Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6

Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6 Voor deeltijdstudenten die het versnelde curriculum volgen. Leerlingen werd gevraagd: bereken 1012 – 889 = (Schrijf op hoe je gerekend hebt:)

Deze zelfstudiecursus vindt plaats in blok 3 en blok 4 van het eerste jaar. De toetsing heeft de vorm van een dossier waarin de student laat zien de didactische kennis zelfstandig te hebben verwerkt en kan toepassen in de concrete stagepraktijk. De student bestudeert de theorie uit  

Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5, 6, 7 en 8 de zelfstudiewijzer

en maakt het dossier Rekenen in groep 567 gedurende blok 3 en blok 4. Dit dossier omvat de beschrijving van een onderzoek naar rekenmanieren op de stageschool en de uitvoering van 3 lessen rekenen in de bovenbouw. Het dossier Rekenen in groep 567 wordt in de toetsweek van blok 4 jaar 1 ingeleverd. Een voldoende resultaat levert 2 ec op.

0

Inhoudsopgave Inleiding: ..................................................................................................................... 2 Doelen: ....................................................................................................................... 3 Literatuur en benodigde materialen: ........................................................................... 4 Summatieve toetsing: ................................................................................................. 4 Het dossier Rekenen in groep 567 ............................................................................. 5 Beoordelingsformulier Dossier Rekenen in groep 567 ............................................... 8 Het dossier Rekenen in groep 567 ............................................................................. 9 Onderdeel 1 van het dossier Rekenen in groep 567: Onderzoek naar rekenmanieren Werkwijze en verslaglegging ........ 9 Onderdeel 2 van het dossier Rekenen in groep 567: Rekenles volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen ......... 11 Onderdeel 2a van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een les met een schatprobleem ....................... 12 Onderdeel 2b van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een werkblad ZRM ........................................... 14

Ondersteunend studie- en oefenmateriaal bij de doelen: ......................................... 15 Oefening herkennen en benoemen van rekenmanieren: ...................................................................15 Oefening Progressief schematiseren .................................................................................................29 Oefening Standaardprocedures: ........................................................................................................32 Formatieve toets ....................................................................................................... 44 Antwoorden formatieve toets .................................................................................... 49 Literatuurlijst ............................................................................................................. 53 Bijlage 1: Voorbereiding en studie voor onderzoek rekenmanieren: ......................... 54 Bijlage 2: Oefeningen foutenanalyse ........................................................................ 58 Bijlage 3: Tabellen volgens APA-normen ................................................................. 60 Bijlage 4: Theoretische achtergronden bij Realistisch Rekenen ............................... 61 Bijlage 5: Het instructiemodel Realistisch Rekenen .................................................. 64 Bijlage 6: Schatten .................................................................................................... 84 Bijlage 7: Notities bij ZRM in de basisschool ............................................................ 89

Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde groep 5 & 6

Pagina 1

Inleiding: Bij rekenen in de bovenbouw komt heel wat kijken! Uw eigen vaardigheid zal op niveau moeten zijn om de rekenopgaven te kunnen ‘uitleggen’. En omdat niet elk kind hetzelfde rekent, zult U meerdere oplossingswijzen moeten doorzien en onder woorden moeten kunnen brengen. Vaak betreft het nieuwe manieren van rekenen die u wellicht zelf nooit hebt gebruikt. We gaan in deze cursus aan de slag met hoofdrekenen, schriftelijk rekenen (rijgen, splitsen, varia, kolomsgewijs rekenen en cijferen), schattend rekenen, de rekenmachine, getallen en getalrelaties en het instructiemodel Realistisch Rekenen. U bestudeert de theorie zelfstandig en oefent met behulp van de zelfstudiewijzer. Vervolgens staat de toepassing in de praktijk centraal. U zult meerdere oplossingswijzen onderzoeken en leren herkennen om de kinderen te begeleiden op hun eigen niveau en om in hun oplossingswijzen mee te gaan. Hierbij is het van belang dat U flexibel kunt omgaan met de getallenwereld en ook bij problemen met onvolledige gegevens verantwoord kunt schatten. U gaat oefenen met het maken van lesvoorbereidingen voor het rekenwiskundeonderwijs van de groepen 5 en/of 6 van de basisschool, aan de hand van het instructiemodel Realistisch Rekenen. U onderzoekt op de stageschool de diverse rekenmanieren bij kinderen. Verder ontwerpt U praktische opdrachten om leerlingen schattend te laten rekenen en voert dit ook uit op de stageschool. Tot slot verzamelt U (of ontwerpt U zelf) een aantal opgaven op diverse niveaus voor het gebruik van de zakrekenmachine en voert deze uit op de stageschool. Advies bij zelfstudie: Hoewel velen de verleiding niet zullen kunnen weerstaan om zo snel mogelijk aan het rekendossier te gaan werken, is het raadzaam om eerst zelf de theoretische achtergronden te bestuderen. Zowel het boek als deze zelfstudiewijzer geven veel inzicht in wat de mogelijkheden zijn, het hoe en het waarom. Voor sommigen zal eerst de eigen rekenvaardigheid op peil gebracht moeten worden. Voor het eigenschapsrekenen, het kolomsgewijs rekenen en het cijferen zal dit binnen de cursus Gecijferdheid 1 getraind zijn of kunnen worden. Voor de toepassing van diverse rekenmanieren zijn oefeningen in deze zelfstudiewijzer opgenomen. Ook voor het schatten zijn een aantal oefeningen opgenomen. Het boek (zie literatuur) geeft ook bij elk hoofdstuk oefeningen en leervragen. Tot slot is een formatieve toets opgenomen om zelf te checken of de diverse rekenmanieren en theoretische kennis voldoende wordt beheerst. Bij het beoordelen van het dossier wordt vooral ook gelet op het juist gebruik van termen en theorieën. Deze zelfstudiewijzer begint met de opsomming van de doelen, de benodigde literatuur en de toetsing. Vervolgens wordt allereerst alle benodigde informatie verstrekt ten behoeven van het dossier Rekenen in groep 567. Tot slot zijn er een aantal oefeningen toegevoegd die zoveel als mogelijk geordend zijn naar de doelstellingen van deze cursus. Wij wensen u veel succes en een leerzaam half jaar. De vakgroep Rekenen/Wiskunde


Pagina 2

Doelen: 1. De student heeft kennis van de verschillende manieren waarop getallen in het dagelijks leven voorkomen en heeft kennis van de eigenschappen van bewerkingen 2. De student kan zelf schattend en cijferend rekenen en kan daarbij gebruik maken van correcte wiskundetaal. 3. De student heeft inzicht in de telrij, (structuur van) getallen en getalrelaties en kan leerlingen helpen in het ontwikkelen van getalbegrip. 4. De student heeft kennis die nodig is voor het onderwijzen van de standaardprocedures (grondvormen van hoofdrekenen, kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen) en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de verschillende leerlijnen, inclusief mogelijke variaties. 5. De student beheerst didactische kennis die het leren van de standaardprocedures op de basisschool op gang brengt, ondersteunt en stimuleert, zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema’s en verkortingen. Deze kennis past hij toe om reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren. Hij stimuleert kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken 6. De student beschikt over kennis van de voor- en nadelen van de rekenmachine. Hij kan beoordelen in welke gevallen de rekenmachine nodig is en waar dat van afhangt (bijvoorbeeld het netwerk van beheerste hoofdrekenstrategieën en kennis van rekenfeiten) en kan een concreet werkblad voor het werken met een ZRM ontwerpen en dit werkblad laten uitvoeren in de stageklas. 7. De student heeft kennis en vaardigheid die nodig is voor het oplossen van schatproblemen en het onderwijzen van schattend rekenen en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de leerlijn. 8. De student beheerst didactische kennis die het leren van schattend rekenen op de basisschool op gang brengt ondersteunt en stimuleert (in het bijzonder het getal-, taal, meet- en rekenaspect), zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema’s. Deze kennis past hij toe om rekenwiskunde onderwijs te kunnen realiseren. 9. De student kan bepalen welke vorm van rekenen het meest voor de hand ligt, effectief of snel is: hoofdrekenen, schattend rekenen, schriftelijk rekenen of gebruik maken van de rekenmachine. 10. De student kent het instructiemodel realistisch rekenen en de bijbehorende theorie en weet hoe dit in het onderwijs toegepast wordt. 11. De student kan rekenlessen voor groep 5 en 6 voorbereiden aan de hand van de rekenmethode van de stagegroep maar ook een zelfontworpen les geven met gebruik van het instructiemodel Realistisch Rekenen 12. De student kan in de beschrijving van zijn lesvoorbereiding en de reflectie op de uitvoering relevant verwijzen naar termen, begrippen en theorieën uit de literatuur van deze cursus (zie literatuur.)


Pagina 3

Literatuur en benodigde materialen:     

Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5, 6, 7 en 8 Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6 Rekenmachine Rekenmethodes / methode stageschool krantenknipsels

Summatieve toetsing: De cursus wordt afgesloten met het dossier Rekenen in groep 567. Als het Rekendossier met minimaal ‘6’ is beoordeeld, dan verdien je 2 studiepunten. Het dossier wordt beoordeeld met behulp van een beoordelingsformulier dat ook in deze zelfstudiewijzer is opgenomen. In deze zelfstudiewijzer staan de eisen aan het Rekendossier uitgebreider geformuleerd en toegelicht, maar beknopt omvat het de volgende delen: 1. Onderzoek naar de rekenmanieren bij leerlingen op de stageschool. 2. Drie (3) lesverslagen van zelf gegeven rekenlessen in de stagegroep (eventueel uit de rekenmethode van de stageschool,) waarvan minimaal één les is voorbereid met behulp van het instructiemodel Realistisch Rekenen. Als bijlage zijn eventuele taken of werkbladen toegevoegd. Ergens binnen deze 3 lessen komen MINIMAAL de volgende activiteiten aan de orde: a. Oplossen van een eenvoudig “schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken” b. Uitvoering zelfontworpen werkblad ZakRekenMachine (ZRM)


Pagina 4

Het dossier Rekenen in groep 567 Opzet en criteria dossier Rekenen in groep 567 De zelfstudiecursus RekenenWiskunde in groep 5 en 6 wordt afgesloten met een portfolio, namelijk het dossier Rekenen in groep 567. De onderdelen van dit dossier staan in onderstaand schema beschreven, samen met de beoordelingscriteria. In de hoofdstukken erna zijn de opdrachten uitvoerig toegelicht. 1. Rekenonderzoek Onderdeel: De student maakt een werkblad voor de kinderen van groep 7 met 16 verschillende opgaven: 8 optellen en 8 vermenigvuldigen, waarbij per setje van 8 een opbouw naar moeilijkheidsgraad zit en waarin het mogelijk is om verschillende standaardprocedures (grondvormen rijgen, splitsen en varia) van hoofdrekenen te gebruiken. De student laat dit werkblad maken door tenminste 10 leerlingen uit groep 7. De student verzamelt door middel van het werkblad gegevens over de rekenstrategieën die door de leerlingen van groep 7 worden toegepast. De student maakt aan de hand van deze gegevens twee tabellen (volgens APA normen), waarin minimaal wordt weergegeven: - de goede antwoorden per vraag per leerling - de rekenstrategie per vraag per leerling. De student vergelijkt de rekenstrategieën die door de leerlingen van groep 7 worden toegepast op het werkblad met de rekenstrategieën die volgens de methode zijn aangeleerd en beschrijft overeenkomsten en verschillen. De student schrijft een conclusie over de resultaten van het rekenonderzoek, waarin wordt aangegeven welke rekenstrategie(en) het meest en het beste zijn toegepast. Hierin geeft de student ook aanbevelingen voor de mentor.


