Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi Setelah Dilakukan Uji F Awal

Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi Setelah Dilakukan Uji F Awal Zainal Abidin Pendidikan Matematika, FPMIPA IKIP MATARAM Email: [email protected] Abstract: Consider a linear regression model whit regrssion parameter β = (β1, ...,βp) and independent normal errors. Suppose the parameter of interest is θ = , where a is specified. Define the s-diminsional parameter vector , where C and t are specified. Suppose that we carry out a preliminary F test of the noll hypothesis against the alternative hypothesis H1: . It is common statistical practice to then construck a confidence interval for θ with nominal coverage 1 – α, using the same data, based on the assumption that the selected model had been given to us a priori (as the true model). We call this the naive confidence interval for . This assumption is false and it may lead to this confidence interval haveing minimum coverage probability far below , making it completely inadequate. Our aim is to compute this minimum coverage probability. Abstrak: Ditentukan sebuah model regresi linier dengan parameter regresi β = (β 1, ...,βp) dan eror normal independen. Anggap parameter yang diinginkan adalah θ = , dimana diketahui. Ditentukan vektor parameter dengan dimensi s adalah , dimana C dan t diketahui. Anggap bahwa kita telah melakukan suatu uji F awal dari hipotesis nol melawan hipotesis alternatif H1: . Hal ini merupakan praktek statistika umum yang selanjutnya membentuk interval konfidensi untuk θ dengan luas cakupan nominal 1 – α, dengan menggunakan data yang sama, berdasarkan asumsi bahwa model yang dipilih telah diberikan untuk menjadi prior (sebagai model yang sebenarnya). Kita menyebut ini sebagai naive interval konfidensi 1 – α untuk θ. Asumsi ini salah dan dapat mengakibatkan interval konfidensi ini memiliki probabilitas luas cakupan (coverage) minimum yang jauh di bawah 1 – α, sehingga membuatnya benar-benar tidak cukup atau tidak memenuhi. Kata kunci: analisis kovarian, naive interval konfidensi, uji F awal

Pendahuluan Diketahui model regresi linier , dengan Y adalah n vektor random dari variabel respon, sedangkan X adalah sebuah matriks ukuran n × p yang diketahui dengan kolom-kolom yang saling independen secara linier, β adalah p vektor dari parameter yang tidak diketahui, dan adalah vektor gangguan dengan asumsi bahwa mean sama dengan nol dan menpunyai variansi adalah atau dinotasikan dengan . 2 Dimana σ adalah parameter positif yang tidak diketahui. Dan kita anggap pula bahwa parameter yang diinginkan yaitu dimana adalah p vektor yang diberikan ( ≠ 0). Kita akan mencari interval konfidensi 1 – α untuk θ.

© 2015 LPPM IKIP Mataram

Diketahui vektor parameter berdimensi s adalah yang didefinisikan sebagai dimana C adalah matriks p × s yang ditetapkan (s < p) dengan kolomkolom yang independen secara linier dan t adalah s vektor yang ditetapkan. Anggap bahwa bukan bagian dari ruang bagian linier yang dibangun atau direntangkan oleh kolom-kolom dari C. Dengan melakukan uji F awal dari hipotesis nol melawan hipotesis alternatif H1: . Dan selanjutnya dibentuk interval konfidensi untuk parameter θ dengan luas daerah cakupan nominal adalah 1 – α, dan dengan menggunakan data yang sama, dengan asumsi bahwa model yang dipilih telah diberikan untuk menjadi prior (model yang sebenarnya). Kita menyebut interval yang

