REGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS
MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI. Regresi Kekar Simpangan Mutlak Terkecil dengan Modifikasi Simpleks. Dibimbing oleh N.K. KUTHA ARDANA dan RETNO BUDIARTI. Metode Kuadrat Terkecil secara umum digunakan dalam pendugaan model linear. Namun metode Kuadrat Terkecil kurang cocok digunakan pada kasus gugus data yang berisi pencilan Untuk mengatasi masalah ini salah satu metode kekar (Robust) diimplementasikan. Metode kekar tersebut adalah metode Simpangan Mutlak Terkecil (Least Absolute Deviations, LAD). Kedua metode tersebut, baik metode Kuadrat Terkecil maupun Simpangan Mutlak Terkecil telah diterapkan dalam simulasi yang menggunakan model linear sederhana dalam tugas akhir ini. Ditemukan bahwa metode Simpangan Mutlak Terkecil lebih cocok untuk menduga parameter model linear yang melibatkan data pencilan.
ABSTRACT MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI. Least Absolute Deviations with Simplex Modification. Supervised by N.K. KUTHA ARDANA and RETNO BUDIARTI Ordinary least squares is a method that is generally used to estimate parameters of a linear model. However, this method is vulnerable against outliers. To solve this problem, a robust regression method, called the least absolute deviations method, was applied. In this study, simulations on a set of simple linear model data are carried out using both the ordinary least squares and the least absolute deviations methods. The results show that the least absolute deviations method is more appropriate for data set that contains outliers.
REGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS
MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI G54103050
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
Judul Nama NIM
: Regresi Kekar Simpangan Mutlak Terkecil dengan Modifikasi Simpleks : Muhammad Yusuf Dwiharjanggi : G54103050
Menyetujui
Pembimbing 1
Pembimbing II
Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc NIP. 19640823 198903 1 001
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Mengetahui Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirobbil’alamin. Penulis mengucapkan syukur kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku, Bapak, Ibu, Mas Pipin beserta keluarga, sepupu-sepupu , keluarga besar Mbah Dirman dan keluarga besar Bani Sadja’ie, serta almarhum adikku tercinta Rizky. Semoga kelak penulis dapat membanggakan kalian semua. 2. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen pembimbing I dan Ir. Retno Budiarti, MS selaku pembimbing II atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Serta Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen penguji. Semoga semua ilmunya dapat bermanfaat bagi penulis. 3. Semua dosen Departemen Matematika, semoga ilmu yang telah diberikan bermanfaat. 4. Pak Yono, Bu Ade, Bu Susi, Mas Bono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika yang membantu dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika. 5. Teman-teman satu bimbingan : Boy, Hendra dan Manto, atas bantuan, dukungan, semangat dan saran-sarannya. 6. Teman-teman mathlete angkatan 40 atas keceriaan, dukungan, semangat dan persahabatannya. 7. Adik kelas angkatan 41, 42, 43, 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu atas bantuannya dalam menyelesaikan karya ini. 8. Alumni matematika yang telah membantu pencarian literatur, membagi pengalaman, dan saran-sarannya. 9. Teman-teman Alumni Rohis SMA N 89 Jakarta Timur yang mendoakan dan menyemangati. 10. Teman-teman Onigiri Japan Club untuk hiburan dan persahabatannya. 11. Teman-teman UKM Tae Kwon Do IPB, terutama sabeum Billy yang selalu menyemangati. 12. Mas Irfan di Agri FM yang telah meminjamkan printer dan ruangannya.. Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika. Bogor, Agustus 2011
Muhammad Yusuf Dwiharjanggi
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Jakarta pada tanggal 16 Agustus 1985 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Djoko Tjatur Nusantara dan Siti Chosiyah. Tahun 1998 penulis lulus dari SDN Rawabebek 2 Bekasi Barat. Tahun 2000 penulis lulus dari SLTPN 172 Jakarta Timur. Tahun 2003 penulis lulus dari SMAN 89 Jakarta Timur dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN). Penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar Matematika di bimbingan belajar Teknos. Penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Tae Kwon Do IPB periode 2004-2010, BEM FMIPA 2004-2006 dan GUMATIKA 2005/2006. Penulis pernah mendapatkan medali perunggu dalam kompetisi Tae Kwon Do IPB Cup tahun 2009.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ............................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. viii DAFTAR TABEL ....................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................. ix I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .................................................................................................... 1 1.2 Tujuan ................................................................................................................. 1 1.3 Ruang Lingkup .................................................................................................... 1
II
LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Regresi............................................................................................... 1 2.2 Regresi Linear ..................................................................................................... 2 2.3 Pendugaan Koefisien Regresi Linear .................................................................... 2 2.4 Pencilan .............................................................................................................. 2 2.5 Regresi Kekar ...................................................................................................... 2 2.6 Metode Simpangan Mutlak Terkecil .................................................................... 3 2.7 Metode Penyelesaian Simpangan Mutlak Terkecil ................................................ 3 2.8 Metode Modifikasi Simpleks Simpangan Mutlak Terkecil .................................... 3 2.8.1 Formulasi Masalah dalam Model Simpleks ..................................................... 3 2.8.2 Algoritme Simpleks ....................................................................................... 5
III
METODELOGI PENELITIAN ...................................................................................... 5
IV
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembangkitan Data ............................................................................................ 61 4.2 Pengolahan Data tanpa Pencilan........................................................................... 6 4.3 Pengolahan Data dengan Pencilan ........................................................................ 6 4.4 Penyajian dan Analisis Data tanpa Pencilan.......................................................... 6 4.5 Penyajian dan Analisis Data dengan Pencilan ...................................................... 7 4.5.1 Pencilan Vertikal............................................................................................ 7 4.5.2 Pencilan Horizontal ........................................................................................ 9 4.6 Penyajian dan Analisis Terhadap Gugus Data Simetrik....................................... 11
V
SIMPULAN 4.1 Simpulan ........................................................................................................... 13 4.2 Saran ................................................................................................................. 13
VI
DAFTAR PUSTAKA................................................................................................... 14
LAMPIRAN ................................................................................................................ 15
DAFTAR GAMBAR
