INTERVAL PREDIKSI UNTUK MODEL TIME SERIES

INTERVAL PREDIKSI UNTUK MODEL TIME SERIES

TESIS

Oleh

LELI SYAHFITRI 067021020/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

INTERVAL PREDIKSI UNTUK MODEL TIME SERIES

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

LELI SYAHFITRI 067021020/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: : : :

INTERVAL PREDIKSI UNTUK MODEL TIME SERIES Leli Syahfitri 067021020 Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi

Direktur

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 5 Juni 2008


Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua

:

Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang Drs. Open Darnius, M.Sc Dr. Saib Suwilo, M.Sc


ABSTRAK Di dalam statistik penentuan interval prediksi untuk model times series adalah menyelesaikan masalah untuk waktu yang akan datang dengan times series Yi dalam waktu ti (untuk 1 ≤ i ≤ n). Tesis ini menggunakan metode likelihood maksimum dengan pendekatan matriks autoregresi ordo ke P dengan interval prediksi yang dapat diperoleh dengan 100(1 − δ)% tingkat keyakinan untuk menghasilkan akurasi cukupan orde p. Kata Kunci : Interval Prediksi, Model Time Series

i Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

ABSTRACT In accounting statistic of prediction interval for times series model is solving a problem for next time with time series Yi in ti (for 1 ≤ i ≤ n). This theses use the maximum likelihood method with ordo autoregretion matrix to P with prediction interval that obtained with 100(1 − δ)% of truth level to remain enough accurate ordo p. Keywords : Prediction Interval, Time Series Model

ii Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT yang telah memberikan begitu banyak rahmat dan nikmat sehingga tesis ini dapat terselesaikan. Dalam menyelesaikan pendidikan di Sekolah Pasca Sarjana USU ini, penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: Kepala Bapedda Pemerintah Propinsi Sumatera Utara yang telah memberikan beasiswa kepada penulis. Prof.

dr.

Chaeruddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak selaku Rektor

Universitas Sumatera Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Ch. Chairun Nisa selaku Direktur Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Drs. Darwin Siregar selaku Kepala Sekolah SMA Negeri 15 Medan yang telah memberikan kesempatan dan dukungan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Prof. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika dan Dosen Pembimbing II yang telah banyak memberikan bimbingan dan bantuan serta motivasi kepada penulis sehingga pendidikan ini dapat terselesaikan dengan baik.

iii Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk sehingga tesis ini dapat terselesaikan. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika S.Ps USU, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai. Khusus penulis sampaikan terima kasih yang tak terhingga kepada Ayahanda tercinta Zulfikar Lubis dan Ibunda tercinta Sanik yang doa-doanya selalu menyertai penulis. Kepada suami tercinta Syamsul Bachri dan ananda tersayang Mira Khairunnisa, Nadhirah Auni dan Najwa Izzati yang selalu menjadi motivator penulis dalam menjalani perkuliahan. Kepada semua pihak yang telah turut membantu baik langsung maupun tidak langsung yang penulis dapatkan selama ini, semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Medan, 20 Juni 2008 Penulis,

Leli Syahfitri

iv Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Leli Syahfitri dilahirkan di Desa Dolok Merawan Kabupaten Deli Serdang pada tanggal 12 Februari 1966, merupakan anak Pertama dari tujuh bersaudara dari ayah Zulfikar Lubis dan Ibu Sanik. Menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri No. 10123 Dolok Merawan Tahun 1977 dan Sekolah Menengah Pertama pada SMP Swasta PTP IV Gunung Para di Kecamatan Dolok Merawan pada tahun 1981, Sekolah Menengah Atas pada SMA Swasta Pahlawan Tebing Tinggi pada tahun 1984. Pada tahun 1984 memasuki Perguruan Tinggi pada IKIP Negeri Medan memperoleh gelar D-3 pada tahun 1988. Diangkat sebagai pegawai negeri sipil di SMA Negeri Tanjung Pura Kabupaten Langkat pada tahun 1989. Pada tahun 1996 mendapat Beasiswa Program S-1 di Perguruan Tinggi IKIP Negeri Medan, memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada tahun 1997. Kemudian pada tahun 1998 mutasi ke SMA Negeri 15 Medan hingga sekarang. Pada tahun 2006 mengikuti Program Studi Magister Matemetika di Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.

v Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Kontribusi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi Penelitian

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORITIS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.1 Deret Berkala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Penilaian Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

BAB 4 PENENTUAN INTERVAL PREDIKSI

. . . . . . . . . . . .

15

4.1 Time Series Dengan Trend Deterministik Kasus Linier . . .

15

vi Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

4.2 Interval Prediksi Pada Waktu t . . . . . . . . . . . . . .

16

4.3 Time Series Dengan Trend Deterministik : Kasus Tak Linier

17

4.3.1 Trend Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.3.2 Trend Pangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.4 Time Series Tanpa Trend . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.4.1 Autoregresi Linier Ordo 1 . . . . . . . . . . . . . .

