ESTIMASI INTERVAL
A. Interval Konfidensi untuk Mean
Definisi
Jika ˆ merupakan estimator untuk parameter dan P ˆ ˆ 1 , maka ˆ ˆ disebut
1
2
1
2
interval konfidensi(1 - )100% untuk . Dimana :1 - koefisien konfidensi ˆ , ˆ batas interval 1
2
tingkat kesalahan
Ingat
Jika X N ,
2
maka
X 1. N 0,1 n
X 2. tn 1 s n
Tabel z
Tabel t
Teorema 1
(interval konfidensi untuk μ jika diketahui)
2
Jika X merupakan sampel random dari populasi normal dengan ukuran n (n 30) dan variansi
2
diketahui, maka interval konfidensi untuk adalah X z 2
n
X z 2
n
Teorema 2
(interval konfidensi untuk μ jika 2 tidak diketahui) Jika X dan s 2 adalah mean dan variansi sampel dari populasi normal dengan ukuran n (n 30) dan variansi tidak diketahui, maka interval 2
konfidensi untuk adalah X t 2
: n 1
s s X t : n 1 n n 2
Kesimpulan:
teorema 1 digunakan jika σ2 diketahui atau n≥30 teorema 2 digunakan jika s2 diketahui dan n<30
1.
Jika suatu sampel random dengan ukuran 40 diambil dari suatu populasi normal dengan variansi 220 dan mean 64,5 maka konstruksikan interval konfidensi 90% untuk .
2.
Suatu perusahaan melakukan tes untuk mengetahui berapa lama waktu pengeringan dari suatu produk cat terbaru, untuk 12 tempat dengan ukuran yang sama diperoleh waktu rata-rata pengeringan selama 66,3 menit dan simpangan baku 8,4 menit. Tentukan interval konfidensi 95% untuk rata-rata waktu pengeringan cat !
1.
2.
3.
Jika suatu sampel random dengan ukuran 43 diambil dari suatu populasi normal dengan variansi 225 dan mean 64,3 maka konstruksikan interval konfidensi 93% untuk . Suatu perusahaan melakukan tes untuk mengetahui berapa lama waktu pengeringan dari suatu produk cat terbaru, dan diperoleh simpangan baku 15 menit. Jika untuk 12 tempat dengan ukuran yang sama diperoleh waktu rata-rata pengeringan selama 64,3 menit. Tentukan interval konfidensi 90% untuk rata-rata waktu pengeringan cat ! Suatu perusahaan melakukan tes untuk mengetahui berapa lama waktu pengeringan dari suatu produk cat terbaru, untuk 12 tempat dengan ukuran yang sama diperoleh waktu rata-rata pengeringan selama 66,3 menit dan simpangan baku 8,4 menit. Tentukan interval konfidensi 95% untuk rata-rata waktu pengeringan cat !
1. Jika suatu sampel random dengan ukuran n = 40 diambil dari suatu populasi normal dengan varian = 225 dan mean
= 64.3, maka konstruksikan interval konfidensi 95% untuk mean populasi . 2. Suatu pabrik cat ingin menentukan waktu pengeringan ratarata dari suatu cat interior baru. Jika dari 12 kali uji cat tersebut (pada permukaan yang sama luasnya) diperoleh mean waktu pengeringan 66.3 menit dan deviasi standar 8.3 menit, maka konstruksikan interval konfidensi 95% untuk mean yang sebenarnya .
