Technická univerzita v Liberci FAKULTA PŘÍRODOVĚDNĚ-HUMANITNÍ A PEDAGOGICKÁ matematiky a didaktiky matematiky
Katedra:
Studijní program: 2. stupeň matematika – anglický jazyk
Studijní obor (kombinace)
ŘETĚZOVÉ ZLOMKY CONTINUED FRACTIONS Diplomová práce: 09–FP–KMD–007
Autor:
Podpis:
Dalibor HANZAL Adresa: Západní 2743 407 47, Varnsdorf
Vedoucí práce: doc. RNDr. Jiří Taufer, CSc. Konzultant: Počet stran
grafů
obrázků
tabulek
pramenů
příloh
66
0
0
0
8
0
V Liberci dne: 22. 5. 2009
Prohlášení
Byl(a) jsem seznámen(a) s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo. Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnitřní potřebu TUL. Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto případě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše. Diplomovou práci jsem vypracoval(a) samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.
Datum: 22. 5. 2009
Podpis:
Poděkování Děkuji vedoucímu práce doc. RNDr. Jiřímu Tauferovi, CSc. za podnětné rady a připomínky, které pomohly k dokončení této práce. Dále děkuji svým rodičům za podporu, obzvláště pak Mgr. Anně Hanzalové za jazykovou korekturu, a všem ostatním, kteří mě při psaní této práce podporovali.
ŘETĚZOVÉ ZLOMKY HANZAL Dalibor
DP – 2009
Vedoucí DP: doc. RNDr. Jiří Taufer, CSc.
Resumé Diplomová práce poskytuje stručný přehled o řetězových zlomcích a zabývá se jejich aproximačními vlastnostmi. V první části je popsána teorie celého aparátu, tedy základní pojmy a vlastnosti řetězových zlomků. Druhá část se zabývá teorií zobrazení čísel pomocí řetězových zlomků a přesností těchto zobrazení. Ve třetí části práce jsou pak uvedeny rozvoje několika konkrétních čísel a funkcí v řetězce, na základě čehož jsou v závěru shrnuty hlavní výhody vyjádření čísel řetězovými zlomky. Klíčová slova: řetězový zlomek – konečný, nekonečný, pravidelný, periodický; sblížený zlomek; aproximace. CONTINUED FRACTIONS Summary This Diploma Thesis presents a brief overview of continued fractions and deals with their approximation properties. In the first part, the theory of this issue is described, such as basic terms and the properties of continued fractions. The second part deals with the theory of expressing numbers as continued fractions and the accuracy of these expressions. In the third part, some concrete numbers and functions are expressed as continued fractions. And finally, the conclusion sums up the main advantages of expressing numbers as continued fractions. Key words: continued fraction – finite, infinite, simple, periodic; convergent; approximation.
KETTENBRÜCHE Zusammenfassung Die Diplomarbeit gewährt einen kurzen Einblick in das Thema Kettenbrüche und befasst sich mit ihren Approximationseigenschaften. Im ersten Teil ist die Theorie des ganzen Gebietes beschrieben, d.h. die Grundbegriffe und Eigenschaften der Kettenbrüche. Der zweite Teil behandelt den theoretischen Aspekt der Darstellung von Zahlen mittels Kettenbrüche und die Genauigkeit dieser Darstellungen. Im dritten Teil der Arbeit sind Kettenbruchentwicklungen einiger konkreter Zahlen und Funktionen präsentiert. Diese liegen auch der Zusammenfassung der Hauptvorteile der Darstellung von Zahlen durch Kettenbrüche in der Schlussfolgerung zugrunde. Schlüsselwörter: Kettenbruch – endlich, Approximation.
unendlich,
regulär,
periodisch;
Konvergent;
Obsah 1. Úvod ........................................................................................................7 2. Vlastnosti aparátu .................................................................................8 2.1 Základní pojmy ...............................................................................8 2.2 Sblížené zlomky ............................................................................12 2.3 Nekonečné řetězce ........................................................................ 20 2.4 Řetězce s přirozenými prvky ........................................................ 24 3. Zobrazení čísel řetězci ......................................................................... 29 3.1 Vyjádření reálných čísel řetězci ....................................................29 3.2 Sblížené zlomky jako nejlepší přiblížení ...................................... 34 3.2.1 Řád přiblížení .......................................................................36 3.2.2 Euklidův algoritmus .............................................................42 4. Rozvoj v řetězce ....................................................................................44 4.1 Rozvoj některých konstant v řetězce ............................................ 44 4.1.1 Rozvoj Ludolfova čísla ........................................................ 44 4.1.2 Rozvoj Eulerova čísla .......................................................... 48 4.2 Rozvoj některých funkcí v řetězce ................................................51 4.2.1 Rozvoj mocninné funkce ..................................................... 52 4.2.2 Rozvoj logaritmické funkce .................................................55 4.2.3 Rozvoj exponenciální funkce ...............................................57 4.2.4 Rozvoj funkce y = arctg x .................................................... 58 4.2.5 Rozvoj funkce y = tg x ......................................................... 59 4.2.6 Rozvoj funkce y = tgh x ....................................................... 60 4.2.7 Aproximace funkcí sin x a sinh x lomenou racionální funkcí ................................................... 61 4.2.8 Aproximace funkcí cos x a cosh x lomenou racionální funkcí ................................................... 63 5. Závěr ..................................................................................................... 65
Použitá literatura ......................................................................................... 66
-6-
1. Úvod Problematika řetězových zlomků byla známa dříve, než by se mohlo zdát. Jak se můžeme dočíst v různých zdrojích (Collins [1], Danilov [2]), algoritmy podobné řetězovým zlomkům používali již matematici ve starém Řecku (Euklidův algoritmus, archimédovské aproximace pro
3 ) či Indii (matematik Aryabhata
používal řetězový zlomek k řešení lineární rovnice). Ve středověku se řetězcům značně přiblížil Omar al-Chajjám (přibližně 1040n.l. – 1123n.l.),
který pracoval
s Euklidovým algoritmem. Avšak první písemnou zmínku o použití řetězového zlomku v dnešní podobě najdeme v knize „Algebra“ italského matematika Raffaela Bombelliho z 16. století, kde jsou pomocí řetězových zlomků vyjádřeny 13 a
18 . Řetězovými zlomky se poté zabývala řada významných matematiků
17. století, například William Brouncker a John Wallis, kteří vymysleli rozvoj pro
4 π , či Christian Huygens, jenž zkoumal použití sblížených zlomků k nalezení nejlepších aproximací. Nicméně systematický rozvoj teorie řetězových zlomků se datuje až od roku 1737 díky knize Leonharda Eulera De Fractionlous Continious a práci Johana Lamberta a Josepha Louise Lagrange. V následujících stoletích se o řetězové zlomky zajímali mnozí významní matematici, jako například Oskar Perron, Karl Friedrich Gauss či Augustin Cauchy. Řetězové zlomky jsou i dnes předmětem zájmu matematiků, a to zejména pro jejich teoretické i praktické užití při přibližných výpočtech, avšak není jim věnováno tolik prostoru, kolik by si takovýto praktický a efektivní algoritmus zasloužil. Tyto nedostatky shledáváme především v oblasti vzdělávání. Proto si tato práce klade za cíl zpracovat souvislý text zabývající se řetězovými zlomky a na základě některých konkrétních aproximací pomocí řetězových zlomků poukázat na jejich aproximační vlastnosti.
-7-
2. Vlastnosti aparátu 2.1 Základní pojmy Nechť jsou dány posloupnosti
{ai }i =1 , {bi }i =1 . n
n
Řetězovým zlomkem
(neboli řetězcem) nazýváme výraz ve tvaru a0 +
b1 a1 +
.
b2 a2 +
b3 a3 + ⋱ +
bn an
Jelikož je však takovýto zápis dosti nepraktický, můžeme v literatuře (Danilov [2], Schwarz [6], Weisstein [8]) najít i jiné tvary vyjádření řetězců zavedené různými autory, například:
Zlomek
a0 +
b1
a0 +
b b1 b2 +ɺ +ɺ ... +ɺ n a1 a2 an
(Muller),
a0 +
bn b1 b2 a1 + a2 + ... + an
(Rogers).
a1
+
b2 a2
+ ... +
bn
(Pringsheim),
an
bn nazýváme n -tým článkem řetězce, an
bn a an prvky n -tého článku řetězce, b1 , b2 , b3 , ... jsou jeho dílčí čitatelé, a1 , a2 , a3 , ... dílčí jmenovatelé,
-8-
a0 se nazývá nulový prvek řetězce. Písmena a0 , a1 , a2 ,…, an a b0 , b1 , b2 ,…, bn zde značí nezávisle proměnné. Předpokládáme, že a0 , a1 , a2 ,…, an a b0 , b1 , b2 ,…, bn jsou komplexní čísla. Z tohoto důvodu je také nutno určit, za jakých podmínek má daný výraz smysl. Jelikož v řetězovém zlomku dochází k dělení, bude mít daný výraz smysl pouze tehdy, nebudeme-li dělit nulou. To znamená, že musíme určit n podmínek:
an ≠ 0 , an −1 +
an − 2 +
bn ≠ 0, an
bn −1 b an −1 + n an
≠ 0 , atd.
Pro lepší názornost můžeme řetězový zlomek přepsat do jiné podoby: a0 +
b1 a1 +
=
b2 a2 +
b3 a3 + ⋱
+
bn an
−1 = a0 + b1 a1 + b2 a2 + b3 ... an −1 + bn ( an )
(
)
−1
−1 −1 ...
−1
Na takto zapsaném řetězovém zlomku můžeme vidět, že žádný výraz v závorce se nesmí rovnat nule a těchto výrazů je právě n .
Definice 1. Nechť jsou dány posloupnosti {ai }i =1 , {bi }i =1 . Řetězec zapsaný ve tvaru n
n
-9-
a0 +
b1 a1 +
b2 a2 +
b3 a3 + ⋱
+
bn an
nazveme konečným řetězovým zlomkem, jinak také n -členným řetězcem, nebo
řetězcem s n členy.
Definice 2. Nechť jsou dány nekonečné posloupnosti {an }n =0 , {bn }n =1 . Existuje-li +∞
b1 , lim a0 + n →∞ b2 a1 + b3 a2 + a3 + ⋱ bn + an zavádíme nekonečný řetězový zlomek ve tvaru a0 +
b1 a1 +
,
b2 a2 +
b3 a3 +
⋱ +
bn an + ⋱
který nabývá hodnoty této limity.