Beoordelingscriteria: - werkblad met minimaal 16 opgaven - opgaven in opbouw naar moeilijkheid - opgaven bieden mogelijkheid om verschillende oplossingsstrategieën toe te passen - uitgevoerd door tenminste 10 leerlingen van groep 7 - eigen uitwerkingen bij de 16 opgaven (alle mogelijke manieren) - tabel goede antwoorden volgens APA - tabel rekenstrategieën volgens APA

- Beschrijving methode en uitkomst onderzoek - Beschrijving overeenkomsten en verschillen tussen methode en uitkomst onderzoek - conclusie welke strategieën het meest voorkomen duidelijk beschreven - conclusie welke strategieën het beste worden toegepast duidelijk beschreven - conclusie hoe de uitslag van het onderzoek zich verhoudt tot de methode duidelijk beschreven - aanbevelingen voor de mentor duidelijk beschreven

Pagina 5

2. Rekenlessen Onderdeel: De student ontwerpt 3 rekenlessen (uit de methode van de basisschool of zelf ontworpen) waarbij minimaal één les aan de hand van het instructiemodel Realistisch Rekenen. De student voert deze lessen uit in de stage. Één van de lessen betreft een “schatprobleem-waargegevens-ontbreken” en één van de lessen betreft het verwerken van een zelfontworpen werkblad zakrekenmachine De student schrijft bij elke les een lesverslag, waaruit blijkt dat verschillende instructie- en werkvormen zijn toegepast.

De student maakt bij elke les een eigen lesreflectie, waaruit blijkt dat de student reflecteert op: het op gang brengen, ondersteunen en stimuleren van de standaardprocedures op de basisschool en het stimuleren van kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken. 2a. Eén van de 3 lessen, nl Schattend rekenen Onderdeel: Student selecteert een geschikte context (bijvoorbeeld een krantenknipsel of advertentie) om de leerlingen uit de stagegroep schattend te laten rekenen (liever groep 7 dan groep 5) met een schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken. Student analyseert daartoe eerst de beginsituatie (hebben ze al vaker geschat? Hebben ze extra aandacht nodig op terrein van taalniveau? Welke maatreferenties kun je al verwachten? Etc.) Is het mogelijk (wel wenselijk) op de leerlingen in groepjes te laten werken?

Beoordelingscriteria: Voor alle lessen zijn minimaal 5 aspecten van onderwijs beschreven, de didactische route is beschreven en voor minimaal één les is het instructiemodel Realistisch Rekenen herkenbaar.

- een objectieve beschrijving van de les - de toepassing van verschillende instructie- en werkvormen is duidelijk terug te lezen in de lesvoorbereiding - reflectie op het op gang brengen, ondersteunen en stimuleren van de standaardprocedures - reflectie op het stimuleren om na te denken over onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken

Beoordelingscriteria:

-

Korte rapportage van de analyse van de beginsituatie

-

De eigen uuitwerking van het schatprobleem, waarbij in ieder geval wordt verantwoord: welke aannames, welke rekenfeiten, welke afrondingen, welk resultaat

Student ontwerpt bij de geselecteerde context één of twee zinvolle vragen die zullen leiden tot mooi schattend rekenen. Student werkt zelf de vragen uit tot een modelantwoord en analyseert daarbij  welke gegevens je nodig hebt om een goed antwoord te kunnen geven.  welke gegevens ontbreken en welke aannames je daarvoor gaat maken (kun je die verdedigen?).  Met welke ronde getallen kan gerekend worden en probeer een “hoogstens”/


Pagina 6



“minstens” antwoord te vinden. (handig rekenen, gebruik geen rekenmachiner!) Welke extra informatie of instructie zal nodig zijn voor jouw stageleerlingen?

Student laat de opdracht uitvoeren door de stagegroep

-

In de lesvoorbereiding staat concrete welke instructie wordt gegeven

-

Zie 2. Criteria Rekenlessen

2b. Eén van de rekenlessen, nl het werkblad zakrekenmachine Onderdeel: Beoordelingscriteria: De student ontwerpt met behulp van eerder opgedane - werkblad op niveau van eind groep (didactische) kennis van functies van een 6 zakrekenmachine (ZRM) een werkblad ZRM op het - minimaal twee verschillende niveau van eind groep 6, voornamelijk gericht op het manieren van ZRM als ‘object van gebruik van een ZRM als ‘object van onderzoek’ en onderzoek’ als ‘didactisch hulpmiddel’. Deze twee manieren van - minimaal twee verschillende gebruik komen beide op minimaal twee verschillende manieren van ZRM als ‘didactisch manieren aan bod. hulpmiddel’

De student maakt een antwoordenblad bij dit werkblad. Hierin worden verschillende soorten goede antwoorden gegeven en uitgelegd waarom het antwoord goed is.

- antwoordenblad - verschillende goede antwoorden per vraag (indien mogelijk) - verantwoording van goede antwoorden

Student laat dit werkblad uitvoeren door de stagegroep

-


Zie 2. Criteria Rekenlessen

Pagina 7

Beoordelingsformulier Dossier Rekenen in groep 567 Alle onderdelen moeten aanwezig zijn. (Combinaties van) onderdelen worden op kwaliteit beoordeeld met: O (of <6), V (of 6), G (of 8) of U (of 10). Elk onderdeel moet met minimaal een voldoende worden beoordeeld voor een voldoende eindcijfer. Het eindcijfer is het gemiddelde van de beoordelingen, afgerond op een heel cijfer.

Student: Studentnummer: Docent: Aanbieding:

Klas:

Hoofdstuk

Verslag verplichte onderdelen

Opmaak van het verslag

Voorblad, inhoudsopgave, paginanummering correct taalgebruik en spelling (zie Studiegids

Beoordeling A/NA

> taalbeleid)

Rekenonderzoek

O

V

G

U

opgaven met verschil in moeilijkheid en in strategieën bronvermelding en tabellen volgens APA norm diepgang analyse en conclusies

werkblad rekenstrategieën eigen uitwerkingen tabellen vergelijking met methode bespreking resultaten met mentor conclusie en aanbevelingen instructiemodel Realistisch Rekenen is gebruikt in lesbeschrijving toepassing van verschillende werkvormen in lesverslag

Rekenles volgens lesmodel realistisch rekenen

een kopie van de rekentaak lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto’s en/of video over de wiskunde in de les feedback van de mentor lesreflectie verantwoording aannames, rekenfeiten, afrondingen, resultaten

Les Schattend rekenen

Korte rapportage van de analyse van de beginsituatie De eigen uitwerking van het schatprobleem, waarbij wordt verantwoord: welke aannames, welke rekenfeiten, welke afrondingen, welk resultaat een kopie van de rekentaak lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto’s en/of video over de wiskunde in de les feedback van de mentor lesreflectie object van onderzoek en didactisch hulpmiddel

Les Zakrekenmachine

werkblad zakrekenmachine + antwoorden antwoordenblad zakrekenmachine lesvoorbereidingsformulier uitgebreid, verhalend verslag met foto’s en/of video over wiskunde in de les feedback van de de mentor lesreflectie

Eindcijfer


Pagina 8

Het dossier Rekenen in groep 567 Onderdeel 1 van het dossier Rekenen in groep 567: Onderzoek naar rekenmanieren Werkwijze en verslaglegging

Stap 0: bestudeer H1, 5 en 6 van Veltman, A. & Heuvel-Panhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Stap 1: Inventariseer de aanpakken van het optellen en vermenigvuldigen met getallen in het getallengebied tot 1000 in de rekenmethode van de stageschool. Analyseer hierbij:  Hoe is de opbouw van het onderwerp in de rekenmethode? (leerlijn)  Welke rekenaanpakken kun je volgens de methode verwachten? Let op: maak gebruik van bronvermelding volgens APA normering, bij het opnemen van dit onderdeel in je verslag. Stap 2: bestudeer de oefeningen in bijlagen 1 en 2 Stap 3: Maak een schriftelijk werk met 16 kale sommen voor de kinderen, waarin een opbouw naar moeilijkheidsgraad zit en waarin het mogelijk is de verschillende aangeleerde rekenstrategieën te gebruiken. Ontwerp 8 optelsommen waarvan minimaal 2 gemakkelijk met eigenschapsrekenen opgelost kunnen worden en ontwerp 8 vermenigvuldigsommen waarvan minimaal 2 gemakkelijk met eigenschapsrekenen opgelost kunnen worden. Zorg bij elk setje van 8 opgaven voor een opbouw in moeilijkheidsgraad. Geef op het opgavenblad bij de sommen ruimte om de tussenstappen op te schrijven en vraag de kinderen nadrukkelijk om dit te doen. Stap 4: Maak de 16 opgaven zelf op alle mogelijke manieren. Geef hierbij aan wat volgens jou de ‘meest logische’ rekenstrategie is. Stap 5: Laat de opgaven maken door tenminste 10 leerlingen van groep 7 van je stageschool. Stap 6: Kijk het werk na en inventariseer de gebruikte oplossingsstrategieën. Houd met kinderen die niet duidelijk hun tussenstappen genoteerd hebben een individueel gesprekje over het rekenwerk en de manier van rekenen. Stap 7: Orden de resultaten en maak twee tabellen:  Maak in een tabel een duidelijk overzicht van de goede en foute antwoorden per leerling volgens de APA normen (zie voorbeeld in bijlage 3)  Maak in een tweede tabel een duidelijk overzicht van de gehanteerde aanpak per opgave, per leerling volgens de APA normen (zie voorbeeld in bijlage 3). Stap 8: Vergelijk de manieren van rekenen van de kinderen met de leerlijn in de methode, zoals je die bij stap 1 hebt beschreven.


Pagina 9

Stap 9: Bespreek en evalueer de gevonden resultaten met de mentor van de groep. Stap 10: maak een analyse en formuleer conclusies. Beschrijf hier de informatie die je uit de tabellen haalt: welke aanpak is het meest gebruikt, welke aanpak is het minst gebruikt, welke aanpak levert verhoudingsgewijs de meeste goede antwoorden op, welke aanpakken worden door leerlingen met veel goede antwoorden gebruikt, etc. Beschrijf mogelijke verklaringen voor je bevindingen. Beschrijf welke conclusies er te trekken zijn en wat je naar aanleiding van het onderzoek met deze klas zou gaan doen; hoe zou je de resultaten van het onderzoek met de leerlingen bespreken? In je dossier Rekenen in groep 567 neem je een verslag van je onderzoek op, waarin de punten 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10 beschreven zijn.


Pagina 10

Onderdeel 2 van het dossier Rekenen in groep 567: Rekenles volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen

Wij gaan er vanuit dat je tijdens je stage veel rekenlessen geeft volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen. In je dossier neem je het verslag van drie gegeven rekenlessen op, waarbij minstens één les is uitgevoerd volgens het instructiemodel Realistisch Rekenen. Stap 0: bestudeer de theoretische achtergronden van de visies op rekenen. (bijlage 4) Stap 1: bestudeer de opbouw van het instructiemodel Realistisch Rekenen (bijlage 5) Stap 2: oriënteer je op een te geven rekenles in de stagegroep Stap 3: Maak voorafgaand aan de les een uitgebreide schriftelijke voorbereiding. Gebruik hiervoor het lesvoorbereidingsformulier in combinatie met het lnstructiemodel Realistisch Rekenen. Pas verschillende instructie- en werkvormen toe. Stap 4: Vraag (vooraf!) schriftelijke feedback op de lesvoorbereiding aan je mentor. Stap 5: Geef de les. Het maken van foto’s en/of video wordt aangeraden. Stap 6: Maak een uitgebreid chronologisch beschrijvend en verhalend verslag van de les, waarin in het bijzonder de rekenkundige inbreng van de leerlingen veel aandacht krijgt. In je dossier Rekenen in groep 567 neem je het verslag van je rekenlessen op, wat bestaat uit: Inleiding Informatie uit de klas welke school, welke groep, wie is de mentor, hoe worden de rekenlessen in de klas over het algemeen georganiseerd, zijn er opvallende rekenaars in de groep, hoe worden kladblaadjes gebruikt, etc. Lesverslag 1.1 Kopie van de taak uit de rekenmethode 1.2 Lesvoorbereidingsformulier 1.3 Verhalend lesverslag met in het bijzonder veel aandacht voor de rekeninhoudelijke kant van de les, de rekeninhouden van de interactie met de kinderen en het gebruik van de kladblaadjes Het gebruik van foto’s en/of video wordt hierbij aangeraden. 1.4 Feedback van de mentor 1.5 Eigen reflectie op de les, waarbij je aandacht besteedt aan de lesdoelen die je voor jezelf en voor de leerlingen had gesteld. Daarnaast reflecteer je op je eigen leerkrachtgedrag: wat heb je goed gedaan en wat zou je een volgende keer anders aanpakken.