1 2 3 4 5 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Halaman Scatter Plot Kuadrat Terkecil n = 10 tanpa pencilan ........................................................ 6 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil n = 10 tanpa pencilan ....................................... 7 Perbandingan Scatter Plot antara OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data tanpa pencilan ......................................................................................................................... 7 Scatter Plot Kuadrat Terkecil n = 10 dengan pencilan vertikal ......................................... 7 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil n = 10 dengan pencilan vertikal ........................ 8 Perbandingan Scatter Plot antara OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan vertikal ............................................................................................................ 8 Scatter Plot Kuadrat Terkecil n = 10 dengan pencilan horizontal ..................................... 9 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil n = 10 dengan pencilan horizontal .................... 9 Perbandingan Scatter Plot antara OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan horizontal ..................................................................................................... 10 Scatter Plot Kuadrat Terkecil n = 10 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil ........ 10 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil n = 10 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil ............................................................................................................................. 11 Perbandingan Scatter Plot antara OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan horizontal yang relatif kecil ............................................................................ 11 Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk gugus data simetrik ............................................... 12 Scatter Plot Simpangan Terkecil untuk gugus data simetrik .......................................... 12 Scatter Plot Simpangan pada solusi garis regresi LAD (hijau), LAD2 (biru) dan LAD3 (merah) gugus data simetrik.......................................................................................... 13
DAFTAR TABEL
1 2 3 4 5 6 7
8
Halaman Tabel simpleks lengkap untuk masalah linear sederhana.................................................. 4 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan ....................................................................................... 7 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil dengan pencilan vertikal........................................................................................................................... 8 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil dengan pencilan vertikal ............................................................................................................. 8 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal maupun horizontal ........................................................... 9 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal maupun horizontal..................................................... 9 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal maupun horizontal serta pencilan horizontal yang relatif kecil ............................................................................................................................. 10 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal maupun horizontal serta pencilan horizontal yang relatif kecil .................................................................................................................. 11
DAFTAR LAMPIRAN
1 2 3 4 5 6
Halaman Ilustrasi penghitungan metode modifikasi simpleks Simpangan Mutlak Terkecil ........... 16 Syntax dalam R language dalam pembangkitan data ..................................................... 20 Pengolahan data tanpa pencilan dalam R language ........................................................ 21 Algoritme fungsi rq dalam R language.......................................................................... 22 Pengolahan data dengan pencilan dalam R language ..................................................... 24 Hasil pembangkitan data dan penggantian pencilan ....................................................... 26
1
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini tidak dapat terlepas dari data dan pengamatan. Data ini kemudian diolah dengan beragam metode untuk pengambilan berbagai keputusan seperti analisis, peramalan dan sebagainya. Salah satu model yang banyak dipakai adalah model regresi linear. Regresi biasanya digunakan untuk menduga nilai peubah tidak bebas dari nilai peubah bebas yang diketahui. Namun terkadang hasilnya meleset, pada suatu gugus data tertentu. Oleh karena itu banyak diadakan penelitian untuk mencari analisis teknik regresi untuk mendapatkan hasil yang mendekati sebenarnya. Melesetnya dugaan nilai dari hasil metode regresi ini dapat dipengaruhi oleh pencilan atau disebut juga outlier yang menyebabkan koefisiennya menjadi tidak stabil. Pada model regresi linear tanpa pencilan umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least of Square yang biasa disebut OLS atau Least of Square yang biasa disebut LS). Metode ini begitu populer karena penggunanya dapat melakukan pendekatan secara kalkulus. Metode ini menghitung penduga peubah takbebas, sehingga jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil dan jumlah kuadrat jarak vertikal dari titik-titik pengamatan ke garis regresi sekecil mungkin. Namun metode ini
II
tidak cukup akurat untuk model dengan pencilan, sehingga muncullah suatu kebutuhan akan regresi kekar (robust) yang memiliki ketahanan terhadap nilai-nilai pencilan. Sejak abad ke-18 banyak bermunculan metode regresi kekar. Salah satu dari metode kekar tersebut adalah least absolute deviations (LAD) atau metode simpangan mutlak terkecil yang datang dari Edgeworth (1887) sebagai solusi dari masalah yang berasal dari pengaruh outliers atau pencilan terhadap OLS. Penulis akan menggunakan suatu program aplikasi untuk membandingkan model regresi linear antara metode kuadrat terkecil dengan metode simpangan mutlak terkecil. 1.2 Tujuan 1. 2.
Mengkaji dan membandingkan metode regresi biasa dan regresi kekar LAD. Mengimplementasikan metode regresi kekar LAD.
1.3 Ruang Lingkup Walaupun banyak jenis metode regresi kekar (robust) namun tulisan ini hanya membahas perbandingan metode OLS dengan metode LAD. Adapun metodemetode lain hanya dijelaskan secara singkat ataupun hanya menjadi pembanding.
LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Regresi Menurut Sir Francis Galton, persamaan regresi adalah suatu persamaan matematis yang memungkinkan untuk menduga nilai-
nilai suatu peubah takbebas dari nilai-nilai satu atau lebih peubah bebas. [Myers 1990]
2
2.2 Persamaan Regresi Linear Regresi linear dapat dituliskan dalam bentuk : 𝑌𝑌 = 𝑋𝑋𝛽𝛽 + 𝜀𝜀 (1)
dengan : 𝑌𝑌 : vektor peubah takbebas berukuran nx1 𝛽𝛽 : vektor parameter regresi berukuran 𝑋𝑋 𝜀𝜀
px1 : matriks peubah bebas berukuran nxp : vektor galat berukuran nx1 [Myers 1990]
2.3 Pendugaan Koefisien Regresi Linear
𝜕𝜕(𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑒𝑒) =0 𝜕𝜕𝑏𝑏
𝜕𝜕(𝑌𝑌 𝑇𝑇 𝑌𝑌 − 2𝑏𝑏 𝑇𝑇 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑌𝑌 + 𝑏𝑏 𝑇𝑇 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋𝑏𝑏) =0 𝜕𝜕𝑏𝑏 2𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑌𝑌 + 2𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋𝑏𝑏 = 0 (𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋)𝑏𝑏 = 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑌𝑌
(5)
Kedua ruas dari persamaan (5) dikalikan dengan (𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋)−1 , maka akan diperoleh dugaan untuk vektor parameter regresi yaitu: 𝑏𝑏 = (𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋)−1 (𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑌𝑌)
(6)
[Rencher & Schaalje 2008]
Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung koefisien regresi sampel ( 𝑏𝑏 ) sebagai penduga koefisien regresi populasi (𝛽𝛽 ), sedemikian sehingga
jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Secara matematis, dapat dinyatakan sebagai berikut: Model sebenarnya adalah
Model estimasinya adalah 𝑌𝑌 = 𝑋𝑋𝑏𝑏 + 𝑒𝑒
(2)
𝑒𝑒 = 𝑌𝑌 − 𝑋𝑋𝑏𝑏
(3)
𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑒𝑒 = (𝑌𝑌 − 𝑋𝑋𝑏𝑏)𝑇𝑇 (𝑌𝑌 − 𝑋𝑋𝑏𝑏)
(4)
Galat (error) adalah
Jumlah galat kuadrat adalah
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode menghitung 𝑏𝑏 sedemikian sehingga persamaan (4) minimum. Caranya adalah dengan membuat turunan parsial mula-mula terhadap 𝑏𝑏 dan menyamakan dengan nol. 𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 𝑌𝑌 𝑌𝑌 − 2𝑏𝑏 𝑋𝑋 𝑌𝑌 + 𝑏𝑏 𝑋𝑋 𝑋𝑋𝑏𝑏
Pencilan (outlier) didefinisikan sebagai suatu pengamatan yang tampak bertentangan atau tidak konsisten terhadap pengamatan yang lain. [Barnett & Lewis 1994] Metode kuadrat terkecil tidak tahan terhadap data pencilan sehingga diperlukan pendekatan dengan metode lain.
