Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si
x 2 y 3 z 1 1. Bentuk sederhana dari x 1 y 2 z 3 x6 y
A.
6 10
x y z
8
y2
C.
x2z4 y2
D.
x2 z8 z8
E.
adalah ….
Sifat-sifat Pangkat
Perhatikan selisih pangkat dari pembilang dan penyebut. Jika pangkat pembilang lebih besar maka variabel diletakkan pada pembilang, tapi jika pangkat penyebut yang lebih besar maka variabel diletakkan di penyebut. Besar pangkat sama dengan selisih pangkat pembilanga dan penyebut
z8
B.
2
x2 y2
Jawab:
1. am . an = am + n
am 2. = am – n an 3. (am)n = am.n 4. (ab)m = am bm a b
5.
m
am bm 1 am
=
6. a –m =
2
4 6 2 x 2 y 3 z 1 y2 = x y z = x 1 y 2 z 3 x 2 y 4 z 6 x2 z8 (D)
2. Bentuk sederhana dari A. 2(3 2 - 2 3 ) B. 2(3 2 + 2 3 ) C. 2(2 2 + 3 3 ) D. 2(2 2 - 3 3 ) E. 3(3 2 + 2 3 ) Jawab:
2 6 3 2 =
=
2 6 3 2
2 6 ( 3 2) 2
3 2
2
=
Metode paling umum untuk menyelesaikan adalah …. permasalahan menyederhanakan fungsi rasional bentuk akar adalah dengan mengalikan penyebut 3 2 dengan bilangan sekawannya. Ini dimaksudkan agar penyebut tidak lagi dalam bentuk akar. 2 6 Perhatikan , penyebutnya 3 2 . 3 2 Bilangan sekawan dari 3 2 adalah 3 2 Perkalian bilangan sekawan:
2 6
(a + b)(a – b) = a2 – b2 , jadi 3 2
2
( 3 2 )( 3 2 ) =
2
3 2 =3–2=1
3 2
2( 18 12 ) = 2(3 2 - 2 3 ) 3 2
(A) 3. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b maka log 360 = ... A. a + b + 1 B. a + 2b + 1 Sifat logaritma terkait C. 2a + b + 1 yang digunakan a log bc = alog b + a log c D. 2a + 2b + 1 E. a + b + 2 Jawab: log 360 = log (36 10) = log (2.2.3.3.10) = log 2 + log 2 + log 3 + log 3 + log 10 = a + a + b + b + 1 = 2a + 2b + 1 (D)
Sifat-sifat logaritma 1. alog b = c ac = b 2.
a m log b n n . a log b
3.
alog
4.
a log b a log b a log c
5. 6.
7.
m
a
b.c = log b + a log c
c
a
log b . b log c = a log c
a
log b
a log b
1 b
log a
k log b k log a
dengan
( k bil real positif)
(1)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 4. Seorang pengusaha batu akik A membeli 4 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi dengan harga Rp 870.000,00 . Sedangkan pengusaha batu akik B membeli 5 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi seharga Rp 960.000,00. Maka harga satu buah batu jamrud dan dua buah batu merah rubi adalah …. A. Rp 155.000,00 B. Rp 165.000,00 C. Rp 260.000,00 D. Rp 265.000,00 E. Rp 275.000,00 Jawab: Misal x = harga 1 buah batu jamrud dan y = harga 1 buah batu merah rubi 4x + 6y = 870.000 5x + 6y = 960.000 ––––––––––––––– – x = 90.000 4(90.000) + 6y = 870.000 360.000 + 6y = 870.000 6y = 510.000 y = 85.000 jadi 1x + 2y = 1(90.000) + 2(85.000) = 90.000 + 170.000 = 260.000 (C) 2 1 3 4 7 9 3 0 2 L = maka 2K – 3L + M = ... dan M = 5. Apabila K = 6 0 1 6 5 8 2 3 1 1 5 21 A. 12 14 7
1 5 21 B. 12 4 7 1 5 21 C. 12 14 7
1 5 9 D. 12 14 7 1 5 21 E. 6 14 7 Jawab: 2 1 3 3 0 2 4 7 9 – 3 + 2K – 3L + M = 2 6 0 1 2 3 1 6 5 8 2 6 9 0 6 4 7 9 1 5 21 4 – = + = 12 0 2 6 9 3 6 5 8 12 14 7 (B) 5 8 adalah ... 6. Invers matriks = a b 2 3 –1 invers dari matriks M = ditullis M c d 8 3 A. 1 a b d b 1 2 5 adalah = ad bc c a c d 3 8 B. 2 5 3 8 C. 5 2
3 8 D. 2 5 3 8 E. 2 5 (2)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Jawab:
5 8 Invers matriks 2 3 5 8 = 2 3 (E)
1
=
3 8 3 8 1 1 1 3 8 3 8 = = = 5.3 8. 2 2 5 15 16 2 5 1 2 5 2 5
2 4 1 7. Nilai determinan 3 5 6 adalah ... 1 3 2 Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 3 A. 62 digunakan aturan Sarrus B. -4 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 C. -42 a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 D. -52 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 E. -54 Jawab: 2 4 1
–
–
–
+
+
+
3 5 6 = 2.5.-2 + 4.6.1 + -1.-3.3 – -1.5.1 – 2.6.3 – 4.-3.-2 1 3 2 = -20 + 24 + 9 + 5 – 36 – 24 = -42 Det A = + a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33 (C) 8. Grafik fungsi y =
5 2 x + 10x yang sesuai adalah .... 2
A. Y
B.
