Rekenproblemen?
Diagnosticeren en oplossen met behulp van Rekenwonders
Rekenproblemen?
Sommige leerlingen hebben moeite met rekenen. Er zijn onderdelen die ze maar niet in de vingers krijgen of waarop ze geheel uitvallen. Hoe kunnen we deze leerlingen helpen? Meer oefenen met de bestaande methode is meestal niet toereikend. Want de gebruikte didactiek werkt bij deze leerlingen immers niet. Wat wél werkt: • Overstappen op een ‘nieuwe’ didactiek (stap voor stap) • Aansluiten bij wat de leerling al kan • Alle handelingsniveaus benutten bij het aanleren van nieuwe vaardigheden • Leerlingen aanspreken op hun visuele brein. Dit vindt u terug in de methode Rekenwonders. Rekenwonders (gebaseerd op de Singapore-rekendidactiek) is uitermate geschikt als remediërend materiaal. Het programma focust op het ontwikkelen van probleemoplossend denkvermogen, en leert kinderen betekenisvol leren en conceptueel begrip. Rekenwonders is in te zetten naast alle andere rekenwiskunde-methodes die op veel Nederlandse basisscholen worden gebruikt. Deze handleiding geeft aan: • Hoe u rekenproblemen opspoort en hoe u leerlingen verder kunt helpen. Dit beschrijft een aanpak die u ook los van Rekenwonders zou kunnen gebruiken. • Waar de diverse rekenonderwerpen behandeld worden in de methode Rekenwonders. U kunt daar uitleg en opgaven terugvinden. Zo kunnen we zoveel mogelijk leerlingen begeleiden naar passende doelen op referentieniveau 1F of 1S.
ISBN 978-946-118-210-4
9 789461 182104
In samenwerking met
en r e c i t s o n g Dia n en oplosse an v p l u h e b t me ers d n o w n e k Re
Colofon Tekst: Projectgroep Rekenwonders Redactie: Bazalt DTP: Studio groenling, Middelburg Druk: Meulenberg Media, Middelburg 1e druk 2015 © Bazalt ISBN 978-946-118-210-4 Rekenwonders is de Nederlandstalige bewerking van My Pals Are Here! Maths groep 3 t/m 8, ontwikkeld door Marshall Cavendish. Dit is het programma van wereldklasse dat tegenwoordig in de meeste scholen van Singapore wordt gebruikt. De rekenuitgaven van Marshall Cavendish hebben een grote bijdrage geleverd aan de voortdurende toppositie van Singapore in internationaal vergelijkend onderzoek sinds 1995. Zie ook: www.bazalt.nl/rekenwonders Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor het bestellen van boeken en materialen van de methode Rekenwonders of voor informatie over scholing in de Singapore-rekendidactiek en voor workshops, trainingen en ondersteuning bij de invoering van Rekenwonders, kunt u terecht bij onderstaande organisaties. Bazalt Postbus 21778 3001 AT Rotterdam T (088) 5570500 E
[email protected] www.bazalt.nl
HCO Postbus 53509 2505 AM Den Haag T (070) 4482828 E
[email protected] www.hco.nl
RPCZ Postbus 351 4380 AJ Vlissingen T (0118) 480800 E
[email protected] www.rpcz.nl
Bazalt maakt deel uit van de Bazaltgroep en werkt daarin samen met partners HCO en RPCZ.
