1. Výroky a operace s nimi

1. Výroky a operace s nimi 1. Rozhodněte, zda se jedná o výrok, případně určete, zda je pravdivý či nepravdivý: a) Úhlopříčky čtverce nejsou navzájem kolmé. b) Existuje trojúhelník, který je rovnoramenný. c) Pythagorova věta. d) Číslo x je kladné. e) x + 2 > 5 f) 5 + 4 g) Mlč! h) V roce 2050 poletíme na Mars. 2. Negujte výroky, zestručněte: a) Vltava neprotéká Prahou. b) Není pravda, že se učím. c) Není pravda, že není pravda, že jsem se neozval. d) Není pravda, že jsem řekl, že to není pravda. 3. Negujte, zestručněte, případně vhodně zapište: a) 10 ≥ 3 b) Součin dvou záporných reálných čísel je kladný. 4. Rozhodněte o pravdivosti či nepravdivosti výroku: 6 6  1  1 a)   >    3  4

5 5     b)  1  >  1   3  4

1 1  25 24 c)   >   7 7

7 3  37  33 d)   >   7 7

5. Rozepište jako konjunkci nebo disjunkci dvou výroků dané zápisy: a) 10 > 8 > 5 b) 3 ≤ π c) 100 = 2.50 = 4.25 c) ∆KLM ~ ∆PQR ~ ∆XYZ 6. Negujte (zapište i matematické vzorce): a) Máme pivo a minerálky. b) Osvěžím se čajem nebo kávou. c) Jestliže budu obědvat vepřové, budu pít pivo. d) Koupím-li čerstvé ovoce, nekoupím kompot. e) Koupat se půjdu, jestliže bude teplé počasí. f) Pomeranče koupím právě tehdy, nebudou-li citrony. 7. Napište negace uvedených výroků: a) Číslo 50 je dělitelné 15 a 5. b) Číslo 50 není dělitelné 15 nebo není dělitelné 5. c) Jestliže je poslední dvojčíslí daného přirozeného čísla dělitelné 4, potom je i dané číslo dělitelné 4. d) Číslo je dělitelné 6 právě tehdy, když je dělitelné 2 a 3. 8. K dané implikaci napište obrácenou implikaci a obměněnou implikaci. Rozhodněte o pravdivosti jednotlivých implikací: a) Je-li součin dvou přirozených čísel liché číslo, potom jsou obě čísla lichá. b) Jestliže je konvexní čtyřúhelník kosočtverec, potom jsou jeho úhlopříčky navzájem kolmé. c) Je-li druhá mocnina reálného čísla větší než 5, potom je i dané reálné číslo větší než 5.

9. Negujte, rozhodněte o pravdivosti výroků: a) Každé prvočíslo je liché číslo. b) ∀x ∈ R: x2 > 0 c) Aspoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x2 - 36 < 0. d) Přímka x – 2y – 1 = 0 a kuželosečka x2 – y = 0 mají aspoň jeden společný bod 10. Negujte: a) Každý den je důvod k radosti. b) Každý svého štěstí strůjcem. c) Alespoň jeden člověk je nesmrtelný. d) Žádný učený z nebe nespadl. e) Bez práce nejsou koláče. f) Přišel jsem, viděl jsem, zvítězil jsem. 11. Maminka řekla malému Pavlovi: „Jestliže budeš hodný, dostaneš zmrzlinu.“ Jsou čtyři možnosti: a) Pavel byl hodný, dostal zmrzlinu. c) Pavel nebyl hodný, dostal zmrzlinu. b) Pavel byl hodný, nedostal zmrzlinu. d) Pavel nebyl hodný, nedostal zmrzlinu. Ve kterých případech a) až d) vyslovila maminka pravdu? 12. Rozhodněte, zda jsou správné tyto úsudky: a) A ⇒ B platí b) ¬A ⇒ B platí B platí B neplatí A platí A platí

