Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku
𝑝 𝑞
kde 𝑝 je celé číslo a 𝑞 je
číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla 𝑝, 𝑞 jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru. Racionální čísla lze rovněž zapsat desetinným číslem a to s ukončeným desetinným rozvojem např.
2 5
=
2 periodické např. = 2: 3 = 0, 6̅
4 10
= 0,4 ,
5 8
= 5: 8 = 0,625 nebo jako číslo
3
Množinu racionálních čísel značíme 𝑸 Zlomky můžeme při počítání s nimi: krátit – dělit čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem např.
16 20
=
16:4 20:4
=
4 5
rozšiřovat – násobit čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem 3
3∙5
4
4∙5
např. =
=
15 20
zapisovat jako smíšené číslo např.
Počítání se zlomky
𝑎 𝑐 𝑎𝑐 ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑
𝑏
=
𝑐 𝑑
5
=4
3 5
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ≠ 0
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + = + = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑
𝑎
23
právě tehdy když 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
𝑎 𝑐 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 − = − = 𝑏 𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑 𝑏𝑑
𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 𝑎𝑑 : = ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏 𝑐 𝑏𝑐
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑎 𝑑
𝑎𝑑
𝑏
𝑏𝑐
= ∙ = 𝑐
PS – 64 -66
Jednotky
1. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá: a) Předpona mili znamená tisícinu b) Předpona hekto znamená desetinásobek c) Předpona kilo znamená stonásobek d) Předpona deka znamená desetinu
2. Doplňte chybějící hodnoty a) 1 ℎ =
𝑠
b) 1 𝑙 =
ℎ𝑙
c) 1 𝑡 =
𝑔
d) 1 𝑑𝑚2 =
𝑚2
3. Doplňte chybějící jednotky a) 1 𝑐𝑚3 = 0,000 001
b) 1 𝑚 = 1 000
c) 1 𝑑𝑚2 = 10 000
d) 1 𝑔 = 0,001
4. Doplňte vhodnou jednotku tak, aby platila naznačená nerovnost a) 1 𝑔 < 1
< 1𝑘𝑔
c) 1 𝑚𝑙 < 1
<1𝑙
b) 1 𝑑𝑚 < 1
< 1 𝑘𝑚
d) 1 𝑠 < 1
<1ℎ
5. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá a) 15 ℎ𝑙 = 1 500 𝑙 b) 0,25 𝑚2 = 250 𝑐𝑚2 c) 3,5 ℎ = 210 𝑚𝑖𝑛 d) 0,4 𝑘𝑔 = 40 𝑑𝑎𝑔
6. Rozhodněte, zda jsou nerovnosti zapsány správně. Nesprávné opravte a) 1,5 𝑘𝑚 > 150 000 𝑑𝑚 b) 20,62 𝑚𝑙 < 0,2062 𝑑𝑚3 c) 2 400 𝑠 < 0,5 ℎ d) 0,006 𝑡 > 60 000 𝑔
7. Doplňte chybějící jednotku. a) 344 𝑘𝑔 = 3,44
b) 0,005 𝑚2 = 50
c) 2,5 𝑑𝑚 = 0,25
d) 1 500 𝑐𝑚3 = 1,5
