Respon Bebas 3.1 KESEIMBAMGAMDAMSTABILITAS

Respon Bebas 3.1 KESEIMBAMGAM DAMSTABILITAS Suatu konsep dasar yang bennanfaat dalam menggolongkan kondisi sistem dinamik dihubungkan dengan kemampuan suatu sistem dengan input tidak tentu untuk tetap dekat atau kembali ke solusi konstan yang disebut solusi keeseimbangan (atau titik keseimbangan). Suatu solusi merupakan solusi keseimbangan jika ia memenuhi sistem persamaan diferensial (dalam bentuk ruang keadaan 10) dengan input konstan dan dengan semua derivatif waktu sarna dengan nol. Dalam kasus input konstan selain nol, solusi keseimbangan yang dihasilkan dikatakan "dipaksa", suatu situasi yang akan kita bahas dalam Bab 4. Untuk input nol, solusi keseimbangan dikatakan "bebas". Suatu solusi keseimbangan dikatakan stabll jika setiap solusi yang dimulai dengan secukupnya dekat dengan titik keseimbangan tetap tinggal di dekatnya. Suatu solusi keseimbangan dikatakan stabil secara asimtot jika setiap solusi yang dimulai dengan secukupnya dekat titik keseimbangan bukan hanya tetap

tinggal dekat titik keseimbangan namun juga mendekatinya sebagai t ~

00.

Untuk sistem linear, titik stabilitas juga ciri-ciri stabilitas adalah global ("cukup dekat" dapat secara arbiter jauh), dan kita mungkin menunjuk sistem itu sendiri sebagai stabil atau tidak stabil. Seringkali, suatu titik keseimbangan menyajikan beberapa kondisi pengoperasian nominal yang diinginkan untuk sistem dinamik tersebut, dan tugas dari pengaturan "feedback" secara otomatis mengembalikan sistem dinamik ke titik keseimbangan. Hal ini dikenal sebagai permasalahan penganturan/ regu113

114

Pengantar Sistem Pengaturan

lator, dan ia akan menjadi salah satu bidang studi utama dalam desain sistem pengaturan feedback pada 8ab 6 sampai 8. Dengan semua input ke sistem dinamik ditetapkan nol, respon dinamik masih memungkinkan dengan memiliki sistem yang dimulai pada nilai x (atau y dan derivatifnya, untuk sistem 10) selain nol. Gerakan yang sesuai disebut respon bebas. Kita dapat memandang respon bebas ketika menggolongkan gerakan sistem yang ditujukan ke jenis gangguan impulsif dari keseimbangan tersebut. Yaitu, gangguan besar dalam jangka waktu pendek, yang seketika itu juga menggerakkan sistem dari titik keseimbangan ke titik lainnya, secara sederhana dapat dianggap sebagai perubahan pada kondisi awal. Pendekatan ini mengijinkan kita untuk menguji akibat dari jenis gangguan impulsif tanpa memiliki model mereka dengan menggunakan "fungsi impuls." Stabilitas sistem dinamik dikaitkan dengan respon bebas dari sistem tersebut. Dalam penetapan stabilitas ruang keadaan dari sistem linear ditentukan sepenuhnya oleh matriks A. Dalam sistem aplikasi pengaturan, kita menambahkan elemen pengaturan terhadap sistem. Sistem keseluruhan yang dihasilkan adalah sistem dinamik baru, yang ciri-ciri stabilitasnya dikaitkan dengan respon bebas dari sistem secara keseluruhan. Misalnya, untuk sistem linear, dari bentuk

x = Ax + Bu, kita dapat memilih pengaturan linear sesuai dengan

feedback keadaan (state feedback control)

u

= - Kx.

di mana K adalah matrik dapatan feedback Ini akan menghasilkan sistem linear baru

x = Ax, di mana A = A - BK.

(feedback gain matrix) Nu x Nx.

Respon Bebas

115

Stabilitas sistem baru ini ditentukan oleh respon bebas dari sistem baru, terutama dengan matriks A.

3.2 RESPONBEBASDARISISTEMINPUT-OUTPUT Respon bebas dari sistem 10 single input singleoutput dengan mudah didapatkan dengan menggunakan metode klasik untuk memadukan sistem tersebut. Sistem 10 dengan input skalar u(t) = 0 diberikan oleh (3.2-1) Jika kita mengasumsikan suatu solusi dengan konstan y dan A, dari bentuk y(t) = yeAl.

(3.2-2)

kemudian dengan mendiferensiasikan serta mensubstitusikan ke dalam (3.2-1), kita dapatkan

Buatlah P(A) menunjukkan polinomial yang mengkalikan yeAT.Agar yeATmenjadi solusi selain nol, polinomial P(A)menjadi nol (3.2-3) Persamaan (3.2-3) disebut persamaan ciri (characteristic equation) dari sistem dinamik. Perhatikan bahwa polinomial P(A) adalah sarna dengan yang didefinisikan dalam hubungannya dengan fungsi transfer. Karena P(A)merupakan polinomial tingkat Nx, ia akan tetap mempunyai akar Nx, yang disebut akar ciri atau eigenvalues dari sistem tersebut. Eigenvalues bisa kompleks atau real, dengan akar kompleks yang terjadi pada pasangan konjugatif karena koefisien pada P(A)semuanya nyata (real). Setiap akar berkaitan dengan solusi dari bentuk (3.2-2). Karena sistem 10 adalah persarnaan diferensial linear, jumlah solusi dari bentuk (3.2-2), (3.2-4)

116


juga merupakan solusi, sebagaimana seseorang dapat membuktikannya dengan substitusi langsung. Lebih jauh, setiap solusi (3.2-1) dapat dinyatakan dalam bentuk (3.2-4) dengan pilihan yang tepat dari koefisien Yl ... YNNx'Jika beberapa eigenvalues merupaan pasangan konjugasi kompleks, maka k~efisien yang sesuai juga akan membentuk pasangan konjugasi kompleks, karena y(t) adalah nilai real. Akhimya, jika beberapa eigenvalues diulangi, koefisien yang sesuai secara eksplisit sebagai fungsi waktu. Khususnya, jika A = Al = ... = Al + m merupakan akar dari pengkalian m, kemudian koefisien yang sesuai Yi... Yl + m

akan menjadi bentuk "'Ii

= at

"'Ii+ I = ai+.1

(3.2-5)

"'Ii+2 = ai+2/2

Untuk mendapatkan respon bebas, koefisien pada (3.2-4) ditentukan oleh persyaratan bahwa (3.2-4) tidak hanya memenuhi persamaan diferensial (3.21) namun juga kondisi awal pada y(O),y(O),..., y(Nx- 1)(0). Misalnya, jika akar pada (3.2-3) tidak berulang, maka persyaratan ini menghasilkan konstan y yang ditentukan dari persamaan Van der Monde berikut ini y(O)

I

...

5'(0)

AI

...

[y(NX~II(O)] = [ A';':-I

...

(3.2-6)

]UJ. .

Karena sifat dasar mereka, kita akan menguji secara mendetail sistem 10 tingkat pertama umum dan sistem 10 tingkat kedua umum. Akar dari persamaan karakteristik untuk sistem tingkat pertama adalah nyata. Respon sistem tingkat kedua mungkin sangat berbeda dari sistem tingkat pertama, karena akar pada persamaan karakteristik mungkin berupa konjugasi kompleks. Pengetahuan yang mendalam mengenai respon bebas dari dua sistem ini sangat penting karena keseluruhan respon dari setiap sistem tingkat yang lebih tinggi

Respon Bebas

117

akan merupakan kombinasi respon tingkat pertama dan tingkat kedua. Hal ini mengikuti dari kenyataan bahwa semua akar dari persamaan karakteristik adalah konjugasi kompleks atau nyata. 51stem Tinskat Pertama

Suatu sistem 10 tingkat pertama dengan u(t) == 0 diberikan oleh Y+

PoY

(3.2-7)

= O.

Persamaan ciri yang sesuai A + Po = 0 mempunyai

solusi A. =

-Po, yang nyata. la mengikuti dari (3.2-4) dan (3.2-6)

bahwa solusi untuk respon bebas diberikan oleh (3.2-8) Kondisi solusi ini digolongkan dengan sepenuhnya dalam Gambar 3.2-l. Perhatikan bahwa jika A.< 0, solusinya secara asimtot mendekati solusi keseim-

bangan y(t) == 0 ketikat -+ ex)tanpa mempedulikanpenekanankondisiawal tertentu. Jika A. = 0, maka solusinya adalah y(t) == y(O) = konstan. Jadi kita

menyimpulkanbahwa sistem tersebutakan stabilbilamanaA.