19

4.4.2 Autoregresi Proses Ordo P . . . . . . . . . . . . .

21

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

vii Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam statistika dan pemprosesan sinyal, time series (deret waktu) adalah rangkaian data yang diukur berdasarkan waktu dengan interval yang uniform. Analisis time series merupakan metode yang mempelajari time serieas, baik dari segi teori yang menaunginya maupun untuk membuat peramalan (prediksi). Prediksi time series adalah penggunaan model untuk memprediksi nilai pada waktu mendatang berdasar peristiwa yang telah terjadi. Contoh penggunaannya adalah pada harga pembukaan harga saham di bursa efek berdasar performa sebelumnya. Ada sejumlah model untuk time series. Dua jenis model yang banyak digunakan adalah model rataan bergerak (Moving Average) (MA) dan model Autoregresive (AR). Kedua model ini bergantung pada kata sebelumnya secara linier dan dibahas lebih pada artikel Autoregressive Moving Average Models (ARMA). Ahli ekonomi menggunakan analisis time series sebagai alat bantu perencanaan. Perusahaan energi misalnya, akan melakukan peramalan konsumsi daya baik jangka panjang maupun jangka pendek (musiman). Time series adalah himpunan nilai-nilai hasil pengamatan Xt yang diamati pada suatu waktu spesifik t. Jika dipunyai pengamatan series Xt untuk himpunan waktu T0 = (1, 2, 3, . . . , n) dan tertarik dengan peramalan (forecasting) series untuk t − n + 1, n + 2, . . . maka Xt disebut time series diskrit. Sedangkan jika series tersebut dicatat secara kontinu atas suatu interval waktu T0 = [0, 1] maka 1 Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

2 Xt disebut time series kontinyu. Langkah pertama dalam analisis time series adalah membuat grafik data melawan waktu. Langkah ini akan menunjukkan adanya trend, adanya kelakuan seasonal regular dan gambaran-gambaran sistematis lainnya dari data. Hal ini perlu diidentifikasi agar kelakuan-kelakuan tersebut tidak terbawa ke dalam model matematika. Sebuah grafik lainnya yang bermanfaat untuk melihat kemencengan atau kesimetrisan data adalah histogram sederhana. Banyak time series yang menghendaki data yang mempunyai histogram simetris. Sehingga diperlukan transformasi data untuk membuatnya mendekati simetris. Dari histogram dan time plot, variasi kelakuan data dapat diketahui. Kelakuan tersebut seperti : seasonal, long-term trend, perubahan dalam level dan variabilitas seringkali perlu diobservasi. Trend adalah suatu kecendrungan time series untuk tetap naik atau turun terhadap waktu. Seasonality adalah suatu efek regular dari frekuensi yang diketahui (harian, mingguan, bulanan, tahunan, dan lain-lain) yang murni disebabkan oleh perpindahan bumi mengitari matahari, pengaruh kondisi cuaca tahunan dan lain-lain. Ada beberapa hal yang perlu dipahami dalam analisis time series yakni: 1. Smoothing : pengamatan dari Xt diasumsikan sebagai hasil yang kasar εt yang dikontaminasi ηt : 2. Modeling : pembentukan model matematika yang mengamati X1 , X2 , . . . , Xt . Model ini bergantung pada parameter yang akan diestimasi. 3. Forecasting : dalam pengamatan X1 , X2 , . . . , Xt akan diprediksi nilai dari Xt+1 (l ≥ 1) dan kemungkinan kepastian dari nilai yang diprediksi.


3 4. Control : pembentukan hasil Xt pada masa yang akan datang dengan hasil yang akan baik.

Prediksi seringkali diartikan sebagai suatu bilangan yang disebut sebagai titik ramal, dimana nilai yang diberikan belum tentu benar. Nilai ramal yang muncul kadang-kadang cukup memadai dalam mendekati nilai yang akan dicapai. Interval prediksi adalah interval dari nilai-nilai pengukuran parameter setelah suatu proses berjalan. Dalam forecasting diperlukan suatu model yang tidak memuat kelakuankelakuan dasar dari data seperti itu. Pendekatan yang mendasar adalah dengan cara mengeliminir secara sistematis setiap kelakuan tersebut. Suatu time series yang tidak mempunyai trend atau seasonality dan mempunyai mean, variasi dan kovariansi konstan terhadap waktu disebut stationary. Tujuan utama dalam eliminasi kelakuan data adalah untuk mendapatkan series yang stasioner sehingga forecasting dapat dilakukan. Seringkali bermanfaat untuk menghitung beberapa statistik dari time series antara lain mean dan deviasi standar yang sangat bermanfaat untuk pengukuran lokasi dan penyebaran data dan koefisien kemencengan (Skewness) untuk mengukur kemencengan histogram data. Kemencengan positif mengindikasikan histogram menjurai ke kanan dan kemencengan negatif mengindikasikan histogram menjurai ke kiri. Perhitungan interval prediksi adalah bagian terpenting dalam proses peramalan (forecasting) yang menentukan indikasi nilai ramalan yang tak pasti.


4 1.2 Perumusan Masalah Dalam situasi empiris, data yang diperoleh terutama dengan adanya ketidakpastian biasanya disajikan dalam interval dan tidak dapat dikarakterisasi oleh sebaran peluang tertentu. Interval ini dipakai untuk mengukur ketidakpastian, semakin besar ketidakpastian yang dikaitkan dengan pengukuran. Dalam hal demikian ini perlu dilakukan prediksi interval.

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah diperolehnya suatu metode untuk memprediksi interval terhadap model time series linier.

1.4 Kontribusi Penelitian Kontribusi dari penelitian ini adalah metode untuk prediksi interval terhadap model time series linier.

1.5 Metodologi Penelitian Metode penelitian akan dibahas sebagai berikut:

a. Menjelaskan tentang time series linier. b. Menjelaskan data interval. c. Menjelaskan beberapa metode prediksi interval.


