Racionalita z pohledu logiky P. Jirků Univerzita Karlova v Praze Katedra logiky FF, CZ-116 42 Praha 1, Celetná 20 E-mail:
[email protected] Abstrakt. Zabýváme se problémem racionality, který nahlížíme především v kontextu logiky. Je charakterizován vývoj logického myšlení a vyzvednuty hlavní mezníky za poslední dvě milenia. Potom upozorňujeme na fakt, že logický pohled na racionální myšlenkové konstrukce byl po většinu doby statický a všímáme si snah porozumět dynamice racionální inference, která je výrazným směrem zkoumání v posledních dvou desetiletích. A konečně upozorňujeme na exaktní metody zkoumání cest inference a dedukce, tak jak je provádějí lidé.
1. Úvod Začneme etymologií slova racionalita. Termín racionální pocházející z latinského ratio znamená rozumný, rozumový, odůvodněný, poměrný, přiměřený. V matematice jsou čísla racionální taková čísla, která vyjadřují poměr dvou čísel celých. Racionalismus v původním slova smyslu je pokusem o řešení otázky původu a podstaty lidského poznávání. Je protikladem sensualismu. Byl prapůvodně užíván pro označení směru v teologii, který odvozoval ideu Boha z rozumového poznání (deismus) nebo dokonce úplné spoléhání na rozum a na poznávání prostřednictvím rozumu. (Srovnej racionálně podkládané středověké důkazy Boží existence, např. Anselmův důkaz, který byl parafrázován Kurtem Gödelem v kontextu formální modální logiky.[2]) Důraz se klade na samočinnost rozumu, apriornost poznatků a deduktivnost pravd. V širším smyslu jde o zdůrazňování významu vědy, vzdělání a intelektu. K velkým racionalistům patřili Sókratés, Platón i Aristotelés, samozřejmě stoikové, scholatikové, René Descates, jistě Gottfried Wilhelm Leibniz, John Locke a také Immanuel Kant, abychom jmenovali aspoň některé významnější klasické reprezentanty. V moderní době je třeba po vídeňském kruhu jmenovat Lakatose, Kuhna, Laudana a další V našem textu se budeme racionalitou zabývat především z pohledu logického a to jak formální logiky tak logiky neformální.
2. Racionalita Racionalita je schopnost konat a myslet cestami, které jsou vedeny rozumem. Je to mj. hledání důvodů a důsledků argumentů a myšlenkových závěrů a rozhodnutí. Důvod na obecné úrovni je intencionální fenomén. Racionalita je pak univerzální v tom smyslu, že není nic takového jako racionalita pro něco či pro někoho, a co jakožto hledání důvodů a důsledků, není racionalitou pro něco či pro někoho jiného. Paradoxem racionality je, že racionalita nemá důvod, nebo lépe, racionalita nepotřebuje důvod. 1 Naše chování, rozhodování a usuzování buď je nebo není racionální. Otázka, zda je racionální usuzovat nebo jednat racionálně nemá z tohoto pohledu dobrý smysl. O 1
Tento text byl zpracován s částečnou podporou grantu GA ČR 401/01/0218.
konceptu racionality z hlediska chování, jazyka a logiky pojednáváme s J. Kelemenem v publikaci [1]. Koncept racionality se v dějinách měnil. V sókratovském pojetí bzl důraz kladen především na koherentnost myšlenkových procesů, Galileovská racionalita chápal pravdu jako korepondenci (vědeckých) poznatků a stavu věcí. Pozdější vývoj zejména v minulém století ústy Karl Poppera podrobil toto pojetí kritice. Dnes možná ani tak nejde o klasické odhalování “věčných” pravd skrytých ve věcech, ale spíš o vytváření (konstruování) nové skutečnosti vzhledem k danému diskurzu, 2.1 Logika, přirozený jazyk a úskalí komunikace Logika se projevuje skrze jazyk, ale bývá často v jazyce spíše skryta. V běžném usuzování jde o přirozený jayzk. Přirozený jazyk ale, jak ukazuje zkušenost, není logický. Je proto pozoruhodné, že se (aspoň občas) vůbec dorozumíme. Příklady naznačí některá úskalí a jejich rozmanitost. Když například „chytrá horákyně“ přelstí krále, fandíme jí, i když vlastně spíš než o chytrost horákyně jde o hloupost krále, že se posunem významu termínů nechal tak snadno obelstít. Když například politik jedním dechem redaktorce v televizním pořadu na otázku, zda ve svém postu mohl pro danou věc udělat víc, prohlásí, že jistě „mohl, ale že si myslí, že udělal maximum“, je hned zřejmé, že se onen dotazovaný chtěl spíš z otázky vykroutit než na ni korektně odpovědět. Neúplná odpověď nebo vágní a zamlžená odpověď nebývá vždy jen projevem neschopnosti vydat korektní formulaci. Často je to spíše záměr otupit hrot ostře formulované otázky. Zamlčování informací – logik by raději řekl faktů - (ať vědomé či nevědomé), eufemismy pro částečné negativní odpovědi či dokonce pro nepravdy, v tom jsou mnozí lidé mistry. To je ale záležitost, která přesahuje prostor vyhrazený (formálním) logickým zkoumáním, to je spíš prostor pro úvahy psychologické. Naprostá většina lidí v běžných životních situacích ovšem usuzuje logicky, tak proč je třeba logiku studovat? Není to v nejlepším případě ztráta času? Je pravda, že většinu běžných situací dobře zvládáme. Přeci jen se ale čas od času setkáváme se situacemi, kdy dovednost a poučení o logice zmůže mnoho. Jak obtížné je někdy pro běžného člověka (neškoleného v elementární logice a bez vhodných dovedností) správně vylovit negaci nějakého tvrzení se dvěma nebo dokonce třemi kvantifikátory. Už třeba jen poučení o dualitě disjunkce a konjunkce ve vztahu k negaci v podobě De Morganových zákonů je cenným nástrojem pro kontrolu správnosti některých úsudků. Příkladů je samozřejmě víc. Spojka „a“ není vždy konjunkce. Jednoduchý příklad ukáže, že velmi často jde spíše o časovou následnost. Složený výrok „Upadl a vstal“ nepochybně říká něco jiného než výrok „Vstal a upadl“. Tato spojka „a“ rozhodně není komutativní. Ale i v situaci, kdy nejde o časovou