Y
C.
Y
10 0
0
2
X
X
-2
0
X
-10
-10 Y
E.
Y
D.
2
10 -2
-2
0
X
2
X
-10
Jawab: Pada pilihan jawaban, kurva-kurva berbeda titik puncaknya, jadi cukup dicari saja titik puncaknya.. 5 y = x2 + 10x 2 Syarat Puncak, y’ = 0 = -5x + 10 5x = 10 x=2 (3)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 5 (2)2 + 10(2) = -10 + 20 = 10 2 Jadi titik puncak (2, 10) (A)
y(2) =
Teknik mengetahui persamaan sebuah fungsi kuadrat 1. Persamaan kuadrat yang puncaknya (a, b) adalah
(y – b)2 = k(x – a)2 k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain 2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β
y = k[x2 – (α + β)x + αβ] k = konstanta yang nilainya dihitung dengan substitusi titik yang lain
Note! Sebuah persamaan kuadrat dengan fungsi f(x) = ax2 + bx + c (1). Jika a > 0, kurva terbuka ke atas Jika a < 0, kurva terbuka ke bawah (2). Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, jadi y = a.02 + b.0 + c = c (0 , c) (3). Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 x dapat dicari dengan pemfaktoran (… …)(… …) = 0 (4). Titik puncak (x , y)
b adalah sumbu simetri 2a b y = f( ) adalah nilai max/min 2a
x=
9. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 17 dan 37 maka jumlah 20 suku pertama adalah…. Barisan aritmatika A. 300 B. 450 Suku ke-n C. 990 Un = a + (n – 1)b D. 1.000 Jumlah n suku pertama E. 1.080 n Jawab: Sn = [2a + (n – 1)b] 2 U4 = a + 3b = 17 U8 = a + 7b = 37 Barisan geometri ––––––––––––– – 4b = 20 Suku ke-n b=5 Sn = ar n – 1 a + 3(5) = 17 a=2 Jumlah tak hingga a Jumlah 20 suku pertama S = 1 r n Sn = [2a + (n – 1)b] 2 20 S20 = [2(2) + (20 – 1).5] 2 = 10[4 + 95] = 10[99] = 990 (C) 10. Setiap bulan Hanif menabung di Bank. Pada bulan pertama Hanif menabung sebesar Rp 350.000,00, bulan kedua Rp 375.000,00, dan bulan ketiga Rp 400.000,00. Jika penambahan uang yang ditabung tetap setiap bulannya, jumlah uang yang ditabung Hanif selama satu tahun adalah …. A. Rp 1.125.000,00 B. Rp 4.475.000,00 C. Rp 5.500.000,00 D. Rp 5.850.000,00 E. Rp 6.200.000,00 (4)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Jawab: Ini adalah persoalan Deret aritmatika karena terjadi penambahan nilai secara tetap. a = U1 = 350.000, U2 = 375.000, U3 = 400.000, b = 375.000 – 350.000 = 25.000 Satu tahun = 12 bulan, n = 12 n Sn = [2a + (n – 1)b] 2 12 S12 = [2(350.000) + (12 – 1).(25.000)] 2 = 6[700.000 + 275.000] = 6[975.000] = 5.850.000 (D) 11.
