2013 HAN Pabo Groenewoud Nijmegen Gerard Boersma Medewerkersnummer: 08031972 Opleiding: master eerstegraads docent wiskunde Begeleiders: Huub Braam en Gé Groenewegen Onderdeel activiteiten ELWIeR onderzoeksgroep Datum: augustus, december 2013
[Rekenen-wiskunde in samenhang didactiek of als aparte lijn]
1
Inleiding
In februari 1992 kreeg ik mijn eerstegraads bevoegdheid wiskunde. In het kader van het streven van de HAN naar een zo groot mogelijk percentage masters onder zijn personeel ben ik in de gelegenheid gesteld deze studie over te doen, maar nu op masterniveau. Hoofdonderdeel hierbij is, vanwege vrijstelling voor alle wiskundige onderdelen behalve schoolwiskunde, het masteronderzoek. Voor u ligt het onderzoeksvoorstel. Het conceptvoorstel is besproken met de onderzoeksgroep van EL1 WIeR , de begeleiders van het onderzoek (Huub Braam en Gé Groenewegen), het management van Pabo Groenewoud (Karin van Weegen en Ida Oosterheert) en de sectie rekenen-wiskunde van Pabo Groenewoud. De feedback die op deze wijze is verkregen is verwerkt. Mocht u ook een concept ontwerp of het databestand naar aanleiding van een gehouden enquête willen bekijken, laat dit dan weten via de mail. U krijgt dan een link toegestuurd. Augustus 2013, Gerard Boersma Bijstelling: december 2013
1
Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en Rekenonderwijs. 2
2
Inhoudsopgave 1
Inleiding ................................................................................................................................................. 2
2
Inhoudsopgave ...................................................................................................................................... 3
3
Aanleiding .............................................................................................................................................. 5
4
Theoretisch kader .................................................................................................................................. 7 4.1
Inleiding ............................................................................................................................................. 7
4.2
Realistisch rekenwiskundeonderwijs ................................................................................................ 7
4.3
Mathematical knowledge for teaching ............................................................................................. 7
4.4
Kennisbasis ........................................................................................................................................ 9
5
Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde .............................................................................................. 10 5.1
Didactiek.......................................................................................................................................... 10
5.2
Bestaande materialen ..................................................................................................................... 11
5.3
Opleiders ......................................................................................................................................... 11
6
Praktijkverkenning ............................................................................................................................... 12 6.1
Situatie op Pabo Groenewoud ........................................................................................................ 14
6.1.1
Curriculum .............................................................................................................................. 14
6.1.2
Docenten en studenten .......................................................................................................... 14
6.2
Probleemdefinitie............................................................................................................................ 15
7
Doel ..................................................................................................................................................... 16
8
Onderzoeksvraag, ontwerphypothese, ontwerpprincipes .................................................................. 17 8.1
Onderzoeksvraag............................................................................................................................. 17
8.2
Hypothese ....................................................................................................................................... 17
8.3
Deelvragen ...................................................................................................................................... 17
8.4
Ontwerpcriteria (generiek) ............................................................................................................. 18
8.5
Inhoudsverkenning .......................................................................................................................... 18
8.5.1
Talstelsels ............................................................................................................................... 19
8.5.2
Ontluikende algebra ............................................................................................................... 20
9
Methode .............................................................................................................................................. 23 9.1
Dataverzameling ............................................................................................................................. 23
Resumé .................................................................................................................................................. 24 9.2
Onderzoeksgroep ............................................................................................................................ 24
9.2.1
Najaar 2013 ............................................................................................................................ 24
9.2.2
Voorjaar 2014 ......................................................................................................................... 25
9.3
Communiceren met beroepsgroep ................................................................................................. 26
9.4
Planning ........................................................................................................................................... 26
9.5
Randvoorwaarden en middelen ...................................................................................................... 26
3
10
Bronnen ............................................................................................................................................... 27
11
Bijlage 1: Inventarisatie Pabo Groenewoud ........................................................................................ 29
12
Bijlage 2: Analyse bestaande methodes .............................................................................................. 34
13
Bijlage 3: Navraag naar relevantie ....................................................................................................... 35
13.1
Achtergrond ................................................................................................................................ 35
13.2
Stellingen .................................................................................................................................... 36
13.3
Respons ....................................................................................................................................... 36
Bijlage 4: protocol voor interview met studenten ......................................................................................... 38 Zakelijke gegevens ..................................................................................................................................... 38 Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen ............................................................. 38 Verschillende talstelsels ......................................................................................................................... 38 Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel ...................................................................................... 38 Ontluikende algebra............................................................................................................................... 38 Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen ........................................................... 38 Diverse talstelsels................................................................................................................................... 38 Bij ontluikende algebra .......................................................................................................................... 39 De waardering van studenten voor de lessen ........................................................................................... 39 Bijlage 5: vragenlijst docent ........................................................................................................................... 40
4
3
Aanleiding
Twee ontwikkelingen vormen de aanleiding voor dit onderzoek: de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van lerarenopleidingen en die van de lerarenopleiding basisonderwijs in het bijzonder en de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van het onderwijs, waaronder reken-wiskundeonderwijs (KNAW, 2009; van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012). Een opbrengst uit beide discussies voor de pabo is de kennisbasis voor rekenen-wiskunde (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). Hierin is het gewenste eindniveau voor pabostudenten beschreven met betrekking tot de kennis over rekenen-wiskunde en over didactiek van rekenen-wiskunde. De inhouden zijn te typeren als een beroepsspecifieke invulling van niveau 3S (van Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). 2
Vervolgens is er tussen het ministerie en de HBO-raad de afspraak gemaakt dat, met ingang van het cohort 2011-2012, studenten een landelijk toets moeten behalen waarmee een deel van de kennisbasis wordt getoetst. Het betreft kennis van rekenen-wiskunde die nodig is om het leren door basisschoolleerlingen op gang te brengen en is beschreven in het document ‘Toetsgids pabo rekenen-wiskunde’ (Vakcommissie, 2013). Hiermee verschilt de inhoud van deze toets met die van de sinds schooljaar 2006-2007 verplichte ‘Wiscat’-toets die studenten in hun eerste jaar aan de opleiding moeten halen. Een deel van de in de toetsgids beschreven wiskundekennis valt niet onder de kerndoelen en is dus voor 3 de student niet direct zichtbaar in de basisschool . De student kan zich niet zonder meer in deze inhouden bekwamen door bijvoorbeeld leerlingenwerk te analyseren of lessen voor te bereiden en te geven. De betreffende inhouden, in het vervolg ook aangeduid als meer geavanceerde wiskunde, kunnen min of meer kaal, los van de beroepscontext worden aangeboden. Op Pabo Groenewoud wordt dat op dit moment op deze manier gedaan. De keuze hiervoor is bepaald door tijdsdruk en de mogelijkheid de lessen te laten verzorgen door een wiskundig geschoolde docent. Daarnaast speelde het gegeven dat het reguliere onderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek beperkt is tot kleine - in tijd afgebakende – onderwijseenheden een rol. Dit verhoudt zich niet met het leren van rekenen-wiskunde, dat een langlopend proces is. Door de meer geavanceerde wiskunde in een langerlopende lijn aan te bieden werd dit probleem omzeild. Het blijkt dat onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten het scheiden van onderwijs in didactiek en onderwijs in wiskunde ongewenst vindt (theoretisch kader). Een mogelijk nadeel kan een te grote nadruk op het halen van de toets zijn (Van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012) in plaats van op het vergaren van wiskundige kennis die nodig is om het vak te onderwijzen. Mogelijk blijven kansen liggen om vanuit ervaringen van studenten met het bedrijven van wiskunde op eigen niveau de koppeling met de didactiek te leggen. Mogelijk werkt het bevreemdend op een grote groep studenten om wiskunde die voor een deel al in de vooropleiding aan de orde is geweest op een beroepsopleiding los van dat beroep nogmaals aangeboden te krijgen. Een tweede manier om de meer geavanceerde wiskunde-inhouden aan de orde te stellen is om deze in te bedden in een didactische context. Deze werkwijze sluit aan bij een visie op opleidingsdidactiek voor rekenenwiskunde waarbij beoogd wordt rekenen-wiskunde zoveel mogelijk te leren door de beroepscontext te gebruiken en studenten de kennis aan de hand van betekenisvolle opdrachten zelf te laten construeren. Dit heeft mogelijk een positief effect op de motivatie en zou kunnen leiden tot hogere leerresultaten. Het is de vraag of en hoe het mogelijk is om studenten op de tweede manier voor te bereiden op de toets. Belemmeringen kunnen zitten bij reproductiegerichte studenten (Oosterheert, 2011), zwakke rekenaars en bij
2
Vanaf april 2013 ‘Vereniging Hogescholen’. Onder ‘niet direct zichtbaar’ wordt verstaan dat de inhouden niet behoren tot de kerndoelen voor reken-wiskunde. Het komt voor dat de betreffende inhoud in materiaal voor goede rekenaars is verwerkt. Ook komt het voor dat goede rekenaars in groep 8 werken uit wiskundeboekjes voor de brugklas. Dit is echter geen reden om aan deze inhouden het predicaat ‘direct zichtbaar’ toe te kennen. 3
5
opleidingsdocenten die onvoldoende thuis zijn of zich onvoldoende thuis voelen in de meer geavanceerde wiskunde en de didactiek ervan (Keijzer & Zanten, 2010). Dit onderzoek beoogt een bijdrage te leveren aan de vraag of en hoe het mogelijk is opleidingsonderwijs te verzorgen waarbij studenten meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek te leren.
6
4 4.1
4.2
Theoretisch kader Inleiding
Het gaat er uiteindelijk om dat studenten leren reken-wiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool te verzorgen. Daarom start dit hoofdstuk met een korte inleiding over realistisch reken-wiskundeonderwijs, de in Nederland dominante stroming binnen de didactiek. Vervolgens wordt een indruk gegeven van de wijze waarop internationaal wordt aangekeken tegen de kennis die nodig is dit reken-wiskundeonderwijs te verzorgen, waarna de Nederlandse situatie onder de loep wordt genomen: de kennisbasis, opleidingsdidactiek die beoogt studenten de kennis uit de kennisbasis te laten verwerven, een analyse van bestaande materialen die hierbij behulpzaam moeten zijn en kenmerken van opleiders die het onderwijs moeten vormgeven. Tenslotte wordt de situatie op Pabo Groenewoud beschreven en eindigt dit hoofdstuk met een korte samenvatting: de probleemdefinitie.
Realistisch rekenwiskundeonderwijs
Realistisch rekenen-wiskunde is een ontwikkeling die in gang is gezet als een reactie op het mechanistisch rekenen en op de zogenaamde New Math in de jaren 70 (Treffers, Moor, & Feijs, 1989; Treffers, 2010i en ii). Het gaat uit van een constructivistische visie op leren, die leidt tot vijf onderwijsprincipes (Treffers, Moor, & Feijs, 1989): • Het onderwijs sluit aan bij de betekenisvolle realiteit van kinderen. • Het onderwijs verschaft de leerlingen hulpmiddelen als modellen en materialen om de afstand tussen het werken op concreet niveau en handelen op abstract niveau te overbruggen. • Het onderwijs stelt leerlingen in staat eigen oplosprocedures te ontwikkelen en zelf opgaven te produceren. • Het onderwijs is interactief: biedt ruimte voor uitwisseling van ideeën , argumenten, etc. • Leergangen uit verschillende leerstofgebieden moeten zoveel mogelijk met elkaar verstrengeld worden. Keijzer en Kool (Keijzer & Kool, 2012) noemen als belangrijkste kenmerk dat leerlingen aan de hand van open problemen hun eigen oplossing zoeken en op hun eigen niveau werken waarmee zij een bij realistisch reken-wiskundeonderwijs passende opvatting van ‘werken op niveau’ geven. Na de inmiddels geluwde discussies over realistisch- versus traditioneel rekenen van enkele jaren geleden (KNAW, 2009) zijn de methodes die op dit moment in de basisschool worden gehanteerd nog steeds van realistische signatuur (Scheltens, Hemker, & Vermeulen, 2011). Een recente, door het onderwijsveld breed gedragen, publicatie over ernstige rekenproblemen en dyscalculie (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) gaat ook uit van deze visie op reken-wiskundeonderwijs. Om realistisch reken-wiskundeonderwijs te verzorgen is gedegen kennis van leerstof en didactiek vereist. De Volgende paragraaf gaat over de vraag om welke kennis het gaat en hoe deze geleerd kan worden.
