Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2
Suatu Kondisi Buka Pada Varieti Representasi dari Quiver Darmajid Kelompok Keilmuan Aljabar Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung e-mail:
[email protected] Diterima 22 November 2013, disetujui untuk dipublikasikan 7 April 2014 Abstrak Misalkan adalah aljabar atas lapangan yang tertutup secara aljabar. Dalam makalah ini akan dikaji suatu kriteria kondisi buka dalam konteks aljabar pada koleksi semua -representasi dengan vektor dimensi d pada quiver Q. Kata kunci : Kondisi buka, Representasi dari quiver.
An Open Condition on Variety of Quiver Representation Abstract Let be an algebra over an algebraically closed field. In this paper we study an open condition on the collection of all -representation of quiver Q with dimension vector d. Keywords : Open condition, Representation of quiver. assosiatif. Gabriel (1975) telah menunjukkan bahwa himpunan dari semua struktur -aljabar dengan unsur kesatuan pada V, dinotasikan dengan Algn merupakan himpunan buka di Assn. Selain itu, Bobinsky (2011) juga menunjukkan bahwa
1. Pendahuluan dan Hasil Utama Misalkan adalah lapangan tertutup secara aljabar. Varieti afin didefinisikan sebagai himpunan pembuat nol bersama dari sistem persamaan polinom dan merupakan subhimpunan dari suatu ruang afin nk yang beranggotakan n-tupel unsur-unsur di . Dengan melihat sifat subhimpunan varieti afin di ruang afin nk , kita dapat memberikan struktur
S { A Alg n A mempunyai tipe representasi berhingga}
merupakan himpunan buka di Algn. Di pihak lain, Schofield (1985) menunjukkan bahwa
topologi Zariski di nk , yakni mendefinisikan varieti afin sebagai himpunan tutup di . Dalam konteks ini, kita dengan mudah mendapatkan himpunan buka di nk , yakni mengambil komplemen dari suatu n k
At { A Alg n A mempunyai dimensi global t}
merupakan himpunan buka di Algn. Hasil dari Gabriel dan Schofield tersebut diterapkan untuk varieti representasi dari quiver. Misalkan, suatu -aljabar berdimensi hingga yang isomorf dengan suatu aljabar lintasan Q/J untuk suatu quiver Q dan ideal admisibel J. Misalkan, repd
varieti afin di . Faktanya, himpunan semua matriks atas berukuran k l, dinotasikan dengan M k l () , dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi kl (Hulek, 2003). Akibatnya, kita dapat memberikan struktur varieti afin pada suatu struktur aljabar dengan cara memparameterisasi unsurunsurnya dalam bentuk tupel matriks atas yang memenuhi relasi tertentu (Riedtmann, 1986). Dengan mengingat proses parameterisasi, cukup rumit bila kita menentukan kriteria kondisi buka dari suatu struktur aljabar dalam konteks topologi. Hal yang menarik untuk dikaji adalah bagaimana menentukan kondisi himpunan buka dalam konteks aljabar. Terdapat beberapa hasil mengenai kriteria kondisi buka yang telah dikaji sebelumnya. Misalkan V suatu -ruang vektor berdimensi n dan Assn adalah sub himpunan dari Hom (V V ,V ) yang beranggotakan semua pemetaan yang bersifat n k
menyatakan koleksi yang beranggotakan semua representasi dengan vektor dimensi d dari quiver Q. Bobinsky (2011) menjelaskan bahwa himpunan
W rep
d
| dim ( Extn (W , V )) r
buka di repd . Dalam makalah ini, kita membawa kerangka kerja (Gabriel, 1975 dan Schofield, 1985) tetapi menggunakan teknik pembuktian berbeda dalam penentuan sebuah kondisi buka lainnya pada repd .