Sebuah Mobil dibeli dengan harga Rp 120.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 4 dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah .... 5 Barisan geometri A. Rp24.000.000 Suku ke-n B. Rp38.400.000 Sn = ar n – 1 C. Rp61.440.000 Jumlah tak hingga D. Rp76.800.000 a S = E. Rp96.000.000 1 r Jawab: 4 Ini persoalan Barisan geometri karena memiliki rasio (pembanding) tertentu yaitu 5 untuk nilai-nilai berikutnya. a = 120.000.000 4 r= 5 2
16 4 U3 = ar = 120.000.000 = 120.000.000 = 4.800.000 (16) = 76.800.000 25 5 (D) 2
12.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah 24 dan suku pertamanya adalah 16. Rasio dari deret tersebut adalah…. 1 Barisan geometri A. 6 Suku ke-n 1 Sn = ar n – 1 B. Jumlah tak hingga 4 a 1 S = C. 1 r 3 1 D. 2 2 E. 3 Jawab: Deret geometri tak hingga dengan S = 24, a = 16 a S = 1 r 16 24 = 1 r 2 16 1–r= = 3 24 1 r= 3 (C) (5)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 13. Sebuah home industri mainan yang berbahan kayu setiap hari memproduksi dua jenis mainan tidak lebih 70 buah dengan modal Rp 1.250.000,00. Untuk membuat mainan jenis pertama memerlukan biaya Rp 25.000,00 dan mainan jenis kedua memerlukan biaya Rp 50.000,00. Jika banyaknya mainan jenis pertama dimisalkan x dan mainan jenis kedua y maka model matematika dari persoalan tersebut adalah… A. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 B. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 C. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0 D. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0 E. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0 Jawab: jenis pertama jenis kedua batas jumlah produksi x y 70 biaya 25.000 50.000 1.250.000 Misal x = banyak mainan jenis pertama, y = banyak mainan jenis kedua x + y 70 25.000x + 50.000y 1.250.000 }:25.000 x + 2y 50 ( tidak ada jawab) 14. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y 12, x + 4y 8, x 0, y 0 adalah… A. I B. II Y C. III 3x + y = 12 D. IV 12 E. V x + 4y = 8 Jawab: Mula-mula identifikasikan persamaan garis pada gambar Tanda berarti daerah di bawah garis I Tanda berarti daerah di atas garis II 3x + y 12 yang memenuhi {I, II, IV} III 2 x + 4y 8 yang memenuhi {I, II, III} IV V x 0, y 0 berarti daerah di kuadran I (+, +) {II, III, IV, V} 0 4 8 yang memenuhi semua kendala adalah daerah II (B)
X
15. Seorang pengusaha mainan anak - anak akan membeli beberapa boneka Barbie dan boneka Masha tidak lebih dari 25 buah. Harga sebuah boneka Barbie Rp 60.000,00 dan harga sebuah boneka Masha Rp 80.000,00. Modal yang dimiliki pengusaha Rp1.680.000,00. Jika laba penjualan 1 boneka Barbie Rp 20.000,00 dan 1 boneka Masha Rp 25.000,00, maka laba maksimumnya adalah .... A. Rp 400.000,00 B. Rp 480.000,00 C. Rp 545.000,00 D. Rp 550.000,00 E. Rp 580.000,00 Jawab: Barbie Masha batas jumlah produksi x y 25 biaya 60.000 80.000 1.680.000 laba 20.000 25.000
(6)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Disusun model matematika: x + y 25 60.000x + 80.000y 1.680.000 }:20.000 3x + 4y 84 fungsi objektif: (x, y) = 20.000x + 25.000y Membandingkan gradien x + y = 25 m = –1 3 3x + 4y = 84 m= 4 20.000 4 (x, y) = 20.000x + 25.000y m= = 25.000 5 4 3 Karena besar gradien fungsi objektif ( ) di tengah fungsi-fungsi kendala –1 dan , atau 5 4 4 3 dapat disusun –1 < < maka nilai optimum berada di titik potong kedua garis 5 4 kendala. Titik potong. x + y = 25 }4 4x + 4y = 100 3x + 4y = 84 3x + 4y = 84 ––––––––––– – x = 16 (16) + y = 25 y=9 diperoleh titik potong (16, 9) Nilai maksimum (x, y) = 20.000x + 25.000y (16, 9) = 20.000(16) + 25.000(9) = 320.000 + 225.000 = 545.000 (C) 16. Persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x - 4y + 5 = 0 adalah .... A. 4x + 3y – 5 = 0 Dua garis yang bergradien masingB. 4x + 3y – 11 = 0 masing m1 dan m2 C. 4x – 3y – 11 = 0 Sejajar jika : m1 = m2 D. 3x – 4y – 10 = 0 Tegak Lurus jika : m1 m2 = –1 E. 3x – 4y – 2 = 0 Jawab: Persamaan garis yang melalui titik (a, b) 3x - 4y + 5 = 0 dan sejajar garis Ax + By = C garis tegaklurus melalui (2, -1) adalah: Ax + By = Aa + Bb 4x + 3y = 4(2) + 3(-1) Persamaan garis yang melalui titik (a, b) 4x + 3y = 8 – 3 = 5 dan tegak lurus garis Ax + By = C 4x + 3y – 5 = 0 adalah: Bx – Ay = Ba - Ab (A) 17. Diketahui tan α = – 2 untuk 90 α 180. Nilai cos α adalah .... 1 3 A. Perbandingan Trigonometri miring 3 depan sin = 1 miring 3 B. 2 samping α cos = samping C. 3 miring 1 depan 3 D. tan = 3 samping 1 3 E. 2
depan
(7)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Jawab: tan α = - 2 , dibuat segitiga siku-siku yang sesuai, tanda minus diabaikan. Baru nanti setelah diperoleh perhitungan tanda dibuat dengan memperhatikan kuadran. Sisi yang belum ada dilengkapi dulu, yaitu sisi miring dan dihitung dengan phytagoras.
