MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

Silabus dan Tujuan Peubah Acak dan Distribusi Kontinu Distribusi Normal Penaksiran Titik dan Selang Uji Hipotesis

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Orang Cerdas Belajar Statistika”

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean


Silabus

Peubah acak kontinu, distribusi dan Tabel normal, penaksiran titik dan selang, uji hipotesis untuk mean




Tujuan

1

Memahami definisi dan konsep peubah acak kontinu

2

Mempelajari distribusi dan Tabel normal

3

Menentukan penaksir mean dan selang kepercayaan untuk mean

4

Melakukan uji hipotesis untuk mean




P.A. Kontinu

Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, d FX (x) fX (x) = dx atau dengan kata lain Z x FX (x) = fX (t) dt −∞




Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: Z ∞ fX (t) dt 1 = FX (∞) = −∞

Z P(a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = Z a P(X = a) = fX (t) dt = 0

b

fX (t) dt a

a




Contoh/Latihan

1

Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = c (4x − 2x 2 ), 0 < x < 2, Tentukan c. Hitung P(X > 1).

2

Misalkan X p.a kontinu dengan fungsi peluang f (x) = 10/x 2 , x > 10, Hitung P(X > 20). Tentukan fungsi distribusi dari X .




Ilustrasi Definisi Distribusi Normal

Ilustrasi

Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL.





Perhatikan fungsi peluang dari X , p.a yang menyatakan kandungan zat dalam tubuh. Distribusi peluangnya tidak simetri dan menceng ke kanan (skew to the right atau positively skewed) sbb (Gb 4.1):





densitas

0

50

100

150

serum trigliserida (mg/dL)

Figure: Fungsi peluang kandungan zat





Sedangkan fungsi peluang dari tekanan darah pada laki-laki usia 35-44 tahun adalah seperti gambar berikut (Gb 4.2). Area A, B, C berturut-turut menyatakan peluang terjadinya hipertensi ringan, sedang dan berat. Umumnya DBP terjadi disekitar 80 mm Hg, dimana kemudian kemungkinannya berkurang seiring dengan berubahnya nilai DBP yang jauh dari 80.




0.03


A

densitas 0.02 B C

0.01 0

50

80

90 100 110

DBP

Figure: Fungsi peluang tekanan darah





Fungsi peluang dari peubah acak yang menyatakan Berat Badan Lahir berikut fungsi distribusinya saat BB-nya 88 atau P(X ≤ 88) (Gb 4.3). Area tersebut memiliki arti khusus dalam kebidanan atau obstetrics dimana 88 adalah nilai batas atau cutoff point yang digunakan untuk mengidentifikasi bayi BBLR.





0.02 densitas 0.01

60

88

120

Berat Badan Lahir (BBL)

Figure: Fungsi peluang Berat Badan Lahir





Definisi Distribusi Normal

Misalkan X peubah acak berdistribusi normal dengan parameter µ dan σ 2 . Fungsi peluangnya adalah 1 1 2 fX (x) = √ exp − 2 (x − µ) , −∞ < x < ∞, 2σ 2πσ Notasi: X ∼ N(µ, σ 2 ), dengan mean µ = E (X ) dan variansi σ 2 = Var (X ).





Contoh: fungsi peluang untuk distribusi normal dengan mean 50 dan variansi 100 (Gb 4.4).

0.04 f(x) 0.03 0.02

σ

σ

0.01 0.00 40

50

60

(µ-σ)

µ

(µ+σ)

x

Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal





Contoh/Latihan

1

Misalkan X p.a berdistribusi normal dengan µ = 3 dan σ 2 = 9, hitung: (a) P(2 < X < 5); (b) P(X > 0); (c) P(|X − 3| > 6)





Distribusi N(0, 1) adalah kasus khusus dari distribusi N(µ, σ 2 ) dengan mean 0 dan variansi 1. Distribusi ini disebut juga distribusi normal standar/baku (Gb 4.5). Sifatnya adalah simetrik disekitar 0. Sifat empirik yang penting dari distribusi normal baku adalah P(−1 < X < 1) = 0.6827, P(−1.96 < X < 1.96) = 0.95, P(−2.576 < X < 2.576) = 0.99.





0.04

68% area

f(x) 0.03

95% area

0.02

99% area

0.01 0.00 -2.58 -1.96 -1

0

1 1.96 2.58

(µ) x

Figure: Fungsi peluang dari distribusi normal standar





Contoh/Latihan

1

Diketahui Z ∼ N(0, 1). Tentukan nilai c dari persamaan peluang berikut: (a) P(Z > c) = 0 (b) P(|Z | ≤ c) = 0.25 (c) P(c ≤ Z < 0) = 0.324

2

Misalkan diameter pohon adalah peubah acak berdistribusi normal dengan mean 8 (inchi) dab deviasi standar 2 (inchi). Hitung peluang bahwa sebuah pohon memiliki diameter yang tak wajar yaitu lebih dari 12.




