. Dit wordt wel als een indicatie voor de mate van geletterdheid van de Nederlandse bevolking gehanteerd,10 maar iemand die zijn handtekening kan zetten, hoeft nog niet per definitie te kunnen lezen en schrijven. En als hij of zij misschien wel de techniek van het lezen heeft geleerd, is dat nog geen waarborg voor geletterdheid, hetgeen immers tevens het begrip van de gelezen tekst impliceert. Aan het eind van de 16e eeuw lag het functionele alfabetisme ongetwijfeld veel lager dan de bovenvermelde percentages wellicht suggereren. Daar komt nog bij dat in het 16e-eeuwse onderwijs het leren lezen aan het leren schrijven vooraf ging en dat voor het schrijfonderwijs meer schoolgeld betaald moest worden. Veel ouders namen hun kinderen van school af tegen de tijd dat hun kroost aan schrijven toe was.11 De auteurs van de rekenboeken uit de 15e en 16e eeuw houden rekening met de leerlingen die niet kunnen lezen en schrijven. Naast de moderne schriftelijke rekenmethode behandelen velen van hen toch ook nog even een hoofdstuk over het traditionele penningrekenen. Peeter Heyns schrijft bijvoorbeeld op de titelpagina van zijn rekenboek uit 1561: Tot profyte van die willen leeren lustich rekenen met penninghen oft penne.

Wat een aardige gedachte: kinderen die konden schrijven, leerden rekenen met de pen en kinderen die dat (nog) niet konden, leerden rekenen met penningen. Wat zou het handig zijn als we in het hedendaagse onderwijs nog steeds die keuze zouden kunnen maken. Maar dat terzijde. Het hedendaagse rekenonderwijs komt pas later in dit artikel aan bod.

Rijm in historische rekenboeken

Voor wie waren de rekenboeken uit de 15e en 16e eeuw bestemd? In de proloog van hun re-

4 van 9


kenboek geven de auteurs vaak een beschrijving van de doelgroep die ze voor ogen hadden. Men richt zich tot koop- en ambachtslieden en beoefenaars van allerlei financiële en administratieve beroepen. Van der Gucht vermeldt in de Voorrede van zijn rekenboek uit 1569 dat hij schrijft voor: coop-lieden, factueren, rentmeesters, clercken ende generalick alle andere lieden die met eenighe coopmanschepen ofte rekenschap omme gaen.

Wentsel richt zich in de proloog van zijn boek uit 1599 tot: metselaren, timmerlieden, alle de ghene de welcke eenighe sware wercken maken, als van gout, van silver, van coper, van metael, ... als muntmeesters, goudt ende silversmeden, clockeghieters ende die ’t grofgeschut gieten.

Inderdaad sluit de inhoud van de rekenboeken heel goed aan bij deze doelgroepen. Nadat de basisbewerkingen van het rekenen zijn uitgelegd en de lezers dus kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, volgen er allerlei praktische vraagstukken over het kopen, verkopen en ruilen van goederen, het wisselen van geld, het berekenen van winst, verlies, salarissen, rente, munten, metaallegeringen, enzovoort. Het grootste deel van de rekenboeken wordt door praktische vraagstukken ingenomen. Om deze vraagstukken op te kunnen lossen, bieden de auteurs allerlei kant-en-klare rekenregels. Deze regels moeten de koop- en ambachtslieden uit hun hoofd leren om ze in hun dagelijkse praktijk te kunnen toepassen. Rijm speelt een uiterst geringe rol bij het memoriseren van deze rekenregels. Slechts in het rekenboek van Peter Van Halle uit 1568 komen berijmde rekenregels voor. Bij aftrekken schrijft hij bijvoorbeeld (fol. 14v):

