ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
6. POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY ROZŠIŘOVÁNÍ ZLOMKŮ Hodnota zlomku se nezmění, vynásobíme-li jeho čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem. Této úpravě se říká rozšiřování zlomků. 2 4 20 50 60 = = = = 3 6 30 75 90 3 6 15 21 30 = = = = 7 14 35 49 70 5 10 25 40 100 = = = = 4 8 20 32 80
KRÁCENÍ ZLOMKŮ Hodnota zlomku se nezmění, vydělíme-li jeho čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem. Této úpravě se říká krácení zlomku. 9 9:3 3 = = 21 21 : 3 7 25 25 : 5 5 = = 40 40 : 5 8 420 420 : 10 42 42 : 3 14 = = = = 150 150 : 10 15 15 : 3 5
ZÁKLADNÍ TVAR ZLOMKU Zlomek, jehož čitatel i jmenovat jsou nesoudělná čísla, je v základním tvaru. PŘÍKLAD 1: Zlomky
12 25 18 9 , , a upravte na základní tvar. 16 30 6 21
ŘEŠENÍ 1: 12 3 = 16 4
25 5 = 30 6
18 3 = =3 6 1
9 3 = 21 7
POROVNÁVÁNÍ ZLOMKŮ Potřebujeme-li zjistit, který z daných dvou zlomků je větší, upravíme je rozšířením nebo krácením tak, aby měli stejného jmenovatele; větší zlomek je ten, který má po této úpravě většího čitatele.
PŘÍKLAD 2: Porovnejte zlomky
3 5 a . 5 8 -1-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
ŘEŠENÍ 2: 3 3 8 24 = ⋅ = 5 5 8 40
5 5 5 25 = ⋅ = 8 8 5 40
24 25 < 40 40 3 5 < 5 8
PŘÍKLAD 3: Na opracování součástky potřebuje první automat
11 8 17 min, druhý min a třetí 20 15 30
min. Který automat má největší a který nejmenší výkon?
ŘEŠENÍ 3: 20 = 4 ⋅ 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 15 = 3 ⋅ 5 20 = 6 ⋅ 5 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 11 33 = 20 60
8 32 = 15 60
17 34 = 30 60
Největší výkon má druhý automat, nejmenší výkon má automat třetí.
SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Zlomky se stejnými jmenovateli sečteme (odečteme) tak, že sečteme (odečteme) jejich čitatele a jmenovatele ponecháme: a b a+b a b a−b + = , − = , m ≠ 0. m m m m m m
PŘÍKLAD 4: Vypočtěte:
a)
2 5 + 9 9
b)
11 4 − 15 15
b)
11 4 7 − = 15 15 15
ŘEŠENÍ 4: a)
2 5 7 + = 9 9 9
Zlomky s různými jmenovateli sečteme (odečteme) tak, že je převedeme na společného jmenovatele a vzniklé zlomky sečteme (odečteme). PŘÍKLAD 5: Vypočtěte:
a)
2 3 − 3 8
b)
1 1 − 4 3
-2-
c)
1 5 3 + − 3 6 4
d)
9 6 − 12 9
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
ŘEŠENÍ 5: a)
2 3 16 9 7 − = − = 3 8 24 24 24
b)
1 1 3 4 1 − = − =− 4 3 12 12 12