Pagina 11

Onderdeel 2a van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een les met een schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken

Stap 0: Bestudeer eerst hoofdstuk 6 uit ‘Rekenen met hele getallen op de basisschool’. Begrijp de verschillende type schatvaardigheden zoals het in hoofdstuk 6 wordt beschreven. Voor de stageopdracht gaat het om “ een complex probleem waar gegevens ontbreken”, dus waar ook realistische aannames moeten worden gedaan. In dergelijke problemen komen veel aspecten en vaardigheden aan bod (handig afronden, handig rekenen, kritsch compenseren en beschikbaarheid van referentiematen.) Stap 1: Maak eerst de schatopgaven “Schatten aan de hand van krantenknipsels” in bijlage 6. Deze oefeningen zijn bedoeld voor uzelf om uw schatvaardigheden te trainen. Kies voor de stagegroep een andere pakkende tekst en op het juiste niveau! Precies cijferen is echt verboden! (en niet nodig). Neem bijvoorbeeld 25 uur in een dag en 50 minuten in een uur, of neem een oppervlakte van 10 bij 10 cm i.p.v. 12,4 bij 8,3. Analyseer na afloop bij elke opgave op de 4 aspecten: 1 Getalaspect (Getallen rond of mooi maken; Van rond gemaakte getallen zeggen hoe groot het getal geweest kan zijn). 2.Taalaspect (Gebruiken van de informele taal die past bij schatsituaties die zich in het dagelijks leven voordoen; Hanteren van het formele reken-wiskundige taalgebruik dat hoort bij het afronden en schattend rekenen (bijv..”circa”, “ruim”, “een berg…”, etc.) 3 Meetaspect (Gebruik van maatkennis; Relaties leggen met referentiegegevens; Gebruik maken van verhoudingen. In de cursus gecijferdheid 2 wordt het ontwikkelen van referentiematen geleerd) 4.Rekenaspect (Bewerkingen “handig” uitvoeren door gebruik te maken van “Eigenschapsrekenen, bijvoorbeeld vraag: hoeveel dagen zijn 1700 uur? Antwoord: 1700 : 24 is ong. 2000 : 25 (kritisch afronden namelijk beide getallen omhoog (GOK) is 8000 : 100 = (GOK eigenschap nl alles x 4) dus 80 dagen.”)

Stap 2: Selecteer een geschikte context (bijvoorbeeld een krantenknipsel of advertentie) om de leerlingen uit jouw stagegroep schattend te laten rekenen (liever groep 7 dan groep 5). Analyseer daartoe eerst de beginsituatie (hebben ze al vaker geschat? Hebben ze extra aandacht nodig op terrein van taalniveau? Welke maatreferenties kun je al verwachten? Etc.) Is het mogelijk (wel wenselijk) op de leerlingen in groepjes te laten werken? Ontwerp bij de geselecteerde context één of twee zinvolle vragen die zullen leiden tot mooi schattend rekenen.


Pagina 12

Werk nu eerst zelf de vragen uit tot een modelantwoord en analyseer/bespreek daarbij  welke gegevens je nodig hebt om een goed antwoord te kunnen geven.  welke gegevens ontbreken en welke aannames je daarvoor gaat maken (kun je die verdedigen?).  Met welke ronde getallen kan gerekend worden en probeer een “hoogstens”/ “minstens” antwoord te vinden. Gebruik geen rekenmachine, maar reken handig.  Welke extra informatie of instructie zal nodig zijn voor jouw stageleerlingen? Ontwerp vervolgens de concrete opdracht die je de leerlingen gaat geven. Stap 3: Laat de leerlingen in jouw stageklas dit werkblad uitvoeren. Stap 4: Beschrijf in je lesverslag je ervaringen en resultaten Deze uiteindelijke opdracht plus correcte uitwerkingen lever je in als bijlage bij je betreffende les in je ‘dossier Rekenen in groep 567’. (zie kopje “summatieve toetsing”)


Pagina 13

Onderdeel 2b van het dossier Rekenen in groep 567: Het ontwerp van een werkblad ZRM

Stap 0: Bestudeer eerst Hoofdstuk 7 uit ‘Rekenen met hele getallen op de basisschool’. Begrijp de 3 verschillende functies/aspecten van het gebruik van de rekenmachine op de basischool zoals het in hoofdstuk 7 wordt beschreven: 

De ZRM als object van onderzoek: het maakt de kinderen nieuwsgierig, ze ontdekken de werking van de verschillende knoppen en verkennen de bijzonderheden van het display (woorden maken!), maar ook 3 x 6 – 6 x 3 =? Wat antwoordt de ZRM?



De ZRM als didactisch hulpmiddel: de kennis van eigenschappen en relaties van bewerkingen wordt versterkt. Het is een manier om kinderen meer inzicht in getalstructuren en bewerkingen te laten krijgen. Bijv. toets in: +6 en vervolgens steeds het = teken (herhaald optellen)



De ZRM als rekenhulp voor lastig rekenwerk (Rekenslaafje): organisatie van de berekening, notatie in een rekenschema en weten hoe de ZRM rekent, gebruik van cijferknoppen, procenten, geheugen, schattend meerekenen en tot slot interpreteren van het antwoord (vooral bij delen met rest.)

Stap 1: Lees eerst de tekst “notities bij ZRM in de basisschool” (bijlage 7) Stap 2: Ontwerp of verzamel diverse opdrachten voor het werken met de ZRM met betrekking tot de 3 verschillende functies/aspecten. Verzamel gerust ook ideeen van anderen (internet!). Inventariseer op je stageschool welke groep kinderen (groep 5 of groep 6) uw werkblad gaan uitvoeren en ontwerp voor hen nu een werkblad voor het werken met een ZRM. Controleer of het werkblad klopt (test uit op iemand anders!) en formuleer zelf eerst de juiste voorbeelduitwerkingen. (maak een antwoordblad.) Let op! In groep 567 wordt de ZRM vooral ingezet als object van onderzoek en als didactisch hulpmiddel. Dus richt het werkblad op die eerste twee aspecten. Stap 3: Laat minstens 15 leerlingen uit groep 56 of 7 dit werkblad uitvoeren. Stap 4 Beschrijf in je lesverslag je ervaringen en resultaten Voeg het originele werkblad plus eigen correcte uitwerkingen toe als bijlage bij de betreffende les in uw ‘dossier Rekenen groep 567’. (zie kopje “summatieve toetsing”)


Pagina 14

Ondersteunend studie- en oefenmateriaal bij de doelen: (De cursus gecijferdheid 1 is geschikt voor eigenvaardigheid Eigenschapsrekenen, Kolomsgewijs rekenen en Cijferen) Doelen:  De student heeft kennis van de verschillende manieren waarop getallen in het dagelijks leven voorkomen en heeft kennis van de eigenschappen van bewerkingen (doel 1)  De student heeft inzicht in de telrij, (structuur van) getallen en getalrelaties en kan leerlingen helpen in het ontwikkelen van getalbegrip. (doel 3)  De student heeft kennis die nodig is voor het onderwijzen van de standaardprocedures (grondvormen van hoofdrekenen, kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen) en beheerst daarnaast en in relatie daarmee de opbouw van de verschillende leerlijnen, inclusief mogelijke variaties. (doel 4)

Oefening herkennen en benoemen van rekenmanieren:  Bekijk het filmpje “5 rekenmanieren” op n@tschool en probeer onderstaande tabel correct in te vullen (zie je rijgen? Kolomsgewijs? Winkelmethode? Cijferen? Termen veranderen? Compenseren? Andere manieren?): Lesfragment (van cd-rom behorend bij TAL, kinderen leren reken): ‘305 – 198’ in groep 6. Berekening van 305 - 198

Aanpak

Emma

Marieke

Joyce

Melvin

Jasper

Oriëntatie in de rekenmethode Bestudeer onderstaande bladzijden uit Alles telt en Rekenrijk groep 5 & 6 en probeer de diverse opgaven en plaatjes te koppelen aan wat je geleerd hebt uit Veltman, A. & HeuvelPanhuizen, M. van den. (2010). Rekenen met hele getallen op de basisschool. Houten: Noordhoff Uitgevers. Hoofdstuk 1, 5 en 6  Herken je de eigenschappen van bewerkingen?  Herken je de basisaanpakken rijgen, splitsen en varia?


Pagina 15

Alles telt, 5A

Alles telt, 5A


Pagina 16


Pagina 17

Alles telt, 5B


Pagina 18

Alles telt, 6B


Pagina 19

Rekenrijk, 6A

Rekenrijk, 6B


Pagina 20


Pagina 21

Oefening bij 3 grondvormen rijgen, splitsen, varia

Varia is onder te verdelen in een aantal verschillende manieren van handig rekenen. Iedere manier heeft zijn eigen naam. Hieronder staan voorbeeldsommen met de benaming(en) ervan. Vervolgens staan de verschillende manieren uitgewerkt en is er oefenmateriaal opgenomen. Optellen en aftrekken A. 245 + 197 = 242 + 200

B. 532 – 398 = 534 – 400

Termen veranderen Tribune som Transformeren

Termen veranderen Weegschaal som Transformeren

C. 35 + 29 = 35 + 30 – 1 = 65 – 1 65 – 27 = 65 – 30 + 3 = 35 + 3

D. 62 – 59 = 3, want 59 + 3 = 62

compenseren

inverse relatie aanvullen

E. 2+8=8+2

F. 8 + 7 + 2 = 8 + 2 + 7 = 10 + 7

wisselen

schakelen

Vermenigvuldigen en delen G. 5x7=7x5

H. 5 x 9 x 8 = 5 x 8 x 9 = 40 x 9

wisselen

schakelen

I. G. 4 x 36 = 4 x 30 + 4 x 6 84 : 7 = 70 : 7 + 14 : 7

J. 4 x 36 = 4 x 40 – 4 x 4 133 : 7 = 140 : 7 – 7 : 7

splitsen verdelen

compenseren

K. 12 x 15 = 6 x 30 128 : 4 = 64 : 2

L. 37 x 65 + 23 x 65 = (37 + 23) x 65 = 60 x 65 = 55 : 7 - 20 : 7 = (55 - 20) : 7 = 35 : 7 = 5

transformeren groter en kleiner (x) groter of kleiner (:)

Samen nemen

A. Termen veranderen, Tribune som, Transformeren Hoeveel kinderen samen?

Leg termen veranderen bij een + som uit m.b.v. context: tribune


Pagina 22

B. Termen veranderen, Weegschaal probleem, Transformeren. Amy wil het verschil in gewicht berekenen, door te rekenen met een rond getal. Wat is het gewicht van de dozen?

Leg termen veranderen bij een +-som uit m.b.v. context: weegschaal

C. Compenseren Berekenen met een rond getal: compenseren op de getallenlijn.

35 + 29 = 35 + 30 -1 = 65 – 1 = 64

65 – 27 = 65 – 30 + 3 = 35 + 3 = 38 Leg compenseren uit met behulp van een getallenlijn:


Pagina 23

F. G. en H. Schakelen Kies een handige volgorde: Optelling met 2 termen:

7 + 19 = 19 + 7 25 + 425 = 425 + 25 Maak twee sommen bij ieder plaatjes

Vermenigvuldiging met twee factoren:

4x5=5x4 65 x 8 = 8 x 65

I. en J. Splitsen of verdelen en compenseren.

Hoe laat je de eigenschap verdelen zien m.b.v. een roostermodel?