Penaksir Mean Teorema Limit Pusat SK untuk Mean

Definisi

Misalkan suatu populasi memiliki mean µ. Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari populasi tersebut. Penaksir untuk µ (disebut penaksir sampel) adalah n 1 X ¯ Xi , X = n i=1





dengan sifat ¯ ) = µ, Var (X ¯ ) = σ 2 /n, E (X √ dimana deviasi standarnya adalah σ/ n yang disebut standard error of mean atau “sem” atau standard error. Standard error adalah ukuran kuantitatif dari variablitas mean sampel yang diperoleh dari sampel acak (berulang) berukuran n dari populasi yang sama.





Teorema Limit Pusat

Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari populasi dengan mean µ dan variansi σ 2 . Maka, untuk n besar, ¯ ∼ N(µ, σ 2 /n), X meskipun distribusi populasinya tidak normal.





Contoh. Hitung peluang bahwa mean BBL dari sampel berukuran 10 akan berada diantara 98 dan 126 (diketahui data populasi: mean 112 dan deviasi standar 20.6).





Solusi: ¯ < 126) = Φ P(98 < X

126 − 112 √ 20.6/ 10


−Φ

98 − 112 √ 20.6/ 10

= ···




Perhatikan transformasi peubah acak: Z=

¯ −µ X √ , σ/ n

dimana Z berdistribusi normal standar. Akibatnya, 95% nilai Z akan berada diantara -1.96 dan 1.96. Dengan kata lain, 95% mean sampel berada di selang √ √ µ − 1.96 σ/ n , µ + 1.96 σ/ n Catatan: Dalam praktiknya, nilai σ tidak diketahui dan harus ditaksir oleh deviasi standar sampel s.





Distribusi t

Jika X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 , maka ¯ −µ X √ ∼ tn−1 , S/ n berdistribusi t dengan derajat kebebasan (degrees of freedom) n − 1, dimana P(td < td,u ) = u.





Selang Kepercayaan untuk Mean

100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal dengan variansi tidak diketahui adalah √ √ x¯ − tn−1,1−α/2 s/ n , x¯ + tn−1,1−α/2 s/ n atau dituliskan

√ x¯ ± tn−1,1−α/2 s/ n





Contoh/Latihan

1

Tentukan persentil ke-5 (atas) atau persentil ke-95 dari distribusi t dengan derajat kebebasan 23.

2

Hitung 95% selang kepercayaan untuk mean BBL berdasarkan sampel berukuran 10. Diketahui: x¯ = 116.9; s = 21.7.





Selang Kepercayaan untuk Mean - Sampel Besar

Nilai pendekatan 100%(1 − α) selang kepercayaan (SK) atau confidence interval (CI) untuk mean dari distribusi normal (sampel besar) dengan variansi tidak diketahui adalah √ √ x¯ − z1−α/2 s/ n , x¯ + z1−α/2 s/ n dengan ukuran sampel n > 200.





Catatan: Panjang SK dipengaruhi oleh nilai n, s, dan α. Jika: n membesar, maka panjang SK... s membesar, maka panjang SK... α mengecil, maka panjang SK...





Contoh/Latihan

1

Hitung 95% dan 99% selang kepercayaan untuk mean temperatur berdasarkan sampel berukuran 10 dan 100. Diketahui: x¯ = 97.2; s = 0.189.

2

Pandang soal no 1. Hitung 95% SK dengan s = 0.4.




Konsep dan Tahapan Uji Hipotesis Kesalahan Tipe-1 dan Tipe-2 Uji Hipotesis Untuk Mean

Definisi

Uji hipotesis (UH) adalah bagian dari statistika inferensi. UH bertujuan untuk mengambil kesimpulan secara statistik (signifikan) dari hipotesis-hipotesis yang diberikan. Kesimpulan tersebut didasarkan pada tingkat signifikansi α (yang sesungguhnya adalah tingkat kesalahan tipe I).





Tahapan Uji Hipotesis Tahap-tahap dalam pelaksanaan UH adalah 1

Membuat (menyatakan) hipotesis nol, H0 , dan hipotesis alternatif, Ha atau H1 ,

2

Menentukan α,

3

Menentukan statistik uji (test statistic),

4

Menentukan daerah kritis (critical region) atau daerah penolakan/penerimaan,

5

Menghitung statistik uji dengan data sampel

6

Mengambil kesimpulan: “menolak atau gagal menolak H0 ”





Contoh: 1. Ini cerita tentang kematian karena kanker yang diduga dimulai dari radiasi nuklir. Diketahui terjadi 13 kematian pada pekerja di suatu proyek nuklir, dimana 5 kematian diantaranya disebabkan oleh kanker. Berdasarkan data statistik, pihak otoritas kesehatan mengklaim bahwa sekitar 20% kematian disebabkan oleh kanker. Benarkah klaim pihak otoritas kesehatan?





2. Misalkan X p.a menyatakan panjang lompatan yang dilakukan seorang atlet. Diketahui X berdistribusi normal dengan mean µ. Akan diuji H0 : µ = 3 vs H1 : µ > 3 dengan menggunakan data sampel 6 atlet terpilih acak dengan mean 3.763 dan deviasi standar 0.724. Apakah kesimpulan yang diambil dari uji hipotesis tersebut?





