ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

Oleh NUR ITSNAINI HASANAH M0105054

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user 2011

i


digilib.uns.ac.id

SKRIPSI ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

yang disiapkan dan disusun oleh NUR ITSNAINI HASANAH M0105054

dibimbing oleh Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dra. Yuliana Susanti, M.Si NIP. 19611219 198703 2 001

Drs. Pangadi, M.Si NIP. 19571012 199103 1 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Senin tanggal 7 Februari 2011 dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji

Tanda tangan

1.

Drs. Sugiyanto, M.Si NIP. 19611224 199203 1 003

1.

2.

Dra. Etik Zukhronah, M.Si NIP. 19661213 099203 2 001

2.

3.

Drs. Muslich, M.Si NIP. 19521118 197903 1 001

3.

Surakarta,

Maret 2011

Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematika,

Prof. Dr. Sutarno, M.Sc, Ph.Dcommit to user Drs. Sutrima, M.Si NIP. 19600809 198612 1 001 NIP. 19661007 199302 1 001 ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT ABSTRAK. Rantai Markov diskrit adalah proses stokastik dengan ruang state dan ruang parameternya diskrit serta memenuhi sifat Markov. Rantai Markov ditentukan dengan probabilitas awal dan probabilitas transisi. Jika probabilitas transisi tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data. Salah satu cara penyelesaian analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Tujuan dari penulisan ini adalah menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk 6. ditentukan oleh pˆ ij L £ pij £ pˆ ijU dengan pˆ ij L sebagai batas bawah interval dan pˆ ijU sebagai batas atas interval, untuk i, j = 1,2,…,r.

Kata kunci : interval konfidensi, probabilitas transisi, rantai Markov diskrit.

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, CONFIDENCE INTERVAL FOR TRANSITION PROBABILITY FROM DISCRETE MARKOV CHAIN ABSTRACT. The discrete markov chain is stochastic process whose state and parameter space are discrete and satisfies Markov property. It depends on initial state and transition probability. If the transition probability is unknown so it arises the problem of making inferences about them from data. One of the way to solve the statistical analysis of markov chain is to carry over the markov chain to the chi square methods which applied in the multinomial case. The aim of this task is to find confidence interval for transition probability from discrete markov chain. The result shows that the 100(1-a)% confidence interval for transition probability 6. is determined by pˆ ij L £ pij £ pˆ ijU where pˆ ij L as lower bound and pˆ ijU as upper bound, for i, j = 1,2,…, r.

Key words: confidence interval, transition probability, discrete markov chain.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya tulis ini penulis persembahkan untuk v Bapak Ibu dan keluarga yang penulis sayangi. v Orang-orang yang memberi nasihat, saran, dan kritik pada penulis.

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim. Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah ‘Azza wa Jalla yang telah memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga shalawat dan salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad Shallallahu ‘alaihi wa Sallam, keluarga dan para shahabatnya. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si selaku pembimbing I atas bimbingan dan arahannya dalam mengerjakan skripsi ini, 2. Bapak Drs. Pangadi, M.Si selaku pembimbing II atas bimbingan dan arahannya, 3. NOVI MOTOR Kartasura, atas kesediaannya memberikan informasi yang dibutuhkan penulis, 4. Semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis berharap semoga penulisan skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Februari 2011

Penulis

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………..

i

PENGESAHAN ……………………………………………………………... ii ABSTRAK …………………………………………………………………..

iii

ABSTRACT …………………………………………………………………..

iv

PERSEMBAHAN …………………………………………………………… v KATA PENGANTAR ……………………………………………………….

vi

DAFTAR ISI ………………………………………………………………...

vii

DAFTAR SIMBOL ………………………………………………………….

viii

BAB I PENDAHULUAN …………………………………………………… 1 1.1 Latar belakang Masalah …………………………………………………. 1 1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….

2

1.3 Batasan Masalah …………………………………………………………

3

1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan …………………………………………..

3

BAB II LANDASAN TEORI ……………………………………………….. 4 2.1 Tinjauan Pustaka ………………………………………………………… 4 2.2 Kerangka Pemikiran ……………………………………………………..

12

BAB III METODE PENULISAN …………………………………………...

13

BAB IV PEMBAHASAN …………………………………………………...

14

4.1 Model Rantai Markov …………………………………………………… 14 4.2 Penduga Maksimum Likelihood ………………………………………… 15 4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga 6. …………………………………... 17 4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi …………………………

19

4.5 Contoh Kasus ……………………………………………………………. 22 BAB V PENUTUP …………………………………………………………..

26

5.1 Kesimpulan ………………………………………………………………

26

5.2 Saran ……………………………………………………………………..

26

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………….

27

LAMPIRAN ………………………………………………………………… commit to user

28

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR SIMBOL

S

: ruang sampel

W

: ruang parameter

q

: parameter

X

: variabel random

x

: nilai variabel random

f(x)

: fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) dari variabel random X

F(x)

: fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X ,

,…,

|

zϨ

,

: fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random

,…,

: fkp bersyarat dari x 2 diberikan 1 = : harga harapan dari X : variansi dari X : kovariansi dari X dan Y : fungsi pembangkit momen

L( q )

: fungsi likelihood

∇ ( , , )

: gradien

6̂.

: penduga probabilitas transisi

6. .