8. Doplňte chybějící hodnoty. a) 12,58 𝑚 =
𝑚
𝑐𝑚
b) 4,4 ℎ =
ℎ
c) 12,75 𝑑 =
𝑑
ℎ
d) 6,1 min =
𝑚𝑖𝑛
9. Převeďte na jednotky uvedené v závorce a) 2 500 𝑚𝑚 (𝑚) = b) 0,815 𝑑𝑚 (𝑚𝑚) = c) 6 364,2 𝑚 (𝑘𝑚) = d) 0,14 𝑚𝑚 (𝑐𝑚) =
𝑚𝑖𝑛 𝑠
10. Převeďte na jednotky uvedené v závorce a) 23 000 𝑐𝑚2 (𝑚2 ) = b) 7,5 𝑎 (𝑚2 ) = c) 54 000 𝑚𝑚2 (𝑚2 ) = d) 0,08 𝑑𝑚2 (𝑚𝑚2 ) =
11. Převeďte na jednotky uvedené v závorce a) 650 𝑚𝑙 (𝑑𝑚3 ) = b) 0,02 ℎ𝑙 (𝑐𝑚3 ) = c) 1,5 𝑑𝑚3 (𝑚𝑙) = d) 12 000 𝑚𝑙 (𝑚3 ) =
12. Převeďte na jednotky uvedené v závorce a) 2 , 7 𝑞 (𝑔) = b) 4 600 𝑚𝑔 (𝑘𝑔) = c) 0,25 𝑘𝑔 (𝑑𝑎𝑔) = d) 1,5 𝑡 (𝑘𝑔) =
13. Převeďte na jednotky uvedené v závorce a) 12,5 𝑑 (𝑚𝑖𝑛) = b) 12 000 𝑠 (ℎ) = c) 0,45 ℎ (𝑚𝑖𝑛) = d) 1,64 𝑚𝑖𝑛 (𝑠) =
𝑃𝑆 − 68 − 71 1. Uveďte příklad: a) Zlomku, jehož čitatel a jmenovatel jsou čísla nesoudělná b) Zlomku, jehož čitatel je trojnásobkem jmenovatele c) Navzájem opačných zlomků d) Navzájem převrácených zlomků
2. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá a) Pravý zlomek má hodnotu větší než jedna b) Je-li zlomek pravý, pak k němu převrácený je nepravý c) Každé přirozené číslo můžeme zapsat jako zlomek d) Jmenovatel každého zlomku musí být číslo nezáporné
3. Vyberte pravé zlomky: a)
12 5
b)
30
c) −
70
125
140
d)
126
139
4. Doplňte tabulku: Původní zlomek Opačný zlomek k původnímu Převrácený zlomek k původnímu
3 4
0 15 −
2 7
15 19 15 14
−
27 8
5. Uveďte příklad zlomku, pro který platí, že: a) Jeho hodnota je rovna 4
b) jeho hodnota je větší než 7
c) Jeho hodnota je menší než 3
d) jeho hodnota je větší než 5 a menší než 6
6. Převeďte následující zlomky na smíšené číslo a)
41 6
c) −
=
b) −
1205 40
=
d)
125
=
43
117 24
=
7. Převeďte smíšená čísla na zlomky 3
7
a) 15 =
b) −11 =
8
c) −4
22 51
9
=
d) 8
3 10
=
8. Rozhodněte, které rovnosti jsou správné. Nesprávné opravte. 2
4
7
7
a) 2 = c) −
19 3
= −6
4
19
5
5
b) 3 = 1 3
5
25
8
8
d) −5 = −
9. Doplňte vhodná čísla místo písmene 𝑎 tak, aby platila rovnost. a) 2 =
𝑎
c) 1 =
𝑎
b) 3 =
7
d) 𝑎 =
18
6 𝑎 8 2
10. Doplňte vhodná čísla místo písmene 𝑎 tak, aby platila rovnost. a)
37 7
=5
2 𝑎
𝑎
77
3
3
c) 25 =
4
𝑎
5
5
b) 82 = d) 𝑎
10 19
=
181 19
11. Zapište zlomkem, jaká část obrázku je vyznačena
12. Zakreslete daná čísla na číselnou osu a) číslo
4 5
b) číslo −
1
c) číslo −
3
d) číslo
6
4
4 3
13. Napište, kolik zbude. 2