- 10 -
+∞
Zatím jsme zde uvedli pouze takzvaný zobecněný (nebo také
zevšeobecněný) řetězový zlomek. Ale v teorii čísel se obyčejně vyšetřují řetězce ve tvaru
a0 +
1 a1 +
,
1 a2 +
1 a3 + ⋱ +
1 an
kde a1 , a2 , a3 , ..., an jsou přirozená čísla, a0 je libovolné celé číslo a bi = 1 pro všechna i = 1, 2,… , n , které se nazývají pravidelné. Proto i my budeme, půjde-li o aplikace v teorii čísel, pracovat s řetězci pravidelnými. Analogicky jako u řetězců zobecněných nazveme zlomek
1 n -tým článkem řetězce, an
a0 , a1 , a2 , …, an prvky daného řetězce, an n -tým prvkem řetězce, a0 nulovým prvkem řetězce.
V další části diplomové práce budeme konečné pravidelné řetězce psát převážně ve tvaru
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] a nekonečné pravidelné řetězce ve tvaru
[ a0 ; a1 , a2 ,...] .
(1)
Řetězec
sk = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak ] ,
- 11 -
kde 0 ≤ k ≤ n , nazveme úsekem řetězce. Analogicky pak při libovolném k ≥ 0 nazveme sk
úsekem nekonečného řetězce. Libovolný úsek libovolného
(konečného nebo nekonečného) řetězce je tedy konečný řetězec.
Řetězec
rk = [ ak ; ak +1 , ak + 2 ,..., an ] nazveme zbytkem konečného řetězce. Podobně pak nazveme řetězec
rk = [ ak ; ak +1 , ak + 2 ,...] zbytkem nekonečného řetězce. Všechny zbytky konečného řetězce jsou tedy opět konečné řetězce, zatímco zbytky nekonečného řetězce jsou rovněž nekonečné
řetězce.
Pro konečné řetězce platí vztah
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak −1 , rk ] ( 0 ≤ k ≤ n ) ,
(2)
jak plyne přímo z definice. Analogický vztah
[ a0 ; a1 , a2 ,...] = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak −1 , rk ] ( k ≥ 0 ) platí pro nekonečné řetězce.
2.2 Sblížené zlomky Každý konečný řetězec
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] je vlastně výsledek konečného počtu racionálních úkonů nad jeho prvky, a je tedy racionální funkcí těchto prvků. Proto se dá vyjádřit jako podíl dvou mnohočlenů P ( a0 ; a1 , a2 ,..., an )
Q ( a0 ; a1 , a2 ,..., an )
,
kde a0 ; a1 , a2 ,..., an jsou celé koeficienty. U tohoto vyjádření je ovšem potřeba poukázat na odlišné podmínky. Oproti původnímu tvaru
- 12 -
a0 +
1 a1 +
,
1 a2 +
1 a3 +
⋱ +
1 an
kde máme n podmínek (nesmíme dělit nulou, tedy: an ≠ 0 , an −1 + an − 2 +
1 ≠ 0, an 1 1 an −1 + an
≠ 0 , atd.),
vystačíme u vyjádření P ( a0 ; a1 , a2 ,..., an )
Q ( a0 ; a1 , a2 ,..., an ) pouze s podmínkou jednou, a to jmenovatel se nesmí rovnat nule. Mají-li prvky číselné hodnoty, je řetězec vyjádřen ve tvaru obyčejného zlomku p , ale toto vyjádření samozřejmě není jediné. Pro další je důležité, abychom měli q nějak definované vyjádření konečného řetězce ve tvaru obyčejného zlomku. Toto vyjádření nazveme kanonické a definujeme ho pomocí indukce. Pro řetězec [ a0 ] = a0 s počtem členů 0 zvolíme jako kanonické vyjádření zlomek
a0 . 1
Nechť je nyní dáno kanonické vyjádření pro řetězec s počtem členů menším
než n . V n -členném řetězci [ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] můžeme dle vzorce
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak −1 , rk ] ( 0 ≤ k ≤ n ) položit
- 13 -
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = [ a0 ; r1 ] = a0 +
1 . r1
Zde
r1 = [ a1 ; a2 ,..., an ] je n − 1 -členný řetězec, pro který je tedy kanonické vyjádření již určeno. Nechť má tvar r1 =
p′ . q′
Pak
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = a0 +
q′ a0 p′ + q′ = . p′ p′
Tento zlomek zvolíme za kanonické vyjádření řetězce
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] .
Položíme-li
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] =
p , q
r1 = [ a1 ; a2 ,..., an ] =
p′ , q′
dostaneme pro čitatele a jmenovatele kanonického vyjádření vztahy p = a0 p′ + q′ , q = p′ .
(3)
Zároveň vidíme, že byla takto jednoznačně určena kanonická vyjádření pro konečné řetězce s libovolným počtem členů.
Definice 3. Kanonické vyjádření úseku
sk = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak ] řetězce [ a0 ; a1 , a2 ,...] označíme pk qk
- 14 -
a nazveme ho sblíženým zlomkem řádu k daného řetězce. sk = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak ] =
pk qk
Tento zlomek je zcela jednoznačně definován pro všechna k = 0,1, 2,... . Konečné
řetězce mají konečný počet sblížených zlomků, zatímco nekonečné jich mají nekonečně mnoho. Pro n -členný řetězec je tedy
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] =
pn . qn
Takový řetězec má tedy celkem n + 1 sblížených zlomků, a to řádů 0, 1, 2, ..., n .
Vlastnosti sblížených zlomků Uveďme si nyní několik vět, které popisují vlastnosti sblížených zlomků, zformulovaných podle Chinčina [3].
Věta 1. (Zákon znázornění sblížených zlomků.) Pro libovolné k ≥ 2 pk = ak pk −1 + pk − 2 , qk = ak qk −1 + qk − 2 .
(4)
Důkaz. V případě k = 2 se tyto vzorce ověří bezprostředně. Předpokládejme jejich platnost pro všechna k < n ; všimněme si řetězce
[ a1; a2 ,..., an ]
- 15 -
a označme
pr' jeho sblížené zlomky řádu r . Podle vzorce (3) pro čitatele qr'
a jmenovatele kanonického vyjádření pn = a0 pn′ −1 + qn′ −1 , qn = pn′ −1 ,
a jelikož dle našeho předpokladu pn′ −1 = an pn′ − 2 + pn′ −3 , qn′ −1 = an qn′ − 2 + qn′ −3
(zde je an a ne an −1 , protože řetězec [ a1 ; a2 ,..., an ] začíná a1 a nikoliv a0 ), je dle vzorce (3)
pn = a0 ( an pn′ − 2 + pn′ −3 ) + ( an qn′ − 2 + qn′ −3 ) = an ( a0 pn′ − 2 + qn′ − 2 ) + ( a0 pn′ −3 + qn′ −3 ) = = an pn −1 + pn − 2 ,
qn = an pn′ − 2 + pn′ −3 = an qn −1 + qn − 2 ,
což jsme chtěli dokázat.
Tyto rekurentní vzorce (4), které nám vyjadřují čitatele a jmenovatele sblíženého zlomku řádu n pomocí prvku an a pomocí čitatelů a jmenovatelů dvou předcházejících sblížených zlomků, jsou základem celé teorie řetězců. Pro zevšeobecněné řetězové zlomky mají vzorce (4) tvar pk +1 = ak +1 pk + bk +1 pk −1 , qk +1 = ak +1qk + bk +1qk −1 .
Přičemž p−1 = 1 , q−1 = 0 , p0 = a0 , q0 = 1 .
- 16 -
Věta 2. Pro všechna k ≥ 0 qk pk −1 − pk qk −1 = ( −1) . k
Důkaz. Násobíme-li vzorce pk = ak pk −1 + pk − 2 , qk = ak qk −1 + qk − 2 ,
resp. qk −1 a pk −1 , a odečteme pak první od druhého, najdeme
qk pk −1 − pk qk −1 = − ( qk −1 pk − 2 − pk −1qk − 2 ) , a jelikož q0 p−1 − p0 q−1 = 1 ,
je věta dokázána.
Důsledek. Pro všechna k ≥ 1 pk −1 pk ( −1) . − = qk −1 qk qk qk −1 k
(5)
Za předpokladu, že všechny prvky počínaje a1 jsou kladné, lze z této rovnice vyčíst, že každý zlomek lichého řádu je větší než zlomek sudého řádu bezprostředně následující.
Věta 3. Pro všechna k ≥ 1 qk pk − 2 − pk qk − 2 = ( −1)
k −1
ak .
Důkaz. Násobíme-li vzorce
- 17 -
pk = ak pk −1 + pk − 2 , qk = ak qk −1 + qk − 2 ,
resp. qk − 2 a pk − 2 , a odečteme pak první od druhého, dostaneme pomocí věty 2: qk pk − 2 − pk qk − 2 = ak ( qk −1 pk − 2 − pk −1qk − 2 ) = ( −1)
k −1
ak ,
jak jsme chtěli dokázat.
Důsledek. Pro všechna k ≥ 2 pk − 2 pk ( −1) ak . − = qk − 2 qk qk qk − 2 k −1
Za předpokladu, že všechny prvky počínaje a1 jsou kladné, nám tato rovnice ukazuje, že sblížené zlomky sudých řádů tvoří rostoucí posloupnost, zatímco sblížené zlomky lichých řádů tvoří posloupnost klesající.
Z těchto několika posledních výsledků můžeme odvodit další větu.
Věta 4. Sblížené zlomky sudého řádu tvoří rostoucí posloupnost, kdežto sblížené zlomky lichého řádu tvoří posloupnost klesající. Přitom libovolný sblížený zlomek lichého
řádu je větší než libovolný sblížený zlomek sudého řádu. Konkrétně pro konečný řetězec α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] je tedy každý sblížený zlomek sudého řádu menší než α , zatímco každý sblížený zlomek lichého řádu je větší než α (s výjimkou posledního sblíženého zlomku rovného
α ).
Věta 5. Pro všechna k (1 ≤ k ≤ n )
- 18 -
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] =
pk −1rk + pk − 2 ; qk −1rk + qk − 2
(6)
(zde pi , qi , ri se vztahuje na řetězec na levé straně rovnice).