4.3
Mathematical knowledge for teaching
Hill, Rowan en Ball (2005) laten zien dat kennis van wiskunde van de leerkracht een positief effect heeft op prestaties van leerlingen, waar eerdere studies vooral hun focus hadden op de relatie tussen leerkrachtgedrag en leerkrachtkarakteristieken en leereffecten van leerlingen. Om nauwgezetter aan te kunnen geven om welke kennis van wiskunde het daarbij gaat komen Ball, Thames & Phelps (2008), voortbordurend op het werk van Shulman, tot onderstaande classificatie van kennis van rekenen-wiskunde.
7
Afbeelding 1 Schema Mathematical Knowledge for Teaching (Ball, Thames, & Phelps, 2008)
De categorieën worden hieronder besproken, aangevuld met inzichten van andere auteurs. • CCK: common content knowledge. Algemene wiskundige kennis, vergelijkbaar met basale gecijferdheid: het kunnen oplossen van opgaven die de leerlingen maken (Oonk, Zanten, & Keijzer, Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling, 2007). CCK veronderstelt ook kennis die niet-leraren ook hebben. • SCK: specialised content knowledge. Wiskundige kennis en vaardigheden die uniek zijn voor onderwijzen. Het betreft hier diepgaande, flexibele en gespecialiseerde kennis van de basisschoolleerstof (Kool & Keijzer, 2012). Ball et al. (2008) sommen een aantal specifieke taken op waarin om deze kennis wordt gevraagd. • HCK: horizon content knowledge. Kennis over de verbinding van de wiskunde die aan de orde is met doelen en inhouden die verderop in de leerlijn aan bod komen, ook in het vervolgonderwijs (Kool & Keijzer, 2012). Daarnaast gaat het om relaties tussen verschillende onderwerpen (Groot, 2012). HCK is mogelijk geïntegreerd me andere categorieën, dit is nog onduidelijk (Ball, Thames, & Phelps, 2008). • KCT: knowledge of content and teaching. Kennis over inhoud en onderwijzen. • KCS: knowledge of content and students. Begrijpen hoe leerlingen denken en op problemen anticiperen. • KCC: knowledge of content and curriculum. Kennis over inhoud en het curriculum. Ball et al. hebben het sterke vermoeden dat de wiskunde die nodig is voor leraren anders van aard is en anders zou moeten worden geleerd dan via puur op de wiskunde gerichte cursussen. Eén van de onderzoeksrichtingen voor vervolgonderzoek die zij voorstellen is of en hoe verschillende benaderingen voor het opleiden van leraren effect hebben op specifieke onderdelen van de pedagogische inhoudskennis. Tijdens het in 2012 gehouden International Congress on Mathematical Education (ICME-12) was één van de studiegroepen gewijd aan wiskundige kennis voor het onderwijzen op de basisschool (Mathematical knowledge for teaching at primary level). Het ging hierbij om de aard van de kennis en om de manieren om deze te onderwijzen. Men pleit voor het koppelen van professionele ontwikkeling aan onderwijzen en aan curriculummaterialen (Jakobsen, Thames, Ribeiro, & Delaney, 2012), ook waar het meer geavanceerde wiskunde betreft. Jakobsen et al. geven enkele voorbeelden van de wijze waarop meer geavanceerde wiskundekennis een rol kan spelen in een lessituatie in de basisschool. Ze stellen daarnaast dat het bij HCK vaak gaat om wiskundige structuren die al in de wiskunde van de basisschool opgesloten zitten. Het leren ervan start met beide voeten op de grond van de basisschool en strekt zich, vanuit dat perspectief, uit tot de wiskundige horizon. Zij constateren
8
dat het gronden van meer geavanceerde wiskunde in de context van de basisschool weliswaar niet nieuw is, maar nog niet systematisch ontwikkeld. Taveau (2012) geeft als voorbeeld van een ontwerp voor opleidingsonderwijs waarin het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek plaatsvindt een uitwerking waarin onder andere het ‘handenschudprobleem’ naar voren komt, een vraagstuk dat in de Nederlandse opleidingen al enige decennia een rol vervult (Groenewoud, 1991). Handen schudden: een groep studenten die elkaar niet kent schudt elkaars handen. Hoeveel handen worden geschud? Thanheiser (2012) voert aan dat het om studenten te motiveren nodig is om hen bewust te maken van het feit dat ze nog veel te leren hebben, bijvoorbeeld bij het analyseren van leerlingenwerk. Marcinek (2012) geeft een aantal werkvormen om studenten te richten op het wiskundig denken van andere studenten: • het beoordelen van werk van andere studenten, in gesprek gaan met de medestudenten over de beoordeling en de beoordeling naderhand bijstellen; • het uitschrijven van een oplossing op een vraagstuk waarna de oplossing door een andere student wordt gepresenteerd; • een vraagstuk oplossen door studenten onder begeleiding van een andere student; • een dialoog schrijven met een student naar aanleiding van een oplossing op een vraagstuk. Zijn voorlopige bevindingen zijn dat studenten zich bewust worden van valkuilen bij het interpreteren van andermans oplossingen. Hij doet geen uitspraken over de mate waarin studenten wiskunde hebben geleerd. Nu een indruk is gegeven van de wijze waarop er internationaal wordt aangekeken tegen kennis van de wiskunde die nodig is om te onderwijzen en de wijze waarop deze geleerd kan worden, wordt het tijd de Nederlandse situatie onder de loep te nemen.
4.4
Kennisbasis
De Nederlandse situatie is niet zonder meer vergelijkbaar met die in het buitenland (Kool & Keijzer, 2012). Zo blijkt uit de Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M) (Tatto, et al., 2012) dat: • de kwaliteit van instromende studenten ertoe doet; • er grote verschillen tussen landen zijn; • het helpt als het beroep van leraar een goede status heeft. Het TEDS-M rapport onderscheidt verschillen in curricula van de basisschool en van de opleidingen, kwaliteit van de rekenlessen en van opleidingen. Het niveau van de wiskunde in de kennisbasis in Nederland ligt onder dat van de Aziatische landen, hoewel het de vraag is in hoeverre dat invloed heeft op de kwaliteit van het onderwijs omdat daar specifieke kennis van de wiskunde wordt gevraagd, meer dan geavanceerde kennis (Kool & Keijzer, 2012). Al voor het verschijnen van de kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo is in Nederland beschreven waar de reken-wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten die nodig zijn om het vak te onderwijzen uit zouden moeten bestaan (Oonk, Zanten, & Keijzer, 2007): • het verwerven van elementaire rekenvaardigheid, in het bijzonder het oplossen van opgaven uit reken-wiskundemethoden voor de basisschool; • het herkennen van wiskunde in de eigen omgeving en die van kinderen; • het gericht zijn op oplossingsprocessen bij het (laten) oplossen van reken-wiskundeproblemen; • het inspelen op het wiskundig denken van leerlingen. Deze elementen van professionele gecijferdheid hebben betrekking op dezelfde zes elementen van de kennis die Ball et al. (2008) beschrijven.
9
In de inleiding op de kennisbasis geven van Zanten, Barth, Gool, & Keijzer (2009) aan hoe zij vanuit onder andere de classificatie van Ball et al.(2008), de classificatie uit de beschrijving van de referentieniveaus (Meyerink, 2009) en die van professionele gecijferdheid gekomen zijn tot de volgende indeling van de kennisbasis: • Kennis van rekenen-wiskunde. • Reken-wiskundige kennis die specifiek is voor leerkrachten basisonderwijs. • Maatschappelijke relevantie/verstrengeling. Uit de hoek van Beter Onderwijs Nederland kwam nog een kritisch tegengeluid (Stichting Goed Rekenonderwijs, 2009), leidend tot een alternatieve kennisbasis. Kenmerken van dit alternatief zijn een sterke gerichtheid op formele procedures, een ontkenning van het bestaan van de rekenmachine en van handig rekenen. Deze kennisbasis heeft echter geen vervolg gekregen in wetgeving en voor het pabocurriculum. Een deel van de in de kennisbasis beschreven wiskundige kennis is niet direct zichtbaar in de basisschool. Dit was voor veel opleidingen een nieuw gegeven en heeft niet alleen maar tot positieve reacties geleid (van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012; Boersma, 2013; Groot, 2012; Keijzer & Vries, 2013; van Stralen, 2012). Docenten vragen zich bijvoorbeeld af of de kennis relevant is voor de beroepspraktijk en of studenten of opleiders overvraagd worden. De wijze waarop studenten de kennis uit de kennisbasis verwerven zou moeten passen binnen de visie op opleidingsdidactiek van de opleidingen. Deze wordt hieronder besproken, waarbij tevens het begrip didactiek wordt uitgediept.
5
Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde
Analoog aan de onderliggende visie op rekenwiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool is er in Nederland sprake van een constructivistische kijk op opleidingsonderwijs voor rekenen-wiskunde en didactiek (Goffree & Dolk, Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde & didactiek op de pabo, 1995). Een iconisch ontwerp dat aansluit op deze aanpak is het ‘Land van Okt’ (Goffree, Het Land van Okt, 1995) waarin studenten aan de hand van een metafoor van stripfiguren met vier vingers leren rekenen in het achttallig stelsel. Maar vooral aan den lijve ervaren wat cruciale momenten zijn in de leerlijn getallen en bewerkingen. In (Goffree & Dolk, Proeve, 1995) wordt de werkvorm ‘Mathematisch-didactisch practicum’ gedefinieerd als een vorm waarin studenten werken aan opgaven waardoor hun kennis en vaardigheden in rekenenwiskunde op een hoger niveau gaan functioneren en werken aan opgaven waardoor hun kennis in onderwijsen leerprocessen wordt uitgebreid. Uit de voorbeelden die zij noemen blijkt dat het hier, wat de wiskunde betreft, vooral gaat om inhouden uit de basisschool. Gestimuleerd door de mogelijkheden die ict biedt is er de laatste jaren een didactiek ontwikkeld waarbij studenten leren van praktijksituaties aan de hand van video’s met vragen en verdiepende teksten (Dolk, Faes, Goffree, Hermsen, & Oonk, 1996; Oonk, Keijzer, Lit, Amse, Barth, & Lek, Reken-wiskunde in de praktijk, Onderbouw, 2010i en 2010ii). Een deel van de pabo’s heeft wat de meer geavanceerde wiskunde betreft, de koppeling van inhoud en beroepscontext losgelaten. Dit heeft vermoedelijk geleid tot motivatieproblemen bij studenten (Keijzer & Kool, 2012). Een deel van de opleiders spreken zijn zorg uit over het verlaten van de reconstructiedidactiek en zijn bevreesd dat studenten reproductiegericht gaan leren (Van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012).