Hoe laat je compenseren zien bij x sommen m.b.v. een roostermodel?


Pagina 24

K. Transformeren, groter en kleiner en groter of kleiner

Hoe laat je zien met een roostermodel hoe je een vermenigvuldiging op lost met transformeren, groter en kleiner?

Groter en kleiner:16 x 15 = 8 x 30 Hoe laat je zien met een model hoe je een vermenigvuldiging op lost met transformeren, groter en kleiner?


Pagina 25

Oefening Toepassen rekenmanieren: (zie ook Gecijferdheid 1 !) Los de volgende sommen op door gebruik te maken van een handige strategie Eigenschapsrekenen. Schrijf steeds je tussenstappen op. 1

238 + 57 =

2

437 – 85 =

3

12 x 17 x 25 =

4

5 x 234 =

5

76 ÷ 4 =

6

765 ÷ 9 =

7

18,2 – 4,88 =

8

35,8 + 6,99 =

9

18 x 54,5 =

10

60 ÷ 0,15 =

Welke strategie is gebruikt bij de volgende sommen? Strategie 11

4,8 + 6,9 = 5 + 6,7 = 11,7

12

6,2 – 3 75 = 6,45 – 4 = 2,45

13

6 x 28 = 6 x 30 – 6 x 2 = 180 – 12 = 168

14

24,8 ÷ 4 = 24 ÷ 4 + 0,8 ÷ 4 = 6 + 0,2 = 6,2

15

367 + 185 = 367 + 200 – 15 = 567 – 15 = 552

16

32 x 15,5 = 16 x 31 = 8 x 62 = 8 x 60 + 8 x 2 = 480 + 16 = 496

17

8 x 53 = 8 x 50 + 8 x 3 = 400 + 24 = 424

18

23,56 + 5,4 + 5,44 = (23,56 + 5,44) + 5,4 = 29 + 5,4 = 34,4

19

2,87 ÷ 0,07 = 287 ÷ 7 = 280 ÷ 7 + 7 ÷ 7 = 40 + 1 = 41

20

34,5 – 15,8 = 34,5 – 16 + 0,2 = 18,5 + 0,2 = 18,7


Pagina 26

Oefening kolomsgewijs rekenen & Cijferen Bereken op twee manieren, namelijk eerst kolomsgewijs en daarna cijferend: 249 + 126 =

436 + 385 =

651 – 487 =

836 – 527 =

8 x 372 =

24 x 65 =

2712 : 6 =

422 : 12 =

Oefening rekenmanieren: Los de opgave op volgens de verschillende aanpakken. Aanpakken

Bereken 437 + 185 =

Rijgen

Splitsend rekenen /kolomsgewijs rekenen

Cijferen

Handig rekenen Termen veranderen

Handig rekenen Compenseren


Pagina 27

Aanpakken

Bereken 542 – 265 =

Rijgen

Rijgen de winkelmethode / aanrijgen.

Splitsend rekenen /kolomsgewijs rekenen

Cijferen

Handig rekenen Termen veranderen

Handig rekenen Compenseren


Pagina 28

Oefening Progressief schematiseren Progressief schematiseren is het proces waarbij kinderen via kolomsgewijs rekenen, leren cijferen. Je kunt hierin grofweg drie fases onderscheiden: - handelen met materiaal om de som op te lossen - schematisch weergeven van de som - werken met kale getallen Er wordt met behulp van materiaal en modellen gewerkt van concreet naar abstract. Hieronder zie je hiervan een voorbeeld. De verschillende fasen staan niet op de juiste volgorde. Bepaal zelf wat de logische volgorde is. Lees eerst de diverse manieren A t/m H en zet daarna in de tabel de juiste volgorde:

A

B


Pagina 29

C

D

E

F

G


Pagina 30

H

De juiste volgorde is:

rekenfase

1

2

3

4

5

6

7

8

Vul de juiste letter in:


Pagina 31

Oefening Standaardprocedures: De student beheerst didactische kennis die het leren van de standaardprocedures op de basisschool op gang brengt, ondersteunt en stimuleert, zoals relevante betekenisverlenende contexten en toepassingssituaties, modellen en schema’s en verkortingen. Deze kennis past hij toe om reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren. Hij stimuleert kinderen om na te denken over de onderlinge relaties tussen verschillende aanpakken (doel 5)

A Al lange tijd worden vraagtekens gezet bij het (maatschappelijk) nut van cijferend rekenen, vooral als het gaat om grote getallen (Zijlstra, 1890; Turkstra & Timmer, 1953; Van Gelder, 1969; Uittenbogaard, 2007). Met de komst van de rekenmachine is het maatschappelijk nut van cijferen verder afgenomen (Gravemeijer, 2001).³

Eén van de doelen van deze cursus is, dat je als student de voor- en nadelen kent van de verschillende standaardprocedures. Uiteraard is dit dus onderdeel van de toetsing. Onder deze standaardprocedures (ook wel algoritmes genoemd) vallen de grondvormen van hoofdrekenen (rijgen, splitsen en varia), kolomsgewijs rekenen, progressief schematiseren en cijferen.1 In de kennisbasis staan de voor- en nadelen opgesomd. Hieronder kun je ze lezen. Onder elk voor- of nadeel staan vragen en opdrachten, die je helpen om de stof goed te begrijpen. 1. Wat was vroeger het maatschappelijk nut van cijferend rekenen? Geef een voorbeeld. 2. Wanneer cijfer jij in het dagelijks leven? 3. Wat zou er verstaan worden onder grote getallen? 4. Van welk van onderstaande sommen vind je dat je ze zonder rekenmachine zou moeten kunnen oplossen? o 137 + 688 = o 14.937 + 34.899 = o 1987 – 1069 = o 23 x 78 = o 631 x 1295 = o 1014 : 13 = o 151.739 : 53 =

B Als algoritmes niet-inzichtelijk worden aangeleerd, worden ze makkelijk vergeten of worden er makkelijk fouten in gemaakt (Erlwanger, 1973).³

1

Zanten, M. van, F. Barth, J. Faarts, A. van Gool & R. Keijzer (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad.


Pagina 32

Hiermee wordt bedoeld dat je een kind best een ‘trucje’ kunt leren, zoals hoe je een som cijferend onder elkaar kunt uitrekenen. Als het kind echter alleen weet dat hij iets moet lenen, maar niet waarom en hoe, dan gaat het sneller mis en wordt sneller vergeten hoe het ook alweer moest.

1. Wat is een synoniem voor algoritme? 2. Welk algoritme ken jij? Geef een voorbeeld. 3. Schrijf op wat het verschil is tussen iets inzichtelijk aanleren en niet-inzichtelijk aanleren. 4. Bekijk de twee sommen hierboven. Twee leerlingen hebben 1324 – 678 uitgerekend. Wat valt je op aan de antwoorden? 5. Wat voor uitleg zou je geven aan de leerling die een fout maakt? 6. Welk materiaal zou je daarbij kunnen gebruiken?

C Bij procedures die zonder inzicht worden uitgevoerd, worden sneller fouten gemaakt, bijvoorbeeld wanneer er nullen in de getallen zitten bij het cijferend delen (Hoogland, 2008b). Inzichtelijk aangeleerde algoritmes kunnen met behulp van de inzichtelijke basis weer gereconstrueerd worden (vergelijk Vermeulen, 2005).³

In dit argument wordt aangegeven dat kinderen die rekenen zonder te begrijpen wat ze doen, sneller fouten maken. Bijvoorbeeld bij het plaatsen van nullen in het antwoord bij een deling.


Pagina 33

1. Wat wordt bedoeld met procedures uitvoeren? 2. Wat wordt bedoeld met reconstrueren? 3. Bekijk de twee sommen hierboven. Twee leerlingen hebben 4240 : 8 = uitgerekend. Wat valt je op aan de antwoorden? 4. Wat voor uitleg zou je geven aan de leerling die een fout maakt? Kun je dit doen door te reconstrueren? 5. Welk materiaal zou je daarbij kunnen gebruiken?

D Cijferen aanleren bestaat alleen uit procedurele aanwijzingen (aanwijzingen over welke vaste stappen je moet zetten), die bij verschillende getallen eigenlijk steeds anders moeten zijn (vanwege bijvoorbeeld lenen en inwisselen). Procedurele aanwijzingen zijn daardoor maar beperkt generaliseerbaar (niet in alle gevallen geldig) en maken bovendien niet zichtbaar waarom de procedure werkt (Ball e.a., 2008)³

Hier wordt bedoeld, dat als je kinderen leert cijferen, je daarvoor vaste stappen met ze doorloopt. Je leert ze bij een plussom bijvoorbeeld aan welke kant ze moeten beginnen (rechts) en dat ze de cijfers die boven elkaar staan moeten optellen. Wat daarna komt, is echter niet in alle gevallen hetzelfde. Kijk maar naar onderstaande sommen: 232 456 + -------

238 489+ -------

Bij de eerste som schrijf je het antwoord (8) netjes onder de 2 en de 6. Bij de tweede som, schrijf je een deel van het antwoord op (7) en moet je de 1, die eigenlijk een 10 is, onthouden. De stappen die je doorloopt in de procedure, zijn dus afhankelijk van de getallen waar je mee te maken hebt. Bovendien wordt bij deze procedure niet duidelijk waarom je doet wat je doet. Die 1 onthouden is voor veel kinderen een trucje, zonder dat ze weten dat ze eigenlijk een 10 erbij plaatsen in de kolom van de tientallen. 1. Schrijf stap voor stap op wat je moet doen om bovenstaande twee sommen cijferend uit te rekenen. 2. Doe dit nogmaals, maar dan kolomsgewijs. 3. Wat valt je op? Zijn de stappen bij de vier sommen generaliseerbaar (gelden de stappen ook voor andere sommen)? 4. Wat is makkelijker te reconstrueren: cijferen of kolomsgewijs rekenen?


Pagina 34

E Een aanpak als kolomsgewijs rekenen gaat uit van inzichtelijk handelen. De waarde van getallen blijft zichtbaar en de procedure sluit aan op het splitsend hoofdrekenen, dat leerlingen al eerder geleerd hebben. Als leerlingen echter niet tot verkorting komen, blijven ze veel deelstappen zetten bij het maken van een som. Vooral zwakkere rekenaars komen minder snel tot verkorting en juist zij hebben bij veel deelstappen meer kans op fouten in het uitvoeren van de procedure. Sommigen wijzen er op dat het goed is om juist zwakkere leerlingen alleen de standaardprocedures aan te leren(Huitema, 2009) terwijl anderen juist zeggen dat deze leerlingen wel verschillende strategieën kunnen aanleren (Boswinkel & Moerlands, 2001). Ook wordt er op gewezen dat kolomsgewijs rekenen alleen geschikt is voor kleine getallen (Van de Craats, 2007).³

In dit argument wordt een aantal dingen gezegd. Ten eerste dat kolomsgewijs rekenen inzichtelijker is dan cijferen, omdat je werkt met getallen in plaats van cijfers. Bovendien sluit het beter aan bij het hoofdrekenen dat de kinderen al eerder geleerd hebben.

In bovenstaande twee sommen zie je het werk van twee leerlingen die de som 1638 + 367 uitrekenen. Hierbij zijn ze op weg naar kolomsgewijs rekenen. 1. Hoe zie je het splitsend hoofdrekenen terug in deze uitwerkingen? 2. Welke leerling is al verder in zijn ontwikkeling bij deze som? 3. Hoe help je deze kinderen naar het onder elkaar, kolomsgewijs rekenen? Het volgende dat gezegd wordt in het argument hierboven is dat zwakkere rekenaars vaak veel tussenstappen blijven gebruiken. Hierdoor overzien ze hun werk minder goed en zullen ze meer fouten maken. Hieronder zie je nogmaals leerlingwerk bij de som 4240 : 8 = .