1

, ,

: probabilitas transisi dari state i ke state j

: jumlah transisi dari state i ke state j

commit to user

viii


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah Proses stokastik merupakan cara untuk mempelajari hubungan dinamis dari suatu runtun peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti. Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan perubahan dari sebuah sistem yang mengandung ketidakpastian sehingga model deterministik tidak dapat digunakan untuk menganalisis sistem tersebut. Ross (1983) memberikan definisi proses stokastik { X (t ), t Î T } sebagai barisan variabel random yang diberi indeks waktu t yang nilainya berubah-ubah sesuai dengan himpunan indeks T. Nilai dari variabel random X(t) tersebut dinamakan state pada saat t. Menurut Parzen (1962), proses stokastik parameter diskrit

{X (t ), t = 0,1,2,...}

atau proses stokastik parameter kontinu

{X (t ), t ³ 0}

disebut sebagai proses Markov jika untuk sembarang harga t 0 < t1 < t 2 < ... < t n probabilitas bersyarat dari X (t n ) diberikan X (t 0 ),..., X (t n -1 ) hanya bergantung pada X (t n -1 ) atau bisa dituliskan sebagai

P[ X (t n ) = xn X (t 0 ) = x0 ,..., X (t n-1 ) = xn -1 ] = P[ X (t n ) = xn X (t n -1 ) = xn-1 ] . Pada dasarnya proses stokastik dikelompokkan berdasarkan sifat ruang parameter dan sifat ruang state (state space). Berdasarkan sifat ruang parameternya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik parameter diskrit dan proses stokastik parameter kontinu. Berdasarkan sifat ruang state-nya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik dengan ruang state diskrit dan proses stokastik dengan ruang state kontinu. Rantai Markov waktu diskrit { X t , t Î T } adalah proses stokastik yang mempunyai ruang state berupa himpunan berhingga atau terhitung dengan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…} yang memenuhi

P[ X n = xn X 0 = x0 , X 1 = x1 ,..., X n -1 = xn -1 ] = P[ X n = xn X n-1 = xn -1 ] . commit to user

1

2 digilib.uns.ac.id


Proses Markov dikatakan sebagai rantai Markov jika ruang statenya diskrit. Probabilitas bersyarat P[ X n = j X n-1 = i] biasa disebut dengan probabilitas transisi rantai Markov. Jika probabilitas transisi tidak diketahui atau probabilitas transisi tersebut merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data empiris. Dalam statistik, inferensi adalah proses penarikan kesimpulan tentang distribusi populasi berdasarkan distribusi sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu cabang penting dari inferensi statistik adalah estimasi (pendugaan) yang terdiri dari dua macam yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Tujuan estimasi titik adalah menduga nilai parameter yang tidak diketahui. Estimasi titik sendiri tidak memberikan informasi akurasinya. Estimasi interval diperlukan untuk mengetahui seberapa dekat atau seberapa besar harapan estimasi titik itu mendekati nilai yang sebenarnya. Selain itu, estimasi interval sendiri bisa digunakan dalam proses pengambilan kesimpulan. Dalam banyak literatur, kebanyakan para peneliti mengunakan metode maksimum likelihood untuk mengestimasi probabilitas transisi rantai markov sebagaimana dalam Spring 2009. Sulistyowati (2003) telah membahas tentang estimasi titik dan uji hipotesis dalam rantai Markov. Oleh karena itu, dalam skripsi ini akan dibahas mengenai interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov dan dikaji ulang tentang pendugaan probabilitas transisi rantai Markov dengan metode maksimum likelihood.

1.2

Rumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.

commit to user

3 digilib.uns.ac.id


1.3 Batasan Masalah Berdasarkan pada rumusan masalah di atas, pembahasan dalam skripsi ini dibatasi pada penerapan metode maksimum likelihood dalam mengestimasi probabilitas transisi rantai Markov orde satu dengan

ruang state berhingga

(diskrit).

1.4

Tujuan dan Manfaat Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mampu menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit. Dengan tercapainya tujuan ini, penulisan skripsi ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang inferensi statistik pada rantai Markov khususnya pada estimasi interval konfidensi probabilitas transisinya.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Untuk mendukung pembahasan dalam skripsi ini dibutuhkan teori-teori dasar berikut.

2.1.1. Ruang Sampel, Kejadian, Probabilitas dan Variabel Random Beberapa definisi yang berkaitan dengan ruang sampel, kejadian, probabilitas dan variabel random berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1.1 Ruang sampel S dari suatu percobaan adalah himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin dari percobaan tersebut. Definisi 2.1.2 Suatu kejadian (event) adalah sembarang subset dari hasil yang termuat dalam ruang sampel. Definisi 2.1.3 Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Definisi 2.1.4 Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e dalam ruang sampel S dengan bilangan real sedemikian sehingga X(e) = x, x Î R. Definisi 2.1.5 Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan terhitung * , * , … , *

atau * , * , … maka variabel

random X disebut variabel random diskrit. Fungsi * =

[ = *] untuk x =

* , * , … disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit.

Definisi 2.1.6 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X didefinisikan * =

untuk sembarang bilangan real dengan

[ ≤ *].

Definisi 2.1.7 Variabel random X disebut variabel random kontinu jika fungsi distribusi kumulatifnya bisa dinyatakan sebagai

* =

% .

Definisi 2.1.8 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random diskrit X = * ,…,

,…,

= * ].

didefinisikan sebagai * , * , … , * commit to user

4

=

[

= * ,

=

5 digilib.uns.ac.id


Definisi 2.1.9 Jika X 1 dan X 2 merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi kepadatan probabilitas bersama (* , * ) maka fungsi kepadatan probabilitas bersyarat dari x 2 diberikan X 1 = x1 didefinisikan sebagai

* |*

,

=

untuk nilai-nilai x1 sedemikian sehingga *

> 0 dan nol untuk nilai yang lain.

Definisi 2.1.10 Jika X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x ) maka harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai

* = ∑ * (*) * =

jika X diskrit

* (*) %*

jika X kontinu

Definisi 2.1.11 Variansi dari variabel random X diberikan oleh l * =

[( − ) ]

Definisi 2.1.12 Kovariansi dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan dengan Cov ( X , Y ) = E[( X - m x )(Y - m y )]

Definisi 2.1.13 Jika X variabel random maka M X (t ) = E (e tX )

Disebut fungsi pembangkit momen dari X jika harga harapan ini ada untuk semua nilai t dalam suatu interval - h < t < h , untuk suatu h > 0.