Důkaz. Dle již zmíněného vzorce (2) pro konečné řetězce platí
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak −1 , rk ] . Řetězec na pravé straně této rovnice má patrně jako sblížené zlomky řadu k − 2 a k − 1 resp. zlomek
pk − 2 p p′ a k −1 . Pro jeho sblížený zlomek k řádu k , je qk − 2 qk −1 qk′
dle vzorce (4) z věty 1 pk′ = pk −1rk + pk − 2 , qk′ = qk −1rk + qk − 2 .
Jelikož pk′ = [ a0 , a1 ,..., ak −1 , rk ] = [ a0 , a1 ,..., an ] , qk′
je věta dokázána.
Věta 6. Pro každé k ≥ 1 qk = [ ak ; ak −1 ,..., a1 ] . qk −1
Důkaz. Pro k = 1 je tento vztah patrný, protože nabývá tvaru q1 = a1 . q0
Nechť k > 1 a nechť je již dokázáno, že qk −1 = [ ak −1 ; ak − 2 ,..., a1 ] . qk − 2
(7)
Na základě vztahu (4) z věty 1 máme
- 19 -
q qk q = ak + k − 2 = ak ; k −1 qk −1 qk −1 qk − 2 a odtud na základě vzorců (2) a (7) dostaneme qk = [ ak ; ak −1 ,..., a1 ] , qk −1
jak jsme chtěli dokázat.
2.3 Nekonečné řetězce Ve spojení s nekonečnými řetězci je nutno zmínit několik vět týkajících se jejich konvergence (Chinčin [3]). Každému nekonečnému řetězci (1) totiž odpovídá nekonečná posloupnost sblížených zlomků p0 p1 p , , …, k , …, q0 q1 qk
kde každý sblížený zlomek je reálné číslo. Má-li tato posloupnost limitu α , označíme toto číslo stejným znakem α jako řetězec a budeme psát
α = [ a0 ; a1 , a2 ,…] . Řetězec (1) v tomto případě nazveme konvergentní. Pokud zmíněná posloupnost limitu nemá, řekneme, že řetězec (1) diverguje.
Věta 7. Konverguje-li nekonečný řetězec (1), konverguje i každý jeho zbytek; naopak, konverguje-li jeden ze zbytků řetězce (1), konverguje také řetězec (1).
Důkaz. Označme
pk p′ sblížené zlomky daného řetězce a k sblížené zlomky libovolného qk qk′
jeho zbytku, například rn . Na základě vzorce (6) dostaneme
- 20 -
pn −1
pn + k = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an + k ] = qn + k qn −1
pk′ + pn − 2 qk′ ( k = 0,1,...) . pk′ + qn − 2 qk′
(8)
Odtud bezprostředně plyne, že pokud konverguje zbytek rn , má při tom zlomek pn + k limitu, a to α , která je rovna qn + k
α=
pn −1rn + pn − 2 . qn −1rn + qn − 2
Jestliže ale řešíme vztah (8) vzhledem k
pk′ , přesvědčíme se stejným postupem qk′
o správnosti opačného závěru, čímž dokončíme důkaz věty 7.
Věta 8. Hodnota konvergentního nekonečného řetězce je větší než libovolný sblížený zlomek sudého řádu a menší než libovolný sblížený zlomek lichého řádu.
Věta 9. Hodnota α konvergentního nekonečného řetězce (1) vyhovuje při libovolném k ≥ 0 nerovnosti:
α−
pk 1 < . qk qk qk + 1
Věta 9 platí i pro konečný řetězec
α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] pro všechna k < n , přičemž v případě k = n − 1 se nerovnost změní v rovnost, jelikož α =
pn . qn
- 21 -
Věta 10. Ke konvergenci řetězce (1) je nutné a stačí, aby řada ∞
∑a
(9)
n
n =1
byla divergentní.
Důkaz. Podle věty 4 je patrné, že ke konvergenci řetězce je nutné a postačí, aby ty dvě posloupnosti, o nichž se mluví v oné větě, měly tutéž limitu (existence limity pro každou posloupnost zvláště plyne z věty 4 ve všech případech). A to, jak můžeme zjistit podle vzorce (5), platí právě tehdy, když
(k → ∞) .
qk qk + 1 → ∞
(10)
Tato podmínka je tudíž nutná a postačující ke konvergenci daného řetězce.
Nechť řada (9) konverguje. Podle druhého vzorce (4)
( k ≥ 1) .
qk > qk − 2
Pro libovolné k máme tudíž buď qk > qk −1 , nebo qk −1 > qk − 2 . V prvním případě nám druhý ze vzorců (4) dává qk < ak qk + qk − 2 ,
a odtud při dostatečně velkých k (když ak <1, což na základě konvergence řady (9) nutně platí pro k ≥ k0 ), qk <
qk − 2 ; 1 − ak
v druhém případě nám stejný vzorec dává pro ak <1 qk < (1 + ak ) qk −1 <
qk −1 ; 1 − ak
pro všechna k ≥ k0 tudíž platí qk <
1 ql , 1 − ak
- 22 -
kde l < k . Je-li l ≥ k0 , lze na ql užít téže nerovnosti. Pokračujeme-li v těchto úvahách, dojdeme k nerovnosti qk <
qs , (1 − ak )(1 − al ) ... (1 − ar )
(11)
kde k > l >...> r ≥ k0 a s < k0 . Avšak na základě předpokládané konvergence řady (9) nekonečný součin ∞
∏ (1 − a ) n
n = k0
je patrně konvergentní, tzn. má kladnou hodnotu, kterou označíme λ . Patrně ∞
(1 − ak )(1 − al ) ... (1 − ar ) ≥ ∏ (1 − an ) = λ ; n = k0
označíme-li tedy Q největší z čísel q0 , q1 ,..., qk0 −1 , můžeme na základě nerovnosti
(11) soudit, že qk <
Q
( k ≥ k0 ) ,
λ
tudíž qk +1qk <
Q2
( k ≥ k0 ) .
λ2
Vztah (10) tedy neplatí, takže je daný řetězec divergentní. Nechť nyní řada (9) diverguje. Jelikož qk > qk − 2 pro všechna k ≥ 2 , tak, označíme-li c menší z čísel q0 , q1 , budeme mít qk ≥ c pro libovolné k ≥ 0 . Druhý ze vzorců (4) nám tedy dává qk ≥ qk − 2 + cak
( k ≥ 2 ).
Postupné užití této nerovnosti nám dává k
q2 k ≥ q0 + c ∑ a2 n n =1
a k
q2 k +1 ≥ q1 + c∑ a2 n +1 , n =1
- 23 -
odkud 2 k +1
q2 k + q2 k +1 > q0 + q1 + c ∑ an . n =1
Jinak řečeno, pro všechna k k
qk + qk −1 > c∑ an . n =1
Výše jsme dokázali tuto nerovnost pro lichá k , je ale patrné, že stejným způsobem ji lze dokázat i pro k sudá. Odtud však plyne, že v součinu qk qk −1 alespoň jeden z činitelů převyšuje 1 k c∑ an . Protože druhý činitel v žádném případě není menší než c , dostaneme 2 n =1 1 k qk qk −1 > c 2 ∑ an . 2 n =1 Na základě předpokládané divergence řady (9) plyne odtud vztah (10), a tudíž konvergence daného řetězce. Tím je věta 10 dokázána úplně.
2.4 Řetězce s přirozenými prvky Mluvíme-li o řetězcích s přirozenými prvky, máme na mysli řetězce pravidelné. Za našich předpokladů o těchto řetězcích a na základě věty 10 můžeme prohlásit, že pokud je takovýto řetězec nekonečný, je vždy konvergentní, a můžeme tedy mluvit o jeho hodnotě. Pokud je konečný a jeho poslední prvek je an = 1 , je rn −1 = an −1 + 1 celé číslo a my můžeme daný n -členný řetězec
[ a0 ; a1 , a2 ,… , an−1 ,1]
napsat ve tvaru n − 1 -členného řetězce [ a0 ; a1 , a2 ,… , an −1 + 1] ,
kde je poslední prvek očividně větší než jedna. Čitatelé a jmenovatelé sblížených zlomků jsou u pravidelných řetězců celá čísla.
Věta 11. Sblížené zlomky jsou ireducibilní.
- 24 -
Jinými slovy čitatel a jmenovatel jsou nesoudělná čísla.
Důkaz. Důkaz nám vyplývá ze vzorce qk pk −1 − pk qk −1 = ( −1) , k
protože každý společný dělitel čísel pk a qk je současně dělitelem výrazu qk pk −1 − pk qk −1 .
Vzorec qk = ak qk −1 + qk − 2 nám pak ukazuje, že pro každé k ≥ 2 platí qk > qk −1 . Posloupnost q1 , q2 ,… , qk ,… je tedy stále rostoucí. O řádu růstu těchto čísel nás informuje následující věta.
Věta 12. Pro každé k ≥ 2 platí qk ≥ 2
1 ( k −1) 2
.
Důkaz. Pro k ≥ 2 platí qk = ak qk −1 + qk − 2 ≥ qk −1 + qk − 2 ≥ 2qk − 2 . Při postupném užití této nerovnosti dostaneme q2 k ≥ 2 k q0 = 2 k , q2 k +1 ≥ 2 k q1 ≥ 2k , což nám dokazuje větu 12.
Vsunuté zlomky Nechť je k ≥ 2 a i libovolné celé kladné číslo. Potom má rozdíl
- 25 -
pk −1 (i + 1) + pk − 2 pk −1i + pk − 2 − , qk −1 (i + 1) + qk − 2 qk −1i + qk − 2
jenž je roven výrazu (−1) k , [ qk −1 (i + 1) + qk −2 ][ qk −1i + qk −2 ] pro všechna i ≥ 0 stejné znaménko, které je závislé pouze na paritě čísla k . Z toho vyplývá, že zlomky pk − 2 pk − 2 + pk −1 pk − 2 + 2 pk −1 p + ak pk −1 pk , = , , ..., k − 2 qk − 2 qk − 2 + qk −1 qk − 2 + 2qk −1 qk − 2 + ak qk −1 qk
(12)
vzrůstají, je-li k sudé, a klesají, je-li k liché. Krajní z těchto zlomků jsou sblížené zlomky stejné parity a členy ležící mezi nimi, pokud existují, nazveme zlomky
vsunuté.