56
57
Darmajid, Suatu Kondisi Buka Pada Varieti Representasi dari Quiver Diberikan dua representasi projektif P rept dan r
M rep dimana r d. Tanda ketaksamaan diantara
vektor dimensi r dan d didefinisikan sebagai ketaksamaan diantara masing-masing komponen yang bersesuaian pada vektor dimensi r dan d. Misalkan, presd ( P, M ) adalah subhimpunan dari repd beranggotakan semua representasi H yang
memuat suatu presentasi PM H 0. Hasil berikut mungkin cukup mudah di kalangan para pakar teori representasi aljabar, namun referensi yang menjelaskannya belum ditemukan. Teorema 1. Himpunan presd ( P, M ) buka di repd . Teorema tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan sifat dari vektor bundel yang juga merupakan suatu pemetaan buka. Makalah ini disajikan dalam pembagian bab sebagai berikut, konsep dasar mengenai varieti afin, vektor bundel, dan varieti representasi dari quiver dijelaskan pada bagian 2. Pembahasan mengenai lema pendahuluan dan bukti Teorema 1 disajikan pada bagian 3, sedangkan kesimpulan dijelaskan pada bagian 4. 2. Konsep Dasar Dalam bagian ini akan dibahas mengenai konsep dasar varieti representasi quiver, dan vektor bundel. Untuk selengkapnya, pembaca dapat merujuk referensi (Assem, dkk., 2006; Hulek, 2003; Munkres, 2000; Potier, 1997 dan Riedtmann, 1986).
buka dari Y. Pemetaan f:X Y dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan buka V di Y mengakibatkan himpunan f 1 (V ) buka di X. Pemetaan f:X Y dikatakan pemetaan buka jika untuk setiap himpunan buka U di X mengakibatkan himpunan f(U) buka di Y. Perhatikan bahwa kedua pemetaan projeksi X : X Y X , X ( x, y ) x , dan Y : X Y Y , Y ( x, y ) y merupakan pemetaan kontinu sekaligus pemetaan buka (Munkres, 2000). Misalkan Z suatu varieti afin. Suatu fibrasi linier atas Z adalah suatu varieti E beserta suatu morfisma varieti surjektif p : E Z sedemikian sehingga untuk setiap titik w Z, terdapat suatu struktur ruang vektor pada himpunan p-1(w). Varieti E tersebut dinamakan ruang total dari fibrasi sedangkan himpunan p-1(w) dinamakan fiber dari titik w Z. Bila E telah ditetapkan maka kita dapat menuliskan p-1(w) = Ew. Diberikan dua fibrasi linier p: E Z dan p: E Z, suatu morfisma varieti f: E E dikatakan pemetaan fibrasi linier jika f kompatibel dengan projeksi p dan p, yakni p f = p, dan untuk setiap w Z, pemetaan induksinya fw : Ew Ew merupakan pemetaan linier. Suatu bundel adalah pemetaan projeksi Z : Z r Z , z ( w, c) w . Bundel semacam ini dinamakan fibrasi trivial dengan rank r. Berdasarkan definisi ini, jelas bahwa suatu bundel merupakan pemetaan buka sekaligus kontinu. Suatu vektor bundel dengan rank r atas Z adalah suatu fibrasi linier p : E Z yang trivial secara lokal, yakni untuk setiap titik w Z terdapat suatu persekitaran buka Uw dari w dan suatu isomorfisma fibrasi
2.1 Varieti afin
: p 1 (U w ) U w r ,
Ruang afin berdimensi n atas lapangan didefinisikan sebagai himpunan n-pasangan terurut dari unsur-unsur , yakni nk : {P (c1 , , cn ) | c1 , , cn } . Himpunan M k l () yang beranggotakan semua matriks berukuran k l atas dapat dipandang sebagai ruang afin kl . Misalkan [ X 1 , , X n ] adalah gelanggang polinom atas dalam n peubah. Himpunan V n dikatakan varieti afin jika terdapat koleksi polinom T [ X 1 , , X n ] sehingga
p 1 (b) {b} r
nk P V , f T , f ( P ) 0 . Ruang afin mempunyai struktur topologi Zariski dimana himpunan bukanya didefinisikan sebagai komplemen dari varieti afin di n (Hulek, 2003).
2.2 Pemetaan buka dan vektor bundel Misalkan X dan Y keduanya ruang topologi. Topologi hasil kali pada X Y adalah topologi yang mempunyai himpunan buka berupa semua gabungan dari himpunan-himpunan berbentuk U V dimana U suatu himpunan buka dari X dan V suatu himpunan
dimana pengaitan p-1(b) ke {b} r merupakan isomorfisma ruang vektor untuk setiap b Uw. Apabila varieti Z sudah ditetapkan, vektor bundel pada definisi ini sering dinamakan vektor bundel E dengan rank r. Vektor bundel merupakan fibrasi bundel yang mempunyai struktur aljabar (Potier, 1997). Misalkan p: E Z suatu vektor bundel dengan rank r atas Z. Suatu subbundel dengan rank m dari E adalah sub varieti F E sedemikian sehingga untuk setiap w Z, irisan F p-1(w) merupakan suatu sub ruang vektor dari p-1(w) berdimensi m dan fibrasi linier yang dibatasi di F p |F : F Z
trivial secara lokal. Jelas bahwa subbundel mempunyai struktur vektor bundel (Potier, 1997). Diberikan dua vektor bundel E dan F yang berturut-turut mempunyai rank s dan r. Pemetaan vektor bundel g: E F didefinisikan sama dengan pemetaan fibrasi linier. Berikut adalah proposisi yang
58
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2
digunakan dalam pembuktian teorema utama. Bukti selengkapnya dapat dilihat pada buku (Potier, 1997).