a) Když z jednoho celku odstraníme celku, zbude 8
4
b) Když ze dvou celků odstraníme celku, zbude 3
c) Když z jednoho celku odstraníme
9 11
celku, zbude
7
d) Když ze tří celků odstraníme celku, zbude 5
14.Vyjádřete zlomkem a) Tři hodiny jsou
dne. b) 12 centimetrů je
c) 8 gramů je
metru
kilogramu d) Dvousetkoruna je
tisícikoruny
𝑃𝑆 − 72 − 75 1. Uveďte příklad: a) Zlomku, který je v základním tvaru b) Zlomku, který není v základním tvaru c) Zlomku, který má stejnou hodnotu jako zlomek
5 8
d) Zlomku, který není v základním tvaru a jehož čitatel je prvočíslo různé od 2
2. Rozhodněte, která následující tvrzení jsou pravdivá a) Rozšiřováním nebo krácením zlomku se jeho hodnota nemění 𝑎
b) Pro kladný zlomek , který není v zákl. tvaru platí 𝐷(𝑎, 𝑏) ≠ 1 𝑏
c) Společným jmenovatelem dvou zlomků je společný dělitel jmenovatelů původních zlomků d) Kladný zlomek je vždy větší, než záporný zlomek
3. Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá 3
9
4
16
a) Zlomky a b) Zlomek
11 111
d) Zlomek
je v základním tvaru
5
5
4
12
c) Zlomky , 13 14
mají stejnou hodnotu
5
a jsou převedeny na společného jmenovatele 3
je menší než zlomek
14 13
4. Vyberte zlomky v základním tvaru a)
141 36
b)
14 27
c)
2000 2001
d)
25 52
2 1
1 10
9 4
3 16
5. Vyberte z množiny 𝑀 = {− , , − ,
,−
35
,
20 14 20
,
,
105 80 63 32
} dvojice
zlomků, kdy jeden zlomek vznikl rozšířením druhého
a)
b)
c)
d)
6. Zkraťte zadané zlomky na základní tvar
a)
c)
1440 960 44 121
=
b)
=
d)
120 126
125 850
=
=
7. Rozšiřte zlomky podle zadání a)
b)
c)
d)
15 34 42 82 5
rozšiřte číslem 3 rozšiřte číslem 5 rozšiřte číslem 20
7 8 56
rozšiřte číslem 9
8. Pomocí rozšiřování a krácení najděte číslo x, aby platila rovnost
a)
c)
3 4
=
20 128
𝑥
b)
36
=
5 𝑥
d)
700 123
2890 1700
=
=
𝑥 5
𝑥 100
9. Převeďte zlomky na společného jmenovatele 5
a)
12
31
b)
4
a
15
5
a
27
18
1 23
c) ,
a
4 16 2
4
d) ,
a
3 15
7 8 17 9
10. Z následujících zlomků sestavte skupiny zlomků, které se sobě rovnají
a)
b)
c)
d)
2 6
,
2 11
4 12
800
100
,
35
6
,
200
,
66
52
,
1200 1000
42
192
88
40
560
,
910
64
16
,
,
65
,
400
,
45
,
,
,
28 84
50 60
44
10 8
4
40 9
5
400 650
,
480 400
20
4
,
, ,
5
,
,
,
,
33
18
130
28
6
16
80
7
,
,
,
,
4
,
16
300 240
70 280
360 300
,
4200 3500
,
160 260
11. Ke každému zlomku zapište 3 další zlomky, které se mu rovnají
a)
1
=
5
=
=
=
=
=
=
=
=
2
b) − = 3
c) d)