Jurnal Kependidikan 14 (3): 325-336

dibentuk setelah dilakukan uji F awal sebagai naive interval konfidensi 1 – α untuk parameter θ. Naif interval konfidensi 1 – α untuk parameter θ adalah interval kepercayaan yang di dapatkan atau di kostruksi setelah dilakukan suatu uji F terhadap parameter θ dalam suatu model regresi. Dan memiliki nominal luas cakupan yang mungkin berbeda atau sama dengan luas cakupan interval konfidensi sebelum dilakukan uji F. Yang menjadi permasalahan berdasarkan ulasan diatas adalah berapa probabilitas luas cakupan dari naive interval konfidensi yang di dapatkan setelah dilakukan uji F tersebut. Probabilitas 2.1.1 Teori Probabilitas Diberikan sebuah ruang sampel dari suatu percobaan random dan sebuah -field . Himpunan didalam disebut peristiwa. Pada peristiwa dipasangkan dengan sebuah bilangan real yang menyatakan ukuran numerik dari kemungkinan hasilhasil percobaan akan menjadi anggota A, dan selanjutnya disebut probabilitas dari peristiwa A. Probabilitas dari suatu peristiwa dapat diinterpretasikan atas dasar konsep frekuensi relatif dan dapat pula didefinisikan secara aksiomatik. Definisi 2.1.1 Misalnya S menunjukkan ruang sampel eksprimen dan menunjukkan kumpulan semua peristiwa yang bisa dibentuk dari S. Probabilitas P(.) adalah sebuah fungsi dengan domain dan daerah hasil [0.1], yang memenuhu sifatsifat sebagai berikut: i. P(A) 0, untuk setiap (2.1.1) ii. P(S) = 1 (2.1.2)

326

iii. Jika adalah m buah peristiwa yang saling asing dalan (dalam arti ) ∑ (2.1.3) ⋃ 2.1.2 Sifat-sifat Probabilitas Misalkan S adalah ruang sampel eksperimen, A adalah kumpulan semua peristiwa yang bisa dibentuk dari S, dan P(.) adalah peluang sebuah peristiwa, maka berlaku sifat-sifat berikut: Teorema 2.1.2a Jika peristiwa himpunan kosong dinyatakan dengan , maka: Teorema 2.1.2b Jika A adalah sebuah peristiwa dan adalah complemen, maka: Teorema 2.1.2c Untuk setiap dua peristiwa dan dalam suatu ruang sampel berlaku: Teorema 2.1.2d Jika

, maka:

Teorema 2.1.2e (Ketaksamaan Bonferroni’s) Jika , ,...., adalah peristiwa, maka: (⋂

)

∑

2.1.3 Probabilitas Bersyarat Jika kita menghitung probabilitas sebuah peristiwa, maka penghitunggannya selalu didasarkan pada ruang sampel eksperimen. Apabila A adalah sebuah peristiwa, maka penghitungan probabilitas dari peristiwa A selalu didasarkan pada ruang sampel S. Akibatnya, peluang dari peristiwa A ditulis selengkapnya dengan | , artinya peluang dari peristiwa A

Zainal Abidin, Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi

| diberikan S. Penulisan dinamakan peluang bersyarat. Definisi 2.1.3. Jika A dan B adalah dua peristiwa yang dibentuk dari ruang sampel S, maka peluang bersyarat dari B diberikan A didefinisikan sebagai: | Dalam hal ini, berarti kita ingin menghitung probabilitas peristiwa B, apabila peristiwa A sudah terjadi. Atau kita juga dapat menyatakan bahwa probabilitas peristiwa A dan B kedua-duanya terjadi sama dengan probabilitas peristiwa A terjadi dikalikan dengan probabilitas peristiwa B apabila peritiwa A telah terjadi. Dalam hal ini, kita dapat menuliskannya sebagai berikut. | 2.1.4 Aturan Bayes Pehitungan peluang bersyarat Bayes didasarkan pada beberapa peristiwa yang merupakan partisi dari suatu ruang sampel. Jika diketahui S adalah suatu ruang sampel dan kejadian-kejadian dan adalah suatu peristiwa dari ruang sampel S Definisi 2.1.4 Peristiwa-peristiwa , , , ... , dikatakan partisi dari ruang sampel, S jika :

⋃

.