reproduceren. De meester geeft een vraagstuk, legt uit met welke regel het opgelost moet worden en vervolgt dan met een lange serie gelijkwaardige vraagstukken die op vrijwel identieke wijze opgelost moeten worden. De oplosmethode wordt door de veelvuldige herhaling als het ware ingeslepen. Als in de loop van de 16e eeuw het papier wat goedkoper wordt, worden de rekenboeken steeds dikker. Ze bevatten letterlijk honderden oefenvraagstukken. De doelstelling van de auteurs is, dat de leerling het type vraagstuk kan herkennen en onmiddellijk een vaste oplosmethode daarop weet in te zetten. De auteurs zijn niet geïnteresseerd in wiskundig inzicht, bewijzen of alternatieve oplossingsmanieren. Ze presenteren steeds de oplossing die op zoveel mogelijk situaties is toe te passen, daar heeft de leerling later wat aan, vinden zij. Het is niet belangrijk om te weten of die oplosmanier omslachtig is of juist wiskundig interessant. Het rekenen dient een praktisch doel: de leerling moet voorbereid worden op zijn latere beroepspraktijk. Jacques van der Schuere behandelt in zijn rekenboek uit 1600 onder andere de volgende vraagstukken (fol. 18v):

Trecket affe die betalinghe vander schult, soe vindi de reste die ghy betalen sult.

Memoriseren door reproduceren In de overige rekenboeken komt rijm nauwelijks voor. Toch moeten er veel rekenregels gememoriseerd worden. Dat gebeurt door ‘eindeloos’ 5 van 9

Als 4 ponden boter costen 12 stuyvers, wat sullen dan costen 16 ponden? Als men coopt voor 12 stuyvers 4 ponden boter, hoeveel ponden sal men hebben voor 2 gulden en 8 stuyvers? Voor 2 ponden en 8 schellingen coopt men 16 ellen Lijnwaet, hoeveel ellen sal men dan hebben voor 12 schellingen? Als 16 ellen lijnwaet costen 2 ponden en 8 schellingen, wat sullen dan costen 4 ellen? Soo men betaelt voor 3 ellen swarten Baey 17 schellingen, hoeveel sal men betalen voor een stuck lanck 42 ellen? Voor een swart Baey van 42 ellen, wordt betaelt 11 ponden en 18 schellingen. Wat beloopen dan 3 ellen des selven stucks? Soo 3 sacken Rogghe costen 17 gulden, hoeveel sacken sal men hebben voor 238 guldens? So men coopt 42 sacken Rogghe voor 238 guldens, hoeveel sacken sal men dan hebben ten selven prijsen voor 17 guldens?


Soo het Turcx Grof-greyn ghelt 5 schellingen en 6 penningen d’elle, wat moet men dan betalen voor 56 ellen? Soo men coopt voor 15 ponden en 8 schellingen 56 ellen Turcx Grof-greyn, wat beloopt dan yeder elle? Voor 66 gouden guldens coopt men 28 sacken garst. Wat cost dan elcken sack in Karolus guldens? Soo eenen sack Garst cost 3 Karolus guldens 6 stuyvers, hoeveel gouden guldens sal men dan gheven voor 28 sacken? Ist dat men voor een pond Caneel betaelt 4 guldens 2 stuyvers, wat beloopt een Bale van 438 ponden? Een Bale Caneels weghende 438 ponden cost 1795 guldens en 16 stuivers. Wat beloopt dan yeder pond? Deze rij vraagstukken, die steeds paarsgewijs elkaars inversen zijn, bestaat in het totaal uit 74 exemplaren. Alle vraagstukken hebben dezelfde structuur. De variatie zit in de goederen en in de getallen. Ook het oplosrecept van deze vraagstukken heeft steeds dezelfde structuur, maar varieert in de gebruikte ingrediënten. Dit verklaart wellicht waarom rijm geen geschikt middel is om deze oplosrecepten te memoriseren. De variabelen in de recepten zijn steeds weer anders en dus niet in een vast rijmpje te vangen.