následnost, nýbrž o současnost, nemusí být vždy zřejmé, co přesně autor výroku měl na mysli. Podél kanadských dálnic se například můžete občas setkat s varovným nápisem: Don´t drink and drive. Co přesně znamená tento příkaz chápeme (chceme-li být vstřícní k autorovi) na základě dřívějších znalostí a výrok interpretujeme v tomto kontextu. Jen těžko např. přijmeme interpretaci, která řidiči nedovolí napít se vody. A to už vůbec nemluvíme o čase, tj. o tom zda jde o pití za jízdy, před jízdou, krátce před jízdou, dlouho před jízdou nebo dokonce až po jízdě. Proto se při studiu jazykových výrazů a argumentů zabýváme presuposicemi, konverzačními implikaturami. a dalšími skrytými předpoklady porozumění a dorozumívání. V jiných životních situacích to ale může být problematičtější. Opět příklad: Současný český vysokoškolský zákon např. v paragrafu 74 (1) jako podmínku pro profesorské a habilitační řízení vyžaduje, aby byla prokázána „pedagogická a
vědecká nebo umělecká kvalifikace uchazeče“. Fakt, že v přirozeném jazyce nepoužíváme závorky, má za následek, že se nabízejí aspoň dvě interpretace: (p ∧ v)∨ u anebo p ∧ (v ∨ u). S tím se samozřejmě snadno vyrovnáme. Horší ovšem je, když např. vysoká škola v údajné - možná i dobře míněné - snaze posoudit schopnost správně logicky usuzovat, klade uchazeči o studium otázky, které nejsou z logického hlediska vpořádku,. Když zadavatel úlohy sám chybně hodnotí vztah vyplývání, je to zlé. A až hrozivé je, když v návodu jak vypracovat odpověď se studentovi doporučuje, aby odložil vše, co se případně v logice naučil. No, a když dokonce soud (byť to bylo v banální při) vydá rozsudek, který je kontradikcí, je to zlé. Jeden jihočeský soud nedávno vydal ve sporu rozvedených manželů, kteří se nedokázali dohodnout o tom jak se budou nadále stýkat se svými společnými dětmi toto rozhodnutí: „Každý z obou rodičů převezme obě nezletilé děti v místě bydliště druhého rodiče a tamtéž druhému rodiči předá“ Při znalosti faktu, že rodiče už spolu nemají stejné bydliště, to bude pro oba rodiče svízelné. To jsou příklady situací, kdy se logika dostává do kontaktu s přirozeným jazykem a díky jeho vágnosti, neurčitosti a víceznačnosti nám vznikají problémy. jak výrazy jazyka správně interpretovat a jak potom správně odvozovat důsledky. Není to ale vada přirozeného jazyka. Zmíněné příklady spíš ukazují na neschopnost svoje myšlenky řádně formulovat s náležitou přesností. Nalézat odpovídající míru přesnosti je ovšem spíše záležitost cviku a schopnosti systematicky uvažovat a domýšlet důsledky. Tyto schopnosti je možné vždy zlepšovat. I přirozený jazyk takovou možnost poskytuje. 2.2
O co nám vlastně z hlediska logiky šlo, jde a půjde
Chápeme-li logiku jako organon, tj, jako nástroj usuzování, je třeba zkoumat, jaké má ten nástroj vlastnosti a k čemu je užíván, tedy co vlastně rozumíme usuzováním. Aristotelés v prvních analytikách říká: Nejprve je třeba pojednat o tom, čeho se zkoumání týká a čí je to úkol; týká se důkazu a je to úkol dokazovací vědy. Nato je třeba určit, co je premisa a co termín a co sylogismus, který sylogismus je dokonalý a který nedokonalý. První Aristotelova věta zde vystihuje přesně jeden z významných úkolů moderní logiky: Porozumění tomu, co je to důkaz. Druhá věta se z dnešního pohledu týká partikulárního úkolu. Je tu ale potíž: Jsou různé náhledy. Populárním vymezením logiky ve starších učebnicích bývá vymezení logiky jako studia metod správného myšlení. (Srovnej např. Krejčí, Dratvová, Pelikán a další) To ale není vyhovující. Myšlením se totiž zabývá řada disciplín (od psychologie, po neurofysiologii přes lingvistiku, kulturní antropologii, kognitivní vědu a další disciplíny). Je tedy třeba začít tím, že vymezíme základní otázky, které si v logice klademe. Jsou to, mezi jiným, jistě tyto otázky: Co je to pravda? To není otázka po tom, které výroky jsou pravdivé, ale otázka po konceptu pravdy. Zde se logika setkává s filosofií. Pravdivost nebo nepravdivost vyjadřujeme v jazyce, proto zkoumáním vyjadřovacích prostředků musíme začít. Je třeba porovnat náhledy na pravdu (koherenční teorie, korespondenční teorie, ...) Co z daných pravdivých (akceptovaných) výroků vyplývá a co z nich můžeme, popř. musíme, odvodit? Jde mj. o rozlišení nutnosti a kontingence. Přístup může být dvojí, a tak chceme porozumět tomu, co je to důkaz a dokazatelnost (syntaktický pohled) a co je to model či pravdivá interpretace (sémantický pohled). Co je vynucené a co nikoli. Co
je možné a co nikoli. Ze středověké scholastiky jsme prostřednictvím Leibnize převzali koncept možných světů. V moderní vědě je to mj. diskuse o raison d´être myšlenkových pokusů. (fyzika, kosmologie). Jak souvisí dokazatelnost a pravdivost? Kurt Gödel nás přesvědčil, že koncept pravdy je bohatší než koncept důkazu, což silně ovlivnilo nejen moderní logiku samu, ale v posledním půlstoletí i další disciplíny jako např. lingvistiku a informatiku. Jak obtížné je ty důsledky odvodit? To je otázka složitosti. Složitosti kalkulací. Zdá se, že v současné době je to otázka z nejaktuálnějších. Jaké typy nededuktívních úsudků jsou ještě racionální? Dosud byl v logice kladen důraz na hledání věčných pravd (B. Pascal); jak je to s pravdami temporálními? Proč máme tolik logických kalkulů a jak se v nich orientovat? Co je v tomto kontextu racionalita? (Srovnej axiomy racionality podle P. Gärdenforse v dalším textu.) K nejvýznamnějším konceptům, kterým se v logice snažíme porozumět, proto jistě patří formální kalkulus a s tím spojené koncepty jako konzistence, nezávislost a další; paradox (self-reference, kontradikce, zapomenutá fakta, bezobsažnost nebo posunutí významu), asserce vs. negace (explozívnost negace, negace jako neúspěch, existence); modalita a existence možnost, nutnost a to, co není možné (possibile vs. impossibile); algoritmus (kalkulus, výpočet, efektivnost, složitost) např. problém čtyř barev a velká Fermatova věta a zajisté nekonečno (základy matematiky). O každém z uvedených témat by bylo možné konat více než semestrální přednášku. Pro náš účel alespoň rekapitulujeme hlavní mezníky v dějinách logiky a jejího okolí, neboť logika má, podobně jako matematika, tu pozoruhodnou vlastnost, že je ortogonální vůči ostatním disciplínám, prostupuje je. K těm patrně nejvýznamnějším mezníkům reprezentovaným význačnými velikány patří: Tháles Milétský Pythágorás Aristotelés Eukleidés Al Chvárazmí Descartes Newton, Leibniz Boole Bolzano Frege Hilbert Russell Gödel Turing Church Chaitin
racionální ospravedlnění čísla (arithmos) jako základ formální logika, sylogismus, subjekt a predikát, modality axiomatická metoda algoritmus (postupy, posloupnost akcí) systematické pochybování kalkulus, (malé) nekonečno možné světy, myšlení jako kalkulus booleovská logika nekonečno, množství (množina) predikátová logika úsilí o prevenci paradoxů (axiomatická metoda v matematice) teorie typů, Principia Mathematica pravdivost vs. dokazatelnost, nedokazatelnost bezespornosti koncept pravdivosti je bohatší než koncept dokazatelnosti teoretický koncept počítače, umělá inteligence lambda kalkulus, vyčíslitelnost (computability) nový koncept náhody, algoritmická nestlačitelnost, algoritmická teorie informace
Ten výčet není samozřejmě úplný a je dokonce jistě i nespravedlivý, neboť ke každému uvedenému jménu lze přiřadit mnohá další jména jednotlivců, kteří ta velká témata utvářeli, ale to by se nám naše půlhodinová přednáška protáhla asi na dvě tisíciletí.
A co nás z tohoto pohledu čeká v právě započatém století? Patrně se budeme mj. muset zabývat též tématy jako logická epistemologie (dynamika znalostí, především potřeba vzít do úvahy čas). Která odvození lze ještě považovat za racionální? Co vlastně v tomto kontextu rozumíme racionalitou? Dalším tématem, kterým bude třeba se v kontextu racionálního chování a rozhodování zabývat, bude opět logika jako nástroj "inženýrské" manipulace s poznatky a s tím související staronové otázky Co je to stroj a Je člověk stroj? V moderním hávu je to koncept umělé inteligence. Je totiž čas zhodnotit koncept Allana Turinga a s tím související hlubší porozumění složitosti. Chaitinův [11] koncept náhody jako algoritmické nestlačitelnosti a z toho vyplývající závěr, že (matematická) pravda může vykazovat charakteristiky náhody, nestrukturovanosti a nesrozumitelnosti. Z prací J. Matiasieviče a J. Jonese na 10. Hilbetově problému navíc vyplývá, že se to týká dokonce i elementární aritmetiky, jmenovitě aritmetiky v podání Guiseppe Peana. To jsme ostatně zažili i v případě Gödelově. Budeme si také klást otázku, jak povstává logika a konceptuální myšlení z úrovně impulsů předávaných v síti neuronů. Jaké emergentní jevy v umělých neuronových sítích můžeme očekávat.A znovu nám půjde o hlubší porozumění nekonečnu, a to jak z pohledu zevnitř ven (např. velké kardinály), ale budeme si klást též otázku zda je možné nekonečno „vidět“ ve složitosti kalkulací? K tomu, že takové otázky si budeme dokonce klást naléhavě, nás už teď může vést skutečnost, že kolem nás roste síť strojů podřízených sice deterministickým pravidlům, která je ale topologickou strukturou složitostí v ní probíhajících procesů blízká architektuře lidského mozku. Další neméně vzrušující skutečností v souvislosti se starou Leibnizovou otázkou, zda my lidé jsme stroje či nikoli, je fakt, že jsme rozluštili lidský genom, který vlastně můžeme chápat jako složitou strukturu deterministických pravidel. Není bez zajímavosti, že počtem tři a půl miliardy genů jsme jen asi o jeden řád vzdáleni od počtu neuronů v průměrném lidském mozku. Potřeba logiky je značná, její výskyt je nepatrný. Galileo Galilei v této souvislosti kdysi řekl: „Nemůžeme vás naučit nic, můžeme vám jen vytvářet prostor pro to, abyste se naučili sami.“ Logika je pro nás pevně spojena s matematickým náhledem na svět, ale není to nutně matematika, je to vyjevování struktury a souvislostí. Je to naše vidění světa a způsob našeho mluvení o světě.. 2.3 Přirozený svět a svět překvapení. Překvapení jsou zdrojem poznání. Odkud ale vyvěrají ona překvapení? Ukážeme to na několika příkladech, které nejsou klasickými paradoxy, tj. nejsou kontradikcemi ve smyslu logiky, ale naznačují jakýsi druh konfliktu rozumu se zjištěnou skutečností: Již dávno jsme např. dobře poznali, že není možné rozdělit úhel na tři stejné díly. Když se to poprvé v životě dozvíme, tak nás to možná zaujme i třeba překvapí. ale ne příliš, protože si uvědomíme, ĺoha je umělá v tom smyslu, že se jedná o omezené prostředky a kdybychom měli k dispozici další pomůcky, například papír a nůžky, neměli bychom větší problémy. Sktutečným překvaprním, možná až velkým šokem pro starověké myslitele byl objev, že strana a úhlopříčka čtverce jsou nesouměřitelné. Prostor se ukázal být podivným. K tomu nás dovedl rozum Zcela jiným druhem překvapení je to, co známe pod názvem vězňovo dilema. To je pozoruhodné, ale ne tak dramatické protože jde o rozhodování při neúplné informaci. Nemožnost perfektní demokratické volby (Arrowův teorém) vlastně akceptujeme, protože to je zjištění, že standardní metodou hlasování vlastně hodnotíme něco jiného než jsme původně chtěli.
