Ustav matematiky a deskriptivnı́ geometrie
Racioná lnı́ lomená funkce, rozklad na parciá lnı́ zlomky Studijnı́ materiá ly Pro listová nı́ dokumentem NEpouž ıv́ ejte koleč ko myš i nebo zvolte mož nost Full Screen. Brno 2012
RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Obsah 1. Racionální lomená funkce 1.1. Parciá lnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Typy rozkladů na parciá lnı́ zlomky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Postup rozkladu racioná lnı́ lomené funkce na parciá lnı́ zlomky . 1.3.1. Reálné jednonásobné koř eny jmenovatele . . . . . . . . 1.3.2. Reálné vícenásobné koř eny jmenovatele . . . . . . . . . . 1.3.3. Jednonásobné komplexně sdružené koř eny jmenovatele 1.3.4. Vı́cená sobné komplexně sdruž ené koř eny jmenovatele . . 1.4. Př ı́klad – Ryze lomená racioná lnı́ funkce . . . . . . . . . . . . . . Hledá nı́ koř enů jmenovatele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad jmenovatele na souč in . . . . . . . . . . . . . . . . . Typy parciá lnı́ch zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Př ı́klad – Neryze lomená racioná lnı́ funkce . . . . . . . . . . . . . Dě lenı́ mnohoč lenu mnohoč lenem . . . . . . . . . . . . . . . Hornerovo sché ma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad jmenovatele na souč in . . . . . . . . . . . . . . . . . Typy parciá lnı́ch zlomků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vý sledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Zá vě reč ná pozná mka k rozkladu na parciá lnı́ zlomky . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 4 5 6 8 15 22 29 37 43 50 61 64 67 70 76 78 80 81
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1. Racionální lomená funkce Funkci danou př edpisem 𝑅(𝑥) =
𝑃(𝑥) , 𝑄(𝑥)
kde P , Q jsou mnohoč leny a Q je navı́c nenulový mnohoč len, nazý vá me racionální (lomenou) funkcí. Rı́ká me, ž e funkce R je ryze lomená jestliž e st 𝑃 < st 𝑄 a neryze lomená jestliž e st 𝑃 ≥ st 𝑄. Např ı́klad 1. 𝑅 ∶ 𝑦 =
3𝑥 + 2 𝑥−2
2. 𝑅 ∶ 𝑦 =
2𝑥 5𝑥 + 7𝑥 + 𝑥 − 2
je neryze lomená racioná lnı́ funkce; je ryze lomená racioná lnı́ funkce.
Je-li R neryze lomená racioná lnı́ funkce, pak lze prové st dě lenı́ mnohoč lenu mnohoč lenem. Př i dě lenı́ 𝑃(𝑥) ∶ 𝑄(𝑥) dostaneme podı́l 𝑆(𝑥) a zbytek T(x) . Př itom platı́ st 𝑇 < st 𝑄 (dě lı́me prostě tak dlouho, dokud to jde), tedy 𝑅(𝑥) =
𝑃(𝑥) 𝑇(𝑥) = 𝑆(𝑥) + . 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)
(1)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
U mnohoč lenů (v př edchozı́ kapitole) hrá l dů lež itou roli rozklad na souč in (lineá rnı́ch č i kvadratický ch č initelů ). Podobně u racioná lnı́ch lomený ch funkcı́ je v ř adě aplikacı́ dů lež ité ně co podobné ho. Na rozdı́l od mnohoč lenů , kde jde o rozklad na souč in, pů jde zde o rozklad na součet jednoduš šı́ch racioná lnı́ch lomený ch funkcı́, které nazý vá me parciální zlomky. Vlastně jde o opač ný postup, který m je sč ı́tá nı́ zlomků po př evodu na společ né ho jmenovatele.
1.1. Parciální zlomky jsou speciá lnı́ racioná lnı́ lomené funkce. Rozliš ujeme dva typy parciá lnı́ch zlomků : 𝐴 (𝑥 − 𝛼)
kde 𝑘 je př irozené č ı́slo, 𝛼, 𝐴 jsou reá lná č ı́sla
a 𝑀𝑥 + 𝑁 (𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞)
kde 𝑘 je př irozené č ı́slo, 𝑀, 𝑁, 𝑝, 𝑞 jsou reá lná č ı́sla a navı́c 𝑝 − 4𝑞 < 0 .
