Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
BAB I GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK PADA MEDIUM UDARA/RUANG BEBAS
A. Terjadinya Gelombang Elektromagnetik Gelombang elektromagnetik adalah gelombang yang terjadi akibat perubahan medan magnet dan perubahan medan listrik terhadap waktu yang menjalar kesegala arah. Hal ini terjadi akibat adanya perubahan suatu medan baik listrik maupun magnet terhadap waktu. Untuk menjelaskan proses terjadinya kita amati hukukm-hukum Maxwel untuk E dan H. misalnya pada medium hampa/vakum sebagai berikut : Bentuk point
1.
E
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......( 1 . 1)
2.
H
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......( 1 . 2 )
3.
E
4.
H 0
H
E 0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....( 1 . 3 )
t
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 1 . 4 )
t
Sekarang Marilah kita periksa apakah gerak gelombang dapat kita peroleh dari keempat persmaan tersebut. Makna fisis dari persamaan tersebut dari persamaan menyatakan bahwa jika E (medan listrik) berubah terhadap waktu pada suatu titik maka H (medan magnet) mempunyai curl pada titik tersebut dan karenanya dapat dianggap membentuk sosok kecil yang tertutup yang bertautan pada perubahan medan E. Demikian pula jika E berubah terhadap waktu maka H juga terhadap waktu walaupun cara berubahnya belum tentu sama. Hal yang sama terjadi pada persamaan (1.3) jika H berubah terhadap waktu, E juga berubah terhadap waktu. 1
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Kedua persamaan (1.3) dan (1.4) mempunyai konsekuensi jika salah satu peubahan medan terhadap waktu baik E maupun H maka akan terjadi perambatan gelombang EM. Secara sistematis : Gunakan identitas vektor
A
2
A
A .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... (1 . 5 )
Terapkan (1.5) pada persamaan Maxwell H
E
0
2
H
t H
H
0
2 2
0
H
0 2
2
H
0
0
0
t
t
t
H 2
t
H
0
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 1 . 6 )
2
Demikianjuga: H
H .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........( 1 . 7 )
0
t
Jika kita bandingkan perbandingan gelombang secara umum : 2
F
1
2
F
2
t
2
v
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .(1 . 8 )
menyatakan bahwa gelombang F menjalar dengan kecepatan V kesegala arah, dengan d2 adalah operator Laplacian.
2
2
2
2
x 2
y
z
r
r
2
r
1 r
2
2
1 r
2
2
2
r
2
r
Kartesian
2
1
2
2
2
r
2
1
2
r
2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 1 . 9
r sin
z
Silinder
2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 10
2
sin
2
1 2
r sin
2
2
Bola .......... .......... .......... ... 1 . 11
2
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Untuk kasus khusus misalnya gelombang menjalar kesatu arah misalnya pada sumbu z, maka persamaan (1.7) menjadi :
2
z
2
E
0
0
2
E
t
2
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 1 . 12
yang analog dengan persamaan (1.8) yang menjalar kearah sumbu z, yaitu :
2
z
2
E
1
2
E
2
t
2
v
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 1 . 13
Dengan v adalah kecepatan menjalar gelombang. Jika gelombang merambat dalam vakum, dengan membandingkan persamaan (1.12) dengan (1.13) diperoleh :
1 v v
2
0
0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 1 . 14
1 0
8 3 10 m
s
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... 1 . 15
0
Nampak bahwa gelombang EM divakum mempunyai kecepatan v = 3 x 10 8 ms-1. yang mana sama dengan kecepatan cahaya. Kita tahu cahaya adalah salah satu contoh gelombang.
3
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
B. Solousi Persamaan Gelombang Datar Serba Pada Medium Udara Tinjau kembali persamaan (1.12) yaitu gelombang EM yang menjalar pada arah sumbu-z.
2
z
2
E
1
2
E
2
t
2
v
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 1 . 16
Medan E harganya berubah terhadap posisi (dalam hal ini z) dan terhadap waktu t. Atau dikatakan bahwa E adalah fungsi 2 (dua) variabel : E (z,t). Dengan menggunakan pemisahan variabel, maka dapat dituliskan : E z, t
Z z T t .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 17
Artinya E merupakan perkalian antara 2 (dua) fungsi yaitu fungsi posisi dan fungsi waktu. Dengan demikian persamaan (1.16) dapat dituliskan sebagai berikut :
2
z
2
E z,t
2
2
E
2
t
2
v
2
z
1
Z z T t
z,t 2
1 v
2
t
2
T t z
2
Z z
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . 1 . 18
2
Z z T t 2
1
Z z
v
2
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 1 . 19
t
2
T t
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . 1 . 20
Kalikan persamaan (1.20) dengan
1
, sehingga :
Z z T t 1
2
Z z
Z z z
2
1
1
T t v
2
2
T t t
2
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1 . 21
Persamaan (1.21) Mengandung 2 (dua) suku yang masing-masing mengandung satu variabel misalnya suku pertama adalah : 1 Z z
2
Z z z
2
2
k .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 1 . 22
4
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
dan suku keduanya adalah :
1
2
1
T t v
T t
2
t
2
k .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 23
2
Dari persamaan (1.22) dapat dituliskan sebagai : Z z z
2
k Z z .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 24
2
Salah satu solusi persamaan diferensial orde-2 pada (1.24) adalah :
Z z
jkz
Ae
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .... 1 . 25
Dan dengan memisalkan kv
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1 . 26
Maka persamaan (1.23) dapat ditulis sebagai : 2
T t t