Problém obchodního cestujícího nás upozorňuje na dramaticky rostoucí složitost výpočtu), perpetuum mobile na skrytý princip zajišťující soudržnost či konzistenci teorie. To už je z logického hlediska zajímavější. Nemožnost důkazu konzistence aritmetiky, problém zastavení (Halting problem) v teorii algoritmů, relace neurčitosti kvantové fyziky (není možné současné přesné měření některých veličin) a myšlenkové pokusy obecně (Maxwellův démon, Schrödingerova kočka, Einsteinův výtah, Newtonova kytice, …) to už jsou skutečné výzvy pro rozum a racionalitu. Je to jen kratičký a hlavně nesystematický namátkový výběr překvapení, která jsme zažili. Je to výčet pestrý, jistě se dočkáme překvapení dalších. Každý z příkladů naznačuje konflikt jiného druhu. Jde o situace, kdy rozum je překvapen. Překvapení se od sebe ale významně liší a to nejen tématem, ale i formou a především silou překvapení. Některá z takových překvapení se dotýkají základních logických konceptů a principů, zejména pak možnosti a nutnosti. Co je možné a co nikoli, co je to nutnost? V logice např. často užíváme princip reductiio ad absurdum, ale co je vlastně absurdní? Překvapení, které nám v logice v minulém století přichystal Kurt Gödel patřilo k největším, proto si zjednodušenou formou připomeneme oč šlo. 2.3.1 Gödelova úloha Kdysi překvapivý výsledek logických zkoumání Kurta Gödela, známý jako věta o neúplnosti, podle kterého dostatečně bohaté teorie nemohou být úplné - tj. musí v nich existovat pravdivá tvrzení, která nelze prostředky dané teorie dokázat - je často označován za hlavní vnitřní hranici vědy. V tomto příspěvku nemáme možnost detailně reprodukovat ideje, na nichž je Gödelův teorém založen, pokusíme se ale aspoň něco naznačit na jednoduché úloze, kterou vynikající logik formuloval roku 1931. Budeme uvažovat výpočtový stroj (počítač), který umí mj. tisknout výrazy sestavované z těchto pěti znaků: ~ P N ( ). Výrazem budeme samozřejmě rozumět libovolný konečný řetězec znaků. Dále budeme předpokládat, že mezi našimi vyjadřovacími prostředky máme intuitivně srozumitelný unární predikát tisknutelný(X), který je splněn, právě když výraz X je tisknutelný, tj. když výraz X má tu vlastnost, že bude strojem dříve nebo později vytištěn. Dále ještě definujeme normu výrazu. Normou výrazu X budeme rozumět výraz, který vznikne z výrazu X podle definice norma(X) = X(X); norma výrazu je tedy jakýmsi "zdvojením" původního výrazu. Takže např. normou výrazu ~NNP~ je výraz ~NNP~(~NNP~). A konečně některé z výrazů, které (jak dále uvidíme) nás budou velmi zajímat, budeme nazývat sentence. Sentencí budeme rozumět jakýkoli výraz některého z následujících tvarů: P(X), PN(X), ~P(X), ~PN(X), kde X je libovolný výraz. Tímto už jsme připraveni uvést definici pravdivosti (pravdivé sentence) pro náš jednoduchý jazyk. Bude záviset na formě, tedy tvaru sentence. Řekneme, že sentence tvaru P(X) je pravdivá, když výraz X je tisknutelný, PN(X) je pravdivá, když norma výrazu X je tisknutelná, ~P(X) je pravdivá, když výraz X není tisknutelný, ~PN(X) je pravdivá, když norma výrazu X není tisknutelná. Než zformulujeme gödelovskou otázku, stanovíme důležitý předpoklad, který říká, že náš stroj je dokonale korektní, což znamená, že všechny sentence, které vytiskne, budou pravdivé. To mj. znamená, že když stroj např. tiskne sentenci tvaru P(X), tak X je skutečně tisknutelná (může být strojem dříve nebo později vytištěna). Tento požadavek se samozřejmě týká pouze sentencí, stroj totiž může případně tisknout i
nesmysly, tj. výrazy, které nejsou sentencemi, ale to nám nečiní žádnou obtíž. A co když nyní X je výraz, který je tisknutelný. Znamená to, že také P(X) je tisknutelná sentence? Ne nutně. Jestliže totiž X je tisknutelný výraz, pak P(X) je jistě pravdivá sentence, ale nikde nemáme zaručeno, že stroj může (je schopen) vytisknout všechny pravdivé sentence. Víme jen, že stroj nikdy nevytiskne nepravdivou sentenci (díky korektnosti). Takže teď již můžeme formulovat otázku: Je principiálně možné, aby stroj vytisknul všechny pravdivé sentence? Čtenář asi tuší, že odpověď je negativní. Abychom to ověřili, stačí nalézt pravdivou sentenci, kterou stroj nemůže vytisknout. To se nám v našem případě podaří např. tak, že nalezneme sentenci, která tvrdí svoji vlastní netisknutelnost, což je sentence, která je pravdivá právě tehdy, když není strojem tisknutelná. Takovým řešením je sentence ~PN(~PN) neboť podle definice pravdivosti je tato sentence pravdivá právě tehdy, když norma výrazu ~PN není tisknutelná. Ale normou výrazu ~PN je ona sentence samotná. Tudíž naše sentence je pravdivá právě tehdy, když není tisknutelná. To znamená, že tato sentence je buď pravdivá a netisknutelná anebo je tisknutelná a nepravdivá. Druhá alternativa ovšem porušuje předpoklad korektnosti (stroj nikdy netiskne sentence, které nejsou pravdivé), tudíž naše sentence musí být pravdivá, ale stroj ji nikdy nemůže vytisknout. Všimněme si ještě, že sentence PN(~PN) je nepravdivá (protože její negace je pravdivá). Avšak tato sentence je v našem systému (opět díky korektnosti) rovněž nedokazatelná. A tak sentence PN(~PN) je příkladem sentence, která je v daném systému nerozhodnutelná. 