PRAVDĚPODOBNOST ... m n

PRAVDĚPODOBNOST - matematická disciplína, která se zabývá studiem zákonitostí, jimiž se řídí hromadné náhodné jevy - vytváří pravděpodobnostní modely, pomocí nichž se snaží postihnout procesy, ovlivněné náhodou.

Náhodné pokusy: procesy, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit (je nejistý); závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě. Teorie pravděpodobnosti se zabývá pouze náhodnými pokusy, které jsou za stejných podmínek opakovatelné a u nichž je měnlivost výsledků podstatná a vykazuje určitou zákonitost. Hromadné náhodné jevy: výsledky opakovatelných náhodných pokusů (symbolika – A, B, C, ...). Pravděpodobnost náhodného jevu: pravděpodobnost náhodného jevu A je číslo P(A), které lze interpretovat jako míru možnosti nastoupení náhodného jevu.

! Existují různé definice pravděpodobnosti:

a) Axiomatická teorie pravděpodobnosti: pravděpodobnost je funkce, která každému náhodnému jevu přiřazuje reálné číslo, přičemž musí být splněny následující axiomy

P  A  0 2) P ( A1  A2  ...)  P  A1   P  A2   ... 3) P E   1 . 1)

(pro neslučitelné jevy)

b) Klasická definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost jevu A se rovná podílu případů příznivých nastoupení jevu A a počtu všech případů možných, jsou-li všechny stejně pravděpodobné.

P  A 

m n

kde m je počet případů příznivých n je počet případů možných.

c) Statistická definice pravděpodobnosti:

Jestliže při rostoucím počtu opakování náhodného pokusu (n)

m relativní četnost kolísá ve stále užších mezích kolem určitého čísla, můžeme toto číslo považovat za n pravděpodobnost jevu A. relativní četnost jevu A



m n

kde m je počet nastoupení jevu A n je počet opakování pokusu.

- odhad pravděpodobnosti náhodného jevu na základě výsledků, získaných při mnohonásobném opakování náhodného pokusu - tato definice má aposteriorní charakter.

1

Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi Podmíněná pravděpodobnost P A B  je podmíněná pravděpodobnost jevu A vzhledem k jevu B, tj. pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B.

P A B  

P A  B  , P B 

pro

P B  > 0

P B A  

P A  B  , P  A

pro

P  A > 0 .

Pravidlo o násobení pravděpodobností: Pravděpodobnost současného nastoupení jevů A a B (tzn. jejich průniku) je rovna součinu nepodmíněné pravděpodobnosti jednoho jevu a podmíněné pravděpodobnosti druhého jevu vzhledem k prvnímu jevu.

P  A  B   PB   P A B  P  A  B   P  A   P  B A . Zobecnění pravidla o násobení pravděpodobností pro dva a více jevů:

 n  P  Ai   P A1   P A2 A1   P A3 A1  A2     P An A1    An1  .  i 1  Nezávislost jevů Jestliže P  A B  

P A , pak jev A nezávisí na jevu B. Jestliže P B A  P B  , pak jev B nezávisí na jevu A. Nutná a postačující podmínka (definice) nezávislosti dvou jevů: P  A  B   P A  PB  . Zjednodušení pravidla o násobení pravděpodobností pro nezávislé jevy:

 n  P  Ai   P A1   P A2   P A3     P An  .  i 1  Pravidlo pro sčítání pravděpodobností: Pravděpodobnost sjednocení jevů A a B je rovna součtu pravděpodobností těchto jevů, zmenšené o pravděpodobnost jejich průniku.

P  A  B   P  A   P B   P  A  B  . Disjunktní jevy Jestliže P  A  B  

0 , pak jevy A a B jsou disjunktní.

Zjednodušení pravidla pro sčítání pravděpodobností pro disjunktní jevy:

P  A  B   P  A  P  B  .

2

Náhodná veličina Náhodná veličina - veličina, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu - vlivem náhodných činitelů může nabýt různých hodnot, proto nelze její konkrétní hodnotu před provedením náhodného pokusu jednoznačně určit - symbolika X, Y, ... - příklady náhodných veličin: počet bodů, které padnou na hrací kostce, počet poruch určitého zařízení, doba čekání na obsluhu v určité prodejně, atd..

Zákon rozdělení náhodné veličiny: pravidlo, které každé hodnotě nebo množině hodnot z každého intervalu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty nebo hodnoty z určitého intervalu. Je to pravděpodobnostní model empirické náhodné veličiny. - náhodnou veličinu pokládáme za danou, pokud známe všechny její možné hodnoty a pravděpodobnosti výskytu každé z nich.

Popis rozdělení náhodné veličiny 1) Diskrétní náhodná veličina Distribuční funkce: udává pravděpodobnost, že NV nabude hodnoty menší nebo rovné x.

F  x   P X  x    Pt  tx

Pravděpodobnostní funkce: udává pravděpodobnost, že NV nabude hodnoty rovné x.

Px   P X  x  !

 Px   1

Pozn.:

M ... prostor hodnot NV X, tj. množina možných hodnot NV X.