2
2
T t t
2
k v T t
2
2
2
T t .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 1 . 27
Salah satu solusi persamaan differensial orde-2 pada (1.27) adalah : T t
Be
jwt
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 28
Dengan memasukkan persamaan (1.25) dan (1.28) kepersamaan (1.17) maka : E zt
j
ABe
t
kz
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...(1 . 29 )
Karena A dan B adalah suatu konstanta, maka persamaan (1.29) dapat ditulis sbb : E zt
E 0e
j
t
kz
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 130
Dimana : E0 = Amplitudo gelombang datar pada t = 0 dan z = 0 k = Bilangan gelombang k
2
,
panjang gelombang (m)
= frekuensi sudut anguler ( rad/s) =2 f 5
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Persamaan (1.30) adalah solusi untuk gelombang EM datar serba sama (monokromatik) yang menjalar pada salah satu arah (dalam hal ini arah sumbu-z) dalam medium udara atau vakum. Persamaan (1.30) memiliki 2 (dua) kemungkinan, yaitu : E z,t
E0e
j
t
kz
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 1 . 31
Artinya gelombang monkromatik merambat kearah sumbu –z negatif. E z,t
E0e
j
t
kz
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 1 . 32
Artinya gelombang monokromatik merambat kearah sumbu-z positif. Ciri-ciri gelombang datar monokromatik : 1. Muka gelombang berupa bidang datar. 2. Tranveralitas : E
H
k
3. E dan H sefasa. Persamaan (1.30) dapat diuraikan menjadi : E z,t
E 0 cos
t
kz
j sin
t
kz .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 33
bentuk lain dari pers. (1.30) adalah : E z,t
E 0 cos
t
kz .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 34
E 0 sin
t
kz .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 35
Dan E z,t
Arah getar dari medan magnet untuk gelombang yang menjalar pada sumbu z kita plih misalnya kearah sumbu x. Maka penulisan solusi gelombang (1.30) menjadi E z,t
ABe
j
t
kz
a .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 36
Sedang persamaan (1.34) menjadi : E z,t
E 0 cos
t
kz a .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 37
Contoh 1. Intensitas medan listrik suatu gelombang datar serba sama (monokromatik) diudara adalah 200 V/m dalam arah a y . Gelombang tersebut merambat dalam arah a z dengan frekuensi anguler 2x109 rad/s a. Tuliskan bentuk persamaan gelombang dalam bentuk sinus b. Tentukan panjang gelombang c. Tentukan frekuensi f d. Tentukan periode T 6
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Penyelesaian : a ..
E 0 sin
kz a y V
t
200 V
dim ana E 0 dan k v
2 3 ,14
k
m
6 , 67 z a y V
m
0 ,914 m
f
9
2 3 ,14
f
9
2 10
f
6 , 67 rad
6 , 67
2 2 10
3 x10
8
m
200 sin 2 x10 t
2
c.
2 x10
9
9
E z, t b.
m
318 , 47 MHz
6 , 28 d.
1
T
1
f T
318 , 47 10
3 ,14 10
9
6
s
Impedansi Instrinsic Dalam Udara / Vakum Impedensi instrinsic gelombang EM didefinisikan sebagai perbandingan antara intensitas medan listrik E terhadap intensitas medan magnet H. Impedensi intrinsic untuk medium udara ditulis sebagai : E 0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 1 . 38
H
Misal gelombang medan listrik yang merambat dalam arah z dengan arah getar a y E z,t
E0
t
kz a y .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 1 . 39
Sedang H(z,t) diperoleh melalui persamaan Maxwell (1.3) yaitu : E
H 0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ 140
t
7
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Atau dalam bentuk matrik : a
ay
az
y
z
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 1 . 41 0
E 0 sin
t
kz
0
sehingga : a
E 0 sin
z a
k E 0 cos
z a
t
k E 0 cos H
a
t H z,t
t
t
0
t H
kz
0
t
H
kz
0
k E 0 cos a
t
t
kz
k E 0 cos
k E 0 sin
H z,t
H
kz
t
kz
0
t
kz dt a .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... 1 . 42
0
Dengan demikian : 0
E
E 0 sin
t
kz
0
H
k sin
t
kz
k
0
1
v
0
Jika
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1 . 44
0 0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1 . 43
0
0
= 4 x10-7
0
= (1/36 )x10-9 (MKS)
(MKS)
maka, 4
0 0
10
1
0
10
7
9
36 144 120 377
2
10
2
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .. 145 ( untuk udara / vakum )
8
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
IKTHISAR Gelombang EM datar monokromatis satu dimensi di dalam mediuam udara/vakum. 1. Persamaan gelombang Elektro Magnetik datar monokromatik yang menjalar sepanjang arah-z didalam medium udara/vakum : 2
E
z
0
2
2
E
t
2
2
H
0
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 1 . 46
atau 2
H
z
0
2
0
t
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . 1 . 47
2
analog dengan 2
F
1
2
F
2
2
t
2
z
v
0 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... 1 . 48
solusi persamaan E z,t
E 0 sin
t
kz .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... 1 . 49
dimana : E0 = amplitudo gelombang datar pada t = 0 dan z = 0 k =
2
= bilangan gelombang
= panjang gelombang (m) = 2 f = frekuensi sudut anguler (rad/s) = kv 2
v
f
f .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 1 . 50
2
k E 0
H
H z,t
E 0 sin
t
kz
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ...... 1 . 51
0
9
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Contoh : 1. Dalam ruang bebas E(z,t) = 103 sin( t-kz) a y V/m, tentukan H(z,t) d5an E(z,t) ? Jawab : 3
H z,t
10 sin
E z,t
t
kz
ay
0
Untuk gelombang EM yang menjalar pada satu dimensi dari Hukum Maxwell, diperoleh bahwa : E(z,t)
H(z,t)
Maka : 3
H z,t
10 sin
E z,t
t
kz
ay V
377
m
2. Tunjukan bagi gelombang datar (faktor waktunya dihilangkan) H
z