Medianta zlomků Definice 4. a c ≠ s kladnými jmenovateli. Mediantou b d
Nechť jsou dány dva různé zlomky dvou zlomků
a c a se nazývá zlomek b d
a+c . b+d
Medianta dvou zlomků leží velikostí vždy mezi nimi.
Toto poslední tvrzení si můžeme dokázat následovně. Nechť je
a c ≤ . Potom je také bc − ad ≥ 0 , a tedy b d
a + c a bc − ad a + c c ad − bc − = ≥0, − = ≤ 0. b + d b b(b + d ) b + d d d (b + d )
- 26 -
Mediantu dvou zlomků potřebujeme především kvůli rozložení sblížených a vsunutých zlomků a jejich tvorbě. Tvoříme-li medianty postupně od sblíženého zlomku
pk − 2 p k sblíženému zlomku k −1 , můžeme vidět, že každý ze vsunutých qk − 2 qk −1
zlomků z posloupnosti (12) je mediantou zlomku předcházejícího a zlomku
pk −1 . qk −1
Takto můžeme postupovat až do té doby, kdy nově utvořená medianta splyne se pk p . O této mediantě víme, že leží mezi zlomky k −1 qk qk −1
sblíženým zlomkem
a
pk − 2 p p . Dále víme, že hodnota α daného řetězce leží mezi zlomky k −1 a k , qk − 2 qk −1 qk
a o zlomcích
pk − 2 p a k můžeme na základě jejich parity prohlásit, že leží na téže qk − 2 qk
straně čísla α . Z těchto úvah vyplývá, že celá posloupnost (12) leží na jedné straně čísla α , zatímco zlomek
že zejména zlomky
pk −1 na straně druhé. Vezmeme-li tedy v úvahu, qk −1
pk − 2 + pk −1 p a k −1 leží vždy na opačných stranách čísla α , qk − 2 + qk −1 qk −1
můžeme prohlásit, že hodnota řetězce leží vždy mezi libovolným sblíženým zlomkem a mediantou utvořenou z něj a zlomku předcházejícího. Díky těmto zákonitostem můžeme tvořit další sblížené zlomky, pokud známe dva předcházející. Jestliže neznáme prvek ak , využijeme znalosti velikosti
řetězce α a pomocí sblížených zlomků
zlomek
pk − 2 pk −1 , vytvoříme další sblížený qk − 2 qk −1
pk . Nejdříve vytvoříme mediantu těchto daných zlomků, poté sestrojíme qk
mediantu právě vzniklé medianty s
medianty se zlomkem
pk −1 , dále najdeme mediantu nově vzniklé qk −1
pk −1 a takto budeme pokračovat do té doby, než utvoříme qk −1
poslední mediantu na stejné straně α jako výchozí zlomek
- 27 -
pk − 2 , která bude ležet qk − 2
mezi všemi těmito mediantami a bude rovna
pk . Následující medianta pak bude qk
pk + pk −1 a bude ležet na druhé straně čísla α . qk + qk −1
Na tyto úvahy navazuje následující věta.
Věta 13. Pro všechna k ≥ 0
α−
pk 1 > . qk qk ( qk +1 + qk )
Důkaz. Na základě vzájemného rozložení čísla α a jeho sblížených a vsunutých zlomků víme, že vsunutý zlomek pk + pk +1 , qk + qk +1
který leží mezi
α−
pk p a α , leží blíže ke zlomku k než k číslu α . Tudíž qk qk
pk p + pk +1 pk 1 > k − = . qk qk + qk +1 qk qk ( qk + qk +1 )
To nám dokazuje větu 13.
Tato věta nám doplňuje větu 9, a tak dostáváme vedle horní meze pro rozdíl α −
pk také mez dolní. qk
- 28 -
3. Zobrazení čísel řetězci 3.1 Vyjádření reálných čísel řetězci Řetězové zlomky můžeme použít k vyjádření jakéhokoliv reálného čísla, což si nyní dokážeme. Předpokládejme, že se opět jedná o řetězce pravidelné, kde je poslední prvek každého konečného řetězce různý od jedné (jak jsme si již ukázali v kapitole 1.4).
Věta 14. Každému reálnému číslu α odpovídá jediný řetězec, který má za hodnotu toto
číslo. Tento řetězec je konečný, je-li α číslo racionální, a nekonečný, je-li α číslo iracionální.
Důkaz. Nejdříve dokážeme, že každé reálné číslo může být vyjádřeno řetězcem, potom ukážeme rozdílné vyjádření u racionálních a iracionálních čísel a nakonec dokážeme jednoznačnost tohoto vyjádření řetězcem. Označme a0 největší celé číslo, které nepřevyšuje α . Není-li α celé
číslo, pak vztah
α = a0 +
1 r1
dovoluje určit číslo r1 . Přitom platí r1 >1, jelikož 1 = α − a0 <1. r1 Obecně, není-li rn celé číslo, označíme an největší celé číslo nepřevyšující rn a určíme číslo rn +1 vztahem:
- 29 -
rn = an +
1 . rn +1
Tento postup může být opakován, dokud nenastane případ, že rn je celé číslo; přitom patrně rn >1 ( n ≥ 1 ). Vztah α = a0 +
1 ukazuje, že r1
α = [ a0 ; r0 ] . Nechť dále
α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an −1 , rn ] ; (tento vzorec platí pro všechna n za předpokladu, že r1 , r2 ,..., rn −1 nejsou celá
čísla). Pak podle vztahu rn = an +
1 rn +1
a vzorce
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = [ a0 ; a1 , a2 ,..., ak −1 , rk ] ( 0 ≤ k ≤ n ) můžeme zapsat číslo α jako
α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an −1 , an , rn +1 ] . Je-li číslo α racionální, jsou racionální i všechna rn . V tomto případě náš postup skončí po konečném počtu kroků. Je-li např. rn =
a , b
pak rn − an =
a − ban c = , b b
kde c < b , protože rn − an <1. Podle vztahu rn = an + rn +1 =
b c
- 30 -
1 potom máme rn +1
(není-li ovšem c = 0 , jinak by rn bylo celé číslo a naše tvrzení by bylo dokázáno). Z těchto vztahů vidíme, že rn +1 má menšího jmenovatele než rn . Z toho také plyne, že po konečném počtu kroků přijdeme u posloupnosti r1 , r2 ,... k celému
číslu rn = an . Vzorec
α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an −1 , rn ] pak ukazuje, že číslo α je znázorněno konečným řetězcem, jehož poslední prvek an = rn >1.
Je-li číslo α iracionální, jsou iracionální i všechna rn . V tomto případě je náš postup nekonečný. Položíme-li
[ a0 ; a1 , a2 ,..., an ] = kde je zlomek
pn , qn
pn ireducibilní a qn > 0 , dostaneme na základě vzorců qn
α = [ a0 ; a1 , a2 ,..., an −1 , rn ] a
α=
pn −1rn + pn − 2 qn −1rn + qn − 2
α=
pn −1rn + pn − 2 (n ≥ 2) . qn −1rn + qn − 2
vztah
Na druhé straně je pn pn −1an + pn − 2 = . qn qn −1an + qn − 2
Odtud
α−
pn ( pn −1qn − 2 − pn − 2 qn −1 )( rn − an ) , = qn ( qn −1rn + qn − 2 )( qn −1an + qn − 2 )
α−
pn 1 1 < < 2. qn ( qn −1rn + qn − 2 )( qn −1an + qn − 2 ) qn
a tedy
Platí tedy
- 31 -
pn → α pro n → ∞ , qn
což značí, že nekonečný řetězec [ a0 ; a1 , a2 ,...] má za hodnotu dané číslo α . Zde jsme dokázali, že jakékoliv reálné číslo α může být vždy vyjádřeno nějakým řetězcem, přičemž tento řetězec může být konečný, a to pokud je číslo α racionální, či nekonečný, je-li číslo α iracionální. Nyní dokážeme jednoznačnost tohoto vyjádření. Nechť
α = [ a0 ; a1 , a2 ,...] = a0' ; a1' , a2' ,... , kde řetězce
[ a0 ; a1 , a2 ,...]
a a0' ; a1' , a2' ,... jsou různá vyjádření čísla α (tyto
řetězce mohou být konečné i nekonečné). Označme
[ x]
největší celé číslo
nepřevyšující x . Potom dostáváme vztahy a0 = [α ] a a0' = [α ] , z čehož plyne a0 = a0' . Dále jsme již stanovili, že ai = ai' ( i = 0,1, 2,..., n ) ,
a tak analogicky dostáváme
pi = pi' qi = qi'
( i = 0,1, 2,..., n )
a dle vzorce
α=
pn −1rn + pn − 2 qn −1rn + qn − 2
také vztahy
α=
pn rn +1 + pn −1 pn' rn' +1 + pn' −1 pn rn' +1 + pn −1 = = . qn rn +1 + qn −1 qn' rn' +1 + qn −1 qn rn' +1 + qn −1
Odtud rn +1 = rn' +1 a na základě rovností an +1 = [ rn +1 ] a an' +1 = rn' +1 také an +1 = an' +1 . To znamená, že dané řetězce jsou totožné, což jsme chtěli dokázat (nepřipouštíme ovšem konečné řetězce s posledním prvkem 1; kdyby byl např. an +1 = 1 posledním prvkem takového řetězce, pak by rn = an + 1 a an ≠ [ rn ] ).
