Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung. The Quiver of a Connected Path Algebra

Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 Desember 2016

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung The Quiver of a Connected Path Algebra Vika Yugi Kurniawan Program Studi Matematika FMIPA UNS

ABSTRACT A directed graph can be viewed as a 4-tuple 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, t) where 𝑄0 and 𝑄1 are finite sets of vertices and arrows respectively, and 𝑠, 𝑡 are two maps from 𝑄1 to 𝑄0 . A directed graph is often called a quiver. For a quiver 𝑄 and a field 𝐾, we can define a 𝐾algebra with basis the set of all paths in 𝑄. This 𝐾-algebra is called path algebra 𝐾𝑄. In this paper, we study the properties of a path algebra over a field 𝐾. These properties are used to show interplay betwen a connected path algebra and its quiver. In the end of discussion, we show that the path algebra KQ is connected if and only if Q is a connected quiver. Keywords: Idempotent, Indecomposable, Path Algebra, Primitive orthogonal.

ABSTRAK Graf berarah dapat dipandang sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari dua himpunan serta dua pemetaan dan disebut sebagai quiver 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡). Untuk sebarang quiver 𝑄 dan lapangan 𝐾, dapat didefinisikan suatu 𝐾-aljabar yang disebut dengan aljabar lintasan 𝐾𝑄 yang memiliki basis berupa himpunan semua lintasan yang ada pada quiver 𝑄. Pada makalah ini, dipelajari sifat-sifat dari suatu aljabar lintasan atas lapangan 𝐾. Selanjutnya sifat-sifat tersebut digunakan untuk menunjukkan keterkaitan antara aljabar lintasan terhubung dengan quivernya. Diakhir pembahasan ditunjukan bahwa suatu aljabar lintasan 𝐾𝑄 dari suatu quiver 𝑄 merupakan aljabar terhubung jika dan hanya jika 𝑄 merupakan quiver terhubung Kata Kunci : Aljabar lintasan, Idempoten, Indekomposabel, Ortogonal primitif.

Banyak persoalan akan lebih jelas untuk

PENDAHULUAN dari

difahami apabila direpresentasikan dalam

matematika diskrit yang banyak digunakan

bentuk graf. Konsep graf karya Euler dalam

sebagai alat bantu untuk menggambarkan

menyelesaikan

atau menyatakan suatu persoalan agar lebih

Konigsberg pada tahun 1735 merupakan

mudah

awal dari lahirnya teori graf. Meskipun

Teori

graf

dimengerti

adalah

dan

bagian

diselesaikan.

masalah

Coresponding Author : [email protected] (phone: +62-856-2528-707) 318

Jembatan


ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

umurnya relatif muda, teori graf telah

bermanfaat untuk mempelajari hal-hal yang

berkembang sangat pesat akhir-akhir ini,

berkaitan dengan lintasan dari suatu graf

baik dalam bidang pengembangan teori

berarah atau quiver. Salah satunya pada

maupun aplikasi di berbagai bidang.

makalah Redrigues dan Neubaeur (2011)

Graf

secara

umum

merupakan

yang

memberikan

obyek kombinatorial yang terdiri dari garis-

secara

garis

digunakan

(edges)

dan

titik-titik

(vertex).

umum

kesimpulan

aljabar

untuk

bahwa

lintasan

dapat

mengkonstrusi

suatu

Apabila setiap garis dari graf memiliki

pembangun melintang dari graf multi-

orientasi arah, maka graf tersebut disebut

relasional

sebagai graf berarah. Dalam beberapa

tranversal

literatur, graf berarah dapat dipandang

perkembangan

sebagai pasangan 4-tupel yang terdiri dari

lintasan ini cukup pesat sekali, antara lain

dua himpunan serta dua pemetaan dan

yang ditulis oleh Abrams dan Kanuni

disebut sebagai quiver 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡).

(2013), Alahmadi dan Alasulami (2014),

Himpunan

adalah

Ara dan Cortinas (2013), Hazrat (2013),

himpunan titik 𝑄0 dan himpunan panah 𝑄1.

Ruiz dan Tomforde (2013), dan Tomforde

Sedangkan pemetaan 𝑠 dan 𝑡 adalah

(2011).

yang

pemetaan

dari

himpunan

titik,

dimaksud

himpunan yaitu

panah

(a

multi-relational engine). kajian

graph

Karena tentang

itu aljabar

Pada makalah ini, dipelajari sifat-

ke sifat

𝑠, 𝑡 ∶ 𝑄1 → 𝑄0 ,

dari

suatu

alabar

lintasan

atas

dengan 𝑠(𝛼) ∈ 𝑄0 disebut sebagai sumber

lapangan. Selajutnya sifat-sifat tersebut

dari panah 𝛼 ∈ 𝑄1 dan 𝑡(𝛼) ∈ 𝑄0 disebut

digunakan untuk menunjukkan keterkaitan

sebagai target dari panah 𝛼 ∈ 𝑄1. Barisan

antara quiver terhadap keterhubungan dari

panah-panah pada quiver 𝑄 disebut sebagai

aljabar lintasannya. Penulisan makalah ini

lintasan. Dengan mendefinisikan suatu

bersifat studi kepustakaan, dimana penulis

operasi perkalian pada himpunan lintasan,

menghimpun hasil-hasil penelitian dari

maka himpunan semua lintasan pada quiver

berbagai

membentuk struktur semigrup. Selanjutnya

menyajikannya kembali secara runtut dan

untuk sebarang quiver 𝑄 dan lapangan 𝐾

disertai contoh-contoh supaya pembaca

dapat didefinisikan suatu K-aljabar yang

lebih mudah dalam memahami konsep

disebut dengan aljabar lintasan 𝐾𝑄 yang

aljabar lintasan atas lapangan.