2.3.2 Varianta Gödelovy úlohy Ideu metody godelizace můžeme velmi zhruba naznačit tak, že mírně pozměníme úlohu diskutovanou výše. Čtenář, který zná roli přirozených čísel v gödelovském kódování může tento odstavec bez újmy vynechat. Jazyk bude opět sestávat z pěti symbolů, ale tentokrát budeme místo levé závorky používat symbol 1 a místo pravé závorky používat symbol 0. Dále budeme v této variantě ještě pracovat s přirozenými čísly. Ta budeme reprezentovat dvojkovým zápisem (jako řetězce nul a jedniček) a pro naše účely ztotožníme přirozená čísla s numerály, které je reprezentují. Důležitou roli teď bude hrát pojem Gödelova čísla výrazu. Gödelovo číslo g(X) výrazu X definujeme následovně: Pěti jednotlivým znakům ~, P, N, 1, 0, postupně přiřadíme Gödelova čísla 10, 100 1000, 10000, 100000. Gödelovo číslo číslo složeného výrazu pak získáme složením (konkatenací) odpovídajících Gödelových čísel znaků, z nichž se skládá. Takže např. výraz PNP má Gödelovo číslo 1001000100. Norma výrazu bude definována rovností norma(X) = Xg(X). Například normou výrazu PNP je výraz PNP1001000100. Sentence mají nyní stejný tvar jako v prvním případě, ale zapsaný v dvojkové notaci. Definice pravdivosti bude mírně pozměněna takto: PX je pravdivá, když X je Gödelovo číslo pravdivého výrazu, PNX je pravdivá, když X je Gödelovo číslo výrazu, jehož norma je tisknutelná, ~PX je pravdivá, když PX není pravdivá (X není Gödelovo číslo tisknutelného výrazu), ~PNX je pravdivá, když PNX není pravdivá.
Formulace úlohy se nemění: Nalezněte pravdivou sentenci, kterou stroj nemůže vytisknout. Teď je už také zřejmé, že řešení takto modifikované úlohy je výraz ~PN101001000. Uvažujme teď poněkud konplikovanější jazyk elementární aritmetiky, tj. teorii prvního řádu, která je zamýšlena jako teorie přirozených čísel, tak jak jsou přirozená čísla v běžném platónském chápání matematiky pojímána. Můžeme postupovat analogicky, pro samu aritmetiku bude ale gödelizace podstatně složitější (využije se prvočíselných rozkladů), ale idea z uvedeného příkladu prosvítá. Gödelovy výsledky silně ovlivnily nejen naše porozumění logice a matematice, ale významně ovlivnily i mnohé další vědní disciplíny mezi něž zcela jistě patří i lingvistika a třeba také kognitivní věda, která se snaží porozumět lidské mysli. Je přitom možná zajímavé, že tento jednodůchý Gödelův příklad zapadl a byl znovu "objeven" Raymondem Smullyanem v jeho knize o Gödelových důkazech neúplnosti [8]. Naskýtá se teď přirozená otázka: Je to obecná vlastnost anebo náhodná vlastnost právě tohoto jednoduchého jazykového systému s právě touto definicí pravdivosti? Dnes dobře víme, že nikoli. Díky Kurtu Gödelovi a jeho rafinované metodě gödelizace (kódování formulí přirozenými čísly - viz dodatek) víme, že je to naopak principiální vlastnost dostatečně bohatých formálních systémů. Máme přitom bohatosti systému rozumět tak, že jde o systémy, které jsou složité? Co ale zde složitost znamená? Logikové vědí, že bohatost zde znamená, že uvažovaná teorie obsahuje (dá se v ní vyjádřit) elementární aritmetika neboli naše platónská představa o přirozených číslech. K typickým vlastnostem klasických logických systémů patří mj. to, že dobře utvořené formule mají konečnou délku (ale může jich být nekonečně mnoho); pravidla odvozování mají jen konečně mnoho premis; jsou jen dvě pravdivostní hodnoty. všechny výrokové operátory (spojky) jsou extenzionální (truth-functional); platí princip tertium non datur, tj. formule (p ∨ ¬ p) je dokazatelná, i když ani (p) ani (¬ p) nejsou samostatně dokazatelné. Kontradikce je explozivní, plyne z ní cokoli; nebo jinak: obsahují-li axiomy spor, tak cokoli je teorémem; dokazatelnost je monotónní; predikáty mají za argumenty pouze individua (nikoli další predikáty); obor individuí je (ex deficione) neprázdný, neboli v každé interpretaci existuje aspoň jedno individuum; uvnitř predikátů není žádná struktura (pouze uspořádání argumentů); množina dobře utvořených formulí (množina symbolů a gramatických pravidel) je rozhodnutelná; což se týká i důkazů; standardni pravdivostní funkce jsou totální; predikáty jsou totální funkce z oboru individuí do pravdivostních hodnot; (formální) jazyk je uzavřený na gramatiku i na pravidla odvozování; formule, které jsou teorémy, jsou typu ano/ne (srovnej s fuzzy logikou);. 2.4 Dedukce, indukce, abdukce Pravidla deduktivní a induktivní inference jsou dobře známá, pravidla abduktivní již méně. Příklady: a) Všichni králíci v tomto klobouku jsou bílí. Tito králíci jsou z tohoto klobouku. Tudíž: Tito králíci jsou bílí. b) Tito králící jsou z tohoto klobouku. Tito králíci jsou bílí