2.1.2. Distribusi Multinomial Definisi 2.1.10 (Lebanon, 2006) Variabel random X 1 , X 2 ,..., X k mempunyai distribusi multinomial dengan parameter n dan p1 , p 2 ,..., p k dengan p i ³ 0 ,

k

åp i =1

kepadatan probabilitas

n æ ö x1 x2 ÷÷ p1 p 2 ... p kxk f ( x1 ,..., x k ) = çç x x ... x è 1 2 kø jika xi ³ 0 dan

k

åx i =1

i

untuk yang lain, = n dan nolcommit to user

i

= 1 jika mempunyai fungsi

6 digilib.uns.ac.id


dengan * * … *

=

!

!

!…

.

!

Distribusi multinomial digunakan ketika dipunyai sebuah percobaan dengan k

kemungkinan hasil, yang masing-masing terjadi dengan probabilitas

pi .

Percobaaan diulang sebanyak n kali dan X 1 , X 2 ,..., X k mengukur jumlah kejadian masing-masing kelas (hasil). Karena terdapat n percobaan, maka k

jumlah keseluruhan hasil adalah

åx i =1

k

hasil i sebesar p i , maka

åp i =1

i

i

= n , dan karena probabilitas memperoleh

= 1.

2.1.3. Distribusi Normal, Gamma dan Chi Kuadrat Definisi berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1.11 Suatu variabel random X mengikuti distribusi normal dengan mean m dan variansi s 2 jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f ( x; m , s ) =

1 2p s

e [( x - m ) / s ]

2

2

untuk - ¥ < x < ¥ dengan - ¥ < m < ¥ dan 0 < s < ¥ . Notasi yang menyatakan X berdistribusi normal adalah X ~ N ( m , s 2 ) . Definisi 2.1.12 Fungsi gamma dinotasikan dengan G (k ) untuk semua k > 0, didefinisikan sebagai ¥

G(k ) = ò t k -1e -t dt . 0

Definisi 2.1.13 Variabel random X dikatakan berdistribusi gamma dengan parameter k > 0 dan q > 0 , jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas -x ì 1 x k -1e q ï k f ( x;q , k ) = íq G(k ) ïî 0

untuk x > 0 untuk x yang lain.

Notasi khusus yang menunjukkan X berdistribusi gamma yaitu X ~ GAM ( q , k ). commit to user

7 digilib.uns.ac.id


Definisi 2.1.14 Jika X ~ GAM ( 2, v ) maka variabel X dikatakan berdistribusi 2

c 2 dengan derajat bebas v dinotasikan dengan X ~ c 2 (v). Teorema 2.1.1 Jika X ~ c 2 (v) maka M x (t ) = (1 - 2t ) - v 2 E( X ) = v Var ( X ) = 2v

Teorema 2.1.2 Jika X i ~ c 2 (vi ) , i = 1,..., n, maka n

n

i =1

i =1

Y = å X i ~ c 2 (å vi ) .

Teorema 2.1.3 Jika Z ~ N (0,1) maka Z 2 ~ c 2 (1) . Teorema 2.1.4 (Teorema Limit Pusat) Jika X 1 ,.., X n adalah sampel random dari sebuah distribusi dengan mean m dan variansi s 2 , maka distribusi limit n

dari Z n =

åX i =1

i

- nm

ns

d adalah distribusi normal standar, Z n ¾ ¾® Z ~ N (0,1)

untuk n ® ¥ .

Definisi 2.1.15 Misalkan Y1 , Y2 ,... adalah deretan variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif G1 ( y ), G2 ( y),... sedemikian sehingga untuk tiap n = 1, 2, ... berlaku Gn ( y ) = P[Yn £ y ] . Jika untuk suatu fungsi distribusi kumulatif G ( y ) berlaku lim G n ( y ) = G ( y ) untuk semua nilai y dan G ( y ) kontinu maka Y1 , Y2 ,... n ®¥

dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y ~ G ( y ) yang dinotasikan dengan d Yn ¾ ¾® Y.

2.1.4. Metode Maksimum Likelihood Metode maksimum likelihood adalah metode yang cukup sering digunakan untuk menduga nilai parameter. Ide dasartometode commit user ini adalah menggunakan sebuah

8 digilib.uns.ac.id


nilai dari ruang parameter yang menghasilkan peluang terbesar untuk menduga nilai parameter yang tidak diketahui. Berikut ini adalah beberapa definisi tentang fungsi likelihood dan penduga maksimum likelihood yang dinyatakan oleh Bain dan Engelhardt (1992). Definisi 2.1.16 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari n variabel random X 1 ,.., X n yang diberi nilai x1 ,.., x n adalah f ( x1 ,.., x n ;q ) dan disebut sebagai

fungsi likelihood. Untuk x1 ,.., x n tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dari q yang dinotasikan dengan L( q ). Jika X 1 ,.., X n adalah sampel random dari f ( x;q ) maka

L( q ) = f ( x1 ;q )... f ( x n ;q ) . Definisi 2.1.17 Misalkan L( q ) =

f ( x1 ,.., x n ;q ) , q Î W , merupakan fungsi

likelihood. Untuk suatu himpunan pengamatan { x1 ,.., x n }, nilai qˆ di dalam W yang memaksimumkan L( q ) disebut penduga maksimum likelihood dari q . Jadi,

qˆ adalah nilai dari q yang memenuhi f ( x1 ,.., x n ;q ) = maks f ( x1 ,..., x n ;q ) . q ÎW

2.1.5. Metode Pengali Lagrange Metode Pengali Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x, y, z) terhadap kendala g(x, y, z) = k. Langkahnya adalah a. Menyelesaikan persamaan Lagrange Ñf ( x, y, z ) = lÑg ( x, y, z )

konstanta l disebut pengali Lagrange. b. Menghitung f di semua titik (x, y, z) yang dihasilkan dari langkah (a). Nilai yang terbesar adalah nilai maksimum f, sedangkan nilai yang terkecil adalah nilai minimum f. (Dawkins, 2007 ).