12 2
r=
2
=
3 2
3
α
1
1 1 3 1 samping 3 3 cos α = = = = = 3 miring 3 3 3 3 Interval 90 α 180 menunjukkan bahwa sudut berada di kuadran II, nilai cosinus di
kuadran II adalah negatif. Jadi jawaban lengkapnya cos α = –
1 3 3
(A) y = Tan x
y = Sin x y = Cos x
I
I
II I III
III
IV
IV II
III
II
IV
Untuk menentukan nilai sin, cos atau tan, memang sebaiknya direkonstruksikan sebuah segitiga yang bersesuaian dengan data yang dimiliki, kemudian panjang sisi yang belum diketahui nilainya dicari dengan dalil Pythagoras. Walaupun sudut yang terlibat adalah sudut di sembarang kuadran dan tidak selalu dikuadran I ( 0 < θ < 90) tetapi nilainya sama saja. Yang membedakan hanyalah tanda negatif atau positif. Perhatikan ilustrasi kurva trigonometri di atas, apabila dirangkum dalam sebuah tabel maka diperoleh: kuadran I kuadran II kuadran III kuadran IV sin x + + – – cos x + – – + tan x + – + – 18. Sebuah segitiga PQR dengan panjang PR = 12 m, besar P = 30o dan Q = 45o. Panjang QR adalah .… R C A. 6 m B. 6 2 m
12 m
30 P E. 12 2 m Jawab: Panjang QR dihitung dengan aturan sinus QR PR sin P sin Q QR 12 sin 30 sin 45 QR sin 30
=
12
2 (B)
=
12 2
12 1 12 = 1 sin 45 2 2 2
2 2
=
12 2 = 6 2 2
a
b
C. 6 3 m D. 12 m 45
Q
A
c
B
Aturan sinus. Digunakan apabila unsur segitiga yang terlibat dalam perhitungan berupa dua pasang sisi – sudut yang saling berhadapan
a b c sin A sin B sin C Aturan cosinus. Digunakan apabila unsur segitiga yang terlibat dalam perhitungan berupa tiga sisi dan sebuah sudut a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
(8)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 19. Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Panjang sisi AB adalah 40 m, panjang sisi AC adalah 24 m dan besar sudut BAC adalah 30 o. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp 500.000,00 untuk setiap meter persegi. Maka tersebut adalah .... C A. Rp 80.000.000,00 B. C. D. E.