Hom (V , W )
Hom (V ,W )
Q0
Kategori dari semua representasi quiver ekivalen dengan kategori dari -modul kiri (Assem, dkk., 2006). Diberikan suatu vektor dimensi d (d b )bQ0 .
Proposisi 1. Diberikan dua vektor bundel E dan F atas varieti Z dan suatu pemetaan vektor bundel g: E F. Jika rank dari gw konstan untuk setiap w Z maka ker(f) dan im(f) masing-masing merupakan subbundel dari E dan F.
Misalkan repd menyatakan himpunan dari semua
2.3 Varieti representasi dari quiver
representasi V (Vb , V )bQ0 , Q1 pada quiver terbatas
Suatu quiver adalah suatu empatan Q = (Q0, Q1, s, e) dimana Q0 adalah himpunan titik, Q1 adalah himpunan panah dan s, e: Q1 Q0 berturut-turut pemetaan yang mengaitkan setiap panah Q1 dengan titik awal dan akhirnya. Aljabar lintasan Q mempunyai basis berupa himpunan dari semua kemungkinan lintasan di Q, dan definisikan perkalian dua lintasan 2 dengan 1 sebagai lintasan 21 jika 1 berakhir pada titik awal dari 2, dan bernilai nol untuk lainnya. Setiap aljabar berdimensi hingga akan ekivalen secara Morita dengan suatu aljabar kuosien Q/J untuk suatu ideal admisibel J (Assem, dkk., 2006). Oleh karena itu, untuk selanjutnya kita selalu mengasumsikan bahwa aljabar = Q/J . Suatu representasi V (Vb , V )bQ0 , Q1 dari
(Q, ) dengan Vb db untuk setiap b Q0 . Dengan
suatu quiver Q terdiri atas suatu keluarga dari ruang vektor Vb yang diindeks oleh titik-titik b Q0 dan suatu keluarga dari pemetaan linier V : Vs ( ) Ve ( ) yang diindeks oleh panah-panah Q1. Bila keluarga ruang vektor Vb telah ditetapkan untuk setiap b Q0, struktur representasi dari V dapat dituliskan sebagai (V ) Q1 saja. Vektor dimensi d dim k (V ) Q0 0 dari representasi V adalah suatu vektor dengan komponen d dim (V ) (dim (Vb ))bQ0 .
Suatu representasi pada quiver terbatas (Q, J) adalah suatu representasi V (Vb , V )bQ0 , Q1 dari quiver Q dimana struktur representasi (V ) Q1
memenuhi
relasi yang ada dalam ideal admisibel J (Assem, dkk., 2006). Suatu homomorfisma dari representasi V ke representasi W adalah suatu keluarga -pemetaan linier (b : Vb Wb )bQ0 sehingga untuk setiap panah
Q1 , kompatibel dengan V dan W, yakni berlaku hubungan W s ( ) e ( ) V . Lebih lanjut, representasi
U (U b , U )bQ0 Q1
dengan
Ub
merupakan kernel dari b : Vb Wb untuk setiap b Q0 dinamakan kernel dari dan dituliskan sebagai U ker ( ) . Ruang vektor dari homomorfisma representasi dinotasikan dengan Hom (V , W ) yang merupakan subruang dari pemetaan Q0 bertingkat
menetapkan suatu -basis bagi db , setiap representasi di repd diberikan oleh suatu tupel dari matriks yang memenuhi relasi di J sehingga repd merupakan suatu varieti afin yang biasa dinamakan varieti representasi quiver (Riedtmann, 1986). Berikutnya kita akan mendefinisikan representasi projektif yang berkorespondensi dengan suatu -modul projektif. Suatu -representasi P ( Pb , P ) pada quiver terbatas (Q, ) dikatakan projektif jika untuk setiap -efimorfisma h : V W dan f Hom ( P, W ) , terdapat suatu g Hom ( P, V ) sehingga f h g . Suatu barisan -representasi dari quiver hn1 hn hn1 V n 1 Vn V n 1 V n 2 .