::;;

0 dan stabil

secara asimtot jika A.< O. Sebaliknya, ia mengikuti dari (?2-8) bahwa sistem akan tidak stabil jika A.>

O. Hal ini menyelesaikansegala kemungkinan secara

lengkap untuk sistem 10 tingkat pertama. Untuk sistem tingkat-pertama yang secara asimtot stabil, pada tingkat di mana sistem kembali ke solusi keseimbangan ditentukan oleh besamya akar ciri A..Perubahan awal dikurangi dengan 1 - l/e( ~ 63%) ketika t

= T ~..!.. IAr

(3.2-9)

Waktu T yang, ditentukan oleh (3.2-9), eAT= e-1disebut waldu kembali atau konstan waktu sistem. Waktu kembali memberikan ukuran seberapa cepat

118


ylly(O)l 2 y(O)>0

1- 0.368 o

2

4

3

liT

-1

y(O)< 0

Gambar 3.2-1 Respon dari sistem tingkat pertama.

sistem stabil asimtot akan kembalike keadaan keseimbangan setelah diga~gu dari keadaan tersebut. Waktu kembali yang lama berkaitan dengan nilai IAI keeildan sebaliknya. Slltem IInskat kedua Suatu sistem 10 tingkat kedua umum dengan u(t) == 0 diberikan oleh Y + PlY + PoY = O.

(3.2-10)

dengan persamaan ciri A2

+ PIA + Po = o.

(3.2-11)

Respon Bebas

119

Shock absorber

Mass m

Gambar 3.2-2 Osilator harmonik teredam

Contoh yang paling sering banyak disebut sebagai sistem tingkat kedua adalah yang disebut dengan osilator harmonik teredam (damped harmonic oscillator). Contoh alat semacam itu diberikan oleh sistem pegas, massa, dan sok breker yang digambarkan pada Gambar 3.2-2. Kita perhatikan pegas linear, dengan gaya proporsional terhadap berat, dan sok breker linear dengan gaya proporsional terhadap kecepatan. Jika kita perhatikan konstan pegas dengan k, konstan sok absorber dengan 13,dan massa dengan m > 0, maka ia mengikuti hukum kedua Newton bahwa

k Po = m PI

= mf3

Sok breker merupakan energi yang dihamburkan alat yang juga disebut alat peredam (damper). Jika 13= 0 (tanpa peredaman), sistem massa pegas akan bergetar pada frekuensi dasar (natural frequency) tanpa peredaman yang ditentukan oleh

(k w" = \j;"

120


Untuk kasus di mana con* 0, kita juga mendefinisikan rasio peredarnan . (ratio damping) tanpa dimensi. f3

,= 2mwn' Oalam bentuk frekuensi dasar dan rasio peredam, koefisien Po dan PI dapat ditulis dengan Po = w~ PI

= 2'wn.'

Oi mana selanjutnya kita akan mempelajari sistem tingkat kedua umurri yang akan memasukkan osilator harmonik teredam (damped harmonic oscillator) pada kasus tertentu. Untuk situasi di mana kita secara khusus ingin memandang sistem ini dalam bentuk oscilator teredam, kita akan menggantikan konstan Po dan PI dengan definisi yang diberikan di atas. Kegunaan substitusi ini akan menjadi jelas pada saat melangkah lebih lanjut. Ada tiga kemungkinan untuk kedua buah akar bagi persamaan ciri (3.2-11). mereka dapat real dan berbeda, real dan sarna atau konjugasi kompleks. Ciri dari respon bebas berbeda untuk masing-masing kasus. Eigenvalues

Nyata

dan Berbeda

Pertama pertimbangkan kasus nyata dan berbeda. Misalh A} dan A2 menyajikan dua buah akar. Ia mengikuti dari (3.2-4) bahwa solusi terse but diberikan oleh (3.2-12) Oengan menggunakan kondisi awal untuk mengevaluasi Y1dan Y2dari (3.2-6), kita dapatkan

dan

(3.2-13)

Respon Bebas

121

Yaitu, solusi rnerupakan jumlah dari solusi dua tingkatan pertarna dari jenis yang ditunjukkan pada Garnbar 3.2-1. Karena solusi ini rnerupakan jurnlah, sistern tersebut akan stabil jika dan hanya jika keduanya Al ~ 0 dan ~ ~ 0, dan stabil secara asirntot jika A.ldan ~ negatif. Jika keduanya A.ldan ~ negatif, rnaka rnernungkinkan untuk rnenentukan waktu kernbali dengan

T=-

I

minl";I'

; = 1,2.

(3.2-14)

Jika sistern terse but stabil secara asirntot dan A.ldan ~ agak berbeda, rnaka salah satu tenn yang berkurang secara eksponensial dalarn (3.2-12) akan rnenurun secara jelas lebih larnbat daripada lainnya. Waktu yang digunakan bagi sistern untuk kernbali di sekitar keadaan keseirnbangan akan ditentukan oleh eksponensial yang berkurang lebih larnbat. Waktu kernbali rnernberlkan pengukuran yang tepat untuk waktu ini. Eigenvalues

Nyata

dan Berulang

Jika akar ciri untuk sistern 10 tingkat kedua adalah nyata dan sarna, rnodifikasi prosetlur di atas harus digunakan. Misal A.adalah akar yang berulang. Kita dapat rnenggunakan (3.2-5), di mana kita buat Yl = ab Y2= a2t dan terus seperti sebelurnnya, dengan rnengevaluasi al dan a2 dari kondisi awal, untuk rnendapatkan y(t)

= y(O)eAl +

[5-(0)

-

Ay(O)IteAl.

(3.2-15)

Metode lain kadang-kadang harus rnernpertirnbangkan akar rnenjadi berbeda dengan rnernisalkan (3.2-16) (3.2-17)

dan kernudian rneneruskan dengan eigenvalues yang berbeda, dengan rnenggunakan (3.2-6), sarnpai solusi berikut ini untuk output diperoleh

122


y(t)

= [(A +

€)y(O)

- ,(OneAlE+ ['(0)

- Ay(O)]eIH.1'. (3.2-18)

Jika kita mengambillimit E~ 0, kita dapatkan sisi sebelah kanan sebagai rasio 0/0. Dengan mengaplikasikan aturan L'Hopital's memungkinkn melakukan evaluasi limit ini, yang menghasilkan (3.2-15). Hanya term pertama pada sisi sebelah kanan (3.2-15) yang menghasilkan respon yang sarna untuk sistem tingkat pertama sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 3.2-1. Gambar 3.2-3 menunjukkan sHatumum dari term kedua, asalkan y(O) A y(O). Karena

*

solusinya merupakan iumlah dari dua term ini, maka sistem tersebut secara asimtot akan stabil bila A< 0 dan tidak stabiljika A~ O. Secara khusus, untuk akar berulang dengan A = 0 sistem tersebut tidak stabil, karena term kedua pada (3.2-15).

j(O) - AyIO) >

0

jlO) ,.. AyIO) < 0

Gambar 3.2-3 Plot pada term kedua dalam (3.2-15).

Respon Bebas

Eigenvalues

123

Konjugasi Kompleks

Kemungkinan terakhir adalah bahwa akar ciri untuk sistem tingkat kedua adalah konjugasi kompleks. Dalam hal ini, lebih mudah untuk berpikir mengenai sistem tersebut dalam bentuk osilator teredam (damped oscillator) dan menggantikan PI dan Po dengan

Persamaan ciri tersebut kemudian ditulis sebagai (3.2-19) dan akamya ditentukan oleh (3.2-20) Kita mendapatkan akar kompleks, asalkan COn:;:.0 dan Il; I < 1. Karena COn muncut pada masing-masing term, tanpa kehilangan generalitasnya, kita dapat mengasumsikan bahwa COn>O. Jika kita mendefinisikan kuantitas baru, disebut frekuensi teredam (damped frequency) (3.2-21) solusi (3.2-4) dapat ditulis sebagai (3.2-22)

Dengan menggunakan rumus Euler eilJ = cos 8 + isin 8,

kita dapatkan

124


Perhatikan bahwa untuk y(t) menjadi real, koefisien dari term sinus dan kosinu5 harus real. Oleh karenanya 11 dan 12 harus merupakan pasangan konjugasi kompleks. Dengan menggunakan kondisi awal untuk mengevaluasi koefisien ini, kita dapatkan (3.2-24)

Gerakan yang dihasilkan,sepeti digambarkanpada Gambar 3.2-4 untuk positif dan negatif S, di~but gerak harmonik teredam (damped harmonic motion). Gambar 3.2-4a menggambarkan kasus khusus gerak harmonik kurang teredam (underdamped harmonic motion), yang terjadi ketika 0 < S < 1 dan ffin> O. Ini akan berhubungan dengan sistem secara fisiksebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 3.2-2 dengan peredaman yang cukup kecil0 < S < 1. Dalam hal ini, solusi keseimbangan y(t) == 0 merupakan asimtot stabil karena pembuangan energi oleh sok breker. Namun demikian, pendekatan ke keadaan keseimbangan adalah oscilatoris. Waktu kembali untuk gerak harmonik teredam ditentukan oleh I