Rp 100.000.000,00 Rp 120.000.000,00 Rp 200.000.000,00 Rp 240.000.000,00 A B
Jawab: Rumus Luas Segitiga, yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya 1 1 L = absin C = AB AC sin A 2 2 1 = 40 24 sin 30 2 24 m 1 1 = 40 24 = 240 2 2 harga tanah Rp 500.000,00/m 2 30 A Harga seluruhnya 40 m = 240 Rp 500.000,00 = Rp 120.000.000,00 (C)
Rumus luas segitiga 1 L = ab sin C 2 1 L = ac sin B 2 1 L = bc sin A 2
C
B
20. Bayangan titik P(–3 , 5) oleh refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan dengan refleksi Y P(-3, 5) terhadap garis x = 2 adalah .... A. P’’(–4, 0) B. P’’(–4, 4) P’(-5, 3) P’’(9, 3) C. P’’(4, 4) D. P’’(8, 4) y = -x E. P’’(8, 5) X Jawab: x=2 Sebaiknya digambar agar lebih mudah Bayangan titik P(-3, 5) direfleksikan terhadap garis y = -x adalah P’(-5, 3) Bayangan titik P’(-5, 3) direfleksikan terhadap garis x = 2 adalah P’’(9, 3) Rumus-Rumus Transformasi Sederhana Titik Asal Transformasi Titik Bayangan (a, b) (a+m, b+n) m translasi = n
(a, b)
dilatasi [k, O] k = faktor skala, O titik pusat (0, 0) (a, b) Refleksi y = x Refleksi y = -x Refleksi x = k Refleksi y = k (a, b) Rotasi +90 Rotasi –90 (tidak ada jawaban)
(ka, kb)
(b, a) (-b, -a) (2k – a, b) (a, 2k – b) (-b, a) (b, -a)
Penjelasan Menggeser titik (a, b) sejauh m satuan horizontal dan n satuan vertikal. m > 0 pergeseran ke kanan m < 0 pergeseran ke kiri n > 0, pergeseran ke atas n < 0 pergeseran ke bawah Perbesaran k kali dengan pusat perbesaran titik pusat koordinat O(0, 0) Pencerminan terhadap garis diagonal Pencerminan terhadap garis diagonal Pencerminan terhadap garis vertikal Pencerminan terhadap garis horizontal Rotasi 90 berlawanan arah jarum jam Rotasi 90 searah putaran jarum jam
y=x y = -x x=k y=k
(9)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 21. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 2 cm, maka luas bidang ABGH adalah .... H G H G A. 8 cm2 B. 8 2 cm2 C. 16 2 cm
E
F
2
4 2
D. 32 cm2 E. 32 2 cm2 Jawab: ABGH sebuah persegi panjang A
D
8
C
4 2 A
4 2 4 2
B
B
BG = 4 2 2 = 8 AB = 4 2 Luas ABGH = 8 4 2 = 32 2 (E)
Kubus dengan rusuk = r diagonal bidang = r 2 diagonal ruang = r 3
diagonal ruang
diagonal bidang
22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisi 6 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AE. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah .... H G A. 3 2 cm E B. 6 cm F C. 6 2 cm 6 Q D. 12 cm P E. 12 2 cm D C Jawab: 6 Jarak titik P ke bidang BDHF, A 6 B adalah panjang ruas garis yang melalui titik P dan tegak lurus dengan bidang BDHF. Titik potong garis yang melalui titik P dengan bidang BDHF berada di pusat bidang BDHF. Jarak titik P ke bidang BDHF ditunjukkan dengan ruas garis PQ, sama dengan setengah diagonal bidang EG. Panjang diagonal bidang EG = r 2 = 6 2 Jadi setengahnya adalah 3 2 (A) 23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 8 cm. Besar sudut yang terbentuk antara garis AH dan EG adalah .... A. 15o B. 30o C. 45o D. 60o E. 75o Jawab: Untuk menghitung besar sudut antara garis AH dan EG kita geser EG ke AC, sehingga diperoleh sudut HAC. Perhatikan bahwa segitiga yang terbentuk adalah HAC. Segitiga HAC adalah sama sisi, dengan sisi sama
H
G
E
F 8 D
C 8
A
8
B
H E
G F 8
dengan diagonal bidang kubus yaitu r 2 = 8 2 Karena sama sisi maka sudutnya 60 (D)
D A
C 8
8
B
(10)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si
24. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan memiliki jari-jari 7 adalah…. A. x2 + y2 – 4x + 6y + 49 = 0 Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b), dan B. x2 + y2 – 4x + 6y – 49 = 0 2 2 berjari-jari = r C. x + y – 4x + 6y + 36 = 0 (x – a)2 + (x – b)2 = r2 Bentuk Baku D. x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0 2 2 2 2 2 x + y – 2ax – 2ay + (a + b – r ) = 0 Bentuk Umum E. x2 + y2 + 4x – 6y + 62 = 0 Jawab: Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –3) dan jari-jari 7 adalah (x – 2)2 + (y + 3)2 = 72 x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 49 x2 + y2 - 4x + 6y + 13 – 49 = 0 x2 + y2 - 4x + 6y – 36 = 0 (D) 25. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y 2 = 10 yang melalui titik (1, -3) adalah…. A. x – 3y + 10 = 0 B. x – 3y – 10 = 0 C. x + 3y – 10 = 0 D. 3x – y + 10 = 0 E. 3x – y – 10 = 0 Jawab: Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =10 yang melalui titik (1, -3) px + qy = c 1x + (-3)y = c x – 3y = 10 x – 3y – 10 = 0 (B) Persamaan garis Singgung Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 , melalui titik (p, q) adalah: px + qy = r2 Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , melalui titik (p, q) adalah: (p – a)(x – a) + (q – b)(y – b) = r2 Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2ax – 2ay + (a2 + b2 – r2) = 0, melalui titik (p, q) adalah: px + qy – (p + a)x – (q + b)y + (a2 + b2 – r2) = 0
26. Diagram lingkaran berikut menunjukkan persentase jenis olah raga siswa di sekolah X. Jumlah siswa seluruhnya sebanyak 1.200 siswa. Banyak siswa yang suka olah raga Basket adalah .... A 100 siswa B 108 siswa C 240 siswa D 420 siswa E 432 siswa
Badminton 20%
Volly 36%
Basket Tenis Meja 35%
(11)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Jawab: Volly = 36% Tenis meja = 35% Badminton = 20% ––––––––––––––––––– – Jumlah = 91% Basket = 100% - 91% = 9% Jumlah siswa yang suka basket =
9 1.200 = 108 100
(B) 27. Berikut ini adalah tabel hasil ulangan matematika kelas XII Teknik Sepeda Motor. Median data tersebut adalah .... Nilai Jumlah A 59,25 41 – 50 3 B 69,00 51 – 60 8 C 69,50 61 – 70 10 D 70,00 71 – 80 11 E 78,68 81 – 90 7 91 - 100 1 Jawab: Jumlah 40 Ukuran data = n = 3 + 8 + 10 + 11 + 7 + 1 = 40 median = X20 berada di kelas ke-3 (61 – 70) Tb = tepi bawah kelas median = 60,5 o = frekwensi kumulatif sebelum kelas median = 3 + 8 = 11 = frekwensi kelas median = 10 Rumus Median = Me p = panjang kelas = 10 1 n fk 1 . p Me = Tb + 2 2 n fo f Me = Tb + p f Tb = tepi bawah kelas Median
1 2 (40) 11 = 60,5 + 10 10
n = ∑fi = ukuran data fk = frekwensi kumulatif sebelum median f = frekwensi kelas Median p = panjang kelas
20 11 = 60,5 + 10 = 60,5 + 9 = 69,5 10 (C) 28. Simpangan baku dari data 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7 adalah .... A. 2 10 B. 2 5 C. D. E.
1 10 2 1 5 2 1 2 4
Jawab: Data: 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7 467 3867 7 48 Rata-rata = = =6 8 8 Simpangan baku
(12)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si
X i X
2
s=
n
=
(4 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (3 6) 2 (8 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (7 6) 2 8
=
(2) 2 (0) 2 (1) 2 (3) 2 (2) 2 (0) 2 (1) 2 (1) 2 8
4 0 1 9 4 0 11 = 8 (C) =
20 = 8
1 10 10 = 2 4
Untuk memudahkan menghitung simpangan baku, kita bisa menggunakan jembatan keledai, misalnya:
Rasah Sok Kakehan Janji Ben Aman R = rata-rata = (4 + 6 + 7 + 3 + 8 + 6 + 7 + 7)/8 = 6 S = simpangkan K = kuadratkan J = jumlahkan B = bagi A = akar
xi R S K J B
4 6 -2 4
6 6 0 0
7 3 8 6 6 6 6 6 1 -3 2 0 1 9 4 0 4 + 0 + 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 20
7 6 1 1
7 6 1 1
20 10 = 8 4 10 1 10 4 2
A
(C) 29. Nilai rata-rata ulangan matematika 40 siswa di sebuah SMK adalah 78,25. Jika nilai rata rata matematika siswa putri adalah 82 dan nilai rata-rata matematika siswa putra 72, maka banyak siswa putra adalah .… A. 25 siswa B. 20 siswa C. 15 siswa D. 12 siswa E. 8 siswa Jawab: n = 40, X 78,25 , X putri 82 dan X putra 72 , nputra = ...?