memiliki basis berupa himpunan semua

ALJABAR ATAS LAPANGAN

lintasan yang ada pada quiver tersebut. Teori

tentang

aljabar

lintasan

referensi

kemudian

Sebelum membahas tentang aljabar

sangat

lintasan,

Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung (Vika Yugi Kurniawan) 319

terlebih

dahulu

akan


ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969 𝑎11 𝑀𝑛×𝑛 (𝐾) = {[ ⋮ 𝑎𝑛1

diperkenalkan pengertian aljabar beserta contoh dan sifat-sifatnya. Perlu diketahui bahwa beberapa pengertian dalam makalah

⋯ ⋱ ⋯

𝑎1𝑛 ⋮ ] ; 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑛𝑛

∈ 𝐾, untuk 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛}

ini diambil dari Assem (2005) dan Dummit (2004).

dengan

operasi

Definisi 2.1 Aljabar A atas lapangan K atau K-aljabar adalah sebuah ring A dengan elemen identitas sedemikian sehingga sebagai K-ruang vektor A memenuhi kondisi:

perkalian antar matriks biasa serta perkalian

penjumlahan

skalar

dengan

dan

matriks

merupakan aljabar atas lapangan 𝐾. Setelah memahami definisi aljabar, berikut akan diberikan definisi dari sub

⋋ (𝑎𝑏) = (𝑎 ⋋)𝑏 = 𝑎(⋋ 𝑏)

aljabar. untuk setiap ⋋∈ 𝐾 dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. Definisi 2.3 Diberikan K-aljabar A. Sub ruang B di A disebut sub aljabar dari A jika elemen identitas A merupakan elemen identitas B dan untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 berlaku 𝑎𝑏 ∈ 𝐵.

Dalam hal ini perkalian vektor dengan skalar dari kanan didefinisikan sama dengan perkalian skalar dari kiri, yaitu 𝑎 ⋋=⋋ 𝑎. Jika A dan B merupakan Kaljabar, pemetaan 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut suatu

Perhatikan contoh 2.2 nomor 2.

homomorfisma K-aljabar jika 𝑓 merupakan

Salah satu sub aljabar dari 𝑀𝑛×𝑛 (𝐾) adalah

pemetaan linier dan untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

himpunan matriks segitiga atas berukuran

berlaku 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Jika 𝑓 bijektif

𝑛 × 𝑛. Matriks identitas I dengan ukuran

maka A dan B dikatakan isomorfis yang

𝑛 × 𝑛 merupakan elemen identitas pada

dinotasikan 𝐴 ≅ 𝐵. Berikut akan diberikan

matriks segitiga atas. Hasil kali matriks

beberapa contoh aljabar.

segitiga atas juga berupa matriks segitiga

Contoh 2.2

atas.

himpunan

aljabar, dengan operasi penjumlahan perkaliaannya

terdefinisi Demikian

dalam pula

seperti

operasi

matriks

segitiga

bawah

berukuran 𝑛 × 𝑛 merupakan sub aljabar

yang

dari 𝑀𝑛×𝑛 (𝐾).

lapangannya. dengan

demikian

perkaliaannya bersifat tertutup. Begitu juga

1. Setiap lapangan K merupakan K-

dan

Dengan

operasi

QUIVER DAN ALJABAR LINTASAN

perkalian skalarnya.

Pada

2. Matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 atas lapangan 𝐾, yaitu

bagian

ini

akan

diberikan

pengertian dasar beserta contoh dari quiver dan aljabar lintasan.


Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 Desember 2016 Definisi 3.1 Quiver adalah pasangan 4tupel (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡) yang terdiri atas dua himpunan, yaitu 𝑄0 (yang elemenelemennya disebut titik) dan 𝑄1 (yang elemen-elemennya disebut panah), serta dua pemetaan 𝑠, 𝑡: 𝑄1 ⟶ 𝑄0 dengan 𝑠(𝛼) ∈ 𝑄0 disebut sumber dari panah 𝛼 ∈ 𝑄1 dan 𝑡(𝛼) ∈ 𝑄0 disebut target dari panah 𝛼 ∈ 𝑄1.

lintasan pada suatu quiver yang akan diberikan sebagai berikut. Definisi 3.3 Diberikan quiver 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡) dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄0 . Barisan (𝑎|𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑙 |𝑏) dengan 𝛼𝑘 ∈ 𝑄1 untuk setiap 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑙, dan berlaku 𝑠(𝛼1 ) = 𝑎, 𝑡(𝛼𝑘 ) = 𝑠(𝛼𝑘+1 ) untuk setiap 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑙 dan 𝑡(𝛼𝑙 ) = 𝑏 disebut lintasan dengan panjang 𝑙 ≥ 1 yang bersumber di 𝑎 dan bertarget di 𝑏.

Pada definisi di atas, jika 𝛼 ∈ 𝑄1 bersumber di 𝑎 = 𝑠(𝛼) dan bertarget

Lintasan dapat ditulis juga sebagai

di 𝑏 = 𝑡(𝛼) maka biasa ditulis 𝛼 ∶ 𝑎 ⟶ 𝑏. Quiver

𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡)

biasa

barisan panah 𝛼1 𝛼2 … 𝛼𝑙 dan digambarkan

ditulis

sebagai berikut

secara lebih ringkas 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 ) atau 𝑄 saja. Quiver 𝑄 dikatakan berhingga jika 𝑄0

𝛼1

panjang 𝑙 dinotasikan dengan 𝑄𝑙 . Dalam hal

dari setiap panahnya diabaikan, maka

ini setiap 𝑎 ∈ 𝑄0 juga dipandang lintasan

quiver 𝑄 terhubung jika 𝑄̅ graf terhubung. akan

𝛼𝑙

Himpunan semua lintasan pada 𝑄 dengan

Apabila graf 𝑄̅ adalah quiver 𝑄 yang arah

berikut

𝛼2

𝑎 = 𝑎0 → 𝑎1 → 𝑎2 → ⋯ → 𝑎𝑙 = 𝑏.

dan 𝑄1 merupakan himpunan berhingga.