5 d. Menjelaskan tentang Heuristik dan melakukan simulasi. e. Menjelaskan metode prediksi interval yang dipakai.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Penelitian interval prediksi telah banyak dilakukan. Box dan Jenkins (1970), telah mengajukan metode penentuan interval prediksi pada time series berdasarkan distribusi erornya harus berdistribusi normal. Metode ini dikenal sebagai metode klasik dan sering digunakan dalam penentuan interval prediksi pada berbagai jenis time series. Michel dan Clements (2006) mengajukan penentuan interval prediksi menggunakan metode Bootstrap. Interval prediksi Bootstrap ini berdasarkan estimator Roy-Fuller yang telah digeneralisasi dari estimator OLS (Ordinary Least Square) bias-corrected bootstrap dan estimator Andrew-Chen dalam OLS. Contoh sederhana dari interval prediksi bootstrap berdasarkan estimator Roy-Fuller digunakan ketika periode dari model Autoregressive tidak diketahui dan telah dicari menggunakan kriteria informasi. Lorenzo et.al. (2001) mengajukan pencarian interval prediksi multi langkah dalam model time series linier. Interval ini dibentuk berdasarkan asumsi kenormalan dari variable yang dipilih menggunakan eksperimen monte carlo. Keuntungan dari interval prediksi ini adalah tidak perlunya penentuan parameter dan asumsi dari distribusi variabel-variabel yang akan diprediksi. Thombs & Schuny (1990) dan beberapa peneliti lain telah mengajukan keuntungan penggunaan bootstrap pada metode klasik dalam penentuan interval prediksi untuk proses time series yang stasioner.

6 Leli Syahfitri: Interval Prediksi Untuk Model Time Series, 2008. USU e-Repository © 2008

7 Chris Chatfield (1998) telah mengajukan pendekatan Bayesian dalam penentuan interval prediksi untuk time series. Metode yang digunakan untuk menghitung interval prediksi adalah menggunakan teori kemungkinan pada model terbaik. Hal ini harus ditentukan terlebih dahulu bahwa variabel-variabelnya adalah berdistribusi normal. Interval prediksi observasi yang akan datang adalah suatu interval yang mencakup probabilitas tertentu, mencakup observasi masa depan dari populasi. Berdasarkan kesimpulan statistik dianggap bahwa observasi masa depan memiliki distribusi yang pasti. Distribusi yang ditentukan mencapai bilangan terbatas dari parameter yang tidak diketahui contohnya yang ada pada distribusi normal. Selanjutnya, interval prediksi bisa dicapai jika paramater cukup diestimasi dan ketidakpastian dalam estimasi parameter layak dinilai. Jelasnya prosedur demikian tergantung pada distribusi yang mendasar, jika asumsi distribusi gagal, interval prediksi bisa jadi salah, contoh; apakah interval prediksi diperlukan atau sama sekali tidak mendapatkan klaim/probabilitas penutupan. Alternatif terhadap/untuk metode parametrik adalah pendekatan distribusi metode yang mana kita tidak mengasumsikan bentuk distribusi yang dikenal. Problem interval prediksi adalah hal yang tidak baru lagi. Salah satu yang terbaru dalam bidang ini adalah Baker (1935). Patel (1989) memberikan pembaruan literatur pada interval prediksi bila observasi akan datang bebas dari contoh yang tidak diobservasi, termasuk hasil yang berdasarkan pada distribusi parametrik dan metode distribusi bebas. Hahn dan Meeker (1991) meninjau ulang 3 tipe interval statistik yang digunakan banyak dalam prakteknya ; interval kepercayaan, interval prediksi, dan


8 interval toleransi. Untuk peninjauan yang lebih jauh dan perkembangan pada interval prediksi non parametrik, Jhou (1997). Walaupun banyak hasil inverval prediksi adalah untuk kasus yang paremetrik, problem tersebut juga dipelajari secara baik dalam kasus non parametrik, seperti regresi linear. Dalam tulisan ini, kita membicarakan interval prediksi dalam metode linear campuran. Misal: y jadi aN × 1 vektor observasi. Model tersebut adalah: Y = XβZ1α1 + · · · + ZSαS + ε

Dimana X adalah N × p dikenal matrik barisan penuh p (sebuah bilangan bulat tetap) β adalah sebuah vektor p×1 dari konstanta tidak dikenal (efek tetap), Zr adalah suatu matrik N ×mr yang diketahui, αr adalah vektor mr ×1 dari variabel acak diatas dengan rata-rata 0 dan distribusi tidak diketahui Fr , r = 1, . . . , S (efek acak), E adalah vektor N × 1 dari variable acak di atas dengan rata-rata 0 dan disbtribusi yang tidak diketahui F0 (salah) dan α1, . . . , αs , ∈ adalah bebas. Kita sebut (1) standar jika tiap-tiap Zr hanya terdiri dari 0 dan 1. Tepatnya ada Zr satu dalam tiap baris dan sedikitnya Zr satu dalam tiap kolom. Jadi model linier campuran standar tunggal memilikinya maka efek acak ada pada model dalam bentuk varian analisis tapi tidak terbatas pada efek tetap. Sebagai alasan model linier campuran standar juga dikenal sebagai model campuran varian analisis (Miller, 1977). Hal ini tidak dianggap bahwa efek acak dan error distribusi normal. Bagaimanapun perlu diasumsikan Fr , 0 ≤ r ≤ s, memiliki varian terbatas.