commit to user

9 digilib.uns.ac.id


2.1.6. Statistik Cukup Definisi 2.1.18 (Bain dan Engelhardt, 1992) Suatu fungsi variabel random yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui disebut statistik. Definisi 2.1.19 (Bain dan Engelhardt, 1992) Misalkan X = ( X 1 ,.., X n ) mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama f ( x1 ,.., x n ;q ) dan T = (T1 ,.., Tk ) adalah sebuah vektor statistik. T adalah statistik

cukup bersama untuk q jika fungsi kepadatan probabilitas bersyarat fV t (v) tidak bergantung pada q , dengan V merupakan vektor statistik yang lain. Dalam kasus satu dimensi cukup dikatakan bahwa T adalah statistik cukup untuk q . Definisi 2.1.20 Kriteria Faktorisasi (Bain dan Engelhardt, 1992) Jika X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama f ( x1 ,.., x n ;q ) dan T = (T1 ,.., Tk ) maka T1 ,.., Tk merupakan statistik cukup bersama untuk q jika dan

hanya jika f ( x1 ,.., xn ; q ) = g (t ;q ) h( x1 ,..., xn )

dengan g(t;q) tidak bergantung pada x1 ,.., x n dan h( x1 ,.., x n ) tidak mengandung

q. Menurut Laurence dan Chein-I Chang (1993), dalam model rantai Markov bisa ditunjukkan bahwa state awal dan jumlah transisi membentuk suatu statistik cukup dengan kriteria faktorisasi. 2.1.7. Interval Konfidensi untuk q Definisi 2.1.21 (Bain dan Engelhardt, 1992) Misalkan X 1 ,.., X n mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama f ( x1 ,.., x n ;q ) . Sedangkan L dan U adalah statistik dengan L = l ( X 1 ,.., X n ) dan U = u ( X 1 ,.., X n ) . Jika diketahui suatu data percobaan x1 ,.., x n , maka dipunyai

nilai pengamatan l ( x1 ,.., x n ) dan u ( x1 ,.., x n ) . Interval ( l ( x1 ,.., x n ) , u ( x1 ,.., x n ) ) dikatakan sebagai interval konfidensi 100(to1 user - a )% untuk q jika commit

10 digilib.uns.ac.id


P[l ( X 1 ,.., X n ) < q < u ( X 1 ,.., X n )] = 1 - a .

Nilai pengamatan l ( x1 ,.., x n ) dan u ( x1 ,.., x n ) disebut batas konfidensi bawah dan atas. Untuk menentukan interval konfidensi yang memperhitungkan semua parameter digunakan interval konfidensi simultan. Dalam menentukan interval konfidensi

simultan,

digunakan

pertidaksamaan

Bonferroni

untuk

mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Teknik perhitungan interval konfidensi ini diperkenalkan oleh Goodman (Petrie, 1998).

2.1.8. Rantai Markov Diskrit Menurut Taylor dan Karlin (1994), proses Markov adalah proses stokastik yang mempunyai sifat jika diberikan nilai X n , nilai X n +1 tidak dipengaruhi oleh nilai X m , untuk m < n. Secara formal, suatu proses dikatakan proses Markov jika memenuhi sifat Markov yaitu

P[ X n+1 = j X 1 = i1 ,..., X n -1 = in -1 , X n = i ] = P{ X n+1 = j X n = i} . Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov yang mempunyai ruang state berhingga atau terhitung dan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…}. Probabilitas X n +1 akan berada pada state j dengan syarat X n berada pada state i disebut

probabilitas transisi satu langkah yang dinotasikan dengan pijn ,n +1 .

pijn, n+1 = P{ X n+1 = j X n = i} . Notasi ini menyatakan bahwa secara umum, probabilitas transisi selain merupakan fungsi state awal dan akhir, juga merupakan fungsi selang waktu. Jika probabilitas transisi satu langkah independen terhadap variabel waktu n, maka dikatakan rantai Markov mempunyai probabilitas transisi stasioner, sehingga pijn ,n +1 = pij , dengan

pij adalah probabilitas bersyarat proses akan bergerak dari state i ke state j. Untuk selanjutnya probabilitas transisi ini dinyatakan dengan bentuk matriks berikut. commit to user



é p11 êp 21 P = ê ê ê ë p r1 dengan pij ³ 0 ,

p1r ù p 2 r úú ú ú p rr û

p12 p 22 pr 2 r

åp j =1

ij

=1

i, j = 1,2,…,r.

Selain probabilitas transisi, rantai Markov juga ditentukan dengan distribusi probabilitasnya (distribusi awal). Misalkan P[ X 0 = i ] = pi . Dengan definisi probabilitas bersyarat diperoleh P[ X 0 = i0 , X 1 = i1 ,..., X n = in ] = P[ X 0 = i0 , X 1 = i1 ,..., X n-1 = in-1 ]

´ P[ X n = in X 0 = i0 , X 1 = i1 ,..., X n-1 = in-1 ] . Dari definisi proses Markov,

P[ X n = in X 0 = i0 ,..., X n-1 = it -1 ] = P{ X n = in X n-1 = in-1} . = Pin -1in . Sehingga diperoleh P[ X 0 = i0 , X 1 = i1 ,..., X n = in ] = P[ X 0 = i0 ] ´ P{ X n = in X n-1 = in-1} ´ … ´

P{ X 1 = i1 X 0 = i0 } = p i0 pi0i1 ... pin -1in . Ini menunjukkan bahwa rantai Markov ditentukan oleh probabilitas di awal proses dan probabilitas transisinya. Suatu matriks probabilitas transisi P dikatakan regular jika matriks tersebut dipangkatkan oleh suatu konstanta positif k maka matriks Pk seluruh elemennya bernilai positif. Matriks peluang transisi yang demikian serta rantai Markov yang berkaitan dengannya disebut regular. Hal yang penting dalam rantai Markov regular adalah adanya limiting probability distribution p = (p 1 , p 2 ,...,p r ) dimana p j > 0 untuk j = 1, 2,…, r. dan

åp

j

= 1 . Secara formal, untuk matriks

j

probabilitas transisi regular terdapat konvergensi, commit to user



lim P[ X n = j X 0 = i] = p j > 0 , untuk j = 1, 2,…, r . n ®¥

Konvergensi di atas menyatakan bahwa dalam jangka waktu yang lama ( ⟶ ∞), probabilitas proses berada di state j adalah p j , tanpa memperhatikan dimana rantai tersebut berawal.