I

T = IRe(A)1= 'wn'

(3.2-25)

di mana Re(A) menunjukkan bagian nyata dari A. Gambar 3.2-4b menggambarkan gerak bergelombang tidak stabil dengan peredaman negatif, yang didapatkan jika -1 < S < O. Ini tidak berhubungan dengan situasi fisik yang digambarkan dalam Gambar 3.2-2, namun dapat berhubungan dengan beberapa sistem di mana energinya dimasukkan ke dalam sistem. Kuantitas ffin disebut frekuensi dasar tak teredam (undamped natural frequency), ini adalah frekuensi di mana sistem tersebut akan bergerak jika S = O. Jika rasio perembaban S = 1, sistem tersebut dikatakan teredam secara kritis, karena ini mentpakan titik di mana sistem tersebut mempunyai eigenvalues berulang

nyata tanpa

osilasi. Jika

S>

1, sistem tersebut

dikatakan

teredam berlebihan (overdamped).s semakin besar untuk kasus ini, semakin lambat sistemnya akan kembali ke ke!)eimbangan. Untuk ffintertentu diberikan sistem yang teredam secara kritis akan memiliki waktu kembali tersingkat,

Respon Bebas

125

.y 2

-1

-2 (a) osilator harmonik

yang kurang teredam

y 2

-2 (b) osilator harmonik

dengan peredaman

negatif.

Gambar 3.2-4 Respon output dari sistem tingkat kedua.

tetapi sistem yang kurang teredam (underdamped) biasanya akan menghasilkan kinerja keseluruhan yang lebih baik. Perhatikan bahwa dengan 0 < l; < 1, sistem tersebut bergerak pada frekuensi teredam yang diberikan oleh (3.221) yang selalu kurang dari frekuensi dasar,
126


Kuantitas ini diberikan dalam interpretasi geometris pada Gambar 3.2-5 dalam bentuk lokasi eigenvalues (3.2-20) dalam bidang kompleks. Karena akar kompleks terjadi pada pasangan konjugasi, Gambar 3.2-5 simetris di sekitar sumbu nyata, dan kita hanya menayangkan separuh bidang atas. Modulus (nilai absolut) dari A dan sudut dari sumbu nyata positif terhadap A ditentukan oleh

8

=L

A ~ tan-I

lm(A)

[ Re(A)]

= tan-I ~

(

-

,)

'

di mana Re(.) dam Im(.) menunjukkan bagian imajiner dan nyata, secara berurutan, (.)* menunjukkan konjugasi kuantitas kompleks (yang diperoleh dengan menggantikan i dengan -i)dan tan -1(.,.)diinterpretasikan sebagai fungsi tangen arc dua argumen [seperti dalam fungsi Fortran ATAN2(.,.)] untuk menentukan kuadran yang tepat. ;ro

cosa

=~ C1

Gambar

3.2-5 Akar kompleks dari sistem tingkat kedua.

Respon Bebas

127

Eigenvalues diletakkan dengan jarak (Ondari awal. Khususnya, untuk nilai (On,yang diberikan eigenvalues (sebagai fungsi Q terletak pada lingkaran radius (Onyang berpusat pada awal. Catat juga dalam Gambar 3.2-5 di mana eigenvalues diletakkan pada sudut a terhadap sumbu nyata negatif yang diberikan oleh cos a = s. Oleh karenanya untuk nilai S, eigenvalues (sebagai fungsi (On~ 0) semuanya terletak sepanjang garis lurus menuju awal pada sudut a dengan sumbu real negatif. Perhatikan bahwa eigenvalues berada pada separuh bidang sisi sebelah kiri [Re (A)::;0] untuk S = O. Ketika rasio peredaman ditingkatkan dari S = 0 menjadi S = 1, sudutnya akan menurun clari a = 1t/2 (tanpa peredaman, akar imajiner) menjadi a = 0 (peredaman kritis, akar nyata

berulang). Berdasarkan pada hasil geometris ini, penentuan pengatur feedback seperti "rasio peredaman ~ s" berarti bahwa dalam bidang kompleks, eigenvalues harus terletak pada kerucut dengan separuh sudut a = cos-1(Q, yang berpusat pada awal dan simetris terhadap sumbu nyata negatif. Penentuan tambahan pada "frekuensi dasar ::; (0" akan memotong kerucut ini pada radius (0. Seringkali, spesifikasi kinerja pada desain sistem pengaturan feedback dapat dikurangi menjadi pembatasan seperti pada lokasi eigenvalues dari sistem secara Iseseluruhan.

Sislem Tingkal Lebih Tinggi Karena sistem 10 linear, respon bebas dari setiap sistem 10 tingkat yang lebih tinggi akan menjadi jumlah dari respon tingkat pertama dan kedua. Hal ini mengikuti fakta bahwa akar persamaan ciri yang bisa real ataupun kompleks, dengan akar kompleks yang muncul pada pasangan konjugasi. Untuk sistem lebih tinggi yang secara asimtot stabil, waktu kembalinya ditentukan dengan T=-

1 minIRe(A;)1'

i = 1.2

N.,.

(3.2-26)

dan eigenvalues yang berhubungan dengan T disebut eigenvalue dominan, atau pasangan eigenvalue dominan jika ia merupakan salah satu pasangan konjugatif kompleks. Tanda eigenvalue dominan seringkali digunakan untuk

128


II)

=

A CJ+ jll)

y

10

x

5

-x -10

0

-5

CJ

.5 I

-5 x

I

-10

-1

I (a) Respon yang didominasi

oleh pasangan

II)

akar kompleks.

y

A=CJ+ jll) x 110 5

x -10

-5

0

.5

CJ

-5

01

x -10 (b) Respon yang didominasi

-1

I

oleh akar nyata.

Gambar 3.2-6 Respon sistem tingkat ketiga.

rnernperkirakan sistern dinarnik yang tingkatannya lebih tinggi oleh sistern tingkat lebih rendah dengan eigenvalue dorninan yang sarna. Sebagai contoh, perhatikan sistern tingkat ketiga dengan fungsi tran~fer

Respon Bebas

129

K G(.5)=

(TS

,

, .

+ I )(s- + 2~w"s+ w;.)

Pada Gambar 3.2-6, respon bebas dari sistem ini diilustrasikan untuk dua kasus. Pada kedua kasus, akar "dipisahkan" sebagaimana terlihat dan terdiri dari akar nyata dan pasangan akar konjugasi kompleks. Pada kasus a waktu kembali ditentukan oleh akar nyata. Perhatikan karena pemisahan pada bagian nyata dari akar tersebut, pada kasus a sistem tingkat ketiga berlaku seperti sistem tingkat kedua setelah jangka waktu yang pendek, dan pada kasus b sistem tingkat ketiga bertindak seperti sistem tingkat pertama, setelah jangka waktu yang pendek.

3.3 RESPONIEIAS SISTEMRUANCiKEADAAN Sekarang kita akan kembali ke penyajian variabel keadaan umum dari sistem dinamik linear, untuk melihat respon bebas dari sistem dengan bentuk i = Ax.

(3.3-1)

Menurut analogi dengan sistem 10, kita cari solusi dari bentuk x(t)

= eAt t.

Dengan mensubstitusikan solusi ini menjadi (3.3-1) menghasilkan

Dengan menunda faktor eAtnonzero, kita dapatkan persamaan tor:

atau

[AI- A]t = o.

eigenvek-

130


yang mempunyai solusi ~nonzero jika dan hanya jika persamaanciri berikut ini dipenuhi (3.3-3)

IAI- AI = o.

di mana 1.1 menunjukkan determinan. Persamaan (3.3-3) adalah persamaan polinomial tingkat Nx, dan polinomial yang sesuai sarna dengan P('A) pada (3.2-3). Memang, polinomial ini merupakan ciri sistem dinamik, tanpa mempertimbangkan apakah sistem tersebut dinyatakan pada ruang keadaan, 10, atau bentuk fungsi transfer. Jadi, kita lihat bahwa solusi selain nol pada (3.3-1) diperoleh hanya jika 'A ada pada eigenvalue

~ adalah

dari A dan

eigenvektor

yang sesuai.

Untuk

sementara, asumsikan bahwa eigenvalues A berbeda. Kemudian eigenvektor A membentuk himpunan vektor independen linear Nx, dan solusi umum (disebut solusi "homogen") didapatkan dengan membentuk kombinasi linear (3.3-4) Solusi ini juga dapat ditulis sebagai x(t)

= MeAly.