5.1
Didactiek
Van Dale (Van Dale, 2009) geeft de volgende omschrijving van het begrip didactiek: de kunst van het onderwijzen. Kennis van didactiek en vakkennis gaan hierbij hand in hand waarbij het onderscheid tussen de twee niet scherp is te leggen. Ter illustratie hiervan volgt een citaat van een gedeelte van de beschrijving van een van 10
de vier vakdidactische competenties zoals die in de kennisbasis (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009) is beschreven: Ook kan de leerkracht beoordelen of oplossingsmethoden perspectief bieden voor langlopende leerprocessen rekenen-wiskunde. Hetzelfde geldt voor strategieën op verschillende abstractieniveaus - contextgebonden, met modellen of materialen en formeelabstract. Kennis over didactiek en over wiskunde gaan hier hand in hand. Het begrip onderwijzen verwijst naar handelingen van de leerkracht. Kijkend naar de kennis die daarvoor nodig is kan het begrip didactiek worden verrijkt door er kennis over leren in op te nemen. Zo wordt in de kennisbasis herhaaldelijk gesproken over kennis over het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde. Deze vulling van het begrip didactische kennis wordt in dit onderzoek gehanteerd. Kennis over de leerinhouden staat hiermee constant in wisselwerking. Het lijkt vanzelfsprekend dat kennis van wiskunde voorwaardelijk is om kennis over de didactiek ervan te verwerven. In de opleiding is het werken aan kennis over didactiek echter een belangrijke aanjager voor het werken aan wiskundige kennis, zie bijvoorbeeld Kool & Keijzer (2012). Kennis over leren en onderwijzen impliceert ‘specialised content knowledge’. Hoewel het hier gaat om kennis van de wiskunde en niet om kennis van de didactiek gaat het hier om kennis die door studenten op de opleiding moet worden verworven. ‘In samenhang met didactiek’ kan in dit onderzoek dus ook betekenen dat studenten door te leren van meer geavanceerde wiskunde hun sck over inhouden die wel op de basisschool aan de orde zijn verrijken. Als het gaat om opleidingsonderwijs waarbij het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek gebeurt wordt de didactiek van rekenen-wiskunde op de basisschool bedoeld. Het gaat er dus niet om dat studenten de didactiek van de meer gevanceerde wiskunde leren.
5.2
Bestaande materialen
5.3
Opleiders
Om na te gaan of er al materialen voor studenten beschikbaar zijn waarin de meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek wordt aangeboden zijn onderstaande methodes geanalyseerd (zie Bijlage 2: Analyse bestaande methodes): • Kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011). • Rekenen-wiskunde in de praktijk, onderbouw en bovenbouw (Oonk, et al., 2010i) en (Oonk, et al., 2010ii). • Serie Reken-wiskunde didactiek van ThiemeMeulenhoff, hele getallen en meten en meetkunde (Zanten, Berg, Hutten, & Meijer, 2010) en (Zanten, Brom-Snijders, Bergh, Meijer, & Vrolijk, 2007) Het gaat hierbij om de in Nederland meest gebruikte publicaties. De vraag hierbij was of en in hoeverre de methodes aandacht besteden aan meer geavanceerde wiskunde-inhouden en in hoeverre dit gebeurt in samenhang met didactiek. De onderwerpen die zijn bekeken zijn talstelsels en (ontluikende) algebra. Deze keuze hangt samen met de inventarisatie die op Pabo Groenewoud is gemaakt (zie hieronder). De conclusie is dat er niet of sporadisch aandacht is voor de wiskunde die het niveau van de basisschool overstijgt. Als er daarbij al aandacht is voor didactiek dan gebeurt dat door het stellen van een enkele vraag. Van echte samenhang waarbij, in een les of in een hoofdstuk, tegelijkertijd wordt gewerkt aan wiskundige en didactische doelen, is geen sprake.
Het hogere niveau aan rekenwiskundige kennis stelt eisen aan de opleiders. Een deel van de opleiders heeft geen wiskundebevoegdheid en voelt zich onvoldoende thuis in de rekenwiskunde-inhouden die het niveau van de basisschool overstijgen en de bijbehorende didactiek (Keijzer & Zanten, 2010). Daarbij komt dat de verhoging van het aantal contacturen rekenen-wiskunde ertoe leidt dat er nieuwe opleiders moeten komen. Omdat er geen opleidingen zijn tot docent rekenen-wiskunde ligt hier een probleem (Keijzer & Zanten, 2010).
11
6
Praktijkverkenning
Om na te gaan in hoeverre pabodocenten in Nederland het onderwerp van het onderzoek relevant vinden is er een vragenlijst (Boersma, 2013) ontworpen. De conceptlijst is becommentarieerd door leden van de ELWIeR-onderzoeksgroep, bijgesteld en landelijk uitgezet. 47 docenten van 27 verschillende opleidingen hebben gereageerd. Uitgaande van 130 pabodocenten in Nederland (Groot, 2012) komt dit neer op een respons van 36%. De volgende stellingen werden voorgelegd: 1.
Ik weet wat de wiskunde-inhouden uit de kennisbasis zijn die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool. 2. Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. 3. Komend schooljaar onderwijs ik deze wiskunde aan studenten op de pabo. 4. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. 5. Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden. 6. Ik zie de relevantie van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool voor de beroepsontwikkeling van de student. 7. Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek. 8. Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen. 9. Ik zou graag één of enkele ontwerpen uit willen proberen. 10. Zijn er naast de in de achtergrond genoemde onderwerpen andere onderwerpen waarvoor je graag over een didactisch ontwerp zou beschikken? Zo ja welke zijn dat? De items werden gescoord op een schaal van 1-5 waarbij 1 staat voor ‘helemaal niet’ en 5 voor ‘zeer zeker’. Een overzicht van de respons staat in bijlage 3. Uit de grote spreiding van de respons bij stelling 5 blijkt dat de respondenten verschillend denken over het in samenhang met didactiek aanbieden van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool aan studenten.
Aantal Percentage
1 4 8,5
2 9 19,1
3 9 19,1
4 10 21,3
5 15 31,9
Totaal 47 100,0
Tabel 1: Respons bij stelling 5.
Hieronder staat een tweetal citaten dat deze tegenstelling illustreert. Docent 16: Het integreren met didactiek kost mijnsinziens teveel tijd en het levert niet een winst op die voor de student direct zichtbaar is. Rekenen is voor de meeste studenten al lastig genoeg. Daarbij is het mijn ervaring dat we niet alles uit de kennisbasis in ons curriculum kwijt kunnen, en daarom zou ik prioriteiten elders leggen als er extra tijd komt voor rekenen. Docent 31: Geïntegreerd met didactiek betekent voor mij in ieder geval: laten zien op welke manier opdrachten en projecten voor leerlingen beter en rijker worden wanneer de leerkracht meer van een onderwerp weet, ook al ga je niet alle kennis overdragen. Het is vergelijkbaar met de redenering waarom ook kleuterjuffen iets van breuken moeten weten: die leerlijn begint al bij de kleuters. Zo lopen de leerlijnen na groep 8 ook door: je moet 'natuurlijk' weten voor welke theorie je de voedingsbodem aan het leggen bent. De belangstelling voor het onderwerp blijkt groot, waarbij een score van 4 of 5 op de 5-puntschaal als positief is gelabeld. Zo geeft 87% van de respondenten aan een artikel over het onderwerp in zijn geheel te zullen
12
lezen, is 72% van de respondenten van plan een presentatie over het onderwerp tijdens een conferentie te bezoeken en zou 79% van de respondenten die daartoe in de gelegenheid is komend schooljaar een ontwerp in de eigen situatie uit willen proberen. Een deel van de docenten voelt zich onvoldoende (score van 1, 2 of 3 op de 5-puntschaal bij item 2 en 4) in staat om opgaven met meer geavanceerde wiskunde te maken of er studenten in te onderwijzen. Bij item 2 gaat het om 15% van de docenten, bij item 4 om 17%. Om na te gaan of er verschillen zijn tussen docenten met of zonder wiskunde in hun vooropleiding en tussen mannelijke en vrouwelijke docenten is er een Mann-Whitney test bij deze twee items uitgevoerd. Wiskunde in de vooropleiding wordt gedefinieerd als het hebben van een eerste- of tweedegraads wiskundebevoegdheid of een opleiding aan een TU. De door velen genoemde cursus van het Freudenthal Instituut wordt niet als wiskundige vooropleiding gezien. Uit de test blijkt dat docenten zonder wiskunde in de vooropleiding en vrouwelijke docenten significant lager scoren op stelling 2 en 4 dan docenten met wiskunde in de vooropleiding respectievelijk mannelijke docenten. In het eerste geval is er een kans van 0,000 bij zowel item 2 als item 4 dat dit resultaat op basis van toeval is verkregen, in het tweede geval zijn deze kansen 0,0015 en 0,006. Stelling 2 4
Zonder wiskunde n Mean rank 24 17,52 24 17,60
Met wiskunde n Mean rank 23 30,76 23 30,67
Overig p 0,000 0,000
effectgrootte 0,53 0,53
Tabel 2: Resultaten Mann-Whitney test voor respondenten met en zonder wiskunde in de vooropleiding.
Stelling 2 4
Mannen n Mean rank 24 29,33 24 28,40
Vrouwen n Mean rank 23 18,43 23 19,41
Overig p 0,0015 0,006
effectgrootte 0,44 0,37
Tabel 3: Resultaten Mann-Whitney test voor mannelijke en vrouwelijke respondenten.
Omdat er meer vrouwen dan mannen zonder wiskunde in de vooropleiding zijn is er een Kruskal-Wallis test uitgevoerd bij stelling 2 en 4 waarbij de respondenten in vier groepen zijn verdeeld. Vrouwen zonder wiskunde in de vooropleiding blijken de laagste gemiddelde rang te hebben. Deze blijkt significant lager te zijn dan de score van mannen zonder wiskunde (p = 0,0195 bij stelling 2 en 0,001 bij stelling 4) Stelling 2
Vooropleiding Met wiskunde Zonder wiskunde
4
Met wiskunde Zonder wiskunde
Geslacht Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw Man Vrouw
N 14 9 10 14 14 9 10 14
Gemiddelde rang 33,64 26,28 23,30 13,39 29,61 32,33 26,70 11,11
Tabel 4: Resultaten Kruskall-Wallis test bij stelling 2 en 4.
Een overzicht van de respons op stelling 2 en 4, uitgesplitst naar vooropleiding en geslacht, staat in bijlage 3.
13
Er blijkt geen relatie tussen de respons bij item 2 en 4 en die bij item 5, waarin gevraagd wordt naar de voorkeur om meer geavanceerde wiskunde al of niet in samenhang met didactiek te onderwijzen (rs is -0,110 respectievelijk 0,019 met p = 0,462 respectievelijk 0,897). Conclusies: • Het onderwerp van het onderzoek wordt door pabodocenten in Nederland als relevant ervaren. • Een deel van de pabodocenten acht zich onvoldoende in staat meer geavanceerde wiskunde te onderwijzen, hetgeen aansluit bij de bevindingen van Keijzer & Zanten (2010). • De eigen inschatting van het niveau van professionele gecijferdheid ten aanzien van meer geavanceerde wiskunde heeft geen relatie met de wens deze wiskunde al of niet in samenhang met didactiek te onderwijzen.