Kesalahan dalam UH

Kesalahan-kesalahan dalam UH dibagi atas: - kesalahan tipe-1 atau α, yaitu kesalahan “menolak H0 yang benar, atau P(menolak H0 | H0 benar) - kesalahan tipe-2 atau β, yaitu kesalahan “menerima H0 yang salah, atau P(menerima H0 | H0 salah)





Catatan: Tidak ada hubungan antara α dan β 1 − β adalah kuasa atau power dari UH





Kaitan antara pengambilan kesimpulan dan kesalahan dapat dilihat dalam tabel berikut: Table: Pengambilan kesimpulan dan tipe kesalahan.

H0 gagal ditolak H0 ditolak

H0 benar keputusan benar α


H0 salah β keputusan benar




Dua jenis uji hipotesis nol vs hipotesis alternatif: 1

Uji hipotesis 2-sisi atau two-sided: H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0

2

Uji hipotesis 1-sisi atau one-sided: H0 : µ = µ0 vs H1 : µ > µ0 atau H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0





UH 1-Sampel

Uji hipotesis untuk mean populasi dapat dilakukan pada kasus (i) pengambilan sampel berasal dari populasi yang berdistribusi normal dengan variansi diketahui atau tidak diketahui, (ii) pengambilan sampel berasal dari populasi yang tidak berdistribusi normal.





Contoh: Seorang peneliti tertarik untuk menguji mean umur orang-orang dari suatu populasi: apakah mean umur orang-orang dari populasi tersebut berbeda dari 30 tahun? (apakah mean umur orang-orang tersebut 30 tahun?). Untuk itu, diambil sampel sebanyak 10 orang dan dihitung bahwa x¯ = 27. Asumsikan data berasal dari distribusi normal dengan σ 2 = 20.





Tahapan UH-nya adalah 1. Hipotesis: H0 : µ = 30, Ha : µ 6= 30 2. Tingkat signifikansi: α = 0.05 3. Statistik uji: Z=

¯ − µ0 X √ ∼ N(0, 1) σ/ n

4. Daerah kritis: Tolak H0 jika z ≥ 1.96 atau z ≤ −1.96




5. Perhitungan:


27 − 30 z=p = −2.12 20/10

6. Kesimpulan: Tolak H0 , karena z ≤ −1.96. Dengan kata lain, mean umur suatu populasi bukanlah 30 tahun atau berbeda dari 30 tahun.





p-value

Pengambilan kesimpulan dapat pula dilakukan dengan menghitung p-value, yaitu nilai α terkecil untuk menolak H0 . Dengan kata lain “tolak H0 jika p-value lebih kecil dari α”. Pada contoh diatas, nilai p-value adalah p − value = P(Z ≤ z) + P(Z ≥ z) = 2 × P(Z ≤ −2.12) = 0.034. Jadi, karena 0.034 < 0.05 maka H0 ditolak.





Contoh/Latihan: Lakukan UH untuk soal diatas. Pertanyaan yang diajukan adalah “apakah mean umur populasi kurang dari 30 tahun?”. Gunakan tingkat signifikansi α = 0.01. Bagaimana jika n = 20 dan x¯ = 27?





Bagaimana jika σ tidak diketahui? Gunakan statistik uji: T =

x¯ − µ0 √ ∼ tn−1 . s/ n





Contoh: Castillo dan Lilioja meneliti suatu teknik untuk mengukur indeks massa tubuh atau BMI. Mereka ingin menguji apakah mean BMI suatu populasi bukanlah 35. Dilakukan perhitungan pada 14 orang dewasa (laki-laki) dan diperoleh x¯ = 30.5 dan s = 10.64.





Tahapan UH-nya adalah 1. Hipotesis: H0 : µ = 35, Ha : µ 6= 35 2. Tingkat signifikansi: α = 0.05 3. Statistik uji: T =

¯ − µ0 X √ s/ n

4. Daerah kritis: Tolak H0 jika t ≥ 2.16 atau t ≤ −2.16




5. Perhitungan: t=


30.5 − 35 √ = −1.58 10.64/ 14

6. Kesimpulan: H0 gagal ditolak (dengan kata lain, diterima), karena −2.16 ≤ t ≤ 2.16 atau bukan dalam daerah penolakan. Tidak ada alasan untuk mendukung klaim bahwa mean BMI bukanlah 35.





Contoh/Latihan: Lakukan pengambilan kesimpulan pada masalah BMI dengan menggunakan p-value. Bagaimana menurut anda? Manakah yang lebih mudah dilakukan? (dibandingkan dengan menentukan z atau t pada tabel)





Bagaimana UH dilakukan pada mean populasi yang tidak berdistribusi normal? Ambil sampel cukup besar! Contoh: PR.



MA5283 STATISTIKA Bab 3 Inferensi Untuk Mean

Recommend Documents