dikatakan barisan kompleks jika hn hn 1 0, n . hn hn 1 0 Kondisi ekivalen dengan im(hn 1 ) ker(hn ) . Jika pada barisan kompleks tersebut berlaku hubungan im(hn 1 ) ker(hn ) maka
barisan
tersebut
dinamakan barisan eksak. h1 h2 1 V 2 V 3 0 Khususnya, barisan V merupakan barisan eksak jika im(h1 ) ker(h2 ) dan h2 merupakan suatu -efimorfisma. Suatu barisan eksak dari -representasi quiver h1 h2 P1 P2 V 0
dinamakan suatu presentasi dari suatu -representasi V jika P1 dan P2 keduanya merupakan -representasi projektif (Assem dkk., 2006). 3. Bukti Teorema Utama
Sebelum kita membuktikan Teorema 1, terlebih dahulu disajikan beberapa lema pendahuluan. Diberikan bilangan asli k, l, n. Misalkan, C knl () {Z M k l () | rank ( Z ) n} .
Lema berikut cukup populer, namun kita sajikan sebagai kelengkapan bukti. Lema 1. Himpunan C knl () tutup di M k l () .
59
Darmajid, Suatu Kondisi Buka Pada Varieti Representasi dari Quiver
Bukti: Kita akan mengkonstruksi suatu koleksi polinom atas dalam peubah X ij , (1 i k ;1 j l ) . Untuk n = 0, kita memilih koleksi 0 [ X 11 , , X kl ] yang
memuat semua polinom dengan konstanta nol. Karena { X 11 , , X kl ] merupakan aljabar yang dibangun secara hingga maka 0 juga mempunyai berhingga banyaknya pembangun. Perhatikan bahwa matriks nol di M k l () merupakan satu-satunya 0 ( ) pembuat nol pada koleksi polinom 0 . Jadi, k l
tutup di M k l () . Jika n min{k , l} maka jelas n bahwa k l () M k l () yang berdasarkan definisi topologi merupakan himpunan tutup di M k l () . Selanjutnya, asumsikan 0 n min{k , l} . Akan n ditunjukkan bahwa k l () tutup di M k l () .
Misalkan, X adalah matriks berukuran k l dengan Xij sebagai entri pada baris ke-i kolom ke-j. Kita konstruksi submatriks dari X berukuran (r + 1) (r + 1) dengan cara membuang masing-masing sebanyak k – r – 1 baris dan l – r – 1 kolom pada matriks X. k l m r 1 r 1 Jelas bahwa terdapat sebanyak submatriks yang terbentuk. Kita notasikan matriksu matriks tersebut dengan Yu, {1, , m}. Definisikan m buah polinom atas dengan rumus dalam peubah Xij pu ( X 11 , , X kl ) det (Yu ) . Ambil sebarang ( zij ) Z C
n k l
()
. Karena rank(Z) n maka menurut definisi rank pada matriks jelas bahwa pu ( z11 , , zkl ) 0,
u {1, , m} .
Ini berarti, ( z11 , , zkl ) k l () merupakan pembuat nol dari koleksi polinom {p1, , pm). Jadi, terbukti bahwa knl () tutup di M k l () . ■ Selanjutnya, kita tetapkan dua -ruang vektor V dan W dengan dim (V ) l dan dim (V ) k . Untuk suatu bilangan bulat n {0,1,, min{k,l}} misalkan Hom n (V ,W ) { f Hom (V , W ) | rank ( f ) n} . Lema
2.
Himpunan Hom n (V , W )
buka
di
Homk (V , W ) .
C knl () {Z M j l () | rank ( Z ) n} .
cukup dibuktikan bahwa C
n k l
berarti,
() buka di M k l () .
Untuk n = 0, jelas bahwa C k0l () M k l () yang berdasarkan definisi topologi merupakan himpunan buka di M k l () . Selanjutnya, asumsikan bahwa 1 n min{k , l} . Perhatikan bahwa C knl () k l () C knl1 () .
