Rendszertan Visszacsatolás és típusai, PID Hangos Katalin Sz´am´ıt´astudom´any Alkalmaz´asa Tansz´ek Rendszer- e´ s Ir´any´ıt´aselm´eleti Kutat´o Laborat´orium MTA Sz´am´ıt´astechnikai e´ s Automatiz´al´asi Kutat´o Int´ezete Budapest e-mail:
[email protected]
Rtan-05 – p. 1/27
(SISO) rendszerek irányításának alapjai
Rtan-05 – p. 2/27
Az irányítási cél Cél: a rendszer kimenete azonos legyen azzal, amit mi el˝oírunk (referenciajel). ("Everything is under control") Kézenfekv˝o(nek t˝un˝o) megoldás: Alakítsuk valahogyan a rendszer-operátort identikus operátorrá (a kimenet pontosan megegyezik a bemenettel) r
&
6
r
I
Rtan-05 – p. 3/27
Invertálási problémák A rendszer-operátor nem invertálható Az irányítandó rendszer instabil Az inverz instabil Az inverz nem kauzális (nem számítható) A rendszer-operátor nem pontos (bizonytalan) → az inverz még bizonytalanabb (lehet) A valóságban a rendszer nem elszigetelt (küls˝o zavarok hatnak rá)
Rtan-05 – p. 4/27
Visszacsatolás – 1 v
+ -
u
H 1 (s)
y
H 2 (s) G(s) H1 (s) G(s) = 1 + H1 (s)H2 (s) Rtan-05 – p. 5/27
Visszacsatolás – 2 v
+ -
u
H 2 (s)
H 1 (s)
y
G(s) H1 (s)H2 (s) G(s) = 1 + H1 (s)H2 (s)
Rtan-05 – p. 6/27
Visszacsatolás – 3 Miért alkalmazzuk? Gyakran az instabil rendszerek stabilizálásának egyetlen módja a visszacsatolás Egy jól megtervezett visszacsatolás bizonytalan rendszermodellel együtt is m˝uköd˝oképes lehet Visszacsatolással csökkenthet˝o a küls˝o zavarok hatása is
Rtan-05 – p. 7/27
Visszacsatolás – 4 A visszacsatolás típusai kimenet-visszacsatolás: a bemenet csak a rendszer kimeneteit˝ol függ, azaz u = F[y] (teljes) állapot-visszacsatolás: a bemenet a rendszer állapotváltozóitól függ, azaz u = F[x] statikus visszacsatolás: az F operátor statikus (u = F (y), u = F (x)) dinamikus visszacsatolás: az F operátor dinamikus (lineáris esetben pl. állapottér-modellel vagy átviteli függvénnyel megadható) Lineáris visszacsatolás: az F operátor vagy az F függvény lineáris. Rtan-05 – p. 8/27
Az integrátor szerepe v
+
u
1/s
H 1 (s)
-
y
G(s) kI ·b(s) b(s) ⇒ G(s) = s·a(s)+k H1 (s) = a(s) I ·b(s) |G(j · 0)| = 1 Integrátort tartalmazó szabályozási kör állandósult állapotbeli er˝osítése 1. (A szabályozott rendszer követi a konstans referenciajelet, ha aszimptotikusan stabil).
Rtan-05 – p. 9/27
Példa – 1 0.5 Rendszermodell: H(s) = s2 +5s+6 Egységugrás bemenetre adott válasz:
1
bemenet kimenet 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30 idö [s]
40
50
60
Rtan-05 – p. 10/27
Példa – 2 Integrátort tartalmazó (kI = 1), visszacsatolt rendszer: G(s) = s3 +5s20.5 +6s+0.5 Egységugrás bemenetre adott válasz: bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30 idö [s]
40
50
60
Rtan-05 – p. 11/27
Példa – 3 Az integrátor kimenete ≡ az eredeti rendszer bemenete: 12
10
u
8
6
4
2
0
0
10
20
30 idö [s]
40
50
60
Rtan-05 – p. 12/27
PID-szabályozás
Rtan-05 – p. 13/27
A PID szabályozó struktúrája – 1 v
+ -
u
K P I D (s)
H (s)
y
G(s)
P=Proportional, I=Integral, D=Derivative Átviteli függvény: · ¸ 1 Kp (Ti · Td · s2 + Ti · s + 1) KP ID (s) = Kp 1 + + Td · s = Ti · s Ti · s
Rtan-05 – p. 14/27
A PID szabályozó struktúrája – 1
.S
7 V L
7 V G
.