Selanjutnya,

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

yang dengan panjang 𝑙 = 0, disebut sebagai

diberikan

lintasan trivial pada 𝑎 dan dinotasikan

pengertian subquiver.

dengan 𝜀𝑎 = (𝑎||𝑎). Definisi 3.2 Subquiver dari quiver 𝑄 = (𝑄0 , 𝑄1 , 𝑠, 𝑡) merupakan pasangan 4-tupel 𝑄 ′ = (𝑄0 ′, 𝑄1 ′, 𝑠′, 𝑡′) sedemikian hingga 𝑄0 ′ ⊆ 𝑄0, 𝑄1 ′ ⊆ 𝑄1, 𝑠 ′ = 𝑠|𝑄1 ′, 𝑡 ′ =

Definisi 3.4 Lintasan dengan panjang 𝑙 ≥ 1 yang memiliki sumber dan target pada titik yang sama disebut siklus. Siklus dengan panjang 1 disebut loop. Quiver 𝑄 disebut asiklis jika tidak memiliki siklus.

𝑡

|𝑄1′ . Selain itu juga dipenuhi jika 𝛼 ∶ 𝑎 ⟶ 𝑏 merupakan panah di 𝑄1 sedemikian hingga 𝛼 ∈ 𝑄1 ′ dan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄0 ′ maka 𝑠′(𝛼) = 𝑎 dan 𝑡′(𝛼) = 𝑏.

Pada quiver 𝑄, jika terdapat lintasan dari 𝑎 ke 𝑏 maka 𝑎 disebut sebagai

Setelah diberikan beberapa pengertian

pendahulu dari 𝑏 dan 𝑏 disebut sebagai

dasar dari quiver, berikut akan diberikan

pengikut dari 𝑎. Selanjutnya, jika terdapat

pengertian aljabar lintasan yang merupakan

panah dari 𝑎 ke 𝑏 maka 𝑎 disebut sebagai

aljabar

lintasan-

pendahulu langsung dari 𝑏 dan 𝑏 disebut

lintasan yang ada pada quiver. Tapi

sebagai pengikut langsung dari 𝑎. Untuk

sebelumnya perlu diketahui definisi dari

setiap 𝑎 ∈ 𝑄0 , 𝑎− didefinisikan sebagai

yang

dibangun

oleh



ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

himpunan semua pendahulu langsung dari

Contoh 3.6 Diberikan quiver Q yang terdiri

𝑎, dan 𝑎+ adalah himpunan semua pengikut

dari dua buah titik dengan dua buah panah

langsung dari 𝑎. Untuk selanjutnya, 𝑎+ ∪

yang menghubungkan keduanya seperti

𝑎− disebut sebagai tetangga dari 𝑎.

pada gambar berikut

Pada

penelitian

ini

diasumsikan

𝛼 1

semua quiver yang diberikan merupakan

2

𝛽

quiver berhingga. Dengan mendefinisikan f

suatu operasi perkalian pada himpunan

Himpunan {ε1 , ε2 , α} merupakan basis

lintasan yang berupa barisan panah-panah,

dari aljabar lintasan KQ dengan definisi

maka himpunan semua lintasan pada quiver

perkalian yang diberikan pada tabel

membentuk struktur semigrup. Dengan

berikut

f

demikian himpunan lintasan dengan operasi ⋅ ε1 ε2 α β

penjumlahan dan perkalian merupakan sebuah ring. Selanjutnya untuk sebarang lapangan

K

dan

quiver

𝑄

dapat

didefinisikan suatu K-aljabar yang disebut

ε1 ε1 0 α β

ε2 0 ε2 0 0

Α 0 Α 0 0

β 0 β 0 0

dengan aljabar lintasan atas lapangan K pada 𝑄.

Dapat ditunjukkan bahwa KQ isomorfis dengan aljabar matriks segitiga bawah,

Definisi 3.5 Diberikan quiver 𝑄. Aljabar atas K yang sebagai basisnya adalah himpunan semua lintasan (𝑎|𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑙 |𝑏) dengan panjang 𝑙 ≥ 0 di 𝑄 disebut sebagai aljabar lintasan 𝐾𝑄.

yaitu K T2 (K) = [ 2 K ={[

Pada aljabar lintasan 𝐾𝑄, hasil kali dua buah lintasan 𝛼1 … 𝛼𝑙 dan 𝛽1 … 𝛽𝑘

0 ] K

a 0 ] | a, b, c, d ∈ K}. (b, c) d

Isomorfisma tersebut diberikan oleh

didefinsikan dengan

suatu

pemetaan

linier

sedemikian

hingga

(𝛼1 … 𝛼𝑙 )(𝛽1 … 𝛽𝑘 ) = (𝛼 … 𝛼𝑙 𝛽1 … 𝛽𝑘 ) ; jika 𝑡(𝛼𝑙 ) = 𝑠(𝛽1 ) { 1 . 0 ; jika 𝑡(𝛼𝑙 ) ≠ 𝑠(𝛽1 )

1 ε1 ⟼ [ (0,0)

Untuk lebih memperjelas pengertian aljabar α⟼[

lintasan yang telah diberikan di atas, berikut akan diberikan beberapa contoh sederhana dari aljabar lintasan. Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung (Vika Yugi Kurniawan) 322

0 0 0 ],ε ⟼ [ ], (0,0) 1 0 2

0 0 0 0 ],β ⟼ [ ]. (0,1) 0 (1,0) 0


ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

= 𝜀𝑎0 𝑤 = 𝑤. Jika 𝑄0 berhingga, maka ∑𝑎∈𝑄0 𝜀𝑎 adalah

SIFAT-SIFAT ALJABAR LINTASAN Setelah mamahami definisi aljabar lintasan beserta contoh-contohnya, berikut

identitas untuk 𝐾𝑄.

akan diberikan sifat-sifat aljabar lintasan.