c)
1 5 3 4 10 9 5 + − = + − = 3 6 4 12 12 12 12
d)
9 6 3 2 9−8 1 = − = − = 12 9 4 3 12 12
Zápisy smíšených čísel znamenají součet: 2
1 1 8 1 9 = 2+ = + = 4 4 4 4 4
1 1 2 1 3 1 = 1+ = + = 2 2 2 2 2
3
3 3 12 3 15 = 3+ = + = 4 4 4 4 4
NÁSOBENÍ ZLOMKŮ Zlomek vynásobíme zlomkem tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem: a c ac ⋅ = , b ≠ 0, d ≠ 0 . b d bd
PŘÍKLAD 6: Vypočtěte:
28 9 ⋅ 15 20
ŘEŠENÍ 6: 28 9 4 ⋅ 7 3 ⋅ 3 21 = ⋅ = ⋅ 15 20 3 ⋅ 5 4 ⋅ 5 25
Zlomky před násobením nejprve krátíme; krátit přitom můžeme každého čitatele s každým jmenovatelem, ale jen v součinech, nikoli v součtu! PŘÍKLAD 7: Vynásobte zlomky: a)
6 10 22 ⋅ ⋅ 11 3 5
b)
3 16 5 ⋅− ⋅ 25 9 4
c)
3 1 ⋅ ⋅9 5 2
ŘEŠENÍ 7: a)
6 10 22 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 11 8 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =8 11 3 5 11 3 5 1
b)
3 16 5 3 4⋅4 5 4 ⋅− ⋅ = ⋅− ⋅ = − 25 9 4 5 ⋅ 5 3 ⋅ 3 4 15
c)
3 1 3 1 9 27 ⋅ ⋅9 = ⋅ ⋅ = 5 2 5 2 1 10
Zlomek se násobí celým číslem tak, že vynásobíme tímto číslem čitatele zlomku. -3-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
Zjistit určitou část z daného čísla znamená vynásobit příslušnou část a dané číslo. PŘÍKLAD 8: Vypočtěte:
a)
1 ze 6 3
b)
2 ze 6 3
c)
2 ze 7 3
d)
1 7 ze 3 5
e)
2 7 ze 3 5
f)
5 3 ze 8 7
ŘEŠENÍ 8: a)
1 ⋅6 = 2 3
b)
2 ⋅6 = 4 3
c)
2 14 ⋅7 = 3 3
d)
1 7 7 ⋅ = 3 5 15
e)
2 7 14 ⋅ = 3 5 15
f)
5 3 15 ⋅ = 8 7 56
PŘÍKLAD 9: Z připraveného množství dřeva bylo na stavbu plotu spotřebováno
5 a na dřevěná vrata 8
7 zbytku. Jaká část z původního množství dřeva zůstala? 10
ŘEŠENÍ 9: zůstaly
3 3 ze 10 8
3 3 9 ⋅ = 10 8 80 Z počátečního množství dřeva zůstalo
9 . 80
DĚLENÍ ZLOMKŮ Zlomkem dělíme tak, že násobíme zlomkem převráceným: a c a d ad : = ⋅ = , b ≠ 0, c ≠ 0 , d ≠ 0 . b d b c bc
PŘÍKLAD 10: Vypočtěte:
a) 5 :
1 3
b) 1 :
3 4
b) 1 :
3 4 4 = 1⋅ = 4 3 3
c)
7 9 : 8 5
ŘEŠENÍ 10: a) 5 :
1 3 = 5 ⋅ = 15 3 1
-4-
c)
7 9 7 5 35 : = ⋅ = 8 5 8 9 72
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
PŘÍKLAD 11: Vypočtěte: a)
3 5 : 2 7
b)
7 :3 5
c) −
1 2 : 2 3
ŘEŠENÍ 11: a)
3 5 3 7 21 : = ⋅ = 2 7 2 5 10
b)
7 7 1 7 :3 = ⋅ = 5 5 3 15
c) −
1 2 1 3 3 : =− ⋅ =− 2 3 2 2 4
PŘÍKLAD 12: Do nádrže, která má objem
3 3 hl, přitéká voda rychlostí hl za minutu. Za kolik 4 10
sekund bude nádrž plná?
ŘEŠENÍ 12: t=
3 3 3 10 5 : = ⋅ = min 4 10 4 3 2
5 5 min = ⋅ 60s = 150s 2 2 Nádrž bude plná za 150 s.