Beberapa definisi tentang sifat state rantai Markov berikut dinyatakan oleh Ross (1983). Definisi 2.1.22 State j dikatakan dapat dicapai dari state i , i ® j , jika terdapat

n ³ 0 sedemikian sehingga pij > 0 . Jika i ® j dan j ® i maka i dan j n

dikatakan saling berkomunikasi, ditulis i « j . Suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika semua state-nya saling berkomunikasi satu sama lain. n

Definisi 2.1.23 Untuk sebarang i dan j, f ij menyatakan probabilitas dari state i pertama kali tiba di j dalam n langkah, yang dinyatakan sebagai f ij = Pr{ X n = j , X k ¹ j , k = 1,2,..., n - 1 X 0 = i} . n

Definisi 2.1.24 Suatu state i dikatakan recurrent jika f ii = 1 (probabilitas bahwa i akan kembali ke i adalah 1) sedangkan state i dikatakan non-recurrent atau transient jika f ii < 1 .

2.2

Kerangka Pemikiran

Berdasarkan pada tinjauan pustaka di atas, dapat disusun suatu kerangka pemikiran dalam penulisan skripsi ini. Estimasi probabilitas transisi dapat ditentukan dengan metode maksimum likelihood. Pengali Lagrange digunakan untuk memaksimumkan fungsi likelihood. Setelah diketahui distribusi asimtotik dari penduga probabilitas transisi, interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov bisa ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENULISAN

Dalam penulisan skripsi ini metode yang digunakan adalah studi literatur, yaitu keseluruhan bahan untuk penelitian ini diambil dari buku-buku referensi terutama yang berhubungan dengan proses stokastik (rantai Markov) dan inferensi statistik khususnya tentang estimasi interval konfidensi. Sesuai dengan tujuan penulisan, yaitu menyajikan interval konfidensi pada rantai Markov diskrit, maka langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah 1. Mengkaji ulang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi rantai Markov. 2. Mengkaji ulang distribusi asimtotik dari penduga pij . 3. menentukan interval konfidensi simultan untuk probabilitas sel dalam distribusi multinomial. 4. menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov.

commit to user

13


digilib.uns.ac.id

BAB IV PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit, sifat-sifat penduganya dan interval konfidensinya.

4.1 Model Rantai Markov Misalkan {Xk} adalah rantai markov dengan ruang state berhingga, dengan pij menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di

state i pada waktu k – 1,

pij = P[ X k = j X k -1 = i] , untuk i, j =1, 2, …, r dan probabilitas awal pi = P[ X 0 = i ] .

Misalkan x = {x0 , x1 ,..., x n } adalah sampel dari rantai Markov orde satu dengan probabilitas transisi pij dan probabilitas awal p i . Jika x adalah realisasi dari variabel random X maka probabilitas bahwa X = x adalah P[ X 0 = x0 , X 1 = x1 ,..., X n = x n ]

= P[ X 0 = x0 ,..., X n -1 = x n-1 ] ´ P[ X n = xn X n-1 = xn -1 ] = P[ X 0 = x0 ,..., X n -2 = x n-2 ] . P[ X n -1 = xn -1 X n- 2 = xn -2 ] . P[ X n = xn X n-1 = xn -1 ] = P[ X 0 = x0 ] . P[ X 1 = x1 X 0 = x0 ] … P[ X n = xn X n-1 = xn -1 ] = p x0 p x0 x1 ... p xn -1xn r

=

Õ P[ X

0

= x0 ] . P[ X n = i X n -1 = j ]

i, j

r

= p x0 Õ p ij . i, j

Kemudian didefinisikan sij adalah jumlah transisi dari state i ke j, maka commit to user

14



P[ X 0 = x0 , X 1 = x1 ,..., X n = x n ] = p x0

r

Õp

sij ij

.

(4.1)

i, j

Berdasarkan definisi 2.1.20, persamaan (4.1) menunjukkan bahwa sij dan state awal membentuk suatu statistik cukup yaitu T = { x 0 , s ij } dengan h( x1 ,..., xn ) = 1.

4.2 Penduga Maksimum Likelihood untuk pij Misalkan {x0 , x1 ,..., x n } adalah realisasi dari n + 1 variabel random. Fungsi likelihood untuk sampel ini adalah L(p) = P[ X 0 = x0 , X 1 = x1 ,..., X n = xn ] = p x0

r

Õp

sij ij

(4.2)

i, j

dengan sij menyatakan jumlah transisi satu langkah dari state i ke j. Fungsi log-likelihood dari persamaan (4.2) adalah r

ln L( p) = ln p x0 + å sij ln pij .