- 32 -
Výhody a nedostatky vyjádření reálných čísel řetězci Hlavní význam tohoto zobrazení spočívá v tom, že známe-li řetězec zobrazující reálné číslo, můžeme toto číslo určit s libovolnou předem danou přesností. Další výhody a nedostatky závisí na našich požadavcích na vyjadřování
čísel. Pokud chceme vyjádřit nějaké reálné číslo, přirozeně požadujeme, aby aparát, který k tomuto účelu používáme, vyjadřoval (pokud možno úplně) vlastnosti tohoto čísla tak, aby mohly být zcela a jednoduše ukázány. Z tohoto důvodu je vyjádření pomocí řetězců zajisté výhodnější než vyjádření např. pomocí systematických zlomků (tzn. zlomků vyjádřených v nějaké číselné soustavě). Systematické zlomky jsou totiž spojeny s určitou číselnou soustavou, a odráží v sobě tedy nejen absolutní vlastnosti čísla, které zobrazují, ale i vzájemný vztah k oné číselné soustavě. Oproti tomu řetězce ve spojení s žádnou číselnou soustavou nejsou, a dokonale tedy reprodukují vlastnosti zobrazovaných čísel. Například racionálnost a iracionálnost vyjádřeného čísla je u řetězců úplně určena jejich konečností či nekonečností, zatímco u systematických zlomků jejich konečnost nebo nekonečnost závisí nejen na povaze vyjádřeného čísla, ale i na vztahu tohoto čísla k příslušné číselné soustavě. Další přirozený požadavek je takový, aby nám nové vyjádření dovolilo pokud možno jednoduše určit přibližnou hodnotu daného čísla s předem daným stupněm přesnosti. Tomu vyhovují řetězce oproti systematickým zlomkům dostatečně, jelikož jimi poskytované hodnoty mají (jak si ukážeme v následující kapitole) pro tento účel velmi vhodné vlastnosti. Ovšem je nutné zmínit také nevýhodu vyjádření reálných čísel řetězovými zlomky. Jelikož s reálnými čísly potřebujeme počítat, požadujeme od jejich vyjádření, abychom mohli snadno nalézt zobrazení jednodušších funkcí těchto
čísel (především jejich součtu a součinu). Tedy aby bylo vyjádření vhodné z praktického hlediska, musí připouštět, jak uvádí Chinčin [3], dostatečně jednoduchá pravidla aritmetických úkonů, bez čehož nemůže sloužit jako nástroj počtu. Narozdíl od systematických zlomků pro řetězce prakticky přijatelná pravidla pro aritmetické úkony neexistují.
- 33 -
3.2 Sblížené zlomky jako nejlepší přiblížení Když chceme s určitým stupněm přesnosti vyjádřit nějaké iracionální číslo
α ve tvaru obyčejného racionálního zlomku, můžeme použít sblížené zlomky řetězce zobrazujícího dané číslo, přičemž stupeň přesnosti je stanoven větami 9 a 13:
1 qn ( qn +1 + qn )
<α−
pn 1 < . qn qn qn +1
Obyčejně postupujeme tak, že hledáme racionální zlomek s nejmenším (kladným) jmenovatelem, který se liší od čísla α nejvýše o nějakou předem danou veličinu. K řešení takovéto úlohy jsou systematické zlomky nevhodné, protože mají jmenovatele určené výhradně z vybrané číselné soustavy, a tudíž nezávislé na aritmetické povaze čísla. Oproti tomu u řetězců jsou jmenovatelé sblížených zlomků zcela určeny číslem, které znázorňují. Proto jsou sblížené zlomky důležité při řešení úloh o nejlepší aproximaci ( neboli přibližném vyjádření) čísel racionálními zlomky.
Definice 5. Nechť jsou dány dva různé racionální zlomky že zlomek
a c ≠ , kde 0< d ≤ b . Říkáme, b d
a je nejlepším přiblížením reálného čísla α , jestliže platí b
α−
c a >α− . d b
Jinými slovy to můžeme vyjádřit takto: Racionální zlomek
a ( b >0) je nejlepším přiblížením reálného čísla α , pokud b
každý racionální zlomek s týmž nebo menším jmenovatelem leží ve větší vzdálenosti od α .
- 34 -
Věta 15. Každé nejlepší přiblížení čísla α je jedním ze sblížených nebo vsunutých zlomků
řetězce zobrazujícího číslo α . (Abychom nepřipustili výjimky, musíme zavést sblížené zlomky řádu −1 , a to položením p−1 = 1 a q−1 = 0 .)
Důkaz. Nechť je
a nejlepším přiblížením čísla α . Pak b
a ≥ a0 b (v opačném případě by zlomek
a0 a a ležel k číslu α blíže než , a tak by 1 b b
nebylo nejlepším přiblížením) a analogicky a ≤ a0 + 1 . b Můžeme tedy připustit, že a a0 < < a0 + 1 b (v případě
a
a p a a = a0 či = a0 + 1 by věta byla dokázána, neboť 0 = 0 je sblížený b b 1 q0
a0 + 1 p0 + p−1 = je vsunutý zlomek čísla α ). 1 q0 + q−1 Pokud zlomek
a se žádným sblíženým nebo vsunutým zlomkem čísla α b
nesplývá, leží mezi dvěma po sobě jdoucími takovými zlomky. Zvolíme-li vhodně k a r ( k >0, 0≤ r < ak +1 nebo k =0, 1≤ r < a1 ), leží zlomek p ( r + 1) + pk −1 pk r + pk −1 a k , qk r + qk −1 qk ( r + 1) + qk −1 z čehož plyne
- 35 -
a mezi zlomky b
p ( r + 1) + pk −1 pk r + pk −1 a pk r + pk −1 − < k = − b qk r + qk −1 qk ( r + 1) + qk −1 qk r + qk −1 =
1
( q ( r + 1) + q ) ( q r + q ) k
k −1
k
.
k −1
Avšak také
a pk r + pk −1 m , − = b qk r + qk −1 b ( qk r + qk −1 ) kde m ≥ 1 . Z těchto vztahů je patrné, že
1 1 < , b ( qk r + qk −1 ) ( qk ( r + 1) + qk −1 ) ( qk r + qk −1 ) a tedy
qk ( r + 1) + qk −1 < b . Zlomek pk ( r + 1) + pk −1 qk ( r + 1) + qk −1
,
jelikož má menšího jmenovatele než zlomek
a , leží blíže číslu α než zlomek b
pk r + pk −1 qk r + qk −1 (protože každý následující vsunutý zlomek leží blíže číslu α než předcházející), tedy i blíže než zlomek
a , který leží mezi těmito dvěma zlomky. Toto ale b
odporuje definici nejlepšího přiblížení, tudíž jsme dokázali větu 15.
3.2.1 Řád přiblížení Při definici pojmu nejlepšího přiblížení použitého pro tuto větu jsme si všímali vzdálenosti zlomku
a a k číslu α pomocí rozdílu α − . Nicméně b b
v číselné teorii je často vhodnější používat rozdíl bα − a . Činitel b totiž není stálá
- 36 -
veličina, ale mění se v závislosti na aproximaci zlomku. V souvislosti s těmito rozdíly rozlišujeme dva druhy nejlepšího přiblížení.
Definice 6. Nechť jsou dány dva různé racionální zlomky zlomek
a c ≠ , kde 0< d ≤ b . Racionální b d
a nazveme nejlepším přiblížením prvního druhu pro reálné číslo α , b
jestliže platí
α−
c a >α− . d b
Definice 7. Nechť jsou dány dva různé racionální zlomky zlomek
a c ≠ , kde 0< d ≤ b . Racionální b d
a nazveme nejlepším přiblížením druhého druhu pro reálné číslo α , b
jestliže platí
dα − c > bα − a .
Každé nejlepší přiblížení druhého druhu je zároveň nejlepší přiblížení prvního druhu, ale nejlepší přiblížení prvního druhu není vždy nejlepším přiblížením druhého druhu.
Věta 16. Každé nejlepší přiblížení druhého druhu je dáno sblíženým zlomkem.
- 37 -
Důkaz. Nechť je zlomek
a nejlepším přiblížením druhého druhu čísla α = [ a0 ; a1 , a2 ,…] , b
jehož sblížené zlomky označíme
1 ⋅ α − a0 < α − neboli zlomek
pk a . Pokud by byl zlomek < a0 , měli bychom qk b
a ≤ bα − a , 1 ≤ b , b
a by nebyl nejlepším přiblížením druhého druhu. Proto můžeme b
a a ≥ a0 . Je-li tedy zlomek ≥ a0 a nesplývá-li s žádným ze sblížených b b
napsat
zlomků, pak buď leží mezi dvěma sblíženými zlomky
nebo je větší než
p1 . q1
V prvním případě
a pk −1 1 − ≥ b qk −1 bqk −1 a
p p a pk −1 1 − < k − k −1 = , b qk −1 qk qk −1 qk qk −1 odkud pak b > qk . Na druhé straně
α−
p a a 1 ≥ k +1 − ≥ , b qk +1 b bqk +1
a tedy bα − a ≥
1 , qk +1
zatímco qk α − pk ≤
1 , qk +1
- 38 -
pk −1 p a k +1 stejné parity, qk −1 qk +1
odkud získáváme
qkα − pk ≤ bα − a . Zde nám vztahy b > qk a qkα − pk ≤ bα − a ukazují, že zlomek
a není nejlepší b
přiblížení druhého druhu. Ve druhém případě potom máme
α−
1 a p1 a > − ≥ , b q1 b bq1
odkud pak
bα − a >
1 1 = . q1 a1
Na druhé straně 1 ⋅ α − a0 ≤
1 , a1
a tedy
bα − a > 1 ⋅ α − a0 , 1 ≤ b . Zde opět vidíme, že zlomek
a není nejlepší přiblížení druhého druhu. Tím jsme b
tuto větu dokázali úplně.
Věta 17. Každý sblížený zlomek je nejlepším přiblížením druhého druhu; jedinou (triviální) výjimkou je 1 2
α = a0 + ,
p0 a0 = . q0 1
Důkaz. V případě α = a0 +
p a 1 zlomek 0 = 0 není nejlepším přiblížením druhého druhu, 2 q0 1
protože
- 39 -
1 ⋅ α − ( a0 + 1) = 11 ⋅ α − a0 . Dále mějme
yα − x , kde y = 1, 2,… , qk a x ∈ Z . Označíme y0 tu hodnotu y , při které yα − x po příslušném výběru x nabývá nejmenší možné hodnoty. Konkrétní hodnotu x , při které y0α − x nabývá této nejmenší hodnoty, označíme x0 a dokážeme, že je tato hodnota jediná. Kdybychom měli
α−
x0 x' =α− 0 y0 y0
α=
x0 + x0' , 2 y0
(x
0
≠ x0' ) ,
bylo by
což je zlomek ireducibilní. Kdyby totiž bylo x0 + x0' = lp , 2 y0 = lq
( l > 1) ,
pak v případě l > 2 je q < y0 ,
α=
p , qα − p = 0 , q
což odporuje definici y0 , a v případě l = 2 je q = y0 ,
qα − p = y0α − p = 0 < y0α − x0 , což odporuje definici x0 . Když rozvineme racionální číslo α v řetězec, dostaneme
α=
pn , pn = x0 + x0' , qn = 2 y0 = an qn −1 + qn − 2 , an ≥ 2 . qn
Jestliže je tedy an > 2 nebo an = 2 , n > 1 , budeme mít qn −1 < y0 . Ale potom qn −1α − pn −1 =
1 1 1 = ≤ ≤ y0α − x0 , qn 2 y0 2
- 40 -
a to opět odporuje definici y0 . Jestliže je an = 2 , n = 1 , pak je 1 2
α = a0 + , y0 = 1 dostaneme případ, který jsme vyloučili. Hodnoty
x0
a
y0
jsou tedy určeny jediným způsobem danými
podmínkami, z čehož plyne, že
x0 je nejlepší přiblížení druhého druhu čísla α . y0
Jinak by totiž nerovnosti
bα − a ≤ y0α − x0
a x0 ≠ , b ≤ y0 b y0
odporovaly definici čísel x0 a y0 . Podle věty 16 potom dostáváme x0 = ps , y0 = qs
(s ≤ k ).