SLOŽENÉ ZLOMKY Složený zlomek je zlomek, jehož čitatel nebo jmenovatel je zlomek. Např.:
3 čitatel složeného zlomku 4 hlavní zlomková čára 2 jmenovatel složeného zlomku 3
PŘÍKLAD 13: 3 Vypočtěte: a) 4 2 3
b)
3 2 5
3 c) 2 5
2 3 + 3 4 d) 3 4 − 2 5
ŘEŠENÍ 13: 3 3 2 3 3 9 a) 4 = : = ⋅ = 2 4 3 4 2 8 3 3 3 1 3 c) 2 = ⋅ = 5 2 5 10
b)
5 15 3 = 3⋅ = 2 2 2 5
2 3 8 9 + + 17 10 85 d) 3 4 = 12 12 = ⋅ = 3 4 15 8 12 7 42 − − 2 5 10 10 -5-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
PŘÍKLAD 14: Vypočtěte: a)
3 2 + 4 5
b)
1 3 + 3 8
c)
3 1 − 4 3
d)
5 7 − 8 9
e)
3 1 2 − + 5 2 3
f) −
1 5 1 − − 5 7 4
ŘEŠENÍ 14: a)
3 2 15 + 8 23 + = = 4 5 20 20
b)
1 3 8 + 9 17 + = = 3 8 24 24
c)
3 1 9−4 5 − = = 4 3 12 12
d)
5 7 45 − 56 11 − = =− 8 9 72 72
e)
3 1 − + 5 2
f) −
2 3 3 + 4 18 − 35 17 = =− = − 3 5 6 30 30
1 5 1 1 20 − 7 − 28 − 65 93 − − = − − = =− 5 7 4 5 28 140 140
PŘÍKLAD 15: Určete: a)
2 z 18 3
b)
3 z 24 4
c)
4 ze 40 5
d)
5 ze 16 8
e)
3 2 ze 7 5
f)
2 7 ze 5 8
ŘEŠENÍ 15: a)
2 2 ⋅ 18 = ⋅ 6 = 12 3 1
b)
3 3 ⋅ 24 = ⋅ 6 = 18 4 1
c)
4 4 ⋅ 40 = ⋅ 8 = 32 5 1
d)
5 5 ⋅ 16 = ⋅ 2 = 10 8 1
e)
3 2 6 ⋅ = 7 5 35
f)
2 7 1 7 7 ⋅ = ⋅ = 5 8 5 4 20
c)
3 5 ⋅ 10 6
e)
5 49 ⋅ 7 25
b)
2 14 ⋅7 = 3 3
c)
3 5 1 1 1 ⋅ = ⋅ = 10 6 2 2 4
PŘÍKLAD 16: Vypočtěte: a)
3 ⋅7 2
b)
2 ⋅7 3
d)
4 3 ⋅ 3 16
f)
1 8 ⋅ 2 9
ŘEŠENÍ 16: a)
3 21 ⋅7 = 2 2
-6-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
d)
4 3 1 1 1 ⋅ = ⋅ = 3 16 1 4 4
e)
5 49 1 7 7 ⋅ = ⋅ = 7 25 1 5 5
f)
1 8 1 4 4 ⋅ = ⋅ = 2 9 1 9 9
c)
3 2 : 4 7
e)
2 5 : 3 8
3 8 8 = 1⋅ = 8 3 3
b)
3 3 1 3 :2 = ⋅ = 8 8 2 16
c)
3 2 3 7 21 : = ⋅ = 4 7 4 2 8
1 4 1 3 3 : = ⋅ = 2 3 2 4 8
e)
2 5 2 8 16 : = ⋅ = 3 8 3 5 15
f)
3 4 3 3 9 : = ⋅ = 4 3 4 4 16
PŘÍKLAD 17: Vypočtěte: a) 1 :
3 8
b)
3 :2 8
d)
1 4 : 2 3
f)
3 4 : 4 3
ŘEŠENÍ 17: a) 1 : d)
PŘÍKLAD 18: V základním tvaru vyjádřete zlomky:
1 a) 2 3
3 b) 2 2
2 d) 3 4 3
3 c) 2 4 5
5 e) 6 2 7