𝑌𝑌 = 𝑋𝑋𝛽𝛽 + 𝜀𝜀
𝑇𝑇
2.4 Pencilan
2.5 Regresi Kekar Regresi kekar adalah suatu regresi yang lebih tahan terhadap data pencilan. Beberapa metode penduga parameter regresi kekar yang dapat digunakan adalah: 1. Metode Kuadrat Terkecil Tertimbang (Weighted Least Square) 2. Metode Simpangan Mutlak Terkecil (Least Absolute Deviation) 3. Metode Median Kuadrat Terkecil (Least Median Square) 4. Metode Kuadrat Terpangkas (Trimmed Square) [Yaffe 2002] Dalam mengenai Terkecil.
penulisan ini akan Metode Simpangan
dibahas Mutlak
3
2.6 Metode Simpangan Mutlak Terkecil Metode Simpangan Mutlak Terkecil juga bisa disebut dengan istilah least absolute deviations (LAD), least absolute errors (LAE), least absolute value (LAV), atau juga masalah L 1 norm. Namun untuk mempermudah dalam penulisan karya ilmiah ini, maka untuk selanjutnya penulis akan menggunakan istilah LAD. Metode Simpangan Mutlak Terkecil mencari suatu model estimasi dari suatu gugus data dengan meminimumkan jumlah simpangan mutlak (sum of absolute error atau SAE) antara titik-titik dalam fungsi model estimasi dengan titik-titik pada data. Misalkan suatu gugus data yang terdiri dari
( xi , yi )
dengan i = 1, 2, , n . Akan
dicari suatu fungsi f sehingga
f ( xi ) ≈ yi Untuk menduga bentuk fungsi f sejumlah parameter perlu diketahui. Sebagai contoh dalam fungsi linear
f ( xi )= a + bxi dengan a dan b parameter yang belum diketahui. Kemudian akan dicari nilainya dengan meminimalkan jumlah simpangan mutlaknya yang dapat dituliskan dalam bentuk
Terkecil sekilas terlihat lebih mudah dari metode Kuadrat Terkecil, namun ternyata tidak mudah untuk menghitungnya secara efisien. Hal ini dikarenakan metode Simpangan Mutlak Terkecil tidak memiliki metode penyelesaian secara analitik. Oleh sebab itu pendekatan secara iteratif dibutuhkan untuk menyelesaikannya. Terdapat beberapa teknik penyelesaian metode Simpangan Mutlak Terkecil antara lain: 1. Metode Modifikasi Simpleks dengan algoritme Barrodale-Roberts. 2. Metode Iteratif Kuadrat Terkecil Terboboti (Iteratively Re-weighted Least Squares). 3. Metode Turunan Langsung Wesolowsky (Wesolowsky’s Direct Descent Method). 4. Metode Pendekatan Maximum Likelihood Li-Arce (Li-Arce’s Maximum Likelihood Approach). [Pfeil 2006] Pada penulisan ini akan digunakan penyelesaian yang pertama yaitu dengan menggunakan metode modifikasi simpleks. 2.8 Metode Modifikasi Simpleks Simpangan Mutlak Terkecil
n
S min ∑ yi − f ( xi ) . =
(7)
i =1
Metode simpangan mutlak terkecil memanfaatkan fakta bahwa garis regresi simpangan mutlak terkecil melewati setidaknya 2 titik data. Kemudian akan didapatkan garis yang terbaik dari semua garis titik data tersebut. Garis yang terbaik ini yang disebut dengan garis regresi simpangan mutlak terkecil. 2.7 Metode Penyelesaian Simpangan Mutlak Terkecil
Metode Modifikasi Simpleks efisien untuk komputasi Simpangan Mutlak Terkecil, termasuk gugus data yang melibatkan banyaknya data yang besar. Metode ini telah diimplementasikan pada paket Software R. Formulasi dan algoritma metode Modifikasi Simpleks sebagai berikut 2.8.1 Formulasi Masalah dalam Model Simpleks Misalkan terdapat model regresi linear Y = α + β X + e.
Untuk menyelesaikan persamaan (7) sudah banyak metode yang dipergunakan antara lain: metode Modifikasi Simpleks, metode Iteratif Kuadrat Terkecil. Walaupun ide dasar dari metode Simpangan Mutlak
Akan dicari nilai dugaan dari koefisien α dan β dengan metode Simpangan Mutlak Terkecil.
4
Dalam
metode
Simpangan
Mutlak
n
fi − ∑ a jϕ ji = ui − vi
Terkecil, nilai pendugaan α dan β dipilih sedemikian sehingga jumlah dari nilai mutlak
dari
( ∑ e )
sisaan
dengan
sekecil
i
(10)
j =1
i = 1, 2, , m dan
a= bj − c j j
untuk j = 1, 2, , n .
mungkin. Dengan demikian nilai dugaan dari Simpangan Mutlak Terkecil α dan β
Selanjutnya akan dicari suatu solusi optimal dari suatu permasalahan linear
adalah nilai dari a dan b yang meminimumkan persamaan (8). Selisih dari
min ∑ ( ui + vi )
m
i =1
yi − ( a + bxi ) disebut simpangan dari titik
dengan kendala
(x i ,y i ) dari garis Y= a + bX . Barrodale dan Roberts (1973) melakukan pendekatan untuk menduga garis
∑ (b j =1
j
i = 1, 2, , m dan b j , c j , ui , vi ≥ 0 .