(3.3-5)

di mana y M

= [YI . . . YN x f

(3.3-6)

= [~I" . . . ~N)

(3.3-7)

dan eA11

(3.3-8) ," ~ [

0e''' .

Respon Bebas

131

Koefisien Yb..., YNxaalah konstan yang dapat ditentukan dari kondisi awal dengan mengevaluasi (3.3-5) pada t = 0, dengan menghasilkan sistem persamaan Nx x(O) = My.

Karena eigenvektor seeara linear independen, sistem persamaan ini akan menghasilkan hasil unik untuk koefisien sebagaimana ditentukan oleh

Solusi dalam bentuk kondisi awal kemudian diberikan oleh x(1) = Me"'M -'x(O).

(3.3-9)

Jika beberapa eigenvalues berulang, maka eigenvektor dapat atau tidak dapat independen seeara linear. Pada setiap kasus, suatu solusi umum rnasih dapat ditentukan dalam bentuk (3.3-9), melalui penggunaan teknik penyimpangan matriks (matrix perturbation) (Luenberger, 1979, h. 89). Seeara khusus, selalu dimungkinkan untuk menyimpang dengan jumlah keeil, besamya kurang dari E, elemen A yang menyebabkan eigenvalues berulang. Hal ini akan membuat eigenvalues yang dihasilkan berbeda dan akan menghasilkan eigenvektor independen seeara linear Nx. Solusi umum kemudian mengikuti dari (3.3-9) pada limit E ~ 0.

CONTOH 3.3-1

Sistem Tidak Stabil Tingkat Kedua

Untuk setiap bilangan nyata a, termasuk a = 0, perhatikan sistem tingkat kedua yang diberikan oleh

Dari (3.3-3) persamaan ciri

132


menghasilkan eigenvalues 1..1= 0 dan A.2 = -0. Sistem tersebut tidak stabil, karena dengan 0 * 0, satu akar adalah positif, dan jika 0 = 0, kedua akar sarna dengan no!. Dari (3.3-2) eigenvektor yang sesuai dapat ditulis sebagai berikut

t. = [I a]T t2 = [I -aY. Kemudian untuk a * 0 dari (3.3-9), kita dapatkan'

yang menghasilkan

Hal ini dapat dilihat secara lebih padat, dalam bentuk fungsi hiperbolik seperti

(t)

cosh at

[ ~~(t) ] = [ a sinh at

-a1 sinh at cosh at ]

( XI 0)

[ X2(0) ] .

Untuk kasus tertentu di mana 0 = 0, kita dapatkan 1..1= A.z= 0 dan ;1 = ;2 = [1 O]T,dan matriks M dalam kasus ini tidak mempunyai inversi. Namun jika kita membuat 0 menjadi jumlah positif kedl, maka solusi x(t) diperoleh dari hasil di atas dalam limit 0 ~ o. Dengan mengaplikasikan aturan L'Hopital, menghasilkan

Respon Bebas

X I«()

[ X2(t) ]

=

It

[0

133

X 1(0)

1]

[ X2(0)']

Oleh karenanya, secara umum kita akan mengasumsikan bahwa eigenvalues dari A adalah berbeda. Jika tidak, teknik penyimpangan (perturbation technique) di atas dapat diaplikasikan.

Persamaan Keadaan Decoupled Kita telah mengobservasi bahwa jika A adalah matriks diagonal dari bentuk

untuk beberapa bilangan A},...ANx,maka persamaan keadaan menjadi decoupled ( terurai). Jika kasusnya seperti ini, maka masing-masing persamaan yang dihasilkan dari bentuk i = I,...,

Nx

akan mempunyai solusi

Secara umum, matriks A bukan dalam bentuk diagonal. Namun demikian, observasi di atas menyarankan prosedur yang berbeda untuk mendapatkan solusi pada persamaan keadaan (3.3-1). Dari pembahasan kita terdahulu mengenai diagonalisasi, kita dapat menguraikan persamaan keadaan dengan mengaplikasikan transformasi koordinat z

= M-'x,

(3.3-10)

134


di mana M adalah matrik (modal) eigenvektor (3.3-7) dengan eigenvektor A sebagai kolomnya. Kita asumsikan bahwa eigenvektor independen secara linear sehingga M1 ada. Sebagaimana dicatat terdahulu, kondisi yang memenuhi untuk hal ini adalah eigenvalues A menjadi berbeda. Dengan mengaplikasikan transformasi ini menjadi

x = Ax menghasilkan Mz = AMz, sehingga z = 1\..-

I

AMz.

Menurut definisi

sehingga

z = hz. Dengan menggunakan definisi (3.3-8) kita dapatkan solusi dalam bentuk z(1)

= eA1z(O).

Solusi x(t) kemudian mengikuti secara langsung dari x = Mz. Dengan mengapliaksikan transformasi ini, kita dapatkan

atau x(1)

= MeA1M

- 'x(O),

(3.3-11)

- --

------_._-

Respon Bebas

135

yang merupakan hasH sarna dengan (3.3-9). Perhatikan bahwa matriks transformasi eigenvektor M dan keadaan decoupled mempunyai elemen kompleks, karena eigenvalues mungkin kompleks. Namun demikain, karena setiap eigenvalues kompleks (dan eigenvektor yang berkaitan) terjadi dalam pasangan konjugasi, solusi hasH akhir x(t) akan selalu real. Dari solusi homogen (3.3-4) atau dari (3.3-11) dan (3.3-8) dalam kasus eigenvalues berbeda, kita dapat melihat dengan jelas kriteria stabilitas dasar untuk sistem linear. Agar keadaan keseimbangan stabil, bagian nyata dari semua eigenvalues harus ~ o. Jika semua eigenvalues mempunyai bagian nyata < 0, maka keseimbangannya adalah stabil secara asimtot. Keseimbangan tidak stabil jika satu eigenvalue mempunyai bagian nyata > o. Kasus khusus terjadi jika setiap eigenvalues yang berulang mempunyai bagian nyata nol. Sebagaimana telah kita catat sebelumnya, adalah memungkinkan untuk mempunyai akar berulang, keseimbangan ini akan stabH, namun tidak secara asimtot stabil. Jika tidak, dengan eigenvalues berulang, teknik penyimpangan matriks harus digunakan, dan kita akan mendapatkan term-term yang meliputi polinomial pada t. Untuk eigenvalues berulang dengan bagian nyata nol, tidak akan ada penetralan multiplier yang berkurang secara eksponensial untuk term ini, sehingga sistem tersebut pasti tidak stabil. Matriki i{eadaan Posisi

Solusi (3.3-9) dapat dipandang dalam bentuk matriks transformasi. Yaitu, keadaan pada saat t diperoleh dari posisi pada saat t = 0 melalui transformasi linear dari bentuk

<1»(1)

= Meo\'M

-I.

Lebih umum, untuk setiap sistem koefisien konstan linear

x = Ax. keadaan pada waktu t2 dapat dihubungkan dengan keadaan pada waktu t1 yang lain dengan transformasi linear

136


(3.3-12)

yang hanya bergantung kepada panjang interval waktu tz - t1. Notasi tersebut disederhanakan dengan membuat t = tz - t1, di mana kita biasanya mempunyai t}

= O. Kita akan mendiskusikan notasi disederhanakan ini jika tidak mengi-

nginkan untuk menunjukkan dua waktu tertentu dan bukan hanya interval waktunya. Karena sifat transisi yang diberikan oleh (3.3-12), matriks <1> Nx x Nx yang ditentukan oleh persamaan ini disebut matriks transisi keadaan. Ia mempunyai beberapa ciri penting yang secara langsung mengikuti (3.3-12). Jika <1>diketahui, maka keadaan awal x(O) dapat diperbanyak pada setiap waktu t (ke depan atau ke belakang) dengan pengkalian matriks sederhana x(t)

= (t)x(O),

(3.3-13)

daripada mengintegrasikan persamaan gerak diferensial. Jika matriks transisi keadaan hanya dihitung satu interval waktu ~t, keadaan tersebut masih dapat diperbanyak dengan menggunakan

x(2~t)

= (~t)x(O) = (~t)x(~t) = 2(~t)X(O)

x(k~t)

= (~t)x({k-

x(~t)

1}~t)

= k(~t)X(O),

dengan keuntungan bahwa hasH ini tepat (kecuali untuk kemungkinan kesalahan pembulatan yang termasuk dalam melakukan pengkalian secara numerik), dan <1> tidak perlu dihitung kembali untuk setiap waktu barn t. Ciri penting lainnya dari (t) juga mengikuti dari definisi bahwa inversi untuk (t)ada untuk semua waktu t. Untuk melihat hal ini, kita catat dari (3.3-12) bahwa dengan tl = 0, tz = t xCI) = (t)x(O)

dan dengan t2 = 0, t} = t

Respon Bebas

137

-

x(O) = «1»( t)x(t) = «1»( -

t)«I»(t)x(O).