1 f) 2 3 4
ŘEŠENÍ 18: 3 3 1 3 b) 2 = ⋅ = 2 2 2 4
3 3 5 15 c) 2 = ⋅ = 4 2 4 8 5
5 5 7 35 e) 6 = ⋅ = 2 6 2 12 7
1 1 4 1 2 2 f) 2 = ⋅ = ⋅ = 3 2 3 1 3 3 4
2 1 3 a) + 1 − ⋅ 3 2 4
7 3 1 2 b) − − : 12 8 6 3
2 1 1 1 c) − ⋅ − 3 2 2 4
1 3 1 d) + : 2 − 2 4 5
1 2 e) − : (− 5) 2 3
f)
a)
1 3 3 = 1⋅ = 2 2 2 3
2 2 3 1 1 1 d) 3 = ⋅ = ⋅ = 4 3 4 1 2 2 3 PŘÍKLAD 19:
ŘEŠENÍ 19: 2 1 9 + 12 − 8 1 13 1 13 3 a) + 1 − ⋅ = ⋅ = ⋅ = 3 2 12 2 12 2 24 4
-7-
7 3 1 ⋅ − 8 2 5
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
7 3 1 2 28 − 18 − 8 3 2 3 1 1 1 b) − − : = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 48 2 48 2 16 1 16 12 8 6 3 2 1 1 1 4 − 3 2 −1 1 1 1 c) − ⋅ − = ⋅ = ⋅ = 6 4 6 4 24 3 2 2 4 1 15 + 4 4 − 1 19 2 19 1 19 3 1 d) + : 2 − = = ⋅ = ⋅ = : 2 20 2 20 3 10 3 30 4 5 3− 4 1 1 1 2 e) − : (− 5) = ⋅− = 6 5 30 2 3 f)
7 3 1 7 15 − 2 7 13 91 ⋅ − = ⋅ = ⋅ = 8 2 5 8 10 8 10 80
PŘÍKLAD 20: Převeďte na zlomky v základním tvaru:
2 3 + a) 5 4 1 20
3 1 − b) 8 4 3 5⋅ 2
2 4 1 + 3 7 d) 3 4 1 − 5 7
1 5 + 21 − 2 8 e) 3
2 ⋅5 c) 3 5 1 − 6 3
f)
−4 7 1 3⋅ − + 2 9 3
ŘEŠENÍ 20:
2 3 8 + 15 + 5 4 = 20 = 23 ⋅ 20 = 23 a) 1 1 20 1 20 20
3 1 3− 2 − 8 4 = 8 = 1⋅ 2 = 1 b) 3 15 8 15 60 5⋅ 2 2
2 10 ⋅5 10 6 20 = 3 = ⋅ = c) 3 5 1 5−2 3 3 3 − 6 3 6
2 4 2 11 1 + ⋅ 3 7 3 7 22 35 110 d) = = ⋅ = 3 3 3 4 21 9 27 ⋅ 1 − 5 7 5 7
1 5 + 21 − 1 + 6 2 8 = 2 8 = 5 ⋅1 = 5 e) 3 3 4 3 12
f)
−4 −4 −4 3 6 = = ⋅ =− 12 1 10 5 7 1 +2 3⋅ − + 2 9 9 3
PŘÍKLAD 21: Z tabule plechu, která má obsah 3 m2, se na jeden výrobek spotřebují dvě třetiny a na druhý tři čtvrtiny zbývající části. Kolik m2 tabule zbyde? -8-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
ŘEŠENÍ 21: 1 ⋅3 =1 3 1 1 ⋅1 = 4 4 Zbyde 0,25 m2 tabule.
PŘÍKLAD 22: Do sudu, který má objem 1
1 3 hl, přitéká každou sekundu l vody. Za jak dlouho se 2 4
sud naplní?
ŘEŠENÍ 22: 300 3 300 4 : = ⋅ = 200 2 4 2 3 Sud se naplní za 3 min 20 s.