U prvnı́ho typu je ve jmenovateli ně jaká mocnina (tř eba i prvnı́) lineá rnı́ho dvojč lenu tvaru 𝑥 − 𝛼 a v č itateli je konstanta. U druhé ho typu je jmenovateli ně jaká mocnina (tř eba i prvnı́) kvadratické ho trojč lenu tvaru 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 majı́cı́ho komplexnı́ koř eny (zá porný diskriminant) a v č itateli je lineá rnı́ dvojč len (nebo konstanta, pokud je 𝑀 rovno nule). Parciální zlomky jsou vždy ryze lomené. A protož e souč et ryze lomený ch racioná lnı́ch funkcı́ (parciá lnı́ch zlomků ) nemů ž e bý t neryze lomená racioná lnı́ funkce, mů ž eme na parciá lnı́ zlomky rozklá dat pouze ryzı́ racioná lnı́ funkce. V př ı́padě neryzı́ racioná lnı́ funkce ji nejprve dě lenı́m př evedeme na tvar (1) a rozklá dá me funkci (( )) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.2. Typy rozkladů na parciální zlomky Nynı́ si uká ž eme, jak lze napsat v konkré tnı́ch př ı́padech rozklady ryze lomené racioná lnı́ funkce 𝑅(𝑥) =
𝑃(𝑥) . 𝑄(𝑥)
Reálný jednonásobný kořen jmenovatele 𝑄(𝑥), pak:
𝑅(𝑥) =
kde a je koř en jmenovatele dané racioná lnı́ lomené funkce, kořenový činitel a A je č ı́slo (parametr), který hledá me.
𝐴 𝑥−𝑎 x–a
(x mínus kořen) je př ı́sluš ný
Reálný 𝑛 násobný kořen jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝑅(𝑥) =
𝐴 𝐵 𝐶 + +…+ 𝑥 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑎)
+
kde a je ná sobný koř en jmenovatele (s ná sobnostı́ 𝑛) dané racioná lnı́ lomené funkce, př ı́sluš ný kořenový činitel a A , B , C , D jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.
𝐷 (𝑥 − 𝑎) x–a
je
Dvojice jednonásobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝑅(𝑥) = kde a , b , c jsou koefecienty kvadratické ho dvojč lenu takové , ž e A , B jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.
𝑎≠0
a
𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎⋅𝑥 +𝑏⋅𝑥+𝑐
𝑏 − 4𝑎𝑐 < 0 ,
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Dvojice 𝑛 násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele 𝑄(𝑥), pak: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 𝐸𝑥 + 𝐹 𝑅(𝑥) = + +…+ 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐 (𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐) (𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐) kde a , b , c jsou koefecienty kvadratické ho dvojč lenu takové , ž e A , B , C , D jsou č ı́sla (parametry), která hledá me.
𝑎≠0
+
𝐺𝑥 + 𝐻 (𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑥 + 𝑐)
a
𝑏 − 4𝑎𝑐 < 0 ,
1.3. Postup rozkladu racionální lomené funkce na parciální zlomky 1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Př itom využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ vlastnost: •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe icienty 𝑅 (𝑥) = a 𝑥 + 𝑎
𝑥
+…+𝑎 𝑥+a ,
𝑥 ∈ℝ,
kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a , 𝑎 , …, 𝑎 , a jsou celá č ı́sla, (a ≠ 0, a ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe icient 𝑎 u promě nné 𝑥 – která tam není!) Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe icienty
(kde p, q platı́, ž e: p Tedy:
jsou nesoudělná celá č ı́sla ⇒ pokrátit!) mnohoč lenu dě lı́ bezezbytku koe icient a a q dě lı́ a . 𝛼=
𝑝|a 𝑞|a
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Počet parametrů = stupeň jmenovatele! Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Součin kořenových činitelů:
𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů:
𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1) (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1 Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků: 𝑅(𝑥) =
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů:
𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků: 𝑅(𝑥) =
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1
| 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
Určení parametrů: (𝑥) + 2(𝑥) − 1 = 𝐴 ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐵 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐶 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥=0 ∶
(0) + 2 ⋅ (0) − 1 = 𝐴 ⋅ [(0) + 1] ⋅ [(0) − 1] + 0 + 0
⟹ −1 = −𝐴 ⟹
𝐴=1
𝑥=1 ∶
(1) + 2 ⋅ (1) − 1 = 0 + 0 + 𝐶 ⋅ (1) ⋅ [(1) + 1]
⟹ 2 = 2𝐶 ⟹
𝐶=1
⟹ −2 = 2𝐵 ⟹
𝐵 = −1
𝑥 = −1∶ (−1) + 2 ⋅ (−1) − 1 = 0 + 𝐵 ⋅ (−1) ⋅ [(−1) − 1] + 0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné jednonásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 − 1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů:
𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků: 𝑅(𝑥) =
Výsledek:
𝑅(𝑥) =
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + 2(𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥 𝑥+1 𝑥−1
| 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 1)
𝑥 + 2𝑥 − 1 1 −1 1 = + + 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥+1 𝑥−1
Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e vš echny tř i parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Součin kořenových činitelů:
𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1) (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥 Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:
𝑅(𝑥) =
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
ANO, je ryzí.