Pagina 35

4. Bekijk goed wat beide leerlingen doen. Zie je waar ze een fout maken? 5. Wat wordt bedoeld met ‘niet tot verkorting komen’? 6. Wat voor tips zou je de leerlingen geven om hun werk te verbeteren? Daarna wordt aangegeven dat sommige mensen vinden dat zwakkere leerlingen beter één standaardprocedure kunnen leren. Anderen zeggen echter dat ook zwakkere leerlingen best meerdere manieren naast elkaar kunnen gebruiken. 7. Wat doe jij zelf? Gebruik je altijd dezelfde manier om een som uit te rekenen? Denk hierbij terug aan jouw rekenwerk van de laatste tijd. Tot slot wordt er verteld dat kolomsgewijs rekenen alleen geschikt is voor opgaven met kleine getallen. 8. Is dat waar? Werk de som 784 x 2592 zowel kolomsgewijs als cijferend uit. Op welke manier ben je sneller klaar? 9. Wat kan er nog? Geef voor + - x en : aan wat jij kolomsgewijs nog acceptabel vindt. Maak bij allemaal een voorbeeldsom.

F Verkorting bij progressief schematiseren en kolomsgewijs vermenigvuldigen en delen is noodzakelijk. Kinderen zullen niet altijd uit zichzelf de meest efficiënte (meest handige) strategie ontdekken. Kinderen die sommen altijd oplossen met heel veel tussenstappen moeten gestimuleerd worden tot verkortingen (Uittenbogaard, 2009).³ Dit sluit aan bij wat in het vorige argument al verteld werd. Sommige kinderen zullen heel veel tussenstappen blijven gebruiken, zeker bij een deelsom. Je kunt in heel veel kleine hapjes toewerken naar een antwoord. Hierdoor lopen ze wel het risico om meer fouten te maken. Deze kinderen moeten geholpen worden om grotere stappen te zetten (verkorting), zodat ze makkelijker bij het eindantwoord komen.


Pagina 36

1. Leg eens uit waarom een kind meer fouten kan maken als het kleine hapjes gebruikt bij een deelsom. 2. Schrijf eens de deelsom 645 : 15 op met optimale happen en daarnaast dezelfde som met een staartdeling. Waarin zit het verschil?

G Welke standaardprocedure het meest efficiënt (meest handig) is en kan worden beschouwd als einddoel voor de basisschool, kan verschillen per kind. De verschillen in effectiviteit (de kans om tot een goed antwoord te komen) tussen cijferen en kolomsgewijs rekenen zijn voor de meeste leerlingen niet erg groot. De effectiviteit van uitwerkingen wordt (veel) meer beïnvloed door het wel of niet opschrijven van de uitwerking op papier. Voor leerlingen met een gemiddeld rekenniveau, lijkt het dat cijferprocedures effectiever zijn (Van Putten & Hickendorff 2009).³

Hier kom je terecht in de discussie tussen twee visies op rekenonderwijs: mechanistisch en realistisch rekenen. Sommige mensen in Nederland vinden dat het voldoende is als een kind goed inzichtelijk kan rekenen, anderen vinden het belangrijk dat kinderen snel de meest verkorte rekenmanier aanleren. Bijna alle rekenmethodes die gebruikt worden in Nederland gaan uit van realistisch rekenen. Daarin leren de kinderen inzichtelijk rekenen (bijvoorbeeld kolomsgewijs) en daarna wordt dat, tot op zekere hoogte, uitgebreid met verkortingen (bijvoorbeeld cijferen). Er zijn rekenmethodes in opkomst die het cijferen op de voorgrond plaatsen en meer mechanistisch werken, zoals ‘Reken Zeker’. In dit argument wordt aangegeven dat het einddoel niet voor ieder kind hetzelfde hoeft te zijn. Het is belangrijker dat een kind een methode aanleert die bij hem past en die hij vlot toe kan passen. Daarnaast maken kinderen minder fouten, wanneer ze hun berekening opschrijven. Daarbij maakt het niet uit of ze kolomsgewijs rekenen, cijferen of hoofdrekenen (met het opschrijven van tussenstappen). Hieronder zie je twee sommen die kinderen hebben uitgerekend, zonder het opschrijven van tussenstappen.

1. Bekijk bovenstaande opgaven. Wat denk je dat er fout is gegaan? 2. Wat voor tips zou je de leerlingen geven om hun werk te verbeteren? 3. Hoe goed ben je zelf in uit het hoofd rekenen? Vind je het prettig om kladpapier te gebruiken? Tot slot: Je hebt nu een heleboel geleerd over de voor- en nadelen van de verschillende standaardprocedures. Je zult gemerkt hebben dat er argumenten zijn voor en tegen en dat er niet altijd gezegd kan worden wat de waarheid is. Nu leer je vooral van de mening van anderen. In de loop van de tijd zul je je eigen mening ontwikkelen en deze visie leren onderbouwen.


Pagina 37

Uit De Volkskrant:

Staartdeling komt niet meer terug

Rekenmethoden vroeger en nu

ZO ZIT HET, Van onze verslaggever Robin Gerrits gepubliceerd op 04 april 2006 06:00, bijgewerkt op 20 september 2006 15:42

AMSTERDAM - Het rekenen is op de basisschool niet meer wat het geweest is. Het niveau van de leerlingen is achteruit gehold, blijkt uit onderzoek. Maar het ging toch juist zo goed? Nog in 1994 leken de prestaties steeds beter te worden. Waar ging het mis? Waar is het misgegaan? In 1994 concludeerde CITO-onderzoeker Joop Bokhove van de PPON (Periodieke Peiling van het Onderwijs Niveau) nog tevreden dat leerlingen van groep 8 het op bijna alle terreinen van het rekenen beter waren gaan doen. Alleen het cijferen bleef achter. Maar 'cijferen is een hogelijk overgewaardeerd onderdeel van het rekenen ', zei Bokhove in de Volkskrant, 'daar zijn apparaten voor en je doet het buiten de schoolmuren nauwelijks.' Belangrijker was, betoogde Bokhove, dat kinderen goed 'schattend' leerden rekenen , om bijvoorbeeld snel controles uit te voeren van wat de calculator voor ze doet. Dat schattend rekenen , dat in twintig jaar steeds meer ingang gevonden heeft, is ook de laatste jaren nog


Pagina 38

verbeterd. Maar het lijkt er soms op, stelt het PPON-rapport dat begin dit jaar uitkwam, dat kinderen alle opgaven uit het hoofd willen uitrekenen, ook als ze een som op papier kunnen uitrekenen. Omdat ze het niet kunnen, het niet precies weten, of er te weinig mee geoefend hebben. Daar staat tegenover dat de kinderen zich duidelijk hebben verbeterd in de beheersing van getallen en getalsrelaties, en in het schattend rekenen . Toch is de conclusie van een door de onderzoekers geraadpleegd panel van deskundigen (docenten, pabo -leerkrachten, leerlingbegeleiders) vernietigend: slechts 50 procent van de leerlingen haalt het gewenste niveau op de meeste onderdelen (13 van de 22). Voor het cijferen is dat zelfs minder dan 30 procent. Het schattend rekenen en de realistische of kolomsgewijze oplossingsbenadering voor bewerkingen, waarbij de som wordt uitgesplitst in deelsommen tot herkenbare grootheden ontstaan, verkleint kennelijk de kans op foutloosheid. 'Bij getallen die gemakkelijk af te ronden zijn, doen ze het daarbij nog wel goed', zegt onderzoeker Jan Janssen van het Cito, een van de samenstellers van het rapport. 'Maar bij ingewikkelder en grotere getallen kunnen ze niet meer terugvallen op de oude cijfermethoden, en rollen er vaak verkeerde uitkomsten uit.' Zorgwekkend, vindt Janssen: 'Een aantal resultaten geeft aanleiding ons te bezinnen op de strategieën die leerlingen krijgen aangeleerd voor bewerkingen op papier.' Ofwel, zoals het PPON-verslag Balans van het reken-wiskundeonderwijs constateert: scholieren zien door de bomen het bos niet meer. Ze krijgen zoveel methoden aangeleerd, dat ze die soms door elkaar halen. 'Persoonlijk zou ik ervoor zijn', zegt Janssen, 'kinderen weer één oplossingsstrategie aan te reiken, en daarmee goed oefenen.' Ook hoogleraar Koeno Gravemeijer, verbonden aan het Freudenthal Instituut voor rekenen wiskundeonderwijs, vindt dat knopen moeten worden doorgehakt in het rekenonderwijs, maar ziet weinig in meer training in cijferen. Integendeel: 'Je moet het onderwijs inrichten op wat kinderen er later mee gaan doen. Het niet handig veel tijd te steken in foutloos leren cijferen als je daarvoor later toch die rekenmachine gebruikt.' Gravemeijer vindt het investeren in inzicht in hoe berekeningen en getallen in elkaar zitten, zoals met het schattend rekenen en de kolomsgewijze benadering gebeurt, terecht. 'Als je een opgave zelf kunt ontrafelen in deelproblemen, brengt dat meer inzicht. Maar je moet wel het overzicht behouden.' Daarom moeten kinderen er weer toe worden aangezet hun deeloplossingen en tussenstapjes ook op te schrijven. Bij cijferen hoeft dat niet: daar gaat alles op schrift, en leidt de aanpak van de som automatisch naar het juiste antwoord, zonder dat je erover hoeft na te denken waarom je die stapjes neemt. Toch ziet Gravemeijer de staartdeling niet meer terugkomen. 'Hoogstens als intellectuele oefening. We kunnen beter investeren in methodes die misschien niet altijd voor iedereen foutloos werken, maar wel het inzicht verschaffen.'


Pagina 39

Informatie voor ouders bij de rekenmethode Alles telt: In groep 7 leren de kinderen staartdelingen maken. U hebt vast al gezien dat dat tegenwoordig heel anders gaat dan u vroeger zelf hebt geleerd! Hieronder ziet u een voorbeeld:

Als u zelf de som 3940 : 12 met een staartdeling uitrekent, doet u dat waarschijnlijk zo:

12/3940\328 rest 4 36 34 24 100 96 4


Pagina 40

Dat gaat toch prima zo? Waarom leren de kinderen het nu dan anders? Daar is een aantal redenen voor: 



De kinderen zijn vanaf groep 5 vertrouwd met het symbool voor delen: In de ‘oude’ staartdeling wordt het deelteken niet gebruikt, maar schuine strepen. Zo’n andere notatie is echter niet nodig en geeft alleen maar verwarring. Door gebruik te maken van een context, leren kinderen wat delen betekent. In bovenstaand voorbeeld rekenen kinderen uit hoeveel doosjes er nodig zijn om 3940 kaarsen te verpakken. 3940 : 12 betekent: hoeveel keer past de 12 in de 3940? Je kunt ook zeggen: hoe vaak kan 12 worden afgetrokken van 3940? In de eerste rekenstap van de ‘oude’ staartdeling wordt 36 van 39 afgetrokken. Eigenlijk betekent dit: 300 x 12 = 3600, dus 12 kan 300 keer van 3940 worden afgetrokken. Je houdt dan 340 over. Als je de ‘oude’ staartdeling vergelijkt met die van Tarik uit het voorbeeld, dan zie je dat de rekenstappen van beide staartdelingen eigenlijk hetzelfde zijn. Maar de betekenis van de rekenstappen is in de notatie van Tarik veel duidelijker. Dit komt omdat Tarik niet met losse cijfers rekent zoals bij de ‘oude’ manier, maar de getallen in zijn geheel blijft opschrijven. Het is bij het aanleren van de staartdeling belangrijk dat kinderen niet alleen leren het snel en foutloos te doen. Ze moeten ook begrijpen wat ze doen. Met de notatie van Tarik wordt de staartdeling inzichtelijker.