Inhoud Voorwoord 5 1: Rekenproblemen opsporen en oplossen 7 1.1 Het kind van de rekening 1.2 Over signaleren 1.3 Over analyseren 1.4 Over diagnosticeren 1.5 Over remediëren
7 9 11 13 14
2: Een diagnostisch gesprek voeren 16 3: Over interactief begeleiden 19 4: Handelingsniveaus benutten bij remediëren 24 5: Actief remediërend handelen met behulp van Rekenwonders 28 6: Het referentiekader 1F en 1S 29 7: Domeinen, leerlijnen en referentieniveaus 31 8: Uitwerking Rekenwonders in subdomeinen 33 • • • • • • • • • • •
Gehele getallen & bewerkingen 34 Breuken 36 Kommagetallen 38 Procenten 39 Verhoudingen, incl snelheid 40 Meten (lengte, gewicht, inhoud en temperatuur) 41 Meten (omtrek en oppervlakte) 42 Meten (tijd) 43 Meetkunde 44 Informatie in tabellen, diagrammen en grafieken 46 Algebra 47
Bronvermelding 48
Voorwoord Veel kinderen hebben moeite met rekenen. Dit handboek geeft aan hoe u deze leerlingen kunt helpen, op weg naar functionele en/of schoolse gecijferdheid. Er zijn elk geval twee kwaliteiten waarop leerlingen rekenen-wiskunde kunnen beheersen: • een meer toegepaste manier van rekenen (een meer functioneel niveau); • een beheersingsniveau dat leerlingen voorbereidt op de meer abstracte wiskunde (een verdiepend niveau). In 2010 is in het referentiekader bij wet vastgelegd over welke kennis en vaardigheden leerlingen op bepaalde momenten in hun schoolloopbaan (van primair onderwijs tot hoger onderwijs) dienen te beschikken als het gaat over rekenen. Het omschrijven van deze kennis en vaardigheden moet ertoe bijdragen dat er een niveauverhoging plaatsvindt, en dat leerlingen minder drempels ondervinden tussen de verschillende onderwijssectoren. De overgang van de ene onderwijssector naar de andere of de overgang binnen een onderwijssector moet makkelijker verlopen. We willen leerlingen immers steeds met voldoende bagage en met vertrouwen de overstap laten maken naar de volgende fase in hun schoolloopbaan, en uiteindelijk naar hun functioneren in de maatschappij. In het primair onderwijs kennen we ook de twee kwaliteiten voor rekenen. We geven dat aan met rekenen op referentieniveau 1F (fundamenteel niveau) en 1S (streefniveau): twee kwaliteiten voor verschillende groepen leerlingen. Het primair onderwijs doet zijn uiterste best om leerlingen te voorzien van passende onderwijsdoelen en een passend onderwijsaanbod. De rekenmethoden die worden gebruikt om het reken-wiskundeonderwijs vorm te geven, bieden daartoe vele handreikingen. Echter, voor het organiseren van een beredeneerd aanbod voor zwakke rekenaars zijn de handreikingen en uitwerkingen toch niet voldoende. Dat komt mede doordat: • het de ‘oude’ didactiek is, die blijkbaar voor deze leerling(en) niet werkt. Een ‘nieuwe’ didactiek wordt niet gegeven; • niet wordt aangesloten bij wat de leerling al kan. Dit geldt zowel voor rekenprocedures als voor het handelingsniveau; • bij het aanleren van vaardigheden niet alle handelingsniveaus worden benut; • we leerlingen onvoldoende aanspreken op hun visuele brein; • de leerlijnen zo verstrengeld zijn en hap-snap worden gepresenteerd in de materialen, dat het voor u als leerkracht, RT’er of IB’er lastig is om gericht binnen een leerlijn zorg te dragen voor een remediërend aanbod. Het programma Rekenwonders werkt anders. Rekenwonders gaat uit van: • het ontwikkelen van probleemoplossend denkvermogen bij leerlingen; • betekenisvol leren en conceptueel begrip; • creativiteit, flexibiliteit in denken en handelen en interactief leren; • van doen naar representeren naar symboliseren (handelingstheorie); • focus en samenhang in leerlijnen • verschillende activiteiten of beter gezegd ‘leerlingacties’, zoals bijvoorbeeld: ‘zelf aan de slag’, ‘op onderzoek’, ‘speel dit spel’ en ‘mijn rekendagboek’. Hierdoor is het programma Rekenwonders uitermate geschikt om in te zetten als remediërend materiaal om zoveel mogelijk leerlingen te begeleiden naar passende doelen op 1F en/of 1S-niveau. Dit handboek is geschreven voor leerkrachten uit het PO, rekendocenten VO, rekencoördinatoren, intern begeleiders en remedial teachers die zich verder willen bekwamen in het observeren en analyseren van rekenproblemen en op grond daarvan met Rekenwonders passende hulp willen bieden aan hun leerlingen. Het handboek bestaat uit twee delen. A. Een beschrijving waarmee het mogelijk is om de problemen waarmee zwakke rekenaars worstelen te signaleren, analyseren, diagnosticeren en te remediëren. Inclusief benodigde achtergrondinformatie over rekenontwikkeling, diagnosticeren en remediëren. B. Een praktisch werkkader om actief remediërend te handelen door inzet van Rekenwonders. Opgenomen zijn de precieze en concrete uitwerkingen van de referentieniveaus 1F en 1S binnen Rekenwonders, inclusief benodigde achtergrondinformatie. De uitwerkingen zijn eenvoudig terug te vertalen naar de rekenmethode die op de eigen school wordt gebruikt.