Tudíž: Všichni králíci v tomto klobouku jsou bílí. c) Všichni králíci v tomto klobouku jsou bílí. Tito králící jsou bílí. Tudíž: (To je proto, že) Tito králíci jsou z tohoto klobouku. Příklad a) je typickým příkladem deduktivního úsudku, který garantuje pravdivost za předpokladu pravdivosti premis. Příklad b) je typickým příkladem induktivního úsudku, kde pravdivost již nemusí být garantována při pravdivosti premis. Příklad c) je pak příkladem abduktivního úsudku. Abdukce je velmi účinné rozšíření inference. Termín abduktivní usuzování je velmi starý (srovnej Aristotelés), ale systematicky byl studován až ve dvacátém století Charlesem Sandersem Peircem a dalšími. V aristotelské logice je abdukce (apagogé) chápána jako sylogismus jehož hlavní premisa je jistá, ale vedlejší premisa je jen pravděpodobná. Podle Peirce je to druh inference, který přináší explanatorní hypotézy spíš než výsledek deduktivního či induktivního pravidla. Abduktivní usuzování je v tomto smyslu [8] usuzování z neúplných znalostí nebo hypotetické usuzování. V protikladfu k dedukci se abdukce týká plausibilnosti závěrů, nikoli jejich platnosti. Kritéria síly abduktivních závěrů jsou především tato: Jak dobrá je hypotéza H sama, nezávisle na alternativách. Jakou decizivní přednost má hypotéza H před svými alternativami. A konečně jak důkladné či úplné bylo prohledávání prostoru alternativ. Z pragmatického hlediska je pak důležitá cena, kterou platíme za chybný závěr proti správnému a jaká je potřeba učinit vůbec nějaký závěr jmenovitě ve světle možnosti získat novou evidenci pro další rozhodování. Formálněji můžeme abdukci popsat následovně: Když B je informace či znalost, která je pevným zázemím úsudku (background knowledge) a G je množina výroků, obvykle pozorování, tak abdukci můžeme chápat jako úlohu najít množinu hypotéz H ve vymezeném prostoru A abdukovatelných tvrzení, pro kterou platí, že 1. 2. 3. 4. 5.
G je důsledkem B ∪ H. B ∪ H není sporná, což mj. znamená prioritu a stabilitu znalostního zázemí. H ⊆A a G ∩ H = ∅. Tento požadavek vyjadřuje netriviálnost abduktivního závěru. G není důsledkem znalostí B samotných. Neexistuje vlastní část H´ množiny H taková, že G by bylo důsledkem B ∪ H´, což mj.znamená, že H je minimální množinou s uvedenými vlastnostmi.
Abdukci je tedy možné takto chápat jako tentativní přijetí množiny hypotéz. Racionalita je tu měřena tím, že se hledá v prostoru kandidátských hypotéz (abducibles) maximální množina přesně vymezených vlastností, jíž je explanační minimalita. Feyerabend navíc vyžaduje, aby ona explanace byla fundovaná v tom smyslu, že není vysvětlitelná v termínech jiných explanací. Poznámka: Není ovšem nutné, aby formule ze všech tří množin B, G a A (a tudíž i H) byly nutně definovány v témže jazyce, i když společná část je patrně nezbytná. Jen těžko bychom hledali rozumnou definici abdukce mezi formulemi, které jsou navrájem irelevantní. . 2.5 Trochu formální pohled na dynamiku poznávání Po více než dvě tisíciletí jsme se z logického hlediska zabývali převážně „věčnými pravdami“ a nebrali vůbec do úvahy čas. To prostě proto, že je to velmi obtížné. Navíc
tomistická absolutizace aristotelské logiky po celé milenium vytvářela bariéru pro porozumění dynamice znalostí, protože klasický princip dyadické pravdivostní funkcionality pokrývá jen nepatrnou část logické povahy významu výrazů (formulí) a porozumění logické korektnosti argumentů. Odpověď na otázku, co je to logicky korektní argument, je ale stále předmětem zkoumání. Filozofická reformulace musí samozřejmě vzít v úvahu ne jedné straně jazykové užití oněch konceptů a na straně druhé cíle, k nimž mají být relevantní důvody hledány. Usuzování není jen deduktivní proces, dokonce ne především, a to i tehdy, když jde o postupy, které bychom stále ještě byli ochotni označit jako racionální, tj. dobře podložené argumenty. V posledních dvou desetiletích začala být intenzivně studována logika nededuktivních úsudků {viz např. P. Gärdenfors [3], D. Gabbay et al. [4]. Ve slovenštině vyšla nedávno kniha J. Šefránka [5], v češtině je připravována publikace P. Jirků [6].) Vlastnosti dynamiky znalostí lze formulovat v termínech expanze, kontrakce a revize teorií. Když r(T, α) označuje revizi teorie T formulí α; e {T, α) označuje expanzi teorie T pomocí formule α, tak tzv. Gardenforsovy postuláty racionality [3] lze formulovat následovně: r(T, α) = Cn (r(T, α) ) α ∈ r(T, α) r(T, α) = e (T, α) Jestliže T ∪ {α} je bezesporná tak potom e (T, α) = r(T, α). 5. r (T, α) je sporná právě tehdy, když ¬ α ∈ Cn (∅). Jinými slovy, revize pomocí kontradikce je absurdní. 6. Jestliže Cn (α) = Cn ( β ), potom r(T, α) = r(T, β), tj. revize téže teorie pomocí logicky ekvivalentních formulí jsou stejné.