Apabila semua syarat di atas dipenuhi, maka menunjukkan partisi dari suatu ruang sampel S. Teorema 2.1.4.1 (Total Peluang) Jika peristiwa-peristiwa merupakan partisi dari suatu ruang sampel Ω, maka peluang dari peristiwa A yang sembarang dari S adalah: ∑

|

Teorema 2.1.4.2 Jika peristiwa-peristiwa merupakan partisi dari suatu ruang sampel S, maka untuk peristiwa A yang sembarang dari S sedemikian hingga berlaku: | | ∑ |

2.1.5 Probabilitas Dua Kejadian yang Independen Dalam pembicaraan sehari-hari, dua buah peristiwa dikatakan bebas, jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa yang satu tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa yang lain. Sebenarnya perumusan dua peristiwa yang saling bebas didasarkan pada perumusan perkalian dari peluang bersyarat, | yaitu . Karena dua peristiwa A dan B saling bebas, maka | dalam penghitungan terjadinya peristiwa A tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa B. Sehingga peristiwa A diberikan peristiwa B akan merupakan peristiwa A itu sendiri. Akibatnya, | | atau .

327


Definisi 2.1.4 Jika A dan B dua kejadiaan dengan dan , maka A dan B dikatakan independen jika dan hanya jika: Teorema 2.1.5 Bila A dan B dua kejadian independen maka: i. dan independen ii. dan independen iii. dan independen Interval konfidensi Definisi 2.2.1. Estimasi interval parameter adalah pasangan fungsi dan dari sampel yang memenuhi untuk semua . Jika dari terobservasi dapat dibuat estimasi interval. Definisi 2.2.2. Jika dan adalah dua statistik yang memenuhi persamaan [ ] , dimana adalah suatu bilangan yang ditetapkan sebelumnya antara 0 dan 1, dan jika nilainilai yang diobsevasi dari dua statistik tersebut adalah dan , ] disebut interval konfidensi maka [ untuk dengan konfidensi kepercayaan . Definisi 2.2.3. Misalkan hanya tergantung pada dan { } adalah konstanta dengan syarat . dikatakan himpunan konfidensi untuk dengan taraf . Peluang pada sisi kiri persamaan Definisi 2.3 dikatakan cakupan peluang pada . Jika persamaan Definisi 2.3 diperoleh maka dikatakan himpunan konfidensi dengan koefisien konfidensi taraf biasa dikatakan himpunan konfidensi .

328

2.2.1 Metode Tes Inversi Untuk Interval Konfidensi Untuk mencari suatu estimator interval, Statistisi memperkenalkan suatu metode yaitu inversi uji statistik. Karena diketahui hubungan yang erat antara uji hipotesis dengan estimasi interval. Kita dapat menyatakan bahwa setiap interval konfidensi berhubungan dengan uji hipotesis dan sebaliknya. Untuk melihat hubungan itu perhatikan contoh berikut. Untuk melihat lebih formal hubungan antara interval konfidensi dengan hipotesis ini berikut diberikan suatu teorema Teorema 2.2.1. Untuk setiap , misalkan adalah daerah penerimaan taraf dari uji . Untuk setiap , didifinisikan himpunan dalam ruang parameter dengan { } maka himpunan random adalah interval konfidensi . Sebaliknya misalkan adalah interval konfidensi . Untuk setiap , { } didefinisikan maka adalah penerimaan taraf untuk uji . Kenyataan bila dibangun himpunan kepercayaan dengan tes inversi kita akan mempinyai uji hipotesis alternatif atau . Bentuk alternatif uti akan membawa ke bentuk yang dapat diterima dan bentuk akan menentukan . Daerah Konfidensi Konsep pada sebuah interval konfidensi dapat kita perumum menjadi