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
𝑅(𝑥) =
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥
| 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
(𝑥) + (𝑥) − 1 = 𝐴 ⋅ (𝑥) + 𝐵 ⋅ (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] + 𝐶 ⋅ [(𝑥) − 1]
Určení parametrů: 𝑥 = 0∶
(0) + (0) − 1 = 0 + 0 + 𝐶 ⋅ [(0) − 1]
⟹ −1 = −𝐶
⟹
𝐶=1
𝑥 = 1∶
(1) + (1) − 1 = 𝐴 ⋅ (1) + 0 + 0
⟹
1=𝐴
⟹
𝐴=1
⟹
1=1+𝐵⟹
𝐵=0
𝑥
∶
1=𝐴+𝐵
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Reálné vícenásobné kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci:
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥−1 . 𝑥 −𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
Výsledek:
𝑅(𝑥) =
𝑅(𝑥) =
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) − 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥) ⋅ [(𝑥) − 1] 𝑥−1 𝑥 𝑥
| 𝑥 ⋅ (𝑥 − 1)
𝑥 +𝑥−1 1 0 1 1 1 = + + = + 𝑥 −𝑥 𝑥−1 𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑥
Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Součin kořenových činitelů:
𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.
Protož e 𝑥 ≥ 0 (pro kaž dé reá lné č ı́slo x ), musı́ platit 𝑥 + 1 ≥ 1 . Tedy a proto neexistuje reá lný koř en (kvadratické ho dvojč lenu) mnohoč lenu v zá vorce.
𝑥 +1 ≠ 0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + | 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥 𝑥 +1 Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:
𝑅(𝑥) =
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
𝑅(𝑥) =
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥 𝑥 +1
|
𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
(𝑥) + (𝑥) + 1 = 𝐴 ⋅ [(𝑥) + 1] + [𝐵 ⋅ (𝑥) + 𝐶] ⋅ (𝑥)
Určení parametrů: 𝑥 = 0∶
(0) + (0) + 1 = 𝐴 ⋅ [(0) + 1] + 0
𝑥
∶
1=𝐴+𝐵
𝑥
∶
1=𝐶
⟹ 1=𝐴
⟹
𝐴=1
⟹ 1=1+𝐵⟹
𝐵=0
⟹
𝐶=1
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Jednonásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 +𝑥+1 . 𝑥 +𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (2) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (3).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Součin kořenových činitelů:
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
Výsledek:
𝑅(𝑥) =
𝑅(𝑥) =
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́. Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
(𝑥) + (𝑥) + 1 𝐴 𝐵⋅𝑥+𝐶 = + (𝑥) ⋅ [(𝑥) + 1] 𝑥 𝑥 +1
|
𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
𝑥 +𝑥+1 1 0⋅𝑥+1 1 1 = + = + 𝑥 +𝑥 𝑥 𝑥 +1 𝑥 𝑥 +1
Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (4) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (7).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (4) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (7).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Součin kořenových činitelů
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.
Protož e 𝑥 ≥ 0 (pro kaž dé reá lné č ı́slo x ), musı́ platit 𝑥 + 1 ≥ 1 . Tedy a proto neexistuje reá lný koř en (kvadratické ho dvojč lenu) mnohoč lenu v zá vorce.
𝑥 +1 ≠ 0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (4) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (7).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 𝐴 + + + + | 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1) Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů .
Typy parciálních zlomků 𝑅(𝑥) =
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci ANO, je ryzí.