BAB 3 LANDASAN TEORITIS

3.1 Deret Berkala Time series adalah himpunan nilai-nilai hasil pengamatan Xt yang diamati pada suatu waktu spesifik t. Jika pengamatan series Xt untuk himpunan waktu T0 = {1, 2, 3, . . . , n} dan peramalan series t = n + 1, n + 2, . . ., maka Xt disebut time series diskrit. Sedangkan jika series tersebut dicatat secara kontinyu atas suatu interval waktu T0 = [0, 1], maka Xt disebut time series kontinyu. Analisis data deret waktu pada dasarnya digunakan untuk melakukan analisis data yang mempertimbangkan pengaruh waktu. Data-data yang dikumpulkan secara periodik berdasarkan urutan waktu, bisa dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun, bisa dilakukan analisis menggunakan metode analisis data deret waktu. Analisis data deret waktu tidak hanya bisa dilakukan untuk satu variable (univariate) tetapi juga bisa untuk banyak variable (multivariate). Selain itu pada analisis data deret waktu bisa dilakukan peramalan data beberapa periode ke depan yang sangat membantu dalam menyusun perencanaan ke depan. Langkah pertama dalam analisis time series adalah membuat grafik data melawan waktu. Langkah ini akan menunjukkan adanya trend, adanya kelakuan seasond regular dan gambaran-gambaran sistematis lainnya dari data. Hal ini diidentifikasi agar kelakuan-kelakuan tersebut tidak terbawa ke dalam model matematika. Sebuah grafik lainnya yang bermanfaat untuk melihat kemencengan atau kesimetrisan data adalah histogram sederhana. Banyak model time series


10 yang menghendaki data yang mempunyai histogram-histogram simetris, sehingga diperlukan transformasi data untuk membuatnya mendekati simetris (Cryer, J.D. 1986). Dari histogram dan plot waktu, variasi dan kecenderungan data dapat diketahui. Kecenderungan seperti trend, seaseonal, siklik, dan irregural movement seringkali perlu diobervasi. Trend adalah suatu kecenderungan time series untuk tetap naik atau turun terhadap waktu. Seasonality adalah suatu efek regular dari frekuensi yang diketahui (harian, mingguan, bulanan, tahunan dan lain-lain) yang murni disebabkan oleh perpindahan bumi mengitari matahari, pengaruh kondisi cuaca tahunan dan lain-lain. Sedangkan siklik adalah suatu kecenderungan tak beraturan pada suatu frekuensi yang hampir pasti (Bowerman and Oconnell, 1993). Dalam forecasting diperlukan suatu model yang tidak memuat kecenderungan dasar dari data seperti itu. Pendekatan yang mendasar adalah dengan cara mengelimir secara sistematis setiap kecenderungan tersebut. Suatu time series yang tidak mempunyai trend atau seasonality dan mempunyai mean, variansi dan kovariansi konstan terhadap waktu disebut stationary. Tujuan utama dalam eliminasi kecenderungan data adalah untuk mendapatkan series yang stasioner sehingga forecasting daoat dilakukan (Box and Jenkins, 1997) Dalam konteks daerah kecil, interval prediksi kerapkali dihasilkan dengan √ kaidah EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased Prediction) ±zα/2 mspe, dimana mspe adalah taksiran MSPE (Mean Square Prediction Error) yang sebenarnya dari EBLUP dan zα/2 adalah titik 100(1 − α/2) atas dari distribusi normal standar. Interval prediksi ini tepat secara asymptotik, dalam artian bahwa proba-


11 bilitas cakupan konvergen ke 1− α untuk sampel besar berukuran n. Akan tetapi, interval prediksi ini tidak efisien dalam artian mengalami masalah cakupan terlalu rendah atau cakupan berlebihan untuk n kecil, tergantung pada pilihan estimator MSPE tertentu. Dalam bentuk statistik, kesalaan cakupan interval sedemikian adalah kira-kira O(n−1 ), yang tidak cukup akuran untuk sebagian besar aplikasi studi daerah kecil, dimana banyak di antaranya melibatkan n kecil. Jika digunakan mspe naif, yaitu mspe yang tidak memperhitungkan ketidakpastian yang melibatkan penaksiran parameter model, interval prediksi yang dihasilkan mengalami masalah cakupan terlalu rendah. Di lain pihak, jika digunakan estimator MSPE tak berbias orde-dua Prasad-Rao (1990), interval mengalami masalah cakupan berlebihan dan terlalu panjang. Untuk model linier campuran umum, Jeske dan Harville (1988) mengajukan interval prediksi untuk efek campuran. Tetapi, metode mereka tidak mengatasi kompleksitas yang timbul dari penaksiran komponen-komponen variansi. Khususnya, mereka tidak mengkaji efek taksiran komponen variansi yang tidak diketahui pada akurasi kesalahan cakupan interval yang mereka ajukan. Jiang dan Zhang (2002) menggunakan metode bebas-distribusi dalam menentukan interval prediksi untuk pengamatan masa mendatang dalam model campuran linier non-Gauss, yang didasarkan pada teori yang dikembangkan Jiang (1998). Teknik ini tidak menggunakan informasi spesifik daerah dan bisa berguna dalam menentukan interval bila tidak ada data survei tentang variable respon. Jiang dan Zhang (2002) mengajukan metode lain yang dapat diaplikasikan pada situasi bila ukuran sampel besar di dalam masing-masing daerah. Inilah teknik pertama dalam mendapatkan EBLUP untuk efek acak dan residual. Kemudian, dalam