Berdasarkan Lema 3, C knl1 () tutup di M k l () untuk 0 n 1min{k , l} 1 , sehingga C knl () buka ■ di M k l () . Dengan menggunakan Lema 2 dan fakta bahwa pemetaan projeksi merupakan pemetaan kontinu, kita akan tunjukkan bahwa koleksi dari suatu barisan eksak merupakan himpunan buka pada koleksi dari suatu barisan kompleks. Untuk tujuan tersebut, kita tetapkan -ruang vektor V1 , V2 , V3
dimana dim (Vi ) di ,1 i 3 . Kita definisikan komp sebagai suatu varieti afin dari ruang afin Hom (V1 ,V2 ) Hom (V2 , V3 )
yang beranggotakan tupel -homomorfisma (f1, f2) sedemikian sehingga f1 f2 = 0. Jelas bahwa komp merupakan varieti afin yang memparameterisasi suatu koleksi barisan kompleks atas ruang vektor dengan dimensi yang ditetapkan f1 f2 V1 V2 V3 0 .
Misalkan, eksp sebagai suatu subvarieti dari komp yang beranggotakan tupel -homomorfisma (f1, f2) sedemikian sehingga im(f1) = ker(f2). Jelas bahwa eksp merupakan varieti afin yang memparameterisasi suatu koleksi barisan eksak pendek atas ruang vektor dengan dimensi yang ditetapkan f1 f2 V1 V2 V3 0 .
Lema 3. Himpunan eksp buka di komp Bukti:
Dengan penetapan -basis bagi V1 , V2 , V3 , kita dapat mengidentifikasi unsur di Hom (V1 ,V2 ) Hom (V2 , V3 ) dengan unsur di M d2 d1 () M d3 d2 () . Bentuk pemetaan projeksi
: komp Hom (V1 ,V2 ) Bukti: Dengan penetapan -basis bagi V dan W, himpunan Hom (V , W ) dan Hom n (V , W ) berturut-turut berkorespondensi dengan himpunan M k l () dan
Ini
( f1 , f 2 ) f1 .
Kondisi f 2 f1 0 ekivalen dengan mengatakan im( f1 ) ker( f 2 ) , khususnya bahwa rank ( f1 ) dim(ker( f 2 )) r1 . Dengan kata lain, r1 adalah nilai maksimal dari rank(f1). Ini berarti,
60
Jurnal Matematika & Sains, Agustus 2014, Vol. 19 Nomor 2 f g P M H 0
Ho r1 { f Hom (V1 , V2 ) | rank ( f r1} { f Hom (V1 , V2 ) | rank ( f ) r1} Berdasarkan Lema 2, Ho
r1
buka di Hom (V1 , V 2 ) . pemetaan kontinu, maka
merupakan himpunan Karena
merupakan
eksp l1 ( Ho r1 ) merupakan himpunan buka di komp .
Konstruksi himpunan 0 1
beranggotakan tupel (f,g,H) dengan sifat im(f) = ker(g). Ini berarti, 0 merupakan suatu varieti afin yang memparameterisasi koleksi yang beranggotakan barisan eksak
■
Lema 4. Misalkan P suatu representasi projektif di repd . Jika V W maka dim ( Hom ( P, V )) dim ( Hom ( P,W )) .
Bukti:
f g P M H 0
Berdasarkan Lema 3, himpunan 0 buka di 1 Karena Hom ( P, M ) dan Hom ( P, d ) keduanya merupakan ruang vektor berdimensi hingga dan adalah varieti afin maka kita dapat membentuk dua vektor bundel trivial t1 : Hom ( P, M ) ,
Misalkan f : V W suatu isomorfisma. Definisikan suatu pemetaan linier
: Hom ( P,V ) Hom ( P,W ) , g f g
Cukup dibuktikan bahwa bijektif. Ambil sebarang g1 , g 2 Hom ( P, V ) sehingga ( g1 ) ( g 2 ) . Kita memperoleh, g1 f 1 f g1 f 1 ( g1 ) f 1 ( g 2 ) f 1 f g 2 g 2 .
Jadi, satu-satu. Selanjutnya, ambil sembarang h Hom ( P, W ) . Karena P projektif dan f : V W juga merupakan suatu efimorfisma maka terdapat suatu g Hom ( P, V ) sehingga h f g (g) .