H 0e
aH
Dimana aH adalah vektor satuan yang tetap, aH . aH = 0 Dalam vektor-vektor satuan kartesian : aH
aH a
a
aH a y a y
aH az az
Sehingga : H
z
H 0e
aH a a
H 0e
Persamaan Maxwell z
z
H 0e
z
aH a y a y
H 0e
H 0 aH a
0
z
aH az az
.H=0
aH a
0 atau
yang benar jika a H a z
0
3. Dalam ruangan bebeas,E(z,t) = 103 sin ( t-kz)aY (V/m). Carilah H (z,t) ? Pemeriksaan fasanya, t – kz, menunjukan arah perambatan adalah +z, karena E x H juga harus dalam arah +z, H mesti dalam arah –ax. Maka : Ey H
120
0
3
H z,t
10 sin 120
t
kz
a
A m
Pada gambar a dan b intensitas medan listrik dapat diperlihatkan untuk T = 0, dan harga medan sesaatnya digambarkan pada tiga garis yaitu sumbu z, dan sembarang garis yang sejajar sumbu z pada x = 0 dan y = 0. 10
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Secara fisis, gelombang serba sama tidak terdapat, karena gelombang ini meluas ke tak terhingga sekurang-kurangnya dalam dua dimensi dan menyatakan energinya tak berhingga. Namun demikian, medan yang jauh dari suatu negara untuk pemancar pada pokok merupakan gelombang datar jika ditinjau untuk suatu daerah terbatas. Gelombang yang sampai ke antena penerima di Clevand dari Chicago dapat dianalisis sebagai gelombang datar serba sama dalam daerah dekat antena. Walaupun yang telah kita tinjau ialah gelombang yang berubah terhadap ruang dan waktu secara sinusoida, suatu kombinasi yang cocok dari pemecahan persamaan gelombang dapat kita bentuk untuk menyatakan bentuk gelombang yang dikehendaki. Penjumlahan harmonik yang banyak dan tak tetrhingga melalui deret fourier dapat menyatakan gelombang periodik berbentuk persegi atau segi tiga terhadap ruang dan waktu.
11
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
BAB II
12
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
GELOMBANG ELEKTRO MAGNETIK PADA MEDIUM UMUM
Yang dimaksud dengan medium adalah dielektrik sempurna, bukan konduktor , bukan pula/vakum merupakan dielektrik sebagian (masih mengandung sifat kondukor) ataupun konduktor yang masih memiliki sifat dielektri Secara umum keempat persamaan maxwell dapat dituliskan sebagai :
. E = 0 .............................................................................................(2.1) . H = 0 ..............................................................................................(2.2) E
xE=
T
...................................................................................(2.3) E
XH=J+
...............................................................................(2.4)
t
Dan dari Hukum Ohm : J=
E ..............................................................................................(2.5)
Dimana = konduktivitas E = intensitas medan listrik
Dengan demikian persamaan (2.4) dapat ditulis kembali sebagai :
xH
E
E+
..............................................................................(2.6)
t
Dengan menerapkan formula vektor (1.5) pada (2.6) persamaan diatas diperoleh : x
. H) =
( . H) -
0-
2
H=
x( E+ 2
H=
t
( xE)
( x E) +
H t
( t
( x E)
t
H
)
t
13
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik 2
-
2
H
H=
t 2
t 2
E
H
H
t
H
t
2
.......................................................................(2.7)
2
Jika diterapkan idenditas vektor (1.5) pada (2.6) maka diperoleh : x
2
( .E) 2
02
E
x E) = E=
E=
E
( x H)
t (
E
E
)
t
E
2
E
t
t
2
E
2
E
t
t
2
0 ....................................................................(2.8)
untuk gelombang yang menjalar pada satu dimensi, misalnya sumbu-z, maka persamaan diats menjadi : 2
E
t
t
E
2
E
t
t
2
0 .................................................................(2.9)
dan solusi persamaan (2.9) adalah : E(z,t) = E0e Dimana :
yz jw1
e
=
……………………………………………………...(2.10)
+j
= bilangan kompleks sebagai kontanta propagasi untuk memperoleh harga , subtitusikan pers (2.10) ke (2.9) yaitu : 2
( z
2
2
t
2
2
t
2
)E0e e
(j )
(j )
2
(j )
(j )
2
j
(
j
)
2
1 2
hasil dari pemecahan
jwi
E0e e
0 j i
0
0
..........................................................................(2.11) akan mengahasilkan bilangan kompleks (
+ j ),
adalah
bilangan real dan j adalah imajiner
Impedansi Intrinsik E(z
t)
H (z
t)
......................................................................................(2.12) 14
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
dan dari pers (2.3) diperoleh H : 1
H
xE dt ................................................................................(2.13) aˆ x
aˆ x
aˆ x
x
y
z
xE=
..................................................................(2.14) y
0
jwt
E0 e e
x E = aˆ x E 0 e
z
e
j t
....................................................................(2.15)
maka : 1
H ( z, t)
E0e
z
E0e
z
H ( z, t) j
e
e
j t
dt aˆ x
j t
aˆ x ............................................................(2.16)
masukan ke (2.12) : z
E0e j
j t
e
z
tE 0 e
e
j j t
..............................................................(2.16)
masukan ke (2.12) : z
E0e
j
e
j t
z
tE 0 e
e
j
j t j
(
............................................................(2.17)
j t
j j
)
.................................................(2.18) j
dengan : = frekuensi angu;er (rad/s) =
r
0
= permeabilitas medium
= konduktor medium dengan demikian jika diketahui E(z,t) + E0e-y
t
Kita dapat menentukan H (z,t) dengan : H ( z, t)
E ( z ,1)
15
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
H ( z, t)
z
E0e
e
j t
j j
H z, t
j j
E0e
t
……………………………………………(2.19)
terlihat dari hubungan E dan H memungkinkan terjadi fasa.