6.1
Situatie op Pabo Groenewoud
6.1.1 Curriculum
Op Pabo Groenewoud werken studenten aan de hand van beroepstaken. De diverse vak- en leergebieden leveren hierbij de inhouden. In de bijdragen van rekenen-wiskunde aan de beroepstaken wordt geïntegreerd gewerkt aan didactische en rekenwiskundige kennis, vaardigheden en attitude. Vanaf pabo 2 volgen studenten een jonge kind (groep 1 t/m 4) of een oudere kind (groep 5 t/m 8) specialisatie. Nog voor het verschijnen van de toetsgids (Vakcommissie, 2013) is door de onderzoeker nagegaan welke onderwerpen uit de kennisbasis niet in het curriculum aan bod kwamen (Bijlage 1: Inventarisatie Pabo Groenewoud). De betreffende inhouden worden in schooljaar 2012-2013 in een aparte lijn aan de tweedejaars aangeboden, in het schooljaar 2013-2014 doorlopend in het derde jaar. Deze lijn staat los van het werken aan beroepstaken en los van lijn didactiek rekenen-wiskunde. De werkwijze is ingegeven door tijdnood en door het gegeven dat door de inhouden apart aan te bieden de uitvoering gedaan kan worden door een wiskundig geschoolde docent. Uit de inventarisatie blijkt dat er een tiental onderwerpen in het reguliere curriculum onvoldoende aandacht krijgt. Twee daarvan springen er qua omvang uit: talstelsels en (ontluikende) algebra. Daarom wordt ervoor gekozen om deze onderwerpen te betrekken in het ontwerp.
6.1.2 Docenten en studenten
Op Pabo Groenewoud werken in schooljaar 2013-2014 zes docenten rekenen-wiskunde en didactiek, waarvan één met een tweedegraads- en één met een eerstegraadsbevoegdheid wiskunde. Het percentage docenten met een wiskundebevoegdheid ligt hiermee onder dat van de respondenten bij de navraag naar de relevantie van het onderzoek (Boersma, 2013). Dat ligt op 49%. In diverse overleggen is het onderwerp van het onderzoek besproken. Daarnaast is met een drietal collega’s een kort interview gehouden. De bevindingen over de studenten komen uit die interviews. Iedere docent vindt het een verbetering als wiskunde inhouden aan didactiek zouden worden gekoppeld. Nu gebeurt dat incidenteel en ad hoc als de uitvoerende docent studenten ondersteunt en refereert aan elementen van de didactiek op de basisschool. Vragen als: ‘Hoe zou je kinderen hiermee helpen?’, met als doel dat de student dezelfde middelen inzet om zichzelf te helpen. Van echte samenhang met didactiek is geen sprake. Dit is in de huidige opzet ook niet de bedoeling. De uitvoerende docenten geven aan dat studenten gemotiveerd aan de opgaven werken in de bijeenkomsten. Motivatieproblemen zoals deze in Kool & Keijzer (2012) worden geconstateerd doen zich niet voor. Thuis oefenen doet slechts een deel van de studenten. Studenten ervaren het niet als een probleem dat ze een deel van de inhouden al in het voortgezet onderwijs tegen zijn gekomen (wat overigens niet voor iedere student het geval is). Ze vinden het fijn als deze even worden opgehaald, ook de studenten met vwo als vooropleiding. Wel hebben studenten soms vragen bij de relevantie van bepaalde inhouden, zoals bijvoorbeeld talstelsels. 14
Daarnaast zouden ze er prijs op stellen als ze zouden kunnen werken uit een boek. Dit zou houvast geven bij de vraag of ze voldoende op niveau zijn. Niet iedereen blijkt de toetsgids, die ook als doel heeft dit houvast te geven, te bestuderen. De docenten denken verschillend over het belang van de meer geavanceerde wiskunde voor de ontwikkeling van studenten. Waar de ene docent (met een tweedegraads wiskundebevoegdheid) het analytisch leren denken, gestimuleerd door te werken aan deze inhouden, van belang vindt, zijn anderen bezorgd dat door de verhoogde eisen kwaliteit verloren gaat. Men is het erover eens dat het goed zou zijn als tenminste een deel van de docenten in het basisonderwijs wel over deze kennis zou beschikken. Die docenten zouden dan bijvoorbeeld beter op goede leerlingen in de bovenbouw kunnen reageren. De docenten zonder wiskundige achtergrond onderkennen problemen bij zichzelf met het flexibel inspelen op vragen en denkwijzen van studenten. Het gaat hier om dezelfde bekwaamheden als die we van studenten vragen in relatie met leerlingen van de basisschool (Oonk, Zanten, & Keijzer, Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling, 2007). De docenten geven aan dat zij, om deze vaardigheden te ontwikkelen, tijd nodig hebben. Tevens dat gesprekken met collega’s over de leerstof en de bijbehorende opleidingsdidactiek en het gezamenlijk voorbereiden van lessen hen hierbij zouden helpen.
6.2
Probleemdefinitie
Hoewel veel onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten vinden dat het leren van wiskunde die nodig is om het vak te kunnen onderwijzen in de voor studenten betekenisvolle context van het onderwijs zelf plaats zou moeten vinden zijn er weinig uitgewerkte voorbeelden van hoe dit dan zou moeten als dit wiskunde betreft die niet direct zichtbaar is in de basisschool. In de praktijk wordt deze wiskunde veelal als een aparte lijn aangeboden. Er is dus een discrepantie tussen de door velen gewenste en de bestaande situatie, ook op de pabo’s van de HAN.
15
7
Doel
Het doel van het onderzoek is na te gaan of en hoe het mogelijk is om, aan de hand van de vanuit het vooronderzoek gevonden ontwerpprincipes, opleidingsonderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek te ontwerpen waarbij meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek onderwezen wordt. De ontwerpprincipes kunnen gebruikt worden bij het verder ontwikkelen van het curriculum (rekenenwiskunde en didactiek) op Pabo HAN maar ook op andere pabo’s in Nederland. De ontwerpen zijn een middel, maar ook een doel. Er is immers geconstateerd dat er nog weinig opleidingsonderwijs is dat meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek bevat.
16
8
Onderzoeksvraag, ontwerphypothese, ontwerpprincipes Uit het theoretisch kader is een aantal ontwerpprincipes af te leiden. Die zullen worden verwerkt. Deze principes komen deels uit de internationale literatuur wat de vraag oproept of ze ook toepasbaar zijn op de Nederlandse situatie. Daarnaast wordt aangegeven dat nog onvoldoende bekend is over het effect van het op de principes gebaseerde opleidingsonderwijs op studenten. Door ontwerpen te maken en uit te proberen hoopt de onderzoeker erachter te komen of de principes leiden tot een bruikbaar ontwerp. Tevens hoopt hij de principes aan te kunnen scherpen en aanvullingen te kunnen formuleren.
8.1
Onderzoeksvraag
Hoe kan opleidingsonderwijs aan pabostudenten er uitzien waarmee het in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde - over de onderwerpen talstelsels en ontluikende algebra - ondersteund wordt?
Hierbij worden onderstaande ontwerpprincipes gebruikt: • de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm ‘Wiskundigdidactisch practicum. Tevens wordt hierbij gewerkt aan specialised content knowledge met betrekking tot wiskunde-inhouden van de basisschool); • het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van ‘horizon content knowledge’, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); • er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); • het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. De eerste drie principes worden afzonderlijk of in samenhang gehanteerd. Elk ervan wordt minimaal in één ontwerp verwerkt. Principe vier wordt in elk ontwerp verwerkt.
8.2
Hypothese
8.3
Deelvragen
De hypothese is dat, als het ontwerp voldoet aan de specifieke ontwerpprincipes, het mogelijk is om opleidingsonderwijs te ontwerpen waarbij studenten werken aan kennis van wiskunde en didactiek in samenhang. Mogelijk worden de ontwerpprincipes aangescherpt, verfijnd en aangevuld.
Maslowski & Visscher (1997) noemen criteria en vragen die bij een formatief evaluatieonderzoek een rol spelen: • • •
Het ontwerp is qua aantrekkingskracht, toegankelijkheid, begrijpelijkheid en bruikbaarheid voldoende afgestemd op de kenmerken van de doelgroep (de mate van 'publieksafstemming'). In hoeverre zijn de beoogde effecten van het ontwerp in termen van kennis, attitude, vaardigheid en gedrag optreden? Wat zijn potentiële ongewenste effecten van het ontwerp en hoe kunnen deze voorkomen worden?
Toegepast op dit onderzoek leidt dat tot de volgende deelvragen:
17
Leidt het hanteren van de specifieke ontwerpprincipes ertoe dat de student: 1. de relevantie van de meer geavanceerde wiskunde voor zijn ontwikkeling inziet en dat hij gemotiveerd is om eraan te werken?; 2. zich de meer geavanceerde wiskunde eigen maakt?; 3. zich de didactische inzichten die in samenhang met die wiskunde aan de orde zijn, eigen maakt? Leidt het hanteren van ontwerpprincipe 4 ertoe dat de pabodocent rekenen-wiskunde, al of niet met wiskundebevoegdheid: 4. in staat en gemotiveerd is om het ontwerp in zijn onderwijs in te zetten? Hierbij wordt onder ‘eigen maken’ verstaan dat de student de wiskundige kennis beheerst op het niveau van toepassen uit de taxonomie van Krathwohl (2002) en de vakdidactische kennis op het niveau van evalueren.
8.4
Ontwerpcriteria (generiek)
Er is een aantal principes dat niet specifiek is voor dit onderzoek maar dat wel van belang is om een ontwerp te laten slagen. Hierbij worden ontwerpprincipes voor studentmateriaal en voor docentmateriaal onderscheiden. Met betrekking tot het studentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: • hanteert de onderwijsprincipes van realistisch rekenen-wiskunde; • maakt zichtbaar aan welke doelen wordt gewerkt. Dit betreft de wiskundige doelen uit de kennisbasis en de didactische doelen; • leidt ertoe dat de student deze doelen bereikt; • bevat een activiteit die de relevantie van de wiskundige inhoud voor de studenten verheldert; • bevat aanvullend oefenmateriaal; • bevat suggesties om het geleerde in de stagepraktijk te verdiepen; • bevat uitwerkingen; • is digitaal beschikbaar. Met betrekking tot het docentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: • biedt de mogelijkheid flexibele aanpassingen te doen om tegemoet te komen aan verschillen in lestijd, opleidingsconcept in diverse instellingen en lesstijl van de docent; • bevat opdrachten voor studenten die beschikbaar zijn in een PowerPoint presentatie en als werkmateriaal; • bevat uitwerkingen; • bevat een handleiding; • bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond; • is digitaal beschikbaar.
8.5
Inhoudsverkenning
Hieronder volgt een beknopte verkenning van de onderwerpen talstelsels en (ontluikende) algebra. Na de beschrijving volgt bij elk onderwerp een opsomming van relevante doelen uit de toetsgids. De verkenning eindigt met het formuleren van een aantal ontwerpcriteria die specifiek zijn voor het betreffende onderwerp. Omdat ook niet wiskundig geschoolde pabodocenten met de ontwerpen moeten kunnen werken staan in de ontwerpen zelf uitgebreider inhoudsverkenningen. In de ontwerpen zelf staan tevens de didactische doelen die ermee worden nagestreefd. Hiervoor is gekozen omdat de ontwerpen in een meer gevorderd stadium moeten zijn om de didactische doelen adequaat te
18
kunnen formuleren. Om alvast een beeld te geven staat bij het onderwerp talstelsels na de doelen uit de toetsgids een aantal didactische doelen.