■
Berikut adalah bukti Teorema 1 pada makalah ini.
t2 : Hom ( P, d ) . Misalkan suatu pemetaan dari vektor bundel pertama ke vektor bundel kedua yang didefinisikan dengan mengaitkan (f,g,H) ke (gf,g,H). Perhatikan bahwa 1 merupakan kernel dari karena (f,g,H)
1 jika dan hanya jika
( f , g , H ) ( gf , g , H ) (0, g , H ) yang merupakan unsur nol pada vektor bundel kedua. Lebih lanjut, kernel pada setiap fiber dari (g,H) isomorf dengan Hom ( P, ker( g )) . Karena P suatu representasi projektif maka berdasarkan Lema 6, dim(ker( )) dim( Hom ( P, ker( g ))) konstan untuk setiap unsur di ( g , H ) . Berdasarkan Proposisi 2, 1 : 1 merupakan subbundel dari vektor bundel pertama. Ini berarti, 1 merupakan pemetaan buka sehingga kondisi 0 buka di 1 mengakibatkan
1(0) buka di . Selanjutnya,
Bukti Teorema 1. Konstruksi himpunan d
Hom ( M , ) rep d
yang beranggotakan tupel (g,H) dengan sifat bahwa g suatu -homomorfisma representasi yang kompatibel dengan representasi H repd , yakni
Q1 Hom (
) keduanya merupakan ruang
t3 : Hom ( M , d ) repd repd ,
r d t4 : Hom ( s ( ) , e ( ) ) repd repd , Q1
untuk setiap panah Q1. Misalkan
bahwa 1 merupakan suatu varieti afin yang memparameterisasi koleksi yang beranggotakan barisan kompleks
dan
afin maka kita dapat membentuk vektor bundel trivial ketiga dan keempat, yakni
H g s ( ) g e ( ) H
beranggotakan tupel (f,g,H) yang memenuhi relasi gf = 0 dan g suatu -efimorfisma representasi yang kompatibel dengan representasi H repd . Jelas
,
de ( )
Hom ( M , d )
vektor berdimensi hingga dan repd adalah varieti
berlaku
1 Hom ( P, M ) Hom ( M , d ) repd
rs ( )
karena
Misalkan, suatu pemetaan dari vektor bundel ketiga ke vektor bundel keempat yang didefinisikan dengan mengaitkan
g, (H
)
Q1
(H
g s ( ) g e ( ) H ) Q1 , ( H ) Q1 .
Perhatikan bahwa merupakan kernel dari karena
g, (H
)
a Q1
jika dan hanya jika
Darmajid, Suatu Kondisi Buka Pada Varieti Representasi dari Quiver
g , ( H ) Q
1
(0
( H g s ( ) g e ( ) H ) Q1 , ( H ) Q1 )
Q1
, ( H ) Q1
yang merupakan unsur nol pada vektor bundel keempat. Lebih lanjut, kernel pada setiap fiber dari H repd isomorf dengan Hom ( M , H ) . Karena M suatu representasi projektif, maka berdasarkan Lema 4, dim(ker( )) dim( Hom ( M , H )) konstan untuk setiap unsur di H repd . Berdasarkan Proposisi 1,
2 : repd merupakan subbundel dari vektor bundel ketiga. Ini berarti, 2 merupakan pemetaan buka sehingga kondisi 1(0) buka di mengakibatkan 2(1(0)) buka di repd . Berdasarkan konstruksi himpunan 0, terlihat bahwa presd ( P, M ) 2 1 ( 0 ) .
Terbukti bahwa presd ( P, M ) buka di repd . 4. Penutup
Dari hasil pembahasan diperoleh bahwa himpunan presd ( P, M ) beranggotakan H repd yang memuat suatu presentasi projektif merupakan suatu himpunan buka di repd . Makalah ini hanya membahas sebuah kondisi buka pada suatu koleksi representasi dari quiver. Pada penelitian selanjutnya akan dikaji mengenai
61
sifat-sifat geometri lainnya pada varieti representasi dari quiver. Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada LPDP atas beasiswa bantuan disertasi berdasarkan Surat Perjanjian No. PRJ-544/LPDP/2014. Daftar Pustaka
Assem, I., D. Simson, and A. Skowronski, 2006, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, in: Techniques of Representation Theory, 1, New York, Cambridge University Press. Bobinsky, G., 2011, Geometric Representation of Quiver, Lecture notes on CIMPA 2011. Gabriel, P., 1975, Finite representation type is open, Lecture Notes in Math: Reperesentations of Algebras, 488, 132-155. Hulek, K., 2003, Elementary Algebraic Geometry, American Mathematical Society, New York. Munkres, J.R., 2000, Topology, 2nd Ed., Prentice hall Inc., New York. Potier, J.L., 1997, Lectures on Vector Bundles, Translated by A. Maciocia, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 54, Cambridge University Press, Cambridge. Riedtmann, C., 1986, Degenerations for Representations of Quivers with Relations, Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure, 4, 275-301. Schofield, A., 1985, Bounding the Global Dimension in Terms of the Dimension, Bull. London Math. Soc., 17, 393-394.