BAB III GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK DALAM DIELEKTRIK SEMPURNA
16
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Dalam dielektrik sempurna, konduktifitasnya sangatlah kecil sehingga dapat dianggap nol ( = 0). Dengan demikian untuk menentukan impedansi intrinsik propagansi gelombang
dan konstanta
sama dengan untuk medium, hanya bedanya
= 0. maka persamaan (2.11) menjadi : j
(
2
) ......................................................................... ..(3.1)
j
1
j
(
j
)
kita tahu dari : 1
v
+
2
2
2
............................................................................(3.2)
+j
maka diperoleh
= dan
..............................................................................................(3.4) dengan
demikian v
f.
2
...................................................................................(3.5)
f
.................................................................................................(3.6) 2
atau :
.................................................................................(3.7)
dengan demikian medium dielektrik sempurna dari pers (2.10) yaiyu : z j t
E(z.t) = E0e
e
Dimana :
j j z
E(z,t) = E0 e Maka : E(z,t) = E0 e j( Dengan :
=
t
ej t ………………………………………(3.8) z)
(
r
.
0
)(
r
. ) ……………………….(3.9)
Sedang impedansi intrinsik, dari persamaan (2.10) tapi untuk harga j
+ 0 maka :
= ............................................................................(3.10)
j ( (
120
r
.
0)
r
.
0
r
.................................................................................(3.11)
r
17
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
dengan demikian H (z,t) =
karena
=
0
0
1
E0 e j(
)
…………………………(3.12)
maka antara E dan H tidak terdapat benda fasa
Nampak dari solusi (3.8) dan solusi (3.12) E dan H mempunyai amplitudo yang tetap, tidak dipengaruhi oleh médium (tidak ada pelemahan amplitudo gelombang) atau dengan kaya lain tidak terdapat attenuasi.
BAB IV GELOMBANG ELEKTRO MAGNETIK PADA PENGAHANTAR SEMPURNA
Pengahantar sempurna : digunakan, misalnya tembag 0=
> >
pada jangkauan frekuensi yang bisa
= 5,8 x 10 s m
8,854 x 10-12 ( F m pada frekuensi 1010 s m 18
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
= (1010) . (8,854 x 10-2 bandingan dengan harga , sehingga harga Harga dari parameter , mengabaikan garga
dapat diabaikan.
untuk medium penghantar sempurna akan didekati dengan
dari kondisi medium umum 1
Pada medium umum :
j
(
j
)
2
Sedangkan pada pengantar sempurna
j Dimana
=
Sehingga :
450 ..................................................................(4.1)
= +j =
=
atau 2
2
2
. ......................................(4.2)
Impendansi Listrik j
Kita pada medium umum
, maka untuk panghantar sempurna j
j
j
450.................................................................................................(4.3)
Attentuasi Gelombang Persamaan 3 medan di medium pengahantar sempurna, misal gelombang E dengan Persamaan getra pada sumbu-x adalah : E ( z .t )
E0e e
E ( z .t )
E0e
(
E ( z .t )
E 0e
az
E ( z .t )
1
E0
j t
aˆ x ....................................................................(4.4)
j )z
e z
e
j( t
e
j( t
j
aˆ x ............................................................(4.5)
z)
aˆ x
............................................................(4.6)
z
/4)z
cepat rambat gelombang. v faktor e
z
e
j
aˆ yx
.............................................(4.8) 2
.......................................(4.8)
pada persamaan gelombang di atas menunjukan adanya pelemahan
amplitudo gelombang yang disebut attenuasi (pelemahan) sedang faktor 1
disebit skin depth (kedalaman kulit). 19
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
e-
E0
z
-E0
1
1
1
.........................................................(4.10)
f 2
Contoh Perpindahan Gelombang Dalam Dielektrik Semuprna 1. Pada bidang yang sama sebuah gelombang merambat dengan frekuensi 9375 MHz di dalam polystyrene (
R
= 2,56 ;
0 , 00005 ) ,
jika amplitude dari intensitas
medan listrik 20 V / m dan intensitas bahan diabaikan, tentukan: a. Konstanta phasa ( ) b. Panjang Gelombang ( ) c. Kecepatan Perambatan (v) d. Impedansi Intrinsik ( ) e. Konstanta Perambatan ( ) f. Amplituda intensitas medan magnet (Hy) Pembahasan : Dik : f
= 9375 Mhz R
= 2,56 = 5 X 10-5
Dit :
0
= 4 X 10-7
0
= 8,85 X 10-12
a)
=?
b)
=?
c) v
=?
20
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
d)
=?
e)
=?
f) Hy = ?
Jawab : a)
=
2
f
(
2 3,14 9375 x 10
2
b)
2
r
6
0
)(
4 x10
r
7
0
)
1 2 ,56 8 ,85 x 10
12
314 (
rad
/ sec )
0,2 m
314 2
c) v
f
2 . 9475 x 10
314 R
d)
0
1,87 x 10
8
m
314
1
377
2 ,56
2 ,56
377
R
e)
6
= α j , karena
s
236
= maka = j = j 214 m-1
f) hy = Ex Ex= Hy
z) = 20 cos (5,9 x 1010 t- 314z)
20 cos ( t -
20
cos( 5 , 9 x 10
10
t
236
314 z )
maka = 0,084 cos(5,9 x 1010 t- 314z)
Perpindahan Gelombang Dalam Médium Udara 2.