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
Stupeň č itatele (4) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (7).
Součin kořenových činitelů Typy parciálních zlomků 𝑅(𝑥) =
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 + + + + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1)
|
𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
Určení parametrů: 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 = = 𝐴 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) + 𝐵 ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) + 𝐶 ⋅ (𝑥 + 1) + (𝐷 ⋅ 𝑥 + 𝐸) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1) + (𝐹 ⋅ 𝑥 + 𝐺) ⋅ 𝑥 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 = = 𝐴 ⋅ (𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 ) + 𝐵 ⋅ (𝑥 + 2𝑥 + 𝑥) + 𝐶 ⋅ (𝑥 + 2𝑥 + 1) + 𝐷 ⋅ (𝑥 + 𝑥 ) + 𝐸 ⋅ (𝑥 + 𝑥 ) + 𝐹 ⋅ 𝑥 + 𝐺 ⋅ 𝑥
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
𝑥 = 0∶
1=𝐶
⟹
𝐶=1
𝑥
∶
0=𝐵
⟹
𝐵=0
𝑥
∶
2 = 𝐴 + 2𝐶
⟹ 2=𝐴+2
⟹
𝐴=0
𝑥
∶
0=𝐵+𝐸
⟹ 0=0+𝐸
⟹
𝐸=0
𝑥
∶
0=𝐴+𝐷
⟹ 0=0+𝐷
⟹
𝐷=0
𝑥
∶
1 = 2𝐴 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐹
⟹ 1=0+1+0+𝐹⟹
𝐹=0
𝑥
∶
1 = 2𝐵 + 𝐸 + 𝐺
, , ,
⟹ 1=0+0+𝐺
⟹
𝐺=1
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vícenásobné komplexně sdružené kořeny jmenovatele Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 . 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (4) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (7).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Součin kořenových činitelů
𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků 𝑅(𝑥) =
Výsledek
𝑅(𝑥) =
Koř eny zá vorky jsou komplexnı́.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷⋅𝑥+𝐸 𝐹⋅𝑥+𝐺 + + + + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1)
|
𝑥 ⋅ (𝑥 + 1)
0 0⋅𝑥+1 𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 1 0 1 0⋅𝑥+0 1 1 + = + + + = + 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 +1 (𝑥 + 1) 𝑥 (𝑥 + 1)
Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e oba dva vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (3) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. ANO, je ryzí.
Stupeň č itatele (3) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (4).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Př itom využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ vlastnost: Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe icienty 𝑅 (𝑥) = a 𝑥 + 𝑎
𝑥
+…+𝑎 𝑥+a ,
𝑥 ∈ℝ,
kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a , 𝑎 , …, 𝑎 , a jsou celá č ı́sla, (a ≠ 0, a ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe icient 𝑎 u promě nné 𝑥 – která tam není!) Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe icienty
(kde p, q platı́, ž e: p Tedy:
jsou nesoudělná celá č ı́sla ⇒ pokrátit!) mnohoč lenu dě lı́ bezezbytku koe icient a a q dě lı́ a . 𝛼=
𝑝|a 𝑞|a
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Hledáme kořeny mnohoč lenu
𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑥 6
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS
𝑥 1
1
1
HS
1
0
−7
−6
1 −1
1 1 𝑎
1 −1 𝑏
−6 −6 𝑐
−12 0
𝑥
;
=
𝑥 −1
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥 −7
𝑥 1
𝑝|6 1 ; 2 ; 3; 6 ⟹ k-n-k = ± 𝑞|1 1
𝑥 6
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6
1 ⋅ (1) + (−1)1 ⋅ (0) + (−7)1 ⋅ (−7) + (1)1 ⋅ (−6) + (6) 0 −7 −6 0 𝑃(1) = 0 ⇒ 𝑥 = 1 je koř en
Zkouš ı́me ±1; ±2; ±3; ±6 ≠ 0 ⇒ (prvnı́) koř en 𝑥 = 1 je jednonásobný ⇒ 𝑥 = −1 je (druhý ) koř en: 𝑥 − 𝑥 − 6 = 0 ř eš ı́me rozkladem, diskriminantem, Hornerový m s.