sebuah daerah kepercayaan, pada kasus multi-dimensi untuk parameter (mean, variansi). Teorema 2.3 Diberikan adalah n variabel random yang i.i.d. dengan p.d.f. . Untuk setiap , dangan uji pada level dan diberikan daerah penerimaan. Himpunan , , dan diberikan { } . Maka adalah daerah konfidensi untuk dengan tingkat kepercayaan . Regresi 2.4.1 Regresi Parametrik 2.4.1.1 Regresi Linier Sederhana Dalam regresi linier sederhana, kita mencoba memodelkan hubungan antara dua variabel random, seperti penghasilan dan tingkat pendidikan, tinggi dan berat badan seseorang, lebar dan panjang dari amplop, suhu dan hasil dari proses industri, ketinggian dan titik didih air, atau juga dosis obat-obatan dan reaksinya. Untuk hubungan linier ini, kita menggunakan bentuk model yi = β0 + β1xi + εi i = 1, 2, .... , n dimana yi adalah variabel terikat (bergantung) atau respon dan xi adalah variabel bebas atau prediktor. Variabel random ε merupakan error dalam model. Dalam konteks ini, error bukan berarti kesalahan tetapi merupakan istilah statistik untuk merepresentasikan ketidaktetapan acak, error dalam pengukuran, atau efek dari variabel luar yang tidak bisa kita kontrol. Untuk melengkapi model diatas, kita membuat asumsi tambahan:

1. E (εi ) = 0 untuk i = 1,2,...,n, atau ekuivalen dengan E (yi) = β0 + β1xi 2. Var (εi ) = σ2 untuk i = 1,2,...,n, ekuivalen dengan var (yi) = σ2 3. Cov (εi, εj) = 0 untuk i ≠ j, ekuivalen dengan cov (yi, yj) = 0 2.4.1.1a Estimasi Parameter Regrei Linear Sederhana Menggunakan sample random pada n observasi y1, y2, ... , yn dan nilai tetap x1, x2, ..., xn, kita dapat mengestimasi parameter β0 dan β1. Untuk memperoleh ̂ dan ̂, dapat digunakan metode kuadrat terkecil, yang tidak memerlukan persyaratan asumsi distribusi manapun. Pada kuadrat terkecil, ̂ ̂ kita mencari dan yang meminimumkan kuadrat jumlah yi - ̂ untuk n observasi yi dari prediksi nilai ̂ = ̂ + ̂ xi : ̂

̂

∑̂ ∑

∑ ̂

(

̂ ̂ )

Perhatikan bahwa ̂ mengestimasi E(yi), bukan yi,, dan ̂ + ̂ xi mengestimasi β0 + β1xi bukan β0 + β1xi + εi .Untuk menemukan nilai ̂ dan ̂ yang meminimumkan ̂ ̂ pada persamaan diatas, kita differensialkan masing-masing terhadap ̂ dan ̂ dan hasilnya disamakan dengan 0 : ̂̂ ̂

∑

(

̂

̂ )

Persamaan diatas menjadi, ̂ ̅ ̂ ̅ Selanjutnya, turunkan ̂ ̂ terhadap samakan dengan nol,

dan

329


̂ ̂ ̂

∑(

̂

̂ )

Maka, ̂

∑ ∑

̅̅ ̅

2.4.1.2 Regresi Linier Berganda Diberikan n pengamatan { }; ; , pandang model regresi . Dengan variabel respon, variabel prediktor, dan sesatan random tidak terobservasi yang diasumsikan tidak berkorelasi dengan mean nol. Didasarkan pada pengamatan { } model (2.4.1.2.1) berbentuk . Dalam model (2.4.1.2.1) variabel X dapat merupakan variabel random atau bukan. Untuk pertama akan dibahas variabel X tidak random. Dalam notasi matrik model (2.4.1.2.2) dapat ditulis sebagai berikut, yaitu dengan merupakan vektor respon berukuran n x 1, merupakan vektor sesatan random dan disini diasumsikan mempunyai mean nol dan varian-covarian dan

[ merupakan matrik dalam bentuk n x p.