regresi dengan memisalkan yi = L ( A, xi )
f= ( xi ) fi yang dapat dituliskan
dan = yi
− c j ) ϕ j ,i + ui − vi ,
n
= fi
[Barrodale & Roberts 1973]
dengan suatu persamaan Bentuk di atas adalah bentuk umum sedangkan untuk bentuk linear sederhana dapat dituliskan dalam bentuk
(8) fi − L( A, xi ) = ei
m
min ∑ ( ui + vi )
yang akan meminimumkan ei . Agar dapat dihitung
dengan
menggunakan
i =1
metode
dengan kendala
simpleks maka ei akan dimisalkan sebagai
f= i
ui − vi . Dengan demikian maka persamaan
n
∑ (b j =1
0
− c0 ) x0 + ( b j − c j ) xi
+ ui − vi
(8) dapat dituliskan kembali sebagai
fi − L( A, xi ) = ui − vi
i = 1, 2, , m dan b j , c j , ui , vi ≥ 0
(9)
dengan
( b0 − c0 ) x0
adalah
a0
yang
merupakan suatu konstanta yang nilainya tetap karena x 0 selalu bernilai 1. Selanjutnya akan dituliskan dalam bentuk tabel simpleks secara lengkap, sebagai berikut
Dalam tulisannya Barrodale dan Roberts (1973) merumuskan secara umum untuk n
L( A, xi ) = ∑ a jϕ ji j =1
dengan i = 1, 2, , m . Dengan demikian dalam Barrodale dan Roberts (1973) rumus umumnya dituliskan dalam bentuk Tabel 1 Tabel simpleks lengkap untuk masalah linear sederhana. Basis u1 u2
um marginal cost
R y1 y2
b0 x0 x0
b1 x1 x2
ym
x0
m
m
i
i =1
0
∑x
i
u1 1 0
-x 0
m
i =1
c1 -x 1 -x 2
xm
∑y ∑x i =1
c0 -x 0 -x 0
-x m m
−∑ x0 i =1
m
−∑ xi i =1
0 0
u2 0 1
0 0
0 0
0 0
um 0 0
1 0
v1 1 0
0 0
v2 0 1
0 0
0 0
0 0
vm 0 0
1 0
5
2.8.2 Algoritme Simpleks Algoritma simpleks yang digunakan dalam penyelesaian Metode Simpangan Mutlak Terkecil adalah : 1. Tentukan kolom pivot. Pilihlah kolom pivot dari nilai marginal cost positif yang terbesar. 2. Tentukan baris pivot. Pilihlah baris pivot dari nilai paling kecil dari nilai-nilai yang ada dalam kolom pivot yang telah dibagi dengan nilai yang ada di kolom R. 3. Lanjutkan sampai marginal cost dalam kolom pivot menjadi negatif dengan cara mengurangkan nilai-nilai dalam
III
4.
5.
kolom pivot tersebut dengan titik pivot yang telah dikalikan 2. Selama proses berlangsung maka kolom basis akan berubah, ui menjadi v i . Jika sudah negatif, lakukan pivot, yaitu dengan menukarkan kolom pivot dengan kolom ui . Kemudian baris dalam kolom basis dengan titik pivot akan berubah menjadi b. Ulangi langkah hingga b 0 dan b 1 berada di dalam kolom basis. [Barrodale & Roberrts 1973]
Untuk lebih jelas dapat dilihat ilustrasinya pada Lampiran 1.
METODELOGI PENELITIAN
Metodelogi penelitian dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Tahap pembangkitan data. Tahap ini data dibangkitkan dengan n = 10 menggunakan R Language dengan menentukan nilai 𝛽𝛽 , kemudian
4. Tahap pengolahan data dengan pencilan. Pada tahap ini data yang telah dibangkitkan kemudian akan diganti dengan data pencilan. Pertama dengan data pencilan vertikal kemudian dengan data pencilan horizontal. Data dengan pencilan tersebut kemudian diolah kembali dengan metode OLS dan LAD.
2. Tahap pengolahan data tanpa pencilan. Pada tahap ini data yang telah dibangkitkan diolah dengan dua metode, yaitu: OLS dan LAD.
5. Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter dari data dengan pencilan Sama seperti pada tahap ketiga akan dibandingkan hasil dari dugaan data dengan pencilan pada kedua metode. Dugaan parameter yang dihasilkan akan ditampilkan dalam bentuk Scatter Plot.
3. Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter dari data tanpa pencilan Pada tahap ini akan dibandingkan hasil dugaan kedua metode. Dugaan parameter yang dihasilkan akan ditampilkan dalam bentuk Scatter Plot.
6. Tahap pembandingan hasil pendugaan parameter terhadap gugus data simetris. Pada tahap ini akan diperlihatkan pengaruh dari gugus data simetris terhadap hasil yang diperoleh dari kedua metode tersebut.
membangkitkan nilai X i = i ; i = 1,..,10 dan nilai galat yang menyebar normal, kemudian dilanjutkan membangkitkan nilai unsur-unsur 𝑌𝑌 dari nilai X dan galat yang telah dibangkitkan.
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pembangkitan Data Data dibangkitkan terlebih dahulu dengan bantuan software R language. Prosedur pembangkitan data simulasi dimulai dari tahap menentukan parameter 𝛽𝛽,
kemudian menentukan nilai X sebanyak 10 amatan dan dilanjutkan dengan menentukan nilai 𝑌𝑌 dengan rumus 𝑌𝑌 = X𝛽𝛽+𝑒𝑒. Langkah
Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil yaitu: -𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 = 12.225 + 9.938 𝑋𝑋
Gambar 1 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil untuk data tanpa pencilan. 120
IV
Setelah didapatkan data, selanjutnya data tersebut akan dihitung dengan menggunakan metode OLS dan LAD. Pengolahan dalam R language dapat dilihat pada Lampiran 3.
40
60
4.2 Pengolahan Data tanpa Pencilan
y
80
100
terakhir menentukan nilai e dan banyaknya pencilan. Pembangkitan data ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
2
4
6
8
10
x
4.3 Pengolahan Data dengan Pencilan Untuk mengolah data dengan pencilan terlebih dahulu data yang dibangkitkan tadi diganti secara manual, melalui perintah
>data.entry(x,y) Kemudian untuk data dengan pencilan vertikal didapatkan dengan cara mengganti nilai data y yang kecil dengan nilai yang lebih besar. Sedangkan untuk data dengan pencilan horizontal diperoleh dengan cara mengganti nilai data x yang besar dengan nilai yang lebih besar. Kemudian untuk masing-masing data dengan pencilan vertikal dan horizontal diolah kembali dengan menggunakan metode OLS dan LAD dengan bantuan program R language. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Lampiran 5. 4.4 Penyajian dan Analisis Data tanpa Pencilan
Gambar 1 Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk n = 10 tanpa pencilan Dengan melihat Gambar 1 dapat dilihat bahwa dengan data yang tanpa pencilan metode Kuadrat Terkecil mampu menampilkan garis regresi tanpa masalah. Kemudian dengan Metode Simpangan Mutlak Terkecil didapatkan persamaan regresi 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8.719 + 10.682𝑋𝑋
Gambar 2 menunjukkan grafik regresi dengan menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data tanpa pencilan.
LAD
100
100
120
120
7
40
40
60
60
y
y
80
80
OLS
2
4
6
8
x
Gambar 2 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil untuk n = 10 tanpa pencilan. Sama seperti pada metode Kuadrat Terkecil, metode Simpangan Mutlak Terkecil juga menampilkan garis regresi tanpa masalah. Selanjutnya dari persamaan garis yang didapatkan ini bisa dibandingkan nilai a dan b. Garis regresi metode Kuadrat Terkecil dengan metode Simpangan Mutlak Terkecil. Tabel 2 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan b 9.938
8.719
10.682
8
10
Gambar 3 Perbandingan Scatter Plot antara Metode OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data tanpa pencilan 4.5 Penyajian dan Analisis Data dengan Pencilan 4.5.1 Pencilan Vertikal Misalkan data y ke-1 dari pembangkitan data sebelumnya diganti nilainya dari 27.333 menjadi 200. Kemudian akan dicari persamaan regresinya. Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil yaitu: -𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 = 81.290 + 0.520 𝑋𝑋 Gambar 4 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil untuk data dengan pencilan vertikal.