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−1) ± (−1) − 4 ⋅ (1) ⋅ (−6) 1 ± √1 + 24 1 ± √25 1±5 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (1) 2 2 2 𝑥 =
Rozklad: 𝑥
=3
𝑥 =
= −2
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 7𝑥 − 6)
𝑥
;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ [𝑥 − (−1)] ⋅ (𝑥 − 𝑥 − 6)
𝑥
; ; ;
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (𝑥 + 2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
ANO, je ryzí.
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
Stupeň č itatele (3) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (4).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
𝑥 + 14𝑥 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3 Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů .
Typy parciálních zlomků:
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
ANO, je ryzí.
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
Stupeň č itatele (3) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (4).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3) Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
𝑥 + 14𝑥 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3
Typy parciálních zlomků:
Určení parametrů po vyná sobenı́ společ ný m jmenovatelem
(dosadı́me postupně koř eny):
𝑥 + 14𝑥 − 3𝑥 − 24 = = 𝐴⋅(𝑥+1)⋅(𝑥+2)⋅(𝑥−3)+𝐵⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+2)⋅(𝑥−3)+𝐶⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+1)⋅(𝑥−3)+𝐷⋅(𝑥−1)⋅(𝑥+1)⋅(𝑥+2) 𝑥=1 ∶
( )
⋅( )
⋅( )
⋅[( )
𝑥 = −1∶
(
)
⋅(
)
⋅(
)
0
𝑥 = −2∶
(
)
⋅(
)
⋅(
)
0 0
𝑥=3 ∶
( )
⋅( )
⋅( )
]⋅[( )
⋅[(
0 0 0
) ⋅[(
]⋅[( )
]⋅[( )
⋅[( )
)
]⋅[(
] 0 0 0 ]⋅[(
)
]⋅[( )
)
]⋅[( ]⋅[( )
] 0 0 )
] 0 ]
⟹ −12 = −12 𝐴 ⟹
𝐴=1
⟹ −8 = 8 𝐵
⟹
𝐵 = −1
⟹ 30 = −15 𝐶 ⟹
𝐶 = −2
⟹ 120 = 40𝐷
𝐷=3
⟹
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Příklad 1. Rozložte na parciální zlomky racioná lnı́ lomenou funkci
ANO, je ryzí.
𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14 𝑥 − 3 𝑥 − 24 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6
Stupeň č itatele (3) je menš ı́ než stupeň jmenovatele (4).
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
𝑥 + 14𝑥 − 3𝑥 − 24 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3
do kterých dosadíme vypočtené parametry:
𝐴=1
;
𝐵 = −1
;
𝐶 = −2
;
𝐷=3
Výsledek: 𝑅(𝑥) =
𝑥 + 14𝑥 − 3𝑥 − 24 1 −1 −2 3 = + + + 𝑥 − 𝑥 − 7𝑥 + 𝑥 + 6 𝑥−1 𝑥+1 𝑥+2 𝑥−3
Sprá vnost vý poč tu mů ž eme ově řit tak, ž e vš echny č tyř i vý sledné parciá lnı́ zlomky seč teme (samozř ejmě je př i sč ı́tá nı́ př evedeme na společ né ho jmenovatele) a musı́me dostat opě t zadanou funkci 𝑅(𝑥) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem. NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it: 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) ,
kde
𝑄(𝑥) =
zbytek po dě lenı́ . 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
Proto podě lı́me č itatel jmenovatelem.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. Pokud NENÍ ryzí (v č itateli „nahoře“ zadané racioná lnı́ lomené funkce je mnohoč len stejné ho č i vyš šı́ho ř ádu jako má mnohoč len jmenovatele „dole“), provedeme zlomkovou č arou naznač ené dě lenı́. Př ı́padný zbytek po tomto dě lenı́ je již ryzí racioná lnı́ lomená funkce. Pokud JE ryzí, pokrač ujeme druhý m bodem. NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it: 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde
𝑄(𝑥) =
zbytek po dě lenı́ . 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
Proto podě lı́me č itatel jmenovatelem.
(2 𝑥 −7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 −23 𝑥+ 28) ∶ (2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10) = 𝑥 − 1 + −(2 𝑥 −7 𝑥 + 𝑥 +10 𝑥 )
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
−2 𝑥 + 10 𝑥 −23 𝑥+ 28 −(−2 𝑥 + 7 𝑥 − 𝑥−10) 3 𝑥 −22 𝑥+ 38 Nebo jinak: Tedy
𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , 𝑅(𝑥) =
kde
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 1
a
𝑄(𝑥) =
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 . 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 =𝑥 −1+ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci
𝑄(𝑥) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
1. Ověříme, zda zadaná racionální lomená funkce je ryzí. NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it: 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 1 a 𝑄(𝑥) = . 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 Tedy 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 =𝑥 −1+ 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci
𝑄(𝑥) .