PŘÍKLAD 23: Pan Novák natřel plot za 3
3 h. Jakou část plotu natřel za hodinu? 4
ŘEŠENÍ 23: 1:
15 4 4 = 1⋅ = 4 15 15
Za hodinu natřel
4 plotu. 15
PŘÍKLAD 24: Hmotnost lana je 5
1 2 kg. Jaká bude hmotnost lana, když odřízneme jeho délky? 2 5
ŘEŠENÍ 24: 3 11 33 ⋅ = 5 2 10 Hmotnost lana bude 3,3 kg.
PŘÍKLAD 25: Kolik špalíků délky 1
1 1 dm se dá nařezat z trámku dlouhého 2 m? 2 4
-9-
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
ŘEŠENÍ 25: 90 3 90 2 : = ⋅ = 15 4 2 4 3 Z trámku se dá nařezat 15 špalíků.
PŘÍKLAD 26: Určete: a) čtvrtinu ze 3
1 2
b) třetinu z 5
5 6
c) číslo šestkrát menší než 4
2 3
ŘEŠENÍ 26: a)
1 7 7 ⋅ = 4 2 8
b)
1 35 35 ⋅ = 3 6 18
c)
14 14 1 7 :6 = ⋅ = 3 3 6 9
PŘÍKLAD 27: Osobní vlak, který vyjel z Berouna v 8 h 34 min, přijel na nádraží Praha-Smíchov v 9 h 20 min. Jakou část celkové vzdálenosti měl za sebou v 9 h za předpokladu, že jel stálou rychlost?
ŘEŠENÍ 27: 9 h 20 min – 8 h 34 min = 46 min 9 h – 8 h 34 min = 26 min 26 13 = 46 23 V 9 h měl za sebou
13 vzdálenosti. 23
PŘÍKLAD 28: Na 40 km spotřebuje auto 3
1 l benzinu. Kolik litrů spotřebuje na 100 km? 2
ŘEŠENÍ 28: 7 100 35 ⋅ = 2 40 4 Na 100 km spotřebuje 8
3 l benzinu. 4
PŘÍKLAD 29: V sudu je 1,5 hl oleje. Kolik litrů v sudu zůstane, když do jedné nádoby odlejeme celkového množství a do druhé
1 zbytku? 4 - 10 -
3 5
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
ŘEŠENÍ 29: 3 2 150 ⋅ ⋅ = 45 4 5 1 V sudu zůstane 45 l oleje.
PŘÍKLAD 30: Do kotle, který má objem 560 hl, přitéká jednou trubkou 2 1
1 l za sekundu a druhou 4
1 9 l za sekundu. Za jak dlouho se kotel naplní do svého objemu? 2 10
ŘEŠENÍ 30: 9 ⋅ 56000 = 50400 10 9 3 9 + 6 15 = + = 4 2 4 4 50400 :
15 4 = 50400 ⋅ = 13440 4 15
13440 : 3600 = 3h 44 min Kotel se naplní za 3 h 44 min.
PŘÍKLAD 31: Hřiště na volejbal má šířku 9 m. Odhadněte a potom vypočtěte, kolik je to kroků 3 m. dlouhých 4
ŘEŠENÍ 31: 9:
3 4 = 9 ⋅ = 12 4 3
12 kroků.
PŘÍKLAD 32: Jak dlouho bude panu Novákovi trvat výkop pro plynovou přípojku v délce 5 vykope-li za hodinu
3 m? 4
ŘEŠENÍ 33: 11 3 11 4 1 : = ⋅ =7 2 4 2 3 3 Výkop pro plynovou přípojku udělá pan Novák za 7 h 20 min. - 11 -
1 m, 2
ČÍSELNÉ OBORY POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
PŘÍKLAD 33: 2 chodby bylo zapotřebí 72 dlaždic. Kolik dlaždic bude stačit na 3 vydláždění celé chodby? K vydláždění
ŘEŠENÍ 33: 1 = 36 3 3 = 108 3 108 dlaždic.
- 12 -