V
3,'
Kp : arányos (proporcionális) er˝osítés Ti : integrálási id˝oállandó Td : deriválási id˝oállandó Rtan-05 – p. 15/27
PID tervezési példa – 1 Rendszermodell: H(s) = s3 +6s210 +11s+16 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 idö [s]
20
25
30
Rtan-05 – p. 16/27
PID tervezési példa – 2 Arányos (P) visszacsatolás: Kp = 3, G(s) = Egységugrásra adott válasz
30 s3 +6s2 +11s+36
bemenet kimenet
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 idö [s]
20
25
30
Rtan-05 – p. 17/27
PID tervezési példa – 3 Arányos + integráló (PI) visszacsatolás: Kp = 2.7, Ti = 1.5, G(s) = 1.5s4 +9s340.5s+27 +16.5s2 +49.5s+27 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 idö [s]
20
25
30
Rtan-05 – p. 18/27
PID tervezési példa – 4 Arányos + integráló + deriváló (PID) visszacsatolás: Kp = 2, 10.8s2 +18s+20 Ti = 0.9, Td = 0.6, G(s) = 0.9s4 +5.4s3 +20.7s2 +23.4s+20 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 idö [s]
20
25
30
Rtan-05 – p. 19/27
PID szabályozók hangolása Ziegler-Nichols módszer 1. Alkalmazzunk csak arányos (proporcionális) visszacsatolást 2. Növeljük az arányos er˝osítést (Kp ) addig, amíg az egységugrásra adott válasz csillapítatlan (szinuszos) rezgés lesz (Kp∗ ). 3. Mérjük meg a rezgés periódusidejét (Tc )
Rtan-05 – p. 20/27
PID szabályozók hangolása A szabályozó hangolása: P-szabályozó: Kp = 0.5Kp∗ PI-szabályozó: Kp = 0.45Kp∗ , Ti = 0.833Tc PID-szabályozó (gyors): Kp = 0.6Kp∗ , Ti = 0.5Tc , Td = 0.125Tc P-szabályozó (enyhe túllövés): Kp = 0.33Kp∗ , Ti = 0.5Tc , Td = 0.33Tc P-szabályozó (túllövés nélkül): Kp = 0.2Kp∗ , Ti = 0.3Tc , Td = 0.5Tc
Rtan-05 – p. 21/27
Példa – 1 Rendszermodell: H(s) = 2s3 +10s40 2 +82s+10 Egységugrásra adott válasz: 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Rtan-05 – p. 22/27
Példa – 2 Arányos visszacsatolás, Kp = 7 Egységugrásra adott válasz: 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Rtan-05 – p. 23/27
Példa – 3 Arányos visszacsatolás, Kp∗ = 10, Tc = 1 Egységugrásra adott válasz: 1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Rtan-05 – p. 24/27
Példa – 4 PID szabályozó paraméterei: Kp = 3.3, Ti = 0.5, Td = 0.33 A szabályozó átviteli függvénye: Kp (Ti · Td · s2 + Ti · s + 1) KP ID (s) = Ti · s A zárt rendszer átviteli függvénye: 21.78s2 + 66s + 132 G(s) = s4 + 5s3 + 62.78s2 + 71s + 132
Rtan-05 – p. 25/27
Példa – 4 A szabályozott rendszer egységugrásra adott válasza 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rtan-05 – p. 26/27
Házi feladat Adott az alábbi SISO F-LTI rendszer: 5 −3 2 u x+ x˙ = 0 0 1 h i y= 2 0 x amelyet az alábbi paraméterekkel rendelkez˝o PID szabályozóval szabályozunk: Kp = 1; Ti = 0.5; Td = 0 Írjuk fel a visszacsatolt rendszer átviteli függvényét! Stabil-e a visszacsatolt rednszer? Rtan-05 – p. 27/27