]

2.4.1.2.1 Estimasi Kuadrat Terkecil Salah satu metode untuk mendapatkan suatu estimasi vektor parameter alah satu metode untuk mendapatkan suatu estimasi vektor parameter adalah 330

meminimumkan ∑ terhadap ; yaitu, misalkan . Meminimumkan ‖ ‖ . Jadi prinsip metode kuadrat terkecil adalah menentukan sehingga selisih nilai yang diharapkan dengan nilai observasi menjadi minimum. Dengan kata lain, parameter ditentukan sehingga jumlah kuadrat sesatan yaitu: ‖ ‖ minimum. Dari

⁄

Maka, ̂

(2.4.1.2.1)

Dengan asumsi bahwa X adalah matriks bertipe n x p dengan rank p, difinite positif, diperoleh merupakan matriks non singular. Akibatnya persamaan (2.3.1a) mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu: ̂ Teorema 2.4.1.2 (a). P dan merupakan matrik simetris dan indempoten. ] [ ] (b). Rank [ (c). 2.4.1.2.2 Sifat Estimasi Kuadrat Terkecil Estimasi kuadrat terkecil memiliki beberapa sifat antara lain: (a). Estimasi kuadrat terkecil ̂ merupakan estimasi tak bias untuk , sebab, (̂) (b). Matriks varian-koparian estimasi kuadrat terkecil ̂ tergantung pada variansi variabel random sesatan dan


matriks

X,

artinya

(̂ )

, (c). Estimasi kuadrat terkecil ̂ merupakan estimator linear tak bias dengan variansi minimum dan tunggal. 2.4.2 Regresi Non Paramerik Diberikan n pengamatan { }; ; . Pandang model regresi : , . Dengan variabel predikator dan adalah sesatan random tidak terobservasi yang diasumsikan tidak berkorelasi dengan mean nol. Dalam regresi non parametrik tidak ada asumsi tentang bentuk fungsi regresi m(.). Fungsi regresi m(.) umumnya hanya di asumsikan termuat dalam suatu rauang fungsi yang berdimensi tak hingga. Untuk mengkonstruksi model regresi non parametrik terlebih dahulu dipilih ruang fungsi yang sesuai yang mana fungsi regresi m(.) dinyatakan termasuk didalamnya. Pemilihan ruang fungsi ini biasanya dimotivasi oleh sifat kelicinan (smoothness) dan kemudian digunakan untuk mengestimasi fungsi m(.) dengan tehnik smoothing tertentu. 2.4.3 Regresi Linier Parsial Model regresi linier parsial didefinisikan dalam bentuk (2.2.3a). Dimana ( ) dan ( ) merupakan vektor dari variabel penjelas, merupakan titik random yang i.i.d (independent and identically distributed) atau titik yang ditetapkan. ( ) adalah vektor dari parameter yang tidak diketahui, g adalah fungsi yang tidak

diketahui dari ke R1, dan ε1, ... , εn adalah error random yang independen dengan ratarata 0 dan variansi terbatas σ2 = E (εi2). Pembahasan 3.1 Naive Interval Konfidensi Dalam bagian ini kita memberikan sebuah gambaran tentang naive interval konfidensi 1 – α yang dibentuk setelah uji F awal. Ditentukan ̂ menyatakan estimator kuadrat terkecil dari β. Diketahui ̂) ( . Diberikan dalam arti m adalah banyaknya sampel acak ̂ yang diberikan. Ditentukan ∑ ̂ ⁄ ̂) ⁄ . Juga, ( ̂ serta ̂ ̂ ditentukan ̂ . Kita anggap bahwa kolom matriks C independen secara linier. Kita juga menganggap bahwa bukan merupakan bagian dari subruang linier yang dibangun oleh kolom-kolom dari C. Sekarang ditentukan matriks (s + 1) × (s + 1) [

] ([

Perhatikan

̂ ̂

] [̂ ̂

])

bahwa

, dan

. Ditentukan β* adalah nilai β yang meminimalkan R(β) berdasarkan batasan bahwa = CTβ – t = 0. Seperti yang diketahui (contohnya lihat Graybill, 1976, p.222) ̂ ̂ ( ̂)

̂

(̂

)