Rijm voor het plezier

Het is frappant dat het laatste vraagstuk uit de voorgaande rij van Jacques van der Schuere wel op rijm gesteld is (fol. 31v): Als Lijnwaet fijn voor vijf en twintich ellen Neghen Pont-groot betaelt wort, end’ men moet Achthien pont Vlas, ghelijck vijf Ellen stellen, Even veel weert, end’ yemandt cochte vroet Twaelf sacken Vlas, tot sulcken prijse goet, Daer af den Sack twee hondert Steenen heeft, Den Steen ses pont, hy treck af metter spoet Acht pont per Sack, end’ noch men hem toe gheeft, Op t’hondert thien: Soo wilt my segghen ras, Wat hy betaelt voor dees twaelf sacken Vlas.

Mogelijk heeft het rijm hier in de eerste plaats toch weer een mnemotechnische functie. Want wellicht is het aardig om dit vraagstuk uit het hoofd te leren zodat je het op een geschikt moment naar voren kunt brengen. Dan krijgt het vraagstuk wellicht een recreatieve functie. Het feit dat het vraagstuk erg gekunsteld is – het is haast ondenkbaar dat de beschreven situatie zich in werkelijkheid voor zou kunnen doen – versterkt het vermoeden dat het hier om een raadsel voor het plezier gaat, waarmee je vrienden kunt vermaken of waarmee je wellicht indruk kunt maken. Rijm kan die recreatieve functie ondersteunen, maar nogmaals: rijm komt in de rekenboeken slechts weinig voor, niet om te memoriseren en niet om te diverteren. In de Nederlandse rekenboeken uit de 15e en 16e eeuw is alles gericht op het memoriseren van oplosrecepten. Dit geschiedt vooral door uitvoerige herhaling en slechts in zeer geringe mate door rijm.

Rekenen in de 21e eeuw

Het rekenonderwijs dat we op de Nederlandse basisscholen uit de 21e eeuw aantreffen staat in didactisch opzicht haaks op het 16e-eeuwse rekenonderwijs. Het aanpraten van een oplosmethode, het uit het hoofd leren van een standaardoplosrecept bij een bepaald type vraagstuk, is tegenwoordig uit den boze.

In het hedendaagse rekenonderwijs worden leerlingen gestimuleerd en uitgedaagd om zelf ontdekkingen te doen, zelf oplosmethodes te construeren. Als kinderen op hun eigen wijze een vraagstuk gaan oplossen, kan dat soms een heleboel verschillende oplossingsmanieren opleveren. Sommige kinderen zullen een slimme aanpak bedenken, andere wellicht een omslachtige, maar dat is geen bezwaar, in tegendeel, juist die onderlinge verschillen geven stof tot discussie. In een klassikaal leergesprek worden kinderen uitgedaagd om hun aanpak te verwoorden, deze te vergelijken met oplossingen van anderen, na te denken over voor- en nadelen en zo wellicht op een hoger niveau van oplossen te komen. Juist die onderlinge verschillen maken reflectie mogelijk.12 In de rekenboeken uit de 15e en 16e eeuw kwamen eigenlijk alleen maar vergelijkbare

6 van 9


standaardvraagstukken voor, meer van hetzelfde. Nu men ernaar streeft om leerlingen uit te dagen zelf eigen oplosmanieren te bedenken, zijn juist ongebruikelijke vraagstukken nodig. Erg geschikt zijn de zogeheten ‘schatopgaven zonder getallen’, ontworpen door de Duitse hoogleraar Christoph Selter. Hij stelde leerlingen van negen en tien jaar oud vragen als: ‘Als ik een streep tandpasta van normale dikte uit een tube knijp, kan ik die streep dan net zo lang maken als ons lokaal?’ ‘Wegen alle kinderen van de klas tezamen evenveel als een olifant?’ ‘Als je alles wat je binnen een week opdrinkt in een badkuip giet, is dat bad dan vol?’ enzovoort. Het zijn bijzondere vraagstukken waar geen vaste, eenduidige oplosmethode voor bestaat. De leerlingen worden uitgedaagd om hun kennis en vaardigheden in nieuwe omstandigheden in te zetten.