Pokud je s = k , je věta dokázána. Pokud by však bylo s < k , bylo by qsα − ps >
1 1 ≥ , qs + qs +1 qk −1 + qk
qk α − pk ≤
1 . qk +1
Protože na základě určení čísel ps = x0 a qs = y0 je
qsα − ps ≤ qkα − pk , dostáváme nerovnost 1 1 < , qk −1 + qk qk +1 neboli qk +1 < qk + qk −1 , což není možné kvůli pravidlu o tvoření čísel qk . Tak jsme větu 17 dokázali úplně.
- 41 -
3.2.2 Euklidův algoritmus Euklidův algoritmus je znám především v souvislosti s hledáním největšího společného dělitele. Princip hledání největšího společného dělitele spočívá v neúplném dělení. Libovolné celé číslo b je buď násobkem celého kladného čísla a , nebo spadá mezi dva po sobě jdoucí násobky aa0 a a ( a0 + 1) . Proveďme tedy neúplné dělení čísla b číslem a . Platí b = aa0 + r0 , 0 ≤ r0 < a .
Číslo r0 nazýváme zbytek, číslo a0 neúplný podíl (pro r0 = 0 je to úplný podíl). V číselné teorii se neúplné podíly vyskytují často a bylo pro ně zavedeno označení b a0 = . Proto lze jakékoliv reálné číslo α zapsat ve tvaru a
α = [α ] + {α } , 0 ≤ {α } < 1 , kde [α ] se nazývá celá část a {α } zlomková část čísla α . Nevyjde-li dělení, jinými slovy když r0 ≠ 0 , můžeme použít algoritmus dělení na dvojici čísel a , r0 . Proveďme tedy další neúplné dělení čísla a číslem r0 . Dostaneme rovnost a = r0 a1 + r1 , 0 ≤ r1 < r0 . Pokud r1 ≠ 0 , můžeme celý proces opakovat a dostaneme r0 = r1a2 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 . Takto můžeme neustále pokračovat až do té doby, kdy bude některé rn = 0 . K tomu musí dojít, jelikož pro nezáporná čísla r0 , r1 , r2 ,… platí r0 > r1 > r2 > … > rn −1 > rn = 0 . Poslední vztah pro rn = 0 tudíž je rn − 2 = rn −1an . Poslední nenulový zbytek rn −1 je pak největším společným dělitelem čísel a a b .
- 42 -
Nicméně Euklidův algoritmus můžeme použít i na rozvinutí racionálního
čísla v řetězec. Vydělíme-li vzorec b = aa0 + r0
číslem a , dostaneme rovnost r b = a0 + 0 , a a kde a0 , tedy neúplný podíl, je největší celé číslo ≤
r b a 0 ≤ 0 < 1 . Vypišme si a a
nyní v tomto tvaru všechny rovnosti Euklidova algoritmu pro čísla a , b : r 1 b = a0 + 0 = a0 + , a a a r0 a r 1 = a1 + 1 = a1 + , r0 r0 r0 r1 r0 r 1 = a2 + 2 = a2 + , r1 r1 r1 r2 ⋮
rn − 2 = an . rn −1 Dosadíme-li do těchto rovností, dostaneme
b 1 = a0 + 1 a a1 + a2 +
,
⋱ +
1 an
neboli vyjádření kladného racionálního čísla (Vít [7]).
- 43 -
b ve tvaru řetězového zlomku a
4. Rozvoj v řetězce 4.1 Rozvoj některých konstant v řetězce 4.1.1 Rozvoj Ludolfova čísla Řetězové zlomky, jak jsme již zmínili v úvodu diplomové práce, se často používají pro nejlepší přiblížení čísel. Zkusíme teď tedy pomocí Euklidova algoritmu nalézt řetězový zlomek čísla π a určit tak jeho nejlepší přiblížení. K výpočtu použijeme hodnoty π zaokrouhlené na deset desetinných míst, protože menší počet desetinných míst by nezaručil dostatečnou přesnost, a převedené na tvar zlomku
π = 31415926536 10000000000 . Vypíšeme si rovnosti podle Euklidova algoritmu:
31415926536 10000000000 = 3 + 1415926536 10000000000 , 10000000000 1415926536 = 7 + 88514248 1415926536 , 1415926536 88514248 = 15 + 88212816 88514248 , 88514248 88212816 = 1 + 301432 88212816 , 88212816 301432 = 292 + 194672 301432 , 301432 194672 = 1 + 106760 194672 , 194672 106760 = 1 + 87912 106760 , 106760 87912 = 1 + 18848 87912 , ⋮
Dostaneme tedy řetězový zlomek
π = [3;7,15,1, 292,1,1,1,…] .
- 44 -
Pro určování nejlepšího přiblížení pak použijeme sblížené zlomky. Ty vypočítáme pomocí vztahů (4) pro čitatele pk a jmenovatele qk sblíženého zlomku řetězce: P1 3 = , Q1 1 P2 7 ⋅ 3 + 1 22 = = , 7 7 Q2 P3 15 ⋅ 22 + 3 333 = = , Q3 15 ⋅ 7 + 1 106 P4 355 = , Q4 113 P5 103993 = , Q5 33102 P6 104348 = , ... Q6 33215 Tyto sblížené zlomky jsou střídavě větší a menší než hodnota čísla π a neustále se k jeho hodnotě přibližují. Jelikož zlomky s příliš velkými čísly se k aproximacím nehodí, musíme najít zlomek pokud možno s malými čísly, přičemž tyto aproximace jsou tím lepší, čím menší mají chybu (to je rozdíl od požadované hodnoty). Vypočítáme tedy hodnoty několika prvních sblížených zlomků a jejich chyby: 22 = 3,142857... ; 7
chyba = -0,001;
333 = 3,1415094... ; 106
chyba = +0,00008;
355 = 3,14159292035... ; 113
chyba = -0,00000026676.
Zde vidíme, že
355 už je velmi dobrá aproximace. 113
Uvádí se (Vít [7]), že už Archimédes věděl, že číslo π leží mezi a
22 7
223 355 , což je vsunutý zlomek čísla π , a že aproximace byla známa již 71 113
- 45 -
čínskému astronomovi Tsu-Chung-Chih v pátém století našeho letopočtu (Schwarz [6]).
U vyjádření
π = [3;7,15,1, 292,1,1,1,…] je
dílčích
posloupnost
jmenovatelů
řetězového
zlomku
nepředvídatelná
a nepravidelná. Nicméně existují i vyjádření π pomocí zobecněných řetězových zlomků, která mají pravidelnou strukturu, jako například 4
π=
.
1
1+
4
3+ 5+
9 16 7+ 25 9+ 36 11 + 49 13 + 15 + ...
Tento řetězec můžeme v některých zdrojích (Marichev [4]) vidět také ve tvaru
π=
4 . K k (k , 2k − 1)1∞ 2
Zde K k (k 2 , 2k − 1)1∞ označuje nekonečný řetězový zlomek, u kterého dílčí čitatelé
řetězového zlomku tvoří posloupnost druhých mocnin přirozených čísel a dílčí jmenovatelé řetězového zlomku tvoří posloupnost lichých čísel. Dále můžeme
číslo π vyjádřit jako
π = 3+
1 9 6+ 25 6+ 49 6+ 81 6+ 121 6+ 169 6+ 225 6+ 6 + ...
- 46 -
,
kde dílčí čitatelé řetězového zlomku tvoří posloupnost druhých mocnin lichých
čísel. Jiný zápis tohoto rozvoje může být také
π = 3 + K k ((2k − 1)2 , 6)1∞ . Při různých výpočtech by také mohl být užitečný rozvoj
π 2
1
= 1−
,
6
3− 1−
2 20 3− 12 1− 42 3− 30 1− 3 − ...
jiným zápisem
π 2
= 1−
1 . 3 + K k (−(k − (−1) )(k − (−1) k + 1), 2 + (−1) k )1∞ k
Pěkná vyjádření existují (Marichev [4]) také například pro zlomek 4
π
1
= 1+
,
4
3+ 5+
9 16 7+ 25 9+ 36 11 + 13 + ...
neboli 4
π
= 1 + K k (k 2 , 2k + 1)1∞ ,
a jiný tvar 4
π
1
= 1+ 2+
9 25 2+ 49 2+ 81 2+ 121 2+ 2 + ...
,
neboli
- 47 -
4
π
:
4
π
= 1 + K k ((2k − 1) 2 , 2)1∞ .
4.1.2 Rozvoj Eulerova čísla Všeobecně známé vyjádření Eulerova čísla pomocí řetězových zlomků je
e = [ 2;1, 2,1,1, 4,1,1, 6,…] . Tento řetězec má nespornou výhodu v tom, že oproti pravidelnému řetězovému zlomku pro číslo π je u něj známa posloupnost dílčích jmenovatelů. Po prvních dvou prvcích 2, 1 následují po sobě jdoucí sudá čísla 2, 4, 6, 8, ..., která jsou od sebe oddělená vždy dvěma jedničkami. Zkusme si u tohoto řetězce opět vypočítat přesnost aproximací pomocí sblížených zlomků a jejich chyb: 2 =2; 1
chyba = 0,7;
3 = 3; 1
chyba = -0,28;
8 = 2, 66667 ; 3
chyba = 0,051;
11 = 2, 75 ; 4
chyba = -0,031;
19 = 2, 714286 ; 7
chyba = 0,003996;
87 = 2, 71875 ; 32
chyba = -0,000468;
106 = 2, 7179487 ; 39
chyba = 0,000333;
193 = 2, 7183099 ; 71
chyba = -0,000028.