12 syarat-syarat yang cukup untuk mengimplikasikan bahwa berapa kali masingmasing efek acak berulang (yaitu, jumlah pengamatan di masing-masing daerah kecil) cenderung tak berhingga, distribusi empiris efek acak dan juga residual konvergen dengan tepat. Teknik ini gagal bila kita tidak mempunyai sampel besar untuk masing-masing daerah kecil, suatu situasi yang umum pada banyak aplikasi daerah kecil. Selain dari tulisan yang dikutip di atas, penelitian tentang interval prediksi daerah kecil terbatas kecuali untuk beberapa kasus khusus model Fay-Herriot (lihat Fay dan Herriot 1979), model regresi campuran yang mendapat sambutan baik. Berbagi jenis metode Bayes dan metode Bayes empiris digunakan dalam model Fay-Herriot untuk interval sedemikina. Karena luasnya kegunaan dari model Fay-Herriot dan kasus khususnya dalam penaksiran interval daerah kecil, pada bagian 2 kita tinjau pendekatan yang berbeda-beda terhadap penaksiran interval untuk model ini. Y = Xβ + Zv + en

(3.1)

Dimana Y ∈ Rn adalah vektor respon hasil pengamatan, Xn×p dan Zn×q adalah matriks yang diketahui dan v dan en adalah variabel-variabel acak bebas dengan matriks dispersi masing-masing D(ψ) dan dan Rn (ψ). Di sini β ∈ Rp dan ψ ∈ Rk adalah parameter-parameter tetap. Model ANOVA campuran, model longitudinal termasuk model Fay-Herriot dan model regresi error bersarang adalah kasus khusus dari kerangka di atas. Dalam tulisan ini kami menyelesaikan masalah mendapatkan interval prediksi efek campuran untuk model campuran linier umum di atas. Pendekatan kami adalah menggunakan bootstrap parametrik. Ini menghasilkan akurasi caku-


13 pan orde, lebih tinggi atas interval dibandingkan dengan metode-metode yang ada, dimana sebagian besar di antaranya hanya diakui bahwa kesehatan, kegiatan ekonomi dan ukuran kesejahteraan manusia lainnya tergantung pada sejumlah faktor eksogen dan endogen, dimana banyak diantaranya yang harus diukur pada tingkat individual dan dimasukkan dalam model. Dalam bentuk statistik, ini diterjemahkan menjadi dimensionalitas tinggi β dan ψ. Untuk mengatasi aspek asymptotik dimensi dari prediksi daerah kecil, kita mungkinkan dimensi parameter d = p + k meningkat sesuai dengan ukuran sampel n, dan kita dapatkan akurasi cakupan berorde O(d3 n−3\2 ).

3.2 Penilaian Interval Median sampel dan rata-rata sampel memperkirakan populasi titik pusat yag berhubungan . Penilaian demikian disebut point estimate. Dengan sendirinya, point estimate tidak menggambarkan reliabilitas atau kuang reliabilitas ( variabelitas ) dari estimate ini. Sebagai contoh , misalkan dua kumpulan data x dan y yang memiliki ratarata sampel 5 dan mempunyai data angka yang sama. Data y sekitar 5 , data x terdiri dari beberapa variabel karena data x memiliki variabelitas lebih besar. Dengan kata lain, harus lebih berhati-hati bila menyatakan bahwa 5 mengestimasi rata populasi X daripada untuk Y . Estimasi 5 menunjukkan sampel (point) gagal memberikan petunjuk dari perbedaan ini. Sebagai alternatif terhadap point estimate interval estimate adalah


14 interval yang memiliki probilitas tertentu dari muatan nilai populasi yang benar. Interval adalah lebih luas untuk sejumlah data yang memiliki variabilitas yang lebih besar. Jadi contoh di atas suatu interval antara 4, 7 dan 5, 3 bisa memiliki 95% probabilitas dari pencakupan rata populasi yang benar (tidak diketahui) dari Y . itu akan membutuhkan interval yang lebih luas, antara 2,0 dan 8,0 ; memiliki probabiltias yang sama dari muatan rata-rata X. perbedaan dalam reabilitas dari dua estimates, maka dari itu jelas dinyatakan menggunakan interval estimates. Interval estimates dapat memberikan dua informasi yang point estimate tidak dapat.

1. Pernyataan probabilitas atau kemungkinan yang interval memiliki nilai populasi benar (reliabilitas). 2. Pernyataan dari kemungkinan data point dengan jarak tertentu yang berasal dari populasi yang sedang dipelajari.

Interval estimate untuk tujuan awal disebut interval kepercayaan, interval untuk tujuan berikutnya disebut interval prediksi. Walaupun berhubungan dua tipe interval estimate tersebut adalah tidak sama dan tidak dapat dipertukarkan.


BAB 4 PENENTUAN INTERVAL PREDIKSI

4.1 Time Series Dengan Trend Deterministik Kasus Linier Andaikan y(t) adalah jumlah karbon dioksida (CO2 ) per kubik meter pada waktu t. Suatu model sederhana menyatakan hubungan linier: y(t) = a∗t + b∗

Sehingga CO2 bertambah secara linier.