n X n2 X 2 X 1 1 n1 n2
78,25
(40 n putra )(82) n putra (72)
40 (78,25)(40) = (40 – nputra)(82) + nputra(72) (78,25)(40) = (40)(82) – 82.nputra + 72.nputra (78,25)(40) = (40)(82) – 10.nputra 10.nputra = (40)(82) – (78,25)(40) 40(82 78,25) nputra = = 4(82 – 78,25) 10 = 4 (3,75) = 15 (C)
Rata-Rata Gabungan dua himpunan jumlah anggota A = nA jumlah anggota B = nB rata-rata himpunan A = X A rata-rata himpunan B = X B Jika digabungkan rata-ratanya menjadi n X nB X B X A A n A nB
(13)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si
30. Eko memiliki 6 warna cat yang berbeda. Ia akan mencampur 3 cat yang berbeda untuk mendapatkan warna cat baru. Banyaknya warna cat baru yang bisa dihasilkan adalah …. A. 8 macam Kombinasi n objek diambil r objek B. 10 macam n! C. 12 macam nCr = D. 15 macam r! (n r )! E. 20 macam Jawab: Mengambil 3 objek dari 6 objek adalah peristiwa kombinasi, oleh karena urutan tidak diperhatikan. 6.5.4.3.2.1 6! = = 20 6C3 = 3.2.1.3.2.1 3! 3! Misalnya warna semula adalah : ABCDEF Warna campurannya adalah: ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF, BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF CDE, CDF, CDF, DEF (E) 31. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 4 atau 5 adalah …. Dua dadu di lempar undi, maka diperoleh ruang 2 A sampel: 36 1 2 3 4 5 6 3 B 1 11 12 13 14 15 16 36 2 21 22 23 24 25 26 5 C 3 31 32 33 34 35 36 36 4 41 42 43 44 45 46 7 D 5 51 52 53 54 55 56 36 6 61 62 63 64 65 66 10 E 36 Jawab: banyak kejadian Peluang = ukuran ruang sampel Dua dadu dilempar, ukuran ruang sampel = 36 Kejadian jumlah mata dadu 4 atau 5 adalah 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41 ada 7 kejadian dari 36 kejadian yang mungkin 7 Peluang = 36 (D)
(14)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 32. Empat buah uang logam di lempar undi bersamaan sebanyak 96 kali. Frekuensi harapan muncul kejadian 3 Angka 1 Gambar ( 3A 1G) adalah …. A. 6 kali B. 24 kali C. 32 kali D. 36 kali E. 48 kali Jawab: Empat keping uang logam dilempar undi. Ruang sampelnya: 4A 0G: AAAA, 3A 1G: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA, 2A 2G: AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA, 1A 3G: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA, 0A 4G: GGGG Kejadian Munculnya 3A 1G = { AAAG, AAGA, AGAA, GAAA} Ada 4 kejadian dari 16 kejadian Frekwensi harapan 4 = peluang jumlah percobaan Peluangnya = 16 4 Frekwensi harapan = 96 = 24 16 (B) 33. Nilai dari lim
x 7
2 x 2 8 x 42 x 2 10 x 21
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 5 Jawab:
lim
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21 ( x 7)(2 x 6) = lim x 7 ( x 7)( x 3) x 7
(2 x 6) x 7 ( x 3) 20 2(7) 6 = = =5 4 (7) 3 (E) = lim
34. Turunan pertama dari (x) = A. B. C. D. E.
11 (4 x 1) 2 8 (4 x 1)
2
adalah …. Menyelesaikan limit fungsi aljabar rasional dapat dengan cara turunan: 0 f ( x) lim apabila subsitusi x dengan c menghasilkan 0 xc g ( x) maka pembilang dan penyebut diturunkan kemudian disubstitusi ulang, f ' ( x) lim xc g ' ( x)
lim
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21 20 4(7) 8 = = =5 4 2(7) 10 x 7
4x 8 x 7 2 x 10
= lim
x3 1 , x adalah …. 4x 1 4 cara cepat:
Jika diberikan fungsi (x) = maka ’(x) =
ax b cx d
ad bc (cx d ) 2
8x 8 (4 x 1) 2 8x 8 (4 x 1) 2 16
dalam soal x3 f ( x) ; a = -1, b = 3, c = 4, d = -1 4x 1 1 12 11 1. 1 4.3 f ' ( x) = = 2 2 (4 x 1) (4 x 1) (4 x 1) 2