U ziet in het voorbeeld dat er verschillende manieren zijn om tot de goede oplossing te komen. Tarik gebruikt bij zijn staartdeling een zogenaamde verhoudingstabel. De kinderen leren om eerst in een tabel enkele handige producten van 12 te noteren. Ze hoeven dan tijdens het staardelen niet zo lang te zoeken naar bruikbare getallen. Tamara maakt een schatting bij de deling. Het leren schatten van de uitkomst is een belangrijke toevoeging bij het staartdelen, omdat je er het antwoord mee kunt controleren. Je weet in welke orde van grootte het antwoord moet zijn. Liesbeth maakt in haar staartdeling meer tussenstappen. Haar berekening is misschien iets minder efficiënt, maar wel goed. Zij zal in de loop van de tijd leren haar rekenwijze wat te verkorten. Hebt u zin om het nu zelf ook eens op de nieuwe manier te proberen? Kijk dan maar eens naar de volgende opgave. Veel succes!


Pagina 41

Opgaven Maak de opgave op twee manieren:

In de haven wordt een schip met 1250 m3 zand gelost. Het zand wordt afgevoerd met vrachtwagens die per rit 16 m3 zand meenemen. Hoeveel ritten moeten de vrachtwagens maken?

Kan je aan de hand van de context van opgave 1 uitleggen hoe de berekening met de oude en de nieuwe staartdeling gemaakt wordt?

Twaalf personen winnen samen € 75.000,- in de loterij. Hoeveel krijgt ieder?

Zie je verschil tussen de delingen bij de vorige twee opgaven?

Bereken 1460 : 32 = Maak de opgave op 2 manieren: o o

met een nieuwe staartdeling (kolomsgewijs), met een oude staartdeling (cijferend).


Pagina 42

Kan je bij de opgave 1460 : 32 = toelichten hoe je te werk gaat bij het ‘doordelen achter de komma’ in de oude en in de nieuwe staartdeling?

Wat zijn de belangrijkste verschillen tussen de oude en de nieuwe staartdeling?

Kan je aan de hand van de context van opgave 1 uitleggen hoe de berekening met de oude en de nieuwe staartdeling gemaakt wordt?


Pagina 43

Formatieve toets In deze formatieve toets vind je vragen over hoofdrekenen, schriftelijk rekenen, schattend rekenen, rekenen met de rekenmachine, getallen en getalrelaties en de onderdelen uit deze reader. De toets bestaat uit 20 open vragen. Het maken van deze toets geeft een reëel beeld van je beheersing van de kennis van rekenen in groep 5/6. Hoofdrekenen 1. Bereken de opgaven met de genoemde aanpak, let hierbij op een correcte notatie!

Aanpak:

Berekening (laat duidelijk zien hoe je te werk gaat):

a

Splitsen

134 – 66 =

b

Rijgen

72 – 45 =

c

Aanrijgen – de

winkelmethode

83 – 45 =

2. Geef bij iedere som aan op welke manier deze is uitgerekend. Kies uit: Rijgen, Splitsen, Aanrijgen – de winkelmethode Berekening:

Aanpak:

98 : 7 = a

70 : 7 = 10 28 : 7 = 4 10 + 4 = 14 5 x 32 =

b

32 + 32 = 64 64 + 64 = 128 128 + 32 = 160


Pagina 44

c

114 – 68 = 100 – 60 = 40 14 – 8 = 6 40 + 6 = 46

3. Sander rekent zijn som als volgt uit: 73 – 27 = 73 – 20 = 53 53 – 7 = 44 Hij maakt vaak deze zelfde fout. Wat denk je dat Sander fout doet? Welk materiaal zou je gebruiken om Sander te helpen? Het is daarbij belangrijk dat je probeert aan te sluiten op de manier die Sander gebruikt. 4. Maak onderstaande opgaven met Hoofdrekenen: varia. Kies uit: Termen veranderen, compenseren, wisselen, schakelen, samen nemen, verdelen, groter en/of kleiner. Zorg ervoor dat de eigenschap zichtbaar is in minimaal één tussenstap en benoem de eigenschap die je gebruikt hebt. 365 – 286 =

2 ½ x 17 x 4 =

280 : 35 =

74 x 78 – 25 x 78 =

5 x 269 =

347 + 198 =


Pagina 45

Schriftelijk rekenen 5. Leerlingenwerk van Stan: Vraag I: Reken de opgave kolomsgewijs na: (Laat in je berekening duidelijk zien, dat je het kolomsgewijs hebt opgelost). Vraag II: Wat doet Stan waarschijnlijk fout?

Stan:

463 389+ ----842

6. Leerlingenwerk van Maaike: Vraag I: Reken de opgave kolomsgewijs na: (Laat in je berekening duidelijk zien, dat je het kolomsgewijs hebt opgelost). Vraag II: Wat doet Maaike waarschijnlijk fout?

Maaike:

12 / 721,44 \ 6,12 72 014 12 24 24 0


Pagina 46

7. Leerlingenwerk van Lars: Vraag I: Reken de opgave cijferend na: (Laat in je berekening duidelijk zien, dat je het cijferend hebt opgelost). Vraag II: Wat doet Lars waarschijnlijk fout? Lars:

18 x 27 = 10 x 20 = 200 8 x 7 = 56 200 + 56 = 256

Schattend rekenen 8. De fasering voor het leren van schattend rekenen bestaat uit 3 fases. Fase 1 is informeel schattend rekenen. Noem fase 2 en 3. 9. 6516 + 4444 = Los deze som op door regelgeleid af te ronden op duizendtallen. 10. Joep moet de volgende som schattend uitrekenen: 3,95 + 0,45 + 2, 04 + 4,52 = Hij doet dit als volgt: 4 + 0,5 + 2 + 4,5 = 11 In welke fase van het schattend rekenen bevindt Joep zich? Rekenen met de rekenmachine 11. In het basisonderwijs wordt de rekenmachine onder andere gebruikt als rekenhulp. Noem de twee andere functies van de rekenmachine in het basisonderwijs. 12. Welke som zou je met de rekenmachine uitrekenen? Leg uit waarom. 599 + 598 = 5 x 240 = 7 x 149 = 8734 – 2687= 13.009 – 12.989 =


Pagina 47

Getalrelaties 13. Leg uit wat een priemgetal is en geef vijf voorbeelden van priemgetallen. 14. Schrijf de delers op van het getal 48. Realistisch rekenen 15. Het rekenwerk van leerlingen moet nagekeken worden. Leg uit hoe dat in zijn werk (kan) gaan bij een realistische rekenles en wat daarbij het verschil is met de ‘oude’ reproductiedidactiek. 16. Lees het volgende stukje uit: Volgens Bartjens. jaargang 25. 2005/2006. nr. 2 Erica Goeij. Ik doe van de 43 één naar de 39 In de eerste les van blok 11 (boek 4b) maken de leerlingen kennis met het aftrekken met een rond getal. Het verschil in gewicht tussen twee personen (68 – 29) is als context gekozen om de leerlingen te laten ervaren dat het verschil tussen twee getallen in een aftrekking niet verandert als beide met een zelfde getal worden vermeerderd of verminderd (69 – 30). De leerkracht en een van de kinderen gaan op een weegschaal staan en de klas bepaalt het verschil tussen hun gewicht. Vervolgens nemen beiden een zelfde zwaar voorwerp in de handen en gaan opnieuw op de weegschaal staan. De leerlingen zullen ontdekken dat beide personen zwaarder zijn geworden, maar dat het verschil in gewicht gelijk blijft. Welke elementen van realistisch rekenen vind je hierin terug? Leg uit waarom. 17. Schrijf de fases van het instructiemodel Realistisch Rekenen op, in de juiste volgorde. 18. Leg uit wat een periodieke korte herhaling is en beschrijf het doel ervan. 19. Welke manier van rekenen past het best bij de volgende som? Leg uit welke stappen je doorloopt om tot je antwoord te komen. Er zijn 3135 ijsjes verkocht. Die zaten in dozen van 36 stuks. Hoeveel dozen ijs zijn gebruikt? 20. Juf Janneke leert de kinderen kolomsgewijs delen. Ze laat ze hierbij vrij in hoe groot ze hun happen maken en hoeveel deelstappen ze gebruiken. Leg aan juf Janneke uit waarom ze dit beter niet kan doen.


Pagina 48

Antwoorden formatieve toets 1. (3 punten) Aanpak:

Berekening (laat duidelijk zien hoe je te werk gaat):

1

Splitsen

134 – 66 = 130 – 60 = 70 4 – 6 = -2 70 – 2 = 68 of 134 – 66 = 120 – 60 = 60 14 – 6 = 8 60 + 8 = 78

2

Rijgen

72 – 45 = 72 – 40 – 5 = 32 – 5 = 27

3 Aanrijgen – de winkelmethode

83 – 45 = 45 + 5 = 50 50 + 30 = 80 80 + 3 = 83 5 + 30 + 3 = 38

2. (3 punten) Berekening: 1 98 : 7 = 70 : 7 = 10 28 : 7 = 4 10 + 4 = 14 2 5 x 32 = 32 + 32 = 64 64 + 64 = 128 128 + 32 = 160 3 114 – 68 = 100 – 60 = 40 14 – 8 = 6 40 + 6 = 46

Aanpak:

Splitsen

Rijgen

Splitsen

3. (3 punten) Sander is rijgend aan het rekenen. Hij haalt netjes de tientallen van het geheel af en komt dan op 53. Waarschijnlijk splitst hij de 7 in 3 en 4. Dan springt hij eerst naar het tiental (53 -3 = 50). Hij snapt dat zijn antwoord in de 40 moet zijn, maar weet niet goed wat hij met die laatste vier moet doen. Deze doet hij erbij, in plaats van eraf. Sander is het best geholpen met materiaal dat zijn aanpak ondersteunt. Je kunt hierbij denken aan de lege getallenlijn of de kralenketting. Deze materialen helpen hem zijn rijgende aanpak goed af te maken.


Pagina 49

4. (6 punten) Hieronder staan voorbeelden van juiste uitwerkingen. Vaak zijn er meerdere manieren nodig. Let wel op dat een = ook echt = betekent. 365 – 286 = 379 – 300 = 79 (termen veranderen) 2 ½ x 17 x 4 = 4 x 2 ½ x 17 = 10 x 17 = 170 (schakelen) 280 : 35 = 560 : 70 = 8 (groter OF kleiner) 74 x 78 – 25 x 78 = 49 x 78 = 50 x 78 – 1 x 78 = 3900 – 78 = 3822 ( samen nemen en daarna verdelen) 5 x 269 = 10 x 134,5 = 1345 (groter EN kleiner) 347 + 198 = 347 + 200 – 2 = 547 – 2 = 545 (compenseren)

5. Leerlingenwerk van Stan: (2 punten) Stan: 463 389+ ----842

463 389 + ----700 140 12 ----852 Stan is cijferend aan het rekenen. Hij vergeet dat hij bij 3 + 9 = 12 de 1 moest onthouden en bij de tientallen moest voegen.

6. Leerlingenwerk van Maaike: (2 punten) Maaike: 12 / 721,44 \ 6,12 72 014 12 24 24 0

721,44 : 12 = 720___ 1,44 1,20 -----0,24 0,24 -----0

60 x 0,1x

0,02x 60,12

Maaike rekent cijferend. Nadat ze de 1 naar beneden heeft gehaald, moet ze zich realiseren dat de 12 daar 0 x in past. Deze 0 had ze op moeten schrijven, voor ze de 4 naar beneden haalt.


Pagina 50

7. leerlingenwerk van Lars: (2 punten)

Lars: 18 x 27 = 10 x 20 = 200 8 x 7 = 56 200 + 56 = 256

27 18 x ----216 270 ----486 Lars vermenigvuldigt alleen de tientallen met elkaar en vervolgens de lossen. Hij vergeet dat hij de tienen en de lossen ook met elkaar moet vermenigvuldigen, dus ook 10 x 7 en 20 x 8.