Sebaliknya diandaikan bahwa 𝑄0 tak

Beberapa sifat di makalah ini diambil dari

berhingga. Misalkan 1 = ∑𝑚 𝑖=1⋋𝑖 𝑤𝑖 adalah

Assem (2005) yang akan disajikan dengan

elemen identitas dari 𝐾𝑄, dengan ⋋𝑖 adalah

lebih terurut dan bukti-bukti yang lebih

skalar tak nol dan 𝑤𝑖 lintasan di 𝑄.

jelas. Sifat yang pertama menunjukkan

Himpunan semua sumber dari lintasan-

hubungan antara keberhinggaan quiver

lintasan 𝑤𝑖 , katakan 𝑄0 ′, paling banyak

dengan aljabar lintasannya. Ada tidaknya

memiliki 𝑚 elemen dan jelas berhingga.

siklus dan keberhinggaan jumlah titik pada

Diambil

suatu quiver memiliki hubungan terhadap

𝑡(𝜀𝑎 ) ≠ 𝑠(𝑤𝑖 )

keberhinggan dimensi aljabar lintasannya.

kontradiksi. Jadi, diperoleh bahwa 𝑄0

sebarang

𝑎 ∈ 𝑄0 \𝑄0 ′,

karena

𝜀𝑎 . 1 = 0,

terjadi

maka

berhingga. Lema 4.1 Diberikan quiver 𝑄 dan 𝐾𝑄 merupakan aljabar lintasan dari 𝑄, maka (c) Andaikan 𝑄 tak berhinga, maka basis dari berlaku: 𝐾𝑄 juga berdimensi tak hingga. Jika 𝑤 = 𝛼1 𝛼2 … 𝛼𝑙 merupakan siklus di 𝑄,

(a) 𝐾𝑄 adalah aljabar asosiatif, (b) 𝐾𝑄 memiliki sebuah elemen identitas jika dan hanya jika 𝑄0 berhingga, (c) 𝐾𝑄 berdimensi hingga jika dan hanya jika 𝑄 berhingga dan asikslis. Bukti:

maka untuk setiap 𝑡 ≥ 0 diperoleh vektor basis 𝑤 𝑡 = (𝛼1 𝛼2 … 𝛼𝑙 )𝑡 sehingga 𝐾𝑄 juga berdimensi tak hingga. Sebaliknya, jika 𝑄 berhingga dan asikslis, maka 𝑄 hanya memuat

(a) Dengan memperhatikan kembali definisi

lintasan

sebanyak

berhingga

sehingga 𝐾𝑄 berdimensi hingga.

pergandaan dua buah lintasan pada aljabar

Sebelum

lintasan, dapat diketahui bahwa hasil kali

membahas

keterhubungan

lebih suatu

∎ lanjut

vektor-vektor basis merupakan komposisi

tentang

aljabar

lintasan yang jelas bersifat asosiatif.

lintasan, akan diberikan pengertian dari

(b) Jelas bahwa setiap lintasan stasioner 𝜀𝑎 =

elemen idempoten yang akan bermanfaat

(𝑎||𝑎) merupakan sebuah idempoten dari

untuk mendefinisikan aljabar terhubung

𝐾𝑄.

dan membahas sifat-sifatnya.

Diambil

sebarang

lintasan

𝑤=

(𝑎0 | … |𝑎𝑛 ) di 𝑄, diperoleh

Definisi 4.2 Diberikan sebuah K-aljabar 𝐴. Elemen 𝑒 dikatakan idempoten jika 𝑒 2 = 𝑒. Elemen idempoten 𝑒 dikatakan idempotent pusat jika untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 berlaku 𝑒𝑎 =

(∑𝑎𝑖 ∈𝑄0 𝜀𝑎𝑖 )𝑤 = (𝜀𝑎1 + 𝜀𝑎2 + ⋯ + 𝜀𝑎𝑛 )𝑤 = 𝜀𝑎1 𝑤 + ⋯ + 𝜀𝑎0 𝑤 + ⋯ + 𝜀𝑎𝑛 𝑤 = 0 + ⋯ + 0 + 𝜀𝑎0 𝑤 + 0 + ⋯ + 0 Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung (Vika Yugi Kurniawan) 323


ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

𝑎𝑒. Elemen idempotent 𝑒1 , 𝑒2 ∈ 𝐴 dikatakan saling ortogonal jika 𝑒1 𝑒2 = 𝑒2 𝑒1 = 0. Elemen idempoten 𝑒 dikatakan primitif jika 𝑒 tidak dapat ditulis sebagai jumlahan dari dua elemen idempoten ortogonal tak nol di 𝐴.

Sedangkan 1𝐴 bukan merupakan elemen

Untuk lebih memahami definisi di atas, berikut akan diberikan sebuah contoh.

berikut.

idempoten primitif karena 1𝐴 = 𝑒1 + 𝑒2 . Definisi idempoten pusat yang telah diberikan

𝐾 𝐾

𝐾 ]. 𝐾

[

0 0 0𝐴 = [ ], 0 0

yaitu

1 0 1 ], 𝑒1 = [ 0 1 0

1𝐴 =

0 0 ], dan 𝑒2 = [ 0 0

Sebagai

0 ]. 1

contohnya

perhatikan

merupakan aljabar terhubung karena 𝐴 tidak memiliki idempoten pusat selain 0𝐴

karena untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥0𝐴 =

dan 1𝐴 . Setiap aljabar 𝐴 memiliki dua

𝑏 ]∈ 𝑑

idempotent trivial yaitu 0 dan 1. Jika 𝑒

𝐴, diperoleh

merupakan idempoten yang tidak trivial

𝑎 𝑥1𝐴 = [ 𝑐 =[

untuk

Contoh 4.3. Aljabar matriks 𝐴 = 𝑀2 (𝐾)

Jelas bahwa 0𝐴 merupakan idempoten pusat 𝑎 0𝐴 𝑥 = 0𝐴 . Diambil sebarang 𝑥 = [ 𝑐

digunakan

Definisi 4.4 Aljabar 𝐴 disebut aljabar terhubung (atau aljabar indekomposabel) jika 𝐴 bukan merupakan jumlahan langsung dari dua aljabar, atau secara ekuivalen, 𝐴 dikatakan aljabar terhubung jika 𝐴 tidak memiliki idempotent pusat selain 0 dan 1.