(4.3)

i, j

Untuk memperoleh estimasinya, persamaan (4.3) diturunkan terhadap

pij ,

diperoleh ¶ ln L( p ) sij . = ¶pij pij

Jika persamaan di atas disamadengankan nol maka hasilnya akan menyatakan bahwa estimasi probabilitas transisi bernilai ¥ . Oleh karena itu, digunakan metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan ln L(p). Didefinisikan fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimumkan ln L ( p ) , dengan r r

konstrain,

åp

ij

= 1 , untuk masing-masing i, dan l1 , l 2 ,..., l r sebagai konstanta

j

pengali Lagrange. Diperoleh fungsi baru,

æ r ö M = ln L( p) - å li çç å pij - 1÷÷ i =1 è j ø commit to user r



r r æ r ö = ln p x0 + å sij ln pij - å li çç å p ij - 1÷÷ i, j i =1 è j ø

Untuk memaksimumkan fungsi ln L ( p ) , maka fungsi M di atas diturunkan terhadap pij dan li . §

¶M =0 ¶pij sij

- li = 0

pij

sij

pij =

§

li

¶M =0 ¶l i r

åp

=1

ij

j

Karena persamaan konstrain, r

sij

j

i

ål

=1 Û

r

ås

ij

= li

j

maka diperoleh penduga maksimum likelihood untuk pij yaitu

pˆ ij =

sij

.

r

ås j =1

ij

Dengan demikian matriks estimasi probabilitas transisinya adalah

é pˆ 11 ê pˆ P = ê 21 ê M ê ë pˆ r1

pˆ 12 L pˆ 22 L M O pˆ r 2 L

s12 é s11 L r ê r ê å s1 j å s1 j ê j =1 j =1 pˆ 1r ù ê s s 22 21 L ú ê r r pˆ 2 r ú = ê s2 j å s2 j M ú êå j =1 j =1 ú ê M M O pˆ rr û ê s sr 2 r1 ê r L n ê s å rj commit tos rjuser êå j = 1 j = 1 ë

s1r ù ú s å 1j ú ú j =1 s2r ú ú r ú s å 2j ú j =1 M ú s rr ú . ú r s rj ú å ú j =1 û r



4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga pij Misalkan prosesnya dianggap stasioner, maka bisa diasumsikan bahwa pi = P[ X k = i ] = p i untuk semua k. Kemudian p i mengandung informasi tentang r

probabilitas transisi pij karena memenuhi persamaan p u = å p u p ku . k =1

Menurut Sulistyowati (2003), s ö æ pç lim i ÷ = p i . è n ®¥ n ø

(4.4)

Selanjutnya, persamaan (4.4) akan digunakan untuk mengetahui distribusi asimtotik dari penduga pij . Berikut ini penjelasan Billingsley (1960) tentang distribusi asimtotik dari penduga pij . Misalkan β = 6144 , … , 14 , … , 1 4 , … 1

adalah vektor parameter dan β = (1̂44 , … , 1̂4 , … , 1̂ 4 , … 1̂ ) adalah vektor penduga parameter dengan

pˆ ij =

sij si

(β

, maka

− β) konvergen dalam

distribusi ke distribusi normal dengan mean 0 dan matriks kovariansi S yang komponennya diberikan oleh ,

dengan

=

(

ì1 d uv = í î0

1 − 1 1 ).

(4.5)

untuk u = v untuk u ≠ v

Misalkan diketahui variabel random independen X 1 dan Win (i = 1, 2,…, r ; n = 1, 2,…) sedemikian sehingga &

4

=

=

dan P[Win = j ] = p ij .

Selanjutnya variabel Win diilustrasikan dalam bentuk berikut W11 , W12 ,..., W1n ,... W21 , W22 ,..., W2 n ,... ............................ Wr1 , Wr 2 ,..., Wrn ,... .

Mula-mula X 1 disampel. Misalkan diperoleh X 1 = i, maka variabel pertama baris ke-i disampel, hasilnya X 2 . Misalkan X 2 = j, maka variabel pertama pada baris commit to user ke-j disampel, hasilnya X 3 , dan seterusnya. Kemudian X 2 didefinisikan sebagai



W x11 dan seterusnya sampai X n +1 didefinisikan sebagai Wxn n . Pengilustrasian di

atas bisa ditulis { X k = x k ,1 £ k £ n + 1} = { X 1 = x1 , W xk -1k -1 = x k ,2 £ k £ n + 1} .

Karena variabel-variabel tersebut independen, maka P{x k = a k ,1 £ k £ n + 1} = P{x1 = a1}P{wa11 = a 2 }...P{wan n = a n +1 }

= p a1 p a1a2 ... p an an +1 . Sehingga jelas bahwa, untuk i tetap, ( si1 ,..., sir ) adalah jumlah transisi untuk ( wi1 ,..., wisi ) . Karena si dekat dengan np i (berdasarkan persamaan (4.4)), maka

( si1 ,..., sir ) bisa dibandingkan dengan ( f i1 ,..., f ir ) yang merupakan jumlah transisi

dari ( wi1 ,..., wi[ np i ] ) . Karena masing-masing baris win independen, kemudian berdasarkan teorema limit pusat untuk percobaan multinomial, variabel random

g ij =

f ij - [np i ] pij

yang

g ij ' =

akan berdistribusi normal asimtotik dengan matriks kovariansi

np i diberikan

sij - si pij

oleh

persamaan

(4.5).

Selanjutnya,

variabel

random

akan mempunyai distribusi limit yang sama dengan g ij karena

np i

f ij - [np i ] pij n

-

sij - si pij n

konvergen dalam probabilitas ke 0 pada saat n ® ∞. Kemudian, berdasarkan persamaan (4.4), variabel Fij = dengan Variabel

=

=

=

s i ( bˆ - b ) mempunyai distribusi limit yang sama

. Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut.

=

(

−

−

− 1

−

1

) bisa dinyatakan dengan

.

commit to user

=

/

.



=

(

)

Karena ( / ) →

.

,

= maka

dan

/

mempunyai distribusi yang sama.

4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Salah satu cara sistematis untuk menyelesaikan analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Oleh karena itu, sebelum membahas interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov, terlebih dahulu dibahas tentang interval konfidensi untuk parameter multinomial (dalam hal ini adalah probabilitas sel).