- 48 -
Na těchto výpočtech lze vidět, že
193 je už poměrně dobrá aproximace, nicméně 71
sblížené zlomky se nám u řetězce e = [ 2;1, 2,1,1, 4,1,1, 6,…] nepřibližují takovým tempem, jako například u π = [3;7,15,1, 292,1,1,1,…] . Pro Eulerovo číslo lze však najít (Marichev [4]) mnoho pěkných rozvojů s pravidelnými posloupnostmi v podobě zevšeobecněných řetězových zlomků: 1
e = 2+
,
1
1+
2
2+
3 4+
3+
⋱ 2
e = 2+
,
3
2+
4
3+ 4+
5 5+ ⋱
1
e=
,
2
1−
1
3+
1
6+
1
10 + 14 +
1 18 + ⋱
1
e=
.
1
1−
1
1+
1
2−
1
3+ 2−
1 5+ ⋱
- 49 -
Zkusme si nyní vypočítat přesnost aproximací pomocí řetězce 2
e = 1+
.
1
1+
1
6+
1
10 + 14 +
1 18 + ⋱
Nejdříve vypočítáme několik prvních sblížených zlomků: P1 1 = = 1, Q1 1 P2 3 = =3, Q2 1 P3 6 ⋅ 3 + 1 ⋅1 19 = = , Q3 6 ⋅1 + 1 ⋅1 7 P4 10 ⋅19 + 1 ⋅ 3 193 = = , Q4 10 ⋅ 7 + 1 ⋅1 71 P5 14 ⋅193 + 1 ⋅19 2721 = = . Q5 14 ⋅ 71 + 1 ⋅ 7 1001 Dále zjistíme jejich chyby: 1;
chyba = 1,72;
3;
chyba = -0,282;
19 = 2, 714286 ; 7
chyba = 0,003996;
193 = 2, 71830986 ; 71
chyba = -0,000028;
2721 = 2, 7182817182 ; 1001
chyba = 0,00000011.
Tento řetězec pro Eulerovo číslo očividně aproximuje velmi rychle. Již čtvrtý sblížený zlomek nám dává dobrou aproximaci, a pomocí zlomku
2721 dokonce 1001
dostaneme přibližné vyjádření čísla e s přesností na 7 desetinných míst.
- 50 -
Další rozvoje s Eulerovým číslem jsou například:
e2 = [ 7; 2,1,1, 3,18, 5,1,1,…] , e = [1;1,1, 2,1,1, 4,1,1,…] , e−2 1 = [1;1,1,5,1,1, 9,1,…] , e −1 e +1 = [ 2;6,10,14,18, 22, 26,30,…] , e −1 e2 + 1 = [1;3,5, 7,9,11,13,15,…] . e2 − 1
4.2 Rozvoj některých funkcí v řetězce Lagrange odvodil jistou metodu řešení diferenciálních rovnic pomocí
řetězců. Zjistil, že mnoho funkcí splňuje určitou diferenciální rovnici a téměř všechny diferenciální rovnice, které se jemu a jiným podařilo vyřešit rozvojem v řetězec, jsou zvláštními případy této rovnice. Této rovnici říká základní diferenciální rovnice a má tvar
(α + α ′x ) xy′ + ( β + β ′x ) y + γ y v
v
2
= δ xv , y ( 0 ) = 0 .
Po aplikaci Lagrangeovy metody nám tato rovnice generuje řetězec
y= vα + β +
δ xv ( vα + β )( vα ′ + β ′ ) + γδ x v
( v αα ′ − vαβ + vα ′β + γδ ) x 2vα + β + 2
v
3vα + β +
⋱ ⋱ ( nvα + β )( nvα ′ + β ′ ) + γδ x v + n 2 v 2αα ′ − nvαβ ′ + nvα ′β + γδ ) x v . ( 2nvα + β + ( 2n + 1) vα + β + ⋱
- 51 -
(13)
4.2.1 Rozvoj mocninné funkce Nechť y = (1 + x ) , kde k je libovolné reálné číslo. Potom k
(1 + x ) y′ = ky , y ( 0 ) = 1 . Když použijeme substituci y = 1 +
kx , převedeme diferenciální rovnici na tvar 1+ z
(1 + x ) xz′ + 1 − (1 − k ) x z + z 2 = (1 − k ) x , z ( 0 ) = 0 ,
(14)
což je zvláštní případ rovnice (13), kde v = α = α ′ = β = γ = 1 , β ′ = − (1 − k ) ,
δ = 1− k . Z těchto dvou rovnic (13) a (14) dostaneme rozvoj
(1 + x )
k
= 1+
kx (1 − k ) x 1+ (1 + k ) x 2+ (2 − k ) x 3+ 2+
.
(15)
⋱ +
(n − k ) x (n + k ) x 2+ ( 2n + 1) + ⋱
Tento rozvoj odvodil Lagrange. Řetězec konverguje v rovině komplexní proměnné x , z které je vyňata část reálné osy od x = −∞ do x = −1 . Oproti tomu mocninná řada, kterou bychom utvořili rozvojem funkce
y = (1 + x ) , k
by konvergovala na otevřeném kruhu se středem v počátku a poloměrem jedna. To znamená, že rozvoj této funkce v řetězec konverguje v mnohem větším oboru než rozvoj v mocninou řadu (Danilov [2]).
Příklad: 1 Pokud položíme x = 1 a k = , dostaneme rozvoj pro 3
- 52 -
3
2.
3
1
2 = 1+
,
2
3+
4
2+ 9+
5 2+ ⋱ +
3n − 1 3n + 1 2+ 3 ( 2n + 1) + ⋱
kde sblížené zlomky nabývají hodnot
1 4 10 106 , , , , … . Vypočítejme hodnoty 1 3 8 84
těchto zlomků a jejich chyby: 1 = 1; 1
chyba = 0,26;
4 = 1, 3 ; 3
chyba = -0,0734;
10 = 1, 25 ; 8
chyba = 0,00992;
106 = 1, 2619 ; 84
chyba = -0,00198;
Na chybách těchto aproximací vidíme, že řetězec pro
3
2 aproximuje trochu
pomaleji.
Příklad: Zkusme nyní nalézt pravidelný řetězec pro
2 . Převedeme si
zaokrouhlený s přesností na deset desetinných míst 2=
14142135624 . 10000000000
14142135624 10000000000 = 1 + 4142135624 10000000000 , 10000000000 4142135624 = 2 + 1715728752 4142135624 , 4142135624 1715728752 = 2 + 710678120 1715728752 , 1715728752 710678120 = 2 + 294372512 710678120 ,
- 53 -
2 na zlomek
710678120 294372512 = 2 + 121933096 294372512 , 294372512 121933096 = 2 + 50506320 121933096 , 121933096 50506320 = 2 + 20920456 50506320 , ⋮ Vznikne nám řetězec 2 = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…] , kde posloupnost ai = 2 pro i = 1, 2,… a prvek a0 = 1 . Tento řetězový zlomek je periodický s jednoprvkovou periodou 2. Vypočítejme si nyní jeho sblížené zlomky a jejich chyby: 1 = 1; 1
chyba = 0,4142;
3 = 1, 5 ; 2
chyba = -0,086;
7 = 1, 4 ; 5
chyba = 0,014;
17 = 1, 41667 ; 12
chyba = -0,00246;
41 = 1, 41379 ; 29
chyba = 0,000424;
99 = 1, 4142857 ; 70
chyba = -0,000072;
239 = 1, 4142012 ; 169
chyba = 0,000012;
577 = 1, 4142157 ; 408
chyba = -0,0000021.
Od šestého sblíženého zlomku již tento řetězec aproximuje poměrně dobře a zlomek
577 je už velmi dobrá aproximace. 408
- 54 -
4.2.2 Rozvoj logaritmické funkce Rozvoj (15) můžeme zapsat také ve tvaru
(1 + x )
k
−1
k
=
x (1 − k ) x 1+ (1 + k ) x 2+ (2 − k ) x 3+ (2 + k ) x 2+ 5+ ⋱
.
+
(n − k ) x (n + k ) x 2+ ( 2n + 1) + ⋱
Položíme k = 0 . Potom, na základě vztahu
(1 + x ) lim k →0
k
−1
k
= ln (1 + x ) ,
dostaneme rozvoj ln (1 + x ) =
x
.
x
1+ 2+
x 2x 3+ 2x 2+ 5+ ⋱ +
nx nx 2+ ( 2n + 1) + ⋱
Tento rozvoj spolu s postupem odvodil také Lagrange. Řetězec konverguje v rovině komplexní proměnné x , z níž je opět vyjmuta část reálné osy od x = −∞ do x = −1 .
- 55 -
Příklad: Pro x = 1 dostáváme rozvoj 1
ln 2 =
1
1+ 2+
1 3+ ⋱ n
+ 2+
n ( 2n + 1) + ⋱
se sblíženými zlomky
0 1 2 7 , , , , … . Určíme chyby: 1 1 3 10
0 = 0; 1
chyba = 0,6931;
1 = 1; 1
chyba = -0,307;
2 = 0, 6 ; 3
chyba = 0,0265;
7 = 0, 7 ; 10
chyba = -0,00685.
Z několika příkladů, u kterých jsme si spočítali aproximační chyby, můžeme vyčíst, že nejlepší aproximační vlastnosti mají řetězce s vysokými hodnotami dílčích jmenovatelů.
- 56 -
4.2.3 Rozvoj exponenciální funkce
Použijeme-li substituci x = k
x 1 + = 1 + k
x , můžeme rozvoj (15) napsat ve tvaru k
x 1− k x k 1+ 1+ k x k 2+ 2−k x 3+ k 2+
.