Tentu saja, jika yi merupakan

CO2 yang diukur pada waktu ti , yi tidak secara sempurna mengikuti garis lurus (mungkin saja disebutkan kesalahan pengukuran atau fakta lain yang tidak direfleksikan dalam model). Jadi dimodelkan (Yi : 1 ≤ i ≤ n) sebagai: Yi = a∗ti + b∗ + εi

(4.1)

Dengan εi adalah perubah acak bersebaran bebas identik (i.i.d) N (0, σ∗2 ) untuk mengestimasi a∗, b∗ dan σ∗2 digunakan metode Likelihood maksimum. Likelihood yang didasarkan pada pengamatan nilai time series Yi pada waktu ti (untuk 1 ≤ i ≤ n) adalah 2

L(a, b, σ ) =

n Y i=1

(Yi − ati − b)2 √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1

Jadi log. Likelihood: X (Y i − ati − b)2 n L(a, b, σ 2) = − log (2πσ 2) − 2 2σ 2 i=1 n


16 ˆ 2 ), â dan ˆb harus menyelesaikan pasangan persamaan Pada maksimum (ˆ a, ˆb, sigma linier: n X

(Yi − a ˆti − ˆb)ti = 0

i=1 n X

(Yi − a ˆti − ˆb) = 0

i=1

Penyelesaian dari pasangan persamaan linier ini adalah: P Pn Pn n t Y − n Y /n t /n i=1 i i j=1 j i=1 i P â = P P n n n 2 i=1 ti − n j=1 tj /n i=1 ti /n X 1X ˆb = 1 Yi − â ti n i=1 n i=1 n

n

Estimasi baku dari σ∗2 dalah: 1 X (Yi − a ˆti − ˆb)2 σ ˆ = n − 2 i=1 n

2

Dibagi dengan n − 2 dalam definisi estimator σ∗2 untuk menjadi baku σ∗2 tidak bias sebagai estimasi dari σ 2, (yaitu E(σ∗2) = σ 2 . Perhatikan juga bahwa jika n = 2, selalu dapat ditarik suatu garis lurus melalui dua titik. Jadi noise adalah nol apabila ukuran sampel n ≤ 2. Prediksi terbaik (kuadrat rata-rata) pada beberapa waktu masa datang t untuk time series adalah ekspektasi bersyarat dari sebaran Y pada waktu t, yaitu ˆt + ˆb. a∗ .t + b∗. Dengan mensubstitusi estimator â dan ˆb, diperoleh prediktor a

4.2 Interval Prediksi Pada Waktu t Diketahui model linier (4.1), nilai Y pada waktu t mempunyai sebaran interval dengan rata-rata a∗ .t + b∗ dan keragaman σ∗2. Jadi nilai Y diharapkan pada


17 waktu t memperlihatkan noise di sekitar nilai trend a∗.t + b∗ ingin dibentuk suatu interval prediksi untuk nilai time series Y pada waktu t yang merefleksikan adanya noise ini dan ini perlu diperhitungkan karena a∗ dan b∗ tidak diketahui. Mereka harus diestimasi dari data melalui a ˆ dan ˆb. Untuk membentuk interval prediksi dengan tingkat keyakinan 100(1 − δ)%), dilakukan sebagai berikut: 1. Pilih nilai z sehingga P (−z ≤ tn−2 ≤ z) = 1 − δ Dimana tn−2 adalah peubah acak student-t dengan n−2 derajad kebebasan. 2. Hitung gamma ˆ = Dimana t¯ =

1 n

n P

s

σ ˆ2

(t − ¯t)2 1 1 + + Pn 2 ¯2 n i=1 ti − n(t)

tj

j=1

3. Interval prediksi 100(1 − δ)% adalah [ˆ at + ˆb − zˆ γ , ât + ˆb + zˆ γ] Interpretasinya adalah terdapat 100(1 − δ)% keyakinan bahwa nilai time series pada waktu t berada dalam interval tersebut.

4.3 Time Series Dengan Trend Deterministik : Kasus Tak Linier 4.3.1 Trend Eksponensial Andaikan dipercayai bahwa bentuk dasar dari trend adalah pertumbuhan eksponensial terhadap waktu, jadi trend y(t) berbentuk y(t) = c∗ exp(a∗t)


18 Maka, log(y(t) = log(c∗ ) + a∗ t = a∗t + b∗, dimana b∗ = log(c∗ ). Jadi, log(y(t)) mempunyai trend linier. Jika diyakini bahwa time series (Yi : 1 ≤ i ≤ n) mempunyai trend eksponensial, maka harus dianalisis (Y¯i : 1 ≤ i ≤ n) mempunyai trend eksponensial, maka harus dianalisis (Y¯i : 1 ≤ i ≤ n) dengan Y¯ = log(Yi ). Sesuaikan model regresi linier dengan (Y¯ , ti ), dengan memperoleh â dan ˆb. Pada akhirnya perlu dieksponensialkan untuk mentransformasikan kembali ke skala awal. Jadi 100(1 − δ)% interval prediksi berbentuk: [exp(ˆ at + ˆb − zˆ γ ), exp(ˆ at + ˆb + zˆ γ )]

4.3.2 Trend Pangkat Andaikan dipercayai bahwa bentuk dasar trend sebagai pangkat dari waktu, jadi trend berbentuk: y(t) = c∗ta∗ Maka, log(y(t)) = log c∗ + a∗ log(t) = a∗ log(t) + b∗ , dengan b∗ = log(c∗ ), sehingga log(y(t)) linier dalam log(t). Jika dipercayai bahwa times series (Yi : 1 ≤ i ≤ n) mempunyai trend demikian, maka harus disesuaikan model regresi linier dengan ˆ dan ˆb, seperti dalam (Y¯i , ¯ti) dimana Y¯i = log(yi ) dan ¯ti = log(ti ), perlu diperoleh a kasus eksponensial, perlu ditransformasi kembali ke skala awal. Jadi 100(1 − δ)% interval prediksi pada waktu t berbentuk: [exp(ˆ a log(t) + ˆb − zˆ γ ), exp(ˆ a log(t) + ˆb + zˆ γ )]