M

2) Spojitá náhodná veličina Distribuční funkce x

F x   P X  x  

 f t dt



Hustota pravděpodobnosti

f  x   F  x  

dF  x  dx



!

 f x dx  1



3

Charakteristiky náhodných veličin - číselné hodnoty, jejichž cílem je koncentrovat (zestručnit) popis NV - výstižný popis základních vlastností rozdělení NV. Podle vlastnosti rozdělení, kterou popisují, rozeznáváme: 1. 2. 3. 4.

Charakteristiky polohy Charakteristiky variability Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špičatosti.

1. Charakteristiky polohy Střední hodnota

EX 

= očekávaná hodnota (z lat. expectatis) a) Diskrétní NV

E  X    x  Px  M

b) Spojitá NV

E  X    x  f  x dx M

xˆ

Modus

a) Diskrétní NV - hodnota NV, která má největší pravděpodobnost výskytu (nejpravděpodobnější hodnota)

xˆ............. max P x  b) Spojitá NV - bod, v němž je hustota pravděpodobnosti maximální, tj. lokální maximum hustoty pravděpodobnosti f(x).

xˆ............. f  x   0 Kvantily - používají se především kvantily spojité náhodné veličiny. Hodnota

x p je 100p %-ním kvantilem NV X, jestliže pro ni platí

F x p   P X  x p   p . -

x p je hodnota NV X, kterou hodnoty NV nepřekročí s pravděpodobností 100p %.

4

2. Charakteristiky variability Rozptyl

D X 

a) Diskrétní NV 2

D X    x  E  X  M

   P x    x  P x    x  P x  M M 

2

2

b) Spojitá NV

D X  

 x  E  X 

2

M

Směrodatná odchylka

  f  x dx   x  f  x dx    x  f  x dx  M  M  2

 X 

  D X 

5

2

Některá rozdělení náhodných veličin Rozdělení náhodné veličiny = pravděpodobnostní model chování náhodné veličiny.

1. Rozdělení diskrétních náhodných veličin Binomické rozdělení

Bi n 

- NV X je počet výskytů náhodného jevu A v n nezávislých náhodných pokusech, je-li pravděpodobnost nastoupení jevu A ve všech pokusech stejná ( ) - rozdělení má 2 parametry : n ... počet nezávislých pokusů  ... pravděpodobnost nastoupení sledovaného jevu v 1 pokusu. Pravděpodobnostní funkce

n n x P x     x 1    , x = 0, 1, ..., n; 0 < < 1  x 0

jinak.

E  X   n D X   n 1    . Např.: NV X je počet „šestek“, které padnou při deseti hodech kostkou.

Poissonovo rozdělení

Po 

- NV X je počet výskytů náhodného jevu A v určitém časovém intervalu délky t (tzn. za jednotku času), v jednotce plochy nebo objemu (v prostorové jednotce) - rozdělení má 1 parametr :  ... střední hodnota rozdělení. Pravděpodobnostní funkce

P  x   e   0

x , x = 0, 1, 2, ...;   0 x! jinak.

EX    D X    . Např.: NV X je počet poruch stroje za směnu, počet telefonních hovorů za hodinu, počet vad na m2 koberce. Aproximace Binomického rozdělení rozdělením Pissonovým Podmínky: Počet pokusů n musí být dostatečně velký (alespoň n  30) a pravděpodobnost  velmi malá (alespoň   0,1). Při aproximaci udává P(x) přibližnou pravděpodobnost, že ve velkém počtu n nezávislých náhodných pokusů se sledovaný jev A vyskytne x-krát, je-li pravděpodobnost výskytu jevu v jednom pokusu velni malá. Např.: NV X je počet vadných výrobků ve velké sérii, je-li pravděpodobnost výroby zmetku velmi malá.

6

Hyp N M n

Hypergeometrické rozdělení

- používá se v případě závislých pokusů, tzn. při výběru bez vracení - NV X je počet vybraných prvků se sledovanou vlastností při závislých pokusech - má 3 parametry : N ... rozsah souboru, z něhož vybíráme M ... počet prvků v základním souboru, které mají sledovanou vlastnost n ... rozsah výběru ( = počet závislých pokusů). Pravděpodobnostní funkce

 M  N  M     x  n  x   Px   N   n EX   n 

M N

D X   n 

M  M  N n . 1    N N  N 1

Použití: Např. při kontrole jakosti u malého počtu výrobků nebo v případě, kdy kontrola má ráz destrukční zkoušky (výrobek je zničen).

2. Rozdělení spojitých náhodných veličin Exponenciální rozdělení

E A 

- NV X je doba čekání do nastoupení sledovaného jevu, může-li tento jev nastat v kterémkoli okamžiku - parametr A = počáteční doba, během které sledovaný jev nastat nemůže.

Hustota pravděpodobnosti :

Distribuční funkce :

1  x  A  /  e ,  0

f x  

xA,



> 0, A

0

jinak.

F x   1  e  x A  /  ,

x  A.