Intensitas medan magnet pada bidang yang sama di udara adalah 20 A/m dalam arah aˆ y Gelombang merambat dalam arah aˆ y pada frekuensi angguler 2 x 109
rad/d. Cari ; a) Frekuensi :(f) b) Panjang Gelombang ( ) c) Periode (T) d) Amplitudo E
Pembahasan Dik
: Hy = 20 20 A/m 21
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
= 2 x 109 rad/s Dit
: a) f = ? b)
=?
c) T = ? d) AE = ? Jawab : a)
=2 f 2 x10
f = 2 b)
c)
d)
T
9 6
318 x10 ( Hz )
6 , 28 8
c
3 x10
f
328 x10
1
1
f
318 x10
Ex
0
Hy
0
0 ,943 ( m )
6
3 ,14 ( ns )
6
, dim ana
0
377
( vakum / udara )
0
Ex = 20 . 377 = 7540 (V/m) (William H. Hayt, JR. Engineering Electromagnetic, halaman 344, Mc. Graw Hill).
BAB V DAYA DAN VEKTOR POYNTING
Gerak gelombang merupakan proses perambatan gangguan tertentu, setiap gangguan memerlukan gangguan energi (momentum). Oleh karena itu gerak gelombang merupakan proses perambatan energi. Ini berlaku juga untuk gelombang elektromagnetik. Untuk menjelaskannya, kita mulai dengan persamaan Maxwell berikut ini: xH
E
E
t
…………………………………………………………….(5.1)
ambil product skalarnya dengan E, maka diperoleh : E ( xH )
E
2
E.
E t
………………………………………………………(5.2)
22
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
E ( xH )
E
2
E
2
……………………………………………………….(5.3)
t
dari identitas vector atau A(
2
xA) –
xB)=B(
xA) – A(
(AxB) = B (
maka E ( xH) = H (
xB)………………………...(5.4)
(AxB)……………………………………………(5.5) (ExH)………………………………………...(5.6)
xE) -
dari pers (5.3) dan pers (5.6) diperoleh : E(
xE) –
xH) = H(
E
xH) = E 2
(ExH) = E(
2
Dari pers.Maxwell :
xE=–
H
( ExH )
E
H
H
2
2
E
2
(E x H )
E
E 2
(E x H )
E
2
2
H t
2
………………………………..(5.10)
t 2
E
t
2 2
………………………………..(5.11)
t E
2
………………………………(5.9)
t
E
2
t 2
2
E
2
2
(E x H )
………………….(5.7)
t
…………………………………………(5.8)
t
t
H
2
2
2
……………………………….(5.12)
kemudian pers. (5.12) kita integrasikan ke seluruh volume, sehingga: 2
( X x H ) dv v
E dv
H t
v
v
2
2
E
2
dv
2
………………………..(5.13)
dengan menggunakan teorema integral divergensi, kita peroleh: 2
( X x H ) dv S
E dv V
H t
V
2
2
E
2
dv
2
………………………..(5.14)
per (5.14) mempunyai makna fisis sebagai berikut: Jika dalam volume tersebut tidak terdapat sumber, maka
2
E dv
= daya Ohmik yang
V
didesipasikan dalam volume tersebut atau energi yang berubah menjadi panas per satuan waktu pada volume tersebut. Jika dalam volume tersebut terdapat sumber, maka integrasi ke seluruh volume sumber akan berharga positif jika diberikan ke sumber, dan berharga negative jika daya dikeluarkan oleh sumber tersebut.
23
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
H t
V
2
E
2
2
dv
2
adalah laju pertambahan energi yang tersimpan dalam bentuk
medan listrik dan medan magnet dalam volume ini. Jadi daya total yang mengalir keluar dari volume tersebut merupakan penjumlahan 2
kedua suku
E dv
dan
H t
V
V
2
2
E
2
dv ,
2
yang sama dengan
( E x H ) dS S
yang menyatakan integral yang mencakup seluruh permukaan tertutup yang melingkupi volume tersebut. Sedangkan E x H dikenal sebagai vector poyting P atau P = E x H …………(5.15) Yang dinyatakan sebagai kerapatan daya sesaat dalam satuan
watt
/m2, arah vector
pointing merupakan arah aliran daya sesaat pada titik tersebut.. Misalkan gelombang elektromagnetik mengalir pada suatu dimensi di dalam medium dielektik sempurna E(z,t) = E0 cos ( t – z) aˆ x ……………………(5.16) Dan E(z,t) = E0 cos ( t – z) aˆ x ……………………………………………..(5.17) Maka P = E(z,t) x H(z,t) ……………………………………………………..(5.18) 2
P
E0
Pz
cos
2
z ) aˆ x ………………………………………..(5.19)
( t
Nampak jika arah getar medan listrik kearah x dan medan magnet kearah y, maka menghasilkan penjalaran gelombang kearah sumbu z (notasi P z untuk menandakan arah vector P). Kerapatan Daya Rata-rata Kerapatan daya rata-rata dinyatakan dengan Pz,av =
1 T
T
P ( t ) dt ……………..(5.20) 0
Untuk contoh di atas T = 2 , sehingga : Pz , av
2
1 2
2
E0
cos ( t
2
z )d ( t )
2
z )d ( t )
0 2 2
Pz , av
1 E0 2
0 2
Pz , av
E0 2
cos ( t
2
0
1
1
2
2
sin 2 ( t
z) d ( t)
24
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik 2
1
karena
2
sin 2 ( t
z )d ( t )
2
0
E0
0 maka Pz , av
2
2
( )
E0 2
2
1 E0
sehingga : Pz,av =
S(
watt
2
/ m 2 ) …………………………………………...(5.21)
Jadi, daya rata-rata yang mengalir melalui setiap permukaan seluas S yang normal 2