8. Regelgeleid schattend rekenen en flexibel schattend rekenen. (2 punten) 9. 7000 + 4000 = 11.000 (2 punten) 10. Joep bevindt zich in de fase van het regelgeleid schattend rekenen. (2 punten) 11. De rekenmachine als object van onderzoek en de rekenmachine als didactisch hulpmiddel. (2 punten) 12. (2 punten)     

599 + 598 niet, kan gemakkelijk uitgerekend worden via 600 + 600. 5 x 240 niet, kan gemakkelijk uitgerekend worden via 10 x 120. 7 x 149 niet, kan gemakkelijk uitgerekend worden via 7 x 150. 8734 – 2687 wel. 13009 – 12989 niet, kan gemakkelijk uitgerekend worden met de winkelmethode.

13. Een priemgetal is een getal dat je alleen door 1 en zichzelf kunt delen. Het wordt ook wel een strookgetal genoemd, omdat je, wanneer je een tuintje moet tekenen met dit getal als oppervlakte, je alleen een strook kunt tekenen. Bijvoorbeeld 37: 1 x 37 Priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 etc. (2 punten) 14. De delers van het getal 48 zijn: 2, 24, 3, 16, 4, 12, 6 en 8. (2 punten) 15. (3 punten) Al tijdens de uitleg van de les krijgen leerlingen gelegenheid om in kleine groepjes over een probleem na te denken. Een aantal van de oplossingsmethodes worden klassikaal besproken, waarbij zowel de leerkracht als de leerlingen elkaar van feedback voorzien. Ook tijdens de inoefening mogen leerlingen elkaar helpen (niet voorzeggen) en loopt de leerkracht rond om met leerlingen hun antwoorden te bespreken. Uiteraard bekijkt de leerkracht ook met regelmaat de schriften van de leerlingen. Het nakijken is vooral procesgericht.


Pagina 51

Bij de reconstructiedidactiek is er minder ruimte voor inbreng van oplossingsmethoden en daardoor ook minder feedback hierop. De leerlingen ontvangen voornamelijk schriftelijke feedback, omdat de leerkracht de gemaakte sommen heeft nagekeken. Soms mogen leerlingen zelf nakijken door middel van het antwoordenboekje. Hierbij wordt nauwelijks ingegaan op de oplossingsmethode. Het nakijken is vooral resultaatgericht en niet procesgericht. 16. (2 punten) Er wordt gewerkt met een context (de weegschaal). Er vindt interactie plaats (de klas bepaalt het verschil, de leerlingen ontdekken wat de regel is bij dit soort sommen). 17. (3 punten) 0. Warming up 1. Lesoverzicht 2. Periodieke korte herhaling 3. Presentatie lesonderdelen 4. Verwerking 5. Evaluatie 18. (3 punten) De periodieke korte herhaling is een kort moment (5 a 10 minuten) tijdens de les waarin vaardigheden geoefend worden die niet per se in verband staan met de (methode)les van die dag. Het doel is om basale vaardigheden als klokkijken, tafels, sommen tot 10 en 20 te automatiseren. 19. (2 punten) Stap 1: Als het nodig is verhelder ik de vraag. Het is me nu duidelijk dat het gaat om 3135 ijsjes, die verpakt zaten in dozen van 36 stuks. Ik wil weten hoeveel dozen het waren. Stap 2: Ik wil precies weten om hoeveel dozen het gaat. Stap 3: 3135 : 36 = Stap 4: Ik schat heel grof: 3500 : 35 = 100, dus het antwoord ligt in de buurt van 100. Stap 5: 3135 : 36 = 2880 80 x ------255 252 7x -----3 87, rest 3 Er zijn 87 hele dozen gebruikt en uit de volgende doos zijn er 3 ijsjes gehaald, dus totaal 88 dozen. 20. (2 punten) Wanneer je kinderen heel veel kleine happen laat gebruiken loop je het risico dat er sneller fouten gemaakt worden, omdat er meer gerekend moet worden. Het is efficiënter en effectiever om kinderen te leren om zo groot mogelijke happen te gebruiken. Totaal kun je 50 punten halen voor de toets. Bij 35 punten heb je een voldoende gehaald.


Pagina 52

Literatuurlijst Goffree, F. (2005). Kleuterwiskunde. Groningen: Wolters-Noordhoff. KNAW (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Amsterdam: KNAW. Treffers, A. (1978). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel.

Treffers, A., Moor, E. de, & Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1 Overzicht einddoelen. Tilburg:Zwijsen. With, J., de, Littel, H., & Hoogendijk, W. (2003). De rekenles: een vak apart. CED-Groep, Afdeling Primair Onderwijs.


Pagina 53

Bijlage 1: Voorbereiding en studie voor onderzoek rekenmanieren: Onderzoeksvraag: In hoeverre gebruiken kinderen de in de methode en de door de leerkracht aangereikte rekenstrategieën? Hieronder ziet u een voorbeeld van en leervragen bij zo´n onderzoek:

leerlingenwerk


Pagina 54


Pagina 55


Pagina 56


Pagina 57

Bijlage 2: Oefeningen foutenanalyse Maak een foutenanalyse bij elk van de hierna volgende - door leerlingen opgeloste – opgaven en zet een rondje om de goede manier van rekenen (cijferend of kolomsgewijs): Tim: 463 389+ 842

Het goede antwoord is: 852 Wat heeft Tim niet goed gedaan: Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Tim: Tim rekent: cijferend / kolomsgewijs

Sanne: H T E 4 6 3 3 8 9+ 1 2 1 4 7_____ 7 2 6

Het goede antwoord is: Wat heeft Sanne niet goed gedaan: Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Sanne: Sanne rekent: cijferend / kolomsgewijs

Emrah:

Het goede antwoord is:

845 382500 - 40 3 457

Wat heeft Emrah niet goed gedaan:

Filiz:

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Emrah: Emrah rekent: cijferend / kolomsgewijs


7 13

Wat heeft Filiz niet goed gedaan:

845 382453

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Feliz: Feliz rekent: cijferend / kolomsgewijs

Jurre: 763 382421

Het goede antwoord is: Wat heeft Jurre niet goed gedaan: Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Jurre: Jurre rekent: cijferend / kolomsgewijs


Pagina 58

Naomi:


13 7x 21 7 28

Wat heeft Naomi niet goed gedaan:

Kristijan:


47 12x 400 14 414

Wat heeft Kristijan niet goed gedaan:

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Naomie: Naomie rekent: cijferend / kolomsgewijs

(10 x 40) ( 2 x 7)

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Kristijan: Kristijan rekent: cijferend / kolomsgewijs

Lotte:


63 74x 252 5110 5362

Wat heeft Lotte niet goed gedaan:

Cheng:


511 60x 60 600 3000 3660

Wat heeft Cheng niet goed gedaan:

Wouter:


36 / 2075 \ 561 r. 23 180 275 216 59 36 23

Wat heeft Wouter niet goed gedaan:

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Lotte: Lotte rekent: cijferend / kolomsgewijs

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Cheng: Cheng rekent: cijferend / kolomsgewijs

Wat is/zijn dus aandachtspunt(en) voor Wouter: Wouter rekent: cijferend / kolomsgewijs


Pagina 59

Bijlage 3: Tabellen volgens APA-normen Tabel 1 Beoordeling opgave per leerling Leerling

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Jaap G

+

-

+

-

+

Jaap W

-

-

+

+

+

Miranda

+

+

+

-

-

Bas

+

-

+

+

-

Jos

-

-

-

+

-

Eva

+

-

+

+

+

Tabel 2 Rekenstrategie opgave per leerling Leerling

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Jaap G

compens

kolomsgewijs

rijgen

groterOFkleiner

cijferen

Jaap W

splitsen

kolomsgewijs

cijferen

kolomsgewijs

cijferen

rijgen

kolomsgewijs

cijferen

cijferen

cijferen

Bas

splitsen

kolomsgewijs

kolomsgewijs

cijferen

cijferen

Jos

compens

kolomsgewijs

rijgen

cijferen

cijferen

Eva

cijferen

kolomsgewijs

cijferen

cijferen

cijferen

Miranda


Pagina 60

Bijlage 4: Theoretische achtergronden bij Realistisch Rekenen Geschiedenis Halverwege de vorige eeuw werd rekenen op de lagere school op traditionele wijze gegeven. Men was echter niet tevreden over de manier van lesgeven en over de resultaten. De overheid richtte daarom commissies in, die moesten nadenken over de vernieuwing van het rekenen wiskundeonderwijs. Zo ontstond in 1971 de werkgroep Wiskobas, die zich specifiek richtte op het lager onderwijs. Deze werkgroep ontwikkelde een nieuw leerplan, waarbij de lessen anders moesten worden gegeven dan voorheen. Prof. dr. Adri Treffers was onderdeel van de werkgroep Wiskobas. In 1979 bedacht hij de term ‘realistisch rekenen’, omdat het nieuwe leerplan veel meer uitging van realistische contexten, die aansloten bij de belevingswereld van de leerlingen. Leerlingen moesten zich iets voor kunnen stellen bij de sommen die ze kregen, zodat de stof meer betekenisvol zou worden. Steeds meer rekenmethodes sloten zich aan bij deze nieuwe manier van werken. Vanaf 2002 (de invoering van de euro) waren alle methodes voor het basisonderwijs realistisch. Toen de methodes in 2010 werden vernieuwd gingen de meeste methodes door met realistisch rekenen. Een enkeling ging weer terug naar het traditionele rekenen. 2 Mechanistisch rekenen (traditioneel) Het traditionele rekenen wordt ook wel mechanistisch rekenen genoemd, of rekenen volgens de reproductiedidactiek. Hierbij wordt op de volgende manier gewerkt: -

-

2

De leerkracht biedt de leerlingen één strategie (het standaardalgoritme) aan waarmee een bepaalde som opgelost kan worden. Een som als 243 + 135 wordt bijvoorbeeld altijd cijferend onder elkaar uitgerekend. De leerlingen oefenen deze strategie uitgebreid, tot ze hem goed beheersen. Dit doen ze voornamelijk individueel en op papier. De leerkracht leert de leerlingen stap voor stap, van makkelijk naar moeilijk, alle standaardalgoritmes (voor +, -, x en :) en laat deze grondig inoefenen. Men gaat er van uit dat de leerlingen, door dit grondig oefenen, vanzelf begrip en inzicht krijgen in de strategieën. Er is weinig ruimte voor het werken met materiaal. Het werken met contexten vindt pas plaats als het standaardalgoritme vlot gebruikt kan worden. Een kind moet dus eerst soepel de som 243 + 135 uit kunnen rekenen, voor het deze som in een verhaaltje zal moeten toepassen. ¹

KNAW (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Amsterdam: KNAW.