50
Dari tabel tersebut terlihat bahwa terdapat perbedaan parameter a dan b pada data tanpa pencilan pada metode OLS dengan LAD. Namun hal ini masih bisa ditoleransi karena apabila diplotkan dalam satu gambar kedua grafik tersebut terlihat berhimpit. Gambar 3 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data tanpa pencilan dalam satu plot.
100
y
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 tanpa pencilan
a 12.225
6 x
200
Metode 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 tanpa pencilan
4
10
150
2
2
4
6
8
10
x
Gambar 4 Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan vertikal Pada Gambar 4 terlihat bahwa garis regresi yang ditampilkan oleh metode Kuadrat Terkecil tidak mewakili mayoritas
8
titik-titik data. Garis regresi seolah-olah tertarik ke atas karena data pencilan vertikal. Dari persamaan garis regresi tanpa pencilan dan dengan pencilan metode Kuadrat Terkecil didapatkan perbandingan seperti yang terlihat dalam tabel. Tabel 3 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil dengan pencilan vertikal Metode 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 tanpa pencilan 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan vertikal
a 12.225
b 9.938
81.290
0.520
Sedangkan pada metode Simpangan Mutlak Terkecil dapat dibandingkan pada tabel berikut. Tabel 4. Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil dengan pencilan vertikal. Metode 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 tanpa pencilan 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan vertikal
b 10.682
8.719
10.682
200
200 150
Terlihat jelas dengan menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil persamaan garis regresi yang didapatkan sama antara data tanpa pencilan dengan data dengan pencilan vertikal. Ini berarti bahwa metode Simpangan Mutlak Terkecil lebih tahan terhadap data pencilan vertikal. Perbedaan antara garis regresi metode Kuadrat Terkecil dengan data pencilan vertikal dan garis regresi metode Simpangan Mutlak Terkecil dengan data pencilan vertikal dapat terlihat dengan memplotkan dua grafik persamaan garis regresi kedua metode tersebut. Gambar 6 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan vertikal dalam satu plot.
150
Terlihat perbedaan yang mencolok pada parameter a dan b garis regresi dari data tanpa pencilan dan dengan pencilan vertikal. Baik tabel ataupun gambar, keduanya memperlihatkan bahwa metode Kuadrat terkecil tidak tahan terhadap data pencilan vertikal. Kemudian dengan Metode Simpangan Mutlak Terkecil didapatkan persamaan garis regresi 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8.719 + 10.682 𝑋𝑋 Gambar 5 menunjukkan grafik regresi dengan menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan vertikal.
a 8.719
100
100
y
y
LAD
50
50
OLS
2
4
6
8
10
x
Gambar 5 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan vertikal
2
4
6
8
10
x
Gambar 6 Perbandingan Scatter Plot antara Metode OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan vertikal
9
4.5.2
Pencilan Horizontal
120 100 80 y 60 40
40
60
y
80
100
120
Misalkan pada data bangkitan awal, nilai x ke-6 sebelumnya diganti nilainya dari 6 menjadi 30 sehingga menghasilkan pencilan horizontal. Kemudian dicari persamaan regresinya. Dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil diperoleh: -𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 = 58.486 + 1.063 𝑋𝑋 Gambar 7 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal.
Dari Gambar 7 dan Tabel 5 di atas terlihat bahwa metode Kuadrat Terkecil tidak tahan terhadap pencilan, baik vertikal maupun horizontal. Kemudian dengan Metode Simpangan Mutlak Terkecil didapatkan persamaan regresi 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐷𝐷 = 62.023 + (−0.053) 𝑋𝑋 Gambar 8 menunjukkan grafik regresi dengan menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal.
0
5
10
15
20
25
30
0
5
x
Gambar 7
10
15
20
25
30
x
Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan horizontal
Gambar 8 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan horizontal
Dari hasil persamaan-persamaan garis sebelumnya dapat dibuat perbandingan metode Kuadrat Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal dan horizontal pada tabel berikut :
Selanjutnya dibandingkan pula persamaan-persamaan garis metode Simpangan Mutlak Terkecil yang telah didapatkan sebelumnya pada tabel berikut.
Tabel 5 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan, baik vertikal maupun horizontal Metode 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 tanpa pencilan 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan vertikal 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan horizontal
a 12.225
81.290
58.486
Tabel 6 Tabel perbandingan nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan baik vertikal maupun horizontal a 8.719
b 10.682
8.719
10.682
0.520
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan vertikal
62.023
(-0.053)
1.063
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan horizontal
b 9.938
Metode 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 tanpa pencilan
10
100
120
Dari Gambar 8 dan tabel 6 ternyata metode Simpangan Mutlak Terkecil memiliki hasil yang sangat jauh berbeda pada data dengan pencilan horizontal. Hal ini mengindikasikan bahwa metode ini tidak tahan pada data dengan pencilan horizontal. Gambar 9 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal dalam satu plot.
Gambar 10 Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil
60
y
80
OLS
Kemudian dibandingkan dengan garis regresi metode Kuadrat Terkecil lainnya, seperti yang terlihat pada tabel berikut.
40
LAD
0
5
10
15
20
25
30
x
Gambar 9 Perbandingan Scatter Plot antara Metode OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan horizontal Ternyata apabila diplotkan dalam satu gambar, garis regresi yang dibuat oleh metode Simpangan Mutlak Terkecil terlihat lebih menyimpang daripada garis regresi metode Kuadrat Terkecil. Selanjutnya akan dilakukan pengolahan data pencilan horizontal namun data yang dipilih perbedaannya tidak terlalu besar. Misalkan data x ke-6 dari pembangkitan data tanpa pencilan sebelumnya diganti nilainya dari 6 menjadi 11. Kemudian akan dicari persamaan regresinya. Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil yaitu: -𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 = 23.930 + 7.159𝑋𝑋 Gambar 10 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal yang relatif kecil.
Tabel 7 Tabel perbandingan seluruh nilai a dan b pada metode Kuadrat Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan baik vertikal maupun horizontal serta pencilan horizontal yang relatif kecil Metode 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 tanpa pencilan
a 12.225
b 9.938
𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan vertikal
81.290
0.520
𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan horizontal
58.486
1.063
𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil
23.930
7.159
Ternyata data pencilan tetap memberikan pengaruh terhadap garis regresi yang dihasilkan oleh metode Kuadrat Terkecil. Kemudian dengan Metode Simpangan Mutlak Terkecil didapatkan persamaan regresi 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 = 18.688 + 8.645 𝑋𝑋
11
Gambar 11 menunjukkan grafik regresi dengan menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal yang relatif kecil.
Gambar 11 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil untuk n = 10 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil
yang berbeda pada data dengan pencilan horizontal. Untuk nilai pencilan horizontal yang kecil pengaruhnya terlihat sedikit sehingga garis regresi masih terlihat mewakili data-data bukan pencilan. Sedangkan untuk nilai pencilan yang besar metode Simpangan Mutlak Terkecil ini sangat dipengaruhi sehingga tidak tahan terhadap data pencilan yang nilainya besar. Hal ini mengindikasikan bahwa metode ini solusinya tidak stabil pada kondisi dimana nilai pencilan horizontalnya besar. Gambar 12 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk data dengan pencilan horizontal yang relatif kecil dalam satu plot.