331


Statistik uji standar untuk pengujian H0: melawan adalah ̂ (̂ )⁄ ̂ ∑ ̂

̂

bahwa = 0 tidak perlu benar. Dalam hal ini, naive interval konfidensi 1 – α adalah merupakan interval konfidensi 1 – α yang biasa untuk θ berdasarkan pada penyesuaian model penuh, ̂ ̂ ̂] [̂ √ ∑ √ ∑

̂ ∑

Sekarang anggap bahwa . Interval konfidensi disusun berdasarkan asumsi bahwa = 0. Jika = 0 maka dan . Perhatikan bahwa dan adalah variabel random yang saling independen. Kita menggunakan notasi ] [ ] untuk interval [ . Dalam hal ini, naive interval konfidensi 1 – α untuk θ adalah

Statistik uji ini berdistribusi berdasarkan H0. Anggap bahwa kita menolak H0 ketika dan menerima H0 untuk sebaliknya, dimana adalah nilai positif yang ditentukan. Ditentukan . Juga ditentukan kuantil t(m) berdasarkan syarat bahwa ( ) untuk . Naive interval konfidensi 1 – α untuk θ didapatkan sebagai berikut. Anggap bahwa . Interval konfidensi disusun berdasarkan asumsi

[

√

[

√

3.2 Probabilitas Konfidensi

Cakupan

Naif

√

] ̂

Interval

Ditentukan dan ̂ . Diketahui fW menotasikan fungsi ∑ kepadatan peluang dari W. Ditentukan ‖ ‖ ‖ ‖

√

. Sedemikian sehingga

̂

√

Sehingga ‖ ‖ [ ]. Di asumsikan bahwa vektor bukan merupakan bagian dalam subruang linier yang dibangun oleh kolom C, yang menunjukkan bahwa ‖ ‖ . Sehingga, kita dapat mengasumsikan bahwa ‖ ‖ [ ] . Kemudian ditentukan ‖ ‖ Dimana

332

]

‖ ‖ , dan


√

‖ ‖ √

Ditentukan peluang dari √

√

sebagai fungsi kepadatan ketika

. Diketahui

{ (

{ (

{

B(a, b) menyatakan fungsi beta. Ditentukan fungsi kepadatan peluang sebagai

sebagai

√

∫ ∫ tepat

dengan derajat bebas s dan parameter non sentral . Juga ditentukan

‖ ‖ ‖ ‖

⁄|| || . Ditentukan vektor unit ‖ ‖ Ketika || || , ditentukan dan selanjutnya . Ditentukan juga ψ = 1 ketika ‖ ‖ . Sekarang, ketika ‖ ‖ , ditentukan

yang

‖ ‖

)

⁄ ⁄ Diketahui . Ditentukan sebagai fungsi kepadatan peluang dari distribusi khi kuadrat yang non sentral

dan pernyataan perhitungan untuk

‖ ‖

)

Untuk s ≥ 3, ditentukan fungsi kepadatan peluang

‖ ‖

√

Teorema. Probabilitas cakupan dari naive interval konfidensi 1 – α untuk θ adalah . Pernyataan yang tepat secara perhitungan untuk bentuk kedua dalam penjumlahan ini adalah

‖ ‖‖ ‖

secara adalah

‖ ‖

sebagai √

berikut. ‖ ‖

Diketahui Untuk s = 2,

333


∫∫ ∫ Untuk s ≥ 3 dan ‖ ‖ ∫∫ ∫ Untuk s ≥ 3, ‖ ‖

‖ ‖

,

‖ ‖ adalah sama dengan

‖ ‖

‖ ‖

0 dan

{

∫∫ ∫

},

(4)

‖ ‖

‖ ‖

Untuk s ≥ 3 dan , ‖ ‖ ⁄√

∫∫ ∫

‖ ‖

‖ ‖

Perhatikan bahwa untuk nilai ‖ ‖ yang diberikan (yang ditentukan oleh dan X) serta dan α, probabilitas cakupan dari naive interval konfidensi 1 – α adalah merupakan sebuah fungsi dari ‖ ‖ .