Pagina 61

Realistisch rekenen Het idee achter het realistisch rekenen is, dat je rekenen in het dagelijks leven tegenkomt en nodig hebt. Het onderwijs moet daarbij aansluiten en de leerlingen op weg helpen om alledaagse rekenproblemen op te kunnen lossen. Realistisch rekenen of rekenen volgens de reconstructiedidactiek is gebaseerd op 5 uitgangspunten die in 1987 door Prof. dr. Adri Treffers zijn beschreven. 1. Construeren en concretiseren Het rekenonderwijs moet uitgaan van realistische problemen. De leerlingen krijgen een context aangeboden waar ze zich iets bij voor kunnen stellen. Hiermee gaan de leerlingen zelf aan de slag. Ze proberen op hun eigen manier een probleem op te lossen en construeren zo hun eigen kennis. De leerkracht moet zorgen voor realistische contexten en moet de leerlingen de ruimte geven om (onder begeleiding) na te denken over het probleem en met voorstellen te komen voor een oplossing. 2. Niveaus en modellen Nieuwe leerstof wordt vaak eerst heel concreet aangeboden, met realistisch materiaal. Denk bijvoorbeeld aan geld dat gebruikt wordt bij een plussom. Naarmate de leerling vordert wordt de stof steeds abstracter aangeboden. Om de leerling hierbij te helpen wordt vaak gebruik gemaakt van verschillende modellen (denk bijvoorbeeld aan MAB-materiaal, eierdozen, rekenrek etc.). De leerkracht moet tijdens de les inspelen op de verschillende niveaus van de leerlingen. Het kan dus zijn dat hij dezelfde som door het ene kind met geld laat uitvoeren, door een ander op een lege getallenlijn en door weer een ander uit het hoofd. 3. Reflectie en eigen productie Leerlingen laten reflecteren op hun eigen handelen helpt hen om op een hoger niveau te komen. Wanneer de leerkracht de leerlingen bevraagt over hun werk en hen laat nadenken over wat ze gedaan hebben, zal er meer inzicht ontstaan. Daarnaast wordt het heel belangrijk gevonden om leerlingen met regelmaat zelf opgaven te laten bedenken (bijvoorbeeld voor andere kinderen uit de klas). Het bedenken van deze sommen heeft als doel, dat leerlingen nadenken over dat wat ze geleerd hebben. Ze komen zo boven de stof te staan. 4. Sociale context en interactie Binnen het rekenen is het belangrijk om van en met elkaar te leren. Er vinden discussies plaats over welke strategie bijvoorbeeld het handigst is bij een bepaalde som. Kinderen vertellen aan elkaar wat ze gedaan hebben en leren zo van elkaar. 5. Structureren en verstrengelen De verschillende onderdelen binnen het rekenen zijn niet los van elkaar te zien. Bij een deelsom, moet je bijvoorbeeld ook weten hoe je moet vermenigvuldigen en voor meten moet je vaak ook weten hoe je met kommagetallen omgaat. De leerkracht moet alle onderdelen in samenhang aanleren, zodat leerlingen hun geleerde kennis ook echt in de praktijk kunnen toepassen. 3

3

KNAW (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Amsterdam: KNAW.


Pagina 62

Het verschil tussen Mechanistisch en Realistisch rekenen samengevat in een schema:

Reproductiedidactiek / Mechanistisch rekenen

Reconstructiedidactiek / Realistisch rekenen

A. Leerlingen absorberen de rekenstof en krijgen formele rekenhandelingen aangeboden. De leerkracht doet voor en de leerlingen doen dit na. Vaak zonder concrete contexten. Contexten worden alleen gebruikt om het ‘geleerde’ te oefenen.

A. Leerlingen construeren hun eigen oplossingswijze (zelf oplossingen bedenken en verkorten) en kunnen daarbij concretiseren.

B. Leerlingen leren door stapelend gevalvoor-geval in toenemende moeilijkheid in te oefenen.

B. Leerlingen leren door verschillende abstractieniveaus te doorlopen. De niveauverhoging vindt vaak plaats m.b.v. modellen.

C. Alleen feedback van de leerkracht (het is goed of het is fout) en er is sprake van reproductie (rijen opgaven met hetzelfde probleem, om de regels en procedures ‘in te slijpen’). Het antwoord staat in het antwoordenboekje.

C. Leren door reflecteren (n.a.v. feedback van de leerkracht, de medeleerlingen en van jezelf) en er is sprake van eigen productie (het zelf bedenken van sommen). Mogelijke antwoorden staan in de handleiding voor de leerkracht.

D. Het rekenen is een solo-activiteit

D. Het rekenen vindt plaats in een sociale context en met interactie

E. Rekenen & wiskunde bestaat uit losse kennis- en vaardigheidselementen.

E. Rekenen & wiskunde bestaat uit structuren en verstrengelingen. Dit wil zeggen geïntegreerde kennis zowel binnen de leerstofgebieden als tussen de leerstofgebieden onderling.

Het rekenprobleem staat in een (voor het kind) concrete context. Contexten worden gebruikt om te leren.

Voor meer achtergrondinformatie: -

Goffree, F (2005). Kleuterwiskunde. Groningen: Wolters-Noordhoff. Blz. 245 t/m 248. Treffers, A., E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1 Overzicht einddoelen. Tilburg:Zwijsen. Blz. 9 t/m 22.


Pagina 63

Bijlage 5: Het instructiemodel Realistisch Rekenen Lees onderstaand artikel van De With, Littel & Hoogendijk (2003).


Pagina 64


Pagina 65


Pagina 66


Pagina 67


Pagina 68


Pagina 69


Pagina 70


Pagina 71


Pagina 72


Pagina 73


Pagina 74


Pagina 75


Pagina 76

Nogmaals Het instructiemodel Realistisch rekenen vanuit het observatiemodel toegelicht: Uit: De rekenles, een vak apart, Een uitgave van de CED-Groep, Afdeling Primair Onderwijs


Pagina 77


Pagina 78


Pagina 79


Pagina 80


Pagina 81


Pagina 82


Pagina 83

Bijlage 6: Schatten Oefening en voorbereiding voor Schatprobleem-waar-gegevens-ontbreken: Schatten aan de hand van krantenknipsels

Warming up: Komma’s vergeten?! Bij het uitlezen van de rekenmachine zijn de komma’s vergeten. Waar moet de komma in het antwoord staan? Beantwoord de vraag met ‘Schattend rekenen’. 22,75 x 42,055 x 235,8 = 22560194 (10,456 + 6,08) x 204,095 = 33749149 (43529,66 – 57,09) : 8,925 = 48708762 (45,8 x 0,835 + 24,05 x 108,6) : (0,652 x 1207,32) = 33500732 (2,4 x 896,075) : (60,9 –1,859) = 36425196 Probeer bij het beantwoorden van de volgende schatopgaven systematisch te werken:     

Lees de concrete vraag Bedenk welke gegevens je nodig hebt om een goed antwoord te kunnen geven. Lees het artikel en bedenk welke gegevens ontbreken en welke aannames je daarvoor gaat maken (kun je die verdedigen?). Ga met ronde getallen rekenen en probeer een “hoogstens”/ “minstens” antwoord te vinden. Gebruik geen rekenmachine, maar reken handig. Zet per opdracht in je antwoord: o Welke aannames heb ik gebruikt? o Welke rekenfeiten heb ik gebruikt? o Welke afrondingen heb ik gedaan? o Welk resultaat dat heeft opgeleverd, waarbij je aangeeft binnen welke marges jouw antwoord valt?


Pagina 84

1. Wat krijgt Moberg per uur?

€ 10 miljoen per jaar. Hoeveel verdien je dan per uur? Beantwoord de vraag met ‘Schattend rekenen’.


Pagina 85

Welke aspecten van het ‘Schattend rekenen’ zijn er gebruikt bij de opgave ‘Wat krijgt Moberg per uur? Hoe zijn de aspecten van het ‘Schattend rekenen’ gebruikt? 1  

2 



3

Getalaspect Getallen rond of mooi maken. Van rond gemaakte getallen zeggen hoe groot het getal geweest kan zijn.

Taalaspect Gebruiken van de informele taal die past bij schatsituaties die zich in het dagelijks leven voordoen. Hanteren van het formele, reken-wiskundige taalgebruik dat hoort bij het afronden en schattend rekenen.



Meetaspect Gebruik van maatkennis. Relaties leggen met referentiegegevens. Gebruik maken van verhoudingen.



Rekenaspect Rekenen met ronde of mooie getallen.

 

4


Pagina 86

2. Koffie

Er passen zeker 5 miljoen pakken koffie van elk 250 gram in Het grootste pak koffie ter wereld. Klopt dat wel?

Kunnen de Rotterdammers een jaar lang koffie drinken van dit pak koffie?


Pagina 87

Welke aspecten van het ‘Schattend rekenen’ zijn er gebruikt bij de opgave Koffie? Hoe zijn de aspecten van het ‘Schattend rekenen’ gebruikt? 1  

2 



3

Getalaspect Getallen rond of mooi maken. Van rond gemaakte getallen zeggen hoe groot het getal geweest kan zijn.

Taalaspect Gebruiken van de informele taal die past bij schatsituaties die zich in het dagelijks leven voordoen. Hanteren van het formele, reken-wiskundige taalgebruik dat hoort bij het afronden en schattend rekenen.



Meetaspect Gebruik van maatkennis. Relaties leggen met referentiegegevens. Gebruik maken van verhoudingen.



Rekenaspect Rekenen met ronde of mooie getallen.

 

4


Pagina 88

Bijlage 7: Notities bij ZRM in de basisschool Een kerndoel: De leerlingen moeten de zakrekenmachine met inzicht kunnen gebruiken. Probleem: De film begint op TV om 19.25 en is geëindigd om 21.10. Hoe lang duurt de film? Kim doet op ZRM: 21,10 – 19,25 = 1,85 Hoe reageer jij? Wat is het juiste antwoord? Is de ZRM hier handig te gebruiken? Inpassing ZRM in het onderwijs:  

Tot groep 7 niet structureel en voornamelijk als object van onderzoek en als didactisch hulpmiddel Vanaf groep 7 als hulpmiddel bij lastige, tijdrovende vraagstukken

Enkele onderwerpen: Enthousiasmerende werking!  Woorden maken:  499+38=  707 + 707= LOL+LOL=  12345678+60738056=  Puzzels maken: Voer 351 in, hoe kun je zonder opnieuw te beginnen 301 krijgen? Van knoppen naar strokentaal: ON/C

7

x

3

=

=

=

‘Kapotte Rekenmachine Spel’  Van een RM werkt de 2-knop niet.  Hoe kun je de volgende sommen toch maken? 1. 32x345 2. 23x345 3. 22x222 Schrijf het antwoord in strokentaal


Pagina 89

Let op bijzonderheden:  Punt als komma, E bij grote getallen, E en punt gecombineerd, Inzicht in positionele getallenstelsel is vereist!  M knop (Memory/geheugenknop), Traditionele rekenmachientjes geen haakjes, maar geheugenknop.  Hoe toets je dan (3x5)-(3x4) in?  Schrijf het antwoord in strokentaal  Knoppen die ze nog niet hoeven te gebruiken ( ±√ %, pi, xy, etc) Hoe ga je daarmee om? Uitgangspunten  Iedereen in de klas dezelfde ZRM en kijk naar mogelijkheden van presenteren (digibord?)  Maak slechts gebruik van hoogstnoodzakelijke knoppen  Leer kinderen een juiste keuze te maken voor ZRM of zelf rekenen. Bijv. De rekenles begint om 8:45 uur en duurt 55 minuten. Hoe laat zijn we klaar? ZRM gebruiken om getalpatronen te maken  6+3=9 en dan steeds op = knop drukken. Komt 111 in dit patroon voor? Waarom wel/niet? Hoeveel keer moet je op de = knop drukken om 300 te krijgen  In dit kader kunnen ook de tafels van vermenigvuldiging (hoger dan 10) aan bod komen (Beginnen met de 0!) Bij welke tafels kunnen nooit oneven getallen als eindcijfers voorkomen? Bij welke tafels komen alle tien de cijfers als eindcijfer voor?  Op deze manier zijn ook de constante vermenigvuldiger (machten) en de constante deler te programmeren. Spellen als didactische verrijking De rekenmachine met (gedeeltelijk) onzichtbare knoppen  56 x 2? = 1??8 Schattend rekenen en de ZRM Welke schatting is de beste? Controleer dit met de rekenmachine: 

De 28 x 71 = 1500 | 2000 | 2500

Het doelspel met tweetallen. Maak met drie zelf gekozen cijfers uit de doos een getal. Vermenigvuldig dat getal met 7. Wie komt hiermee het dichtst bij het doel?  Het doel is 5000, de getallen in de doos zijn 2, 3, 5, 7 ren 8. Oefeningen voor de inverse relatie en het controleren  Controleer het antwoord van 3504 – 1645 = 1859 met een optelling. Welke optelling heb je gebruikt?  Met welke vermenigvuldiging kun je de uitkomst van 1080 : 135 = 8 controleren? Welke vermenigvuldiging gebruikte je?  Stipsommen als 19481 : ? = 847 en 483 x ? = 2366


Pagina 90

Zelfstudiewijzer RekenenWiskunde in groep 5 & 6

Recommend Documents