Oleh karenanya, transformasi inversi (3.3-14) didapatkan dari ~t) hanya dengan mengganti t dengan -to HasH ini menyiratkan bahwa ada lintasan unik x(t) yang melewati titik awal tertentu x(O) pada ruang keadaan. Pada setiap waktu t > 0 (atau t < 0), adalah memungkinkan untuk mendapatkan kembali secara khusus keadaan awal x(O) dengan menggerakkan kebelakang (atau ke depan) dalam waktu sepanjang lintasan. Cirinya adalah untuk setiap waktu tlo tz, t3 (3.3-15)

Secara khusus,

- = «I»(t - T).

«I»(t)«I»( T)

Juga perhatikan bahwa x(t)

(3.3-16)

= ~t)x(O) menyiratkan bahwa ~t) harus me-

menuhipersamaandiferensialmatriksdan kondisipembatas ci-

= AcI»,

«1»(0)= I.

(3.3-17)

Dua hasH pada (3.3-17) ini dapat digunakan untuk menghitung ~t), namun mereka berlaku lebih baik sebagai pemeriksa aljabar terhadap ketepatan ~t) setelah ia ditentukan oleh alat lainnya. Berdasarkan pada (3.3-17), kita perha-

tikan bahwa x(t) == ~t)x(O) memenuhi kedua persamaan diferensial(3.3-1) dan kondisi awal. Hal ini menegaskan bahwa solusi x(t), yang unik, sebenamya dapat ditulis dalam bentuk transformasi linear.

Sistem Waktu Retro Dari persamaan (3.3-9) atau (3.3-10) matriks transisi keadaan untuk sistem tersebut

138


i

= Ax

(3.3-18)

diberikan oleh (3.3-19) Dari (3.3-14) inversi dari
Karena eigenvalues dari -A hanya merupakan bentuk negatif dari eigenvalues A, ia mengikuti solusiuntuk i

=

- Ax

(3.3-21)

yang diberikan oleh (3.3-22) Karena -l(t)untuk sistem (3.3-18), maka kedua sistem ini dihubungkan dengan cara yang menarik. Jika kita berpikir bahwa (3.3-18) sebagai sistem ke depan (forward system), maka (3.3-21) dapat dianggap sebagai sistem retro. Yaitu, solusi terhadap (3.3-21) adalah sarna dengan yang didapatkan dari (3.3-18) dengan integrasi ke belakang (backward integrating) tepat pada waktunya (di mana kondisi awal adalah keadaan akhir dari sistem ke de pan) . Perhatikan bahwa jika sistem ke depan stabil, maka sistem retro tidak stabil. Penyajian

Transformasi

Laplace

(t)

Kita mengitung matriks transisi keadaan dalam Contoh 3.3-1 dengan menyusun M dari eigenvektor seperti dalam (3.3-7), dengan mengkonstruksi eAtdari eigenvalues seperti dalam (3.3-8), dan kemudian mengkalikan hasilnya sesuai dengan (3.3-19). Namundemikian, metode lain tersedia untuk menghitung matriks transisi keadaan, melalui penggunaan transformasi Laplace inversi. Dengan mengambil transformasi Laplace (3.3-1) menghasilkan

Respon Bebas

sX(s)

-

x(O)

139

= AX(s).

Jadi, X(s) = [sl - A)- 'x(O).

Dengan mengambil transformasi Laplace inversimenghasilkan solusi X(I) = ~-. ([sl

-

A) -I}X(O),

(3.3-23)

di mana (3.3-24) Metode ini mungkin mudah bagi pembaca yang akrab dengan teknik metode Laplace. fa mempunyai keuntungan secara otomatis memperhatikan akar yang berulang. Namun demikian, ia mempunyai dua kerugian ia memerlukan penghitungan transformasi Laplace inversi dan ia tidak menghasilkan informasi eigenvektor.

Penyajian

Deret $(t)

Kita juga harus memperhatikan bahwa metode lain untuk menyusun matriks transisi keadaan. Untuk sistem tingkat satu skalar

x = ax, solusi tersebut diberikan dengan

dan "matriks" transisi keadaan dalam hal ini adalah skalar eat. Karena fungsi eksponensial dapat ditulis sebagai deret tak terhingga , ,2 ,3 e'll = I + al + a2- + a3- + . . . 2! 3! '

140

Pengantar Sistem PengatIJran

ia menyiratkan definisi matriks eksponensial disamakan eAt ~ I + At + A2

-,2 + 2!

Nx x Nx dalam bentuk dapat

,3

A3 - +

3!

....

(3.3-25)

Jadi,

Dengan menggunakan definisi ini, kita lihat bahwa matriks eksponensial memenuhi persamaan diferensial dan kondisi awal dalam (3.3-17). Oleh karenanya, kita menyimpulkan bahwa <1>(1)

= eA,.

(3.3-26)

Perluasan deret untuk matriks eksponenesial dapat digunakan untuk memperkirakan matriks transformasi keadaan
Dari teorema Cayley Hamilton, A me menu hi

Respon Bebas

141

Dengan menyelesaikan persamaan ini untuk ANx,kita dapat mengembangkan ekspresi untuknya dan semua pangkat yang lebih besar dari A. Hal ini kemudian disubstitusikan ke dalam (3.2-25) untuk menghasilkan deret terhingga untuk matriks eksponensial

Sebagai tambahan untuk hasH ini, kita juga mempunyai fakta bahwa eigenvalues itu sendiri memenuhi persamaan ciri. Oleh karenanya, jika kita mengaplikasikan prosedur Cayley-Hamilton yang sarna dengan yang digunakan untuk A ke matriks skalar [~], kita dapatkan

untuk masing-masing eigenvalue ~, i = 1,...,Nx. Dengan mengasumsikan eigenvalues berbeda, kita lihat bahwa Persamaan (3.3-28) terdiri dati himpunan persamaan independen secara linear Nx,yang dapat kita selesaikan untuk koefisien ~(t), j = O,...,Nx-l. Kemudianmatriks transisi keadaan mengikuti dari (3.3-27).

CONTOH 3.3-2

Penghitungan (t)Cayley-Hamilton

Perhatikan sistem yang sarna seperti pada Contoh 3.1-1, yang diberikan oleh:

Persamaan ciri

menghasilkan eigenvalues A.I= a, ~ = -a. Dengan mengaplikasikan (3.3-28) pada masing-masing eigenvalue, kita dapatkan

142


e'" = ao(t) + al(I)A. = ao(t) + aal(1) e-a, = ao(t) + al(I)A2= ao(1)- aa.(t),

di mana sisi sebelah kanan berhenti setelah bentuk tingkat Nx- 1 = 1 dalam A, karena ciri polinomial ada dalam tingkat Nx = 2. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita dapatkan ao(t) =

ea, + e-a, = cosh at 2

al(t) =

eal - e - al I. = - smh at 2a a

Kemudian (3.3-27) menghasilkanmatriks transisi keadaan

cIJ(1)

=

eA1

= ao(t)1

+ a,(I)A

=

cosh at

[

a sinh at

! sinh at

a

,

cosh at ]

yang sesuai dengan hasil dari Contoh 3.3-1. Sudah jelas bahwa dari prosedur ini dan dari prosedur sebelumnya untuk menghitung
3.4 LlNTASANRUANG KEADAAN Formulasi 10 dan formulasi ruang keadaan dari sistem dinamik menampilkan lebih dari dua matematik cara melihat sistem terse but. Formulasi ini juga memberikan dua cara geometrik cara melihat sistem terse but. Dengan bentuk 10 output sistem terse but menyajikan ciri dominan, dan outputnya selalu diplotkan sebagai fungsi waktu untuk rangkaian acuan kondisi awal. Contoh diberikan dalam Gambar 3;2-4 clan 3.2-6. Dalam formulasi ruang keadaan variabel keadaan yang menyajikan ciri dominan. Sebagaimana dalam formulasi

Respon Bebas

143

XI

(b) Akar kompleks

(a) Akar imajiner

XI

Cr.)Akar nyata (negatil)

(d) Akar berulang (negatil)

Equilibrium line--...

(e) Akar nyata

dari tands

yang ber1awanan

(I) Eigenvalue

no!

Gambar 3.4-1 Untasan ruang keadaan untuk slstem tlngkat kedua.