8.5.1 Talstelsels
Aristoteles (in Boyer, 1989) heeft al geconstateerd dat het gebruik van het tientallig talstelsel slechts het resultaat is van een anatomische toevalligheid: de meeste mensen worden geboren met 10 vingers, ook in zijn tijd al. Boyer constateert fijntjes dat het vanuit wiskundig oogpunt beter was geweest als de oermens 4 of 6 vingers aan één hand had gehad. Een studie naar indianenstammen in de Amazone toont aan dat ongeveer eenderde van de stammen een tientallig, eenderde deel een vijftallig en ongeveer eentiende deel een twintigtallig talstelsel hanteerde (Menninger, 1979). De Babyloniers hanteerden het oudst bekende positiestelsel, met symbolen voor 10 en 1. Binnen een positie was dit stelsel additief. Het positiestelsel zelf was 60-tallig. De overblijfselen ervan bezorgen onze kinderen elk jaar nog hoofdbrekens bij het rekenen met tijd en, in mindere mate, het rekenen met hoeken. De Egyptenaren hanteerden een tientallig additief stelsel, de Romeinen een mengeling van vijf- en tientallig. Vanaf het getal 13 is er in het 10-tallig talstelsel een duidelijke verwijzing naar 10. Menninger (1979) geeft aan dat dit ook bij 11 en 12 het geval is. Elf betekent één-over en 12 twee-over. Hoewel de telwoorden al wel 10-tallig waren heeft het tot de dertiende eeuw geduurd voordat ze in Europa geschreven werden zoals ze werden uitgesproken, met de introductie van de Indische cijfers, die in Indie al vanaf 600 na Christus de basis vormden voor een 10-tallig stelsel. Vergelijk ons getal driehonderdvierentwintig. Wij schrijven 324, waarbij alleen de volgorde van de 2 en de 4 de uitspraak niet volgt. Voor invoering van de Indische cijfers werd dit geschreven als CCCXXIIII of CCCXXIV, maar al wel als driehonderdvierentwintig uitgesproken. In het basisonderwijs is er korte tijd een stroming geweest die poogde de leerlingen te leren rekenen door aan het begin van de leerlijn te starten met allerlei niet 10-tallige talstelsels. Door de opkomst van het realistische rekenen is deze trend niet doorgezet (Treffers, De stille rekenrevolutie, 2010i). Het rekenen in andere talstelsels wordt soms in het basisonderwijs gebruikt als reflectie op het geleerde. In sommige methodes werd bijvoorbeeld 8-tallig gerekend in groep 8. Uit het opleidingsonderwijs is het Land van Okt (Goffree, Het Land van Okt, 1995) bekend. In de informatica wordt het 2-tallig en 16-tallig stelsel gebruikt. Omdat geheugencellen in een computer twee waarden aan kunnen nemen worden getallen in computers voorgesteld als binaire getallen. Het 16-tallig stelsel maakt het mogelijk om snel en overzichtelijk 4 binaire cijfers te noteren.
Doelen uit de toetsgids (Vakcommissie, 2013): De student weet: • wat het verschil is tussen een getal en een cijfer; • wat bedoeld wordt met: positioneel getallenstelsel, plaatswaarde of positiewaarde, decimaal (positioneel) getallensysteem of talstelsel, binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. De student kent: • de betekenis van: eenheid, tiental, honderdtal, tiende, honderdste; • plaatswaarde, positieschema; • kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. De student kan: • Romeinse cijfers tot duizenden gebruiken;
19
• •
eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen.
Didactische doelen •
•
De student kent de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011), kan deze herkennen bij leerlingen, weet globaal langs welke lijnen leerlingen deze inzichten verwerven en welke kerndoelen erbij horen: • Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort. • Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat. De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) hem helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept.
Specifieke ontwerpcriteria Het ontwerp laat iets zien van de ontwikkeling van ons 10-tallig stelsel.
8.5.2 Ontluikende algebra
De overgang tussen rekenen en algebra wordt gemarkeerd door de overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt (Flores, 2002). Amerom (2002) constateert dat precies hierop de voornaamste leerproblemen van leerlingen betrekking hebben. Te onderscheiden zijn hierbij een proces- of een objectbenadering van algebra. Vanuit het rekenen zijn leerlingen bekend met de procesbenadering, bijvoorbeeld het opvatten van 3x+5 als ‘vermenigvuldig eerst met 3 en tel 5 bij het resultaat op’. Zij constateert tevens dat een rekenkundige benadering van algebra goed aansluit bij het niveau van leerlingen in groep 8. Vanuit een geschiedkundige benadering onderscheidt zij drie fasen in de ontwikkeling: • Retorische fase: beschrijvingen in natuurlijke taal. • Gesyncopeerde fase: beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. • Symbolische fase: de moderne algebraïsche symbolentaal. In functionele situaties gaat het bij algebra om het verband tussen grootheden. Deze verbanden worden door leerlingen al op jonge leeftijd gelegd, bijvoorbeeld in groep 4 bij de fase van begripsvorming in de leerlijn tafels. Als 1 auto 4 wielen heeft dan hebben 5 auto’s 5 keer 4 wielen. Verbanden waarbij sprake is van een evenredig verband komen we tegen bij vermenigvuldigen, delen en verhoudingen. We zien hier gebruik van natuurlijke taal en wiskundige symbolen. Bij niet evenredige verbanden gaat het om bijvoorbeeld het goedkoopste telefoonabonnement waarbij naast een vast bedrag per maand kosten per hoeveelheid belminuten moeten worden betaald. Vergelijkbaar van structuur is een situatie met voorrijkosten en uurloon voor de reparateur van de centrale verwarming. Onder functionele contexten horen ook allerlei vuistregels, bijvoorbeeld de regel die het verband aangeeft tussen de tijd die verstrijkt tussen de bliksem en de donder en de afstand van het onweer, het uitrekenen van de BMI of vuistregels voor het berken van de verwachte lengte van een kind als de lengte van de ouders bekend is. In het referentiekader (Meyerink, 2009) staat dit type contexten met name bij niveau 2F en 3F. In de kennisbasis komt in het hoofdstuk verbanden geen algebra naar voren. Het gaat daar om grafieken en schema’s. (Flores, 2002) beschrijft hoe geometrische representaties van relaties tussen getallen kunnen helpen bij de overgang van rekenen naar algebra. Tevens maakt hij duidelijk wat hierbij aandachtspunten zijn: • De overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt. 20
•
Het verschuiven van de focus op procedures naar eigenschappen van en relaties tussen getallen en bewerkingen. • De focus op de methode en het proces in plaats van op het antwoord. Deze aandachtspunten passen uitstekend binnen het realistisch reken-wiskundeonderwijs (Treffers, Moor, & Feijs, Proeve, 1989), waar ook eigen oplossingen en redeneringen van de leerlingen centraal staan alsmede het zoeken naar alsmaar efficienter werkwijzen en generaliseren, het zogenaamde verticaal mathematiseren. De geometrische representaties die Flores gebruikt zijn vooral rechthoeken en blokkenbouwsels. Beide representaties komen voor in het curriculum van de basisschool (Heuvel-Panhuizen, Buys, & Treffers, 2001; Gravemeijer, et al., 2007), waarbij uitsluitend het rechthoekmodel in de context van ontluikende algebra wordt ingezet. Neem het kwadraat van een heel getal, tel daar dat getal zelf en het daaropvolgende getal bij. Het resultaat is het kwadraat van dat volgende getal. 2
2
Bijvoorbeeld: 4 + 4 + 5 = 5
Afbeelding 2 Meetkundige representatie van eigenschappen van getallen en bewerkingen
Het zogenaamde ‘Schieten op 100’ (Treffers, Het rekentheater, 2010ii) maakt duidelijk hoe verweven rekenen en ontluikende algebra kunnen zijn in een opleidingscontext waar het gaat om differentiëren aan de hand van verschil in oplossingsniveau en om productief oefenen. Kies 2 getallen onder 20, bijvoorbeeld 4 en 16. Het derde getal is de som van deze 2 getallen: 20 Het vierde getal is de som van het tweede en het derde getal: 36 Zo ontstaat een rij getallen. Zoek begingetallen waarbij je op 100 uitkomt. In dit voorbeeld: 4 – 16 – 20 – 36 – 56 – 92 – mis! Oplossingen van studenten (observatie GB) variëren van lukraak proberen tot een meer systematische aanpak: • Wat gebeurt er als ik het eerste getal 1 ophoog? • Wat gebeurt er als ik het tweede getal 1 ophoog? • Kan ik ook bij 100 beginnen en teruguit werken? Studenten hanteren niet uit zichzelf een algebraïsche aanpak waarbij voor het eerste en het tweede getal in de rij een variabele wordt gekozen. Na interventie van de docent in de nabespreking kan het merendeel van de studenten deze werkwijze wel volgen.
21
Ziehier hoe een vraagstuk dat eind groep 4 op de basisschool al aan de orde kan worden gesteld voldoende uitdaging biedt voor volwassenen. Zeker als restricties worden losgelaten: breuken hanteren, negatieve getallen, schieten op 1000 of een andere getal. Bekende voorbeelden van algebra op de basisschool zijn formules voor oppervlakte van rechthoeken en voor inhoud van balkvormige figuren. Deze worden veelal vanuit het generaliseren van allerlei bijzondere gevallen opgesteld (Gravemeijer et al.,2007).
Doelen uit de toetsgids (Vakcommissie, 2013): De student kan: • regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt); • bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. • in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten; • grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. • rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen; • de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat; • de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens ‘opp. grondvlak × hoogte’) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat; • bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen;
Specifieke ontwerpcriteria Het ontwerp start met inhouden die in de basisschool zichtbaar zijn. Het ontwerp laat de overgang zien van specifieke uitspraken over afzonderlijk gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken. Het ontwerp maakt waar mogelijk gebruik van meetkundige representaties. Maakt gebruik van de 3 fasen in de ontwikkeling van algebra en de relatie ertussen.
22
9 9.1
Methode Dataverzameling
De procedure voor de dataverzameling is in het najaar van 2013 uitgeprobeerd en verder verfijnd. Het bleek belastend en soms niet uitvoerbaar om een voor- en nameting met alle studenten te houden. Daarnaast is de aard van het onderzoek verschoven naar ‘educational design research’ (McKenny & Reeves, 2012; Akker, Gravemeijer, McKenny, & Nieveen, 2006; Eerde, in press), met een grotere nadruk op de kwalitatieve kant. Dit heeft geresulteerd in onderstaande procedure, waarbij de data die in het najaar van 2013 zijn verzameld ook worden gebruikt. Tijdens de interventie wordt het schriftelijk werk van studenten verzameld. Onderdeel van dit schriftelijk werk is een korte reflectie. In een deel van de lessen wordt geobserveerd, soms door meerdere docenten.