1 E0
terhadap sumbu z adalah Pz,av =
S(
watt
2
/ m 2 ) ……………………………(5.22)
Untuk gelombang elektromagnetik yang menjalar dalam medium umum, kita tahu antara E dan H terdapat beda fase, yang diakibatkan oleh impedansi intrinsiknya yang mempunyai sudut. 0
m
E ( z, t)
0
E0a
E0
H ( z, t)
az
a
z ) aˆ x
cos ( t az
cos(
……………………………………..(5.23)
z
0 ) aˆ y
z ) cos(
t
t
…………………………………(5.24)
m 2
maka : Pz
E0
t
2 az
[cos(
t
z
0 )] …………………………(5.25)
cos ( A
B ) ………………………….(5.26)
m
dengan menggunakan identitas : 1
cos A . cos B
cos ( A
B)
2
1 2
pers. (5.25) menjadi : 2
Pz
E0
t
1
2 az
[cos( 2 t
2 z
2
m
0)
cos]
…………………………...(5.27)
2
karena : [cos( 2 t
2 z
0)
cos 0 ]
0 …………………………………..(5.28)
0 2
Pz , av
1 E0 2
e
2 az
1 2
m
2
cos 0 dt
0 …………………………................(5.29)
0
maka : 2
P z , av
1 E0 2
e
2 az
cos 0
…………………………..................................(5.30)
m
Contoh:
25
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
1. Jika diketahui medan listrik E (z,t) = 100eaz cos(600 x 106t – z) aˆ x (V/m) dalam = 20 (S/m), r = 50,
medium yang memiliki
=1. Jika z = 1 mm, hitunglah :
(a) , , , z (b) E(z,t) untuk z = 1 mm dan H (z,t) untuk z = 1 mm (c) Pz (d) Pz,av
Penyelesaian : a) Harga-harga di atas menunjukkan gelombang menjalar dalam medium umum (dielektrik merugi), sehingga : =
j
(j
=
j ( 600
=
240
) 6
10 )( 4
10
8
1
50
10
9
20 )
36 2
j
5
20
6
=
2
200
=
200
=
4804 ,16
j 4800
2
j 4800 87 , 6
– 43,80
= 69,3
Jadi = 217,6
–43,80 atau
= 217,6 cos (-13,8) + j sin (43,8) = 157 – j150,6 Maka
= 157 (rad/m) dan
j 600
j
=
= 150,6 (rad/m), sedangkan
j
20
10
j 600
6
10
x4 6
10
7
1
x 50
10
9
36
=
2
j 240 20
j
5
240 20 , 017
2
90
0
2 , 38
0
11 ,99
2
87 , 62
0
3 , 46
43 ,81
0
6
Jadi
= 10,86
43,810
b) E(z,t) = 100e- z cos (600 . 106 t –
z) aˆ x 26
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
= 100e- z cos (6 . 108 t – 150,6z) aˆ x z = 157 . 10-3 = 0,157 rad z = 150,6 . 10-3 = 0,150 rad = 0,150 . 57,30 = 8,590 E(z,t) = 100e-0,57 cos (6 . 108 t – 8,590) aˆ x (V/m) 100
H(z,t) =
0 ,157
e
cos (6
10 ,86
V 8 0 . 10 t - 52,4 ) aˆ y ( /m)
c) Pz = E(z,t) x H (z,t) = 100e-0,157 cos (6 . 108 t – 8,590) aˆ x x
100
e
0 ,159
8
cos( 6 .10 t
0 52 , 4 ) aˆ x
10 ,86
=
1
100
0 ,157
e
6
[cos( 4 10 t
60 ,99
cos 43 ,81 )]
2 10 ,86
d) Pz,
v
=
1
100
e
0 ,157
cos 43 ,81
2 10 ,86
BAB VII GELOMBANG TEGAK
Jika gelombang yang sedang berjalan dalam dielektrik sempurna jatuh secara normal pada perbatasannya dengan konduktor yang baik, maka akan terjadi paduan gelombang datang dan pantul yang membentuk gelombang tegak (standing wave).
Medium dielektrik
Konduktor ( besar )
r
1
45
2
0
0
secara matematis : E ( z, t)
i ej ( t
E0 e
j t
z)
E i0 e
r
E 0 ej j z
( t
z)
aˆ x ....................................................................(7.1)
r
j z
aˆ x ....................................................................(7.2)
E0 e
r
Sedangkan :
r E
E0 E
i 0
2 2
1
dan karena
2
45
0
0 , maka
1
27
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik r
r E
1
1
karena
E0
r E
E
2
i 0
1
r
E0
i
E0
maka pers. (7.2) menjadi: E (z, t)
j t i j z i j z e E0e E0e aˆ x j t i i i e E 0 cos z jE 0 sin z jE 0 sin z aˆ x j t i e 2 jE 0 sin z aˆ x i j t 2 jE 0 ze sin z aˆ x i i 2 j ( E 0 cos t jE 0 sin t ) sin z aˆ x i i 2 jE 0 cos t sin z aˆ x 2 E 0 sin t sin z aˆ x .......... .......... .......... ..( 7 . 3 )
dengan mengambil bagian realnya dapat dipeorleh: Re E ( z , t )
i
2 E 0 sin
t sin
z aˆ x ……………………………………………..(7.4)
28
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
2| E 0i sin
t sin
z|
Dielektri Konduktor sempurna
2
Karena Pada z =
diperoleh : E
4
Pada z =
4
diperoleh : E
2
Pada z = 3
bilangan gelombang, maka:
4
2
i
,t
2 E 0 sin
i
,t
diperoleh : E 3
2 E 0 sin
E 3
4
2
2 E 0 sin
sin
t
0
sin
t
2 E 0 sin 2
3 4
i
,t
t
t
2
2 E 0 sin
diperoleh : E ( ,t) = 2 E 0i sin
Pada z =
2
i
sin 4
i
,t
4
2
i
2 E 0 sin
t
t
( ) sin
t
0
r
' E
Dari
E0
2
1
i 0
1
n2
E
,
jika
dan
1
2
adalah sembarang medium (real atau
kompleks). Jika
1
e
j
adalah bilangan real positif dan
2
adalah bilangan kompleks, maka
…………………………………………………………………….…(7.5)
dimana
adalah sudut phase yang dapat dihitung dengan cara phasor.