⋱ n−k x k + n+k x k 2+ ( 2n + 1) + ⋱ Jestliže k → ∞ , pak dostáváme v limitě x
ex = 1 +
.
x
1−
x
2+
x
3− 2+
x 5− ⋱ x
− 2+
x ( 2n + 1) − ⋱
Rozvoj tentokrát konverguje v celé rovině komplexní proměnné x a opět jej i s postupem odvodil Lagrange. Jestliže tento řetězec upravíme, dostaneme, jak uvádí Danilov [2], Eulerův rozvoj
- 57 -
ex = 1 +
2x
,
x2 2− x+ x2 6+ 10 + ⋱ +
x2 2 ( 2n + 1) + ⋱
jenž také konverguje v celé rovině komplexní proměnné x .
4.2.4 Rozvoj funkce y = arctg x Diferenciální rovnice funkce y = arctg x má tvar y′ =
1 , y ( 0) = 0 . 1 + x2
Pokud substituujeme y =
x , dostaneme tuto rovnici ve tvaru 1+ z
(1 + x ) xz′ + (1 − x ) z + z 2
2
2
= x2 ,
což je zvláštní případ rovnice (13), kde α = α ′ = β = γ = δ = 1 , β ′ = −1 , v = 2 . Z rozvoje (14) potom plyne
arctg x =
x = 1+ z
x x2 1+ 4 x2 3+ 9 x2 5+ 7+ ⋱
.
n2 x2 + ( 2n + 1) + ⋱ Tento rozvoj odvodil Lambert. Řetězec konverguje v oblasti, jež vznikne z roviny komplexní proměnné
x , vyjmeme-li dvě části imaginární osy,
- 58 -
a to od −∞ do −i a od +i do +∞ . Rozvoj tedy konverguje v mnohem větším oboru než mocninná řada, která vznikne rozvojem funkce y = arctg x . Tato řada totiž narozdíl od rozvoje v řetězec konverguje na vnitřku kruhu se středem v počátku a poloměrem jedna (Danilov [2]). Jiný rozvoj funkce y = arctg x , který uvádí Marichev [5]: x3 arctg x = x − 9 x2 3+ 4x2 5+ 7+
.
⋱
2n + 1) x 2 ( + 2 ( 2n ) x 2 4n + 1 + 2
4n + 3 +
⋱
4.2.5 Rozvoj funkce y = tg x Diferenciální rovnice pro y = tg x je y′ = 1 + y 2 , y ( 0 ) = 0 . Položíme y =
x a dostaneme rovnici 1+ z
xz ′ + z + z 2 = − x 2 . Tato rovnice je opět zvláštní případ rovnice (13), kde α ′ = β ′ = 0 , α = β = γ = 1 ,
δ = −1 , v = 2 .
- 59 -
Z rozvoje (14) pak plyne
tg x =
x x2 1− x2 3− 5−
.
⋱ x2 − ( 2n + 1) − ⋱ Tento rozvoj byl odvozen Lambertem a konverguje v rovině komplexní proměnné
x , z níž jsou vyňaty body, v kterých tg x nabývá nekonečné hodnoty.
4.2.6 Rozvoj funkce y = tgh x
Pokud v rozvoji pro tg x , který jsme si právě odvodili, položíme x = a nově vzniklou nerovnost vynásobíme i , vznikne nám rozvoj pro tgh x : tgh x =
x x2 1+ x2 3+ 5+
.
⋱ +
x2 ( 2n + 1) + ⋱
- 60 -
x i
4.2.7 Aproximace funkcí sin x a sinh x lomenou racionální funkcí Obecný tvar rozvoje funkce sin x v řetězový zlomek není znám. Pomocí metody, kterou vymyslel V. Viskovatov, můžeme určit pouze konečně mnoho
členů tohoto řetězce. Danilov [3] uvádí například rozvoje: sin x =
x x2 1+ 7 x2 6− 11x 2 10 + 551x 2 98 − 198 +
,
⋱ kde sblížené zlomky mají tvar x 6x 60 x − 7 x 3 5880 x − 620 x3 , , , , …, 1 6 + x 2 60 + 3 x 2 5880 + 360 x 2 + 11x 4 a
x3 sin x = x − 3x 2 6+ 11x 2 10 − 25 x 2 42 + 66 −
,
⋱ se sblíženými zlomky x 6 x − x3 60 x − 7 x 3 2520 x − 360 x3 + 11x 5 , , …. , , 1 6 60 + 3 x 2 2520 + 60 x 2 Vezmeme-li si z těchto dvou rozvojů přibližné vyjádření sin x ≈ dostaneme
60 x − 7 x3 , 60 + 3 x 2
z něj,
že
1 sin π ≈ 0, 7071 , 4
jestliže
položíme
1 π ≈ 0, 7854 . 4
To znamená, že nám toto přibližné vyjádření na základě periodičnosti funkce y = sin x a vztahů
- 61 -
1 sin π − x = cos x 2 a
cos x = 1 − sin 2 x umožňuje sestavit tabulku hodnot této funkce s přesností na čtyři desetinná čísla. Kdybychom použili sblížený zlomek vyššího řádu, mohli bychom počet platných desetinných míst libovolně zvýšit. Vzhledem ke vztahu
sinh x = ( −i ) sin ix
můžeme odvodit rozvoje
pro funkci sinh x : sinh x =
x x2 1− 7 x2 6+ 11x 2 10 − 551x 2 98 + 198 −
,
⋱ x 6x 60 x + 7 x3 5880 x + 620 x3 , , , , …, 1 6 − x 2 60 − 3 x 2 5880 − 360 x 2 + 11x 4 a sinh x = x +
x3 3x 2 6− 11x 2 10 + 25 x 2 42 − 66 +
,
⋱ x 6 x + x 3 60 x + 7 x3 2520 x + 360 x 3 + 11x5 , , , , …. 1 6 60 − 3 x 2 2520 − 60 x 2
- 62 -
4.2.8 Aproximace funkcí cos x a cosh x lomenou racionální funkcí Jelikož obecný tvar rozvoje funkce cos x také neznáme, můžeme opět Viskovatovovou metodou najít pouze konečný počet členů tohoto řetězce. Tyto rozvoje vypadají spolu s sblíženými zlomky následovně: cos x =
1 x2 1+ 5x 2 2− 3x 2 6+ 313 x 2 50 − 126 +
,
⋱ 1 2 12 − 5 x 2 600 − 244 x 2 , , …, , , 1 2 + x 2 12 + x 2 600 + 56 x 2 + 3 x 4 případně cos x = 1 −
x2 x2 2+ 3x 2 6− 13 x 2 10 + 126 −
,
⋱ 1 2 − x 2 12 − 5 x 2 120 − 56 x 2 + 3 x 4 , , , , …. 1 2 12 + x 2 120 + 4 x 2 Na základě vztahu cosh x = cos ix odvodíme rozvoje pro funkci cosh x : cosh x =
1 x2 1− 5x 2 2+ 3x2 6− 313 x 2 50 + 126 −
,
⋱ 1 2 12 + 5 x 2 600 + 244 x 2 , , , , …, 1 2 − x 2 12 − x 2 600 − 56 x 2 + 3 x 4
- 63 -
či jiný tvar x2 cosh x = 1 + x2 2− 3x 2 6+ 13 x 2 10 − 126 +
,
⋱ 1 2 + x 2 12 + 5 x 2 120 + 56 x 2 + 3 x 4 , , …. , , 1 2 12 − x 2 120 − 4 x 2
- 64 -
5. Závěr Cílem této práce bylo vytvoření uceleného textu, jenž by zpracoval základy problematiky řetězových zlomků. Diplomová práce popisuje základní pojmy týkající se této oblasti matematiky spolu s vlastnostmi řetězců a zabývá se teorií použití řetězových zlomků k zobrazení čísel. Na závěr uvádí konkrétní příklady rozvojů některých čísel a funkcí v řetězce a několik aproximací. Na základě jednotlivých kapitol a konkrétních příkladů aproximací uvedených v poslední části diplomové práce můžeme konstatovat, že řetězové zlomky jsou krásným algoritmem pro aproximaci reálných čísel i funkcí a mohou sloužit k praktickým, velmi efektivním výpočtům. Výhodná je především rychlost výpočtů prováděných pomocí těchto zlomků a jejich schopnost omezení čísla (hodnoty funkce v daném bodě) shora i zdola. Ta nám umožňuje poměrně jednoduše určit přibližnou hodnotu daného čísla (funkce v daném bodě). Navíc u pravidelných řetězců jsme pouhým pohledem schopni odhadnout „rychlost“ aproximace, jelikož závisí na velikosti dílčích jmenovatelů řetězce. Současný stav na českých školách je takový, že řetězovým zlomkům není v oblasti vzdělávání věnována velká pozornost. Vzhledem k tomuto faktu bylo poměrně obtížné shromáždit dostatek materiálů potřebných k vytvoření této práce. Nicméně vezmeme-li v úvahu nesporné výhody použití řetězců, je možná škoda, že tomuto tématu není poskytnuto více prostoru, než je tomu nyní.
- 65 -
Použitá literatura [1]
COLLINS, Darren C. Continued Fractions. Undergraduate Journal of Mathematics [online]. Massachusetts Institute of Technology. Únor 2000 [cit. 17. května 2009]. Dostupný z WWW: http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/COLLIN~1.PDF
[2]
DANILOV, V. L. a kol. Přehled matematické analýzy I. Renc, Zdeněk. 1. vyd. Praha: SNTL, 1968. 416 s.
[3]
CHINČIN, A. J. Řetězové zlomky. Rychlík, Karel. 1. vyd. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1952. 104 s.
[4]
MARICHEV, Oleg; TROTT, Michael. Constants [online]. The Wolfram Functions Site. Champaign: Wolfram Research, Inc., 1998-2009 [cit. 17. května 2009]. Dostupný z WWW: http://functions.wolfram.com/Constants/
[5]
MARICHEV, Oleg; TROTT, Michael. Elementary Functions [online]. The Wolfram Functions Site. Champaign: Wolfram Research, Inc., 1998-2009 [cit. 17. května 2009]. Dostupný z WWW: http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/
[6]
SCHWARZ, Štefan. Základy náuky o riešení rovníc. 1. vyd. Bratislava: Vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 1967. 440 s.
[7]
VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. ÚV Matematické olympiády. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1982. 160 s. Škola mladých matematiků.
[8]
WEISSTEIN, Eric. W. Continued fraction [online]. Mathworld-A Wolfram Web Resource. Champaign: Wolfram Research, Inc., 1999-2009 [cit. 17. května 2009]. Dostupný z WWW: http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFraction.html
- 66 -