Na afloop van de interventie worden per groep studenten van Pabo Groenewoud 4 tot 5 studenten bevraagd op: • De mate waarin de didactische doelen uit het ontwerp zijn behaald. • De mate waarin de wiskundige doelen uit het ontwerp zijn behaald, waaronder die met betrekking tot inhouden die voorafgaand aan de interventie zijn getoetst. • De door studenten ervaren relevantie van de wiskundige inhouden. • De voorkeur van studenten voor het al of niet in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde. Het protocol dat hierbij gehanteerd wordt staat in bijlage 4. De gesprekken worden opgenomen met behulp van een iPad en de app ‘Explain everything’ (MorrisCooke, 2013), waarmee ook het schriftelijk werk is vastgelegd. Minstens 10 ervan worden geanalyseerd met behulp van het programma ATLAS.ti (ATLAS.ti Scientific Software Development, 2013). Als verwacht wordt dat de andere gesprekken nog nieuwe informatie opleveren worden deze ook geanalyseerd. Dit voorbehoud wordt gemaakt omdat op dit moment niet te overzien is hoeveel tijd het analyseren kost. Het is op dit moment nog niet duidelijk in hoeverre docenten van andere pabo’s in staat zijn om hun studenten te bevragen. Na afloop van de interventie wordt de uitvoerende docent bevraagd op: • Didactische en inhoudelijke keuzes die hij heeft gemaakt. • De mate waarin hij zich ondersteund heeft gevoeld door het ontwerp. • Het bereiken van de lesdoelen door de studenten. • De voorkeur van de docent voor het al of niet in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde. De onderzoeker houdt een interview met de docent of de docent vult een vragenlijst in. De procedure met betrekking tot docenten wordt zowel voor docenten van Pabo Groenewoud als voor docenten van andere pabo’s gehanteerd. De bevindingen worden gebruikt om de ontwerpen bij te stellen en om tot een antwoord op de onderzoeksvraag te komen. De aard van design research maakt dat na elke uitvoeringen bijstellingen plaats kunnen vinden, waarbij de nadruk ligt op drie momenten: na de eerste ervaringen die in najaar 2013 worden opgedaan,in het voorjaar van 2014 en in het najaar van 2014. Het bijgestelde ontwerp krijgt een structurele plaats in het curriculum van Pabo Groenewoud en wordt ter beschikking gesteld aan de collega’s in Nederland
23
De leden van de ELWIeR onderzoeksgroep geven op gezette tijden feedback op ontwerp en onderzoek. Deze data worden verwerkt. De bijdragen aan de opleidersdag en de conferentie leveren naar verwachting feedback op. Deze wordt verwerkt.
Resumé
Data worden verzameld aan de hand van: • 20 tot 25 gesprekken met studenten. • Analyse van minstens 10 van deze gesprekken. • Interviews met minstens 6 docenten. • Analyse van studentenwerk. • Observaties in enkele lessen. • Gesprekken en bijeenkomsten met collega docenten en onderzoekers.
9.2
Onderzoeksgroep
9.2.1 Najaar 2013
Najaar 2013 bestaat de onderzoeksgroep uit studenten van de F2Vt-groep op Pabo Groenewoud, waarvan de onderzoeker de docent is, uit 4 groepen tweedejaarsstudenten en hun docenten. Daarnaast uit een aantal docenten van andere pabo’s. Hieronder volgt informatie over deze afzonderlijke groepen. De F2Vt groep heeft in het najaar 2013 zeven bijeenkomsten ter voorbereiding op de kennisbasistoets. Hier worden er drie aan toegevoegd om het mogelijk te maken dit onderzoek uit te voeren. Studenten zijn niet bezig met beroepstaken waarin didactiek van rekenen-wiskunde aan de orde is. Hier zit een mogelijke belemmering waar het gaat om studie-inspanningen buiten de bijeenkomsten om. Temeer omdat de beroepstaken die aan de orde zijn een hoge studielast hebben. Deze situatie is dus anders als wanneer ook in de beroepstaken en de toetsing ervan didactiek en wiskunde in samenhang naar voren komt. De ontwerpen Talstelsels en Ontluikende algebra worden uitgeprobeerd. In december 2013 nemen de studenten uit deze groep voor het eerst deel aan de toetsing van de kennisbasis. In de periode van november 2013 tot en met januari 2014 volgen de reguliere tweedejaarsgroepen een beroeptaak waarin rekenen-wiskunde en didactiek de hoofdinhoud is: ‘Denken en werken vanuit leerlijnen rekenen-wiskunde’. Eén les uit deze beroepstaak staat traditiegetrouw in het tekenen van het ´Land van Okt´. Studenten leren hier rekenen in het achttallig stelsel waarbij zij de didactiek van het aanvankelijk rekenen (tot en met het rekenen tot 100) aan den lijve ervaren. Les 1 uit het ontwerp Talstelsels wordt enkele weken voor deze les uitgevoerd. Alle groepen bestaan uit studenten waarvan de vooropleiding varieert van mbo tot vwo. Een deel van de studenten haalt zonder inspanning de landelijke kennisbasistoets (gesprekken met studenten, 2013), van een ander deel is het de vraag of zij in staat zullen zijn die toets, ook na een aantal pogingen, te halen (gesprekken met docenten, 2013). De onderzoeksgroep bestaat tevens uit alle betrokken docenten. Zij maken het niet alleen mogelijk gegevens van hun studenten te verkrijgen, maar zijn ook zelf onderwerp van onderzoek als het gaat om de vraag waar het ontwerp aan moet voldoen opdat docenten in staat en bereid zijn ermee te werken.
24
In het najaar van 2014 zijn twee docenten van Pabo Groenewoud betrokken. Daarnaast is de onderzoeker docent. De docenten krijgen de beschikking over het ontwerp en de lessen worden gezamenlijk doorgesproken en voorbereid. Enkele docenten van Hogeschool Inholland proberen het ontwerp Talstelsels uit. Zij ervaren dat teveel studenten problemen hebben met het achttallig stelsel en zien een mogelijke oplossing in de didactische aanpak uit het ontwerp.
9.2.2 Voorjaar 2014
In het voorjaar van 2014 is F2Vt geen onderdeel meer van de onderzoeksgroep. Het ontwerp Ontluikende algebra en de tweede les van het ontwerp Talstelsels worden uitgeprobeerd in de reguliere tweedejaarsgroepen als onderdeel van de lessenreeks die studenten voorbereidt op de kennisbasistoets in juni. Daarnaast zullen, naast docenten van Pabo Groenewoud, studenten en docenten van andere pabo’s betrokken zijn. Dit zijn in ieder geval docenten en studenten van Hogeschool Inholland en van de Christelijke Hogeschool Ede. De werkgroep op de ELWIeR conferentie heeft nog meer belangstellenden opgeleverd. Op dit moment is nog niet te overzien om in hoeverre de onderzoeksgroep hierdoor uitgebreid wordt. 4 Naar verwachting levert de werkgroep tijdens de Panama conferentie nog deelnemers op.
4
Landelijke conferentie voor opleiders, schoolbegeleiders, onderzoekers en andere belangstellenden over reken-wiskundeonderwijs. 25
9.3
Communiceren met beroepsgroep
9.4
Planning
Communiceren met de beroepsgroep gebeurt intern op Pabo Groenewoud in vergaderingen en bij de voorbereiding en uitvoering van de interventie in het najaar van 2013 en het voorjaar van 2014. Daarnaast wordt de onderwijskundig manager en de directie betrokken bij deze onderzoeksopzet en zullen zij kennis nemen van de resultaten van het onderzoek. Extern gebeurt dit door deelname aan de ELWIeR onderzoeksgroep, het schrijven van artikelen en het verzorgen van een werkgroep op de opleidersdag en op de Panamaconferentie. Daarnaast levert de navraag naar relevantie van het onderwerp nuttige aanwijzingen op.
Planning Probleemverkenning en literatuurstudie Onderzoeksopzet Ontwerp prototype Kleinschalig uitproberen Werkgroep ELWIeR conferentie
Artikel schrijven voor PanamaPost Werkgroep Panamaconferentie Doorontwikkeling ontwerp Grootschaliger uitproberen Werkgroep ELWIeR conferentie Workshop Panama conferentie Data verwerken en verslag schrijven Artikel schrijven voor PanamaPost
9.5
Najaar 12 – najaar 13, ook daarna waar relevant Zomer 13 Najaar 13 Najaar 13 November 13, programma: http://www.fisme.science.uu.nl/elwier/conferentie2013/boersma/ Najaar 13 en winter 14 Januari 14, programma: http://www.fisme.science.uu.nl/panama/ProgrammaPanama2014.pdf p. 40 Winter 1314 Voorjaar 14 November 14 Januari 15 Najaar 14 tot uiterlijk voorjaar 15 Najaar 14 tot uiterlijk voorjaar 15
Randvoorwaarden en middelen
In schooljaar 2013-2014 en 2014-2015 is er 1 dag per week beschikbaar voor het onderzoek en voor de activiteiten voor de ELWIeR onderzoeksgroep. Kosten voor boeken en overige studiefaciliteiten worden vergoed. De onderzoeker wordt in de gelegenheid gesteld de bijeenkomsten van de ELWIeR onderzoeksgroep (ongeveer 8 per jaar), de opleidersdagen en de Panama conferenties bij te wonen en er een bijdrage aan te leveren. De hieraan verbonden kosten worden vergoed.