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. Koř eny hledá me pouze reálné. Komplexně sdruž ené nevyč ı́slujeme, ale nahradı́me je kvadratický m dvojč lenem. Urč ı́me de iniční obor na který majı́ vliv pouze reá lné koř eny. Př itom využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ vlastnost: Celoč ı́selný koř en mnohoč lenu s celoč ı́selný mi koe icienty 𝑅 (𝑥) = a 𝑥 + 𝑎
𝑥
+…+𝑎 𝑥+a ,
𝑥 ∈ℝ,
kde n je př irozené č ı́slo (1 ≤ 𝑛 ∈ ℕ), a , 𝑎 , …, 𝑎 , a jsou celá č ı́sla, (a ≠ 0, a ≠ 0) musı́ bezezbytku dě lit (bý t dě litelem) jeho absolutnı́ č len (koe icient 𝑎 u promě nné 𝑥 – která tam není!) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Pro racioná lnı́ koř en 𝛼 = s celoč ı́selný mi koe icienty
(kde p, q platı́, ž e: p Tedy:
Hledáme kořeny mnohoč lenu
jsou nesoudělná celá č ı́sla ⇒ pokrátit!) mnohoč lenu dě lı́ bezezbytku koe icient a a q dě lı́ a . 𝛼=
𝑝|a 𝑞|a
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 .
V naš em př ı́padě 𝛼=
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2
a kandidá ty na koř eny jsou potom k-n-k = ±1 ;
±2 ;
±5 ;
±10 ;
1 ± ; 2
±
2 = ±1 2
±
5 ; 2
±
10 = ±5 2
Zlomky, které jsou tvoř eny soudě lný mi č ı́sly např ed zkrá tı́me. Který ze vš ech uvedený ch kandidá tů na koř en je skuteč ně koř enem, ově řı́me Hornerový m sché matem. Z př edchozı́ho vı́me (dů sledky zá kladnı́ vě ty algebry), ž e mů ž eme mı́t buď jeden reá lný koř en nebo tř i reá lné koř eny, protož e stupeň rozklá dané ho mnohoč lenu je tř i.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS 1 −1
𝑥 2 2 2 𝑎
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 . 𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS 1 −1
𝑥 2 2 2 𝑎
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 . 𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS 1 −1
𝑥 2 2 2 𝑎
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 . 𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS 1 −1
𝑥 2 2 2 𝑎
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 . 𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu
HS 1 −1
𝑥 2 2 2 𝑎
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 . 𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2 zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu 𝑥 2
HS 1 −1
2 2 𝑎
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 .
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
Další kořeny hledá me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sché ma, …
𝑥
=
;
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± (−9) − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4
𝑥 =
9+1 10 5 = = 4 4 2
𝑥 =
9−1 8 = =2 4 4
Rozklad mnohoč lenu 𝑥 = −1∶ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − 𝑥 + 5)] 𝑥
;
∶
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu 𝑥 2
HS 1 −1
2 2 𝑎
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 .
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
Další kořeny hledá me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sché ma, …
𝑥
=
;
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± (−9) − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4
𝑥 =
9+1 10 5 = = 4 4 2
𝑥 =
9−1 8 = =2 4 4
Rozklad mnohoč lenu 𝑥 = −1∶ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − 𝑥 + 5)] 𝑥
;
∶
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Najděte kořeny mnohoč lenu 𝑥 2
HS 1 −1
2 2 𝑎
𝑝 | 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 =± 𝑞|2 1; 2
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 .