19 4.4 Time Series Tanpa Trend 4.4.1 Autoregresi Linier Ordo 1 Sekarang diperluas model regresi linier terhadap kasus dalam mana kita tidak meregresi pada suatu variabel luar (misalnya, waktu) tapi pada suatu variabel dalam (misal, nilai sebelumnya dari time series). Model demikian disebut model waktu autoregresi (karena diregresi pada nilai poin dari time series itu sendiri). Barisan autoregresi orde pertama (Yn : n ≥ 0) adalah barisan yang memenuhi: Yn+1 = a∗Yn + b∗ + εn+1 Dengan (εn : n ≥ 1) merupakan barisan variabel acak i.i.d N (0, σn2 ), selanjutnya perlu diestimasi a∗, b∗ dan σ∗2 dari data pengamatan. Seperti biasa, dipakai metode maksimum likelihood. Perhatikan bahwa kondisional pada Y0 , likelihood dari time series (Yi : 1 ≤ i ≤ n) adalah: 2

L(a, b, σ ) =

n Y i=1

(Yi − aYi−1 − b)2 √ exp − 2σ 2 2πσ 2 1

Log likelihood: X (Yi − aYi−1 − b)2 n L(a, b, σ ) = − log(2πσ 2) − 2 2σ 2 i=1 n

2

Pada maksimum (ˆ a, ˆb, σ ˆ 2), a ˆ dan ˆb diperoleh dari penyelesaian pasangan persamaan liner: n X

(Yi − âYi−1 − ˆb)Yi−1 = 0

i=1 n X

(Yi − a ˆYi−1 − ˆb) = 0

i=1


20 Yaitu: a ˆ=

P Pn n Y Y − n Y /n Y /n i=1 i i−1 j=1 j i=1 i P P Pn n n 2 Y − n Y /n Y /n i=1 i j=1 j i=1 i

Pn

X 1X ˆb = 1 Yi − a ˆ Yi n i=1 n i=0 n

n−1

Estimasi baku untuk σ 2 adalah 1 X (Yi − a ˆYi−1 − ˆb)2 n − 2 i=1 n

σ ˆ2 =

Prediksi nilai masa datang dari autoregresi pada ordo, perhatikan bahwa: Yn+m =

n−1 X

(a∗ )j (εj + b∗) + (a∗ )m Yn

i=0

Jadi prediksi dari Yn+m diketahui Y0 = y0 , . . . , Yn = yn adalah: E[Yn+m |Y0 = y0 , . . . , Yn = yn ] =

m−1 X

=

   (a∗)m yn +

(a∗)j b∗ + (a∗)m Yn

j=0

(1−(a∗ )m ) ∗ b 1−a∗

  Yn + mb∗

a∗ 6= 1 a∗ = 1

Ini berarti peramalan nilai masa datang pada waktu n + m berlaku apabila a∗ dan b∗ diketahui. Namun a∗ dan b∗ harus diestimasi oleh â dan ˆb. m−1 X

(ˆ a)j ˆb + (ˆ a)m yn

j=0

Untuk membentuk interval prediksi terhadap Yn+m (didasarkan pada pengamatan Y0 , . . . , Yn ) dengan tingkat keyakinan 100(1 − δ)%, dilakukan hal berikut: 1. Pilih nilai z sehingga P (−z ≤ N(0, 1) ≤ z) = 1 − δ


21 2. 100(1 − δ)% interval prediksi adalah "m−1 # m−1 X X (ˆ a)j ˆb + (ˆ ˆ, (ˆ a)j ˆb + (ˆ ˆ a)m yn − z σ a)m yn + z σ j=0

j=0

Apabila n besar, interval I memiliki sifat: P (Yn+m ∈ I/Y0 = y0, . . . , Yn = yn ) ≈ 1 − δ

4.4.2 Autoregresi Proses Ordo P Suatu keluarga model autoregresi yang lebih lentur diberikan oleh autoregresi ordo ke P . Barisan autoregresi ordo ke P (Yn : n ≥ 0) merupakan barisan yang memenuhi: Yn+1 =

n X

a∗j Yn+1−j + b∗ + εn+1

j=1

Untuk n ≥ p − 1, dimana (εn : n ≥ 1) adalah barisan variabel acak i.i.d N(0, σ∗2 ). Sekarang ingin diestimasi a∗, . . . , a∗p, b∗ dan σ∗2 dari data pengamatan. Bersyarat pada Y0 , . . . , Y0−1 likelihood time series (Yi : p ≤ i ≤ n) adalah n Y (Yi − aYi−1 − · · · − ap Yi−p − b)2 1 2 √ L(a1, . . . , ap, b, σ ) = exp − 2 2σ 2 2πσ i=1 Maka log likelihood n X √ (n − p + 1) (Yi − aYi−1 − · · · − apYi−p − b)2 2 log 2πσ − L(a1 , . . . , ap , b, σ ) = − 2 2σ 2 i=p 2

Pada maksimum (ˆ a1, . . . , a ˆp , σ ˆ 2), â1, . . . , a ˆp, ˆb harus menyelesaikan sistem (p + 1) persamaan linier dalam p + 1 tidak diketahui, yaitu: n X