LAD
OLS
Selanjutnya dibandingkan pula persamaan-persamaan garis metode Simpangan Mutlak Terkecil yang telah didapatkan sebelumnya pada tabel berikut. Tabel 8 Tabel perbandingan seluruh nilai a dan b pada metode Simpangan Mutlak Terkecil tanpa pencilan dan dengan pencilan baik vertikal maupun horizontal serta pencilan horizontal yang relatif kecil Metode 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 tanpa pencilan
a 8.719
b 10.682
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan vertikal
8.719
10.682
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan horizontal
62.023
(-0.053)
𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 dengan pencilan horizontal yang relatif kecil
18.688
8.645
Seperti yang terlihat pada Gambar 11 dan Tabel 8 di atas ternyata metode Simpangan Mutlak Terkecil memiliki hasil
Gambar 12 Perbandingan Scatter Plot antara Metode OLS (merah) dengan LAD (hijau) pada data dengan pencilan horizontal yang relatif kecil. Dari Gambar 12 terlihat bahwa metode Simpangan Mutlak Terkecil masih lebih kekar dibandingkan metode Simpangan Mutlak Terkecil walaupun kedua metode terpengaruh oleh data pencilan namun garis regresi metode Simpangan Mutlak Terkecil masih lebih baik daripada metode Kuadrat terkecil dalam merepresentasikan data-data bukan pencilan.
4.6 Penyajian dan Analisis Terhadap Gugus Data Simetrik. Terdapat suatu gugus data (x,y) yaitu : {(1,5) , (3,3) , (3,7) , (5,2) , (5,8)} yang akan
12
dicari garis regresinya dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil. Persamaan regresi yang diperoleh dengan menggunakan metode Kuadrat Terkecil yaitu: 𝑌𝑌�𝑂𝑂𝐿𝐿𝐿𝐿 = 5
Gambar 13 menunjukkan grafik metode Kuadrat Terkecil untuk gugus data tersebut. Perhatikan bahwa garis regresi metode Kuadrat Terkecil juga menjadi garis simetri titik data tersebut, sehingga gugus data tersebut dapat disebut gugus data simetri.
Gambar 14 Scatter Plot Simpangan Mutlak Terkecil untuk gugus data simetrik Persamaan regresi dengan metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk gugus data simetri ini didapatkan dengan mencari persamaan garis dengan jumlah simpangan mutlak
( ∑ e ) yang paling kecil. Yaitu : (11) ∑ e = 10 i
i
Gambar 13
Scatter Plot Kuadrat Terkecil untuk gugus data simetrik
Kemudian dengan metode Simpangan Mutlak Terkecil akan didapatkan persamaan regresi yaitu 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴 = 4.25 + 0.75 𝑋𝑋
Gambar 14 menunjukkan grafik metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk gugus data simetrik.
Dimisalkan ada dua garis lain yang melalui gugus data simetri ini, yaitu : 𝑌𝑌 = 5 dan
𝑌𝑌 = 5.75 − 0.75 𝑋𝑋
Ternyata kedua garis ini juga memiliki jumlah simpangan mutlak terkecil (11) yang sama. Oleh karena itu seluruh garis ini dapat dituliskan kembali sebagai solusi garis regresi dari metode Simpangan Mutlak Terkecil 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐷𝐷2 = 5 dan 𝑌𝑌�𝐿𝐿𝐴𝐴𝐴𝐴3 = 5.75 − 0.75 𝑋𝑋
Hal ini juga menunjukan bahwa metode Simpangan Mutlak Terkecil dapat menghasilkan lebih dari satu solusi garis regresi, hal ini terjadi khususnya pada suatu gugus data yang simetri. Gambar 15 menunjukkan grafik ketiga solusi metode Simpangan Mutlak Terkecil untuk gugus data simetri dalam satu plot.
13
Pada Gambar 15 terlihat bahwa garis regresi LAD2 merupakan garis yang sama dengan garis regresi OLS-nya. Sehingga, solusi metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu solusi dari metode Simpangan Mutlak Terkecil. Pada Gambar 15 juga dapat terlihat bahwa sembarang garis yang berada di antara garis regresi LAD (hijau) dan LAD3 (merah) merupakan garis solusi metode Simpangan Mutlak Terkecil.
LAD1
LAD2
LAD3
Gambar 15 Scatter Plot antara solusi garis regresi LAD (hijau), LAD2 (biru) dan LAD3 (merah) pada gugus data simetrik
V
SIMPULAN DAN SARAN
5.1. Simpulan
5.2. Saran
Secara umum metode Kuadrat Terkecil dan metode Simpangan Mutlak Terkecil memiki hasil yang hampir sama dalam pendugaan parameter untuk data tanpa pencilan. Akan tetapi pada data yang memiliki pencilan vertikal, metode Simpangan Mutlak Terkecil akan mempunyai dugaan yang lebih baik, karena metode lebih tahan terhadap keberadaan pencilan vertikal daripada metode Kuadrat Terkecil. Namun, apabila terdapat pencilan horizontal maka kedua metode ini samasama tidak menghasilkan penduga yang baik. Oleh sebab, itu diperlukan metode lain yang lebih kekar. Metode Simpangan Mutlak Terkecil mempunyai beberapa perbedaan bila dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil, antara lain: lebih kekar, solusinya tidak stabil dan terdapat kemungkinan lebih dari satu solusi.
Pendugaan parameter pada gugus data yang tidak mengandung pencilan (outlier) sebaiknya menggunakan metode Kuadrat Terkecil karena tersedia fasilitas analisis lanjut yang lebih baik, sedangkan untuk gugus data yang mengandung pencilan vertikal hasil penduganya akan lebih baik bila menggunakan metode Simpangan Mutlak Terkecil. Namun apabila ada pencilan horizontal maka disarankan untuk menggunakan metode kekar lainnya.
14
DAFTAR PUSTAKA Barnett, V. and Lewis, T. 1994. Outliers in Statistical Data. New York: John Willey & Sons. Inc. Barrodale, I. & FDK. Roberts, 1973. “An Improved Algorithm for Discrete L 1 Linear Approximation” SIAM Journal on Numerical Analysis 10, page 839–848. Myers, R.H. 1990. Classical and Modern Regression with Applications. PWS-KENT Publishing Company, Boston. Pfeil,
W.A. 2006. “Statistical Teaching Aids” An Interactive Qualifying Project Report submitted to the Faculty of the Worcester Polytechnic Institute in partial fulfillment of the requirements for the Degree of Bachelor of Science
Rancher, A.C. & G.B. Schaalje, 2008. Linear Models in Statistics Second Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Rousseuw, P.J. & A.M. Leroy. 1987. Robust Regression and Outlier Detection. John Wiley & Sons, Inc., New York. Yaffe,
R.A. 2002. Robust Regression Analysis: Some Popular Statistical Package Options. www.nyu.edu/its/socsi/docs/robustr ro2.pdf (13 September 2005).