Modern memoriseren

Wie kennis neemt van de hiervoor omschreven uitgangspunten van de moderne rekenwiskundedidactiek, zou kunnen concluderen dat herhaling en oefening tegenwoordig uit den boze zijn. Maar niets is minder waar! Voordat kinderen in staat zijn om eigen oplossingen bij vraagstukken te bedenken, moeten ze een fundament van kennis en vaardigheden bezitten. Ze moeten verschillende oplossingsstrategieën kunnen inzetten. Ze moeten kennis hebben van getallen en getalrelaties. Ze moeten bijvoorbeeld weten dat 999 bijna 1000 is, dat 12½ procent hetzelfde is als 1/8 deel, dat 4 x 25 honderd is. Ze moeten kennis hebben van referentiematen en weten hoe je daarop een schatting kunt baseren: Hoe lang is een klaslokaal ongeveer? Wat is de inhoud van een gemiddelde badkuip? Enzovoort. In de middeleeuwen huldigde men het principe: ‘Parate kennis is het fundament waarop ware wijsheid wordt gebouwd.’ Daar zit nog steeds veel waarheid in. Maar de manier waarop die parate kennis verworven wordt, is wel sterk veranderd. Oefenen is tegenwoordig niet meer slaafs herhalen zonder inzicht. Het gaat in het moderne reken-wiskundeonderwijs om productief oefenen, waarbij leerlingen zelf sommen bedenken. Onderzoekster Julie Menne deed in groep 4 goede ervaringen op met productief oefenen

door een buikspreekpop te gebruiken.13 Ze hanteerde een zogenaamd pratende vogel. Deze vogel kan bijvoorbeeld het getal ‘zes’ zeggen, waarna alle leerlingen worden uitgedaagd om sommen te bedenken waar zes uitkomt. In het begin roepen de leerlingen voorzichtig sommetjes als ‘2 + 4’ en ‘5 + 1’, maar gaandeweg komt er altijd wel een leerling op het idee dat je ook aftreksommen kunt roepen en dan is het hek van de dam. De echte ‘helden’ komen op den duur met reusachtige getallen. Het mooie van deze oefenvorm is dat leerlingen oefenen op hun eigen niveau. Kinderen gaan op den duur ook patronen ontdekken in hun geproduceerde sommen en vergroten spelenderwijs hun inzicht in en kennis van getalrelaties.

Rijm in het hedendaagse reken-wiskunde onderwijs

Kinderen in het hedendaagse reken-wiskundeonderwijs leren geen kant-en-klare rekenregels meer uit hun hoofd, daarentegen worden rekenfeiten, referentiematen, getallen en getalrelaties wel gememoriseerd. Kan rijm een rol spelen in het moderne reken-wiskundeonderwijs? Op dit moment gaan rijm en rekenen nauwelijks samen. Kleuters zingen weliswaar liedjes als 1-23-4 hoedje van papier, maar de getallen die daarin voorkomen zijn volledig losgezongen van hun betekenis. Het kan anders. In opdracht van uitgeverij Zwijsen uit Tilburg heb ik het afgelopen jaar gewerkt aan een project van rekenliedjes. Ik schreef zestien rijmende rekenteksten voor de kinderen van groep 3 van de basisschool. Het is de bedoeling dat deze teksten voorzien van muziek en gezongen door Frank Groothof in het najaar van 2002 op cd zullen verschijnen. In de liedjes worden twee doelen nagestreefd. In sommige liedjes gaat het om memoriseren in de vorm van productief oefenen, in andere liedjes worden leerlingen uitgedaagd om zelf een oplossing voor het bezongen probleem te bedenken. Allereerst geef ik hier een voorbeeld van een tekst van de eerste soort, waarin het memoriseren de doelstelling is.