Perhatikan bahwa 𝐴 memiliki empat buah idempoten

atas

menyatakan definisi dari aljabar terhubung

Contoh 4.3 Diberikan sebuah K-aljabar matriks 𝐴 berukuran 2 × 2 yaitu 𝐴 = 𝑀2 (𝐾) = [

di

𝑏 1 ][ 𝑑 0

1 0 𝑎 ][ 0 1 𝑐

0 𝑎 ]=[ 1 𝑐

dari 𝐴 maka 1 − 𝑒 juga idempotent yang

𝑏 ] 𝑑

tidak trivial, dengan sifat 𝑒 dan 1 − 𝑒 saling ortogonal.

𝑏 ] = 1𝐴 𝑥. 𝑑

Akibat

lainnya

juga

akan

terdapat dekomposisi 𝐴-modul kanan 𝐴𝐴 =

Dengan demikian 1𝐴 juga merupakan

𝑒𝐴 ⊕ (1 − 𝑒)𝐴. Sebaliknya, jika 𝐴𝐴 =

idempoten pusat. Selanjutnya perhatikan

𝑀1 ⊕ 𝑀2 adalah dekomposisi 𝐴-modul

0 ] 0 0 ], 0

yang tidak trivial dan 1 = 𝑒1 + 𝑒2 dengan

sehingga 𝑒1 dan 𝑒2 merupakan idempoten

indekomposabel jika dan hanya jika 𝑒𝑖

yang saling ortogonal. Selain itu 𝑒1 dan 𝑒2

primitif.

bahwa dan

1 0 0 𝑒1 𝑒2 = [ ][ 0 0 0 0 0 1 𝑒2 𝑒1 = [ ][ 0 1 0

0 0 ]=[ 1 0 0 0 ]=[ 0 0

𝑒𝑖 ∈ 𝑀𝑖 ,

maka 𝑒1 , 𝑒2 adalah pasangan

idempoten ortogonal dari 𝐴, dan 𝑀𝑖 = 𝑒𝑖 𝐴

juga merupakan idempoten primitif karena

Jika 𝑒 merupakan idempotent pusat,

tidak dapat ditulis sebagai jumlahan dari

maka

dua buah idempoten ortogonal tak nol di 𝐴. Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung (Vika Yugi Kurniawan) 324

1−𝑒

juga

idempotent

pusat,

Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 Desember 2016 sehingga 𝑒𝐴 dan (1 − 𝑒)𝐴 adalah ideal dua sisi

dan keduanya

𝐾-aljabar

menjadi

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969 0 0 𝑒2 𝐴 = [0 1 0 0

0 𝐾 0 0 0] [ 0 𝐾 0 ] 0 𝐾 𝐾 𝐾 0 0 0 = [0 𝐾 0], 0 0 0

0 0 𝑒3 𝐴 = [0 0 0 0

0 𝐾 0 0 0] [ 0 𝐾 0 ] 1 𝐾 𝐾 𝐾 0 0 0 = [ 0 0 0 ]. 𝐾 𝐾 𝐾

dengan elemen identitas 𝑒 ∈ 𝑒𝐴 dan 1 − 𝑒 ∈ (1 − 𝑒)𝐴. Pada kasus ini dekomposisi 𝐴𝐴 = 𝑒𝐴 ⊕ (1 − 𝑒)𝐴 adalah dekomposisi jumlahan langsung dari aljabar 𝐴. Setiap himpunan {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 } yang merupakan

idempoten-idempoten

orthogonal primitif dari 𝐴 dengan sifat 1 = 𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑛

mengakibatkan

terdapat

𝐴𝐴 = 𝑃1 ⨁ … ⨁𝑃𝑛

Dengan demikian 𝐴 memiliki dekomposisi

dengan 𝑃1 = 𝑒1 𝐴,…, 𝑃𝑛 = 𝑒𝑛 𝐴 merupakan

𝐴 = 𝑃1 ⊕ 𝑃2 ⊕ 𝑃3 dengan 𝑃1 = 𝑒1 𝐴, 𝑃2 =

ideal-ideal

indekomposabel.

𝑒2 𝐴, dan 𝑃3 = 𝑒3 𝐴 merupakan ideal-ideal

Dekomposisi seperti diatas selanjutnya

kanan indekomposabel. Jadi {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 }

disebut

dekomposisi

merupakan himpunan lengkap idempoten-

indekomposabel dan himpunan {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 }

idempoten ortogonal primitif dari aljabar 𝐴.

sebuah

disebut

dekomposisi

kanan

sebagai

himpunan

lengkap

Selanjutnya akan diberikan sebuah

idempoten

lema yang menyatakan sifat dari suatu

ortogonal primitif dari 𝐴.

elemen idempoten primitif. Sifat berikut Contoh 4.5 Diberikan K-aljabar 𝐴 = 𝐾 0 0 [ 0 𝐾 0 ]. Idempoten-idempoten 𝐾 𝐾 𝐾 ortogonal primitif dari 𝐴 adalah 𝑒1 = 1 0 0 0 0 0 [0 0 0], 𝑒2 = [0 1 0], dan 𝑒3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 0] dengan 𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 = 1𝐴 . 0 0 1 Diperoleh

akan sangat bermanfaaat dalam pembuktian sifat-sifat berikutnya. Lema 4.6 Sebuah idempoten 𝑒 ∈ 𝐴 primitif jika dan hanya jika aljabar 𝑒𝐴𝑒 hanya memiliki idempoten 0 dan 𝑒. Bukti: (⟹) Diketahui 𝑒 ∈ 𝐴 merupakan elemen idempoten primitif, artinya 𝑒 tidak dapat