LAMPIRAN
16
Lampiran 1. Ilustrasi penghitungan metode modifikasi simpleks Simpangan Mutlak Terkecil Contoh : Tentukan pendekatan terbaik untuk regresi linear dari titik-titik data berikut: S = {(1,1),(2,1),(3,2),(4,3),(5,2)} dengan y= a + bx Jawab : Dari data-data di atas bisa didapatkan suatu sistem persamaan :
a+b = 1 a + 2b = 1 a + 3b = 2 a + 4b = 3 a + 5b = 2 Kemudian dapat diubah ke dalam tabel simpleks Tabel lampiran 1. Tabel simpleks untuk ilustrasi Basis a b R u1 1 1 1 u2 1 1 2 u3 2 1 3 u4 3 1 4 u5 2 1 5 Marginal cost 9 5 15 sehingga dapat dimulai langkah-langkah penghitungannya yaitu : Langkah 1 : Pilih kolom pivot Caranya dengan memilih kolom dengan marginal cost tebesar. Pada ilustrasi adalah kolom b. Langkah 2 : Pilih titik-titik pivot Memilih dengan cara : R
Dapatkan 𝑏𝑏 untuk setiap baris. Lihat yang bernilai positif kemudian urutkan dari yang terkecil. Hitung 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡 − (2 × 𝑏𝑏) sampai bernilai negatif. b yang dipilih sesuai urutan terkecil positif. 15 – (2 x 5) = 5 5 – (2 x 2) = 1 1 – (2 x 3) = 15 Maka titik pivotnya adalah nilai terkecil ke 3 atau pada baris u 3 .
17
Langkah 3 : Pivoting dengan bantuan ui identitas. Tabel lampiran 2. Tabel simpleks untuk menunjukan pemilihan kolom dan titik pivot, serta pembuatan kolom semu ui identitas. R Basis R a b u1 u2 u3 u4 u5 𝑏𝑏 1 1 1 1 1 0 0 0 0 u1 u2
1
1
2**
positif terkecil 2
u3
2
1
3***
positif terkecil 3 (pivot)
u4
3
1
4
u5
2
1
5*
Marginal cost
9
5
15
1 2
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
3 4 2 5
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
2 3
positif terkecil 1
Kolom pivot
u i identitas
Kemudian buat tabel simpleks baru dengan langkah: a. b.
Ganti nama baris yang nilai positifnya tadi masih menyisakan hasil yang positif pada perhitungan dilangkah 2 dari ui menjadi v i . Ganti nama kolom pivot b menjadi u 3 . Kemudian ubah nilai titik pivotnya dengan nilai yang apabila dikalikan dengan titik pivot akan bernilai sama dengan 1. Misalkan x adalah suatu nilai yang akan membuat titik pivot sama dengan 1. 1
x.3=1→x=3
c. d.
Sedangkan untuk nilai yang lainnya pada kolom pivot lainnya akan dikalikan dengan nilai x. Ganti nama baris pada tabel simpleks lama dengan b dan ubah nilai-nilai pada baris tersebut dengan cara mengkalikan nilai baris u 3 dengan nilai x pada langkah b di atas. Ubah nilai lainnya pada tabel pivot lama dengan cara : nilai baris pivot lama yang sekolom dikalikan dengan nilai kolom pivot baru yang sebaris kemudian hasilnya dikurangi nilai pada tabel simpleks lama tersebut. Misal : 𝑢𝑢1 R (baru) = [𝑢𝑢3 R (lama) . 𝑢𝑢1 𝑢𝑢3 (baru)] − 𝑢𝑢31 R (lama) 1
1
1
= � 1 . � − �− � = − 3 3 3
18
Tabel lampiran 3. Tabel simpleks kedua Basis R a u3 1 2 1 u1 − 3 3 3 1 1 2 v2 − 3 3 3 2 1 1 b 3 3 3 1 1 4 u4 − 3 3 3 4 2 5 v5 3 3 3 1 13 5 Marginal cost 3 3 3 Langkah 3b
Langkah 3c
Langkah 4 : Cek kolom R agar tidak negatif. Apabila ada yang negatif, positifkan dengan cara mengkalikan barisnya dengan (-1). Langkah 5 : Ulangi pemilihan pivot untuk kolom a. Langkah 6 : Pilih titik pivot dengan cara sama dengan langkah 2. Hitung 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡 − (2 × 𝑎𝑎) sampai bernilai negatif. Marginal cost tidak termasuk baris B. 3 2 1 − �2 . � = − 3 3 3 Berarti titik pivot nya ada dibaris u 1 . Tabel lampiran 4. Tabel simpleks ketiga setelah mempositifkan kolom R pada tabel simpleks kedua dan pemilihan kolom pivot dan titik pivot baru. 𝐑𝐑 Basis R a u3 u1 u2 u3 u4 u5 𝒂𝒂 2 1 1 1 1 0 0 0 0 u1 −3 * − 3 3 2 1 1 2 -1 0 1 0 0 0 v2 − 3 3 3 b
u4 v5
Marginal cost
2 3 1 3 4 3 7 3
1 3
1 3
−
−
2 3
2 3
1 3 2 3
Kolom pivot
4 3 5 3
2
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
0
2
0
0
0
0
1
u i identitas
19
Langkah 7 : Pivoting dengan bantuan ui identitas. Buat tabel simpleks baru dengan langkah: a.
b. c.
Ganti nama kolom a menjadi u 1 . Kemudian ubah nilai titik pivotnya dengan nilai yang apabila dikalikan dengan titik pivot akan bernilai sama dengan 1. Misalkan x adalah suatu nilai yang akan membuat titik pivot sama dengan 1. 2
3
x.3=1→x=2
Ganti nama baris u 1 menjadi a dan ubah nilainya selain titik pivot dengan mengkalikan nilai u 1 dengan x. Ganti nilai-nilai lainnya dengan cara : nilai baris pivot lama yang sekolom dikalikan dengan nilai kolom pivot baru yang sebaris kemudian hasilnya dikurangi nilai pada tabel simpleks lama tersebut. Misal : 𝑢𝑢1 R (baru) = [𝑣𝑣2 R (lama) . 𝑣𝑣2 𝑢𝑢1 (baru)] − 𝑣𝑣2 R (lama) =�
1 3
1
. �− 2�� −
1 3
3
1
= −6 = −2
Marginal cost tidak menghitung baris a dan b. Tabel lampiran 5. Tabel simpleks keempat Basis R u1 u3 1 3 1 a − 2 2 2 1 1 1 v2 − − − 2 2 2 1 1 1 b − − 2 2 2 1 1 3 u4 − − 2 2 2 v5 -1 1 -2 Marginal cost -2 0 -1
Langkah 3b
Langkah 3a Langkah 8 : Cek kolom R agar tidak negatif. Apabila ada yang negatif, positifkan dengan cara mengkalikan barisnya dengan (-1). Tabel lampiran 6. Tabel simpleks kelima setelah mempositifkan kolom R. Basis R u1 u3 1 3 1 a * − 2 2 2 1 1 1 v2 2 2 2 1 1 1 b * − 2 2 2 1 1 3 u4 − 2 2 2 v5 1 -1 2 Marginal cost 2 0 1
1
1
Dari tabel ke lima didapatkan nilai a dan b. Sehingga y= a + bx = 2 + 2 𝑥𝑥
20
Lampiran 2. Syntax dalam R language dalam pembangkitan data.