c) A⇒B neplatí B neplatí A platí

13. Získá-li Petr dva lístky na fotbalový zápas, půjde s ním Jirka. Petr však dva lístky nedostal. Plyne z těchto údajů, že Jirka není na zápase? Zdůvodněte. 14. Určete, zda výroková formule [(x ∧ y) ⇒ z] ⇔ [(x ∧ ¬z) ⇒ ¬y] je tautologie. 15. Jestliže je čtvrtek nebo není středa, nepíšeme písemku. Písemku píšeme. Je možné z toho jednoznačně vyvodit závěr, který je den? 16. Petr a Pavel čekají před kinem na své spolužáky Adama, Břetislava a Cyrila. Petr tvrdí: „Přijdeli Adam a Břetislav, přijde i Cyril.“ Pavel říká: „Já si myslím, že když přijde Adam a nepřijde Cyril, nepřijde ani Břetislav. Na to povídá Petr: „To ovšem říkáš totéž co já.“ Rozhodněte, zda oba skutečně říkají totéž. 17. Pro provozní dobu tří benzínových stanic A, B, C u jednom městě platí tyto podmínky: vždy je v provozu benzínová stanice A nebo C. Stanice C je mimo provoz právě tehdy, když je otevřeno ve stanici A. Má-li prodejní dobu stanice C, pak stanice A není v provozu a je v činnosti stanice B. Určete všechny možnosti provozu těchto tří benzínových stanic. 18. Kapitán Kalous vyšetřuje případ vraždy. Vyšetřováním se okruh podezřelých zúžil na 3 osoby A, B, C. Jeho podřízení vyslechli podezřelé a o jejich přítomnosti na místě činu v kritické době kapitánovi hlásí: Jestliže byl v kritické době na místě činu podezřelý C, pak tam nebyl podezřelý A, ale byl tam podezřelý B. Není pravda, že na místě činu nebyl A a přitom tam nebyl C. V době, kdy byl na místě činu podezřelý A, nebyl tam C, a když tam nebyl C, byl tam A. Kapitán Kalous: „Bohužel, to nám k usvědčení vraha nestačí.“ Poručík Baloun: „No, ještě bezpečně víme, že pachatel byl v kritické době na místě činu sám.“ Kapitán Kalous: „To je jiná věc. Mí důstojníci, jdeme zatknout pachatele!“ Dovedete také určit pachatele? (Promyslete, zda lze využít řešení úlohy o benzínových stanicích)

19. Zájemkyně o zájezd do Středomoří má velmi náročné a trochu divné požadavky na výběr dopravních prostředků. Chtěla by letět letadlem nebo plout lodí, ale nechce použít oba dopravní prostředky. Navíc by chtěla jet lodí a přitom už necestovat autobusem nebo by si přála jet autobusem a přitom už neletět letadlem. Zoufalý úředník jí nabídl dva zájezdy. V prvém by cestovala jen lodí a autobusem, v druhém jen letadlem. Paní si spokojeně vzala druhý z nabízených zájezdů. Splňoval všechny její přání? Vyhovoval by první z nabízených zájezdů všem jejím požadavkům?