26
10 Bronnen Akker, J. v., Gravemeijer, K., McKenny, S., & Nieveen, N. (2006). Educational Design Research. Abingdon: Routledge. Amerom, B. v. (2002). Reinvention of early algebra. Utrecht: Freudenthal Instituut. Ball, D., Thames, M., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education (59), 389-407. Boersma, G. (2013, Juni 27). Masteronderzoek. Opgehaald van https://www.box.com/files#/files/0/f/960451441/Delen_met_Huub_en_Ge Boyer, C. (1989). A history of mathematics. Hoboken: John Wiley & sons. Dale, V. (2009). Grote Woordenboeken. Dam-Schuringa, L. v., & Terlouw, B. (2012). Kennisbasis als fundament voor de opleiding. Panama Post , 23-29. Development, A. S. (sd). ATLAS.ti. Opgehaald van http://www.atlasti.com/index.html Dolk, M., Faes, W., Goffree, F., Hermsen, H., & Oonk, W. (1996). Multimediale Interactieve Leeromgeving voor aanstaande leraren basisonderwijs voor het vak rekenen-wiskunde & didactiek. Utrecht. Eerde, D. v. (in press). Design research: looking into the heart of mathematics education. PanamaPost . Fennema, E., & Romberg, T. (1999). Mathematics classrooms that promote understanding. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Flores, A. (2002). Geometric Representations in the Transition from Arithmatic to Algebra. Representations and Mathematics Visualisation - Part 1 , pp. 9-29. Goffree, F. (1995). Het Land van Okt. Groningen: Noordhoff. Goffree, F., & Dolk, M. (1995). Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde & didactiek op de pabo. Zutphen: Nauta. Gravemeijer, K., Figueiredo, N., Feijs, E., Galen, F. v., Keijzer, R., & Munk, F. (2007). Meten en meetkunde in de bovenbouw. Groningen/Houten: Wolters-Noordhoff. Groenestijn, M. v., Dijken, G. v., & Janson, D. (2012). Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie MBO. Assen: van Gorcum. Groenewoud. (1991). Handig tellen en combinatoriek. Groot, T. d. (2012). Toetsing Kennisbasis rekenen-wiskunde in lerarenopleidingen basisonderwijs: percepties en wensen van docenten. Helmond: Universiteit Utrecht/Hogeschool de Kempel Helmond. Heuvel-Panhuizen, M. v., Buys, K., & Treffers, A. (2001). Kinderen leren rekenen TAL. Groningen: WoltersNoordhoff. Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. (2005). Effects of Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching om Student Achievement. American Educational Journal , 42 (2), 371-406. Jakobsen, A., Thames, M. H., Ribeiro, C. M., & Delaney, S. (2012). Using practice to define and distinguish horizon content knowledge. 12th international congress on mathematical education. Seoul. Keijzer, R., & Kool, M. (2012). Mathematical knowledge for teaching in the Netherlands. 12th international congress on mathematical education TSG23. Seoel. Keijzer, R., & Vries, D. d. (2013). Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde. in press . Keijzer, R., & Zanten, M. v. (2010). Kennisbasis leidt tot tekort aan opleiders rekenen-wiskunde. Panama-Post (3), 12-13. Keijzer, R., Duman, V., Heeremans, M., & Smit, A. (2012). Kennisbasis als opleidingsdidactische uitdaging. VELON tijdschrift , 33 (3), 24-30. KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Alkmaar: Bejo druk & print. Kool, M., & Keijzer, R. (2012). Wiskundekennis van de basisschoolleraar. Panama Post , Jaargang 31 (4), 13-18. Krathwohl, D. R. (2002). Revising Bloom's Taxonomy. Theory into Practice , 41 (4), 211-218. Marcinek, T. (2012). Learning to interpret the mathematical thinking of others in pre-service mathematics courses: potential and limitations. 12th international congress on mathematical education, TSG 23. Seoel. Maslowski, R., & Visscher, A. (1997). Methoden en technieken voor formatieve evaluatie in sociaalwetenschappelijke ontwerpsituaties. Enschede: Universiteit Twente. 27
McKenny, S., & Reeves, T. C. (2012). Conducting educational design research. Abingdon: Routledge. Menninger, K. (1979). Zahlwort und Ziffer. Gottingen: Vandenhoeck und Ruprecht. Meyerink. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Enschede. MorrisCooke. (sd). Explain everything. Opgehaald van http://www.explaineverything.com/ Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Amse, H., Barth, F., & Lek, A. (2010i). Reken-wiskunde in de praktijk, Onderbouw. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Barth, F., Engelsen, M. d., Markusse, A., et al. (2010ii). Rekenen-wiskunde in de praktijk, Bovenbouw. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Engelsen, M. d., Lek, A., & Waveren-Hoogervorst, C. v. (2011). Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Oonk, W., Zanten, M. v., & Keijzer, R. (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Panama Post , jaargang 26-3, 3-18. Oosterheert, I. (2011). Praktische leerpsychologie voor het basisonderwijs. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Rekenonderwijs, S. G. (2009, December 7). Jan van de Craats. Opgeroepen op Mei 17, 2013, van Jan van de Craats: http://staff.science.uva.nl/~craats/SGR_KennisbasisRekenenPabo.pdf Scheltens, F., Hemker, B., & Vermeulen, J. (2011). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het eind van de basisschool 5. Arnhem: Cito. Stralen, J. v. (2012). De Kennisbasistoetsen: terug naar de oude kweekschool? Panma-Post (4), 19-21. Tatto, M. T., Schwille, J., Senk, S. L., Ingvarson, L., Rowley, G., Peck, R., et al. (2012). Policy, Practice an Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries. Amsterdam: International Association for the Evaluation of Educational Achievement. Taveau, C. (2012). Using modeling activities to train future schoolteachers in mathematics. 12th international congress on mathematical education. Seoul. Thanheiser, E. (2012). Preserve elementary school teachers'(psts') conceptions of multidigit whole numbers: the development of those conceptions and the psts' motivation to learn elementairy mathematics. 12th international congress on mathematical education, TSG23. Seoel. Treffers, A. (2010i). De stille rekenrevolutie. Panama Post (4), 3-12. Treffers, A. (2010ii). Het rekentheater. Amsterdam/Antwerpen: Atlas. Treffers, A., Moor, E. d., & Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool (Vol. 1). Tilburg: Zwijsen. Vakcommissie. (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Zanten, M. v., Berg, J. v., Hutten, O., & Meijer, R. (2010). Reken-wiskunde-didactiek, Meten en meetkunde. Baarn/Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff. Zanten, M. v., Brom-Snijders, P. v., Bergh, J. v., Meijer, R., & Vrolijk, A. (2007). Reken-wiskunde en didactiek, Hele getallen. Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff.
28
11 Bijlage 1: Inventarisatie Pabo Groenewoud Onderstaande tabel volgt de ordening van de toetsgids (Vakcommissie, 2013). Type kennis
De student
Doel
Getallen Taal
weet
4
Kennis
kent
wat bedoeld wordt met: binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. systematiek in het benoemen van (grote en kleine) getallen: miljoen, miljard, biljoen, biljard, triljoen, triljard, quadriljoen, quadriljard; miljoenste, miljardste, …, quadriljardste.
priemgetal, driehoeksgetal, vierkantsgetal of kwadraat, macht, rechthoeksgetal, volmaakt getal. GGD (grootste gemene deler) en KGV (kleinste gemene veelvoud). Kennis kent deelbaarheidskenmerken voor deelbaarheid door 2, 3, 4, 5 , 6, 8 en 9. kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. Vaardigheden kan regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). deelbaarheid van getallen doorzien en gebruiken in relatie tot verschillende bewerkingen. situaties herkennen als combinatorische situaties en daarmee rekenen. getallen in eenvoudige gevallen ontbinden in priemfactoren. de KGV en GGD van twee of meer getallen bepalen. gebruiken van Romeinse cijfers, tot duizenden. eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel. (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen getallen in een dergelijke getallenstelsel of talstelsel omrekenen naar het decimale stelsel en vice versa. Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Taal kent de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. Vaardigheden kan indien er geen sprake is van een repeterende breuk, een breuk omzetten in een kommagetal en omgekeerd: een kommagetal omzetten in een breuk. in eenvoudige gevallen een repeterende breuk, uitgedrukt als een kommagetal, omzetten in een breuk in de meest vereenvoudigde vorm. in eenvoudige gevallen bij het omrekenen van een breuk naar een kommagetal met een repetendum, aangeven welk deel repeterend is. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen.
8
Gehele getallen Taal kent
29
9
8 8 4 1, 5 8 5 8 8 4 4 4
1, 8
8
8
8 10
Type kennis
Meten Vaardigheid
De student
kan in alledaagse situaties, zonder een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn kan
Doel rekenen met getallen die zo groot of klein zijn dat ze niet passen in het scherm van de rekenmachine en hierbij de wetenschappelijke notatie gebruiken.
9
de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van Pythagoras. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens ‘opp. grondvlak × hoogte’) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat.
3, 6
bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken.
6, 7, 10
Meetkunde Geen inhouden die niet in het pabo1 programma ingebouwd kunnen worden. Verbanden Vaardigheid kan grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd.
6, 10
7, 10
1, 10
1, 2, 10
Hieronder zijn de doelen gekoppeld aan de onderwerpen. Onderwerp 1. Verbanden
De student kent: de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. 30
2.
Statistiek.
3.
De stelling van Pythagoras.
4.
Diverse talstelsels.
5.
Combinatoriek.
6.
Omtrek en oppervlakte van een cirkel, pi.
grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens ‘opp. grondvlak × hoogte’) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. kan: grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. kan: de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van Pythagoras. weet: wat bedoeld wordt met: binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. kent: kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. kan: gebruiken van Romeinse cijfers, tot duizenden. eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel. (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen getallen in een dergelijke getallenstelsel of talstelsel omrekenen naar het decimale stelsel en vice versa. kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). situaties herkennen als combinatorische situaties en daarmee rekenen. kan: de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van Pythagoras. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende 31
7.
Inhoud van objecten en formules erbij.
8.
Kenmerken van getallen.
9.
Grote en bijzondere getallen.
10. (Ontluikende) algebra, rekenregels en formules
gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. kan: de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens ‘opp. grondvlak × hoogte’) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. kent: priemgetal, driehoeksgetal, vierkantsgetal of kwadraat, macht, rechthoeksgetal, volmaakt getal. GGD (grootste gemene deler) en KGV (kleinste gemene veelvoud). deelbaarheidskenmerken voor deelbaarheid door 2, 3, 4, 5 , 6, 8 en 9. de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. kan: getallen in eenvoudige gevallen ontbinden in priemfactoren. deelbaarheid van getallen doorzien en gebruiken in relatie tot verschillende bewerkingen. de KGV en GGD van twee of meer getallen bepalen. indien er geen sprake is van een repeterende breuk, een breuk omzetten in een kommagetal en omgekeerd: een kommagetal omzetten in een breuk. in eenvoudige gevallen een repeterende breuk, uitgedrukt als een kommagetal, omzetten in een breuk in de meest vereenvoudigde vorm. in eenvoudige gevallen bij het omrekenen van een breuk naar een kommagetal met een repetendum, aangeven welk deel repeterend is. kent: systematiek in het benoemen van (grote en kleine) getallen: miljoen, miljard, biljoen, biljard, triljoen, triljard, quadriljoen, quadriljard; miljoenste, miljardste, …, quadriljardste. kan: rekenen met getallen die zo groot of klein zijn dat ze niet passen in het scherm van de rekenmachine en hierbij de wetenschappelijke notatie gebruiken. kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens ‘opp. grondvlak 32
× hoogte’) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. Met betrekking tot het onderwerp statistiek zijn in de kennisbasis inhouden beschreven die niet zozeer tot de basisschoolleerstof voor de leerlingen behoren maar die student wel in de praktijk tegenkomt. Op Pabo Groenewoud worden deze in een drietal bijeenkomsten aan de orde gesteld. Het gaat hierbij om beschrijvende statistiek en het leren interpreteren van grafieken, waaronder die van het Cito-leerlingvolgsysteem.
33
12 Bijlage 2: Analyse bestaande methodes
1 x
Kerninzichten 2 Vindplaats Andere talstelsels (p. 41)
x
Opdracht (p. 49)
x
Uit de 100 opgaven 2
x
3
x
9 x
47
x
88
Inhoud Wordt even aan gerefereerd, verder niet uitgewerkt.
Didactiek
optelling van 2 getallen met Romeinse cijfers.
Vraag naar wat er anders is als bij het optellen in het decimaal postitioneel stelsel.
Gauss, wordt met variabele gewerkt
vraag over uitleg
Driehoeks- en vierkantsgetallen, wordt niet met variabelen gewerkt Binaire getallen, opbouw systeem
begrippen visualiseren, generaliseren en formaliseren Vraag welke 2 kerninzichten hier zichtbaar zijn.
Zoek de spelregel, leeftijd noteren + 60 etc. Wordt variabele gebruikt. BMI
Opdracht voor bovenbouw ontwerpen
Rw in de praktijk, bovenbouw Geen aandacht voor de 2 onderwerpen, ook niet sec inhoudelijk. Begrip als talstelsel komt niet voor in begrippenlijst. Rw in de praktijk, onderbouw Geen aandacht voor de 2 onderwerpen, ook niet sec inhoudelijk. Begrip als talstelsel komt niet voor in begrippenlijst. Thieme Hele getallen In deel A en B niets, deel C: Stapelen in de supermarkt
1 x
2
Vindplaats Deel C Stapelen in de supermarkt
Inhoud Driehoeksgetallen en andere stapelpatronen
Didactiek Kenmerken van een wiskundige attitude
Thieme Meten en meetkunde Formule voor inhoud: lengte x breedte x hoogte. Wordt niet mee geoefend. Stelling van Pythagoras. Wordt genoemd, niet mee geoefend. 2 De aarde eerlijk verdeeld. Formule voor oppervlakte bol: 4πr . Wordt 1 keer ingevuld. Omtrek van een cirkel Oppervlakte van een cirkel via steeds kleinere sectoren. BMI: formule in woorden: gewicht delen door de lengte en daarna nog een keer (beetje vaag).