144


10, output dan/atau masing-masingvariabelkeadaan dapat diplotkan sebagai fungsi waktu. Namun demikian, juga merupakan hal yang informatif untuk memplotkan variabelkeadaan terhadap satu sarna laindalam ruang keadaan di mana masing-masingsumbu berhubungan dengan salah satu variabelkeadaan. Solusi kurva plot yang sesuai disebut tranjektori (lintasan). Karena (3.3-1)

x

secara unik menentukan kecepatan untuk setiap titik dalam ruang keadaan, maka tidak ada dua lintasan dalam ruang keadaan yang dapat berpotongan. Meskipun proses ini dapat dianggap dalam setiap jumlah dimensi, secara jelas ini praktis untuk kebanyakan sistem tiga dimensi dan paling berguna untuk sistem dua dimensi. Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan nyata antara format 10 dan penyajian keadaan untuk sistem ~atu dimensi, sehingga sistem tingkat pertama akan selalu diplotkan sebagai output vs waktu. Untuk menggambarkan berbagai plot ruang keadaan yang memungkinkan, pertimbangkan sistem tingkat kedua (3.4-1) di mana l; dan conbisa bilangan kompleks atau nyata, sepanjang koefisien yang dihasilkan dalam (3.4-1) adalah nyata. Dengan Xl = y, penyajian ruang k~adaan ekuivalen ditentukan oleh

(3.4-2) (3.4-3)

Variabel ruang keadaan adalah posisi dan kecepatan. Gambar 3.4-1 menggambarkan solusi pada (3.4-2) dan (3.4-3) dalam ruang keadaan untuk kasus nilai parameter l; dan COnyang berbeda. Lintasan dihasilkan dengan memulai dari berbagai keadaan awal. Kasus 0, disebut pusat, terjadi dalarr, osilator harmonis "undamped", dengan l; = 0 dan COn> O. Osilasi terus-menerus dicirikan berdasarkan lintasan tertutup dalam ruang keadaan. Masing-masing kurva lintasan, dalam hal ini, menyatakan kondisi awal yang mempunyai total kinetik ditambah energi po-

Respon Bebas

145

tensial yang sarna. Karena tidak ada peredam, tingkat energi tetap konstan sepanjang lintasan. Kasus b, dinamakan fokus, berhubungan dengan osilator harmonik yang kurang teredam dengan (On> 0 dan 0 < l;< 1. Perhatikan bagaimana lingkaran lintasan menuju ke awal. Gambar 3.3-1b dengan jelas mengilustrasikan fakta bahwa energi total dari massa pegas sok breker terus-menerus menurun karena viskositas peredaman pada sok breker. Untuk sistem "overdamped", seperti dalam kasus c dengan l; > 1 dan (On> 0, berkenaan dengan "node", sistem tersebut mempunyai dua eigenvalues negatif nyata dan dua eigenvektor nyata yang sesuai. Gerak yang dikaitkan dengan kebanyakan eigenvalue negatif berkurang dengan cepat, kurang lebih pada arah eigenvektor yang sesuai yang disebut eigenvektor "cepat". Eigenvalue lainnya berhubungan dengan waktu kembali T. Gerak yang sesuai dengan eigenvektor yang terkait, akan berkurang perlahan-Iahan kurang-Iebih pada arah eigenvektor dan disebut sebagai eigenvektor "Iambat". Kasus d, juga disebut "node",

berkaitan

dengan peredaman

kritis (l;

= 1,

(O~ > 0), dan sistem tersebut hanya mempunyai satu eigenvektor dengan gerak yang pada akhimya didominasi oleh arah eigenvektor ini. Kasus b sampai d adalah sistem yang stabil secara asimtot dengan l; > O. Mereka dapat dibuat tidak stabil, dengan lintasan yang berbeda dari asalnya, dengan menetapkan l; < O. Arah gerak yang ditunjukkan oleh anak panah pada ~kasus b sampai d membalikkan dirinya sendiri. Kasus e, disebut saddle,menggambarkan sistem tidak stabil (O~ < 0, l; = 0), dengan eigenvalue nyata satu positif dan satu negatif, analog dengan pendulum inversi tak teredam linear. Kasus J, disebut, shear, berhubungan dengan sistem peredaman massa peg as sistem alat peredam tanpa pegas dan alat peredam (l; = 0 dan (O~= 0), yaitu, hanya merupakan massa yang bergerak tanpa gaya yang diaplikasikan. awalnya hanya merupakan salah satu ketakterbatasan titik keseimbangan yang memungkinkan, semuanya yang tidak stabil. Massa tersebut dapat berada pada heseimbangan pada setiap posisi Xl> asalkan kecepatan X2 nol. Selain itu, massa bergerak pada kecepatan konstan. Jika eigenvalues nyata, seperti pada kasus c sampai J, eigenvektor yang sesuai mempunyai signifikansi geometrik pada ruang keadaanj mereka merupakan lintasan garis lurus. Hasil ini dapat dilihat dengan mempertimbangkan kasus tersebut di mana pada waktu tertentu t, x(t) merupakan titik eigenvektor

146


1;. Yaitu vektor "posisf' dari asalnya ke x(t) yang terletak sepanjang eigenvektor. Karena itu, untuk beberapa k

X(/)= k~. Kemudian vektor "kecepatan" x = Ax(1)= kA~ = kA~ juga diarahkan sepanjang eigenvektor karena AI; = AI;. Jadi, eigenvektor merupakan himpunan invarian; setiap lintasan yang dimulai dari eigenvektor tersebut tetap pada titik itu. Satu sifat lainnya mengenai plot ruang keadaan harus diperhatikan. Untuk sistem linear lintasan ruang keadaan independen dari skala dari mana mereka dilihat. Secara khusus, untuk setiap solusi x(t) ke persamaan keadaan

x = Ax dan setiap faktor skala k, fungsikx(t) juga merupakan solusi.Jadi tidak m~njadi masalah sejauh mana kita meningkatkannya ke dalam atau ke luar, plot ruang keadaan akan terlihat identik kecualiuntuk skala pada sumbu.

3.5 KRITERIASTABILITASROUTH-HURWln Oalam desain pengatur feedback, salah satu tujuan dasar adalah untuk menstabilkan sistem tersebut di sekitar titik pengoperasian perintah. Oalam bagian ini kita menampilkan beberapa teknik untuk menganalisis stabilitas sistem pengatur lingkaran tertutup dalam bentuk parameter dalam sistem pengaturan feedback. Kita akan memperhatikan sistem koefisien konstan linear tingkat ke-n mempunyai persamaan ciri

Akar-akar dari persamaan ini adalah eigenvalues dari sistem tersebut. Untuk sistem pengatur feedback, koefisien dalam persamaan ciri bisa terdiri dari

Respon Bebas

147

banyak parameter, baik dari sistem primer yang harus dikontrol dan dari pengatur. Untuk himpunan nilai koefisien tertentu, ada berbagai alogaritma numerik yang tersedia untuk menghitung eigenvalues. Jadi, akibat dari nilai parameter yang berbeda dapat dipelajari secara terpisah dengan memecahkan persamaan ciri secara numerik. Namun demikian, tujuan kita di sini adalah mempelajari beberapa teknik analisis stabilitas yang tidak memerlukan penyelesaian ulang dari persamaan ciri.

Aturan Descartes dan Identitas Newton Sejumlah informasi yang berharga dapat dipelajari tanpa menyelesaikan persamaan ciri. Misalnya,aturan Descartes menyatakan beberapa hal 1. 2. 3. 4. 5.

Ada secara tepat n akar, karena persamaan ciri adalah persamaan polinomial tingkat ke-n. Jika akar kompleks ada, mereka terjadi dalarn pasangan konjugasi A.= 0 :t ;ro,karena koefisien pada persamaan ciri diasumsikannyata. Jumlah akar nyata positif kurang dari atau sarna dengan jumlah perubahan tanda dalam koefisienP(A). Jumlah akar nyata negatif kurang dari atau sarna dengan jumlah perubahan tanda pada koefisienP(- A). Agar semua akar mempunyai bagian nyata negatif (bukan positif), memang perlu namun tidak memadai bahwa semua koefisienmenjadi positif (bukan negatif)pada perSamaan ciri.

Hasil-hasil ini, dan juga lainnya, diperoleh dari beberapa relasi aljabar, yang disebut identitas Newton, antara koefisienPo, Pl,...Pn-l dari polinomial ciri dan eigenvalues AI, ..., An. P,,-I = -2A; ;

Pn-2 =

2 A;Aj ;"j

Pn-3 = - 2. A;AjA, ;"j""

(3.5-2)

148


di mana jumlah tersebut berada di atas semua kemungkinanindeks 1,... ,n yang berbeda (tunggal,berpasangan, tiga jalur, dan seterusnya).

CONTOH 3.5-1

Olilator Marmonlk

Perhatikan osUatorharmonik, seperti halnya sistem massa pegas tanpa peredam. Persamaan ciri tersebut dapat ditulissebagai berikut

o=

P(A)

= A:! +

w~.