(Yi − âYi−1 − · · · − a ˆYi−p − ˆb) = 0, 1 ≤ j ≤ p

i=p n X

(Yi − a ˆYi−1 − · · · − a ˆYi−p − ˆb) = 0

i=p


22 Setelah diperoleh a ˆ1 , . . . , âp, ˆb dari sistem persamaan linier di atas, σ∗2 dapat diestimasi oleh; X 1 (Yi − a ˆYi−1 − · · · − a ˆp Yi−p − ˆb)2 n − p − 1 i=p n

σ ˆ2 =

Sekarang ingin ditentukan interval prediksi. Suatu cara untuk memperoleh nilai prediksi autoregresi ordo P adalah memakai pendekatan matriks. Autoregresi ordo adalah memakai pendekatan matriks. Autoregresi ordo ke P dengan notasi matriks ditulis sebagai: Y¯ = (Yn , Yn−1 , . . . , Yn−p+1 )T Ditulis dengan: 





∗ a1

 Y  n+1   1     Yn       . = 0  .    .  .    ..   Yn−p+2 0

a∗2

···

a∗p

0

···

···

1 .. .

··· .. .

··· .. .

0

···

1



       ∗  Y b ε  n+1     n+1  0         Yn   0   0        + +      0    ..   ..   ..   .  .  .  ..        .   Yn−p+1 0 0 0

Atau ditulis sebagai: ~n+1 = F ∗Y~n + ~b∗ + ~εn+1 Y Dimana: ~b∗ = (b∗, 0, . . . , 0)T


23 ε~∗ = (ε∗, 0, . . . , 0)T Dan 

∗ a1

 1    F∗ =  0  .  ..   0

a∗2

···

0

···

1 .. .

··· .. .

0

···

a∗p



  · · · 0    · · · 0  .. ..  . .   1 0

Seperti untuk autoregresi ordo pertama Y~n+m dapat ditulis sebagai: Y~n+m =

m−1 X

~n (F ∗)j (~b + ~εn+m−j + F ∗)m Y

j=0

Jadi: ~n ] E[Y~n+m |Y~0, . . . , Y

m−1 X

~n (F ∗)j (~b + ~εn+m−j + F ∗)m Y

j=0

Tetapi Yn = eT Y~n , dengan e = (1, 0, . . . , 0)T

maka prediksi terbaik dari Yn+m didasarkan pada Y0 = y0, . . . , Yn = yn adalah Yˆn+m = E[Yn+m |Y0 = y0, . . . , Yn = yn ] T

=e

m−1 X

~n (F ∗)j (~b + eT (F ∗)m Y

j=0

Interval prediksi dapat diperoleh dengan 100(1 − δ)%, tingkat keyakinan:

1. Pilih nilai z sehingga: P (−z ≤ N(0, 1) ≤ z) = 1 − δ


24 2. 100(1 − δ)% interval prediksi adalah " m−1 # m−1 X X T ∗ j ~ T ∗ m~ T ∗ j ~ T ∗ m~ e (F ) (b + e (F ) Yn − z σ ˆ, e (F ) (b + e (F ) Yn + z σ ˆ j=0

j=0

Apabila n besar, interval I memiliki sifat: P (Yn+m ∈ I/Y0 = y0 , . . . , Yn ) ≈ 1 − δ


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan Hipotesis yang digunakan dalam penelitian ini adalah nilai time series Yi dengan waktu ti (untuk 1 ≤ i ≤ n). Metode yang digunakan adalah metode Likelihood maksimum. Uji yang digunakan adalah pendekatan matriks autoregresi ordo ke P dengan interval prediksi dapat diperoleh dengan 100(1 − δ)%, tingkat keyakinan.


DAFTAR PUSTAKA

Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. 1997. Time Series Analysis : Forecasting and Control, Holden-Day, San Fransisco. Chris Chatfield. 1998. Prediction Intervals, Departement of Mathematical Sciences, University of Bath. Fay, R. E. and Herriot, R. A. 1979. Estimates of Income for Small Palces: an Application of James-Stein Procedure to Cencus Data, J. Amer. Statist. Assoc., 74. 269-277. Jeske, D. R. and Harville, D. A. 1988. Prediction Interval Procedure and (FixedEffects) Confidence-Interval Procedure for Mixed Linear Models, Commun. Statist.-Theory Meth., 17. 1053-1087. Jiang, J. 1998. Asymptotic Properties of the Empirical BLUP and BLUE in Mixed Linear Models, J. Amer. Statist. Asso., 93. 720-729. Jiang, J. and Zhang, W. 2002. Distribution-Free Prediction Intervals in Mixed Linear Models, Statistica Sinica, 12. 537-553. Lorenzo Pascual, Juan Romo and Esther Ruiz. 2001. Bootstrap Prediction Intervals For Power-Transformed Time Series, Working Paper Statistic and Econometrics Series 03. Michael P. Clements and Jae H. Kim. 2006. Bootstrap Prediction Intervals for Autoregressive Time Series, Computational Statistics & Data Analysis 51. pp 3580-3594. Prasad, N. G. N. and Rao, J. N. K. 1990. The Estimation of the Mean Squared Error of Small Area Estimator, J. Amer. Statist. Assoc., 85. 163-171. Prof. Peter. W. Glynn. 2007. Introduction to Stochastic Modeling. Thombs, L.A. and Schucany, W.R. 1990. Bootstrap Prediction Intervals for Autoregression,Journal of The American Statiscal Association, 85. 486-492.


INTERVAL PREDIKSI UNTUK MODEL TIME SERIES

Recommend Documents