7 van 9


De kinderen worden uitgedaagd om hier hun ‘eigen’ rij in te vullen. Dat kan natuurlijk een van de voorgaande rijen zijn, maar ze kunnen ook een nieuwe rij bedenken, bijvoorbeeld een rij waarin vanaf een bepaald getal teruggeteld wordt. Andere liedjes waarin op productieve wijze gememoriseerd wordt, behandelen onderwerpen als: klokkijken, de dagen van de week, meetkundige begrippen, links-rechts, splitsen van getallen, eerlijk delen, enzovoort. Een voorbeeld van de tweede soort, waarin het niet gaat om memoriseren, maar om het gezamenlijk nadenken over een bezongen probleem, is de volgende tekst:

Springen Marco houdt van stoere dingen. Hij zegt: ‘Ik kan heel goed springen! Ik spring hoog en ik spring snel. Kijk, ik spring zelfs als ik tel: 2-4-6-8-10-12-14-16-18-20’ Maar een kikker zag zijn sprongen En zei: ‘Ik spring beter, jongen. Ik spring verder dan jij kan. En let op: Hoe tel ik dan? 5-10-15-20-25-30-35-40-45-50’ Maar een vlo zei: ‘Luister, kikker, Jij bent groener, jij bent dikker, Maar ik spring echt meer dan jij En ik tel er mooier bij: 10-20-30-40-50-60-70-80-90-100’ ‘Wacht’ riep Marco, hij wou winnen, ‘Ik kan ook op 1 beginnen. En al zijn mijn hupjes klein, Kijk nou toch hoe mooi ze zijn. 1-3-5-7-9-11-13-15-17-19’

Het schaduwlied Ik sliep laatst als een roosje in de schaduw van een boom. Toen werd het na een poosje alsmaar warmer in mijn droom. Het zonnetje daarboven scheen weer helemaal op mij. De schaduw was verschoven. Of deed jij de boom opzij?

‘Dat is niks’, sprak de gazelle. ‘Heb je mij al horen tellen?’ ‘Kijk naar mij’, zei kangoeroe. ‘Ik spring zo naar 1000 toe. 100-200-300-400-500-600-700-800-900-1000’

Refrein Wat gek! Hoe zit dat dan? Snap jij hier soms wat van? Kun jij me even helpen En vertellen hoe dit kan?

Sloffie Slak zei: ‘Wat een leven! Ik sta al een week op zeven. Zeven is een mooi getal. ‘k Denk niet dat ik springen zal. 7-7-7-7-7-7. Zzzzz’ Als kinderen dit liedje zingen, herhalen en oefenen ze daarmee de verschillende telrijen, dat is belangrijke basiskennis voor leerlingen in groep 3 en 4. Dat hier gememoriseerd wordt, zal duidelijk zijn. Bovendien is hier sprake van productief oefenen, want op de cd staat ten slotte nog een extra coupletje. Het gaat als volgt: Ik hou ook van stoere dingen en ik kan ook heel goed springen. Tel je even mee met mij? Dit vind ik de mooiste rij:

Naar aanleiding van dit liedje kunnen leerlingen hun meetkundige kennis en ervaringen met betrekking tot het verschijnsel ‘schaduw’ uitwisselen. Het is niet de bedoeling dat dit liedje zeer frequent in de klas herhaald gaat worden, maar omdat de kennis van kinderen met betrekking tot dit verschijnsel wel zal groeien, is het heel goed mogelijk om er later nog eens op terug te komen. Memoriseren en inzicht vergroten, dat zijn twee belangrijke doelen die ik met de rekenliedjes wil nastreven. Er komt nog een derde doel bij kijken. De rekenliedjes zijn bedoeld om naar te luisteren, om mee te zingen en om erover te discussiëren. Op die manier maken ze het rekenonderwijs minder schriftelijk. We kunnen niet meer terug naar de tijd van het penningrekenen, maar kinderen die moeite hebben met begrijpend lezen, worden bij het luisteren naar de liedjes, nu