5
Onze beschrijving volgt de visie en uitgangspunten van het protocol ‘Ernstige Rekenwiskunde Problemen en Dyscalculie’ (ERWD). Slechts op enkele punten is het protocol praktisch vertaald naar handelen in de klas. Voor verdieping raden wij u aan kennis te nemen van de uitwerking van het protocol ERWD zoals beschreven voor het primair onderwijs en voortgezet onderwijs. Als uitgangspunt nemen we de onderwijssituatie waarbinnen passend onderwijs wordt geboden. Passend onderwijs: het samenspel tussen leerling, leerkracht PO/docent VO en de leerstof. Voor het schrijven van deze uitgave hebben we dankbaar informatie ontleend aan vele bronnen. Deze bronnen zijn achterin deze uitgave opgenomen. Projectgroep Rekenwonders Bazalt, 2015
NB: Leerlingen en leraren worden in deze uitgave vaak aangeduid met ‘hij’ (omwille van de leesbaarheid). Uiteraard bedoelen we ook ‘zij’.
6
Hoofdstuk 2 Een diagnostisch gesprek voeren De leraar in de rol van onderzoeker De ervaring leert dat iedere leerling één of meerdere strategieën heeft om rekenopgaven op te lossen en dat iedere leerling in staat is om de strategie die tot zijn oplossing heeft geleid aan een onderzoeker duidelijk te maken, mits deze laatste geduld en een luisterend oor heeft. Een goede diagnostiek staat of valt daarom met de bereidheid van de onderzoeker om te willen begrijpen wat de leerling bedoelt. In een diagnostisch gesprek daag je de leerling uit te reflecteren op zijn handelen en denken, te reflecteren op de manier waarop hij een opgave heeft aangepakt. Een onderzoeker heeft duidelijk een andere rol dan een leerkracht of docent. In de rol van leraar ben je geneigd te luisteren en te vragen naar dingen die niet opgepikt worden door de leerling, om die vervolgens te gaan uitleggen. Als leraar handel je dan productgericht. De onderzoeker gaat procesgericht te werk. Hij luistert en vraagt met de bedoeling te achterhalen wat de leerling wél weet en vooral welke strategieën gehanteerd worden, om zo het beginpunt van de remediëring te bepalen. Een eerste didactische wenk: laat je dus tijdens een rekenonderzoek niet verleiden tot het geven van stimulerende zetjes, zodat de leerling tot het gewenste antwoord komt. Dat is best even wennen, zeker wanneer de leerling een goede oplossing bijna te pakken heeft. Houd het bij de constatering dat dit type opgaven nog niet gekend wordt en ga vervolgens ‘terug‘ naar typen opgaven die wel goed worden uitgerekend.
Doel van een diagnostisch gesprek: door luisteren en vragen doelgericht achterhalen wat de leerling wel weet en vooral welke strategieën gehanteerd worden, om zo het beginpunt van de remediëring te bepalen.
Kijken, luisteren en vragen Soms is het nodig om als onderzoeker eerst nader kennis te maken met de leerling. Didactische wenken voor het starten van een gesprek: • Leg de leerling uit wat je gaat doen en waarom. • Laat blijken dat je samen op zoek wilt gaan naar wat de leerling wél weet. Uit de analyse van het werk van de leerling weet je immers al wat hij niet weet. • Geef aan dat je daarom regelmatig zal vragen hoe de leerling tot zijn antwoord is gekomen. • Vertel ook dat je aantekeningen maakt, omdat je niet alles kunt onthouden. • Sluit zo’n inleiding af met de vraag of de leerling wil meewerken aan dit rekenonderzoek. Op die manier vergroot je de betrokkenheid van de leerling.
Het vertrekpunt Het vertrekpunt is altijd een probleemsituatie die je de leerling hebt voorgelegd. Terwijl de leerling bezig is een antwoord te construeren, observeer je als onderzoeker zijn gedrag in termen van zien en horen. Wat zie je? Wat hoor je? Het waargenomen gedrag vormt het startpunt van je vragen. Laten we een voorbeeld schetsen bij de bewerking: 25 + 47 = … De leerling zegt: “20 + 40 is …” [stilte] “.…40, 50, 60.” “7 + 5 is …” Hij telt en steekt één voor één vijf vingers op: “…12”. En dan haast zonder pauze: “72”.