Persamaan ini dengan mudah diselesaikan dan akar A =:t iron' benar-benar

imajiner, sehingga sistern dinamik adalah stabil, namun bukan stabil secara asimtot. Namun dernikian, u~tuk tujuan ilustrasi, rnarilah kita rnempertirnbangkan apa yang dapat dipelajaritanpa rnenyelesaikansifat persarnaan tersebut. Dari aturan Descartes yang terakhir, kita tahu bahwa sistern ini tidak stabil secara asirntot, karena koefisienA adalah nol. Jika setiap koefisientelah menjadi negatif, kita dapat rnenyirnpulkanbahwa sistern tersebut tidak stabil. Tidak ada perubahan tanda dalarn koefisien P(A), karena koefisien nol tidak rnenyebabkan perubahan tanda. Jadi, tidak ada akar positif nyata. Dernikian pula, karena tidak ada perubahan tanda yang ada dalarn koefisienP(- A)= (- A)2 + ro~~maka tidak ada akar nyata negatif. Jadi, jika akamya nyata, keduanya harus sarna-sarna nol. Dari identitas Newton pertarna, kita dapatkan PI = ° = -(AI+ A2)= -28, karena akar komplp.kshanya tetjadi pada pasangan konjugasi,A= 8:t iro.Jadi, jika akmya kompleks, rnaka harus ada bagian nyata nol. Oleh karenanya, salah satu dari akar tersebut benar-benar irnajiner atau keduanya sarna-sarna nol. Dari indentitas Newton yang terakhir, ro~?sarna dengan hasil kali akar. Oleh karenanya, jika ron * 0, akamya harus bukan nol (oleh karenanya imajiner). Kalau tidak, akar kedua-duanyaharus nol.

Respon Bebas

149

Prosedur Stabilitas Routh Perhatikan bahwa aturan Descartes ke tiga dan keempat secara eksklusif berkaitan dengan akar nyata dan hanya memberikan batas atas terhadap kemungkinan akar nyata positif atau negatif. Mereka tidak secara langsung mengatakan berapa banyak akar nyata positif atau negatif yang ada untuk persamaan ciri (kecuali jika bilangannya nol)o Untungnya, ada metode yang sangat sederhana, yang valid untuk akar nyata dan kompleks, yang akan menunjukkan dengan tepat berapa banyak akar mempunyai bagian nyata positif. Metode ini disebut kriteria Routh-Hurwitz. Prosedur yang akan kita tampilkan, berkaitan dengan Routh, meliputi penyusunan tabel atau array bilangan didasarkan pada koefisien pada polinomial ciri. Prosedur ekuivalen, berkaitan dengan Hurwitz, meliputi n determinan dari koefisien, dari tingkat 1,2,..., n . Array Routh untuk persamaan ciri

mempunyai bentuk triangular berikut ini An:

An-I:

Pn-4

Pn- . Pn-) 1../I . :- : +.Pn-2

I

Pn-S Pn-7

! An-: An - J:

("I I

d,

C2 I

Pn-6

CJ

...

d

.. .

Pn-H

... 0

.. .

0

0

0

o

di mana

(", =

Pn-IPn-2 Pn-I

I x Pn-)

'

- Pn-IPn-4

(2 -

- Ix

Pn - 1

Pn-S

150


d2 = c.Pn-S

- Pn-lc3

CI Baris pertarna terdiridari

..00.

setiap koefisien lain pada P(A), rnenunm dalarn

urutan dengan pangkat 2 dan dirnulai dengan koefisien An. Baris kedua

tersusundengancara yangsarna,dirnulaidengankoefisienAn-l dan rnenunm dengan pangkat 2. Sernua koefisien harus digunakan, termasuk juga koefisien no\. Untuk prosedur di atas, posisi yang rnengikuti pada sernua baris dari array Routh terdiri dari nol, sebagairnana diperlukan. Masing-rnasing elernen pada baris ketiga dan seterusnya terdiri dari determinan 2 x 2 negatif (dari dua baris sebelurnnya) yang dibagi oleh "elernen pivot" Elernen pivot adalah elernen pertarna pada baris sebelumnya. Kolorn pertarna dari determinanOini terdiri dari dua elernen dalam kolorn satu (kotak) dari dua baris sebelumnya. Kolorn kedua terdiri dari dua elernen yang sesuai (pada dua baris sebelurnnya) pada kolorn di sebelah kanan dari elernen yang sedang dihitung. Hasil dari prosedur ini adalah bahwa jumlah akar dengan bagian nyata positi! sama dengan jumlah tanda pada kolom satu dari array Routh. Perhatikan bahwa setiap baris yang berasal dari dua baris pertarna dapat dikalikan dengan setiap angka positif yang cocok tanpa rnengubah kesirnpu@n.

CONTOH

3.5-2

Array Routh

Untuk persamaan dri

Array A Routh yang sesuai adalah ,\4:

1

1

2

,\3:

3

6

0

,\2:

-1=

3xl-lx6 3

2=

3x2-lxO 3

0

Respon Bebas

AI:

12= -lx6-3x2 -I

Ada dua perubahan tanda pada

kolom

151

o

satu, sehingga

bagian nyata positif(baik dua akar nyata atau pasangan

ada dua akar dengan konjugasi kompleks).

Kasus Khusus pada Prosedur Routh Ada dua kasus khusus untuk mempertimbangkan prosedur Routh(l) angka Nol pada kolom satu, tetapi keseluruhan baris tidak semuanya nol, dan (2) baris nol.

CONTOH 3.5-3

EIc~men Pivot Mol

Jika elemen pivot pada kolom satu adalah nol, ganti dengan angka positif kecil E dan teruskanseperti sebelumnya. Setelah array tersusun, pertimbangkan kasus yang membatasi ketika E mendekati nol. Aturan yang sarna berlaku, dengan informasi tambahan jika elemen yang berada tepat di atas dan di bawah nol mempunyai tanda yang sarna, maka nol tersebut sesuai dengan pasangan akar imajiner. Jika elemen terakhir pada kolom satu adalah nol, maka nol ini adalah salah satu dari akar persamaan ciri Misalnya, persamaan ciri

menghasilkan array Routh

2

4

10

8

6

152

Pengantar $istem Pengaturan

A3:

E

A2: AI:

(8E

(

7

-

-E

-+ -00 14)

-

8E 6E2)14

-+ 7

7

0

6

0

0

6.

AO:

Jadi, ada dua akar dengan bagian nyata positif.

CONTOH 3.5-4

Baris Mol

Baris nol (tanpa menghitung baris terakhir) yang sesuai dengan akar yang terletak secara simetris di sekitar titik pusat (origin), sebagaimana ditunjukkan pada berbagai situasi dalam Gambar 3.5-1. Polinomial yang sesuai dengan baris yang mendahului baris nol yang sesuai dengan akar ini. Prosedur pada kasus ini adalah untuk menyusun polinomial bantuan p(A.) dengan menggunakan koefisien baris sebelumnya dan kemudian mengganti baris nol dengan koefisien derivatif p'(A.).Pangkat A.untuk term pertama pada p(A.)adalah pangkat A.yang berkaitan dengan baris yang mendahului baris nol, dan untuk masing-masing term selanjutnya pada p(A.)pangkat A.dikurangi dengan 2. Polinomial p(A.)akan menjadi [p(-A.) = p(A.)]genap atau [p(-A.»)= -p(A.)] ganjil. Akar dari p(A.)= 0 juga akan menjadi akar dari persamaan ciri yang mula-mula, yang sesuai dengan akar yang terletak secara simetris dari persamaan ciri yang mula-mula. Sebagai contoh

menghasilkan array Routh

Respon Bebas 153

r

x

x

x

x

,

x

.

CJ A.=CJ ;11I

x x

x I

Gambar 3.5-1 Kemungl<1hankonfigurasiakar simetrisdi sekirat titik asal untuk baris no) pada array Routh.

3

-4

AS:

1

,\4:

2

-2

0

,\3:

4

-4

o

p(,\) = 4,\3 - 4A

,\2:

0- 12 0- -4

o

p'(,\) = 12,\2- 4

AI:

-I

'\0:

-4.

0

Jadi, ada satu akar pada setengah sisi sebelah kanan positif dari bidang kompleks. Juga, akar dari 0 = p(A.)= 4A.(A.2 -1) adalah akar dari persaman ciri, dan mereka diletakkan secara simetris di sekitar titik pusat (origin)

Siabililas Relalif Pen9geseran Tilik Pusal Pada contoh sebelumnya kita menggunakan prosedur Routh ke suatu sistem yang secara jelas tidak stabil, karena koefisien negatif pada persamaan ciri tersebut. Namun demikian, prosedur Routh dapat digunakan untuk lebih dari sekedar menentukan jumlah akar dengan Re(A.)> o. Ini juga dapat digunakan untuk mencari jumlah akar dengan Re(A.) > a, dengan menentukan s ~A.-a dan memeriksa persamaan ciri yang bergeser P(s)

~ p(s +

a)

= P(A.) = 0 untuk

mencari jumlah akar s dari p(s) = 0 dengan Re(s)> 0, yaitu Re(A.)- a> o.