8 van 9


eens niet met hun handicap geconfronteerd. Natuurlijk zal het rekenonderwijs voor het grootste deel schriftelijk blijven, maar het lijkt me gezond om ter afwisseling pen en papier eens weg te laten. Dat maakt het voor sommige zwakke leerlingen extra leuk. Dit voert me tot slot naar het belangrijkste doel van de rekenliedjes: zingen is leuk, muziek maakt vrolijk, hopelijk brengen de rekenliedjes veel plezier in de rekenles. Wie als kind ontdekt dat het vak rekenen-wiskunde plezierig kan zijn en daar zingenderwijs zelfvertrouwen in opbouwt, zal later niet op het idee komen om dat vak op een hoog onbereikbaar voetstuk te zetten. Daar is het immers veel te leuk voor! Misschien kan rijm – al dan niet op muziek gezet – het vak wiskunde van zijn imago probleem af helpen. De toekomst zal het ons leren.

Noten 1 2 3 4 5 6

Gedicht van Marjolein Kool uit P. Drs, 2001, p. 28.

7 Pullan, 1970, p. X. 8 Kool, 1999, p. 14. 9 Barnard, 1916, p. 90. 10 Dodde, 1997, p. 9. 11 Booy, 1977, p. 55. 12 Heuvel-Panhuizen, 2001, p. 147-162. 13 Menne, 2001, p. 90-96

Böschensteyn, Johann. Ain new geordnet rechenbiechlin mit den zyffern. Augsburg, 1514.

Dodde, N.L. Waarom leren we lezen? Afscheidscollege, Edam, 1997.

Heuvel-Panhuizen, M. van den, e.a. Kinderen leren re-

kenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen bovenbouw basisschool. Wolters-Noordhoff, Groningen, 2001.

Jansen-Sieben, Ria. Repertorium van de Middelnederlandse artes-literatuur. Utrecht, 1989.

Köbel, Jakob. Ain new geordnet Rechenbiechlin auf den Linien mit Rechenpfeningen. Augsburg, 1514.

Kool, Marjolein. Die conste vanden getale. Een studie

over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Verloren, Hilversum, 1999.

Lie, Orlanda. ‘Middelnederlandse artes-teksten in verUtrecht, 1985, p. 157-173.

Allgorithmus, Universiteitsbibliotheek Basel, hs. FVII 12.

Oxford, 1916.

Booy, E.P. de. De weldaet der scholen. Utrecht, 1977.

van Buuren e.a. (ed.). Tussentijds. HES uitgevers,

Lie, 1985, p. 158.

Menninger, p. 412.

Barnard, F.P. The casting-counter and the counting board.

zen en in proza: een eerste verkenning.’ In: A.M.J.

Maerlant, Boek 2, vs. 1359-1364. Oostrom, 1989, p. 18.

Literatuur

Maerlant, Jacob van. Naturen bloeme. Uitgegeven door E. Verwijs. Leiden, 1872-1878. 2 dln.

Menne, J.J.M. Met sprongen vooruit. Freudenthal Instituut, Utrecht, 2001.

Menninger, Karl. Number words and number symbols. Cambridge, Massachusetts, 1969.

Oostrom, F.P. van. ‘Lezen, leren en luisteren in klooster, stad en hof. Kinderboeken in de middeleeuwen?’

In: Nettie Heimeriks en Willem van Toorn (red.). De hele Bibelebontse berg. Querido, Amsterdam, 1989, p. 15-40.

P, Drs. en Marjolein Kool. Wis- en natuurlyriek. Nijgh & Van Ditmar, Amsterdam, 2001.

Pullan, J.M. The history of the abacus. Londen, 1970.

Uit: Jeanne Kurvers & Piet Mooren (red.) (2002). Moeilijk lezen Makkelijk maken. De veelzijdige zwakke lezer. Leidschendam: Biblion, p. 177-192.

9 van 9

Rijm en rekenen, vroeger en nu Rijm als oplossing voor een imagoprobleem?

Recommend Documents