Výsledky: 1. a) nepravdivý, b) pravdivý, c) není výrok, d)e) výroková forma, f)g) není výrok, h) hypotéza 2. a) Vltava protéká Prahou. b) Učím se. c) Ozval jsem se. d) Je to lež. 3. a) 10 < 3 b)Součin dvou záporných reálných čísel není kladný, tj. je nezáporný. 4. a) pravdivý, b) nepravdivý, c) pravdivý, d) nepravdivý 5. a) 10>8 ∧ 8>5, b)3< π ∨ 3=π, c) 100=2.50 ∧ 2.50=4.25, d) ∆KLM~∆PQR ∧ ∆PQR~∆XYZ 6. a) Nemáme pivo nebo minerálky. b) Neosvěžím se čajem a kávou. c) Budu obědvat vepřové a nebudu pít pivo. d) Koupím čerstvé ovoce a kompot. e) Bude teplé počasí a nepůjdu se koupat. (Pozor – neguj: Jestliže bude teplé počasí, půjdu se koupat) f) Více možností: Koupím pomeranče a nekoupím citrony nebo nekoupím pomeranče a koupím citrony. Pomeranče koupím právě tehdy, když budou citrony. Pomeranče nekoupím právě tehdy, když nebudou citrony. 7. a) negace je b) a naopak, c) Poslední dvojčíslí daného přirozeného čísla je dělitelné 4 a dané číslo není dělitelné 4. d) více možností: Číslo je dělitelné 6 a není dělitelné 2 nebo 3 nebo číslo není dělitelné 6 a je dělitelné 2 a 3. Číslo je dělitelné 6 právě tehdy, když není dělitelné 2 nebo 3. Číslo není dělitelné 6 právě tehdy, když je dělitelné 2 a 3. 8. a) Obrácená: Jsou-li daná dvě přirozená čísla lichá, potom je jejich součin liché číslo. Obměněná: Nejsou-li daná dvě přirozená čísla obě lichá, potom jejich součin není liché číslo. Platí implikace všechny tři. b) Obrácená: Jsou-li úhlopříčky v konvexním čtyřúhelníku navzájem kolmé, potom se jedná o kosočtverec. Obměněná: Nejsou-li úhlopříčky v konvexním čtyřúhelníku navzájem kolmé, potom se nejedná o kosočtverec. Platí původní a obměněná implikace, neplatí obrácená. c) Obrácená: Je-li číslo větší než 5, potom je i jeho druhá mocnina větší než 5. Obměněná: Není-li číslo větší než 5, potom i jeho druhá mocnina není větší než 5. Neplatí implikace původní ani obměněná, platí obrácená. 9. a) Platí negace: Existuje aspoň jedno sudé prvočíslo. (jde o jediné sudé prvočíslo a to 2), b) ∀x ∈ R: x2 > 0 (neplatí pro x=0), platí negace: ∃x ∈ R: x2 ≤ 0 (pouze pro jedno x=0), c) po vyřešení x<6, tj. v N jsou řešením čísla 1,2,3,4,5 a je jich nejvýše 5, platí negace: Nejvýše 5 přirozených čísel splňuje nerovnost x2 - 36 < 0. d) při řešení soustavy rovnic D< 0, tedy nemají žádný společný bod, platí negace: Přímka x – 2y – 1 = 0 a kuželosečka x2 – y = 0 nemají žádný společný bod. 10. a) Existuje alespoň jeden den, kdy není důvod k radosti. b) Existuje alespoň jeden člověk, který není svého štěstí strůjcem. c) Žádný člověk není nesmrtelný, tj. všichni lidé jsou smrtelní. d) Alespoň jeden učený z nebe spadl. e) Existuje alespoň jeden koláč, který je bez práce. f) Nepřišel jsem nebo jsem neviděl nebo jsem nezvítězil. 11. a)c)d) pravdivý, b) nepravdivý 12. a) nesprávný, b) c) správné 13. neplyne 14. tautologie 15. středa 16. říkají totéž (viz předchozí příklad, tautologie) 17. Jsou tři možnosti A∧B∧C´, pouze A, A´∧B∧C 18. Vrahem je A, druhou a třetí výrokovou formuli lze zjednodušit, pak tabulka jako u benzínových stanic 19. Druhý ne, první ano