B. Interval Konfidensi Untuk Beda Mean
Teorema Jika X 1 dan X 2 berturut - turut merupakan mean sampel yang berukuran n1 dan n2 , diambil dari populasi normal yang mempunyaimean 1 dan 2 serta variansi dan 2 1
maka 12 22 ( X 1 X 2 ) N 1 2 , n1 n2
2 2
Teorema 1 (Interval konfidensi untuk 1 dan 2 jika
12 dan 22 diketahui) Jika X 1 dan X 2 adalah sampel - sampel random yang independen dengan ukuran n1 dan n2 (n1 30 dan n2 30) diambil dari populasi normal dengan variansi yang diketahui
12 dan 22 , maka interval konfidensi untuk 1 dan 2 adalah
X
1
X 2 z 2
12 n1
22 n2
1 2 X 1 X 2 z 2
12 n1
22 n2
Teorema 2 (Interval konfidensi untuk 1 dan 2 jika 12 dan 22 diketahui, serta 12 22 2 ) Jika X 1 dan X 2 adalah mean sampel yang berukuran n1 dan n2
n1 30 dan n2 30 diambil dari populasi normal dengan variansi diketahui serta diasumsikan bahwa kedua variansi sama, maka interval konfidensiuntuk 1 2 adalah
X
1
X2
z 2
1 1 1 1 1 2 X 1 X 2 z n1 n2 n1 n2 2
Teorema 3 (interval konfidensiuntuk 1 dan 2 jika 12 dan 22 tidak diketahui) Jika X 1 dan X 2 adalah mean sampel yang berukuran n1 dan n2
n1 30 dan n2 30 diambil dari populasi normal dengan variansi 12 dan 22 tidak diketahui serta diasumsikan bahwa kedua variansi berbeda, maka interval konfidensi untuk 1 2 adalah
X
1
X 2 t 2
: n1 n2 2
s12 s22 1 2 X 1 X 2 n1 n2 t 2
: n1 n2 2
s12 s22 n1 n2
Teorema 4
(interval konfidensi untuk 1 dan 2 jika dan 2 1
2 2
tidak diketahui, tetapi 12 22 2 ) Jika X 1 dan X 2 adalah mean sampel yang berukuran n1 dan n2
n1 30 dan n2 30 diambil dari populasi normal dengan variansi 12 dan 22 tidak diketahui serta diasumsikan bahwa kedua variansi sama, maka interval konfidensi untuk 1 2 adalah
X
1 X 2 t 2
:( n1 n2 2 )
sp
1 1 1 2 X 1 X 2 n1 n2 t
2 2 n 1 s n 1 s 1 2 2 dengan s 2 1 p
n1 n2 2
2
:( n1 n2 2 )
sp
1 1 n1 n2
Soal: 1. Suatu sampel bola lampu yang terdiri dari 45 bola lampu A menunjukkan bahwa masa pakainya mempunyai rata-rata 400 jam dengan simpangan baku 25 jam, sedangkan dari 50 bola lampu B menunjukkan bahwa masa pakainya mempunyai rata-rata 314 jam dengan simpangan baku 20 jam. Jika diasumsikan variansi dari kedua populasi berbeda, tentukan interval konfidensi 97% untuk selisih rata-rata masa pakai bola lampu tersebut !
2. Dilakukan pembelajaran dengan dua metode. Metode konvensional diterapkan pada kelas yang terdiri dari 15 siswa. Metode kooperatif diterapkan pada kelas yang terdiri dari 12 siswa. Setelah satu semester, diberikan tes yang sama kepada kedua kelas tersebut. Siswa kelas konvensional mendapatkan rata-rata 80 dengan simpangan baku 5, sedangkan siswa kelas kooperatif mendapat rata-rata 76 dengan simpangan baku 7. carilah interval konfidensi 90% untuk rata-rata nilai siswa tersebut apabila masing-masing kelas diasumsikan berdistribusi normal dengan variansi sama. 3. Analog soal no 2, carilah interval konfidensi 95% untuk rata-rata nilai siswa jika diasumsikan bahwa variansi kedua populasi berbeda.
Seorang peneliti ingin mengetahui kadar yodium dari suatu merk garam dapur. Dari 10 garam dapur merk “Dolpino” mempunyai kandungan yodium rata-rata 3,1 gram dengan simpangan baku 0,5 gram. Sedangkan 8 garam dapur merk “Miono” mempunyai kandungan yodium rata-rata 2,7 gram dengan simpangan baku 0,7 gram. Jika diasumsikan kedua populasi mempunyai variansi sama, tentukan interval konfidensi 95% untuk rata-rata kandungan yodium dari kedua merk garam dapur tersebut.