4
=
3
10
=
15
12. Porovnejte zlomky a seřaďte je vzestupně.
a)
12
a
7
b) −
12
c) −
17
13 8
5
3
,
a−
13
0
7
5
5
33
6
17
d) − ,
,
6
9
,−
,− 10 12
21 16 4
,−
,
19
21 23
,
43 22
13. Porovnejte čísla ve tvaru zlomků a smíšených čísel
a) −
4 15
c) −5
5 7
−
5 16
−5
2 3
b)
16
12
35
25
d) 4
23 28
4
28 45
14. Porovnejte zlomky a seřaďte je sestupně. 1
15
4
2
a) 8 , b) −
65 16
, 7
,−
38 9
1 3
, −4
1 4
2
1
3
9
2
8
c) −1 , −1 , −1 3
31
4
3
d) 10 , −
, 10
4 5
PS – 77 -85 1. Uveďte příklad: a) Součtu tří zlomků b) Rozdílu pravého a nepravého zlomku c) Součinu dvou záporných zlomků d) Podílu zlomku a celého čísla
2. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá a) Při sčítání a odčítání zlomků můžeme krátit čitatele jednoho zlomku se jmenovatelem druhého zlomku b) Při sčítání zlomků se stejnými jmenovateli stačí sečíst čitatele a jmenovatele opsat c) Při násobení tří kladných a tří záporných zlomků je výsledkem kladné číslo d) Zlomek nelze násobit nulou
3. Rozhodněte, zda jsou následující výpočty správné a) b) c) d)
6 12
−
50
14 80
12
5
+
−
25
=
12
14 12 5 13 7
7
12
5
12
=
14−12
7
14+7
4
80+4
+ =
4 12
25
=
2
84
=
13
=
12
50−25
7
∙
6−7+5
=
65
=
21 84
1
=
4
4. Rozhodněte, zda bylo krácení ve výpočtech provedeno správně a) b) c) d)
12 18
∙
=
90 24 40 22 65 8 50 20
+ :
44
13
−
=
24 48
=
2
∙ =
10 2 10
=
16
8
1
1
5 1
∶
5 2
1
1
1
10 1
10
2
10
4
1
+ = 1 1
−
∙ = 1
1
2
2
+ = 10
=5∶1=5 1 2
=
4 2
=2
5. Vypočítejte následující úlohy
a)
36
∙
35
112 54
=
9
66
b) (− 12) ∙ (− 72) = −3
−5
−4
c) ( 8 ) ∙ ( 6 ) ∙ ( 25 ) = 4
d) − 25 ∙ 65 = 46
14
e) (− 28) ∙ 7 ∙ (− 23) = f)
1 2
∙ 1,2 =
6. Vypočítejte následující úlohy 18
24
a) (− 15) ∶ (− 56) = 13
b) (− 8 ) ∶ c)
d)
10
16 13 15
=
∶ (− 45) = 36 180
∶ 364
420 910
=
e)
f)
18 19 3 4
∶ (−27) =
∶ 0,5 =
7. Vypočítejte následující úlohy
a)
6
1
∶ (−5 4) = 7 5
3
b) (−3 8) ∙ (−16) ∙ (− 58) =
7
c) 4 ∶ (−1 8) =
54
6
1
d) 9 ∙ 39 ∙ 1 7 ∙ (− 6) =
8. Vypočítejte součet, popřípadě rozdíl následujících zlomků 2
4
a) 5 + 5 + 29
11
=
5
7
b)
3
c) 45 + 45 − 45 =
d)
9. Vypočítejte
a) b)
c)
d)
11
17
− 15 =
9 2
7
1
1
5
7
2
6
3
+ 15 + 5 = 3 11 2 19 33
−3+4= − − =
10.Vypočítejte
a)
3
b) −
c)
d)
2
5
+ (− 7) − 6 = 14 5
8
5
− (− 3) + 18 = 12
16
5
3
7
3
5
+ (− 44) − (− 4) = 11 + (− 20) − (− 4) = 10
120 11 13 4
68
− 11 = 9
5
3
+4−4−4=
11. Vypočítejte 5
1
a) 1 8 − 3 4 + 2 =
1
1
1
b) −2 4 − 8 − (−3 5) =
7
2
c) 4 + 9 − (− 3) =
1
4
1
d) −2 27 + 9 − 1 3 =
12.Vypočítejte 2
4
a) − (3 + 5) ∙
0
b) (3 −
18
12 11
7
=
5
) ∙ (12 − 9) = 5
15
3
4
2
42
c) ( 8 − 4) ∙ [5 − (− 3) + 30] =