1. Výroky a operace s nimi - teorie Výroková logika – obecný soubor pravidel správného usuzování, vznikla z potřeb matematiky, přírodních věd i rétoriky již ve 4. století př. n. l. ve starověkém Řecku Výrok – každá oznamovací věta, o jejíž pravdivosti lze jednoznačně rozhodnou - přisuzujeme mu pravdivostní hodnotu: výrok platí – pravda (1) neplatí – nepravda (0) - ozn. písmeny, např. a, b, p, q, (někdy velkými A,B,…) - z jednoduchých výroků lze tvořit pomocí logických spojek výroky složené (výrokové formule) Hypotéza (domněnka) – tvrzení, o jehož pravdivosti momentálně neumíme rozhodnout Výroková forma – věta obsahující proměnnou (proměnné), po dosazení konkrétních hodnot za proměnné nebo při kvantifikování se stane výrokem (jiný název predikát) Příklady Sněžka je nejvyšší hora v Krkonoších. pravdivý výrok Měsíc je celý z gumy. nepravdivý výrok Bude pršet? není výrok Mimo Sluneční soustavu neexistuje život hypotéza 3+5=7 nepravdivý výrok x+2=6 výroková forma, po dosazení např. x=4 dostaneme výrok pravdivý, pro jiné hodnoty reálných čísel výrok nepravdivý, kvantifikováním - např. Existuje alespoň jedno reálné číslo, pro které platí: x + 2 = 6 získáme výrok pravdivý x+2 není výrok ani výroková forma Mlč! není výrok Negace výroku – výrok, který má opačnou pravdivostní hodnotu než původní výrok - ozn. ¬a (a´, ~a, non a, A´) - tabulka pravdivostních hodnot: a ¬a a: Dnes prší. ¬a: Není pravda, že dnes prší. 1 0 Dnes neprší.(často zestručňujeme) 0 1 b: Číslo –3 je záporné. ¬b: Není pravda, že číslo –3 je záporné. ( -3 < 0) Číslo –3 je nezáporné (-3 ≥ 0). ¬(¬a) = a Složené výroky - výroky vzniklé spojením jednoduchých výroků pomocí spojek - konjunkce výroků a ∧ b (a & b, a et b, A ∧ B) a, a současně, i,… Přijdu k tobě a všechno ti vysvětlím. - disjunkce (alternativa) a ∨ b (A ∨ B) nebo Umyju nádobí nebo vyluxuju. (V košíku byla červená a zelená jablka. – nutno určit z významu) - implikace a ⇒ b (A ⇒ B) Jestliže …, pak … Jestli se rozzlobíme, budeme zlí. Když je číslo dělitelné 6, je sudé. Přijde-li Karel, přijde i Jana. (Pozor na pořadí jednoduchých výroků – je stejné) Přijde i Jana, přijde-li Karel. (Jesliže přijde Karel, přijde i Jana) - obrácená: b ⇒ a (obecně nemusí mít stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace – pozor) Jestliže budeme zlí, pak se rozzlobíme. - obměněná: ¬b ⇒ ¬a (má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako původní implikace) Jestliže nebudeme zlí, pak se nerozzlobíme. - užití: nepřímý důkaz - ekvivalence a⇔b (A ⇔ B) právě tehdy, když (právě, když) - jde vlastně o oboustrannou implikaci a ⇔ b = (a ⇒ b ∧ b ⇒ a) Alena pojede na hory právě, když pojede Irena.

Tabulka pravdivostních hodnot a b a∧b a∨b a⇒b 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 Negace složených výroků - konjunkce výroků - disjunkce (alternativa) - implikace - ekvivalence

a⇔b 1 0 0 1

b⇒a 1 1 0 1

¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b ¬(a ⇒ b) = a ∧ ¬b ¬ (a ⇔ b) = (a ∧ ¬b) ∨ (¬a ∧ b) ¬ (a ⇔ b) = a ⇔ ¬b ¬ (a ⇔ b) = ¬a ⇔ b

Tautologie – složený výrok (výroková formule), který při všech hodnotách svých jednoduchých výroků (výrokových proměnných) nabývá pravdivostní hodnoty pravda (1) Kvantifikované výroky – výroky, které udávají počet objektů, o nichž vypovídají - obecné: přisuzují určitou vlastnost všem uvažovaným objektům bez výjimky - obsahují slova: všichni, každý, všechno, žádný, nikdo, nic, apod. - symbolický zápis: ∀x; T(x) pro každé x platí tvrzení T(x) - existenční: vyjadřují, že některé objekty mají vlastnost, o kterou jde - obsahují slova: existuje, najde se, některý, někdo, alespoň jeden, lze nalézt, apod. - symbolický zápis: ∃x; T(x) existuje alespoň jedno x, pro které platí T(x) ∃!x; T(x) existuje právě jedno x, pro které platí T(x) Příklady - obecné výroky: V každém trojúhelníku je nejvýše jeden úhel pravý. V kružnici jsou všechny průměry shodné. Žádné prvočíslo není záporné. - existenční výroky: Aspoň jedno prvočíslo je sudé. Sečna má s kružnicí společné právě dva body. Negace kvantifikovaných výroků výrok → Každý … je … Alespoň jeden … je …

negace výroku Existuje alespoň jeden …, který není … Žádný … není … Pro každý … platí, že není …

Alespoň n … je … Nejvýše (n-1) … je … (n>1) Nejvýše n … je … Alespoň (n+1) … je… (n≥1) Právě n … je … Nejvýše (n-1) … je … nebo alespoň (n+1) … je… negace výroku ← výrok Příklady a: Každý ∆ je pravoúhlý. ¬a: Existuje (alespoň jeden) ∆, který není pravoúhlý. Alespoň jeden ∆ není pravoúhlý. b: Alespoň jedno prvočíslo je sudé ¬b: Pro každé prvočíslo platí, že není sudé. Žádné prvočíslo není sudé. Všechna prvočísla jsou lichá.