1 0 0 𝐾 0 0 𝑒1 𝐴 = [0 0 0] [ 0 𝐾 0 ] 0 0 0 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 0 0 = [ 0 0 0], 0 0 0

ditulis sebagai 𝑒 = 𝑒1 + 𝑒2 dengan 𝑒1 , 𝑒2 elemen idempoten ortogonal tak nol di 𝐴. Diambil sebarang idempoten 𝑥 ∈ 𝑒𝐴𝑒, katakan 𝑥 = 𝑒𝑎𝑒 dengan 𝑎 ∈ 𝐴. Karena 𝑥 merupakan idempoten maka 𝑥 2 = 𝑥 sehingga diperoleh


Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 Desember 2016 𝑥 2 = (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎𝑒) = 𝑒𝑎𝑒 2 𝑎𝑒

𝑄0 } yang merupakan himpunan dari semua lintasan stasioner 𝜀𝑎 = (𝑎||𝑎) adalah himpunan lengkap idempoten-idempoten ortogonal primitif untuk 𝐾𝑄.

= 𝑒𝑎𝑒𝑎𝑒 = 𝑒(𝑎𝑒𝑎)𝑒 = 𝑒𝑥𝑒 = 𝑥 Dengan demikian diperoleh 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 𝑒. (⟸)

Akan

kontraposisi.

ditunjukkan Diandaikan

merupakan primitif,katakan

Bukti:

dengan

Sesuai dengan definisi pergandaan, 𝜀𝑎

bukan

merupakan idempoten ortogonal untuk 𝐾𝑄.

idempoten

Karena 𝑄0 berhingga, maka 1 = ∑𝑎∈𝑄0 𝜀𝑎

𝑒∈𝐴

elemen 𝑒 = 𝑒1 + 𝑒2

dengan

adalah identitas dari 𝐾𝑄. Selanjutnya

𝑒1 , 𝑒2 ≠ 0 tetapi 𝑒1 𝑒2 = 0 dan 𝑒1 𝑒2 = 0

tinggal ditunjukkan bahwa 𝜀𝑎 primitif, atau

atau dengan kata lain 𝑒1 , 𝑒2 merupakan

ekuivalen dengan menunjukkan bahwa

idempoten yang saling orthogonal.

aljabar

𝜀𝑎 (𝐾𝑄)𝜀𝑎

tidak

memiliki

idempoten selain 0 dan 𝜀𝑎 .

Perhatikan bahwa

Diambil

𝑒𝑒1 𝑒 = (𝑒1 + 𝑒2 )𝑒1 (𝑒1 + 𝑒2 )

sebarang

idempoten

𝜀∈

𝜀𝑎 (𝐾𝑄)𝜀𝑎 . Jelas bahwa 𝜀 dapat ditulis

= (𝑒1 𝑒1 + 𝑒2 𝑒1 )(𝑒1 + 𝑒2 ) =

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

dengan 𝜀 =⋋ 𝜀𝑎 + 𝑤, dengan ⋋∈ 𝐾 dan 𝑤

𝑒1 𝑒1 𝑒1 + 𝑒1 𝑒1 𝑒2 + 𝑒2 𝑒1 𝑒1 +

adalah kombinasi linier dari siklus-siklus

𝑒2 𝑒1 𝑒2

yang memuat 𝑎 dengan panjang ≥ 1. = 𝑒1

Karena 𝜀 idempoten maka 𝜀 2 = 𝜀, sehingga diperoleh persamaan

Diperoleh idempoten 𝑒1 ∈ 𝑒𝐴𝑒. Dengan demiian aljabar 𝑒𝐴𝑒 memiliki idempoten

selain

0

dan

𝑒.

0 = 𝜀 2 − 𝜀 = (⋋2 −⋋)𝜀𝑎 + (2 ⋋ −1)𝑤 + 𝑤 2.

Terjadi

kontradiksi sehingga 𝑒 merupakan elemen idempoten primitif.

Dari persamaan diatas diperoleh 𝑤 = 0 dan ∎ ⋋2 −⋋= 0, sehingga ⋋= 0 atau ⋋= 1. Jika

Setelah diberikan pengertian dari

⋋= 1, maka 𝜀 =⋋ 𝜀𝑎 + 𝑤 = 𝜀𝑎 . Di sisi

idempoten ortogonal primitif, berikut akan

lain jika ⋋= 0, maka 𝜀 =⋋ 𝜀𝑎 + 𝑤 = 0.

diberikan lema yang mengatakan bahwa

Dengan demikian 𝜀𝑎 (𝐾𝑄)𝜀𝑎 tidak memiliki

himpunan semua lintasan stasioner dari 𝐾𝑄

idempoten selain 0 dan 𝜀𝑎 , sehingga

merupakan himpunan lengkap idempoten-

terbukti 𝜀𝑎 primitif.

idempoten ortogonal primitif.

Himpunan

∎ {𝜀𝑎 |𝑎 ∈ 𝑄0 }

yang

merupakan himpunan lengkap idempoten

Lema 4.7 Diberikan sebuah quiver berhingga 𝑄. Elemen 1 = ∑𝑎∈𝑄0 𝜀𝑎 merupakan identitas dari 𝐾𝑄 dan {𝜀𝑎 |𝑎 ∈

ortogonal primitif untuk 𝐾𝑄 tidak selalu



ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969 = ∑𝑗,𝑘∈𝐽 𝑒𝑗 𝑎𝑒𝑗

tunggal. Seperti pada contoh 3.6(2), selain himpunan {𝜀1 , 𝜀2 }, himpunan {𝜀1 + 𝛼, 𝜀2 −

= (∑𝑗∈𝐽 𝑒𝑗 + ∑𝑖∈𝐼 𝑒𝑖 )𝑎(∑𝑘∈𝐽 𝑒𝑘 ) = 𝑎𝑐.