7
d) (− 9 ∶
21
10
7
) − (− 12 − 9) = 27
13. Vypočítejte
a)
2
1 7
0 9
9
6
+3∙5−5= 3
1
b) 3 : 8 − 8 + 1 2 =
12 2
12 25 45
c) − 55 : 5 + 25 ∙ 48 : 28 =
12
90
30
d) −30 ∙ 90 − 12 ∶ 30 + 12 ∶ 90 =
Příklady k domácí přípravě 1. Vyjádřete zlomkem v základním tvaru: a)
12 18
−32
;
;
24
81 45
;
−66
2
2
5
3
5
3
6
4
b) 3 ; 5 ; −4 ; 14
44
c) 0,75; 3,6; 0,4; - 1,25
2. Srovnejte zlomky podle velikosti: 4
a) vzestupně
3
5
;
4
;
7 6
;
3
7
b) sestupně
2
5
1
18
6
15
; 1 ; 0,9;
3. Vypočtěte: a)
7 15
5
1
3
5
− +
1
1
3
5
2
10
c) 2 − + −
5
3
5
1
6
4
3
2
b) − + − =
=
1
2
1
4
3
6
d) 2 − 3 + 1 =
=
4. Vypočtěte: a)
8 7
∙ =
1
1
2
3
b) 1 ∙ 3 =
5 4
c)
7
5 6
2
4
c) 2 ∙ ( − ) = 3 3
5
b) 12 + 3 − 5 ∙ = 6
2
4
3
3
d) 2 ∙ − =
21
18 27
5. Vypočtěte: a) 12 + (3 − 5) ∙ =
:
=
14. Určete, jak velké jsou následující části celku 6
a) Kolik tun je z 35 500 kg? 5
9
b) Kolik korun je
13
c) Kolik litrů jsou
d) Kolik km je
23 14
2 15
z 754 Kč?
z 72,4 hl?
z 4 095 m?
15. Jarek má přečteny
2 3
knížky ke zkoušce, což je 72 stran. Kolik stran ještě
musí přečíst? 1515
16. Marek roznáší letáky, aby si přivydělal nějaké peníze. Teprve má rozneseny 2 9
z celkového množství letáků a zbývá mu roznést ještě 350 letáků. Kolik
letáků má Marek za úkol roznést celkem?
1
17. Na třídenním výletě v Jeseníkách jsme ušli první den celkové trasy, druhý 7
2
den celkové trasy a za poslední den 24 km. Kolik měřila celá trasa a kolik 7
km jsme ušli každý den?
18. Jana měla velmi ráda divadelní představení. První sezonu zhlédla představení, ve druhé sezoně viděla dalších
6 16
4 10
všech
ze všech představení, do třetí
sezony jí zbývalo zhlédnout 9 představení, aby viděla všechny hry z repertoáru divadla. Kolik her celkem mělo divadlo v programu?
4
19. František měl našetřeno celkem 1750 Kč. Za model letadla utratil z těchto 7
peněz. Za barvy na model utratil jednu třetinu zbytku. Kolik korun mu zůstalo?
20. V roce 2010 navštívilo Pražský hrad během dne otevřených dveří 4 545 návštěvníků. O rok později jich bylo o třetinu více. Kolik lidí navštívilo Pražský hrad během dne otevřených dveří v roce 2011?
21.Upravte složené zlomky na zlomky jednoduché
a)
1 4 2 7
=
b)
30 34 40 17
=
c)
d)
4 25 80 15
−
12 18 60 − 54
−
=
=
22. Upravte složené zlomky na zlomky jednoduché
a)
b)
c)
d)
4 2 5
3
=
2 13
=
5
21 8 1 −1 6
−2 17 13
−
=
=
23. Zjednodušte následující výrazy
a)
3 7 −(− ) 5 10 1 3 ∙ 2 5
b)
8 2 − 15 3 7 2 + 5 6
=
=
2
c)
8 9
−
7 4
=
1 18 4 5 1 3− 4
− ∙
d)
2
e)
3
f) 2 ∶
3
+
5 4
1 2
−
=
∙
1−
3 2
2
7 ∙4 8 2 2− 9
=
=