16
Soms is er wat te horen als leerlingen rekenen, zoals in voorgaande voorbeeld. Uit het gedrag is al aardig af te lezen hoe de leerling heeft gerekend. Ga dat ook na door bijvoorbeeld te zeggen: “Ik hoorde je eerst zeggen: ‘40, 50, 60…’ en toen zei je: ‘7+5…’” “Doe je dat wel vaker, die getallen omdraaien?” “…en toen zei je 12 en meteen daarna 72.” “Over dat laatste hoefde je niet lang na te denken, heb ik het juist?” Je hebt vlotte kans dat de leerling je vertelt dat hij de getallen altijd omdraait, omdat dat het tellen verkort en dat sommen als 60 en 12 hartstikke makkelijk zijn. Maar meestal is er niets te horen, omdat leerlingen niet gewend zijn hardop te denken. Soms fluisteren ze fragmenten van wat ze denken. Of ze bewegen alleen maar stil hun lippen. Al is er dan weinig te horen, toch valt er vaak veel te zien. Bewegende handen of vingers, rekenmaterialen of voorwerpen in de buurt die benut worden (bijvoorbeeld door ze te manipuleren of ernaar te kijken) of een op en neer knikkend hoofd, alsof het tellen begeleid wordt. Soms gebeurt alles heel openlijk en is het gemakkelijk waar te nemen, maar vaak ook willen leerlingen niet openlijk laten zien wat ze doen. Ze bewegen bijna onmerkbaar hun vingers of kijken naar dingen in hun omgeving. Ze tellen met steun van een rij tegels rond de wasbak, of de vakken in het plafond. Soms direct, soms na enig wachten, volgt het antwoord. Het is mogelijk dat je uit wat je geobserveerd hebt al denkt te kunnen verklaren hoe de oplossing tot stand is gekomen. Vraag toch verder. De aanvullende vragen dienen ervoor om het beeld dat je je gevormd hebt verder aan te vullen. Laten we nu een ander voorbeeld schetsen bij dezelfde bewerking: 25 + 47 = … “25 + 47…” [lange stilte en vingers bewegen]… “72.” “Daar moest je even over nadenken, weet je nog wat je in je hoofd deed?” “Nou, 40 en 20 is …. dat heb ik erbij geteld, 50, 60, en 5 is 65 en 7 is …” [stilte] “… 72.” Je hebt nu zicht op een deel van het oplossingsproces. De leerling heeft je als het ware een reconstructie gegeven van zijn of haar denken. Als de reconstructie hiaten vertoont, of in tegenspraak is met wat je geobserveerd hebt, kun je doorvragen. Vraag: “Hoe heb je 65 en 7 uitgerekend?” Antwoord: “Gewoon geteld: 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72.” Vraag: “Hoe wist je dat je moest stoppen bij 72?” Antwoord: “Dat houd ik bij met m’n vingers.” Bevestiging: “Oh, daarom zag ik je vingers bewegen.”
Didactische wenken voor het doorvragen • Vermijd suggestieve vragen, waarbij je de leerling het antwoord al in de mond legt. Leerlingen volgen je suggestie graag op, ook als ze eigenlijk een andere oplossingswijze gevolgd hebben. Geef dus niet terug: “Volgens mij heb je geteld”, maar: “Hoe heb je gerekend?” Zegt de leerling: “Ik heb geteld”, vraag dan: “Hoe heb je geteld?” Kortom, sluit steeds aan bij wat het kind zelf zegt. • Vermijd ook woordkeus en toon die het gevoel geven: hier moet verantwoording worden afgelegd. “Nou, vertel me maar eens hoe je dit wel niet hebt uitgerekend”, klinkt niet erg uitnodigend. • Pas ook op voor mogelijke spraakverwarring. Veel leerlingen zullen bij een opdracht als ‘Verdeel deze blokjes in twee groepjes’ streven naar twee gelijke hoeveelheden, want delen moet altijd eerlijk gebeuren. Vraag je hen een hoeveelheid blokjes te splitsen, dan is dat heel iets anders. Wees je daarvan als onderzoeker bewust.