EX   A   D X    2 . Např.: NV X je doba čekání zákazníka na obsluhu v prodejně, doba realizace dvou po sobě jdoucích telefonních hovorů, doba životnosti zařízení, u nichž dochází k poruše z náhodných příčin (ne v důsledku opotřebení). Použití: V teorii spolehlivosti a životnosti, v teorii hromadné obsluhy (tzv. teorii front), v teorii obnovy.

7

Normální rozdělení

N  2

- je vhodné tam, kde kolísání NV je způsobeno velkým počtem nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů - klasickým typem veličin, které se řídí tímto rozdělením, jsou náhodné chyby - pomocí N  2 lze za jistých podmínek aproximovat řadu jiných rozdělení, a to i nespojitých.

Hustota pravděpodobnosti :

f x   F x  

Distribuční funkce :

1



 x   2

e

  2

x

1

  2

2 2



,

-

< x < , - <  < ,  > 0

dt ,

-

< x < .

t   2

 e

2 2



EX    D X    2 . - hustota pravděpodobnosti je zvonovitá křivka, symetrická podle - rozdělení N je jednovrcholové, vrchol je v bodě x   -  = modus = medián.

x   a její tvar závisí na parametru  2

Normování NV s normálním rozdělením: Výpočet distribuční funkce normálního rozdělení je obtížný, navíc by bylo nutno počítat hodnotu distribuční funkce pro každý speciální případ (tj. pro různá x, μ, σ2), proto se z důvodů usnadnění výpočtu transformuje náhodná veličina X, která má normální rozdělení s parametry μ a σ2, na normovanou veličinu U, která má normované normální rozdělení.

Normované normální rozdělení

N 0 1

2

- původní NV X, která má N    normujeme, tzn. transformujeme na NV U, která má N 0 1 - je tak zavedena normovaná veličina U, která má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl - hodnoty distribuční funkce a kvantilů N 0 1 je možno tabelovat.

U

x , 

E U   0 ,

Vztah pro výpočet F(x):

DU   1 . x F  x       u     u2

 1  e 2 , pro -  < u <  2

Hustota pravděpodobnosti :

 u  

Distribuční funkce :

1 u   2

u

e



t2 2

dt .



Tabulky normovaného normálního rozdělení Vzhledem k symetrii N 0 1 podle bodu u  0 platí:

 u   1  u  uP  u1 P up 

xp  





xp   up  

Z důvodu symetrie N 0 1 kolem 0 jsou tabelovány hodnoty

P  0,5 .

8

u  pouze pro u  0 a kvantily pouze pro

Rozdělení některých funkcí náhodných veličin - mají zvláštní význam pro řešení některých matematicko-statistických úloh (viz. další výklad) - stejné značení pro náhodné veličiny i jejich hodnoty - v praxi se používají především kvantily těchto rozdělení, jsou tabelovány.

Rozdělení  2

 2  

- NV  2 je součtem ν nezávislých NV s normovaným normálním rozdělením - rozdělení má 1parametr : ν ... počet stupňů volnosti - kvantily jsou tabelovány pro ν = 1, 2, ... , 30 a pro vybrané pravděpodobnosti P.



 2   U i2  U 12  U 22    U2 i 1

Rozdělení Studentovo (t)

t ν 2

- NV t je podílem dvou nezávislých NV: NV U s rozdělením N 0 1 a NV  s rozdělením  - rozdělení má 1 parametr : ν ... počet stupňů volnosti - kvantily jsou tabelovány pro ν = 1, 2, ... , 30 a pro vybrané pravděpodobnosti P - používá se především pro výběry malého rozsahu (n < 30) - rozdělení je symetrické podle bodu t = 0, pro kvantily proto platí vztah

t

2

 

t p  t 1 p .

U

2 

Rozdělení Fisherovo (Snedecorovo)

F ν1; ν2 2

- NV F je podílem dvou nezávislých NV: NV  1 s rozdělením 

2

 1  a NV  22 s rozdělením   2 

2

- má 2 parametry: ν1 ... počet stupňů volnosti NV  1 (v čitateli) ν2 ... počet stupňů volnosti NV

 22 (ve jmenovateli).

 12  F  12 2 2

9

2

Operace s náhodnými jevy - vztahy mezi náhodnými jevy graficky znázorňují tzv. Vennovy diagramy 1.

A B

Jev A je částí jevu B; z jevu A plyne jev B (implikace); nastoupení jevu A má vždy za následek nastoupení jevu B.

2.

A B

Jevy A a B jsou si rovny;

A  B a současně B  A .

3. C  A  B

Jev C je průnik jevů A a B (logický součin); jev C nastane právě tehdy, nastane-li současně jev A i jev B.

4. C  A  B

Jev C je sjednocení jevů A a B (logický součet); jev C nastane právě tehdy, nastane-li alespoň jeden z jevů A a B.

5. C  A  B

Jev C je rozdíl jevů A a B; jev C nastane právě tehdy, když jev A a současně jev B nenastane.

6. E je jev jistý Ø je jev nemožný

Jev, který musí nastat vždy. Jev, který nastat nemůže.

Kombinatorika Permutace

Pn   n!

Variace bez opakování Vk n  

n! n  k !

Variace s opakováním Vk´ n   n k

Kombinace n n! C k n       k  k!n  k !

10