1. 2. 3. 4.
Tyto postuláty jsou společné pro většinu dobře známých systémů nemonotónní inference. Další dva postuláty, přestože se zdají být velmi přirozené, již nejsou splněny ani v těch nejznámějších systémech jako třeba v Reiterově logice defaultů [7]. Jejich formulace navíc závisí na struktuře užitého jazyka 7. r(T, α ∧ β) ⊆ e (r(T, α), β) 8. e (r(T, α), β) ⊆ r(T, α ∧ β) pokud ¬ β ∉ r (T, α) Ne všechny „přirozené“ vlastností ovšem mohou být zařazeny mezi postuláty racionality. Zde jsou příklady vlastností, které z dobrých důvodů nemohou být kandidáty na to být mezi obecnými axiomy pro systémy nemonotónní inference i když se na první pohled zdají být velmi intuitívními a přirozenými: Jestliže β ∈ T, potom β ∉ r (T, α) nebo ¬ β ∈ r (T, α). Jinými slovy, revize teorie T pomocí formule α obsahuje maximální konzistentní podmnožinu množiny T, která není v kontradikci s fomulí α. Jestliže T1 ⊆ T2, potom revize „menší“ teorie prostřednictvím formule α je rovněž částí revize „větší“ teorie, tj. r (T1, α) ⊆ r (T2, α).
Revize teorie T pomocí logicky silnější formule je částí revize téže teorie pomocí logicky slabší formule. (Pozn. Formuli α nazýváme logicky slabší než formuli β, když formule α→β ∈ Cn (∅). ) Nejznámějšími příklady teorií nemonotónní inference: jsou defaultové logiky (Reiter 1980), omezení (circumscription) (McCarthy 1969, Lifshitz 1984, Etherington 1985, Przymusinski 1988), autoepistemické logiky (Nute 1980, Delgrande 1986, Pollock 1986), kondicionální logiky (Stalnacker 1968, Adams 1975, Loui 1987), hierarchie dědičnosti (Roberts a Goldstein 1977, Bobrow a Winograd 1979, Hayes 1979, Touretzky 1984, Horty a Thomason 1989, Delgrande 1987) a další systémy. Vlastnosti racionálního usuzování, které jsme popisovali až dosud, jsou založeny na teoretických konceptech popisovaných výše. Aristotelés nás před více než dvěma tisíci roky naučil, že jedny výroky souvisejí s jinými, jsou důsledky jiných, dokonce, že celé množiny výrokl (teorie) soivisejí s jinými množinami výroků. Jsou dva způsoby, jak se dovědět něco o pravdivisti výroků a o korektnosti úsudků: evidence a rozum. Máme dát přednost evidenci nebo rozumu? Logika straní rozumu, ale jen do určité míry. Zdá se, že logické důkazy jsou redukovány na posloupnosti evidencí. Pro člověka to však má své meze. Vždy jsme schopni jen nepatrného počtu evidencí. Například iterované aplikace pravidel odvozování jsou ústupkem, který sice činíme ve prospěch rozumu (dlouhé důkazy rozhodně nejsou evidentní), ale vždy se ochotně vracíme k evidencím. V této souvislosti se naskýtá otázka, yda stejné meze má i stroj. Ať tak či onak, jako hledači důvodů a důsledků narážíme jednak na svá vlastní omezení, jednak na skutečnost, že svět se neustále mění. Logika odkázaná nám Aristotelem a v minulém století rozvíjená převážně v prostředímatematiky a zahleděná právě do základů matematiky, vyzdvihnuvší statickou stránku relace odvoditelnosti, se v současné době snaží postihnout i dynamiku usuzování, tj. nalézt racionální prostředky charakterizující změny epistemických stavů, jak jsme to viděli v předchozím odstavci. Jedním z centrálních pojmů, o které v logice jde, je pojem kontradikce, česky protiřečení. V tradičním statickém pohledu z kontradikce vyplývá cokoliv. Kontradikce je explozívní, platí princip ex contradictione sequitur quodlibet. Ne tak je tomu ale např. v běžném každodenním usuzování nebo při usuzování v měnícím se světě. Z různých podnětů, jako je třeba invaze počítačů do našeho života, se na pořed dostává otázka, co z logiky lze přenechat stroji (automatické dokazování. strojové učení, induktivní logické programy). Vznikají rozmanité kalkuly. Jak se v nich organizovat? Kdy je vhodné, racionální, použít ten, kdy jiný kalkulus a proč? Je proto vhodné zkoumat velmi obecné vlastnosti logických systémů, které nám umožní porozumět inferenčním postupům, tj. tomu, co vlastně děláme, když odvozujeme. Korektnost odvození či zachovávání pravdivosti je jistě příkladem takové důležité vlastnosti. Mnohé logické systémy se těší dalším vlastnostem. Deduktivní systémy oplývají mnoha z nich [14]. Patří sem např. perzistence – tvrzení zachovávají platnost i po přidání dalších formulí koherence - libovolná formule nemůže být pravdivá i nepravdivá v témže modelu determinovanost – v úplném modelu je pravdivostní hodnota formule určena jednoznačně