17
Spiegelen Schrijf het gedrag dat je waarneemt en de antwoorden die de leerling geeft regelmatig op. Sommige leerlingen vinden het prettig om te weten wat er opgeschreven wordt, dat geeft hen een gevoel van veiligheid. Lees dus van tijd tot tijd je notities even voor. Dat voorlezen kan ook de functie van ‘spiegelen’ hebben. Er zijn leerlingen die moeilijk hun gedachten kunnen verwoorden. Wanneer je na het voorlezen de vraagt stelt: “Klopt het wat ik heb opgeschreven?”, geef je hen de kans te reageren en help je ze bij het reflecteren. Leerlingen kunnen ook geblokkeerd raken als ze moeten uitleggen hoe ze te werk zijn gegaan. Ook vertellen ze soms iets wat niet meer aansluit bij hun oorspronkelijke gedachtegang. Sommige leerlingen begrijpen de situatie heel goed, maar ontsporen als ze hun gedachten onder woorden moeten brengen. Pas in zulke gevallen de techniek van het spiegelen toe: • “Bedoelde je misschien…” • “Ik kreeg de indruk dat je… Klopt dat?” • Voer een denkbeeldige leerling op. “Ik zag laatst een kind en die deed dat zo. Zou jij dat ook zo doen?”
Meerdere opgaven voorleggen Als je nog geen duidelijkheid hebt over hoe de leerling te werk is gegaan, maar wel een sterk vermoeden hebt, is het handig om meerdere opgaven voor te leggen. Al naar gelang de reacties kun je daarin variëren: • Je kunt een vergelijkbare, analoge opgave geven (na 25 + 47 bijvoorbeeld 56 + 37) en kijken of de leerling deze op dezelfde manier uitrekent. • Je kunt ook een eenvoudigere opgave geven als de eerdere opgave nog niet zo vlot ging. Bijvoorbeeld: een opgave die een deelstap betreft uit de eerdere opgave. Na 25 + 47 dus 25 + 40 of 25 + 7. Of misschien wel 20 + 40 of 5 + 7. • Tenslotte kun je de leerling die moeite heeft met een opgave, hulp geven. Probeer de leerling op een spoor te zetten, een zetje te geven. Dat geeft je meteen ook informatie over wat de leerling kan als je hem enkele suggesties of hints geeft. Maar onthoud: vermijd het uitleggen! Je bent nog steeds in de rol van onderzoeker. Dus als de leerling een som als 27 + 45 niet kan uitrekenen, zou je hem een (lege) getallenlijn kunnen aanbieden, een kralenketting of MAB-materiaal.2 Het gaat erom te kijken of een vraag, een schematisering of materiaal het kind op een goed spoor kan zetten.
Algemene didactische wenken • Houd er rekening mee dat een diagnostisch gesprek de eerste keer niet zo vlot verloopt. Maar al doende leert men en oefening baart kunst. • Bereid het gesprek goed voor. Volg de aanwijzingen en toelichtingen zoals hiervoor beschreven of die wellicht in de rekenmethoden staan. • Gebruik een overzicht om observaties te noteren. • Vertel de leerling aan het begin van het gesprek wat de bedoeling is: samen nagaan hoe de leerling rekent, en hoe hij denkt als hij rekent. • Probeer steeds te achterhalen hoe de leerling rekent, vooral wanneer het antwoord goed is! Vraag ook na een fout antwoord eerst: “Hoe heb je het gedaan?” en verbeter de misstap niet direct. • Noteer tijdens het gesprek in telegramstijl wat de leerling doet en zegt en wat je observeert en vraagt. Bedenk dat je dit naderhand vermoedelijk niet meer precies weet. • Maak een protocol van het gesprek. Maak onderscheid tussen wat je als onderzoeker zegt of observeert (noteer dat bijvoorbeeld tussen haakjes) en wat de leerling zegt (noteer dat bijvoorbeeld zonder haakjes). • Trek een conclusie over de voorwaarden die je hebt onderzocht: voert de leerling gewenste oplossingsmethoden uit? En beheerst hij deze al of niet? • Gebruik de protocollen ook om het volgende gesprek nog beter te laten verlopen. Zo kom je steeds meer te weten over hoe kinderen rekenen en welke oplossingsstrategieën ze daarbij hanteren.
18