Gelombang total di daerah (1) (dengan menghilangkan factor waktu) adalah: E ( z, t)
i
E0e
j
iz
aˆ x ………………………………………………………..…(7.6) r
kemudian karena :
dan E(z,t)
= E 0i e
e
E0
j
E
j
IZ
e
j
,
i 0
i
E0e
maka E 0r = E 0i
j
IZ
e
j
……………………..(7.7)
aˆ x
29
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik j
atau : E(z,t) = E 0i e
e
IZ
j
j
i
E0e
aˆ x …………………………………..(7.8)
IZ
(1) E (z,t) akan maksimum jika phase kedua suku yang berada dalam kurung sama E 0 ……………………………………….(7.9) i
besar, yaitu : (E(z,t)max = 1 diperoleh pada saat - 1z =
1z
+ 2 n ………………………………(7.10)
+
dimana : n = 0, 1, 2, …..dst. pers (7.10) dapat juga ditulis sebagai : Jika
0, E ( z , t )
=
2
n ………………….(7.11)
terletak pada z = 0 atau daerah perbatasan
max
= 0 ini terjadi jika E (z,t)
1z
real positif, di mana
1dan
2
real, serta
1
<
2
artinya
terjadi di perbatasan ika impedansi intrinsic daerah (2) lebih besar
max
dari impedansi intrinsic daerah (1).
=
terjadi jika daerah (2) adalah konduktor sempurna, dapat dilihat dari: 2
1
1
2
1
= 1ej = 1 cos 1
dan
2
+ j sin
real, serta
1
= -1
>
2
= 1e j = C (cos +jsin ) = - C sebagai konsekuensinya jika
=
, dengan menggunakan pers. (7.10),
E(z,t)max akan terjadi pada saat : - 1z =
1z
+
atau - 1z =
+2 n
, 2
3
-
.... dst
2
1z
= (2n+1)
atau - 1z = n
1 2
…………………………………………….(7.11)
(2) Sedangkan E(z,t)min terjadi jika phase kedua suku yang berada dalam kurung berbeda sebesar 1800 ( rad), yaitu : E(z,t)min
=
1
diperoleh pada saat -
dimana : n = 0, 1,
E 0 ……………………………………………………..(7.12) i
1z
=
1z
+
+
+ 2 n…………………………..(7.13)
2, …..dst
pers. (7.13) dapat juga ditulis sebagai : 30
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
1
- 1z = n
..………………………………………………………..(7.14)
2
Standing Wave Ratio Adalah perbandingan antara amplitude maksimum terhadap amplitude minimum, atau dituliskan sebagai: S
E ( z , t ) max
1
E ( z , t ) min
1
karena Jika Jika
…………………………………………………………(7.15)
1 maka S selalu positif dan S
1.
= 1, (semua gelombang yang dating dipantulkan) maka S = = 0, yaitu jika
1
2
1
1 0
.
, maka S =1 artinya harga amplitude maksimum dan
minimum adalah sama.
Impedensi Input
in
Pada z = -1 dengan menyimpan fungsi waktunya E ( z, t)
e
j
it
E 0 ……………………………………………………………..(7.16 i
i
sedangkan
E0
untuk
i
E0
maka H(z,t) =
1
E ( z, t) in
in
j 1t
e
berlaku
e
j 1t
H
=-
E
i
E0
pada z = -1
H ( z, t) e
j
t1
e
j
t1
1
dengan mengambil
e e
j 1
t
j 1
t
…………………………………………………(7.17)
2
1
1
2
dan menggunakan notasi Euler, maka diperoleh :
31
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
BAB VI
32
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
PEMANTULAN GELOMBANG Apabila suatu gelombang berjalan mencapai pembatasan dua medium yang berlainan, maka gelombang tersebut sebagian akan diteruskan dan sebagian lainnya akan dipantulkan. Besarnya bagian yang dipantulkan maupun yang diteruskan ditentukan oleh konstanta-konstanta kedua medium. Daerah ( 2 ) Daerah ( 1 ) 1
1
1 g2
2
1
E1
E
Et
Pada gambar diatas suatu gelombang berjalan E mendekati perbatasan z = 0 dari daerah (1) atau z < 0. E0 = gelombang datang Er = gelombang yang direfleksikan Kedua gelombang tersebut berada pada daerah (1) Et = gelombang yang ditransmisikan ( berada pada daerah 2 ) Jika gelombang datang dianggap normal terhadap permukaan batas medium y1 z
E0 (z,t) =
i 0
Er (z,t) =
r 0
e
y1 z
Et (z,t) =
r 0
e
y1 z
H0(z,t) =
i 0
e
y1 z
e
j t
……………………………………………….. (6.4)
Hr(z,t) =
r 0
e
y1 z
e
j t
………………………………………………. (6.5)
Ht(z,t) =
t 0
e
y1 z
e
j t
……………………………………………….. (6.6)
e
j t 1
e
j t
e
j t
………………………………………………… (6.1) 2
……………………………………………….. (6.2)
3
……………………………………………….. (6.3)
Karena gelombang datang normal ( saling tegak lurus ) terhadap medium, maka E
33
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Dan H seluruhnya tangensial pada permukaan batas medium. Gelombang harus memenuhi syarat kontinuitas pada perbatasan (z = 0), sehingga : i
r
z, t
i 0
y1 z
e
e
t
( z, t)
j t
r 0
x
( z , t ) ………………………………………………...