4.4.1 Interval Konfidensi untuk Parameter Multinomial Distribusi multinomial digunakan untuk situasi dimana terdapat lebih dari 2 hasil yang mugkin pada setiap percobaan. Dengan kata lain, untuk n percobaan independen, terdapat k hasil yang mungkin yang masing-masing memiliki probabilitas. Sebelum

menurunkan

interval

konfidensi

simultan,

digunakan

pertidaksamaan Bonferroni untuk mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Untuk masing-masing parameter yang tak diketahui pi , i = 1, 2, …, k, ada interval ( pli , pui ), masing-masing dengan koefisien konfidensi

a . Anggap Ei k

adalah kejadian dimana ( pli , pui ) mengandung pi . Sehingga Ei merupakan komplemen dari Ei , atau kejadian dimana ( pli , pui ) tidak mengandung pi . Probabilitas Ei menjadi P[ Ei ] =

a k

untuk i = 1, 2, …, k.

(4.6)

Untuk memperoleh interval konfidensi simultan, semua kejadian Ei harus terjadi secara simultan. Sehubungan dengan probabilitas simultan semua kejadian dan komplemennya, diperoleh

commit to user



P[ E1 Ç ... Ç E k ] = 1 - P[ E1 È ... È E k ]

dan jelas bahwa &

4

&

4

∩ …∩

≥ 1 − 6&

&

4

∩ …∩

≥ 1−

Sehingga

∪… ∪

≤ &

4

+ …+ & 4

.

+ …+ &

.

(4.7)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.7), bisa disimpulkan bahwa .

Hasil di atas menyatakan bahwa untuk parameter yang tak diketahui 14 , … , 1 , jika ( pl1 , pu1 ),…,( plk , puk ) adalah interval konfidensi 100[1-

a ]% untuk tiap pi , k

i = 1, 2, …, k, maka probabilitas paling sedikit (1 - a) bahwa interval konfidensi ini secara simultan mengandung p1 ,..., pk . Untuk menurunkan interval konfidensi, masing-masing parameter pi , i = 1, 2, …, k diperlakukan sebagai sebuah variabel random binomial. Pendekatan normal untuk variabel binomial menyatakan Z=

( pˆ i - pi ) pi (1 - pi ) n

~ Za/2 (0,1).

Dengan mengkuadratkan variabel di atas, diperoleh Z2 =

n( pˆ i - p i ) 2 ~ c a2 (1) p i (1 - pi )

(4.8)

dengan ca2 (1) adalah batas atas (1-a) dari distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas satu. Pertidaksamaan Bonferroni diterapkan pada variabel chi kuadrat untuk memperhitungkan semua parameter secara simultan. Persamaan (4.8) ditulis kembali menjadi (1̂ − 1 ) =

,4

1 (1 − 1 ).

Persamaan di atas kemudian diberlakukan untuk semua parameter (1 ,…, 1 ) dan diganti dengan

. Sehingga diperoleh commit to user



n( pˆ i - pi ) 2 = c a2 / k ,1 pi (1 - pi ) untuk semua i = 1, 2, …, k.

(4.9)

Persamaan (4.9) diuraikan menjadi 61̂ − 21 1̂ + 1 = 1̂ − 2 +

,4

1 1̂ +

1 =

1 ,4 ,4

1 + (− 2 1̂ −

−

1 − ,4

1 ,4 ,4

) 1 +

1

1̂ = 0

Sehingga diperoleh interval konfidensi untuk probabilitas multinomial yaitu pui =

- (-2npˆ i - c a2 / k ,1 ) + (-2npˆ i - c a2 / k ,1 ) 2 - 4(n + c a2 / k ,1 )(npˆ i2 ) 2(n + c a2 / k ,1 )

sebagai batas

atas interval dan

pli =

- (-2npˆ i - ca2 / k ,1 ) - (-2npˆ i - ca2 / k ,1 ) 2 - 4(n + ca2 / k ,1 )(npˆ i2 ) 2(n + ca2 / k ,1 )

sebagai batas

bawah interval.

4.4.2 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit Interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial. Misalkan {Xk} adalah rantai markov dengan ruang state berhingga, dengan pij menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1. Diketahui matriks jumlah transisi S berikut

é s11 ês 21 S =ê êM ê ë sr1

s12 s22 M sr 2

s1r ù s2 r úú . O M ú ú ... srr û ... ...

Matriks di atas bisa dituliskan dalam bentuk tabel berikut.

commit to user



State

1

2

…

r

Jumlah r

1

s11

s12

…

s21

s22

…

M

M

…

s1r

ås j =1

1j

= s1

2j

= s2

r

2 M

s2 r

ås j =1

M

M r

r r

Karena

åp j =1

ij

sr 1

sr 2

…

srr

ås j =1

rj

= sr

= 1 , maka interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi

1 bisa ditentukan dengan

si ( pˆ ij - pij ) 2 = ca2 / r ,1 pij (1 - pij ) untuk i, j = 1, 2, …, r

yang mempunyai penyelesaian

pˆ ijU =

- (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) + (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) 2 - 4( si + c a2 / r ,1 )(si pˆ ij2 ) 2( si + c a2 / r ,1 )

(4.10)

sebagai batas atas interval dan

pˆ ij L =

- (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) - (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) 2 - 4( si + c a2 / r ,1 )(si pˆ ij2 ) 2( si + c a2 / r ,1 )

(4.11)

sebagai batas bawah interval.

4.5 Contoh Kasus Dianggap bahwa penjualan dan pembelian mobil menurut jenis badan mobil memenuhi sifat Markov. Artinya seseorang memutuskan untuk membeli mobil berdasarkan bentuk badan mobil yang dia miliki sebelumnya. Jenis badan mobil yang diamati adalah sedan, pick up, dan wagon (kijang). Data diperoleh dari hasil penjualan dan pembelian mobil dalam satu tahun terakhir (tahun 2009 – 2010) dari dealer mobil NOVI MOTOR Kartasura yang melayani penjualan mobil dengan cara tukar tambah. Data disajikan dalam tabel berdasarkan pada model commit to user badan (body) mobil berikut.