34
13 Bijlage 3: Navraag naar relevantie 13.1 Achtergrond Beste collega’s
Ik doe een onderzoek naar de mogelijkheid om wiskundekennis die studenten niet direct tegenkomen in de basisschool en die geen onderdeel uitmaakt van de kerndoelen in een didactische context in het curriculum van de pabo op te nemen. Omdat ik zicht wil krijgen op de relevantie van dit onderzoek en de ontwerpen die eruit voort-komen zou ik je enkele vragen willen stellen. Het beantwoorden ervan duurt niet langer dan 5 a 10 minuten. Je kunt meteen aangeven of je op de hoogte wilt blijven en mogelijk ook zelf (vanaf voorjaar 2014) aan de slag wilt gaan met één of enkele ontwerpen. Bij voorbaat bedankt, Gerard Boersma Pabo Groenewoud Nijmegen. Achtergrond Een deel van de in de kennisbasis beschreven wiskundekennis valt niet onder de kerndoelen rekenenwiskunde en is niet direct zichtbaar in de basisschool. De student kan zich niet in deze inhouden bekwamen door bijvoorbeeld leerlingenwerk te analyseren, filmpjes van leerkrachten in actie te bekijken, lessen voor te bereiden en te geven, enzovoort, zonder dat hierbij aanvullende interventies vanuit de opleiding worden gedaan. De betreffende inhouden kunnen min of meer kaal, los van de beroepscontext worden aangeboden. Op Pabo Groenewoud wordt dat op dit moment zo gedaan. De keuze hiervoor is ingegeven door tijdsdruk en het gegeven dat het regulier onderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek beperkt is tot kleine - in tijd afgebakende - onderwijseenheden. Dit verhoudt zich niet met het leren van rekenen-wiskunde en het onderwijzen van rekenen-wiskunde, dat een langlopend proces is. Het gehanteerde materiaal bestaat in hoofdzaak uit kopieën van wiskundelesmateriaal voor het voortgezet onderwijs. Een tweede manier om deze kennis aan de orde te stellen is om deze in te bedden in een didactische context. Deze werkwijze sluit aan bij een visie op opleidingsdidactiek voor rekenen-wiskunde waarbij beoogd wordt rekenen-wiskunde zoveel mogelijk te leren door de beroepscontext te gebruiken en studenten de kennis aan de hand van betekenisvolle opdrachten zelf te laten construeren. Dit heeft mogelijk een positief effect op de motivatie en zou kunnen leiden tot hogere leerresultaten zowel met betrekking tot wiskundige als didactische kennis en vaardigheden. Een bestaand voorbeeld hiervan is ‘Het land van Okt’, waarmee studenten leren rekenen in het achttallig stelsel en meteen aan den lijve cruciale elementen uit de didactiek van het rekenen ervaren. Mijn onderzoek gaat over de vraag of het mogelijk is om nader te bepalen inhouden die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool in een didactische context aan te bieden. Hiervoor ga ik onder andere enkele ontwerpen maken en uitproberen. Mogelijke inhouden hierbij zijn: • • • • • • • •
Verbanden, rekenregels en formules. Statistiek. De stelling van Pythagoras. Diverse talstelsels. Combinatoriek. Omtrek en oppervlakte van een cirkel, pi. Inhoud van objecten en formules erbij. Kenmerken van getallen. 35
• •
Grote en bijzondere getallen. (Ontluikende) algebra
13.2 Stellingen 1.
Ik weet wat de wiskunde-inhouden uit de kennisbasis zijn die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool. 2. Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. 3. Komend schooljaar onderwijs ik deze wiskunde aan studenten op de pabo. 4. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. 5. Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden. 6. Ik zie de relevantie van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool voor de beroepsontwikkeling van de student. 7. Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek. 8. Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen. 9. Ik zou graag één of enkele ontwerpen uit willen proberen. 10. Zijn er naast de in de achtergrond genoemde onderwerpen andere onderwerpen waarvoor je graag over een didactisch ontwerp zou beschikken? Zo ja welke zijn dat?
13.3 Respons Stelling
1
2
3
4
5
Totaal
1
0 0 0 0 0 0 4 9 1 2 1 2 0 0 3 6 1 3
3 6 1 2 1 2 9 19 5 11 1 2 1 2 1 2 1 3
5 11 6 13 7 15 9 19 13 28 10 21 5 11 11 23 5 17
20 43 18 38 13 28 10 21 14 30 21 45 16 34 20 43 17 47
19 40 22 47 26 55 15 32 14 30 13 28 25 53 12 26 11 31
47 100 47 100 47 100 47 100 47 100 46 98 47 100 47 100 36 100
Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage
2 4 5 6 7 8 9 9
5
Tabel B3-1: Respons bij opinievragen.
5
Aantal Percentage
Ja
Nee
Totaal
36 77
9 19
47 100
Tabel B3-2: Respons bij stelling 3
Gecorrigeerd voor respondenten die niet in staat zijn een ontwerp uit te proberen. 36
Score Met wiskunde
Mannen Vrouwen Totaal
Zonder wiskunde
Mannen Vrouwen Totaal
Totaal
Mannen Vrouwen Totaal
Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage Aantal Percentage
Stelling 2 2 3 0 0 0 0 0 1 0 11 0 1 0 4 0 1 0 10 1 4 7 29 1 5 4 21 0 1 0 4 1 5 4 22 1 6 2 13
4 2 14 3 33 5 22 5 50 8 57 13 54 7 29 11 48 18 38
5 12 86 5 56 17 74 4 40 1 7 5 21 16 67 6 26 22 47
Tot 14 100 9 100 23 100 10 100 14 100 24 100 24 100 23 100 47 100
Stelling 4 2 3 0 1 0 7 0 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 1 6 7 43 1 6 4 25 0 1 0 4 1 6 4 26 1 7 2 15
4 2 14 1 11 3 13 4 40 6 43 10 42 6 25 7 30 13 28
5 11 79 8 89 19 83 6 60 1 7 7 29 17 71 9 39 26 55
Tabel B3-3: Respons van mannen en vrouwen met en zonder wiskunde bij stelling 2 en 4
37
Tot 14 100 9 100 23 100 10 100 14 100 24 100 24 100 23 100 47 100
Bijlage 4: protocol voor interview met studenten Onderstaande vragen zijn bedoeld als houvast bij gesprekken met studenten die les hebben gehad aan de hand van één of meer ontwerpen. Studenten weten dat in het gesprek het volgende aan de orde komt: • Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen • Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen • De waardering van studenten voor de lessen uit de ontwerpen, ook in relatie met de waardering voor de lessen uit de reguliere kennisbasislessen waarin het alleen gaat om de wiskunde. Vantevoren heeft de onderzoeker het werk van de studenten inclusief de reflecties bekeken.
Zakelijke gegevens Naam student: Groep: Naam docent: Vooropleiding (mbo, havo,vwo): Wiskunde in eindexamen? Ja | nee Indien ja, cijfer:
Soort wiskunde: A | B | C | D | Anders
Aantal malen wiscattoets: 1 | 2 | 3 Hoogst behaalde score wiscattoets (als je deze nog weet):
Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen
Leg studenten enkel opgaven uit het ontwerp voor en onderzoek hoe zij deze oplossen. Laat hen hardop denken en reflecteer op het proces. Hieronder staat dit per ontwerp gespecificeerd.
Verschillende talstelsels
Vraag om een omrekening te maken van een niet 10-tallig stelsel naar het 10-tallig stelsel en andersom.
Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel
Geef enkele opgaven. Dit is niet uitputtend te doen voor alle bewerkingen in deze twee talstelsels. Mogelijk geven de uitwerkingen van de student vanuit de lessen aanwijzingen over relevante opgaven.
Ontluikende algebra
Vraag in ieder geval naar begrip van verschillende representaties bij eenzelfde verband, bijvoorbeeld een vraagstuk met voorrijkosten en kosten per uur. Vraag de student te verwoorden hoe hij uitrekent hoeveel je moet betalen bij als de reparateur een bepaald (geen specifiek aantal voorschrijven, kijk of de student het verband in algemen termen kan verwoorden) aantal uren werkt. Vraag vervolgens of hij andere maniern weet (representaties) om het verband weer te geven.
Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen
Hieronder staan de betreffende didactische- reflectievragen uit de practica. Bevraag de student met name naar zijn reflectie.
Diverse talstelsels 38
Het ontwerpprincipe dat aan de orde is is met name dat van verheldering en verdieping van wiskundeinhouden die wel zichtbaar zijn op de basisschool . Bij bewerkingen in het 8- en 2-tallig stelsel ging het met name om het gebruik van werkvormen die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden. De vragen uit het practicum waren: 7. 8.
Hoe zou deze er uitzien voor jouw talstelsel? Pas de formuleringen aan en geeft een toelichting. Teken de materialen en modellen die worden genoemd, maar nu voor jouw talstelsel. Misschien is dan niet altijd mogelijk. Zijn er aanvullende materialen en modellen mogelijk? Zo ja, teken deze. De reflectievragen uit het practicum waren: 1. 2. 3. 4.
Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen? Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde? In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool? Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven?
Bij ontluikende algebra
Het ontwerpprincipe dat hier aan de orde is is het zichtbaar maken van de wiskunde die aan de horizon ligt. Vraag de student in hoeverre hij zicht heeft gekregen op de doorgaande lijn. Laat hem zijn antwoord onderbouwen. Didactische vragen uit het practicum: 21. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? • Plaatshouder. • Veranderlijke. • Generalisator. • Onbekende. • Parameter. 22. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: a. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen; b. rekenvolgorde; c. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom? • Beschrijvingen in natuurlijke taal. • Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. • De moderne algebraïsche symbolentaal. 23. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze.
De waardering van studenten voor de lessen
Je hebt lessen gehad waarbij je in één les zowel wiskunde als didactiek hebt geleerd (talstelsels en ontluikende algebra). Je hebt ook lessen gehad waarbij je alleen wiskundige kennis en vaardigheden hebt geleerd. Naar welk type lessen gaat jouw voorkeur uit? Licht toe. Wat heb je gewaardeerd? Heb je aanbevelingen? 39
Bijlage 5: vragenlijst docent Naam docent: Werkzaam op pabo (naam pabo): Vooropleiding: Pabo | Tweedegraads wiskunde | Eerstegraads wiskunde | Onderwijskunde of pedagogiek | Anders: namelijk: Aantal jaren ervaring met opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde: Man | vrouw E-mail: Het ontwerp schrijft niet exact voor hoe de les met studenten er uitziet. Het geeft suggesties waar je een keuze uit kunt maken. Mogelijk heb je zelf nog andere keuzes gemaakt. Beschrijf welke keuzes je hebt gemaakt. Motiveer deze keuzes en beschrijf het effect ervan.
In hoeverre was de informatie en aanwijzingen uit het ontwerp toereikend om: A De instructie aan de studenten te geven? B De studenten te begeleiden? C Flexibel in te spelen op reacties van studenten?
40
Denk hierbij aan informatie en aanwijzingen met betrekking tot de wiskundige en didactische doelen uit het ontwerp.
Heb je, naast de informatie en aanwijzingen uit het ontwerp, andere bronnen gebruikt? Zo ja, welke bronnen waren dat?
In hoeverre hebben de studenten betrokken gewerkt tijdens de bijeenkomst?
In hoeverre hebben de studenten de wiskundige doelen bereikt?
41
In hoeverre hebben de studenten de vakdidactische doelen bereikt?
In hoeverre ben je in staat het ontwerp in je onderwijs in te zetten?
In hoeverre ben je gemotiveerd om het ontwerp in je onderwijs in te zetten?
42
Hoe denk je over het al of niet in samenhang met didactiek aanbieden van de meer geavanceerde wiskunde? Ben je hier anders over gaan denken naar aanleiding van het ontwerp?
Wat mis je nog in het ontwerp? Overige opmerkingen.
43