𝑥 −7 1 ⋅ (2) + (−7) −5 −9 𝑏
𝑥 1 1 ⋅ (−5) + (1) −4 10 𝑐
𝑥 10 1 ⋅ (−4) + (10) 6 0
zkouš ı́me: ±1, ±2, ±5, ±10, ± , ± 𝑃(1) = 6 ≠ 0 ⇒ nenı́ koř en 𝑥 = −1 je koř en
Další kořeny hledá me jakoukoliv metodou: rozklad, diskriminant, Hornerovo sché ma, …
𝑥
=
;
−𝑏 ± √𝑏 − 4 𝑎 𝑐 −(−9) ± (−9) − 4 ⋅ (2) ⋅ (10) 9 ± √81 − 80 9 ± √1 9±1 = = = = 2𝑎 2 ⋅ (2) 4 4 4
𝑥 =
9+1 10 5 = = 4 4 2
𝑥 =
9−1 8 = =2 4 4
Rozklad mnohoč lenu 𝑥 = −1∶ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = [𝑥 − (−1)] ⋅ (2 𝑥 − 9 𝑥 + 10) = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − 𝑥 + 5)] 𝑥
;
∶
2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ [2 ⋅ (𝑥 − ) ⋅ (𝑥 − 2)] = (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) ⋅ (𝑥 − 2) •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it:
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 =𝑥 −1+ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry.
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 Př i urč ová nı́ parametrů využ ıv́ á me ná sledujı́cı́ dvě metody (př ı́padně je vhodně kombinujeme) poté , co rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (abychom se zbavili zlomků ) a tı́m dostaneme rovnost dvou mnohoč lenů . Typy parciálních zlomků:
Dosazujeme za x vhodná čísla, nejlé pe kořeny jmenovatele. Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné funkč nı́ hodnoty pro vš echna
x.
Porovnáme koeficienty u odpovídajících si mocnin proměnné x . Protož e majı́-li se dva mnohoč leny rovnat, musejı́ mı́t stejné př ı́sluš né koe icienty.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it:
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 =𝑥 −1+ 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
Určení parametrů:
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐵 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐶 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2)
𝑥 = −1
⟹
3⋅(−1) −22⋅(−1)+38 = 𝐴⋅[(−1)−2]⋅[2⋅(−1)−5]+0+0 ⟹ 63 = 21𝐴
𝑥=2
⟹
3⋅(2) −22⋅(2)+38 = 0+𝐵⋅[(2)+1]⋅[2⋅(2)−5]+0 ⟹ 6 = −3𝐵
⟹
⟹
𝐴=3 𝐵 = −2
𝑥 = 2,5 ⟹ 3 ⋅ (2,5) − 22 ⋅ (2,5) + 38 = 0 + 0 + 𝐶 ⋅ [(2,5) + 1] ⋅ [(2,5) − 2] ⟹ 1,75 = 1,75𝐶 ⟹ 𝐶 = 1 A po dosazenı́ •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Př. 2. Rozložte na parc. zlomky
rac. lomenou funkci
𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10
NE, není ryzí. Stupeň č itatele (5) je vě tš ı́ než stupeň jmenovatele (3). Zadaná funkce se dá rozlož it: 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝑅(𝑥) = 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) , kde 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 1 a 𝑄(𝑥) = . 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 Tedy 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 =𝑥 −1+ 𝑅(𝑥) = 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 Na parciá lnı́ zlomky budeme rozklá dat racioná lnı́ lomenou funkci
𝑄(𝑥) .
2. Mnohočlen ve jmenovateli rozložíme na součin. Buď vytý ká nı́m př ed zá vorku, nebo pro součin kořenových činitelů najdeme vš echny (vč etně jejich ná sobnosti) koř eny, např. Hornerový m sché matem. 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 = (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2𝑥 − 5) 3. Stanovíme typy parciálních zlomků a určíme parametry. Typy parciálních zlomků:
Počet parametrů = stupeň jmenovatele!
3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐴 𝐵 𝐶 = + + | (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5
Výsledek: 𝑅(𝑥) =
2 𝑥 − 7 𝑥 − 𝑥 + 20 𝑥 − 23 𝑥 + 28 3 −2 1 =𝑥 −1+ + + 2𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.6. Závěrečná poznámka k rozkladu na parciální zlomky V př ı́kladu, kdy jsme mě li rozlož it NEryze lomenou racioná lnı́ funkci, jsme jako odhadovaný rozklad na parciá lnı́ zlomky uvedli 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐵 𝐶 𝐴 + + = 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5 kde tř etı́ parciá lnı́ zlomek má ve jmenovateli lineá rnı́ dvojč len 2 𝑥 − 5 . Tedy tř etı́ koř en je 𝑥 = . Př itom v ú vodu jsme ř ı́kali, ž e parciá lnı́ zlomek pro reá lný koř en jmenovatele mů ž e mı́t pouze tvar 𝐴 (𝑥 − 𝛼) Nemě li bychom odhadovaný rozklad tedy psá t 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐴∗ 𝐵∗ 𝐶∗ = + + 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 +1 𝑥 −2 𝑥−
?