𝛼} juga merupakan himpunan lengkap

Jadi 𝑐 adalah idempoten pusat, dan 𝐴 =

idempotent ortogonal primitif untuk 𝐾𝑄.

𝑐𝐴 ⊕ (1 − 𝑐)𝐴 adalah dekomposisi yang

Berikutnya akan diberikan sebuah

tidak trivial dari 𝐴. Terjadi kontradiksi

lema yang menyatakan keterkaitan suatu aljabar dengan partisi himpunan lengkap

karena diketahui 𝐴 aljabar terhubung.

idempoten ortogonal primitif untuk aljabar

(⟸) Diandaikan aljabar 𝐴 tidak terhubung,

tersebut.

maka sesuai definisi 𝐴 memuat idempoten

Lema 4.8 Diberikan 𝐴 aljabar asosiatif dengan elemen identitas, dan dimisalkan bahwa {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 } adalah himpunan lengkap berhingga dari idempotentidempoten orthogonal primitif. Aljabar 𝐴 terhubung jika dan hanya jika tidak terdapat suatu partisi yang tidak trivial 𝐼 ∪̇ 𝐽 dari himpunan {1,2, … , 𝑛} sedemikian hingga untuk 𝑖 ∈ 𝐼 dan 𝑗 ∈ 𝐽 berakibat 𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑗 = 0 = 𝑒𝑗 𝐴𝑒𝑖 .

pusat 𝑐 dengan 𝑐 ≠ 0 dan 𝑐 ≠ 1. Diperoleh

Bukti:

sehingga 𝑐𝑖 idempoten dari 𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑖 . Karena

(⟹) Diandaikan terdapat sebuah partisi

𝑒𝑖 primitif, 𝑐𝑖 = 0 atau 𝑐𝑖 = 𝑒𝑖 . Misalkan

yang tidak trivial dan dimisalkan 𝑐 =

𝐼 = {𝑖|𝑐𝑖 = 0} dan 𝐽 = {𝑖|𝑐𝑖 = 𝑒𝑖 }. Karena

∑𝑗∈𝐽 𝑒𝑗 . Karena partisi tersebut tidak trivial,

𝑐 ≠ 0,1, jelas 𝐼 ∪̇ 𝐽 sebuah partisi yang

𝑐 = 1. 𝑐. 1 = (∑𝑛𝑖=1 𝑒𝑖 )𝑐(∑𝑛𝑗=1 𝑒𝑗 ) = ∑𝑛𝑖,𝑗=1 𝑒𝑖 𝑐𝑒𝑗 = ∑𝑛𝑖=1 𝑒𝑖 𝑐𝑒𝑖 , karena 𝑐 pusat. Diambil 𝑐𝑖 = 𝑒𝑖 𝑐𝑒𝑖 ∈ 𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑖 , maka diperoleh 𝑐𝑖 2 = (𝑒𝑖 𝑐𝑒𝑖 )(𝑒𝑖 𝑐𝑒𝑖 ) = 𝑒𝑖 𝑐 2 𝑒𝑖 = 𝑐𝑖 ,

tidak trivial dari {1,2, … , 𝑛}. Jika 𝑖 ∈ 𝐼,

maka 𝑐 ≠ 0 dan 𝑐 ≠ 1. Dan karena 𝑒𝑗 merupakan

diperoleh 𝑐𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 𝑐 = 0, dan jika 𝑗 ∈ 𝐽,

idempoten-idempoten

diperoleh

otrogonal, maka 𝑐 merupakan idempoten.

setiap

𝑗 ∈ 𝐽,

Dengan

demikian, jika 𝑖 ∈ 𝐼 dan 𝑗 ∈ 𝐽, diperoleh

Untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑐𝑒𝑖 = 𝑒𝑖 𝑐 = 0, dan untuk

𝑐𝑒𝑗 = 𝑒𝑗 𝑐 = 𝑒𝑗 .

𝑐𝑒𝑗 = 𝑒𝑗 𝑐 = 𝑒𝑗 .

𝑒𝑖 𝐴𝑒𝑗 = 𝑒𝑖 𝐴𝑐𝑒𝑗 = 𝑒𝑖 𝑐𝐴𝑒𝑗 = 0.

Selanjutnya diambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐴. Dari yang diketahui 𝑒𝑖 𝑎𝑒𝑗 = 0 = 𝑒𝑗 𝑎𝑒𝑖 , ketika

Secara analog diperoleh juga 𝑒𝑗 𝐴𝑒𝑖 = 0. ∎ Dari beberapa sifat di atas dapat

𝑖 ∈ 𝐼 dan 𝑗 ∈ 𝐽. Akibatnya

ditarik syarat perlu dan cukup dari suatu aljabar

𝑐𝑎 = (∑𝑗∈𝐽 𝑒𝑗 )𝑎 = (∑𝑗∈𝐽 𝑒𝑗 𝑎)1

lintasan

terhubung.

Telah

ditunjukkan pada Lema 4.7 bahwa {𝜀𝑎 |𝑎 ∈

= (∑𝑗∈𝐽 𝑒𝑗 𝑎)(∑𝑖∈𝐼 𝑒𝑖 + ∑𝑘∈𝐽 𝑒𝑘 )

𝑄0 } yang merupakan himpunan dari semua


Online Journal of Natural Science Vol 5(3) :318-329 Desember 2016 adalah

𝜀𝑎 (𝐾𝑄)𝜀𝑏 = 0 dan juga 𝜀𝑏 (𝐾𝑄)𝜀𝑎 = 0.

himpunan lengkap idempoten-idempoten

Dengan Lema 4.8, diperoleh 𝐾𝑄 tidak

ortogonal primitif untuk aljabar lintasan

terhubung, sehingga terjadi kontradiksi.