154


CONTOH 3.5-5

SpaltikasltentangBaglanMyatadarl Eigenvalues

Misalkan kita ingin mengontrol sistem tingkat kedua, y + 25' + 2y = 311+ It. di bawah input perintah konstan r(t) feedback keliru proporsional-plus-integral

==

r, dengan

menggunakan pengatur

(PO (lihat 8ab 6) dari bentuk

Untuk penyederhanaan, misalkan bahwa kita telah memilih a = 5 dan ingin mengetahui bahwa nilai K akan menghasilkan eigenvalues lingkaran tertutup yang semuanya memenuhi Re(A):::;-2. Tentu saja, kita dapat menanyakan pertanyaan yang sarna dengan mempertimbangkan K dan a sebagai parameter, namun contoh-contoh ini akan menggambarkan konsep tersebut. Untuk a = 5 sistem terkontrol mempunyai persamaan ciri o = peA) = A) + (2 + K)A2 + (2 + KK)A+ 15K. Misal S

= A+ 2 (yakni,A= S- 2), kita dapatkan

0= pes) = [.~- 2P + (2 + K)-(.~ 2f-+ (2 + 8K)(s - 2) + 15K ~

= s)

+ (K

-

4)S2

+ (4K + 6).,-+ OK - 4).

Dengan menggunakan prosedur Routh untuk p(s) menghasilkan array sebagai berikut

s3:

I

4K + 6

S2:

K-4

3K - 4

Sl:

4K2 - I3K - 20 K-4

0

Respon Bebas

155

Jika tidak ada perubahan tanda pada kolom satu, muka semua akar memenuhi Re(s):s;0, yaitu, akar dari persamaan ciriyang mula-mulamemenuhi Re(A.):s;-2. Jadi, kita mensyaratkan bahwa K memenuhi semua kondisiberikut ini K 2: 4

dan K 2: 4.3892

atau

K s -1.1392

dan

Oleh karenanya, kita mendapatkan Re(A.):s; -2 untuk semua eigenvalues lingkaran tertutup, asalkan K = 4.3892. Contoh ini juga mengilustrasikan aspek lain dengan menggunakan array Routh untuk menyelidiki efek dari berbagai parameter dalam sistem dinamik. Masing-masing dari empat nilai yang membatasi dari K yang sesuai dengan nol dalam k6lom satu dari array Routh untuk bidang 5 kompleks. Dengan memeriksa array Routh untuk nilai K sedikit di atas dan di bawah nilai kritis ini, kita dapat menentukan sifat akar tersebut yang menyebabkan nol. Misalnya, K = 4.3892 + E, di mana E> 0 kecil. Maka kolom satu tidak berisi perubahan tanda dan 15(s)= 0 tidak mempunyai akar dengan Re(s)> O. Di lain pihak, untuk K = 4.3892 - E, koefisisen 51 pada kolom satu menjadi negatif, dengan menghasilkan dua perubahan tanda dan dengan demikian menghasilkan dua akar

dengan Re(s)> o. Oleh karenanya kita dapat m(:myimpulkanbahwa pada K = 4.3892 sepasang akar konjugasi kompleks menjadi benar-benar imajiner. Demikian pula, untuk K = 4/3 + E, koefisien 52 pada kolom satu adalah negatif, dengan menghasilkan dua perubahan tanda, sedangkan untuk K = 4/3 - E, koefisien i dan S° pada kolom satu adalah negatif, dengan menghasilkan

tiga perubahan tanda. Jadi, pada K = 4/3 kita simpulkanbahwa akar 5 tunggal

156


melewati sumbu imajiner. Akar ini harus sesuai dengan akar nyata yang melewati titik pusat. Kita akan menggunakan teknik analisisparametrik ini lagi pada bab-bab berikutnya.

LAYIHAM3.6 3.6-1

Sistem suspensi magnetik yang dibahas pada Bagian 1.3 merupakan jenis dari sistem yang tidak stabil yang dapat distabilkan dengan menggunakan feedback variabelkeadaan. Persamaan (1.3-10) - (1.311) mempunyai bentuk i

= Ax

+ BII.

(a) Tunjukkan bahwa f31> 0, salah satu dari eigenvalues matriks A adalah positif, yang membuat sistem tersebut tidak stabil. (b) Tunjukkan bahwa ada konstan k1 dan k2 di bawah pengaturan feedback variabel keadaan linear dari bentuk: II

= - Kx.

di mana

sistem terkontrol i

= Ax.

di mana

A=A

-

BK.

Keduanya akan mempunyai eigenvalues negatif dan, sehingga sistem menjadi stabil.

Respon Bebas

157

3.6-2

Tentukan respon output bebas y(t) untuk masing-masingsistem tersebut pada Latihan 2.5-5, tunduk pada kondisi awal y(0) = 1, dengan semua kondisi awal (dimana dapat diaplikasikan)sarna dengan nol.

3.6-3

Suatu sistem ruang keadaan diberikan dengan: XI = X2 X2

=-

a IXI

-

a~2 + u

Y = XI'

(a) Tentukan matriks transisi keadaan untuk sistem ini jika at = 2, a2 = 3, dan u =, O. (b) Tentukan -t(t)untuk bagian (a). 3.6-4

Carilah matriks transisi keadaan (t)untuk kasus berikut ini dan buktikan jawaban anda memenuhi kondisi pada (3.3-17):

(a)A=

[

0

2

-1

-3

(c) A = [-~

]

[

(b)A=

16

-5

52

-16

]

-no

3.6-5

Untuk sistem dalam Latihan 3.6-4, tentukan solusi respon bebas x(t) menjadi x = Ax dengan x(O)= [1 If

3.6-6

Ditentukanx = Ax, dengan A

=

4

[

I

-2

]

l'

X(O) = [~].

carilah x(t) untuk t = O. 3.6-7

Matriks A (1.3-40) dan matriks 8(1.3-41) untuk pesawat terbang tertentu ditentukan dengan

A

=

[ dan

-0.00657

18.01

-32.17

-0.000119 o -0.000025

-0.858 0 -3.314

o o o

158


B

= [0

0 0

- 1]T.

(a) Tunjukkan bahwa eigenvalues matriks A semuanya mempunyai bagian nyata negatif. Eigenvalues dengan periode waktu yang lebih lama berkaitan dengan, apa yang kita sebut dengan pola "phugoid" dan eigenvalues dengan periode waktu yang lebih pendek dihubungkan dengan apa yang diistilahkandengan pola periode pendek. (b) Dapatkan solusi untuk semua variabelkeadaan sebagai fungsidari waktu setelah pesawat tersebut terkena gangguan kondisi awal x(O) = [10, 0, 0, Or Plotkan solusi atas interval waktu 120 detik dan tentukan variabel keadaan yang dihubungkan dengan pola phugoid. 3.6-8

Ilustrasikan sifat dari gerak yang tidak stabil dari Contoh 3. 3-1 dengan membuat plot ruang keadaan dari beberapa solusi dimulai di sekitar titik asal (origin).

3.6-9

Untuk sistem yang ditentukan dengan (3.4-2) - (3.4-3), dengan l; = ° dan ron > 0, buktikan bahwa lintasan yang dihasilkan adalah lintasan elips yang dipusatkan pada tempat asalnya. (Petunjuk: Integrasikan dX2/dxd

3.6-10

Untuk sistem pada Latihan 3.6-1, gunakan prosedur Routh untuk menentukan rentang nilai (kemungkinan negatif) dari parameter 131,132, k1, k2 di mana sistem pengaturan feedback akan stabil.

3.6-11

Suatu sistem mempunyai persamaan ciri o = P(A) = A3+ (2 + K)A2+ (2 + 8K)A + 15K. Dengan menggunakan prosedur Routh, tentukan rentang nilai untuk K sehingga sistem tersebut stabil.

3.6-12

Suatu sistem mempunyai persamaan ciri o = P(A) = A3 + aA2 + bA + c.

Respon Bebas

159

Gunakan prosedur Routh untuk mendiskusikanrentang nilai parameter di mana sistem tersebut akan stabil. Selain itu, diskusikan kasuskasus tertentu di mana satu atau lebih parameter (a, b, c) adalah nol.

Respon Bebas 3.1 KESEIMBAMGAMDAMSTABILITAS

Recommend Documents