(2)
Urč eme tento „ohvězdičkovaný“ rozklad. Rozlož ı́me jmenovatele na souč in jeho koř enový ch č initelů a odhadneme parciá lnı́ zlomky takto upravené ho zlomku. Potom (zná mý m způ sobem) urč ı́me nezná mé parametry. • Nejprve obě dvě strany rovnice vyná sobı́me společ ný m jmenovatelem (odstranı́me zlomky). • Pak budeme postupně za
x
dosazovat hodnoty jednotlivý ch koř enů .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Rozlož ı́me jmenovatele na souč in jeho koř enový ch č initelů 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 = 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 − Odhadneme parciá lnı́ zlomky 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 −
=
𝐴∗ 𝐵∗ 𝐶∗ + + 𝑥 +1 𝑥 −2 𝑥−
Vyná sobı́me obě strany rovnice č lenem
Určíme neznámé parametry:
2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ 𝑥 −
(nejmenš ı́m společ ný m jmenovatelem) 5 5 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 − ) + 𝐵∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − ) + 𝐶 ∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) 2 2 a upravı́me: 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 = 𝐴∗ ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐵∗ ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (2 𝑥 − 5) + 𝐶 ∗ ⋅ 2 ⋅ (𝑥 + 1) ⋅ (𝑥 − 2) Nynı́ dosadı́me za 𝑥 = −1∶ 𝑥 =2 ∶ 𝑥=0 ∶
⋅(
)
⋅(
x
hodnoty celoč ı́selný ch koř enů a např ı́klad č ı́slo NULA. ∗ ⋅[(
)
⋅( )
⋅( )
⋅( )
⋅( )
0
)
∗ ⋅[( ∗ ⋅[( ∗
)
]⋅[ ⋅( )
)
]⋅[ ⋅( )
]⋅[ ⋅( ) ∗
∗
⟹ 63 = 21 𝐴∗ ⟹ 𝐴∗ = 3 ⟹ 6 = −3 𝐵∗ ⟹ 𝐵∗ = −2
] 0 0 ] 0 ∗ ⋅[(
] ,
⟹
)
]⋅[ ⋅( ) ⋅( )
] ⋅(
∗⋅
⋅[( )
)
∗
]⋅[( )
]
⟹ −2 = −4 𝐶 ∗ ⟹ 𝐶 ∗ =
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Vý sledný rozklad je 3 𝑥 − 22 𝑥 + 38 𝐴∗ 𝐵∗ 3 −2 𝐶∗ = + + = + + 2 𝑥 − 7 𝑥 + 𝑥 + 10 𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑥 − 𝑥 +1 𝑥 −2 𝑥− a po ú pravě 3 −2 + + 𝑥 +1 𝑥 −2 𝑥−
=
3 −2 1 + + 𝑥 +1 𝑥 −2 2 𝑥−
=
−2 1 3 + + 𝑥 + 1 𝑥 − 2 2𝑥 − 5
Vidı́me, ž e ná m vyš el stejný rozklad zlomku 𝑄(𝑥) jako př edtı́m, jenom jinak zapsaný. To ná s opravň uje odhadovat parciá lnı́ zlomky i ve tvaru 𝐴 (𝛽𝑥 − 𝛼)
nebo
𝑀𝑥 + 𝑁 , (𝛽𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞)
kde 𝛽 ≠ 0 .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Použitá literatura ̌ ́ , P. Matematika I. Brno : Vysoká š kola Karla Engliš e, a. s., Brno. 2010, 63 stran. [1] K ISBN 978–80–86710–25–9 ́ , P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Ostrava : Vysoká š kola [2] K , J., S bá ň ská – Technická univerzita Ostrava, 2006, 351 s. ISBN 80–248–1192–8. [on line] ⟨http://homel.vsb.cz/~s1a64/cd/pdf/dp/dp_obr.pdf⟩ [3] R ,́ R. Úvod do vyšší matematiky. Praha : Stá tnı́ země dě lské nakladatelstvı́, Praha. 1968, vydá nı́ tř etı́, rozš ı́řené . 518 stran.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