𝐾𝑄. Padahal menurut Lema 4.8 dikatakan

Jadi 𝑄 adalah quiver terhubung.

lintasan

stasioner

𝜀𝑎 = (𝑎||𝑎)

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

suatu aljabar terhubung jika dan hanya jika

(⟸) Diketahui 𝑄 adalah quiver terhubung.

himpunan lengkap idempoten-idempoten

Diandaikan 𝐾𝑄 tidak terhubung. Dengan

ortogonal primitif tidak terpartisi. Dengan

Lema 4.8, maka terdapat partisi gabungan

demikian aljabar lintasan 𝐾𝑄 dari suatu

terpisah 𝑄0 = 𝑄0 ′ ∪̇ 𝑄0 " sedemikian hingga

quiver 𝑄 merupakan aljabar terhubung jika dan

hanya

jika

{𝜀𝑎 |𝑎 ∈ 𝑄0 }

jika

yang

Karena

𝑄

𝑄0 " yang bertetangga. Tanpa mengurangi

tersebut hanya akan terpenuhi jika 𝑄 terhubung.

maka

terhubung maka terdapat 𝑎 ∈ 𝑄0 ′ dan 𝑏 ∈

stasioner 𝜀𝑎 = (𝑎||𝑎) tidak terpartisi. Hal quiver

𝑦 ∈ 𝑄0 "

dan

𝜀𝑥 (𝐾𝑄)𝜀𝑦 = 0 = 𝜀𝑦 (𝐾𝑄)𝜀𝑥 .

merupakan himpunan dari semua lintasan

merupakan

𝑥 ∈ 𝑄0 ′

keumuman, terdapat

Lebih

panah 𝛼 ∶ 𝑎 ⟶ 𝑏

karena 𝑎 dan 𝑏 bertentangga. Akan tetapi

jelasnya akan ditunjukkan dalam teorema

diperoleh 𝜀𝑎 𝛼𝜀𝑏 ∈ 𝜀𝑎 (𝐾𝑄)𝜀𝑏 = 0, terjadi

sebagai berikut.

kontradiksi. Teorema 4.9 Diberikan 𝑄 quiver berhingga. Aljabar lintasan 𝐾𝑄 terhubung jika dan hanya jika 𝑄 quiver terhubung.

Jadi,

𝐾𝑄

adalah

aljabar ∎

terhubung. Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa keterhubungan suatu

Bukti:

aljabar

lintasan

terkait

erat

dengan

(⟹) Diketahui 𝐾𝑄 terhubung. Diandaikan

quivernya. Telah ditunjukkan bahwa suatu

𝑄 tidak terhubung, dan misalkan 𝑄′

aljabar lintasan 𝐾𝑄 dari suatu quiver 𝑄

komponen terhubung dari 𝑄. Misalkan 𝑄"

merupakan aljabar terhubung jika dan

subquiver penuh dari 𝑄 yang memiliki

hanya jika 𝑄 merupakan quiver terhubung.

himpunan titik 𝑄0 " = 𝑄0 \𝑄0 ′. Jelas bahwa

Hasil dari penelitian ini dapat menjadi

𝑄′ maupun 𝑄" tidak kosong. Diambil 𝑎 ∈

dasar untuk penelitian lebih lanjut dengan

𝑄0 ′

tidak

mempelajari teori representasi dan kategori.

terhubung, maka sebarang lintasan 𝑤 di 𝑄

Sebagaimana disebutkan Savage (2006),

berada di salah satu 𝑄′ atau 𝑄". Dipilih

bahwa kategori modul-modul berdimensi

kasus jika 𝑤𝜀𝑏 = 0 maka 𝜀𝑎 𝑤𝜀𝑏 = 0.

hingga atas aljabar lintasan 𝐾𝑄 ekuivalen

Kasus yang lain, jika 𝜀𝑎 𝑤 = 0 maka

dengan kategori representasi-representasi

𝜀𝑎 𝑤𝜀𝑏 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa

berdimensi hingga dari quiver 𝑄.

dan

𝑏 ∈ 𝑄0 ".

Karena

𝑄



Savage A., 2006, Finite-dimensional algebras and quivers, Encyclopedia or Mathematical Physics, 2 : 313-320.

DAFTAR PUSTAKA Abrams, G., Kanuni, M., 2013, Cohn path algebras have Invariant Basis Number. ArXiV: 1303.2122v2.

Tomforde, M., 2011, Leavitt path algebras with coefficients in a commutative ring, J. Pure Appl. Algebra 215(4) : 471-484.

Alahmadi, A., Alsulami, H., 2014, Simplicity of the Lie algebra of skew symmetric elements of a Leavitt path algebra. ArXiv:1304.2385. Ara, P., Corti˜nas, G., 2013, Tensor products of Leavitt path algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 141(8): 2629 – 2639. Assem, I., Simson, D. & Skowronski, A., 2005 Elemens of the Representation Theory of Associative Algebras, London Math.Soc Student Text 65. Cambridge University Press. Dummit, D.S., and Foote, R.M., 2004, Abstract Algebra, Third Edition, John Wiley & Sons, United State of America. Hazrat, R., 2013, A note on the isomorphism conjectures for Leavitt path algebras, J. Algebra 375 : 33– 40. Rodriguez, M.A., Neubauer, P., 2011, A path algebra for multi-relational graphs, Proceedings of the 2011 IEEE 27th International Conference on Data Engineering Workshops, Vol. April 11-16 : 128-131. Ruiz,

ISSN-p: 2338-0950 ISSN-e : 2541-1969

E., Tomforde, M., 2013, Classification of unital simple Leavitt path algebras of infinite graphs, J. Algebra 384 45–83.


Quiver dari Aljabar Lintasan Terhubung. The Quiver of a Connected Path Algebra

Recommend Documents