>library(stats) >n=10 >x<-c(1:10) >set.seed(12341) >e=rnorm(n,0,5) >y=10+10*x+e
21
Lampiran 3. Pengolahan data tanpa pencilan dalam R language. >>>Metode OLS
>reg1<-lm(y~x) >reg1 Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 12.225
x 9.938
>>> Plot hasil pengolahan data dengan metode OLS
>plot(x,y,pch=19) >curve(predict(reg1,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="red",pch= 20,lwd=4) >>>Metode LAD
>library(quantreg) Loading required package: SparseM Package SparseM (0.86) loaded. To cite, see citation("SparseM") Attaching package: 'SparseM' The following object(s) are masked from 'package:base': backsolve Package quantreg (4.53) loaded. To cite, see citation("quantreg") >reg2<-rq(y~x) >reg2 Call: rq(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) x 8.719796 10.682301 Degrees of freedom: 10 total; 8 residual >>>Plot hasil pengolahan data dengan metode LAD > plot(x,y,pch=19) > curve(predict(reg2,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="green",pch =20,lwd=4)
22
Lampiran 4. Algoritma fungsi rq dalam R language.
> rq function (formula, tau = 0.5, data, subset, weights, na.action, method = "br", model = TRUE, contrasts = NULL, ...) { call <- match.call() mf <- match.call(expand.dots = FALSE) m <- match(c("formula", "data", "subset", "weights", "na.action"), names(mf), 0) mf <- mf[c(1, m)] mf$drop.unused.levels <- TRUE mf[[1]] <- as.name("model.frame") mf <- eval.parent(mf) if (method == "model.frame") return(mf) mt <- attr(mf, "terms") weights <- model.weights(mf) Y <- model.response(mf) X <- model.matrix(mt, mf, contrasts) eps <- .Machine$double.eps^(2/3) Rho <- function(u, tau) u * (tau - (u < 0)) if (length(tau) > 1) { if (any(tau < -eps) || any(tau > 1 + eps)) stop("invalid tau: taus should be >= 0 and <= 1") coef <- matrix(0, ncol(X), length(tau)) rho <- rep(0, length(tau)) fitted <- resid <- matrix(0, nrow(X), length(tau)) for (i in 1:length(tau)) { z <- { if (length(weights)) rq.wfit(X, Y, tau = tau[i], weights, method, ...) else rq.fit(X, Y, tau = tau[i], method, ...) } coef[, i] <- z$coefficients resid[, i] <- z$residuals rho[i] <- sum(Rho(z$residuals, tau[i])) fitted[, i] <- Y - z$residuals } taulabs <- paste("tau=", format(round(tau, 3))) dimnames(coef) <- list(dimnames(X)[[2]], taulabs) dimnames(resid) <- list(dimnames(X)[[1]], taulabs) fit <- z fit$coefficients <- coef fit$residuals <- resid fit$fitted.values <- fitted if (method == "lasso") class(fit) <- c("lassorqs", "rqs") else if (method == "scad")
23
class(fit) <- c("scadrqs", "rqs") else class(fit) <- "rqs" } else { process <- (tau < 0 || tau > 1) fit <- { if (length(weights)) rq.wfit(X, Y, tau = tau, weights, method, ...) else rq.fit(X, Y, tau = tau, method, ...) } if (process) rho <- list(x = fit$sol[1, ], y = fit$sol[3, ]) else { dimnames(fit$residuals) <- list(dimnames(X)[[1]], NULL) rho <- sum(Rho(fit$residuals, tau)) } if (method == "lasso") class(fit) <- c("lassorq", "rq") else if (method == "scad") class(fit) <- c("scadrq", "rq") else class(fit) <- ifelse(process, "rq.process", "rq") } fit$na.action <- attr(mf, "na.action") fit$formula <- formula fit$terms <- mt fit$xlevels <- .getXlevels(mt, mf) fit$call <- call fit$tau <- tau fit$weights <- weights fit$residuals <- drop(fit$residuals) fit$rho <- rho fit$method <- method fit$fitted.values <- drop(fit$fitted.values) attr(fit, "na.message") <- attr(m, "na.message") if (model) fit$model <- mf fit }
24
Lampiran 5. Pengolahan data dengan pencilan dalam R language.
DENGAN PENCILAN VERTIKAL >>>merubah data >data.entry(x,y) >>>Metode OLS > reg3<-lm(y~x) > reg3 Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 81.29
x 0.52
>>> Plot hasil pengolahan data dengan metode OLS > plot(x,y,pch=19) > curve(predict(reg3,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="red",pch=2 0,lwd=4) >>>Metode LAD > reg4<-rq(y~x) > reg4 Call: rq(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 20.619975
x 9.476251
>>>Plot hasil pengolahan data dengan metode LAD > plot(x,y,pch=19) > curve(predict(reg4,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="green",pch =20,lwd=4) Degrees of freedom: 30 total; 28 residual
25
DENGAN PENCILAN HORIZONTAL >>>merubah data >data.entry(x,y) >>>Metode OLS > reg5<-lm(y~x) > reg5 Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 58.486
x 1.063
>>>hasil pengolahan data dengan metode OLS > plot(x,y,pch=19) > curve(predict(reg5,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="red",pch=2 0,lwd=4) >>>Metode LAD > reg6<-rq(y~x) > reg6 Call: rq(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) x 62.02380582 -0.05392116 Degrees of freedom: 30 total; 28 residual >>>Plot hasil pengolahan data dengan metode LAD > plot(x,y,pch=19) > curve(predict(reg6,data.frame(x=x)),add=TRUE,col="green",pch =20,lwd=4)
26
Lampiran 6. Hasil pembangkitan data dan pengantian pencilan. Y dengan Pencilan X dengan pencilan X dengan pencilan vertikal horizontal 1 horizontal 2
X
Y
1
27.33348
200
1
1
2
30.0844
30.0844
2
2
3
46.78823
46.78823
3
3
4
47.87954
47.87954
4
4
5
61.7542
61.7542
5
5
6
60.40617
60.40617
30
11
7
83.4959
83.4959
7
7
8
95.54018
95.54018
8
8
9
96.49684
96.49684
9
9
10 119.0725
119.0725
10
10