interval konfidensi 1 – α adalah merupakan interval konfidensi 1 – α yang biasa untuk θ berdasarkan pada penyesuaian model penuh, ̂ ̂ ̂] [̂ √ ∑ √ ∑ Sedangkan untuk . Interval konfidensi disusun berdasarkan asumsi bahwa = 0. Jika = 0 maka dan . Perhatikan bahwa dan adalah variabel random yang saling independen. dan menggunakan notasi [ ] untuk interval [ ] . Dalam hal ini, naive interval konfidensi 1 – α untuk θ adalah

Simpulan dan Saran Berdasarkan hasil dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya, maka dapat di ambil kesimpulan bahwa : 4.1.1 Interval yang dikonstruksi setelah dilakukan uji F pendahuluan membentuk suatu interval yang kita sebut naive interval konfidensi. Dengan mengangap bahwa . Interval konfidensi disusun berdasarkan asumsi bahwa = 0 tidak perlu benar. Dalam hal ini, naive [

334

√

√

]


[

4.1.2

√

Probabilitas cakupan dari naive interval konfidensi dapat di tentukan berdasarkan teorema” Probabilitas cakupan dari naive interval konfidensi 1 – α untuk θ adalah ”, dengan luas cakupan minimun dalam arti cakupan dari naive interval komfidensi akan lebih kecil dari besar interval kepercanyan yang diberikan.

Dalam melakuan evaluasi tentang keberlakuan dari persamaan dan teorema mengenai probabilitis cakupan naive interval utuk parameter yang berupa vektor baris atau vektor kolom hendaknya menggunakan program yang dikerjakan dalam MATLAB, itu di karenakan peneliti akan berbicara dalam ruang berdimensi n. Daftar Pustaka Chin, S.F., Storkson, J.M., Albright, K.J., Cook, M.E. & Pariza, M.W.: Conjugate linoleic acid is a growth factor for rats as shown by enhanced weight gain and improved feed effeciency. Journal of Nutrition 124, 2344 – 2349 (1994) Fang, K.T. & Wang, Y.: Number-theoretic Methods in Statistics. Chapman & Hall, London (1994) Farchione, D.: Interval estimators that untilize uncertain prior information. Unpublished Ph.D. thesis, Departement of Mathematics and

̂

̂

√

]

Statistics, La Trobe University (2009) Freund, R.J., Wilson, W.J. & Sa, P.: Regression Analysis: Statistics Modeling of a Response Variabel, 2ed ed.. Elsevier, Academic Press, Burlington, Mass. (2006) Graybill, F. A.: Theory and Application of the Linear Model. Duxbury, Pacific Grove, CA (1976) Kabaila, P.: On the coverage probability of cofidence intervals in regression after variable selection. Australiaan & New Zealand Journal of Statistics 47, 549-562 (2005) Kabaila, P., Leeb, H.: On the Large-sample minimal coverage probability of confi-dence intervals after model selection. Journal of the American Statistical Association 101, 619-629 (2006) Kabaila, P., Giri, K.: Upper bounds on the minimum coverage probability of con-fidence intervals in regression after model selection. Australian & New Zealand Journal of Statistics 51, 271 – 288 (2009) Kabaila, P., Farchione, D.: The coverage probabililty of confidence intervals in regression after a preliminary F tast. Departement of Mathematics and Statistics, La Trobe University, Victoria 3086, Australia Herrhyanto, N., Gantini, T.: Pengantar Statistika Matematika, CV. Irama Widya

335


Knuth, D.E.: Two notes on notation. American Matematican Monthly 99, 403–422 (1992) Kuehl, R.O.: Design of Experiments: Statistical Principles of Research Design and Analysis, 2nd ed.. Brooks/Cole, Pacific Grove, CA (2002)

336

Probabilitas Cakupan Interval Konfidensi dalam Regresi Setelah Dilakukan Uji F Awal

Recommend Documents