(6.7)
……………………………
(6.8)
y1 z
e
e
j t
t 0
x
y2z
e
e
j t x
Pada z = 0, maka pers (6,8) menjadi : i 0
r 0
t 0
……………………………………………………………….. (6.9)
Dan untuk medan H : i
H 0 ………………………………………………………………
r
H0
t
H0
(6.10)
Hubungan antara E dan H adalah : i 0 1
i
H0
……………………………………………………………………… (6.11)
r 0 1
r 0 t 0 2
t
H0
…………………………………………………………………….. (6.12)
……………………………………………………………………… (6.13)
Dari pers (6.9) sampai dengan pers (6.13) dapat diturunkan hubungan : r 0
2
1
i 0
1
2
…………………………………………………………………. (6.14)
Pers (6.13) menunjukkan perbandingan antara gelombang yang dipantulkan terhadap gelombang datang, ini diperoleh dari : H0
i
H0
r
t 0
i 0
r 0
2
2
1
t 0
t
H0
r 0
2
t 0
i 0
r 0
2
2
1
2
1
r 0
1 1
1
r 0
2
i 0
2
1
1
t 0
i 0
1
r 0
2
1
r 0
1
1
t 0
i 0
2
t 0
1
2
1
1
2
t 0
1
2
1
t 0
2
1
1
r 0
2
1
t 0
1
2
34
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
Selanjutnya perbandingan ini disebut koefisien refleksi untuk medan listrik E dan ditulis sebagai
r 0
2
1
t 0
2
1
…………………………………………. (6.15)
Koefisien Transmisi Koefisien Transmisi adalah perbandingan antara gelombang yang diteruskan terhadap gelombang datang. Secara matematis : 2
……………………………………………………………. (6.16)
2
2
0
1
Ini diperoleh dari : t 0
i 0
r 0
2
2
1
t 0
t 0
1
1
1
i 0
2
2
1
t 0
r 0
1
2
1
i 0
2
1
t 0
2
i 0
2
2
1
1 t
Sehingga
r 0
1
i 0
2
i 0
2
E0
t E
2
i 0
2
terbukti
1
2
Koefisien Refleksi Untuk Medan H Adalah perbandingan antara medan H yang direfleksikan terhadap medan H yang datang. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut : t
H0
t 0
2
1
1
2
…………………………………………………………. (6.17)
i
H0
Hubungan pers. (6.17) diatas diperoleh dari : i 0
r 0
t 0
r 0
t 0
i 0
Dengan menggunakan pers. (6.11), (6.12), dan (6.13) diperoleh : r
1
t
H0
2
i
H0
1
H0
dengan menggunakan pers. (6.16) r
1
i
H0
2
r
H0
i
H0
1
H0
2
H0
i
2
r
H0
1
r
1
2
H0
i
2
1
H0
35
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik r
H0
sehingga
1
2
1
2
i
H0
Koefisien Transmisi Untuk Medan H t
Secara matematis : Pers. (6.16) diperoleh dari : E 0t r
2
t
H0
1
1
t
H0
r
H0
2
i
E0
………………………(6.18)
2
1
2
r
E0
H0
t
1
E
2
i 0
i
H0 1
E0
t e
H0
1
r
H0
t
2
1
H0
sehingga : t
H0 H
i 0
2
2
1
2
Beberapa Impedansi Intrinsik untuk berbagai medium 1. Penghantar dielektrik merugi ( penghantar sebagian ) j
η=
……………………………………………………………… (6.19) j
2. Penghantar konduktor yang baik j
η=
< 450 …………………………………………………… (6.20)
=
3. Isolator dielektrik yang baik. η=
j
=
=
j
η = 120π
r
r
.
0
r
.
0
………………………………………………………………. (6.21)
0
4. Ruang bebas ( udara ). η=
j j
0
= 0
0
= 120 π …………………………………………………(6.22)
0
Gelombang berjalan E dan H dalam ruang bebas ( medium 1 ) jatuh secara tegak lurus pada permukaan dielektrik ( medium 2 ) dengan
r
= 3. bandingkan besar dari
gelombang E dan H yang datang, dipantul dan diteruskan pada permukaan batas tersebut. Jawab : 36
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik 1
3
=
= 120π
0
= 120π
r
120π
1
217 , 7
377
r
r e
=
2
1
1
2 t
t e
E0 E
=
i 0
=
377 2
=0,732
H0
1
2
377
217 , 7
i 0
1
2
377
217 , 7
H
t
t H
= -0,268
2
r
r H
= 217,7
217 , 7
2
1
3
H0 H
i 0
2 1
1
0 , 267
1, 268 2
37
Diktat Teori Medan II Gelombang Elektromagnetik
38