Mobil yang

Mobil yang

dibeli

dijual

Jumlah

Pick up

Pick up

48

Pick up

Sedan

13

Pick up

Wagon

11

Sedan

Pick up

36

Sedan

Sedan

35

Sedan

Wagon

47

Wagon

Pick up

37

Wagon

Sedan

13

Wagon

Wagon

36

Misalkan state 1 untuk mobil jenis pick up, state 2 untuk sedan, dan state 3 untuk wagon. Misalkan sij menyatakan jumlah konsumen yang mengganti mobil i dengan mobil j, untuk i, j = 1, 2, 3. Nilai dari sij dapat dinyatakan dalam tabel berikut. 1(pick up)

2(sedan)

3(wagon)

si

1(pick up)

48

13

11

72

2(sedan)

36

35

47

118

3(wagon)

37

13

36

86

sj

121

61

94

276

Jika diasumsikan bahwa perpindahan jenis badan mobil dianggap stabil maka dapat ditentukan estimasi probabilitas transisi dengan pˆ ij =

sij

ås j =1

estimasi probabilitas transisi untuk masalah ini adalah

commit to user

. Matriks

r

ij



P =

1̂44 1̂4 1̂ 4 1̂ 1̂ 4 1̂

1̂4 1̂ 1̂

48 72 36 = 118 37 86

13 72 35 118 13 86

11 72 0,6667 47 = 0,3051 118 0,4302 36 86

0,1805 0,2966 0,1152

0,1528 0,3983 . 0,4186

Dari matriks di atas, dapat dilihat bahwa pembeli yang mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 66,67%, yang menukar mobil jenis pick up dengan sedan 18,05%, yang menukar pick up dengan wagon 15,28%, dan seterusnya. Untuk menentukan interval konfidensi 95 % untuk probabilitas transisi 1 ,

digunakan persamaan (4.10) dan (4.11). Dengan c 02, 05 / 3,1 = 5,7311 , diperoleh -

untuk i = 1, pˆ 11U , L =

pˆ 12U , L =

pˆ 13U , L = -

2( s1 + 5,7311) - (-2 s1 pˆ 12 - 5,7311) ± (-2 s1 pˆ 12 - 5,7311) 2 - 4( s1 + 5,7311)( s1 pˆ 122 ) 2( s1 + 5,7311)

- (-2s1 pˆ 13 - 5,7311) ± (-2s1 pˆ 13 - 5,7311) 2 - 4( s1 + 5,7311)(s1 pˆ 132 ) 2( s1 + 5,7311)

untuk i = 2, pˆ 21U , L =

pˆ 22U , L =

pˆ 23U , L = -

- (-2 s1 pˆ 11 - 5,7311) ± (-2 s1 pˆ 11 - 5,7311) 2 - 4( s1 + 5,7311)( s1 pˆ 112 )

2 - (-2s 2 pˆ 21 - 5,7311) ± (-2s 2 pˆ 21 - 5,7311) 2 - 4(s 2 + 5,7311)(s 2 pˆ 21 )

2(s 2 + 5,7311) 2 - (-2s 2 pˆ 22 - 5,7311) ± (-2s 2 pˆ 22 - 5,7311) 2 - 4(s 2 + 5,7311)(s 2 pˆ 22 )

2( s 2 + 5,7311) 2 - (-2s2 pˆ 23 - 5,7311) ± (-2s2 pˆ 23 - 5,7311) 2 - 4(s 2 + 5,7311)(s2 pˆ 23 )

2(s 2 + 5,7311)

untuk i = 3,

pˆ 31U , L =

2 - (-2s3 pˆ 31 - 5,7311) ± (-2s3 pˆ 31 - 5,7311) 2 - 4( s3 + 5,7311)(s3 pˆ 31 )

2( s3 + 5,7311)

2 - (-2s3 pˆ 32 - 5,7311) ± (-2s3 pˆ 32 - 5,7311) 2 - 4( s3 + 5,7311)(s3 pˆ 32 ) pˆ 32U , L = commit2to (s user + 5,7311) 3



pˆ 33U , L =

2 - (-2s3 pˆ 33 - 5,7311) ± (-2s3 pˆ 33 - 5,7311) 2 - 4(s3 + 5,7311)(s3 pˆ 33 )

2(s3 + 5,7311)

Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut. pij

pˆ ij

p11

Interval konfidensi 95 % Batas bawah

Batas atas

0,6667

0,525822

0,845322

p12

0,1805

0,097001

0,335877

p13

0,1528

0,077405

0,301632

p21

0,3051

0,21462

0,433725

p22

0,2966

0,207268

0,424434

p23

0,3983

0,297546

0,533172

p31

0,4302

0,310731

0,595603

p32

0,1152

0,055897

0,237418

p33

0,4186

0,300271

0,583559

Dari hasil yang diperoleh, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, jumlah pembeli yang tetap mempertahankan mobil jenis pick up sekitar 52,5822% sampai dengan 84,5322%, yang menukar pick up dengan sedan 9,7% sampai dengan 33,5877%, dan seterusnya.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi Z6 ditentukan oleh

pˆ ij L £ pij £ pˆ ijU , dengan pˆ ijU =

- (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) + (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) 2 - 4( si + c a2 / r ,1 )(si pˆ ij2 ) 2( si + c a2 / r ,1 )

sebagai batas atas interval dan

pˆ ij L =

- (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) - (-2si pˆ ij - c a2 / r ,1 ) 2 - 4( si + c a2 / r ,1 )(si pˆ ij2 ) 2( si + c a2 / r ,1 )

sebagai batas bawah interval, untuk i, j = 1, 2, …, r.

5.2 Saran Dalam penulisan skripsi ini, pembahasan mengenai interval konfidensi pada rantai Markov didasarkan pada analogi dari distribusi multinomial. Sebagai saran, penentuan interval konfidensi bisa juga ditentukan dengan metode bootstrap atau metode yang lainnya.

commit to user 26

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

Recommend Documents