spolehlivost – pravdivostní hodnota formule v částečném modelu je zachována i v úplném modelu. Při jiných než deduktivních odvozeních na některé z takových „pěkných“ vlastností musíme rezignovat. Existence některých z nich je zas jinými vlastnostmi vynucena. Tak například je-li systém perzistentní a determinovaný, je i spolehlivý. Klade se však otázka, na které ze zmíněných vlastností můžeme rezignovat, abzuchom naše úsudky mohli stále ještě označit za racionální. Jaká že jsou tedy kritéria racionality? Něco jsme už naznačili, ale je třeba říci, že podobnými otázkami se zabývali velcí myslitelé již mnohem dříve, např. Bernard Bolzano. 2.6 Jak lidé provádějí úsudky Johnson-Laird v [9] tvrdí, že logika sama nestačí, mnoho logických důsledků je banálních a žádný zdravý člověk (kromě logiků) netouží takové důsledky odvozovat. Proto je zajímavým podnětem pro porozumění racionálnímu usuzování či racionálnímu argumentování i empirické studium toho, jak usuzují lidé v běžných situacích. V každodenním životě odvozujeme užitečné závěry a ta užite‡nost snad tkví v tom, že aktualizujeme či ``visualisujeme'' informaci obsaženou v premisách a úsporně vyjadžujeme něco, co v premisách není řečeno explicitně. Johnson--Laird tvrdí [10], že logická kompetence není věcí pouze formálních pravidel, ale spíše mentálních modelů. On je původem psycholog, takže přece jen malý návrat k~psychologickým aspektům usuzování? Zde ale jde spíše než o psychologii argumentace o~podněty pro formální logické zkoumání. Lidé‚ si vytvářejí modely situací popsaných premisami na z kladě jazykových a obecných znalostí. Mentálníˇ modely vyjadřují sémantickou informaci úsporn m způsobem a činí explicitním to, co v~premisách není vyjádřeno přímo. Je samozřejmě snazší dělat inference na základě jednoho modelu než více modelů. Chybné závěry jsou obvykle důsledky toho, že vezmeme v úvahu jen některé‚ modely ze všech možných. Ale to, jak jsme viděli, nemusí být nahlíženo vždy jen jako závada (srovnej např. preference na modelech). ``When people reason deductively, they start with some information -either evidence of the senses or a verbal description -- and they assess whether a given conclusion follows validly from this information. In real life there is often no given conclusion, and so they generate a conclusion for themselves. Logic alone is insufficient to characterize intelligent reasoning in this case, because any set of premises yield an infinite number of valid conclusions. Most of them are banal, such as the conjucntion of a premise with itself, and no sane individual, apart from a logician, would dream of drawing such conclusions. Hence, when individuals make a deduction in daily life, they must be guided by more than logic. They draw useful conclusions. The evidence suggests that they tend to maintain the information conveyed by the premises, to re-express it more parsimoniously, and to establish something not directly asserted in a premise. If nothing meets these constraints, they declare that there is no valid conclusion.'' Empirické‚ zkoumání toho, jak lidé‚ provádějí dedukce může vést k~novým podnětům pro rozvoj logických z kladů racionálního usuzování, může např. přivést k~zajímavým relacím na modelech, které‚ budou v pozadí nemonotónních operací konsekvence. Jaké‚
obecné vlastnosti by měla racionální relace důsledku splňovat je diskusní.Gabbay [4] se domnívá, že relace důsledku, která si bude činit nárok na ozačení racionálni, by měla být alespoň reflexivní, opatrně monotónní a tranzitivní. Už teď však lze předložit argumenty, které ukazují, že je to patrně příliš silný požadavek.
Literatura [1] Jirků, P. – J. Kelemen: Kapitoly z kognitivní vědy. Racionalita z hlediska chování, jazyka a logiky. FIS VŠE, Praha, 1996. [2] Hájek, P.: Gödelův důkaz existence Boha. V Jaroslav Malina – Jan Novotný (ed.) Kurt Gödel. Nakladatelství a vydavatelství Malina, Bno 1996. [3] Gärdenfors, P.: Knowledge in Flux. Modeling the Dynamics of Epistemic States. MIT Press, 1988. [4] Gabbay, D. – Hogger, C. J. – Robinson, J. A. (eds.): Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming., Vol 1-4. Clarendon Press, Oxford 1994. [5] Šefránek, J.: Inteligencia jako výpočet. Nakladatelství IRIS, Bratislava 2000. [6] Jirků, P.: Teorie racionáního usuzování. (in preparation). [7] Reiter, R.: A Logic for Default Reasoning. .Artificial Intelligence 13 (1980) 81132. [8] Josephson, J. R.: On the “Logical Form” of Abduction. Web file. [9] Johnon-Laird, P. N. – R. M. J. Byrne: Deduction. Essays in Cognitive Psychology. Lawrence Erlbaum Associates Ltd., Howe and London 1991. [10] Johnson-Laird, P. N.: Mental Models. Cambridge University Press 1983. [11] Chaitin, G. J.: The unknowable. Springer, Singapore 1999. [12] Jirků, P.: Possibile et impossibile. Horizonty vvědění. Scholé filosofia. 2000, 19-30. [13] Jirků, P.: How to understand negatives. Yearbook of Logic, FILOSOFIA, Praha 2001{v isku). [14] Kneale W. and M. Kneale: The Development of Logic. Clarendon Press, Oxford 1962. [15] Smullyan, R. M.: Gödel´s Incompleteness Theorems. Oxford University Press, New York - Oxford 1992.