(4 x 1) 2 (15)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si Jawab: x3 (x) = 4x 1 Misal U = -x + 3 U’ = -1 V = 4x – 1 V’ = 4 1(4 x 1) ( x 3).4 4 x 1 4 x 12 1 12 11 U 'V UV ' ’(x) = = = = = 2 2 2 2 (4 x 1) (4 x 1) (4 x 1) (4 x 1) 2 V (A) 35. Sebuah bola dilemparkan ke atas. Bola itu bergerak sesuai persamaan h(t) = 40t – 5t2. Tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah .... A. 4 meter Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi B. 5 meter kuadrat maka sebenarnya kita bisa C. 40 meter menyelesaikan persoalan ini dengan konsep D. 80 meter fungsi kuadrat E. 100 meter Bandingkan dengan (x) = 40x – 5x2 b Jawab: Titik puncak (x, y) dengan x = dan y = f(x) Ini persoalan maksimum / minimum fungsi 2a Untuk soal tersebut: yang bisa dipecahkan dengan turunan. 2 40 h(t) = 40t – 5t x= =4 2(5) h = tinggi bola (hight), t = waktu (time) y = f(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80 Syarat maksimum: y’ = ’(x) = 0 Titik Puncak (4, 80) h’(t) = 40 – 10t = 0 10t = 40 t=4 h(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80 (D) 36. Interval fungsi turun dari (x) =
1 3 x – 2x2 +3x + 5 adalah .... 3
A. 1 < x < 3 y = (x) B. -1 < x < 3 fungsi pangkat tiga C. -3 < x < 1 max D. x < -3 atau x > 1 naik E. x < 1 atau x > 3 turun naik Jawab: 1 (x) = x3 – 2x2 +3x + 5 3 min Syarat stationer ’(x) = 0 x1 x2 ’(x) = x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Diuji dengan turunan kedua ’’(x) = 2x – 4 ’’(1) = 2(1) – 4 = -2 karena ’’(1) negatif deperoleh titik maksimum ’’(3) = 2(3) – 4 = 2 karena ’’(3) positif diperoleh titik minimum +++ naik
1
––– turun
3
+++ naik
interval yang sesuai: 1 < x < 3 (A)
(16)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 37. Hasil dari (3x2 – 2)2 dx adalah .... A. 36x3 – 24x + C 3 5 B. x – 4x3 – 4x + C 5 9 5 C. x – 4x3 + 4x + C 5 3 5 D. x + 4x3 + 4x + C 5 3 5 E. x – 4x3 + 4x + C 5 Jawab: (3x2 – 2)2 dx = (9x4 – 12x2 + 4) dx 9 = x5 – 4x3 + 4x + C 5 (C)
Integral fungsi aljabar:
n ax dx
a n 1 x C n 1
Kuadrat suku dua (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (3x2 – 2)2 = (3x2)2 + 2(3x2)(-2) + (-2)2 = 9x4 – 12x2 + 4
2
38. Nilai dari (3x 2 10x 3) dx adalah ... 1
b
(3x
2
b
f ( x) dx F ( x) a
A. 25 B. 16 C. -4 D. -24 E. -25 Jawab: 2
Integral Tertentu = F(b) – F(a)
a
10x 3) dx = [ x 3 5 x 2 3x]
1
2 1
= [(2)3 + 5(2)2 + 3(2)] – [(1)3 + 5(1)2 + 3(1)] = [8 + 20 + 6] – [1 + 5 + 3] = 34 – 9 = 25 (A) 39. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2 dan garis y = x + 4 adalah .... 1 A. satuan luas 2 Menentukan luas daerah antara dua kurva 5 y = f(x) dan y = g(x) B. 2 satuan luas 1. Kurangkan f(x) – g(x) 6 2. Hitung diskriminan D = b2 – 4ac 1 C. 4 satuan luas D D 2 3. Hitung Luas L = 6a 2 1 D. 5 satuan luas 2 1 E. 7 satuan luas 2 Jawab: y = (x2 + 2) – (x + 4) y = x2 – x – 2, a = 1, b = -1, c = -2 2 2 D = b – 4ac = (-1) – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 L=
D D 6a
2
=
9 9 6(1)
2
=
9 1 27 = = 4 2 2 6
(C)
(17)
Jawab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY Wagiman, S.Si 40. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x – 3, x = 1, x = 3 dan sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah .... 1 A. 3 satuan volume 3 2 y = f(x) B. 3 satuan volume 3 C. 4 satuan volume 1 D. 4 satuan volume 3 0 a b 2 E. 4 satuan volume 3 Jawab: y = 2x – 3 a=1 Volume Kerucut Terpancung b=3 1 R = y(3) = 2(3) – 3 = 3 V = ( R2 + Rr + r2) t 3 r = y(1) = 2(1) – 3 = -1 dengan R = f(b) , r = f(a) , t = b - a t=3–1=2 1 V = (R2 + Rr + r2).t 3 1 = (32 + 3.(-1) + (-1)2).2 3 1 = (9 – 3 + 1).2 3 1 2 14 = (7).2 = = 4 3 3 3 (E)
(18)
